Funções - Terceira Lista de Exercı́cios
Módulo 1 - Trigonometria e Funções Trigonométricas
1. Converta de graus para radianos:
(a) 30◦
(b) 10◦
(c) 45◦
(d) 135◦
(e) 170◦
(f) 270◦
(g) 15◦
(h) 700◦
(i) 1080◦
(j) 36◦
2. Converta de radianos para graus:
(a)
5π
3
(b)
π
2
(c) 3π
(d)
π
36
(e) 10π
(f)
3π
2
3. Um caçador está sentado numa plataforma construı́da numa árvore a 30
metros do chão. Ele vê um tigre sob um ângulo de 30◦ abaixo da horizontal.
A que distância está o tigre?
4. Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes
b B
b e C,
b respectivamente. Prove a lei dos senos onde:
lados são A,
b
b
b sen B
sen C
sen A
=
=
.
a
b
c
(Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como
a base. Estas serão todas iguais.)
5. Considere um triângulo ABC, com lados a, b e c e ângulo θ como mostra a
figura.
Com base nele, prove a lei dos cossenos:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ,
(Dica: use o Teorema de Pitágoras.)
1
6. Deduza fórmulas em termos de sen θ e cos θ de:
(a) sen 3θ
(b) cos 3θ
(c) cos 4θ
(d) sen 4θ
7. Prove as seguintes identidades trigonométricas
(a) 1 + tg2 t = sec2 t
(b) 1 + cotg2 t = cossec2 t
(c) sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a
(d) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
tg a + tg b
(e) tg(a + b) =
1 − tg a tg b
2
(f) cos 2θ = cos θ − sen2 θ = 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sen2 θ
1 − cos 2θ
1 + cos 2θ
(g) sen2 θ =
(h) cos2 θ =
2
2
8. Utilize o que foi verificado no exercı́cio anterior para mostrar que:
(a) sen θ sen φ = 21 [cos(θ − φ) − cos(θ + φ)]
(b) cos θ cos φ = 12 [cos(θ − φ) + cos(θ + φ)]
(c) sen θ cos φ = 21 [sen (θ + φ) + sen (θ − φ)]
θ +φ
θ −φ
(d) sen θ + sen φ = 2 sen
cos
2
2
θ +φ
θ −φ
(e) sen θ − sen φ = 2 cos
sen
2
2
θ +φ
θ −φ
(f) cos θ + cos φ = 2 cos
cos
2
2
θ +φ
θ −φ
(g) cos θ − cos φ = −2 sen
sen
2
2
9. Mostre que sen 31o + sen 29o = sen 89o .
10. Resolva:
(a) 2 cos2 x + 3 = 5 cos x
(c) sen 2x + cos x = 0
(b) cos 7x = cos 3x
(d) sen 3x − 2 sen 2x + sen x = 0
11. Faça o estudo completo das funções cossecante e cotangente, definidas respectivamente por:
1
cos t
(a) f : t 7→ cossec t =
(b) f : t 7→ cotg t =
.
sen t
sen t
2
12. Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando 6 ∃ quando
a função não estiver definida.
0
θ
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
5π
π
4
4
3π
2
10π
6
sen θ
cos θ
tan θ
sec θ
cotg θ
cossec θ
13. Qual é a diferença entre sen x2 , sen2 x e sen(sen x)? Expresse cada uma das
três funções em forma de composição.
14. Utilizando uma calculadora, calcule o valor da função para valores de θ
dados em radianos.
(a) sen θ, onde θ = 0; 1; 1,5; -2,6; π; − π2 ; e 5000.
(b) cos θ, onde θ = 0; 1; 2,5; 3; 5280; -782; π, − π2 ; e
3π
.
2
(c) tg θ, onde θ = 0; 1; 1,5; π; π4 ; e 1000.
(d) cotg θ, onde θ = 1; 1,5; π2 ;
(e)
(f)
2π π
; 4 ; e 700.
3
sec θ, onde θ = 0; 1; 1,5; π; π4 ; e 1000.
cossec θ, onde θ = 1; 1,5; π2 ; 2π
; π4 ; e 700.
3
15. Expresse as seguintes funções em termos de sen θ e cos θ
(a) tg θ
(b) cos2
θ
2
(c) sen2
θ
2
(d) cossec2
θ
2
(e) cotg2
θ
2
16. Se os ângulos de um triângulo medem x, x + 1 e x + 2 (em radianos),
encontre x.
17. Um satélite foi lançado em uma órbita circular ao redor da Terra. Se sua
distância do centro da Terra é de aproximadamente 10 000 km, que distância
ele percorre quando varre um ângulo de π4 , com respeito ao centro da Terra?
3
18. A seguir temos o triângulo ABC, onde AB = BC = CA = 2 e AM = M C.
Com base nele encontre:
(a) O comprimento BM
(b) θ e β em radianos.
(c) sen θ, cos θ, sen β, cos β, tg θ e tg β.
b = π/2 e A
b = B,
b encontre A
b em radianos e
19. Dado um triângulo ABC, se C
b sen A
b e tg A.
b (Dica: Aqui A
b representa o ângulo no vértice
calcule cos A,
b o ângulo no vértice B, e C
b representa o ângulo no vértice C. Faça
A, B
um desenho.)
