Questões abertas matemática – Professor Clístenes Cunha.
Logaritmo

log 2  x  2 y   log3  x  2 y   2
1-Se (xo,yo) é uma solução real do sistema: 
2
2

x  4 y  4
. Então xo + yo é
igual a:
2-Qual o valor de "x" na equação log 2 x  log3 x  log 4 x  1 ?
3-O ph do sangue humano é calculado por PH = log
Se essa moralidade for dada por .
desse PH?
1
, sendo x a molaridade em íons de H3O.
x
elevado a -8 e, adotando log 2= 0,30 qual será o valor
4-(Unicamp SP-01) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes
pelas funções A(t) = log8 (1 + t)6 e B(t) = log 2 (4t + 4), onde a variável t representa o tempo em
anos.
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7 ?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra.
Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é
maior a partir desse instante.
Gab.: A(1) = 2.000 habitantes, A(7) = 6.000 habitantes, B(1) = 3.000 habitantes e B(7) = 5.000
habitantes, e t = 3 anos e A(t)  B(t) para todo t  3 anos.
5-(UFG GO-98) Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado,
t )
aproximadamente, pela função S(t) = 1000 log (1
, onde t é o número de anos e S o número de
2
sapatos produzidos, contados, a partir do início de atividade da indústria. Determine: Gab: 1000
pares e 7 anos
a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividades da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.
6-(UERJ RJ-05) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas
favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita
que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. Gab: 1.265.000
habitantes e x = 1,127
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de
habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano.
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t , medido em anos. Se
t
1
determine o valor de x.
log x
7-(UFRRJ RJ-06) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na cidade de Palmeirópolis
constatou-se que a função que descreve esse crescimento em metros, após t anos, é
f (t )  3log2 (2t  1) . Quantos anos são necessários para que uma determinada palmeira atinja 27
metros de altura? Gab: 4,5 (quatro anos e meio)
8-(Unesp SP-06) A função p(t )  9 
8
expressa, em função do tempo t (em
1  12  3 (0,1)t
anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir
de 1950 (t  0) . Um esboço do gráfico dessa função, para 0  t  80 , é dado na figura.
a) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12
milhões de habitantes. (Use as aproximações log3 2  0,6 e log3 5  1,4 .)
b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. Com base no
gráfico, para 0  t  80 , admitindo que p(80) 17 , dê o conjunto solução da inequação
p(t )  15 e responda, justificando sua resposta, para quais valores de k a equação p(t) k
tem soluções reais.
Gab:
a) no ano 1968
b) 9,61 milhões de habitantes ; Com base no gráfico, o conjunto solução de p(t )  15 é
S  [32; 80] . De acordo com o gráfico, a equação p(t )  k tem soluções reais para
p(0)  k  p(80)  9,61  k  17 , aproximadamente, em milhões de habitantes.
Questões abertas matemática – Professor Clístenes Cunha.
Progressões
1-(UFBA) Considere a P.A. de razão "r" , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a 22 = k,
determine
10k  r
.
320
2-Uma dívida no valor de R$ 4200,00 deve ser paga em 24 prestações mensais em progressão
aritmética (P.A). Após o pagamento de 18 prestações, há um saldo devedor de R$ 1590,00.
Qual o valor da primeira prestação?
3-A soma de todos os inteiros compreendidos entre 30 e 200 que ao serem divididos por 7 dão
resto 3 é dada por qual número?
4-(Unesp SP-05) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No 1.º dia de
caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2.º dia, ela caminha o dobro do que
caminhou no 1.º dia; no 3.º dia, caminha o triplo do que caminhou no 1.º dia, e assim por diante.
Considerando o período do 1.º ao 25.º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de 243 750
metros. Gab: 750m e 22500m.
a) Encontre a distância x percorrida no 1.º dia.
b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30.º dia.
5-(UFU MG-95) Para todo n  N*, a soma dos n primeiros termos de uma progressão
aritmética é n2. Entre seus cem primeiros termos, quantos são divisíveis por três? Gab: 33
6-(UFRJ RJ-01) Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal
gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites serão
colocados na árvore durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte forma: o morador
número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1 dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites
por dia a partir do 2o dia e assim sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites por
dia a partir do n-ésimo dia). Gab: 364 e m = 420
a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13?
b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m enfeites. Sabendo que
nenhum morador colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m.
7-(UnB DF-91) Os números a1, a2, a3, ..., an estão em progressão aritmética e b1, b2, b3, ..., bm
estão em progressão geométrica de razão q. Ambas estritamente crescentes. Gab: 91
 a1  b1

