TRIGONOMETRIA: ARCOS
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) Construída a toque de caixa pelo regime militar, Tucuruí inundou uma área de
2 000 km£, sem que dela se retirasse a floresta. A decomposição orgânica elevou os níveis de
emissão de gases, a ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior emissora de poluentes do
Brasil. Ganhar a vida cortando árvores submersas exige que um mergulhador desça a mais de
20 metros, com praticamente zero de visibilidade e baixas temperaturas. Amarrado ao tronco
da árvore, maneja a motosserra.
(Adaptado de Veja. ano 37. n.23. ed. 1857. São Paulo: Abril. p.141)
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1. Uma vez serrada, a árvore é puxada e amarrada a pedaços de madeira seca.
No instante em que o tronco de madeira de 20 m de comprimento forma um ângulo š com a
vertical de 15 m, o valor de cos 2š e igual a
a) 3/2
b) 9/8
c) 9/16
d) 7/16
e) 1/8
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2. (Unicamp 2003) Considere dois triângulos retângulos T• e T‚, cada um deles com sua
hipotenusa medindo 1cm. Seja ‘ a medida de um dos ângulos agudos de T e 2‘ a medida de
um dos ângulos agudos de T‚.
a) Calcule a área de T‚ para ‘ = 22,5°.
b) Para que valores de ‘ a área de T é menor que a área de T‚?
3. (Ufu 2001) Encontre o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x) = (cos x)§ + (sen x)§
pode assumir.
Observação:
Lembre-se de que a¤+b¤=(a+b)((a+b)£ - 3ab).
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4. (Unesp 2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a
uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo ‘, conforme a figura:
a) Admitindo-se que sen(‘) = 3/5, calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada,
na qual o ângulo ‘ passou exatamente para 2‘, calcule a nova distância x' a que o barco se
encontrará da base do farol.
5. (Ufc 99) Expresse cos 3x em função de cos x. Use esse resultado para mostrar que cos 20°
não é um número racional.
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6. (Unesp 91) Na figura adiante o triângulo ABD é reto em B, e AC é a bissetriz de BÂD. Se
åæ=2.æè, fazendo æè=b e èî=d, então:
a) d = b
b) d = (5/2)b
c) d = (5/3)b
d) d = (6/5)b
e) d = (5/4)b
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7. (Unesp 92) Determinar os valores de š, 0´š´2™, de maneira que o determinante
seja nulo.
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8. (Fgv 95) Na figura a seguir, são dados DA=Ë3cm e AB=3cm.
A área do triângulo CDB, em centímetros quadrados, é
a) 8Ë3
b) 6Ë3
c) 4Ë3
d) 3Ë3
e) Ë3
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9. (Fei 97) Se cosx = 0,8 e 0 < x < ™/2 então o valor de sen2x é:
a) 0,6
b) 0,8
c) 0,96
d) 0,36
e) 0,49
10. (Cesgranrio 90) Resolva a equação (cos x + sen x)£ = 1/2.
11. (Uece 97) Seja p um número real positivo. Se sen(2š)=2p e senš=3p, 0 < š < ™/2, então p
é igual a:
a) (Ë2)/9
b) (Ë2)/8
c) (Ë2)/6
d) (2Ë2)/9
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12. (Uece 97) Se K = [(Ë3)/2] - [(Ë3)/2] cos£ 2š + [(Ë3)/4 sen[(4š + (™/2)], 0<š<™/8, então 16K£
+ 9 é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
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13. (Fuvest 99) As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s.
Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C,
respectivamente. O ângulo agudo entre o segmento åæ e a reta r mede ‘.
a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo ‘.
b) Para que valor de ‘ a área do triângulo ABC é mínima?
14. (Ufrj 97) Seja x tal que sen x + cos x = 1 .
Determine todos os valores possíveis para sen2x+cos2x.
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15. (Mackenzie 98) Se y=4cos15°.cos75°, então y£ vale:
a) 1
b) 1/4
c) 1/2
d) 3/4
e) 2
16. (Ita 99) Se x Æ [0, ™/2[ é tal que 4tg¥x = (1/cos¥x) + 4, então o valor de sen(2x)+sen(4x) é:
a) (Ë15)/4
b) (Ë15)/8
c) (3Ë5)/8
d) 1/2
e) 1
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17. (Ufv 99) Sabendo-se que sen 30°=1/2, o valor de sen15° é:
a) [Ë(Ë3 - 2)]/2
b) 1/4
c) 1
d) [Ë(2 - Ë3)]/2
e) 1/Ë2
18. (Ufv 99) Resolva os itens a seguir.
a) Complete as lacunas abaixo:
a.1) cos é positivo no _______ e _______ quadrantes.
a.2) sen é negativo no _______ e _______ quadrantes.
a.3) tg é negativo no _______ e _______ quadrantes.
a.4) sec é positivo no _______ e _______ quadrantes.
b) Sabendo-se que cos 30° = (Ë3)/2, calcule cos 15°.
