55 - O motivo de uma pessoa ser destra ou canhota é um dos mistérios da ciência. Acredita-se que
11% dos homens e 9% das mulheres são canhotos. Supondo que 48% da população brasileira é
constituída de homens, e que essa crença seja verdadeira, que percentual da população brasileira é
constituído de canhotos?
RESOLUÇÃO:
Se 48% da população são homens ( H=48 %P ) os outros 52% para completar 100%P são mulheres
( M =100 %P−48 %P=52%P ) .
O total de canhotos será igual a quantidade de homens canhotos mais mulheres canhotas:
canhotos=11 %H +9 %M
canhotos=11%hc (48 %P)+ 9%mc (52 %P)=5,28 %P+ 4,68 %P
canhotos =9,96 %P ou canhotos=9,96 %da população brasileira
56 - Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor das engrenagens deve realizar para
que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira novamente?
7 dentes
RESOLUÇÃO:
20 dentes
30 dentes
Apenas ocorrerá um novo realinhamento das engrenagens quando todas realizarem um número inteiro
de voltas que seja múltiplo de cada quantidade de dentes de cada engrenagem. Esse número pode ser
calculado pelo mínimo múltiplo comum de 7, 20, 30 ( m. m. c {7, 20, 30} ).
7 20 30 2
7 10 15 2
7 5 15 3
, m. m. c {7, 20, 30}=2.2.3 .5 .7=420 dentes , tendo a menor das engrenagens 7
7 5 5 5
7 1 1 7
1 1 1 1
420
dentes,
=60 voltas .
7
57 - Um kit para impressão vem com oito cartuchos de tinta, de formato idêntico, para impressora.
Nesse kit há dois
cartuchos de cada uma das quatro cores diferentes necessárias para uma impressora caseira
(ciano, magenta, amarelo
e preto). Escolhendo aleatoriamente dois cartuchos desse kit, qual a probabilidade de se obter duas
cores distintas?
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de que tenha dois cartuchos de cores distintas é produto da probabilidade de um
8
primeiro cartucho qualquer (
) pela probabilidade de escolher o segundo cartucho de cor diferente
8
6
do primeiro (
).
7
8 6 6
Logo, P= . =
8 7 7
58 - Um círculo, com centro na origem do plano cartesiano, é tangente à reta de equação
y = 2x + 2. Qual é o raio desse círculo?
RESOLUÇÃO:
Como a reta é tangente ao círculo, o raio será igual à distância do centro da circunferência (0, 0) à reta.
Centro: C( 0, 0) ;
Reta: 2. x − y+ 2=0
d=
d=
|a. x 0 +b . y 0 +c|
√ a ²+b ²
|2. x 0−1. y 0 +2| |2.0−1.0+2|
Racionalizando o denominador, d =
√(2) ²+(−1)²
=
√5
=
2
√5
2. √ 5
5
59 - O ângulo de visão de um motorista diminui conforme aumenta a velocidade de seu veículo.
Isso pode representar riscos para o trânsito e os pedestres, pois o condutor deixa de prestar
atenção a veículos e pessoas fora desse ângulo conforme aumenta sua velocidade. Suponha que o
ângulo de visão A relaciona-se com a velocidade v através da expressão A = k v + b, na qual k e b
são constantes. Sabendo que o ângulo de visão a 40 km/h é de 100°, e que a 120 km/h fica reduzido
a apenas 30°, qual o ângulo de visão do motorista à velocidade de 64 km/h?
RESOLUÇÃO:
Para o ponto (v =40 km/h , A=100°) , tem-se a equação 100=k .40+ b ;
Para o ponto (v =120 km/h , A=30 °) , tem-se a equação 30=k .120+ b ;
Tendo em mãos duas equações e duas incógnitas, pode-se resolver o seguinte sistema:
100=k .40+ b
30=k .120+ b
100−30=k .40+b−k .120−b
−70 −7
70=−k .80 ⇒ k=
=
80
8
Substituindo k na equação : 100=k .40+ b
100=(
Desta forma a expressão do enunciado
constantes calculadas acima.
