LISTA 10
Maratona 1: Razões e Proporções
Professor:
ARGENTINO
MATEMÁTICA
DATA: 02 / 10 / 2015
1. (Enem 2000) Em uma empresa, existe um galpão que precisa Comentário: [E]
ser dividido em três depósitos e um hall de entrada de 20m2,
Se p é a população máxima da cidade para a qual o
conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão
fornecimento de água estará garantido, então
construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e p ⋅ 150 = 6000000 ⇔ p = 40.000.
120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser
Sabendo que a população tem uma taxa de crescimento
proporcionais a essas capacidades.
constante de 2.000 habitantes por ano, segue que a população da
cidade x anos após 2003 é dada por p(x) = 2000 ⋅ x + 27990.
Queremos calcular x para o qual p(x) = 40000. Logo,
12010
≅ 6.
2000
Portanto, até o final de 2003 + 6 = 2009 os mananciais serão
suficientes para abastecer a cidade.
2000 ⋅ x + 27990 = 40000 ⇔ x =
A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Comentário: [D]
Área destinada aos fardos: A = (10 ⋅ 11) − 20 = 90m2 .
x é a largura do depósito 3.
10x _______120
90 _______ 270
2700x = 10800
x = 4m
Comentário: [C]
2. (Enem 2004) O jornal de uma pequena cidade publicou a
seguinte notícia:
CORREIO DA CIDADE
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO
O novo polo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um
enorme e constante fluxo migratório, resultando em um aumento
da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme
dados do nosso censo:
Ano População
1995
11.965
1997
15.970
1999
19.985
2001
23.980
2003
27.990
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água,
pois os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade para
fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura,
preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha
visando estabelecer um consumo médio de 150 litros por dia,
por habitante.
A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna.
Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os
mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final
de
a) 2005. b) 2006.
3. (Enem 2004) Em quase todo o Brasil existem restaurantes
em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o
valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um
restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$ 12,80.Certa vez
a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor
R$ 18,20 e só percebeu o erro algum tempo depois, quando
vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e
verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado
na nota dos clientes fosse multiplicado por
a) 0,54. b) 0,65. c) 0,70. d) 1,28. e) 1,42.
c) 2007. d) 2008. e) 2009.
Sem perda de generalidade, suponhamos que o prato de um
cliente tenha “pesado” 1kg. Logo, o valor a ser pago por esse
cliente seria de x = 12,80 reais. Porém, devido ao erro da
funcionária, a conta do cliente será de 18,20 reais.
Portanto, queremos calcular y tal que
y ⋅ 18,2 = 12,8 ⇒ y ≅ 0,70.
4. (Enem 2006) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa
da taxa de crescimento populacional em quase todos os
continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos
países mais populosos em 2000 e também as projeções para
2050.
Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha
que, no período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional
da Índia seja a mesma projetada para o período 2000-2050.
Sendo assim, no início do século XXII, a população da Índia,
1
em bilhões de habitantes, será
a) inferior a 2,0. b) superior a 2,0 e inferior a 2,1.
c) superior a 2,1 e inferior a 2,2.
d) superior a 2,2 e inferior a 2,3.
e) superior a 2,3.
Comentário: [E]
De acordo com os gráficos, a taxa de crescimento populacional
da Índia no período 2000-2050 seria de
1572 −1006
564
⋅100% ≅
⋅100% ≅ 56%.
1006
1006
Portanto, no início do século XXII, a população da Índia, em
bilhões de habitantes, será: 1,56 ⋅ 1572 ≅ 2,5 > 2,3,
ou seja, superior a 2,3 bilhões de habitantes.
estímulo, também propôs que na semana na qual ele vendesse
R$ 1.200,00, ele receberia R$ 200,00, em vez de R$ 120,00.
Ao término da primeira semana, esse novo funcionário
conseguiu aumentar as vendas para R$ 990,00 e foi pedir ao seu
patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas
vendas.
800 ⋅ 1,2 = R$ 960,00. Portanto, como o corta-cana recebe
960
8 ⋅ 2,5 = R$ 20,00 por dia, ele teria que trabalhar
= 48
20
x = 53.000 toneladas
O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou ao
funcionário a quantia de
a) R$ 160,00. b) R$ 165,00. c) R$ 172,00.
d) R$ 180,00. e) R$ 198,00.
Comentário: [C]
200 − 120
80
2
Taxa de variação:
=
= .