20. Calcule os seguintes valores das funções em cada ângulo. (Dica: Use identidades trigonométricas.)
(a) sen( π3 + π4 )
(b) cos( π3 + π4 )
(d) sen(3π) + cos(3π)
π
(e) sen( 12
)
(c) cos( π2 + π)
21. Em t = 0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas,
com velocidades constantes v~1 e v~2 , que formam um ângulo θ.
(a) Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo
cruzamento?
(b) Calcule a distância entre os carros 1 hora após passarem pelo cruzamento se:
(i) v1 = v2 e θ = π3
(ii) v1 = v2 e θ = π4
(iii) v1 = v2 e θ = 0
(iv) v1 = 2v2 e θ =
π
3
22. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f ◦ g e g ◦ f e seus respectivos
domı́nios de definição:
√
(a) f (x) = 9 − 9x2 e g(x) = cotg x.
√
(b) f (x) = cos x e g(x) = 1 − 4x2
4
23. Encontre funções f e g de modo que a função h possa ser escrita como
h = f ◦ g. Nem f nem g devem ser a função identidade.
(a) h(x) = sen 2x
(b) h(x) = sen x2
(c) h(x) = sen2 x
(d) h(x) = sen(cos x)
(e) h(x) = sen2 3x
(f) h(x) = | sen x|
(g) h(x) = cos |x|
√
(i) h(x) = sen x
(h) h(x) = tan(x2 + 1)
(k) h(x) = 3 sen2 x + sen x + 1
(l) h(x) = sen(cos2 x)
(j) h(x) = 2cossec x
24. Dizer como as funções f (x) = x2 , g(x) = 4x e h(x) = tg x devem ser
2
compostas para que se obtenha a função h(x) = 4tg x .
25. Escavações arqueológicas encontraram um antigo aparelho que, ao que tudo
indica, era utilizado para tocar LP’s. As marcações de velocidade do aparelho eram 33 21 , 45 e 78 rotações por minuto. Em cada caso, qual é o perı́odo
do movimento?
26. Calcular o perı́odo das funções
(a) tg 4x
(d) cos( 23 x2 )
(b) sen(x2 )
√
(e) cossec( π7 x)
(c) tg( π4 x).
(f) cotg(7Bx) (onde B > 0).
27. Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as
amplitudes e perı́odos. Não use calculadora gráfica ou computador.
(a) y = 3 sen x
(b) y = 3 sen 2x
(c) y = −3 sen 2θ.
(d) y = 4 cos 2x
(e) y = 4 cos( 14 t)
(f) y = 5 − sen 2t
28. Relacione as funções abaixo com os gráficos da figura, explicando os por
quês.
(a) y = 2 cos(t − π2 )
(b) y = 2 cos t
5
(c) y = 2 cos(t + π2 ).
29. Nos itens a seguir, encontre uma possı́vel fórmula para cada gráfico
30. A profundidade de um tanque oscila, conforme uma senóide, uma vez a
cada 6 horas, em torno de uma profundidade média de 7 metros. Se a
profundidade mı́nima é de 5,5 metros e a máxima é de 8,5 metros, encontre
uma fórmula para a profundidade em função do tempo, medido em horas.
31. Uma população de animais varia de forma senoidal entre um mı́nimo de
700 em 1o de janeiro e um máximo de 900, em 1o de julho.
(a) Esboce o gráfico da população versus tempo.
(b) Encontre uma fórmula para a população em função do tempo t, medido
em meses desde o inı́cio do ano.
32. A voltagem V , de um ponto de luz residencial é dada em função do tempo
t (em segundos), por V = V0 cos(120πt).
(a) Qual é o perı́odo da oscilação?
(b) O que V0 representa?
(c) Esboce o gráfico de V versus t, identificando os eixos.
6
33. É dado que duas funções trigonométricas têm perı́odo π e que seus gráficos
cortam-se em x = 3, 64, mas não é dado nada mais.
(a) Você sabe dizer se os gráficos dessas funções se cortam em algum outro
valor de x, positivo e menor? Se for o caso, qual é esse valor?
(b) Encontre um valor de x, maior que 3,64, para o qual os gráficos se
cortam.
(c) Encontre um valor negativo de x para o qual os gráficos se cortam.
34. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o perı́odo
de 2 sen 3t + 3 cos t.
(b) Qual é o perı́odo de sen 3t? E de cos t?
(c) Use a resposta da parte (b) para justificar sua resposta da parte (a).
35. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o perı́odo
de 2 sen 4x + 3 cos 2x.
(b) Dê a resposta exata ao item anterior (como um múltiplo de π).
(c) Determine o perı́odo de sen 4x e de cos 2x e use esses valores para
explicar sua resposta na parte (a).
36. Se m e n são dois números naturais, obtenha o perı́odo da função cos(mx)+
sen(nx).
37. Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de
funções trigonométricas (não dê resultados aproximados):
(a) cos : [0, π] → [−1, 1]
(c)
(d)
(b) cotg :]0, π[→ R
sec : [0, π2 [∪] π2 , π] → [1, +∞[∪] − ∞, −1]
cossec : [− π2 , 0[∪]0, π2 ] →] − ∞, 1]∪]1, ∞[
38. Calcule:
(a) arcsen 21
(b) arccos 12
√
3
(c) arctg 1
(d) arctg
(g) arctg 0
(h) arcsen 1
(k) arccos 0
(l) arccotg(−1)
(o) arcsen(− 12 )
(p) arccos √12
√
3
2
(e) arcsen √12
(f) arccos
(i) arcsen 0
(j) arccos 1
(m) arctg(−1)
(n) arccotg
√
7
3
39. Prove que sen : [− π2 , π2 ] → R é estritamente crescente.
40. Prove que tg x é estritamente crescente em ] − π2 , π2 [.
41. Para simplificar a expressão cos(arcsen x), começamos colocando θ = arcsen x,
com as restrições
−
π
π
≤θ≤
2
2
e
− 1 ≤ x ≤ 1.
Como sen θ = x, pela definição de arcsen, podemos construir um triângulo
retângulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras:
Observe que cos(arcsen x) é cos θ. Desta forma, o desenho nos mostra que:
√
cos(arcsen x) = 1 − x2
Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule:
(a) cos(arcsen x)
(b) sen(arccos x)
(c) cos(arctg x)
(d) cos(arcsec x)
(e) tg(arccos x)
(f) sen(arccos 1)
1
)
2
(h) tg(arccos 0)
(g) cos(arcsen
Módulo 2 - Polinômı̂os e Funções Racionais
42. Se f (x) = x2 , g(x) = x2 + x4 e h(x) = x2 + x4 + x6 e k(x) = 3x6 − 6x4 + 2x2
encontre números reais a, b e c tais que k = af + bg + ch.
43. Obtenha α ∈ R de modo que os polinômios f (x) = x4 + 20x3 − 4αx + 4 e
g(x) = x2 + 2x + 2 verifiquem a condição f = g 2 .
8
44. Em cada caso, determine um polinômio do segundo grau f (x) de modo que:
(a) f (0) = 1, f (1) = 4 e f (−1) = 0.
para todo x
(b) f (1) = 0 e f (x) = f (x − 1)
45. (a) Se f (x) e g(x) são dois polinômios, prove que existem polinômios q(x)
e r(x) tais que
f (x) = g(x) · q(x) + r(x),
onde o grau de r(x) é menor que o grau de g(x). Explique o que isso
significa em termos de divisão de polinômios.
(b) Mostre que se a é uma raiz de um polinômio f (x), isto é, f (a) = 0,
então
f (x) = (x − a)q(x),
Onde q(x) é um polinômio com grau um a menos que f (x).
46. Nos itens a seguir, fatore o polinômio o máximo possı́vel.
(a) p(x) = 2x3 + 3x2 + 4x − 3
(b) p(y) = 2y 3 + 3y 2 − 8y + 3
(c) p(x) = 2x3 + 3x2 − 6x + 2
(d) p(x) = x4 − 5x2 − 10x − 6.
(e) p(x) = x3 − 7x2 + 8x + 12
(f) p(x) = x3 − 27
(g) p(x) = x4 − 1
(h) p(y) =
(i) p(x) = x4 − 2x3 − 4x2 − 8x
x3 x2 x 1
−
− +
3
2
2 3
4
3
(j) p(x) = x + 3x − x2 − 3x
(k) p(x) = −2x4 + 7x2 − 3
(l) p(x) = x2 − 4
(m) p(x) = x2 − 3
p(x)
,
47. Observe como fazemos fazemos para colocar a expressão na forma
q(x)
1
1 1
:
onde p e q são polinômios:
−
y−x x y
1
1 1
1
y−x
1
−
=
=
.
y−x x y
y−x
xy
xy
Faça o mesmo para os itens a seguir, escrevendo cana um como um quociente
p(x)
de polinômios na forma
:
q(x)
9
1 1
−
x y
(a)
x−y
2 1
1 1
(c)
+
+
+
x 2
y 3
1
1
−
2
3x
(e) x
x−3
(b) 24xy
1
x−2
x−1
(d)
1 1 1 1
− − − .
x 2 y 3
(f)
1
2 + (1 + t)
−
1 + t2
(1 + t2 )2
4x2 + 1
x2 − 2
(x2 + 1)2
x2 +
x+
(g)
1 1 1 1
+ + +
x y 3 4
(h)
1
(3x2 − x32 )2 + 1
36
2
1
2
(k) 1 + x − 2
4x
1
1
(m) 2 +
x
xy
1 3
(x − x13 )2 + 1
4
1
1
2
(l) x +
x x−1
1
(n) x − 1 +
2x
(i)
(j)
48. Em cada item efetue as divisões de polinômios indicadas, conforme ilustra
o exemplo a seguir:
x2 + 3x + 1
x 7
11
= + +
2x − 1
2 4 4(2x − 1)
(x − 2)2
x
x2
(d)
1 − x2
x2 + 1
(g) 2
x −1
x3 − 3
(j)
x(x2 − 9)
x2 + 1
(m)
x+1
(a)
(b)
(e)
(h)
(k)
(n)
4x2 + 4x + 1
x
3x − 2
2x + 3
x2
1 + x2
x3 − 3x + 2
x+3
3
x −1
x−1
5+t
5−t
4x + 1
(f)
3x − 1
−x3
(i)
x+3
x5 + 1
(l)
x+1
(c)
49. Nos itens a seguir:
• Encontre todos os valores de x para os quais a função não está definida.
p(x)
• Expresse a função f (x) na forma
, onde p e q são polinômios.
q(x)
Então fatore e simplifique onde for possı́vel.
