UFSJ - DEMAT
Lista Nº 4
Semestre II -2011
15. Calcule a área das seguintes regiões:
(a) um laço da rosácea r = cos 3θ
Resp.
(b) a região contida pela lemniscata r2 = 4 cos 2θ
π
12
Resp. 4
16. Calcule as integrais iteradas:
R1RzRy
R π R 2 R √4−z 2
(a) 0 0 0 xyz dxdydz
(b) 0 0 0
z sin y dxdzdy.
Resp. (a)
1
48 ,
(b)
16
3 .
17. Calcule as integrais triplas:
RRR
(a)
D yz dxdydz, onde D = {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2z, 0 ≤ x ≤ z + 2}.
RRR
(b)
D y dxdydz, onde D é a região abaixo do plano z = x + 2y e acima da região no plano xy limitada
pelas curvas y = x2 , y = 0 e x = 1.
RRR
(c)
D xy dxdydz, onde D é o tetraedro sólido com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
RRR
(d)
D z dxdydz, onde D é limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 e x + z = 1.
RRR
2
2
(e)
D x dxdydz, onde D é limitada pelo parabolóide x = 4y + 4z e pelo plano x = 4.
Resp. (a) 57 , (b)
5
28 ,
(c)
1
10 ,
(d)
1
12 ,
(e)
16π
3 .
18. Determine a massa e o centro de massa do cubo Q = [0, a] × [0, a] × [0, a] cuja densidade é dada pela
função δ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
Resp. a5 , (7a/12, 7a/12, 7a/12).
19. Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos seus
vértices é a origem e três de suas arestas estão sôbre os eixos coordenados.
Resp. Ix = Iy = Iz = 32 kL5 .
20. Calcule as seguintes integrais:
RRR
2
2
2
2
(a)
E (x + y ) dxdydz, onde E é a região limitada pelo cilindro x + y = 4 e pelos planos z = −1 e
z = 2.
RRR
2
2
2
2
(b)
E y dxdydz, onde E é a região entre os cilindros x + y = 4 e x + y = 1, limitada pelo plano xy e
pelo plano z = x + 2.
RRR 2
2
2
(c)
E x dxdydz, onde E é o sólido limitado pelo cilindro x + y = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do
cone z 2 = 4x2 + 4y 2 .
Resp. (a) 24π, (b) 0, (c) 2π/5.
21. Determine o volume da região R limitada pelos parabolóides z = x2 + y 2 e z = 36 − 3x2 − 3y 2 .
Resp.162π.
22. Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo parabolóide z = 4x2 + 4y 2 o pelo plano
z = a (a > 0), se S tem densidade constante K.
Resp. πKa2 /8, (0, 0, 2a/3).
23. Calcule as integrais:
RRR
2
2
2
2
2
2
(a)
B (x + y + z ) dxdydz, onde B é a bola unitária x + y + z ≤ 1.
RRR 2
2
2
2
(b)
E y dxdydz, onde E é a parte da bola unitária x + y + z ≤ 1 contida no primeiro quadrante.
RRR p
(c)
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, onde E é a região interior ao cone φ = π/6 e à esfera δ = 2.
E
√
Resp. (a) 4π/5, (b) π/30, (c) 4π(2 − 3).
24. Determine a massa de um hemisfério sólido H de raio a se a densidade em qualquer ponto é proporcional
a sua distância ao centro da base.
Resp. Kπa4 /2, onde K é a constante de proporcionalidade.
3
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Lista Nº 4
Semestre II -2011
2
2
2
25. Calcule o volume da região limitada pelo elipsóide xa2 + yb2 + zc2 = 1 (Sugestão: Use a mudança de
variáveis x = au, y = bv, z = cw).
Resp. 43 πabc.
n
o
RRR
y2
x2
2 ≤ 1, x ≥ 0 .
26. Calcule a integral
x
dxdydz,
onde
E
=
(x,
y,
z)
:
+
+
z
Resp. 3π
4
9
2 .
E
27. Calcule a massa do sólido E = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 , z ≥ a > 0} para δ(x, y, z) = z.
Resp. π4 (r2 − a2 )2 .
p
28. (a) Calcule o volume da região acima do cone z = x2 + y 2 e dentro da esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 .
√
3
Resp. a3π (2 − 2)
p
(b) Calcule a massa da região acima do cone z = x2 + y 2 , dentro da esfera x2 + y 2 + z 2 = 2az, a > 0 com
28
δ(x, y, z) = x2 + y 2
Resp. 15
πa5 .