1200 − 600 600 15
Para cada um real de aumento nas vendas o salário semanal
5. (Enem 2007) Álcool, crescimento e pobreza
deverá aumentar 2/25.
Como o aumento nas vendas foi de 990 – 600 = 390.
O lavrador de Ribeirão Preto recebe em média
2
R$ 2,50 por tonelada de cana cortada. Nos anos 80, esse O salário semanal deverá ser 120 +
⋅ 390 = 172 reais.
15
trabalhador cortava cinco toneladas de cana por dia. A
mecanização da colheita o obrigou a ser mais produtivo. O
corta-cana derruba agora oito toneladas por dia.
O trabalhador deve cortar a cana rente ao chão,
encurvado. Usa roupas mal-ajambradas, quentes, que lhe
cobrem o corpo, para que não seja lanhado pelas folhas da 7. (Enem cancelado 2009) Pneus usados geralmente são
planta. O excesso de trabalho causa a birola: tontura, desmaio, descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de
cãibra, convulsão. A fim de aguentar dores e cansaço, esse insetos e roedores e provocando sérios problemas de saúde
trabalhador toma drogas e soluções de glicose, quando não pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados
farinha mesmo. Tem aumentado o número de mortes por 20 milhões de pneus usados. Como alternativa para dar uma
destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua unidade de
exaustão nos canaviais.
São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de
O setor da cana produz hoje uns 3,5% do PIB.
obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com
Exporta US$ 8 bilhões. Gera toda a energia elétrica que xisto. Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada de
consome e ainda vende excedentes. A indústria de São Paulo pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo.
contrata cientistas e engenheiros para desenvolver máquinas e
equipamentos mais eficientes para as usinas de álcool. As
Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. Acesso em:
pesquisas, privada e pública, na área agrícola (cana, laranja,
3 out. 2008 (adaptado).
eucalipto, etc.) desenvolvem a bioquímica e a genética no país.
Folha de S. Paulo, 11/3/2007 (com adaptações). Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a cerca
de 200 pneus, se todos os pneus descartados anualmente fossem
Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura
produção de 100 litros de álcool combustível, vendido nos com xisto, seriam então produzidas
postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta- a) 5,3 mil toneladas de óleo.
cana pudesse, com o que ganha nessa atividade, comprar o b) 53 mil toneladas de óleo.
álcool produzido a partir das oito toneladas de cana resultantes c) 530 mil toneladas de óleo.
d) 5,3 milhões de toneladas de óleo.
de um dia de trabalho, ele teria de trabalhar durante
a) 3 dias. b) 18 dias. c) 30 dias. d) 48 dias. e) 60 dias. e) 530 milhões de toneladas de óleo.
Comentário: [B]
Comentário: [D]
200 pneus( 1 tonelada) -----------------530kg
O lavrador, ao cortar oito toneladas de cana, permite a produção
20.000.000 pneus---------------------------x
de 8 ⋅ 100 = 800 litros de álcool em um dia. Como o litro do
álcool é vendido a R$ 1,20, segue que 800 litros custam
x = 53.000.000 kg
8. (Enem cancelado 2009) Uma fotografia tirada em uma
câmera digital é formada por um grande número de pontos,
dias para comprar o álcool resultante da produção de um dia de
denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma
seu trabalho.
câmera digital é especificada indicando os milhões de pixels, ou
seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos.
6. (Enem cancelado 2009) Um comerciante contratou um novo Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses
funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa
pontos devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a
pessoa R$ 120,00 por semana, desde que as vendas se
olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo
mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e, como um
dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão
impressos em uma linha com uma polegada de comprimento.
2
Uma foto impressa com 300 dpi, que corresponde a cerca de 120
pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os
pontos serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los
separados e passará a ver um padrão contínuo.
Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com
resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o valor aproximado de
megapixels que a foto terá?
a) 1,00 megapixel.
b) 2,52 megapixels.
c) 2,70 megapixels.
d) 3,15 megapixels.
e) 4,32 megapixels.
Comentário:[E]
12.120 = 1800 pontos
20.120 = 2400 pontos
No retângulo todo 1800.2400 = 4 320 000 = 4,32.106 pixels ou
seja 4,32 megapixels
11. (Enem 2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de
uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias
de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho
desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel,
deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha,
quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha
deverá ter?
a) 2,9 cm × 3,4 cm. b) 3,9 cm × 4,4 cm. c) 20 cm × 25 cm.
d) 21 cm × 26 cm. e) 192 cm × 242 cm.
