CONTROLE FEEDFORWARD ADAPTATIVO ATRAVÉS DE ESTIMAÇÃO DE
AMPLITUDE PARA UMA MÁQUINA ELETROMECÂNICA DE ENSAIO DE
FADIGA
Alessandro Santos de Lima∗, Diego Pereira-Dias∗, Alessandro Jacoud Peixoto†, Liu Hsu†
∗
LNDC/COPPE/UFRJ
Av. Pedro Calmon, s/n, Rio de Janeiro, RJ, Brasil
†
Programa de Eng. Elétrica , COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil
Emails: [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Abstract— This paper presents the design of an adaptive feedforward controller in order to enlarge the range
of applicability of the sinusoidal waveform force signals for an electromechanical fatigue testing machine. Once
the feedforward term depends on uncertain parameters of the system, identification or adaptation are required.
As the main objective is to guarantee a given precision for the output force waveform, an efficient method to
measure the sinusoid amplitude continuously is needed. The key idea is to use a second order linear filter based
on an adaptive notch frequency estimator. A Hammerstein dynamic model was established relating the most
relevant feedforward parameter and the estimated waveform amplitude. Based on this model, an adaptive control
law is proposed and then theoretically justified. The resulting controller was successfully tested by simulation
and real experiments.
Keywords—
Adaptive feedforward; amplitude estimation; fatigue testing machines, Hammerstein model
Resumo— Este artigo apresenta o projeto de um controle antecipatório adaptativo (adaptive feedforward)
para ampliar a faixa de frequência de aplicabilidade de uma máquina eletromecânica de testes de fadiga visando
ensaios em que a força aplicada ao corpo de prova apresente forma de onda senoidal. Como o termo antecipatório
(feedforward) envolve parâmetros incertos da planta, a identificação paramétrica ou adaptação se mostra necessária. Como o objetivo principal é garantir a precisão do sinal de força aplicado à amostra de teste, é necessário
dispor de um método para estimar continuamente a amplitude da onda de força gerada. A ideia mestra para tal
foi utilizar um filtro linear de segunda ordem inspirado de um conhecido estimador de frequência por filtro notch.
Um modelo de Hammerstein foi estabelecido relacionando o parâmetro mais relevante do termo f eedforward com
a amplitude da senoide de força estimada. Com este modelo, propôs-se então uma lei de adaptação teoricamente
justificada. A validade do método foi verificada tanto por simulação como experimentalmente.
Palavras-chave—
1
feedforward adaptativo; estimação de amplitude; ensaio de fadiga, modelo de Hammerstein
Introdução
O projeto de máquinas e estruturas requer conhecimento das propriedades dos materiais a serem
utilizados no projeto (de Lima, 2014; Pereira-Dias
et al., 2013; Callister, 2010). Quando estes materiais são submetidos a diferentes tipos de carregamentos, podem ocorrer eventuais falhas, principalmente devido a fadiga. Desta forma a necessidade
de caracterizar sistematicamente as propriedades
dos materiais fomentou a indústria a investir no
desenvolvimento de máquinas de ensaio de fadiga
capazes de aplicar carregamentos cı́clicos a um
corpo de prova (CP) de um dado material, com
geometria padronizada, assegurando uma tolerância de precisão reduzida (ASTM-E647-08, 2008) –
erro máximo de 2% tanto com relação à força máxima desejada quanto em relação à amplitude de
pico-a-pico do perfil de força desejado.
Em particular, o Laboratório de Ensaios NãoDestrutivos, Corrosão e Soldagem da Universidade do Rio de Janeiro (LNDC/COPPE/UFRJ)
está desenvolvendo máquinas de ensaio, inclusive
para ensaios em meio corrosivo (ensaios corrosãofadiga). Para isso, deve dispor de sensores adequados e algoritmos de alto desempenho capazes
de realizar os ensaios durante longos perı́odos de
tempo (de Lima, 2014).