29. Calcular a massa da região R limitada por:
(a) z(x2 + y 2 ) = 2, z = 0, x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 2, com x ≥ 0 e y ≤ 0, e densidade constante igual a 1.
Resp. πln2 2
(b) z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 − 2y = 0, R ⊂ {x ≥ 0} com δ(x, y, z) = 1
Resp.
(c) x2 + y 2 = 1 + z 2 , x2 + y 2 = 4 com δ(x, y, z) = |z|;
Resp.9π
(d) x2 + y 2 = 1 + z 2 , x2 + y 2 = z 2 , R ⊂ {−a ≤ z ≤ a} com δ(x, y, z) = |z|;
(e)
x2
4
+
y2
9
2
= 1 + z 2 , x4 +
y2
9
32
9
Resp. πa2
= 2z 2 com δ(x, y, z) = 1;
Resp. 8π
5
3
(f) x2 + y 2 = 1 + z 2 , x2 + y 2 = 2 + 2z 2 , R ⊂ {|z| ≤ a} para δ(x, y, z) = z 2 .
Resp. 2π( a5 + a3 )
RRR
30. Calcule
R (x + y + z)(x + y − z)dxdydz para R limitada por: x + y + z = 1 , x + y + z = 2 , x + y − z = 0
, x + y − z = 2 , x − y − z = 1 e x − y − z = 2.
Resp. 34
RRR
31. Calcule
R z dxdydz , onde R é limitada por:
x2
9
2
2
2
2
+ y4 = 1 + z 2 , x9 + y4 = 4 + z2 , R ⊂ {z ≥ 0}.
p
p
(b) z = (x − 1)2 + y 2 ; z = − x2 + y 2 ; x2 + y 2 = 4.
(a)
Resp. 27π
Resp. 2π
32. Calcule o volume da região limitada por: z = 1 − x2 − y 2 e z = −1 + (x − 1)2 + y 2 .
33. Calcule o volume da região limitada por: x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 ; x2 + y 2 ≥
r2
2
Resp.
3
2πr
√
3 2
34. Use a transformação x = u2 , y = v 2 , z = w2 para calcular o volume da região limitada pela superfı́cie
√
√
√
x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.
2
35. Calcule a massa da região limitada por: x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 ; x2 + y 2 ≥ r2 + z 2 , com δ(x, y, z) = x2 + y 2 .
Resp. πr5 /4.
√
36. Calcule a massa do sólido limitado por u2 + v 2 + w2 = 4v, u2 + v 2 + w2 = 2v, com v ≥ u2 + w2 , sendo
a densidade δ(u, v, w) = 2u2 + 3w2 .
Resp. 31. 11
12 π.
37. Calcule a massa do sólido dado por
S = {(u, v, w) : u2 + v 2 + w2 ≥ 1,
u2 + v 2 + w2 ≤ 2u}
sendo a densidade δ(u, v, w) = u.
Resp.
38. Seja f contı́nua em [0, 1] e seja R a região triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Mostre que
ZZ
Z 1
f (x + y) dxdy =
uf (u) du.
R
0
4
9
8 π.
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39. Calcule
Lista Nº 4
ZZ
D
Semestre II -2011
1
dxdy,
(x2 + y 2 )n/2
onde D é a região entre os cı́rculos com centros na origem e raios r e R, 0 < r < R. Para que valores de n
a integral tem limite quando r → 0+? E quando R → ∞?
Faça uma análise semelhante para a integral tripla
ZZZ
D
(x2
+
1
dxdy,
+ z 2 )n/2
y2
onde D é a região interior às esferas com centros na origem e raios r e R, 0 < r < R.
40. Teorema de Pappus I: Mostre que se A1 , A2 ⊂ IR3 são sólidos disjuntos com massas m1 e m2 e centros
2 c2
de massa c1 e c2 , então o sólido A3 = A1 ∪ A2 tem centro de massa c3 = m1mc11 +m
+m2 .
Observe que c3 está no segmento que une c1 e c2 .
Teorema de Pappus II: Seja E ⊂ IR3 uma reta e A um domı́nio plano, A ⊂ IR3 , e suponha que A ∩ E = φ, e
estão contidos no mesmo plano. Então o volume do sólido obtido pela rotação de A ao redor de E é V = 2πr
área (A) onde r é a distncia de E ao centro geométrico de A. Mostre este teorema no caso em que E é o
eixo y e A = {(x, y)/a ≤ x ≤ b , 0 ≤ g(x) ≤ y ≤ f (x)}.