10
• Determine para quais valores de x se tem f (x) = 0.
• Determine para quais valores de x se tem f (x) > 0, e para quais se
tem f (x) < 0.
(a) x − 4 +
4
x
(b) 4x + 4 +
1
x
1
−1
1 − x2
4
7
(f) +
3 3(3x − 1)
1
(h)
+1
1 + x2
x3 − 3
(j)
x(x2 − 9)
9x − 3
(l) 3
+1
x − 9x
10
−1
5−t
3
3
(e) −
2 2x + 3
2
(g) 1 + 2
x −1
3
−x
(i)
x+3
27
− x2 + 3x − 9
(k)
x+3
16
(m) x2 − 3x + 6 −
x+3
(d)
(c)
50. Dividindo o polinômio f (x) por x2 − 3x + 5 obtemos quociente x2 + 1 e
resto 3x − 5. Determine f (x). (Há várias possibilidades.)
51. Determine os números a e b de modo que o polinômio f (x) = x4 − 3ax3 +
+(2a − b)x2 + 2bx + (a + 3b) seja divisı́vel por g(x) = x2 − 3x + 4.
52. Determinar p e q de modo que x4 + 1 seja divisı́vel por x2 + px + q.
53. Se x3 + px + q é divisı́vel por x2 + ax + b e por x2 + rx + s prove que
b = −r(a + r).
54. Determinar a de modo que a divisão de x4 − 2ax3 + (a + 2)x2 + 3a + 1 por
x − 2 tenha resto 7.
55. Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em x = 1 e que
dividido por x + 1, x + 2 e x − 2 tenha resto 6.
56. Qual deve ser o valor do coeficiente c para que os restos da divisão de
x10 + ax4 + bx2 + cx + d por x + 12 e x − 12 sejam iguais?
11
57. As divisões de um polinômio f (x) por x − 1, x − 2 e x − 3 são exatas. O
que se pode dizer do grau de f ?
58. O resto da divisão de um poliômio f (x) por x + 2 e x2 + 4 produz restos 0
e 1, respectivamente. Qual o resto da divisão de f (x) por (x + 2)(x2 + 4)?
59. O gráfico de cada uma das figuras abaixo representa um polinômio. Para
cada um deles determine:
(a) qual o menor grau possı́vel do polinômio.
(b) O coeficiente lı́der do polinômio é positivo ou negativo? (O coefciente
lı́der é o coeficiente da potência mais alta de x.)
60. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios:
(a) f (x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3)
(b) f (x) = 5(x2 − 4)(x2 − 25)
(c) f (x) = −5(x2 − 4)(25 − x2 )
(d) f (x) = 5(x − 4)2 (x2 − 25)
61. Para que inteiros positivos n, o polinômio f (x) = xn é uma função
(a) par
(b) ı́mpar
62. Que polinômios são pares? E ı́mpares? Existem polinômios que não são
nem pares nem ı́mpares?
63. Se f (x) = ax2 + bx + c, o que você pode dizer de a, b e c se:
(a) (1,1) está no gráfico de f (x)?
(b) (1,1) é o vértice do gráfico de f (x)?
12
(c) A intersecção do gráfico com o eixo dos y é (0,6)?
(d) Encontre uma função quadrática que satisfaça todas as três condições
anteriores.
64. Encontre um polinômio cujas raı́zes sejam -2, -1, 1 e 4, todas com multiplicidade 1.
65. Em cada caso, encontre um polinômio com coeficientes inteiros cujas raı́zes
sejam:
√
√
(a) 2 + 1 e 2 − 1
√
√
√
√
(b) 3 + 2 e 3 − 2
√
√
(c) 6, 1 − 5 e -1
66. Para cada um dos itens a seguir: encontre uma possı́vel fórmula para o
gráfico; obtenha os intervalos aproximados onde a função é crescente e onde
é decrescente.
67. Encontre os polinômios cúbicos que representam o gráfico de:
13
68. Transladando o gráfico de x3 encontre o polinômio cúbico com gráfico semelhante ao da figura
69. Encontre todas as raı́zes racionais dos seguintes poinômios
(a) f (x) = x3 − x2 − x − 2
(c) f (x) = x3 +
(b) f (x) = x3 + 8
x2 2x 1
−
+
6
3
6
(d) f (x) = 3x4 − 7x2 + 2.
70. Quais as possı́veis raı́zes inteiras da equação x3 + 4x2 + 2x − 4 = 0?
71. Resolva a equação x3 − 2x2 − x + 2 = 0.
72. O gráfico de uma função racional é dado pela figra abaixo:
Se f (x) = g(x)/h(x) com g(x) e h(x) ambas funções quadráticas, obtenha
as fórmulas para g(x) e h(x). (Há várias possibilidades.)
a0 + a1 x + a2 x 2
b0 + b 1 x + b2 x 2
seja uma função constante, onde a0 , b0 , a1 , b1 , a2 , b2 são não nulos.
