Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Conservação de quantidade de movimento angular: aplicações em turbomáquinas Paulo R. de Souza Mendes Grupo de Reologia Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica - RJ agosto de 2010 Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Sumário Conservação de quantidade de movimento angular O balanço de QMA em um pedaço de fluido Aplicação em turbomaquinaria Turbinas Acionadores primários Exemplos Exemplo: ventilador de fluxo axial Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos O balanço de QMA em um pedaço de fluido t = n .T n T = dA M = const V(t) dV V r r g dH dt onde V Z (r × V ) ρd∀ H= O ∀(t) e Z T = T eixo + Z r × (n · T ) dA + S(t) (r × g) ρd∀ ∀(t) Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Equação de conservação de QMA para um ∀C • usando o teorema do transporte, obtemos a equação para um volume de controle ∀C Z Z T eixo + r × (n · T ) dA + (r × g) ρd∀ ∀C SC d = dt Z Z (r × V ) ρd∀ + ∀C (r × V ) ρV · ndA SC Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Aplicação em turbomaquinaria • Usa-se tipicamente apenas o componente da equação na direção do eixo de rotação da máquina (direção z, por exemplo) • Desprezam-se os torques devidos às forças de superfície e de corpo • supondo que as propriedades são uniformes ao longo das secções 1 (entrada) e 2 (saída), obtemos simplesmente Teixo,z = ṁ(r2 Vt2 − r1 Vt1 ) e Ẇeixo = ωTeixo,z onde Vt1 e Vt2 são os componentes tangenciais da velocidade absoluta do fluido na entrada e na saída, respectivamente, e ω é a velocidade angular do eixo. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbomáquinas: Turbinas e acionadores primários Turbinas extraem energia (ou QMA) do fluido de impulso o jato é acelerado externamente ao rotor a reação existem palhetas fixas (ou guias), presas à carcaça, e palhetas móveis (giratórias), presas ao eixo. Parte da aceleração ocorre nas palhetas fixas, e parte nas móveis. eficiência: η= energia que sai pelo eixo energia extraída do fluido Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbomáquinas:Turbinas e acionadores primários Acionadores primários entregam energia (ou QMA) ao fluido bombas para líquidos e pastas centrífugas líquidos de deslocamento positivo pastas ventiladores gases e vapores, altas vazões e pequenos ∆p’s compressores gases e vapores, baixas vazões e altos ∆p’s eficiência: η= energia entregue ao fluido energia que entra pelo eixo Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: roda d’água Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: roda Pelton Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: roda Pelton Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: Francis Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: Francis Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: Kaplan Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas hidráulicas: Kaplan Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas a gás Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas a gás Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Turbinas a gás Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Outras turbinas Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Outras turbinas Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Outras turbinas Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Bombas centrífugas Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Bombas centrífugas Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Bombas parafuso Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Bombas parafuso Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Bombas a diafragma Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Bombas a diafragma Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Ventiladores Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Ventiladores Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Ventiladores Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Compressores Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Compressores Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Compressores Exemplos Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Exemplo: ventilador de fluxo axial nto escoame Do Rm Dados:D1 , Do , ω, α1 , β1 , β2 Achar: ω • vazão, Q Di • torque no rotor, Teixo,z • potência transmitida ao fluido, Ẇeixo . 1 2 Utilizar o raio médio Rm = (Di + Do )/4 para avaliar a quantidade de movimento angular na entrada 1 e na saída 2. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos velocidades absolutas e relativas Solução: os dados do problema são mostrados na figura ao lado. Para usarmos a equação de conservação de quantidade de movimento angular, a saber, fluxo de ar 1 U = ω.Rm ROTOR U = ω.Rm 2 CARCAÇA Vrb1 Teixo,z = ṁ(r2 Vt2 − r1 Vt1 ) β1 α1 V1 U = ω.Rm V2 Vrb2 z α2 β2 precisamos primeiro avaliar os componentes tangenciais da velocidade absoluta Vt1 e Vt2 . Para isso, precisamos dos assim chamados polígonos de velocidade. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos polígono de velocidade na secção 1 1 U = ω.Rm V1 α1 V n1 Vt1 β1 Vrb1 Na entrada 1, conhecemos os ângulos α1 e β1 , e a velocidade da palheta U = ωRm . Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta ~1 = U ~ +V ~ rb1 . Da figura, podemos escrever: V U = Vrb1 cos β1 + Vt1 ; Vt1 = tan α1 ; Vn1 = Vbr 1 sin β1 Vn1 Logo, Vn1 = ωRm ; cot β1 + tan α1 Vt1 = ωRm tan α1 cot β1 + tan α1 Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Cálculo da vazão A vazão é obtida simplesmente multiplicando o componente normal da velocidade absoluta, Vn1 , pela área de secção reta: π Q = Vn1 (Do2 − Di2 ) 4 ou Q= πωRm (Do2 − Di2 ) 4(cot β1 + tan α1 ) Além disso, do princípio de conservação de massa obtemos que Vn2 = Vn1 pois as áreas na entrada e saída são iguais. Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos polígono de velocidade na secção 2 U = ω.Rm 2 V2 Vt2 α2 β2 Vrb2 Vn2 = Vn1 Na saída 2, conhecemos o ângulo β2 , a velocidade da palheta U = ωRm . e o componente normal da velocidade absoluta, Vn2 . Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta ~2 = U ~ +V ~ rb2 . Da figura, podemos escrever: V U = Vrb2 cos β2 + Vt2 ; Vt2 = tan α2 ; Vn2 = Vbr 2 sin β2 Vn2 Logo, tan α2 = ωRm − cot β2 ; Vn1 Vt2 = ωRm − Vn1 cot β2 Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos Cálculo do torque e da potência De posse das velocidades Vt1 e Vt2 , determinam-se o torque e a potência utilizando as expressões já obtidas: Teixo,z = ρQRm (Vt2 − Vt1 ); e Ẇeixo = ωTeixo,z
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