MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ALUNO(A):
________________________________________________
SÉRIE(S): ___________ UNIDADE: _________________TURMA:
__________
AULA 01: PROPORÇÃO
1. Um quebra-cabeça de 100 peças mede 26 cm por 36 cm,
enquanto outro quebra-cabeça de 2.000 peças mede 48 cm
por 136 cm. Nessas condições,
a) calcule a razão entre a área média de uma peça do
quebra-cabeça de 100 peças e do quebra- cabeça de 2.000
peças, nessa ordem.
b) Se uma pessoa gastou 10 horas para montar o quebracabeça de 100 peças e 360 horas para montar o quebracabeça de 2.000 peças, calcule a diferença entre a
quantidade média de peças que ela colocou, por hora,
para montar cada um dos quebra-cabeças.
2. O tempo necessário para um veículo parar, em uma
situação de emergência, é, normalmente, calculado pela
soma de dois componentes: o tempo de reação do condutor
e o tempo de frenagem. O primeiro, considerado constante,
é o tempo médio decorrido desde o momento em que o
condutor percebe o obstáculo até o momento em que os
freios são acionados e entram em funcionamento. O tempo
de frenagem é o tempo que o veículo leva para parar depois
de acionados os freios, e é proporcional à velocidade do
veículo antes da frenagem (desaceleração constante).
Para determinadas condições padrão do veículo e da via, foi
construída uma tabela que informa o tempo necessário para
parar, dependendo da velocidade pela qual o veículo trafega.
Segundo essa tabela, a uma velocidade de 50 km/h, são
necessários 9 s para parar o veículo, enquanto, a 90 km/h,
são necessários 15 s.
De acordo com estes dados, determine qual é o tempo de
reação do condutor considerado e calcule a distância
percorrida pelo veículo, inicialmente com velocidade
constante de 90 km/h, do momento em que o condutor
percebe o obstáculo, até a parada do veículo.
3. Dois amigos decidem fazer uma caminhada em uma
pista circular, partindo juntos de um mesmo lugar,
percorrendo-a em sentido contrário, caminhando com
velocidades constantes, sendo que a velocidade de um deles
é igual a 80% da velocidade do outro. Durante a caminhada,
eles se encontraram diversas vezes. Determine qual é o
menor número de voltas que cada um deles deve dar para
que eles se encontrem novamente no ponto de partida.
4. Segundo uma reportagem publicada pelo jornal Folha de
S. Paulo (20/09/2009, p. C1), o Metrô de São Paulo
pretende trocar as escadas rolantes das suas estações,
substituindo as atuais, com velocidades fixas de 0,5 ou 0,65
m/s, por novos equipamentos com velocidade de até 0,75
m/s.
A reportagem ainda informa que, em uma escada de 15 m
com velocidade de 0,5 m/s, a capacidade de transporte em
uma hora é de 9000 pessoas, em média.
Uma das maneiras de aumentar a capacidade de transporte
em uma escada é reduzir o tempo do percurso, aumentando
a sua velocidade.
De acordo com estes dados, para que a capacidade de
transporte em uma escada de 15 m seja de 12780 pessoas
em uma hora, em média, calcule qual será o tempo gasto por
uma pessoa para subir essa escada.
5. Um paciente deve receber, por via intravenosa, uma
solução de soro glicosado, durante um período T em horas.
Sabendo-se que o volume de 1 mL corresponde a 20 gotas
de soro,
a) qual frequência em gotas por minuto deve ser
administrada, para que um volume de 900 mL de soro seja
aplicado durante 6 horas?
b) obtenha uma expressão que dê o número de gotas a serem
administradas, por minuto, em função do volume V de soro,
em mL, e do tempo T, em horas.
6. Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta
12 segundos. Uma segunda torneira gasta 18 segundos para
encher o mesmo recipiente. Nestas condições, para encher
um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao
mesmo tempo, serão necessários
a) 20 minutos.
b) 24 minutos.
c) 33 minutos.
d) 50 minutos.
e) 83 minutos.
7.
Em uma pesquisa sobre o analfabetismo em
matemática, foram entrevistadas 2000 pessoas, amostra que
representa 110 milhões de brasileiros entre 15 e 64 anos de
idade. Dentre os entrevistados, 60 foram considerados
analfabetos absolutos em matemática.
(Disponível em:
http://www.ipm.org.br/na_ind_inal_2.php, adaptado)
Com base nas informações do texto, calcule o número
estimado de brasileiros entre 15 e 64 anos, analfabetos
absolutos em matemática.
8. Uma certa marca de cereal em barra disponibiliza seu
produto nas versões normal e light, em caixas com três
barras de 25 g cada uma. Segundo a informação nutricional
do produto, cada 100 g da versão normal tem 100 calorias e
cada 100 g da versão light tem 80 calorias. Qual é a
diferença calórica entre uma barra normal e uma light?
9. Hoje, são fabricados veículos, denominados flex, que
podem ser abastecidos com gasolina e/ou com álcool. O
preço de um modelo flex é R$ 24.464,00 e o preço do
mesmo veículo convencional é R$ 22.000,00. Considere que
o consumo usando apenas álcool, no modelo flex, seja 30%