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19. (Puccamp 2000) Se k é um número real tal que sen x = k, então
a) k · 1
b) k µ 1
c) sen (2™ - x) = k
d) cos (- x) = - k
e) cos 2x = 1 - 2k£
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20. (Uerj 2000) Observe a figura abaixo:
Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na
linha AM, em que M é o ponto médio do lado æè. Se, após a dobra, A, B, C, D e M são
coplanares, determine:
a) a distância entre o ponto B e o segmento èî;
b) o valor de tgš.
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21. (Fuvest 2001) Se tgš=2, então o valor de cos2š/(1+sen2š) é:
a) -3
b) -1/3
c) 1/3
d) 2/3
e) 3/4
22. (Ita 2001) Sendo ‘ e ’ os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que
sen£2’-2cos2’ = 0, então sen ‘ é igual a:
a) (Ë2)/2
b) (¥Ë2)/2
c) (¥Ë8)/2
d) (¥Ë8)/4
e) zero
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23. (Pucmg 2001) Com base nos dados da figura, um triângulo retângulo, é CORRETO afirmar
que o valor de sen2t é:
a) [xË(4 - x£)]/2
b) xË(4 - x£)
c) x/2
d) x
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24. (Fuvest 2001) a) Calcule cos 3š em função de sen š e de cos š.
b) Calcule sen 3š em função de sen š e de cos š.
c) Para 0 < š < ™/2, resolva a equação:
25. (Ufc 99) O lado åæ de um triângulo ABC mede 3 unidades de comprimento. Determine uma
equação do lugar geométrico descrito pelo vértice C quando este se desloca de tal forma que o
ângulo CïA tenha como medida o dobro da medida do ângulo CÂB.
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26. (Ufrn 2000) Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S,
numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q
estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de
Q. Verifica-se que o ângulo ‘ do triângulo QPR é igual ao ângulo ’ do triângulo RPS.
O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é:
a) 8,5
b) 8,8
c) 9,4
d) 10,2
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27. (Mackenzie 2001)
No retângulo da figura, cos ‘ vale:
a) Ë2/2
b) 1/2
c) Ë3/2
d) 1/3
e) 1/4
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28. (Ufes 2001) Na figura adiante, as duas circunferências são tangentes entre si e tangentes
às duas retas. Se o raio da circunferência maior é igual a quatro vezes o raio da menor e š é a
medida do ângulo formado pelas duas retas, então
a) sen š = 9/25
b) sen š = 7/25
c) cos š = 16/25
d) cos š = 9/25
e) cos š = 7/25
29. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm£ de área e seus lados åæ e åè medem,
respectivamente, 2cm e 5cm.
Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o
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aumento percentual de sua área.
30. (Fgv 2002) A função f(x) = 16 (sen x) (cos x) assume valor máximo igual a:
a) 16
b) 12
c) 10
d) 8
e) 4
31. (Ita 2003) Para todo x Æ IR, a expressão [cos(2x)]£[sen (2x)]£sen x é igual a:
a) 2¥ [sen(2x) + sen (5x) + sen (7x)].
b) 2¥ [2 sen x + sen (7x) - sen (9x )].
c) 2¥ [- sen(2x) - sen (3x) + sen (7x)].
d) 2¥ [- sen x + 2 sen (5x) - sen (9x)].
e) 2¥ [sen x + 2 sen (3x) + sen (5x)].
32. (Ita 2003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um
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ponto sobre o segmento CE tal que m(BC) + m(CF) = m(AF). Prove que cos ‘ = cos 2’, sendo
os ângulos ‘=BÂF e ’=EÂD.
33. (Mackenzie 2003) No triângulo ABC temos AB = AC e sen x = 3/4. Então cos y é igual a:
a) 9/16
b) 3/4
c) 7/9
d) 1/8
e) 3/16
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34. (Ufsm 2003) Seja f(x) = (1 - tg£x)/(1 + tg£x), x · (™/2) + k™, k Æ Z. Então f(x) é igual a
a) sen 2x
b) - 1 + 2 sen£x
c) 1 + cos 2x
d) 1 + sen 2x
e) cos 2x
35. (Unesp 2003) Se cos (x) = a, para x Æ (0, ™/2) e assumindo que a·0 e a·1, o valor de tg
(2x) é,
a) (2a£ - 1) / [2aË(1 - a£)].
b) [Ë(1 - a£)] / a.
c) 2aË(1 - a£).
d) [2aË(1 - a£)] / (2a£ - 1).
e) 2a£ - 1.
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36. (Uerj 2004) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo
duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m,
como mostra o esquema abaixo.
A altura da torre, em metros, equivale a:
a) 96
b) 98
c) 100
d) 102
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37. (Ufsm 2004)
Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte
sobre a qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de
5,0m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5°. A
distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a
partir da margem da outra via, conforme mostra a figura, deverá ser de
Dados:
tg 2š = 2tgš/(1 - tg£š)
tg 45° = 1
a) 5 [(Ë2) + 1]
b) (5/2) [(Ë2) - 1]
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c) (5/3) [(Ë2) + 1]
d) (5/3) [(Ë3) - 1]
e) (5/4) [(Ë3) + 1]
38. (Unifesp 2006) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x,
então sen (2x) é igual a
a) (Ë5)/5.
b) 3/5.
c) (1+Ë5)/5.
d) 4/5.
e) (Ë3)/2.