Sabendo que a 3  b2 calcule a soma 1 + q2 + q4.
a  b
3
 9
8-(Fuvest SP-05) Uma seqüência de números reais a1, a2, a3, … satisfaz à lei de formação an + 1 =
6an, se n é ímpar, an + 1 = 1 an, se n é ímpar e sabendo-se que a1  2 ,
3
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.
b) determine a37 e a38.
Gab: a1  2 , a 2  6 2 , a 3  2 2 , a 4  12 2 , a 5  4 2 , a 6  24 2 , a 7  8 2 , a 8  48 2 e
a 37  218  2
e a 38  219  3 2
Questões abertas matemática – Professor Clístenes Cunha.
Trigonometria
1-(IME RJ-06) Os ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética e um deles é solução
da equação trigonométrica (sen x  cos x)(sen 2 x  sen x cos x  cos 2 x)  1 . Determine os
valores destes ângulos (em radianos). Gab:
  
,
e .
2 3 6
2-(UnB DF-96) Eratóstenes foi um grande matemático grego que viveu no século II a.C. e
conseguiu calcular a medida da circunferência da Terra, medindo comprimento das sombras de
um estaca. Um procedimento semelhante pode ser usado para calcular a altura da Torre de
Televisão de Brasília, a partir de sua sombra. Suponha que, no dia 23 de setembro, os raios
solares, que são considerados paralelos, incidem, ao meio-dia, perpendicularmente sobre a
superfície da Terra ao longo da linha do Equador. Nessa data, que marca o equinócio da
primavera, a sombra projetada pela Torre, ao meio-dia, mede 58 m. Sabe-se que a Torre está
26
como valor
15
situada no paralelo 15 de latitude sul, isto é, a 15° ao sul do Equador. Tomando
aproximado para 3 , calcule, em decâmetros, a altura da Torre e desconsidere a parte
fracionária de seu resultado, caso exista. Gab: 21
3-(UFSC SC-99) Sabendo que o valor da cosse x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o
valor da expressão 9.(sec2x + tg2x) é: Gab: 41
4-(PUC Camp.) Sabendo-se que sen p + sen q = 2 . sen
sen
pq
2
. sen
pq
2
. cos p 2 q e cos p – cos q = –2 .
pq
6 x sen 2 x
, simplificar a expressão E  sen
cos6 x cos 2 x . Gab: E = cotg (2x)
2
5-(UFF RJ-97) Uma plataforma é paralela a um pátio plano. O piso da plataforma e o do pátio
distam 6m um do outro e estão ligados por uma rampa reta. Sabendo que a rampa forma com o
pátio um ângulo cujo cosseno vale 4/5, determine o comprimento dessa rampa. Gab: cos  = 0,8

sen

=
6
h
sen2

+
cos2

=
1
36
 0 , 6 4  1
h2

36
 0,36  h2  100  h  10 m.
2
h
6-(UFOP MG-94) Determine os valores de x sabendo-se que 0  a  2 e que:
 tga  x21
. Gab: 3 e 1

 sec a  x  2
7-(FCChagas SP) Sendo sen x = a  0 e cos x = b  0, calcular tg x + cotg x. Gab: 1/ab
8-(Mauá SP) Para medir a altura da torre vertical DE, toma–se, no plano horizontal que passa
pela sua base D, o segmento AB de comprimento 12 m e cujo ponto médio é C. Medem–se os
ˆ = DBE
ˆ = 45°, e DCE
ˆ = 60°. Determinar
ângulos DÂE , DB̂E e DĈE , verificando–se que DAE
a altura da torre. Gab: 9-3. 3m
8-(UFU MG-95) Se  é um número do intervalo [0, /2] tal que tg(2) = 4/3, determine cos  e
sen . Sugestão: Inicialmente, calcule cos(2). Gab: cos  


9-(UFU MG-97) Determine cos x, sabendo-se que log 2 
cos x =
e sen 
2 5
5
 2
sec 2x

 2
3
1
5

cot g 2x
5
5

 1  0 . Gab:

1
2
10-(UFAL AL-05) Determine o valor do 458o termo da seqüência (cos 30o, cos 60o, cos 90o, cos
120o, ...).