Transformações trigonométricas
Fórmulas de adição e subtração
Adição e subtração
MA092 – Geometria plana e analı́tica
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
Transformações trigonométricas
sen(a − b) = sen(a)cos(b) − sen(b)cos(a)
Francisco A. M. Gomes
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b)
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
UNICAMP - IMECC
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a)tan(b)
tan(a) − tan(b)
tan(a − b) =
1 + tan(a)tan(b)
Outubro de 2015
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IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
tan(a + b) =
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IMECC)
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Transformações trigonométricas
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Transformações trigonométricas
Demonstração da fórmula de cos(a-b)
Demonstração da fórmula de cos(a+b)
Considere os pontos
(x1 , y1 ) = (cos(b), sen(b))
Sabemos que
(x2 , y2 ) = (cos(a − b), sen(a − b))
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
(x3 , y3 ) = (cos(a), sen(a))
Por outro lado, cos(a + b) = cos(a − (−b))
Os arcos entre (x1 , y1 ) e (x3 , y3 ) e entre
(1, 0) e (x2 , y2 ) têm a mesma medida.
Os segmentos azuis também têm o mesmo
comprimento. Logo,
Logo,
cos(a + b) = cos(a)cos(−b) + sen(a)sen(−b)
Como o seno é uma função ı́mpar, temos sen(−b) = −sen(b)
p
p
(x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2 = (x2 − 1)2 + (y2 − 0)2
(x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2 = (x2 − 1)2 + y22
x23 − 2x3 x1 + x21 +y32 − 2y3 y1 +y12 = x22 − 2x2 + 1+y22
2 − 2x3 x1 − 2y3 y1 = 2 − 2x2 → −2x3 x1 − 2y3 y1 = −2x2
x2 = x3 x1 + y3 y1 → cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
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Como o cosseno é uma função par, temos cos(−b) = cos(b)
Assim,
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b)
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Transformações trigonométricas
Transformações trigonométricas
Demonstração da fórmula de sen(a+b)
Demonstração da fórmula de tan(a+b)
Sabemos que
tan(a + b) =
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a + b)
sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
=
cos(a + b)
cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b)
Também sabemos que
sen(x) = cos(
π
π
− x) e cos(x) = sen( − x)
2
2
=
sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)
cos(a)cos(b)
cos(a)cos(b)−sen(a)sen(b)
cos(a)cos(b)
=
sen(b)cos(a)
sen(a)cos(b)
cos(a)cos(b) + cos(a)cos(b)
cos(a)cos(b)
sen(a)sen(b)
cos(a)cos(b) − cos(a)cos(b)
Assim
π
− (a + b) = cos
−a−b
2
2
π
= cos
−a −b
2
π
π
− a cos(b) + sen
− a sen(b)
= cos
2
2
sen(a + b) = cos
π
=
1
= sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
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sen(a)
sen(b)
cos(a) + cos(b)
sen(b)
− sen(a)
cos(a) · cos(b)
=
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a)tan(b)
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Transformações trigonométricas
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Transformações trigonométricas
Exemplo
Exemplo
Problema
Com base nos dados da
tabela ao lado, calcule
sen(75◦ )
θ
30◦
sen(θ)
1/2
√
3/2
√
3/3
cos(θ)
tan(θ)
45◦
√
2/2
√
2/2
1
Problema
Com base nos dados da
tabela ao lado, calcule
60◦
√
3/2
1/2
√
3
cos(15◦ )
sen(75◦ ) = sen(30◦ + 45◦ )
30◦
sen(θ)
1/2
√
3/2
√
3/3
cos(θ)
tan(θ)
45◦
√
2/2
√
2/2
1
60◦
√
3/2
1/2
√
3
cos(15◦ ) = cos(45◦ − 30◦ )
= sen(30◦ )cos(45◦ ) + sen(45◦ )cos(30◦ )
√
√ √
1
2
2
3
= ·
+
·
2 2
2
2
√
√
√
√
2
6
2+ 6
=
+
=
4
4
4
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θ
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= cos(45◦ )cos(30◦ ) + sen(45◦ )sen(30◦ )
√ √
√
2
3
2 1
=
·
+
·
2
2
2 2
√
√
√
√
6
2
2+ 6
=
+
=
(= sen(75◦ ))
4
4
4
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Transformações trigonométricas
Transformações trigonométricas
Provando identidades
Provando identidades
Problema
Mostre que
Problema
Mostre que
sen
π
2
1
sen(a)cos(b) = [sen(a + b) + sen(a − b)]
2
− x = cos(x)
Expandindo o lado direito, obtemos
sen
π π cos(x) − sen(x)cos
− x = sen
2
2
2
π
1
2 [sen(a
1
2 [sen(a)cos(b)
= 1 · cos(x) − sen(x) · 0
+ b) + sen(a − b)]
+ sen(b)cos(a) + sen(a)cos(b) − sen(b)cos(a)]
1
2 [2sen(a)cos(b)]
= cos(x)
sen(a)cos(b)
(que é igual ao lado esquerdo.)