73. Determine uma condição necessária e suficiente para que f (x) =
74. (a) Calcule as assı́ntotas (verticais e horizontais) e esboçe o gráfico de
2x
f (x) =
.
x−2
14
(b) Mostre que f é uma função injetora em seu domı́nio e que f (x) =
f −1 (x).
75. Encontre as assı́ntotas e esboce o gráfico de:
2
2
(a) f (x) =
(b) f (x) = 2
2
(x − 2)
x −1
2
x3
2x
(d) f (x) = 2
(c) f (x) =
x−2
x −1
3x
(e) f (x) = 2
x +1
Atenção: Nos itens (d) e (e) há assı́ntotas inclinadas. Nesses casos faça
primeiro a divisão do polinômio para depois traçar o gráfico. Confira seus
esboços com um programa de computador.
76. Encontre as assı́ntotas e esboce o gráfico de f (x) =
x3 − x2 − x + 1
.
x2 + 1
77. Um terreno é delimitado na forma de um retângulo com área 144 m2 .
(a) Escreva uma expressão para o merı́metro P como uma função do comprimeto x.
(b) Esboce um gráfico da função perı́metro e determine, aproximadamente, a partir do gráfico, as dimensões nas quais o perı́metro é
mı́nimo.
78. A figura a seguir ilustra o gráfico de h(x).
Com base nele faça o que se pede e responda à pergunta:
(a) Esboçe o gráfico de y = h−1 (x), e de y =
15
1
.
h(x)
(b) O que acontece com a assı́ntota quando você esboça o gráfico da inversa?
79. Construa o gráfico de f (x) = x3 + 2x e, a partir dele, obtenha o número de
raı́zes reais de f (x) = 0.
80. Quantas são as raı́zes da equação x3 − 10x2 + 5x − 1 = 0 no intervalo [0, 3[?
81. Determine α de modo que f (x) = x3 + x2 + 5x + α tenha pelo menos uma
raiz no intervalo ] − 2, 0[.
82. Dizemos que um número é algébrico se ele é a raiz de um polinômio com
coeficientes inteiros. Prove que os seguintes números são algébricos:
p
p√
√
√
√
√
√
√
(b) 3
(c) 3 + 2
(d) 3 + 2
(e)
3+ 2
(a) 2
r
10 √
10 √
83. Mostre que o número α =
2+
3 + 3 2−
3 é inteiro. (Dica:
9
9
construa um polinômio tendo α como raiz, e mostre que todas suas raı́zes
são inteiras.)
r
3
84. Desafio. Indicamos por Q[x] o conjunto dos polinômios de todos os graus na
variável x, com coeficientes racionais. Chamamos um subconjunto I ⊂ Q[x]
de ideal se:
• para todos os p(x), q(x) ∈ I tem-se p(x) + q(x) ∈ I.
• para todos os f (x) ∈ Q[x] e p(x) ∈ I tem-se f (x)p(x) ∈ I
Prove que se I é um ideal de Q[x] existe um polinômio h(x) de modo que
todo elemento de I pode ser obtido multipicando h(x) por algum polinômio
de Q[x].
Gabarito
1. a. π/6.
b. π/18.
c. π/4.
d. 3π/4.
e. 17π/18.
f. 3π/2.
2. a. 3900◦ .
b. 90◦ .
c. 540◦ .
d. 5◦ .
e. 1800◦ .
f. 270◦ .
3. 30 metros.
16
g. π/12.
h. 70π/18.
i. 6π.
j. π/5.
6. a.
b.
c.
d.
sin(3θ) = 3 sin(θ) − 4 sin3 (θ).
cos(3θ) = 4 cos3 (θ) − 3 cos(θ).
cos(4θ) = 8 cos4 (θ) + 8 cos2 (θ) + 1.
sin(4θ) = 4 sin(θ) cos3 (θ) − 4 sin3 (θ) cos(θ).
10. a. x = 2kπ, k ∈ Z.
b. x = kπ/2 ou x = kπ/5, k ∈ Z.
7π
π
π
+ 2kπ ou −x = + 2kπ, k ∈ Z.
c. x = ± + 2kπ ou x =
2
6
6
π
d. x = 2kπ ou x = π + 2kπ ou x = ± + 2kπ, k ∈ Z.
2
θ
0
sin(θ)
0
cos(x)
1
tan(θ)
0
sec(θ)
1
cotg(x)
6∃
π
6
1
√2
3
√2
3
3
√
2 3
3
√
3
cossec(x)
6∃
2
π
√4
2
√2
2
2
1
√
2
1
√
2
π
√3
3
2
1
2
√
3
2
√
3
3
√
2 3
3
π
2
2π
√3
3
2
1
−
2
√
− 3
1
0
6∃
6∃
−2
√
3
6∃ −
√3
2 3
1
3
3π
√4
2
2
√
2
−
2
−1
√
− 2
π
5π
4
√
1
√
− 2
6∃
10π
6
√
3
−
2
1
2
√
− 3
6∃
2
1
√
− 2
6∃
2
√2
2
−1 −
2
0
0
−1
−
3π
2
−1
0
√
−1
√
2
6∃
6∃
−1
−
3
3
√
2 3
−
3
12.