Comentário: [D]
No desenho:
x = comprimento do avião.
y = largura do avião.
9. (Enem cancelado 2009) Os calendários usados pelos
diferentes povos da Terra são muito variados. O calendário
islâmico, por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia
com a fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de Vênus,
com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus corresponde a 8
y
x
1
anos de 365 dias da Terra.
=
=
⇔ x = 0,24m = 24cm e y = 0,19m = 19cm
36 28,5 150
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre de 48
anos?
a) 30 ciclos. b) 40 ciclos. c) 73 ciclos.
19 + 1 + 1 = 21 e 24 + 1 + 1 = 26
d) 240 ciclos. e) 384 ciclos
Comentário: [A]
12. (Enem 2009) Nos últimos anos, o volume de petróleo
5 ciclos de Vênus_______________8 anos terrestres
exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de
x ciclos de Vênus_______________48 anos terrestres
crescimento, ultrapassando as importações em 2008.
Entretanto, apesar de as importações terem se mantido
logo 8x = 48.5 ⇔ x = 30
praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos
gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles
10. (Enem 2009) Técnicos concluem mapeamento do
despendidos com as importações, uma vez que o preço médio
aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do
petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram
Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de
gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma
1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000
receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço
quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena
cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares
para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo
dos maiores do mundo.
exportado.
Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008
usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já
e dos primeiros cinco meses de 2009.
descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de
Comércio exterior de petróleo
São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo
reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões
(milhões de metros cúbicos)
de litros.
Ano Importação Exportação
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo
2001
24,19
6,43
reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é
2002
22,06
13,63
a) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
203
19,96
14,03
b) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
6
2004
26,91
13,39
c) 1,5 x 10 vezes a capacidade do reservatório novo.
d) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
2005
21,97
15,93
Comentário: [E]
2006
20,91
21,36
30.000 km3 = 30 000.109 m3
2007
25,38
24,45
20.000.000 L =20.000 m3
2008
23,53
25,14
30000.10 9
2009*
9,00
11,00
9
Fazendo
= 1,5.10
20000
*Valores apurados de janeiro a maio de 2009.
3
Considere que as importações e exportações de petróleo de
junho a dezembro de 2009 sejam iguais a
7
das importações e
5
exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de
2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e
exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais
aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as
importações e os recursos gerados com as exportações em 2009?
a) 600 milhões de dólares. b) 840 milhões de dólares.
c) 1,34 bilhão de dólares. d) 1,44 bilhão de dólares.
e) 2,00 bilhões de dólares.
Comentário: [C]
Importações (2009): 2840 + 7/5.9 .340 = 7124 milhões de
dólares
Exportações(2009): 2240 + 7/5.11. 230 = 5782 milhões de
dólares
Em outubro de 2008. P = número de passageiros.
P
= 441 ⇔ P ≈ 353
08
Valor mais próximo do resultado obtido se encontra no item A
14. (Enem 2009) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que
compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do
Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média
aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros
(TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que
TC =
NV
NA
, TA =
, NV é o número de cadastros
NF
NV
domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de
famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o
número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do
CadÚnico.
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6.
Logo a diferença foi de 1342 milhões de dólares = 1,34bilhão de Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV =
3.600, então NF é igual a
dólares
a) 10.000. b) 7.500. c) 5.000. d) 4.500. e) 3.000.
Comentário: [C]
13. (Enem 2009) Dados da Associação Nacional de Empresas
⎧ 1 ⎛ NV NA ⎞
de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de
+
⎟ = 0,6
⎪⎪ ⎜
passageiros transportados mensalmente nas principais regiões
2 ⎝ NF NV ⎠
⎨
metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram
⎪ 1 ⎛⎜ NV + NA ⎞⎟ = 0,5
476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para
⎩⎪ 2 ⎝ 2 NF NV ⎠
321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da
frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008
praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado
pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de
passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de
veículos.
NV
NA
= 0,2 e
= 0,8
2 NF
NV
NA + NV = 3600 ⇔ 0,8NV + NV = 3600 ⇔ NV = 2000 e NF =
5000
Resolvendo o sistema acima temos
15. (Enem 2009) A suspeita de que haveria uma relação causal
entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira
vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível
associação, foram conduzidos inúmeros estudos
epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de
casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos
por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões
metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do
mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o
total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi
aproximadamente igual a
a) 355 milhões. b) 400 milhões. c) 426 milhões.
d) 441 milhões. e) 477 milhões.