O desenvolvimento de máquinas para ensaios
de fadiga iniciou-se com o aprimoramento das técnicas de controle para atuadores servo-hidráulicos
pois apresentam alta resistência mecânica e durabilidade (Pereira-Dias, 2014; Jelali and Kroll,
2003; Merritt, 1967). Esquemas baseados em observador e um controlador backstepping foi proposto em (Nakkarat and Kuntanapreeda, 2009),
enquanto o controle por aprendizado neuro-fuzzy,
armazenando os pontos ótimos de reversão para
aumentar a frequência máxima de ensaio, foi explorado em (Sánchez et al., 2012). Uma alternativa recente de controle foi proposta em (PereiraDias et al., 2014) onde a amplitude e o nı́vel médio
da força no CP foram estimados por um método
baseado em modulação/demodulação, reduzindo
o problema de rastreamento a dois subproblemas
de regulação. Apesar dos resultados satisfatórios,
a técnica requer o conhecimento da fase da onda
medida.
Buscando uma solução alternativa às máquinas comerciais eletromecânicas de elevado custo
e às máquinas hidráulicas de difı́cil controle, o
LNDC construiu uma máquina eletromecânica
para ensaios de fadiga de baixo custo e acionada
por um motor elétrico rotativo. Esta máquina foi
explorada em (de Lima, 2014), utilizando uma técnica de controle clássico (realimentação com ação
antecipatória) e técnicas de controle por aprendizagem (que exploram a natureza repetitiva do
perfil de força desejado). Todavia, ambas as técnicas apresentaram limitações: a primeira devido
à necessidade de uma identificação precisa dos parâmetros da planta e as demais devido a complexidade dos algoritmos de controle por aprendizagem.
Neste trabalho, mantendo a simplicidade do
esquema de controle e um assegurando rastreamento aceitável do perfil de força, dentro das normas dos ensaios de fadiga, na presença de incerteza paramétrica citadas acima, a lei de controle
clássica baseada em realimentação (feedback ) e
ação antecipatória (feedforward ), introduzida em
(de Lima, 2014), foi modifica por meio da adaptação de um parâmetro chave da parcela antecipatória da lei de controle: a estimativa do ganho de
alta frequência da planta. A adaptação é função
de uma estimativa da amplitude de oscilação do
sinal de força aplicado ao CP, obtida por um filtro
linear de segunda ordem inspirado no estimador de
frequência por filtro notch de (Hsu et al., 1999).
Os resultados experimentais ilustram a eficácia da
estratégia de controle apresentada e permite ensaios em frequências mais elevadas do que no caso
não-adaptativo.
2
Formulação do Problema
A máquina eletromecânica para ensaio de fadiga
é composta basicamente por um motor elétrico
de corrente contı́nua sem escovas (brushless) e
pelo seu respectivo acionador de potência (driver ),
ver Fig. 1(A), que aplicam um carregamento ao
corpo de prova. Uma transmissão tipo parafuso de
rosca sem fim converte o movimento rotacional em
movimento translacional (direção vertical), como
ilustrado na Fig. 1(B). A extremidade do segundo
eixo (translação) é então conectada a um corpo de
prova (CP), Fig. 1(D), por meio de garras e pinos.
O deslocamento no eixo vertical, portanto, fornece
a compressão ou a tração do CP, resultando num
sinal de força o qual é medido através de uma célula de carga (Fig. 1 (C)).
O objetivo da máquina de teste de fadiga é
aplicar um perfil temporal de força de tração desejada yd (t) com forma de onda senoidal do tipo:
yd (t) = ad sen(ωt) + bd ,
ω = 2πf ,
(1)
sendo f a frequência, ad a amplitude e bd o valor
médio. Para atingir a precisão desejada, é necessário projetar uma lei de controle de força adequada
mesmo na presença de incertezas e variações de
caracterı́sticas mecânicas do CP.
Figura 1: Interligação dos componentes da máquina
eletromecânica para ensaio de fadiga.
2.1
Modelagem do Sistema
O acionador de potência inclui uma malha interna
de controle de velocidade angular (θ̇) suficientemente rápida de modo que a relação entre a tensão aplicada e a velocidade angular pode ser modelada por uma função de transferência de primeira ordem com pequena constante de tempo τ
e ganho k1 . Obviamente, a integral da velocidade angular resulta na posição angular do motor (θ). Desprezando-se as não-linearidades provenientes das engrenagens do sistema de transmissão/redução (por exemplo, folgas de engrenagem – backlash), pode-se considerar que o deslocamento angular (θ) e o deslocamento linear vertical (x) estão relacionados linearmente por meio
de uma constante de proporcionalidade (k2 ). Por
fim, desde que o CP esteja dentro do regime linear elástico, o mesmo pode ser modelado como
uma mola ideal com constante de elasticidade k3 ,
conferindo também uma relação linear entre força
(y) e posição (x). Sendo assim, o sistema pode ser
representado pelo seguinte modelo linear:
τ ÿ + ẏ = km u ,
(2)
sendo km = k1 k2 k3 , a tensão elétrica da armadura
do motor (u) considerada como sinal de controle
(variável manipulada) e a força (y) aplicada ao
CP como sinal de saı́da do sistema (variável controlada).