14. a. sin(0) = 0, sin(1) = 0.84, sin(1.5) = 1, sin(−2.6) = −0.52, sin(π) =
0, sin(−π/2) = −1, sin(5000) = −0.99.
b. cos(0) = 1, cos(1) = 0.54, cos(2.5) = −0.8, cos(3) = −0.99,
cos(5280) = −0.53, cos(−782) = −0.97, cos(π) = −1, cos(−π/2) =
0, cos(3π/2) = 0.
c. tg(0) = 0, tg(1) = 1.56, tg(1.5) = 14.1, tg(π) = 0, tg(π/4) = 1,
tg(1000) = 1.47.
d. cotg(1) = 0.64, cotg(1.5) = 0.07, 6 ∃ cotg(π/2), cotg(2π/3) =
−0.58, cotg(π/4) = 1, cotg(700) = −1.54.
e. sec(0) = 1, sec(1) = 1.85, sec(1.5) = 14.14, sec(π) = −1, sec(π/4) =
1.41, sec(1000) = 1.78.
f. cossec(1) = 1.19, cossec(1.5) = 1, cossec(π/2) = 1, cossec(2π/3) =
1.15, cossec(π/4) = 1.41, cossec(700) = 1.84.
15.
17
sen θ
1 − cos θ
1 + cos θ
c.
e.
cos θ
2
1 − cos θ
2
1 + cos θ
d.
b.
1 − cos θ
2
π
−1
3
7853, 9816 km.
√
a. 3
π
π
b. θ = e β =
3 √
6
√
√
√
3
1
1
3
3
,cos θ = ,sen β = ,cos β =
,tg θ = 3,tg β =
c. sen θ =
2
2
2
2
3
√
√
b = 2 ,sen A
b = 2 , tg A
b=1
b = π , cos A
A
4
2
2
√
√
(1 + 3) √
(1 − 3) √
d. p
−1
a.
2
b.
2
√
4
4
2− 3
e.
c. 0
2
p
a. t v12 + v22 − 2v1 v2 cos θ
p
√
√
d. 3v2
b. a. v1
b. 2 − 2v1 c. 0
p
S π
3
2
a. (f ◦ g)(x) = 3 1 − cotg x, Dom(f ◦ g) =
+ nπ, π + nπ ;
4
4
n∈Z
√
2
(g ◦ f )(x) = cotg(3 1 − x ), Dom(g ◦ f ) = (−1, 1)
√
−1 1
2
b. (f ◦ g)(x) = cos( 1 − 4x ), Dom(f ◦ g) =
, ;
2 2
√
S π
2
2
+ nπ, π + nπ
(g ◦ f )(x) = 1 − 4 cos x, Dom(g ◦ f ) =
3
n∈Z 3
a.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23. a. f (x) = sen x, g(x) = 2x
b. f (x) = sen x, g(x) = x2
c. f (x) = x2 , g(x) = sen x
d. f (x) = sen x, g(x) = cos x
e. f (x) = x2 , g(x) = sen 3x
f. f (x) = |x|, g(x) = sen x
24. g ◦ h ◦ f
25. 1, 791 seg; 1, b
3 seg; 0, 769 seg
26.
18
g. f (x) = cos x, g(x) = |x|
h. f (x) = tg x, g(x) = x2 + 1
√
i. f (x) = x, g(x) = sen x
j. f (x) = 2x g(x) = cossec x
k. f (x) = 3x2 +x+1 g(x) = sen x
l. f (x) = sen x g(x) = cos2 x
a.
π
4
b.
√
2π
c. 4
d.
√
27. a. P = 2π, A = 3
b. P = π, A = 3
c. P = π, A = 3
d. P = π, A = 4
28. a. h(t)
b. f (t)
29. (a) f (x) = 2 sen
x
3π
e. 196
f.
π
7B
e. P = 8π, A = 4
f. P = π, A = 1
c. g(t)
πx (f ) f (x) = 3 sen
9
π (x − 1)
(g) f (x) = 3 sen
9
π (x + 2)
(h) f (x) = 3 sen
9
4 x
(b) f (x) = 2 + 2 sen
x 4
(c) f (x) = 5 cos
3
(d) f (x) = −4 sen (2x)
x
(e) f (x) = −8 cos
10
πt
30. h(t) = 7 + 1, 5 sen
3
πt π
31. (b) p(t) = 800 + 100 sen
−
6
2
1
segundos.
32. (a) O perı́odo de oscilação é de
60
(b) V0 representa a voltagem máxima que é atingida.
33. (a) Como o perı́odo é π em ambas, temos que as duas funções se
cortam em 3, 64 − π, que é positivo e menor que 3, 64.
(b) As funções se cortam em 3, 64 + Kπ para todo K ∈ Z. Em
particular para todo K inteiro positivo.
(c) As funções se cortam em 3, 64 − 2π, que é negativo.
34. (a) O perı́odo é 2π.
2π
e de cos t é 2π.