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39. (Unifesp 2005) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1
metro sob um ângulo š, conforme mostra a figura.
a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo š.
b) Calcule tg(š), dado que a distância de P a O vale 3 metros.
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40. (Uerj 2005) Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades,
tais como:
a£ - b£ = (a + b)(a - b)
a£ + 2ab + b£ = (a + b)£
a¤ + b¤ = (a + b) (a£ - ab + b£)
Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples das
expressões:
a) (57,62)£ - (42,38)£;
b) cos§ 15° + sen§ 15°.
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GABARITO
1. [E]
2. a) 1/4
b) 0° < ‘ < 30°
3. 1/4 ´ f(x) ´ 1
4. a) x = 48m
b) x' = 10,5m.
5. Sabemos da trigonometria que:
(I) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) e
(II) sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
tomando a = 2x e b = x, em (I) obtemos:
cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sen(2x)sen(x)
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tomando a = b = x, em (I) e (II) obtemos:
cos(2x) = cos£(x) - sen£(x) e
sen(2x) = 2sen(x)cos(x).
Logo cos(3x)
= [cos£(x) - sen£(x)]cos(x) - 2sen£(x)cos(x) =
= cos¤(x) - sen£(x)cos(x) - 2sen£(x)cos(x) =
= cos¤(x) - 3sen£(x)cos(x) =
= cos¤(x) - 3[1 - cos£(x)]cos(x) =
= cos¤(x) - 3cos(x) + 3cos¤(x) =
= 4cos¤(x) - 3cos(x)
Fazendo x = 20° na igualdade acima obtemos:
cos(60°) = 4cos¤(20°) - 3cos(20°)
4cos¤(20°) - 3cos(20°) - (1/2) = 0
Portanto cos(20°) é raiz da equação 4x¤-3x-(1/2)=0. Para as raízes racionais desta equação
temos as seguintes possibilidades: •1; •1/2; •1/4; •1/8. Testando estes oito valores vemos que
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nenhum deles é raiz. Portanto a equação 4x¤-3x-(1/2)=0 não possui raiz racional e como
cos(20°) é uma das raízes dessa equação, não pode ser racional.
6. [C]
7. š Æ {0, ™/4, 3™/4,5™/4, 7™/4, 2™}
8. [D]
9. [C]
10. x = (n™)/2 + (-1)¾®¢ . ™/12 n Æ Z
11. [D]
12. [B]
13. a) 2/sen2‘
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b) 45°
14. -1 e 1
15. [A]
16. [B]
17. [D]
18. a.1) 1Ž e 4Ž
a.2) 3Ž e 4Ž
a.3) 2Ž e 4Ž
a.4) 1Ž e 4Ž
b) cos 15° = Ë(Ë3 + 2)/2
19. [E]
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20. a) 2
b) tgš = 3/4
21. [B]
22. [C]
23. [A]
24. a) (1 - 4 sen£ š) cos š
b) (4 cos£ š - 1) sen š
c) {™/3}
25. (x - 1)£ - y£/3 = 1
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26. [A]
27. [B]
28. [E]
29. 20 %
30. [D]
31. [B]
32.
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Sendo Ø a medida de cada lado do quadrado ABCD e x a medida do segmento GB, no triângulo
retângulo GAF, tem-se:
1°) (AF)£ = (AG)£ + (GF)£ Ì (Ø + x)£ = (Ø - x)£ + Ø£ Ì 4Ø x = Ø£ Ì x = Ø/4
2°) cos ‘ = AG/AF Ì cos ‘ = (Ø - x)/(Ø + x)
Ì cos ‘ = (Ø - Ø/4)/(Ø + Ø/4) Ì cos ‘ = (3Ø/4)/(5Ø/4) Ì cos ‘ = (I)
No triângulo retângulo DAE, têm-se:
1°) (AE)£ = (AD)£ + (DE)£ Ì (AE)£ = Ø£ + (Ø/2)£
Ì AE = ØË5/2
2°) cos ’ = AD/AE Ì cos ’ = Ø/(ØË5/2) Ì cos ’ = 2/Ë5
3°) cos 2 ’ = 2 cos£ ’ - 1
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Assim: cos 2 ’b = 2 . (2/Ë5)£ - 1 Ì cos 2 ’ = 3/5 (II)
De (I) e (II) tem-se, finalmente: cos ‘ = cos 2 ’
33. [D]
34. [E]
35. [D]
36. [A]
37. [A]
38. [B]
39. a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a bissetriz do ângulo š, devemos
mostrar que os ângulos OPT e OPS são congruentes.
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De fato:
Como PS e PT são segmentos tangentes à circunferência de centro O e raio 1, com
origem no mesmo ponto (P),
PS = PT.
Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são congruentes. Logo, ‘ = ’ = š/2 e,
desse modo, OP é bissetriz do ângulo š.
b) tg š = (4Ë2)/7
40. a) 1.524
b) 13/16
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