3
Lei de Controle para Rastreamento
com F eedforward
Notando que a planta em malha aberta apresenta
um polo estável e outro na origem (integrador),
um simples controlador proporcional estabiliza o
sistema em malha fechada. Entretanto, a dificuldade é assegurar o rastreamento da trajetória
com uma dada precisão desejada. Para tal, um
termo antecipatório (feedfoward ) torna-se necessário. Conforme será visto em seguida, tal termo
depende da primeira e segunda derivadas temporais da trajetória desejada.
Considerando o erro de rastreamento como
sendo e = y − yd , em que yd é o sinal de referência de força, as derivadas temporais de e são
dadas por ė = ẏ − y˙d e ë = ÿ − y¨d . Portanto,
somando e subtraindo τ ÿd + ẏd o sistema descrito
em (2) pode ser reescrito como:
τ (ÿ − y¨d ) + (ẏ − y˙d ) + τ y¨d + y˙d = km u(t) . (3)
Consequentemente, a dinâmica do erro de rastreamento é dada por:
τ ë + ė + τ y¨d + y˙d = km u(t) .
(4)
Agora, considerando a lei de controle
u(t) =
−v
+ uf f ,
km
(5)
com termo antecipatório (feedforward)
uf f (t) =
τ y¨d + y˙d
,
km
(6)
a equação do erro é dada por
τ ë + ė + v = 0,
(7)
sendo v um sinal de controle auxiliar (feedback). É
evidente que uma simples realimentação proporcional v = kp e é suficiente para fazer com que o
erro tenda assintoticamente para zero, regido por
uma dinâmica de um sistema de segunda ordem.
O ajuste do ganho kp pode ser feito por métodos convencionais que assegurem banda passante
e transitório adequados.
Note-se que para baixas frequências de yd ,
as derivadas temporais podem ser desprezadas o
que torna o termo antecipatório (6) dispensável.
Os resultados simulados e experimentais desta lei
de controle confirmam essa conjectura para baixas frequências. Na realidade, uma simples realimentação proporcional atende às especificações
de projetos para frequências até 1Hz, apesar das
imperfeições no rastreamento causadas pelas nãolinearidades envolvidas. Entretanto para frequências superiores, as especificações de precisão são
violadas. Além disso, nos testes de fadiga é imperativo que não ocorra overshoot. Desse modo, não
é possı́vel tentar reduzir o erro de rastreamento
por aumento do ganho kp além de um certo valor
limite. Para frequências mais altas, a utilização
do termo antecipatório (6) permite, em tese, evitar esse problema e atingir a precisão de controle
desejada.
É bem conhecido da literatura clássica de controle que para se atingir a precisão de rastreamento desejada o controle antecipatório requer o
conhecimento dos parâmetros do sistema. No presente caso, os parâmetros incertos são km e τ .
Pequenos erros na identificação destes parâmetros
podem levar a erros superiores aos limites permitidos, sobretudo para km , pois τ pode ser identificado mais facilmente além de se manter praticamente constante. Além disso, o valor de km
é função das caracterı́sticas do corpo de prova e
do tamanho de sua trinca (crescente ao longo de
um ensaio). Logo, o parâmetro km apresenta variações no decorrer de um mesmo ensaio ou entre diferentes ensaios. Assim sendo, visando-se a
utilizar toda a faixa de frequências atingı́vel pela
máquina de ensaio de fadiga, é conveniente introduzir uma forma de adaptação do controle diante
da incerteza de km .
4
Feedforward Adaptativo para Redução
do Erro de Amplitude
Uma implicação direta do erro de estimação de
km é a atenuação ou amplificação da amplitude
da senoide de saı́da com relação à onda de referência, além de introdução de erro de fase. Caso o
valor estimado (k̂m ) seja maior do que o valor de
km , o sistema responde com uma onda atenuada,
ao passo que valores subestimados de k̂m resultam
em ondas de saı́da com amplitudes amplificadas.