3
(c) O perı́odo de 2 sen 3t + 3 cos t é 2π pois este é o menor número
2π
positivo multiplo de
e 2π.
3
35. (a) O perı́odo é 3, 14159.
(b) O perı́odo é π.
π
(c) O perı́odo de sen4x é
e de cos 2x é π. Logo o perı́odo de
2
π
2 sen 4x + 3 cos 2x é o menor número positivo multiplo de e π,
2
que é π.
2M π
36. O perı́odo é
, onde M = mmc(m, n).
mn
(b) O perı́odo de sen 3t é
19
o S 5π
38. (a)
+ 2kπ; k ∈ Z
+ 2kπ; k ∈ Z .
6
6
nπ
o S 5π
(b)
+ 2kπ; k ∈ Z
+ 2kπ; k ∈ Z .
3
3
nπ
o
(c)
+ kπ; k ∈ Z .
n4π
o
(d)
+ kπ; k ∈ Z .
3
nπ
o S 3π
(e)
+ 2kπ; k ∈ Z
+ 2kπ; k ∈ Z .
4
4
nπ
o S 11π
(f )
+ 2kπ; k ∈ Z
+ 2kπ; k ∈ Z .
6
6
(g) {kπ; k ∈ Z}.
nπ
o
(h)
+ 2kπ; k ∈ Z .
2
(i) {kπ; k ∈ Z}.
(j) {2kπ; k ∈ Z}.
o
nπ
+ kπ; k ∈ Z .
(k)
2
3π
+ kπ; k ∈ Z .
(l)
4
3π
(m)
+ kπ; k ∈ Z .
4
o
nπ
+ kπ; k ∈ Z .
(n)
6
S 11π
7π
+ 2kπ; k ∈ Z
+ 2kπ; k ∈ Z .
(o)
6
6
nπ
o S 7π
(p)
+ 2kπ; k ∈ Z
+ 2kπ; k ∈ Z .
4
4
h π πi
39. Se temos θ, φ ∈ − ,
com θ > φ, então θ + φ ∈ ]−π, π[ e θ −
2 2
θ−φ
θ+φ
φ ∈ ]0, π]. Assim, como sen θ − sen φ = 2 cos
sen
,
2
2
θ+φ
θ−φ
cos
> 0 e sen
> 0, temos que sen θ − sen φ > 0, ou
2
2
seja, sen θ > sen φ. Portanto a função é estritamente crescente.
i π πh
40. Se temos θ, φ ∈ − ,
com θ > φ, então θ − φ ∈ ]0, π[. Além disso,
2 2
nπ
20
temos que:
tg θ − tg φ = (1 + tg θ tg φ) tg (θ − φ)
sen θ sen φ sen (θ − φ)
=
1+
cos θ cos φ cos (θ − φ)
cos (θ − φ) − cos θ cos φ sen (θ − φ)
=
1+
cos θ cos φ
cos (θ − φ)
cos (θ − φ) sen (θ − φ)
=
cos θ cos φ cos (θ − φ)
sen (θ − φ)
=
cos θ cos φ
com sen (θ − φ) > 0, cos θ > 0 e cos φ > 0. Logo tg θ − tg φ > 0 e a
função é estritamente crescente.
√
√
1 − x2
41. (a) cos (arcsen x) = 1 − x2
(e) tg (arccos x) =
√
x
(b) sen (arccos x) = 1 − x2
(f ) sen (arccos 1) = 0
1
√
(c) cos (arctg x) = √
1
3
2
x +1
(g) cos arcsen
=
2
2
1
(d) cos (arcsec x) =
(h) tg (arccos 0) = ∞
x
42. a = 8, b = −9, c = 3.
43. 6 ∃
44. a) f (x) = x2 + 2x + 1
b) 6 ∃
46. a) (2x−1)(x2 +2x+3) e) (x−3)(x2 −4x−4) i) x(x3 −2x2 −4x−8)
b) (x−1)(x+3)(2x− f ) (x − 3)(x2 + 3x + 9) j) (x − 1)x(x + 1)(x +
3)
1)
g) (x − 1)(x + 1)(x2 +
k) −(x2 − 3)(2x2 − 1)
1)
c) (2x−1)(x2 +2x−2)
+ 2)
d) (x − 3)(x + 1)(x2 + h) (x−2)(x+1)(2x− l) (x − 2)(x
√
√
1
m) (x − 3)(x + 3)
2x + 2)
1) 6
1
xy
24y + 24x + 14xy
12y + 6x + 5xy
6xy
6y − 6x − 5xy
6xy
−x
47. a) −
b)
c)
d)
e)
t4 − t3 − t2 − t − 2
(1 + t2 )3
x−1
g)
x−2
1
h) 2
x −2
3x4 + 36x2 − 3
i)
36x2
f)
21
x12 + 2x6 + 1
4x6
8
16x + 8x4 + 1
k)
16x4
3
x +1
l) 2
x −x
2x2 − 2x + 1
n)
2x
j)
– Valores de x para os quais a função f (x) não está definida.