−7
).40+ b⇒ b=135
8
A=k . v+ b , poderá ser atualizada com os valores da
7
A=−( ). v+135 ,
8
Logo para (v =64 km/h , A=?) :
7
A=−( ).64 +135=79 °
8
60 - Um tanque para armazenamento de produtos corrosivos possui, internamente, o formato de
um cilindro circular reto com uma semiesfera em cada uma de suas bases, como indica a figura.
Para revestir o interior do tanque, será usada uma tinta anticorrosiva. Cada lata dessa tinta é
suficiente para revestir 8m² de área. Qual o número mínimo de latas de tinta que se deve comprar
para revestir totalmente o interior desse tanque? (Use π =3,14).
6m
2m
RESOLUÇÃO:
A área total interna será a área da esfera de raio = 1m (duas extremidades do tanque) mais a área lateral
do cilindro de raio = 1m e altura = 6m.
Áreatotal=4. π . R ² +2. π . R . h
Área total=4. π .1 ²+2. π .1.6=4. π+12. π=16. π m²
Área total=4. π .1 ²+2. π .1.6=4. π+12. π=16. π m²
Se cada lata é suficiente para 8m², para 16πm² serão necessárias:
16. π
latas=
=2. π=2.3,14=6,28 latas
8
Como não é possível comprar 6,28 latas, para revestir totalmente o tanque, serão necessárias 7 latas de
tinta.
61 - Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho
de um motor. A profundidade do primeiro pistão no bloco do motor pode ser descrita, de maneira
aproximada, pela expressão H1 = 12 cos(2πt/60) , e a profundidade do segundo, pela expressão H2
= 12 sen(2πt/60) , sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor.
Quanto tempo levará para que os pistões estejam na mesma profundidade, pela primeira vez, após
o acionamento do motor?
RESOLUÇÃO:
H 1=H 2 , logo:
2. π . t
2. π . t
12. cos(
)=12. sen(
)
60
60
2. π . t
Dividindo os dois membros por 12. cos(
) , tem-se:
60
2. π. t
2. π .t
2. π. t
12. cos (
) 12. sen(
)
sen(
)
60
60
60
=
⇒ 1=
2. π. t
2. π .t
2. π . t
12. cos (
) 12.cos (
)
cos (
)
60
60
60
cos α
Sabe-se que tan α=
, logo:
sen α
2. π t
1=tan(
)
60
Mesma profundidade significa dizer
Os valores de tan(α) que são iguais a 1 são
π +k .π ,
4
2. πt π
= +k . π ⇒t=7,5+30. k , para o menor (primeira vez) é para k =0 ,
60
4
t=7,5 ms
62 - Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros dois
vértices sobre a parábola de equação y = 4 – x² , com y > 0. Qual é o perímetro máximo desse
retângulo?
RESOLUÇÃO:
Sendo os pontos do retângulo que estão no eixo das abscissas são x e -x e sua altura y. Seu perímetro (P)
será:
P=2. base+2. altura=2.[x−(x )]+ 2. y
P=2.[2. x ]+2. y=4. x+ 2. y
P−4. x
Isolando y, y=
, podemos igualá-la à função dada no enunciado y=4−x ² , teremos:
2
P−4. x
=4−x ²
2
Isolando P, P=8+ 4. x−2. x ² temos P em função de x. O valor máximo de P será dado pela equação
do vértice da equação do segundo grau:
y v =P máx=−( Δ )
4. a
( 4) ²−4.(−2) .8
b ²−4. a . c
Pmáx =−(
)=−(
)
4. a
4.(−2)
P máx=10
63 - Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica
a figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as escadas
se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente
h2
h1
RESOLUÇÃO:
a
2,4-a
Podemos calcular h1 e h2 através do teorema de Pitágoras:
hipotenusa ²=cateto a ²+cateto b ²
3²=h1 ² +2,4 ² ⇒ h1=1,8 m
4²=h2 ²+2,4 ²⇒ h2=3,2 m
Por semelhança de triângulos temos:
h1
h2 2,4
2,4
e
=
=
h 2,4−a
h
a
2,4. h
Poderemos isolar a em função de h2 ( a=
) e substituímos na outra equação:
h2
h1
=
h
2,4
2,4. h .1,8
⇒ 2,4. h=2,4.1,8−(
)
2,4. h
3,2
2,4−(
)
h2
Resolvendo a equação chega-se ao valor de h:
h=1,152 m