Como já foi enfatizado, o sobrepasso na amplitude
da onda de saı́da é inaceitável pois poderia acarretar na plastificação mecânica do CP, violando o
regime elástico do material. Assim, uma estratégia natural é iniciar a estimativa de km com valores altos e a partir destes valores fazer com que
k̂m convirja para km .
É claro que para controlar a amplitude do
sinal de força é necessário medir a amplitude
da onda de resposta da planta. Em (PereiraDias et al., 2014) é proposta uma forma de medição de amplitudes de senoides por modulação/demodulação. Apesar dos resultados positivos, esta técnica requer o conhecimento da fase
da onda medida.
Para evitar essa dificuldade e obter a amplitude de modo contı́nuo (on-line) tiramos proveito
do estimador de frequência de uma onda senoidal
baseado em um filtro notch. Em (Hsu et al., 1999),
o estimador de frequência é um filtro não linear
de 3a ordem. Neste trabalho, sendo a frequência
da senoide conhecida, apenas um filtro linear de
segunda ordem é necessário para estimar a amplitude de uma senóide de frequência dada de maneira contı́nua. Esse método de medição é uma
das inovações do presente trabalho e se mostrou
bastante adequado para atingir nossos objetivos
de adaptação do parâmetro km .
Cabe salientar que a solução para rastreamento baseada em controle adaptativo com ação
antecipatória é uma solução clássica da literatura
de Controle Adaptativo (Butler, 2013). Embora
pareça possı́vel utilizar a abordagem clássica de
controle adaptativo utilizando (5)-(6), fixando kp
e aplicando adaptação paramétrica para a lei de
antecipatória, optou-se por uma adaptação direta
uf f (t) =
τ y¨d + y˙d
k̂m (t)
,
(8)
sendo k̂m a estimativa de km obtida no que segue.
4.1
Estimador de Amplitude
Para estimar continuamente a amplitude da senóide de saı́da (força), propõe-se utilizar o filtro
notch adaptativo de (Hsu et al., 1999) dado por:
ẍ1 + 2ζθẋ1 + θ2 x1 = η,
(9)
θ̇ = −γx1 (η − 2ζθẋ1 ),
(10)
sendo η = asin(ωt) o sinal senoidal a ser identificado com amplitude a (por simplicidade a fase é
suposta nula) e frequência ω, θ a frequência estimada, x1 a saı́da do estimador e ζ e γ parâmetros
de projeto que determinam o amortecimento e a
velocidade de adaptação do estimador, respectivamente.
Como no presente problema a frequência é conhecida (θ = ω), a amplitude pode ser estimada
em regime permanente apenas pela primeira parte
do filtro que é descrita pela seguinte realização
canônica:
ẋ1
= x2 ,
(11)
ẋ2
= −ω 2 x1 − 2ζωx2 + η .
(12)
(controle proporcional com o feedforward) entre
este ganho estimado k̂m do termo feedforward e a
estimativa â da amplitude do sinal de força aplicada ao CP.
Primeiramente o sinal do sensor de força é
aplicado ao filtro (11)-(12), entrada η do filtro.
A amplitude é então estimada continuamente de
acordo com (13). Então, modificando k̂m em (8)
por meio de uma sequência de degraus decrescentes obtém-se a resposta da Fig. 2, que sugere um
comportamento semelhante ao de um sistema de
primeira ordem, porém com ganho variável a cada
degrau aplicado. Logo, fica aparente que um modelo razoável é o modelo de Hammerstein, conforme ilustra o diagrama de blocos da Fig. 3. E
pela redução das variações da amplitude em resposta aos degraus conclui-se facilmente que a função Φ é monotonicamente decrescente e tende a
um valor mı́nimo quando k̂m tende a infinito. De
fato, nesse caso a compensação feedforward deixaria de existir, o que deixaria um erro de amplitude correspondente ao controlador proporcional
sem feedforward.