a)
b)
c)
d)
e)
x=0
x=0
t=5
x = 1 e x = −1
x = −3/2
x = −3
f ) x = 1/3
g) x = 1 e x = −1 k) x = −3
h) ∅
l) x = 0, x = 3 e
x = −3
i) x = −3
j) x = 0, x = 3 e m) x = −3
– Expressão de f (x) fatorada e os zeros.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x2 − 4x + 4
x2 + 2
; zeros: x = 2
h) 2
; zeros: 6 ∃
x
x +1
3
4x2 + 4x + 1
; zeros: x = i) − x ; zeros: x = 0
x
x+3
−1/2
x3 − 3
t+5
; zeros: x = 31/3
j)
; zeros: x = −5
2 − 9)
x(x
5−t
x2
x3
;
zeros:
x
=
0
k)
−
; zeros: x = 0
1 − x2
x+3
6x + 3
x3 − 3
; zeros: x = −1/2
l)
; zeros: x = 31/3
4x + 6
2 − 9)
x(x
4x + 1
; zeros: x = −1/4
(x − 1)2 (x + 2)
3x − 1
; zeros: x =
m)
2
x +1
x+3
; zeros: 6 ∃
1ex=2
x2 − 1
– Valores onde a função é positiva e negativa.
a) f (x) < 0 se x < 0; f (x) > 0 se x > 0;
b) f (x) < 0 se x < 0; f (x) > 0 se x > 0;
c) f (x) < 0 se x < −5 e x > 5 ; f (x) > 0 se −5 < x < 5;
d) f (x) < 0 se x < −1 e x > 1 ; f (x) > 0 se −1 < x < 1;
e) f (x) < 0 se −3/2 < x < −1/2; f (x) > 0 se x < −3/2 e
x > −1/2 ;
f ) f (x) < 0 se x < 1/3; f (x) > 0 se x > 1/3;
g) f (x) < 0 se −1 < x < 1; f (x) > 0 se x < −1 e x > 1 ;
h) f (x) > 0 para qualquer x real;
i) f (x) < 0 se x > 0; f (x) > 0 se x < 0;
j) f (x) < 0, se −3 < x < 0, 31/3 < x < 3 ; f (x) > 0 se x < −3,
0 < x < 31/3 e x > 3
k) f (x) < 0 se x > 0; f (x) > 0 se x < 0;
l) f (x) < 0, se −3 < x < 0, 31/3 < x < 3 ; f (x) > 0 se x < −3,
0 < x < 31/3 e x > 3
22
m) f (x) < 0 se −3 < x < −2; f (x) > 0 se x < −3, −2 < x < 1 e
x > 1;
147
2
eb=
51. a = −
27
27
1/3
−1/3
52. p = 2 e q = 2
54. a = 2
55. p(x) = x3 + x2 − 4x + 2
56. c = 0
57. 1, 2 e 3 são raizes de f .
2
58. − x8 + 12 .
59. I. a) 3. b) negativo.
II. a) 4. b) positivo.
III. a) 4. b) negativo.
IV. a) 5. b) negativo.
V. a) 5. b) positivo.
61. a. para n par.
b. para n ı́mpar.
62. São pares os que só têm potência par. Ex: x6 − 5x4 + 3x2 + 1.
São ı́mpares os que só têm potência ı́mpar.
O polinômio x + 1 não é par nem ı́mpar, por exemplo.
63. a. a + b + c = 1.
b. b = −2a = 2 − 2c.
c. c = 6.
d. f (x) = 5x2 − 10x + 6.
64. x4 − 2x3 − 9x2 + 2x + 8.
65. a. x4 − 6x2 + 1.
b. x4 − 10x2 + 1.
66. a.
b.
c.
d.
c. x5 − x4 − 12x3 + 2x2 + 36x + 24.
f (x) = −(x + 3)(x − 1)(x − 4).
f (x) = −x(x + 3)(x − 4).
f (x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3)(x − 5).
f (x) = −(x + 2)(x − 2)2 (x − 5).
67. a. f (x) = 15 x3 − 45 x2 − 57 x + 2.
68. f (x) = 41 x3 + 32 x2 + 3x + 2.
69.
23
b. f (x) = − 12 x3 − x2 + 2x + 4.
a. 2.
b. -2.
c. Não existe.
d. Não existe.
70. −1, 1, 2.
71. x = −1, x = 1 ou x = 2.
72. Por exemplo, g(x) = 2x2 e h(x) = x2 + 1.
73.
a0
b0
=
a1
b1
=
a2
b2
= constante, ou seja, um polinômio é múltiplo do outro.
74. a. Assı́ntota vertical: x = 2. Assı́ntota horizontal: y = 2
d. x = −1, x = 1 e y = x.
e. y = 0.
75. a. x = 2 e y = 0.
b. x = −1, x = 1 e y = 0.
c. x = 2 e y = 2x + 4.
76. Assı́ntota: y = x − 1.
77. a. P (x) =
x2 +288
.
x
b. x = 12, y = 12.
79. Há apenas uma raı́z real.
80. Nenhuma.
81. α ∈ (0, 14).
82. a. Polinômio: x2 − 2.
b. Polinômio: x2 − 3.
c. Polinômio: x4 − 10x2 + 1.
24
d. Polinômio: x4 − 6x2 + 7.
e. Polinômio: x8 − 10x4 + 1.