maior que o consumo de gasolina no veículo convencional
ou flex, e que o preço do litro de álcool seja 50% menor que
o preço do litro de gasolina. Quantos dias, no mínimo, serão
necessários para que um taxista recupere o valor pago a
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1
mais no modelo flex, usando apenas álcool, se ele gasta 40
litros de gasolina todo dia com preço de R$ 2,00 o litro?
a) 65
b) 77
c) 88
d) 90
e) 115
álcool e gasolina pura, presentes no combustível.
15. Analise o desenho.
10. Uma confeiteira deseja comprar 2,6 kg de achocolatado
em um supermercado, que é vendido em embalagens de 200
g, 400 g e 1 kg, a R$1,80, R$2,80 e R$6,80,
respectivamente. Quantas unidades de cada tipo de
embalagem ela deve comprar, para gastar o menor valor
possível?
11. Em uma maratona de 42 km, o ponto de saída coincide
com o de chegada. Os organizadores da prova definiram que
seriam montados pontos de apoio para que um maratonista,
que corre 5 m/s em média, encontrasse um desses pontos a
cada 10 minutos.
a) Quantos pontos de apoio serão montados se na
saída/chegada é montado um?
b) Qual a distância, em metros, entre dois desses pontos
consecutivos?
12. Um tonel contém 72 litros de uma mistura homogênea
de água e vinho, na proporção de 20% de água e 80% de
vinho. Após retirar-se um balde cheio dessa mistura e, em
seguida, completar-se o volume inicial do tonel com água
pura, constatou-se que a quantidade de água existente no
tonel é de 19,6 litros. Qual é a capacidade do balde?
13. Diz-se que duas grandezas positivas, x e y, são
diretamente proporcionais, quando existe uma função linear
f(x) = kx, com k > 0, chamada constante de
proporcionalidade, tal que y = f(x), para todo x > 0. De
modo análogo, diz-se que x e y são inversamente
proporcionais, quando existe uma função g(x) = c/x, com
c > 0, tal que y = g(x), para todo x > 0.
De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.
( ) ( ) Se y = g1(x) e z = g2(y) e os pares de grandezas
x, y e y, z são ambos inversamente proporcionais, então x e
z são grandezas diretamente proporcionais.
( ) ( ) Se y = f(x), com x e y sendo grandezas
diretamente proporcionais, e w = g(z), com z e w
sendo grandezas inversamente proporcionais, então o
quociente y/w e o produto xz formam um par de
grandezas diretamente proporcionais.
( ) ( ) Se x1, y1 e x2, y 2 são pares de grandezas
diretamente proporcionais, com a mesma constante de
proporcionalidade, então x2 y1 = x1 y2.
( ) ( ) A área a e o lado ℓ de um hexágono regular (a =
f(ℓ), para todo ℓ > 0) são grandezas diretamente
proporcionais.
14. Em uma amostra retirada de um tanque de combustível,
verifica-se que 1/7 é de álcool e o restante é de gasolina
pura. Sabendo-se que o total que havia no tanque era 2800
litros, determine a quantidade de cada uma das substâncias,
Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma
área de 1800 m2 , a escala numérica da planta é:
a) 1:10000
b) 1:1000
c) 1:100
d) 1:10
16. Uma pequena empresa foi aberta em sociedade por
duas pessoas. O capital inicial aplicado por elas foi de 30
mil reais. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos
que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em
partes proporcionais aos capitais por eles empregados. No
momento da apuração dos resultados, verificaram que a
empresa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa
constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que
correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do
capital por ele empregado na abertura da empresa.
Determine o capital que cada sócio empregou na abertura da
empresa.
17. Em uma rodovia, um motorista acionou o freio de seu
carro quando sua velocidade era de 80 km/h, percorrendo
ainda 60 m até parar completamente. Sabe-se que a
distância percorrida por esse veículo até parar é diretamente
proporcional ao quadrado da sua velocidade. Caso a
frenagem tivesse ocorrido num momento em que a
velocidade fosse de 120 km/h, antes de parar o veículo teria
percorrido
a) 135 metros.
b) 124 metros.
c) 95 metros.
d) 147 metros.
18. Uma caixa d'água pode ser abastecida por duas
bombas, A e B. Estando a caixa vazia, a bomba A leva 5
horas para enchê-la e a bomba B, 7,5 horas. Certo dia, às 7
horas da manhã, a caixa estava totalmente vazia e, naquele
momento, a bomba A foi ligada. Após 1,5 horas, ligou-se
também a bomba B, permanecendo as duas ligadas até
encher completamente a caixa. Considerando que no
período em que as bombas estavam ligadas, não houve
nenhuma saída de água da caixa, a que horas as bombas
terminaram de encher totalmente a caixa?
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2
Portanto, a distância percorrida pelo veículo, do momento
em que o condutor percebe o obstáculo, até a parada do
veículo é igual a 37,5  168,75  206,25 m.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) A área média de uma peça do quebra-cabeça de 100
26  36 234
peças é