5500
Amplitude Medida (N)
baseada na estimativa k̂m . Um estudo comparativo entre essas abordagens é assunto para pesquisa futura. O termo antecipatório da lei de controle passa a ser redefinido por:
4500
4000
3500
3000
2500
2000
Note que a função de transferência de η para x1 é
dada por G1 (s) = 1/(s2 + 2ζωs + ω 2 ). Portanto, o
atraso de fase em regime permanente com respeito
à entrada η = asin(ωt) é de −π/2, ou seja, x1
pode ser representado na forma x1 = −αcos(ωt)
em regime permanente, sendo α o ganho de G1 (s)
na frequência de entrada ω. Com isso, em regime
permanente, tem-se que x2 = ẋ1 = αωsin(ωt) e
ẋ2 = αω 2 cos(ωt) = −ω 2 x1 . Sendo assim, considerando (12) em regime permanente, a amplitude
da entrada senoidal é então estimada por:
q
(13)
â = 2ζω 2 x21 + (x2 /ω)2 .
Obviamente, â → a quando o filtro (11)-(12) tende
para o regime permanente, o que introduz um
certo atraso na estimativa.
4.2
Modelo de Hammerstein: Ganho k̂m do
Termo Antecipatório × Estimativa da Amplitude da Força â
Como o ganho km do sistema é incerto, podendo
até variar lentamente com o tempo, utiliza-se
um ganho estimado k̂m no termo feedforward (8)
no lugar de km . Pretende-se obter um modelo
que descreva o comportamento em malha fechada
k^m
a^
5000
0
10
20
30
40
Tempo (s)
50
60
Figura 2: Resultado de simulação. Resposta ao degrau em malha fechada (controle proporcional com o
feedforward) entre o sinal k̂m do termo feedforward (8)
e a estimativa â da amplitude do sinal de força (13).
k̂m
Φ(·)
1
τA s + 1
â
Figura 3: Modelo de Hammerstein em malha fechada
(controle proporcional com o feedforward) entre o sinal k̂m do termo feedforward (8) e a estimativa â da
amplitude do sinal de força (13).
4.3
O Algoritmo de Adaptação
Pretende-se adaptar em tempo real o ganho k̂m
de (8) de modo que a amplitude de força desejada seja produzida pela máquina eletromecânica.
A adaptação de k̂m (“identificação” de km ) é simplesmente obtida pela seguinte lei integral do erro
de amplitude:
˙
k̂m = KI (ad − â) ,
KI > 0 ,
(14)
sendo kI uma constante de projeto. A prova
completa de estabilidade do sistema em malha
5
Simulações
A prova de estabilidade para o algoritmo de adaptação da lei de controle encontra-se no Apêndice A. Entretanto, foram de grande utilidade
as simulações numéricas para verificar o desempenho das respostas transitórias do controlador.
Além disso, não dispondo ainda de um método
sistemático de sintonia do controlador, as simulações permitem ajustar previamente os parâmetros
através de tentativa e erro. O pacote Simulink do
Matlab foi o ambiente escolhido para realizar as
simulações necessárias.
Como já foi observado anteriormente, o valor
de k̂m0 deve ser bem superior ao valor real de km a
fim de assegurar que a amplitude da resposta (a)
inicie com valores atenuados com relação a amplitude de referência (ad ). Assim, valendo-se do
valor de km obtido no processo de identificação
da planta (em torno de 7000), decidiu-se utilizar
k̂m (0) = 20000, ou seja, cerca de três vezes o valor
identificado.
As Figuras 4 e 5 apresentam os gráficos da
convergência da estimação da amplitude. Os gráficos correspondem à adaptação de amplitude nas
frequências de 1 e 10Hz, respectivamente. Como
se pode observar, a convergência de amplitude é
assegurada em ambos os casos, ratificando a aplicabilidade da lei adaptativa desenvolvida para as
frequências de 1 a 10Hz.
3000
Amplitude (N)
2500
a ref.
2000
a medido
1500
1000
500
2500
a ref.
a medido
2000
Amplitude (N)
fechada, com o modelo de Hammerstein estabelecido experimentalmente, será conduzida por
meio do critério de Popov e pelo Critério do
Cı́rculo(Khalil, 2002), conforme demonstrado no
Apêndice A.
1500
1000
500
0
0
5
10
15
20
25
Tempo (s)
Figura 5: Resultados de simulação. Estimação da
amplitude do sinal de força: senoide de 10Hz.
também implementado nos experimentos com a
planta real. O valor de 5s para o acionamento da
chave foi suficiente para evitar o transitório em
toda faixa de frequência na qual as simulações foram realizadas (1 a 10Hz).