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Transformações trigonométricas
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Transformações trigonométricas
Fórmulas do arco duplo
Exemplo
Arco duplo
Problema
Sabendo que
√
3
1
sen(120 ) =
e cos(120◦ ) = − ,
2
2
◦
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
calcule sen(240◦ )
cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x)
= 1 − 2sen2 (x)
sen(240◦ ) = 2sen(120◦ )cos(120◦ )
√ !
1
3
=2
−
2
2
= 2cos2 (x) − 1
tan(2x) =
2tan(x)
1 − tan2 (x)
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√
√
2 3
3
=−
=−
4
2
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Transformações trigonométricas
Transformações trigonométricas
Exemplo
Exemplo
Problema
Problema
Sabendo que cos(30◦ ) =
√
cos(30◦ ) = 2cos2 (15◦ ) − 1
cos(30◦ ) + 1 = 2cos2 (15◦ )
→
√
cos(30◦ ) + 1
cos2 (15◦ ) =
=
2
3
2
+1
=
2
√
12
π
e 0 ≤ θ ≤ , calcule sen(2θ)
13
2
Sabendo que cos(θ) =
3/2, calcule cos(15◦ )
sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1
3+2
4
2
sen (θ) = 1 −
Como 0 ≤ 15◦ ≤ 90◦ , temos
r
s√
cos(15◦ ) =
12
13
sen(θ) =
3+2
4
sen2 (θ) = 1 − cos2 (θ)
→
2
=1−
144
169 − 144
25
=
=
169
169
169
25
5
π
=
(pois 0 ≤ θ ≤ )
169
13
2
sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) = 2 ·
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Transformações trigonométricas
5 12
120
·
=
13 13
169
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Transformações trigonométricas
Dedução de fórmula
Resolução de equação
Problema
Deduza uma fórmula para cos(3x)
Problema
Supondo que 0 ≤ x ≤ π/2, resolva a equação
sen(2x) − cos(x) = 0
cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) − sen(2x)sen(x)
2sen(x)cos(x) − cos(x) = 0
= [2cos2 (x) − 1]cos(x) − [2sen(x)cos(x)]sen(x)
cos(x)[2sen(x) − 1] = 0
3
2
= 2cos (x) − cos(x) − 2sen (x)cos(x)
cos(x) = 0 ou 2sen(x) − 1 = 0
3
2
= 2cos (x) − cos(x) − 2[1 − cos (x)]cos(x)
Analisando cada caso em separado:
= 2cos3 (x) − cos(x) − 2cos(x) + 2cos3 (x)
= 4cos3 (x) − 3cos(x)
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cos(x) = 0
→
x = arccos(0) = π/2
2sen(x) − 1 = 0
→
sen(x) = 1/2
→
x = arcsen(1/2) = π/6
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Transformações trigonométricas
Exercı́cios
Fórmulas de transformação em produto
Exercı́cio 1
Transformação em produto
sen(a) + sen(b) = 2sen
sen(a) − sen(b) = 2cos
cos(a) + cos(b) = 2cos
a+b
2
a+b
2
a+b
2
cos(a) − cos(b) = −2sen
cos
sen
a+b
2
a−b
2
a−b
2
cos
a−b
2
sen
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Problema
Sabendo que
√
√
4
2 5
5
3
e cos(β) =
,
sen(α) = , cos(α) = , sen(β) =
5
5
5
5
calcule
sen(α − β) e cos(α + β)
a−b
2
√
√
5
2 5
−
e −
5
25
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Exercı́cios
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18 / 23
Outubro de 2015
20 / 23
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Exercı́cio 3
Problema
Resolva a equação
Problema
Prove que
tan
π
4
−x =
√
π
π
6
+ sin x −
=
sin x +
4
4
2
1 − tan(x)
1 + tan(x)
para 0 ≤ x ≤ π/2. Use radianos.
x = π/3 ≈ 1.0472
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 4
Exercı́cio 5
Problema
Sabendo que tan(x) = 3/4, calcule
Problema
Resolva a equação
3sen(2x) − 4sen(x) = 0
tan(2x)
para 0 ≤ x ≤ π/2. Use radianos.
x = 24/7 ≈ 3, 4286
x = 0 e x = arccos(2/3) ≈ 0, 8411
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21 / 23
Outubro de 2015
23 / 23
Exercı́cios
Exercı́cio 6
Problema
Prove que
sen(4x)
= 4cos(x)cos(2x)
sen(x)
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