Comentário: [A]
Em abril de 2001 . 321,9 milhões de passageiros e x é o número
321,9
de veículos.
= 400 ⇔ x ≈ 0,8
x
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer
de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer
de pulmão são grandezas que não se relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer
de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada
com câncer de pulmão.
4
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer
de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem
proporcionalidade.
Comentário:[E]
Se existisse uma proporcionalidade direta o gráfico seria uma
única reta e se existisse, embora absurda, uma proporcionalidade
inversa o gráfico seria uma hipérbole.
16. (Enem 2009) Uma cooperativa de colheita propôs a um
fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a
cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um
regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20
hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador
por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada
máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a
cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com
gasto inferior a R$ 25.000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo
dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa
deveria
a) manter sua proposta.
b) oferecer 4 máquinas a mais.
c) oferecer 6 trabalhadores a mais.
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma
máquina.
Comentário: [D]
Gastos em 6 dias. 6(12.10 + 4.10000) = 24720
6.20 = 120 hectares,
Ele deverá aumentar a jornada de trabalho.
180 _________ x
120 _________ 6
18. (Enem 2009) A resolução das câmeras digitais modernas é
dada em megapixels, unidade de medida que representa um
milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos
são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que
as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a
algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a
quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1
KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de
compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu
trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o
espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele
deve utilizar
a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB.
c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
Comentário: [E]
Espaço destinado para as imagens:
0,05 . 150 . 2 000 000 . 3 = 45 000 000 bytes = 45MB
Logo deverá utilizar um cartão de memória de 64MB
19. (Enem 2009) O mapa a seguir representa um bairro de
determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das
mãos do tráfego.
Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra
representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a
200 metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em
minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40
km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto
Y?
Resolvendo x = 9h
17. (Enem 2009) Uma escola lançou uma campanha para seus
alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis
para doar a uma comunidade carente da região.
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por
dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se
ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias
seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante,
a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo
estipulado seria de
a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg. d) 600 kg. e) 570 kg.
Comentário: [A]
Alunos
dias horas Alimento(kg)
20
10
3
120
50
20
4
x
a) 25 min. b) 15 min. c) 2,5 min. d) 1,5 min. e) 0,15 min.
Comentário: [D]
O caminho do ônibus está destacado ao lado;
5.200 = 1km.
1h ------------40km
x-------------1km
logo x = 0,025horas = 1,5 minutos
120
x
=
⇔ x = 800kg
20.10.3 50.20.4
Total arrecadado = 800 + 120 = 920kg
5
20. (Enem 2010) A relação da resistência elétrica com as
dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas
por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles
verificaram que existe proporcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma secção
transversal (A);
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo
comprimento (ℓ) e
• comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A), dada a
mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o
estudo das grandezas que influem na resistência elétrica
utilizando as figuras seguintes.
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre
resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área da
secção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e área da secção
transversal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa.
Resposta: [C]
A constante e dobrando ℓ temos r dobrado ( ℓ e R (diretamente
proporcionais).
ℓ constante e dobrando A temos R dividido por 2 (
inversamente proporcionais).
R constante e dobrando ℓ temos A dobrado ( diretamente
proporcionais).
21. (Enem 2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de
Atacama, no Chile, ficara o maior telescópio da superfície
terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT).
O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o
maior olho do mundo voltado para o céu”.
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma
suposição de que o diâmetro do olho humano mede
aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano,
suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do
telescópio citado?
a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000
Resposta: [E]
acima de 6 000 metros estava liberado, com exceção do espaço
aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31
mil pés estavam liberados.
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés.
Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na
Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o
início do caos?
a) 3390 pés. b) 9390 pés. c) 11200 pés.
d) 19800 pés. e) 50800 pés.
Resposta: [C]
Europa (menos Finlândia) acima de 6000 m = 6000.3,3 pés =
19800 pés;
Finlândia acima de 31000 pés;
Diferença pedida: 31000 – 19800 = 11.200 pés.