6
Resultados
Para implementação dos controladores aqui desenvolvidos, foi utilizada a linguagem de programação
LabView e o equipamento CompactRIO (Reconfigurable Input-Output), fabricado pela National
Instruments. Este dispositivo permite a programação de laços de controle utilizando tanto a tecnologia tempo real (Real Time – RT ) como FPGA
(Field Programmable Gate Array). Com a utilização desta última, laços de controle de até 20kHz
puderam ser implementados, permitindo a execução de leis de controle com alto desempenho.
Conforme pode ser observado na Fig. 6, o
rastreamento da senoide de força de frequência de 3.5Hz apresenta desempenho satisfatório
em regime, validando o método adaptativo para
frequências superiores a 1Hz. A Figura 7 demonstra o efeito da adaptação no rastreamento. Para
frequências superiores a 3.5Hz, o sinal de controle
apresentou saturação (fora da faixa ±10V ), o que
compromete o desempenho do rastreamento.
0
0
5
10
15
20
Tempo (s)
25
30
35
40
8000
ad
â
Figura 4: Resultados de simulação. Estimação da
amplitude do sinal de força: senoide de 1Hz.
Cabe ressaltar que o estimador de amplitude
apresenta um transitório inicial inaceitável para
aplicação direta no sistema real. Para evitar os
efeitos nocivos de tal transitório, foi adicionada
uma chave liga/desliga na ação de adaptação, que
permite aplicar o resultado da adaptação somente
após um tempo de espera (dwell-time) conveniente, estabelecido por meio de simulação, evitando
assim que a planta seja submetida a esse transitório inicial indesejável. Tal procedimento foi
Amplitude (N)
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
5
Tempo (s)
10
15
Figura 6: Resultados experimentais. Estimação da
amplitude do sinal de força: senoide de 3.5Hz.
Força Dejseda, Força Medida (N)
Jelali, M. and Kroll, A. (2003). Hydraulic Servo-systems:
modelling, identification, and control, Springer, London
New York.
yd
11000
y
10000
Khalil, H. (2002). Nonlinear systems, Prentice Hall, Upper
Saddle River, N.J.
9000
Merritt, H. E. (1967). Hydraulic Control Systems, John Wiley
& Sons, Inc., New York, USA.
8000
7000
Nakkarat, P. and Kuntanapreeda, S. (2009). Observer-based
backstepping force control of an electrohydraulic actuator, Control Engineering Practice 17(8): 895–902.
6000
5000
0
5
Tempo (s) 10
15
Figura 7: Resultados experimentais. Rastreamento
de força: senoide de 3.5Hz.
7
Conclusões
Um controlador antecipatório adaptativo (adaptive feedforward ) foi desenvolvido para ampliar a
faixa de frequência de aplicabilidade de uma máquina eletromecânica de testes de fadiga, considerando sinais de força com forma de onda senoidal aplicados ao corpo de prova. Adaptação
paramétrica se mostrou necessária tendo em vista
a incerteza da constante da mola que representa
a rigidez do corpo de prova. Tal adaptação foi
realizada com base na estimação contı́nua da amplitude da onda de força produzida sobre o corpo
de prova. Para tal estimativa foi utilizado um filtro de segunda ordem inspirado em um estimador
de frequência por filtro notch, desenvolvido anteriormente.
Com base nos resultados de simulações e experimentos realizados conclui-se que a estratégia
proposta é viável para ser utilizada em máquinas de ensaio de fadiga, obedecendo a restrição
rigorosa de que a força real aplicada seja mantida dentro da faixa de ±2% de variação em torno
da força desejada. Os testes experimentais satisfizeram tais especificações de ensaio para perfis de
força com forma de onda senoidal com frequências
variando de 1Hz a 3.5Hz e amplitudes de 2500N a
10kN.
Agradecimentos
Ao Laboratório de Ensaios Não-Destrutivos, Corrosão e Soldagem (LNDC/COPPE/UFRJ), CNPq e FAPERJ pelo apoio
financeiro dado.
Referências
ASTM-E647-08 (2008).
ASTM E647-08 – Standard Test
Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates,
Annual Book of ASTM Standards, ASTM International
Standard.