cm2 . A área média de uma peça
100
25
do quebra-cabeça de 2.000 peças é
48  136 408

cm2 .
2000
125
234
195
Portanto, a razão pedida é igual a 25 
.
408
68
125
100
 10 peças por hora no quebra10
2000 50
cabeça de 100 peças e
peças por hora no

360
9
quebra-cabeça de 2.000 peças. Logo, o resultado pedido é
50 40
10 

.
9
9
b) A pessoa colocou
Resposta da questão 2:
Sejam fi e r, respectivamente, o tempo de frenagem
correspondente à velocidade vi e o tempo de reação.
De acordo com as informações, temos f1  r  9 e
f2  r  15. Logo, f2  f1  6. Por outro lado, como
fi  k  vi, sendo k a constante de proporcionalidade, vem
k  90  k  50  6  k 
3
.
20
Resposta da questão 3:
Sejam v1 e v2 as velocidades dos dois amigos.
4
v 2. Se t1 e t 2
5
denotam os tempos que os dois amigos levam para dar uma
volta completa, segue que:
t
4
v1  t1  v 2  t 2  v 2  t1  v 2  t 2  2  .
t1 5
Suponhamos que v1  80%  v 2 
Seja T o tempo que os dois amigos levam para se encontrar
no ponto de partida pela primeira vez. É imediato que
T
T
n1 
e n2  , sendo n1 e n2 o número inteiro de
t1
t2
voltas dadas por cada um dos amigos. Assim,
n1 t 2 4
   n1  4 e n2  5.
n2 t1 5
Portanto, o mais lento deverá dar 4 voltas, enquanto que o
mais rápido deverá dar 5 voltas.
Resposta da questão 4:
Se a capacidade de transporte da escada é diretamente
proporcional à sua velocidade, isto é, c  k  v, com k
sendo a constante de proporcionalidade,
temos: 9000  k  0,5  k  18.000. Daí, para
c  12.780, vem: 12780  18000  v  v  0,71m s.
Portanto, o tempo gasto por uma pessoa para subir essa
15
 21,13 segundos.
escada é dado por:
0,71
Resposta da questão 5:
a) 50 gotas por minuto.
Assim, encontramos
b) V/(3T) gotas por minuto.
3
 50  r  9  r  1,5 s.
20
O espaço percorrido pelo veículo durante o tempo de reação
é dado por
90
 1,5  37,5 m.
3,6
Considerando que o veículo se desloca a uma velocidade de
90
90km h 
 25m s, seu tempo de frenagem é igual a
3,6
15  1,5  13,5 s. Logo, sua desaceleração é igual a
25
m s2 e, dessa forma, o espaço percorrido até parar,
13,5
em movimento retilíneo uniformemente retardado, é tal que
02  252  2 
25
25  13,5
 ΔS  ΔS 
13,5
2
 ΔS  168,75 m.
Resposta da questão 6:
[B]
Resposta da questão 7:
3.300.000 pessoas
Resposta da questão 8:
5 calorias
Resposta da questão 9:
[C]
Resposta da questão 10:
duas embalagens de 1kg, uma embalagem de 400g e uma
de 200g.
Resposta da questão 11:
a) 14
b) 3.000 metros
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3
Resposta da questão 12:
6,5 litros
Resposta da questão 13:
VVVF
Resposta da questão 14:
Álcool: 400ℓ
Gasolina: 2400ℓ
Resposta da questão 15:
[B]
Área da quadra A na planta em m2:
0,06  0,03  18  104 m2
Razão entre as áreas:
18  10 4
 10 6
1800
Logo, a escala será dada por:
106  103 
1
.
1000
Resposta da questão 16:
Sejam C1 e C2, respectivamente, os capitais investidos
pelos dois sócios.
Logo,
C1  C2  30000.
Além disso, sabemos que os lucros L1 e L2 são
proporcionais aos capitais investidos. Então,
L1 L2
L L
L
L
5000

 1 2  1
 1  C1  6L1.
C1 C2
C1  C2 C1
30000 C1
Como um dos sócios efetuou uma retirada de 14 mil reais,
correspondente ao capital investido mais a parte que lhe
cabia do lucro total, segue que:
C1  6L1
L  2000
 1
.
C1  L1  14000
C1  12000
Portanto,
L2  5000  2000  3000
C2  30000  12000  18000
,
ou seja, os capitais investidos foram R$ 12.000,00 e
R$ 18.000,00.
Resposta da questão 17:
[A]
Resposta da questão 18:
10 horas e 36 minutos
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