Usando o Teorema de Pappus, calcule o volume do toro de raios b > a > 0 , R = 2π 2 ba2 .
Questões de Provas
(1996)
RR
1. Calcule D y1 dydx onde D é a região do plano limitada por x = y 2 − 4y + 3 e x = y + 1.
RR
2. Calcule D (x2 − y 2 ) sen((x + y)2 ) dxdy , onde D é o paralelogramo de vértice (0, 0) , ( π4 , − π4 ) , ( π2 , 0)
e ( π4 , π4 ).
RRR p
3. Calcule
x2 + y 2 dxdydz , onde V é o sólido definido por z ≥ (x−1)2 +y 2 −1 ; z ≤ 1−(x−1)2 −y 2 .
V
p
RRR p
4. Calcule
x2 + y 2 + z 2 dxdydz , onde V é o sólido definido por z ≥ x2 + y 2 ; x2 +y 2 +z 2 −2z ≥ 0
V
x2 + y 2 + z 2 ≤ 16.
(1998)
R1R1
3
1. Calcule 0 √x ey dydx
RR
2. Calcule D [(x + 3y)2 + (3x + y)2 ] dxdy onde D é a região plana limitada pelas retas x + 3y = 1,
x + 3y = 3 3x + y = 1 e 3x + y = 2.
RRR
2
2
2
2
2
2
3. Calcule
D y dxdydz onde D é limitada pelas superfı́cies (z − 1) = x + y , (z + 1) = x + y e
satisfazendo ainda a seguinte propriedade: (x, y, z) ∈ D ⇒ y ≥ 0.
(1999)
RR
1. Calcule D ey−x dxdy sendo D a região plana limitada por: y − x = 1; y − x = 2; y = 2x e y = 3x.
R1R √
3y
2. Calcule a seguinte integral: 0 y sen(x2 ) dxdy.
2
2
3. Determine o volume do sólido limitado pelas superfı́cies (x−1)
+ y3 = 1; z = x2 + y 2 e z = 0.
2
RRR √
3
2
2
4. Calcule a integral
S y dxdydz sendo S o sólido limitado pelas superfı́cies y = x ; x = y e y = z .
5
UFSJ - DEMAT
Lista Nº 4
Semestre II -2011
(2000)
1. Calcule as seguintes integrais:
R1R1
2
a) 0 x2 xey dydx
RR
b) D x dxdy, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y = x, y =
1
x
e y = 2.
2. Seja D a região do primeiro octante limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = 0 e
√
RRR
y = 3 x. Calcule
D y dxdydz.
3. Seja D a região do espaço interior ao cilindro x2 + y 2 = 16, exterior ao cilindro x2 + y 2 − 4x = 0,
RRR
compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. Calcule
D x dxdydz.
(2001)
1. Calcule as seguintes integrais:
R1R1 √
a) 0 √y x3 + 1 dxdy
RR
b) D x dxdy, onde D é a região do plano limitada pelas curvas y 2 = x + 2 e y − x + 4 = 0.
2. Calcule o volume do sólido S descrito por S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 ≤ y ≤ 2 − x2 , z ≥ 0 e x + z ≤ 4}.
3. Seja D a região do espaço IR3 interior ao cilindro x2 + y 2 = a2 e exterior ao cilindro x2 + y 2 + ay = 0,
RRR
compreendida entre os planos z = 0 e x + z = b, onde b > a > 0. Calcule
D y dxdydz.
(2002)
1. Calcule o volume da região R do IR3 onde
√
R = {(x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ x ≤ 1, 3 x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ sen(y 4 )}
√
RR
2
2
2. Calcule D y dxdy onde D é a região do plano xy interior à elipse x7 + y28 = 1 com y ≥ 2 3.
RRR
3
3. Calcular
R x dxdydz, onde R é a região de IR limitada pelas seguintes superfı́cies:
y = x2 ; z = 0; y = x + 2 e z = x + 1.
(2003)
1. Calcule as seguintes integrais:
R 1 R π/2
a) 0 arc sen x ecos y dydx
RR
b) D cos ( x−y
x+y ) dxdy onde D é a região limitada pelas retas x = 0, y = 0, x + y = 1 e x + y = 2.
2. Calcule o volume da região limitada pelas calhas z =
x2
9
e z =1−
y2
4 .
3. Calcule a massa da região limitada pelo hiperbolóide de uma folha x2 + y 2 = 1 + z 2 e pelo parabolóide
z = 3 − x2 − y 2 .
6