Butler, H. (2013). Adaptive feedforward for a wafer stage in
a lithographic tool, IEEE Transactions On Control Systems Technology 21(3): 875–881.
Callister, W. D. (2010). Materials science and engineering :
an introduction, John Wiley & Sons.
de Lima, A. S. (2014). Iterative Learning Control and Repetive Control for Fatigue Testing Machines, Master thesis, Programa de Engenharia Elétrica - Federal University
of Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
Hsu, L., Ortega, R. and Damm, G. (1999). A globally convergent frequency estimator, IEEE Trans. Automat. Contr.
44(4): 698–713.
Pereira-Dias, D. (2014). Modeling, Identification, Simulation
and Control of Hydraulic Actuated Fatigue Testing Machines, Master thesis, Programa de Engenharia Elétrica Federal University of Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ,
Brasil.
Pereira-Dias, D., Costa, R. R. and Peixoto, A. J. (2013). Control of hydraulic actuated fatigue testing machines, 22nd
Internation Congress of Mechanical Engineering (COBEM2013), ABCM, Ribeirão Preto, SP, Brazil, pp. 9370–
9381.
Pereira-Dias, D., Peixoto, A. J. and Costa, R. R. (2014).
Modelling, identification and control positioning system
of hydraulic actuated fatigue testing machine (in portuguese), XX Congresso Brasileiro de Automática, SBA,
Belo Horizonte, MG, Brazil, pp. 859–866.
Sánchez, E. C. M., Alva, J. G. C., Meggiolaro, M. A., de Castro, J. T. P. and Topper, T. H. (2012). Learning control
and neuro-fuzzy learning control to increase the frequency
of fatigue tests, ABCM Symposium Series In Mechatronics, Vol. 5, ABCM, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, pp. pp.
231–244.
A
Prova de Estabilidade do Sistema em Malha
Fechada com o Modelo de Hammerstein
As equações diferencias que governam o sistema em malha fechada são dadas por:
(
â˙ = τ−1 â − τ1 Φ(σ) ,
A
A
(15)
σ̇ = KI (ad − â) .
sendo que σ denota a estimativa k̂m , para simplificar a apresentação (ver Fig. 8).
ad
Σ
−e
KI
s
σ
Φ( σ )
u
1
τA s + 1
â
−
Figura 8: Diagrama de blocos da malha fechada usando lei
de adaptação integral (14) e modelo de Hammerstein entre as
estimativas k̂m (= σ) e â.
Portanto, a dinâmica do erro de amplitude e = â − ad ,
com ad constante pode ser descrita da seguinte forma:
ė
=
1
−1
e−
[Φ(σ) − ad ] .
τA
τA
(16)
Definindo-se, σ̃ := σ −km e Φ2 (σ̃) := Φ(σ̃ +km )−Φ(km ),
tem-se que Φ2 (0) = 0 e que Φ2 (·) é uma não-linearidade estática que pertence ao segundo e quarto quadrante, ou seja Φ2 ∈
(0, −kΦ ), com kΦ > 0. Portanto, lembrando que Φ(km ) = ad ,
nas novas coordenadas tem-se que : ė = τ−1 e − τ1 Φ2 (σ̃) e
A
A
e σ̃ T , o sistema
σ̃˙ = σ̇ = −KI e. Além disso, para x :=
do erro em malha fechada pode ser representado por:
−1/τA
0
1/τA
ẋ =
x+
Φ2 (x2 ) ,
(17)
−KI
0
0
0 1 x.
x2 =
(18)
Interpretando pelo domı́nio da frequência tem-se a seguinte
KI
função de transferência auxiliar Gp (s) = s(τ s+1)
. Note-se
A
que Φ2 ∈ (0, −kΦ ) está no setor negativo, logo KI deve ser
negativo também. Pelo Critério de Popov conclui-se a estabilidade global assintótica, se Φ(·) for independente do tempo
(Khalil, 2002). Todavia, pelo Critério do Cı́rculo pode-se ainda
considerar Φ(·) variante no tempo, por exemplo, quando a
constante elástica do corpo de prova varia com o crescimento
da trinca. Nesse caso, como o diagrama de Nyquist de Gp
está contido à direita da reta vertical passando por −τ.KI ,
devemos ter KI < 1/(kΦ τ ).