23. (Enem 2011) Para uma atividade realizada no laboratório
de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da
quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por
12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1
: 250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno
utilizará na construção da maquete?
a) 4,8 e 11,2 b) 7,0 e 3,0 c) 11,2 e 4,8
d) 28,0 e 12,0 e) 30,0 e 70,0
Resposta: [C]
28 : 250 = 0,112 m = 11,2 cm
12 : 250 = 9,048 m = 4,8 cm.
24. (Enem 2012) A resistência mecânica S do uma viga de
madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é
diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua
altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento
(x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade
k e chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
a) S =
d) S =
k.b.d2
x2
b) S =
k.b.d
x2
c) S =
k.b.d2
x
k.b.2d
k.b2 .d
e) S =
x
2x
Resposta: [A]
De acordo com as informações, segue que
S =k⋅
42 m 4200 cm
=
= 2000
21 cm
2,1 cm
b ⋅ d2
.
x2
25. (Enem 2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos,
tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam
escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa
(ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo,
22. (Enem 2011) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente
considera que ”o cubo da área S da superfície de um mamífero é
europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão proporcional ao quadrado de sua massa M“.
na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área
Cinco dias após o inicio desse caos, todo o espaço aéreo europeu S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
6
a) S = k ⋅ M b) S
1
1
3
= k ⋅M
2
c) S =
1
3
k
1
3
⋅M
1
d) S = k 3 ⋅ M 3 e) S = k 3 ⋅ M2
Resposta: [D]
Sendo S a área da superfície do mamífero e M a sua massa,
temos:
S3 = k ⋅ M2 ⇔ S
1
= (k ⋅ M2 ) 3
1
2
⇔ S = k 3 ⋅ M3 .
26. (Enem 2013) Para se construir um contrapiso, é comum, na
constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na
seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2
partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem,
uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14m3
de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto
trazido pela betoneira?
a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00
e, portanto,
2
2
⎛ L ' ⎞
⎛ 25 ⎞
2
2
⎜ ⎟ = ⎜
⎟ ⇒ L ' ≅ 39,06L ,
⎝ L ⎠
⎝ 4 ⎠
ou seja, a área destacada no mapa foi ampliada
aproximadamente 39,06 vezes.
28. (Enem 2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia
um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola
municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e
volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do
programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou
sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala
1: 25000, por um período de cinco dias.
Resposta:
[B]
Sejam a, b e c, respectivamente, os volumes de areia, brita e
cimento tais que
a + b + c = 14 e
a b
= = c = k,
4 2
com k sendo a constante de proporcionalidade.
Desse modo, tem-se que
4k + 2k + k = 14 ⇔ k = 2
e, portanto, c = 2,00 m3 .
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de
implantação do programa?
a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40
Resposta: [E]
A distância total percorrida pelo aluno no mapa foi de
5 ⋅ 2 ⋅ (7 + 9) = 160cm. Sendo d a distância real percorrida e
1: 25000 a escala, temos
160
1
=
⇔ d = 4 ⋅ 106 cm
d
25000
27. (Enem 2013) A figura apresenta dois mapas, em que o
estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.
⇔d=
4 ⋅ 106
105
⇔ d = 40km.
km
29. (Enem 2014) A Figura 1 representa uma gravura retangular
com 8m de comprimento e 6m de altura.
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a
área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.
Esse número é
a) menor que 10.
b) maior que 10 e menor que 20.
c) maior que 20 e menor que 30.
d) maior que 30 e menor que 40.
e) maior que 40.
Resposta: [D]
1
1
Sejam L e L ', tais que L =
e L' =
.
25000000
4000000
1
L'
L ' 25
4000000
Desse modo,
=
⇔
=
,
1
L
L
4
25000000
Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com
42cm de comprimento e 30cm de altura, deixando livres
3cm em cada margem, conforme a Figura 2.
7
A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da
região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.
A escala da gravura reproduzida na folha de papel é
a) 1: 3. b) 1: 4. c) 1: 20. d) 1: 25. e) 1: 32.
Resposta: [D]
A região disponível para reproduzir a gravura corresponde a um
retângulo de dimensões 42 − 2 ⋅ 3 = 36 cm e
24
1
e
30 − 2 ⋅ 3 = 24 cm. Daí, como
=
600 25
36
32
1
>
=
, segue-se que a escala pedida é 1: 25.
800 800 25
30. (Enem 2014) Boliche é um jogo em que se arremessa uma
bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma
formação de base triangular, buscando derrubar o maior número
de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador
derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu
desempenho.
Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os
seguintes resultados:
Jogador I
Jogador II
Jogador III
Jogador IV
Jogador V
Derrubou todos os pinos
jogadas.
Derrubou todos os pinos
jogadas.
Derrubou todos os pinos
jogadas.
Derrubou todos os pinos
jogadas.
Derrubou todos os pinos
jogadas.
50 vezes em 85
40 vezes em 65
20 vezes em 65
30 vezes em 40
48 vezes em 90
Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
Resposta: [D]
O desempenho da cada jogador corresponde à razão entre o
número de vezes que todos os pinos foram derrubados e o
50
40
número de jogadas. Assim, temos
≅ 0,59;
≅ 0,62;
85
65
20
30
48
≅ 0,31;
≅ 0,75 e
≅ 0,53.
65
40
90
Portanto, o jogador [IV] foi o que apresentou o melhor
desempenho.
velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no
percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a velocidade média
é calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o
tempo gasto para percorrê-la.
O teste realizado mostrou que o tempo que permite uma
condução segura de deslocamento no percurso entre os dois
radares deveria ser de, no mínimo, 1minuto e 24 segundos.
Com isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro
radar informando a velocidade média máxima permitida nesse
trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior
possível, entre os que atendem às condições de condução segura
observadas.
A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a
essas condições é
a)
b)
d)
e)
c)
Resposta: [C]
84
7
h=
h, segue-se que a
3600
300
2,1
velocidade média máxima permitida é
= 90km h.
7
300
Como 1min 24 s = 84 s =
32. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que
cada proprietário de apartamento construa um armário em sua
vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi
disponibilizado aos interessados já com as especificações das
dimensões do armário, que deveria ter o formato de um
paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais
a 3cm, 1cm e 2cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000.
Resposta: [E]
Seja V o volume real do armário.
O volume do armário, no projeto, é 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6cm3 . Logo,
31. (Enem 2014) A Companhia de Engenharia de Tráfego
3
6 ⎛ 1 ⎞
(CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem
3
temos
= ⎜
⎟ ⇔ V = 6.000.000cm .
o cálculo da velocidade média desenvolvida por um veículo em
V ⎝ 100 ⎠
um trecho da via.
33. (Enem 2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares
maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus
clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em
1
, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o
8
material de cada porta, precisou reduzir a largura.
As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira
instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta
anterior é
1
7
8
9
8
a)
b)
c)
d)
e)
8
8
9
8
7
8
Resposta: [D]
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a
largura da porta original. Logo, segue que o volume da porta
original é igual a x ⋅ y ⋅ z.
1
a altura da porta e preservando a
8
espessura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o material,
9x
8z
⋅ y ⋅ z1 = x ⋅ y ⋅ z ⇔ z1 =
, com z1 sendo a largura da
8
9
nova porta.
z
8
Portanto, a razão pedida é 1 = .
z 9
Aumentando-se em
34. (Enem 2014) De acordo com a ONU, da água utilizada
diariamente,
25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes.
33% são utilizados em descarga de banheiro.
27% são para cozinhar e beber.
15% são para demais atividades.
No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a
200 litros por dia.
O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por
pessoa, por dia, em algumas atividades.
Consumo total de água na
Atividade
atividade (em litros)
24,0
Tomar banho
18,0
Dar descarga
3,2
Lavar as mãos
2,4
Escovar os dentes
22,0
Beber e cozinhar
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no
quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades,
então economizará diariamente, em média, em litros de água,
a) 30,0. b) 69,6. c) 100,4. d) 130,4. e) 170,0.
Resposta: [C]
Sabendo que são gastos, em média, 200 litros por dia, e que para
as atividades que não estão relacionadas na tabela o gasto é de
0,15 ⋅ 200 = 30 litros, segue-se que o resultado pedido é dado
por
170 − (24 + 18 + 3,2 + 2,4 + 22) = 170 − 69,6
= 100,4.
35. (Enem 2014) A maior piscina do mundo, registrada no livro
Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar,
cobrindo um terreno de 8 hectares de área.
Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado.
Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo
terreno da piscina?
a) 8 b) 80 c) 800 d) 8.000 e) 80.000
Resposta: [E]
Sabendo que 1hm2 = 10.000 m2 , temos
8ha = 8hm2 = 8 ⋅ 10000 = 80.000 m2 .
9