CURSO TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO
05
matemática
Calculando áreas
de figuras geométricas planas
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal
Ministério da Educação
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
EQUIPE SEDIS
| UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional
Janio Gustavo Barbosa
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
á
r
e
v
ê
Voc
..
.
i
u
q
a
por
... como realizar o cálculo de áreas de quadriláteros, de áreas de triângulos e de áreas
de círculos, ou seja, como calcular a área de figuras geométricas que estão ao nosso
redor, em objetos que estão em contato contínuo conosco.
Dentro do estudo de área dos quadriláteros, você verá como calcular a área das seguintes
figuras geométricas: quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos.
No estudo de áreas dos triângulos, você verá como determinar esse cálculo de diversas
maneiras: (I) com as medidas da base e altura do triângulo; (II) com as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo; (III) com as medidas dos lados de um triângulo
equilátero e (IV) com as medidas dos lados de um triângulo qualquer.
No estudo de área do círculo, você verá uma demonstração da fórmula da área dessa
figura e como calcular a área dessa figura a partir da medida do seu raio.
 Conhecer medidas necessárias para realização de cálculos
geométricos.
Objetivo
 Calcular área de figuras geométricas planas, quando necessário
ou solicitado.
Matemática A05
Para começo
de conversa...
Deserto pode afetar 16% da área do país
A terra vermelha e quase sem cobertura vegetal de Gilbués, no sul do Piauí,
parece se desmanchar ao abrir crateras e ondulações que avançam a cada
dia sobre a cidade. É o efeito mais visível de um processo de desertificação,
que consome a área e amplia a miséria da população mais carente. [...]
Esse é um problema que preocupa o mundo inteiro e que, no Brasil, pode
afetar 1.300.000 km2 (16% do total) e 31,6 milhões de pessoas, o que
representa 18% da população no país, caso nada seja feito.
Folha de São Paulo, 12 dez. 2004.
Fonte: <http://www.esquel.org.br/modules.php?name=News&file=article&sid=50> Acesso em: 22 jul. 2008.
Em decorrência de uma gestão descontrolada dos recursos naturais, áreas cada vez
maiores são envolvidas em desastres ecológicos.
Até em temas de atualidade como os problemas ambientais vemos a Matemática
envolvida. Nesse caso, falamos de áreas cada vez maiores que estão sendo
desertificadas. Mas como podemos calcular uma área? Se a área de 1.300.000
quilômetros quadrados fosse correspondente à área de um triângulo equilátero qual
seria a medida dos lados desse triângulo? E se essa área fosse de um quadrado, qual
seria a medida de seus lados?
Vamos aos estudos e, certamente, você poderá responder a essas perguntas ao final
desta aula.
Matemática A05
Estudando áreas
O que é medir a área de uma superfície?
Medir a área da superfície de uma figura plana é comparar a área da superfície dessa
figura plana com a área da superfície de uma figura tomada como medida padrão.
Calcular a área da superfície de uma figura plana é descobrir o quanto ela ocupa no
plano, contando quantas unidades padrão de área “cabem” na figura.
Unidade padrão de área
1
1
Figura 1
Comumente, um quadrado com lados de medida igual a 1 (veja a Figura 1) é utilizado
como unidade de área padrão.
A área de um quadrado é obtida pela expressão A = a2; a é a medida de seus lados. Essa
medida a pode corresponder a 1 metro, 1 centímetro, 1 quilômetro, 1 hectômetro... ou
mesmo corresponder a qualquer medida de comprimento que se tome como padrão.
A área do quadrado unitário, ou seja, do quadrado com lados de medidas unitárias (1
unidade de comprimento) é, então, igual a A = a2 = (1)2 = 1 unidade de área (1 u.a.),
como você pode observar na Figura 2.
Matemática A05
Área de quadrados
1
a2=1
1
Figura 2 − Área o quadrado unitário
Calcular a área de um quadrado é obter o produto da medida da base por si mesma, ou
seja, é obter o quadrado da medida de um de seus lados. Assim: A = a2.
Exemplo 1
Para determinar a área do quadrado cujos lados medem 20 cm, podemos
calcular o quadrado de 20 cm. Assim: A = (20 cm)2 = 400 cm2.
Caso seja necessário representar essa medida em metros quadrados,
podemos fazer a conversão de medidas de superfície que aprendemos na
aula anterior, obtendo 0,4 m2.
Se tiver alguma dúvida de como fazer essa conversão, releia a seção
“conversão de medidas de superfície”, na aula 4.
Matemática A05
Praticando...
. Calcule a área do quadrado cujo lado mede 1,5 cm.
. Calcule a área do quadrado cujo perímetro é 12 dm.
. Calcule a medida dos lados de um quadrado cuja área é igual a 1,2769 m2.
√
. Calcule a área do quadrado cujas diagonais medem 12 2 cm.
Responda aqui
área de outros quadriláteros
Quadrilátero é toda figura geométrica plana que possui quatro lados.
Em um quadrilátero, dois lados não-consecutivos ou dois ângulos não-consecutivos são
chamados de opostos.
Um quadrilátero ABCD, como o da Figura 3, apresenta:
 o lado AB oposto ao lado CD e o lado BC oposto ao lado AD;
 o ângulo A oposto ao ângulo C e o ângulo B oposto ao ângulo D.
5
Matemática a05
C
D
B
A
Figura 3 − Quadrilátero ABCD
Em um quadrilátero ABCD, como o da Figura 4, temos os seguintes elementos
comuns:
Vértices: nome dado aos pontos A, B, C, e D (pontos de interseção entre os lados).
Lados: os segmentos de reta AB, BC, CD e DA.
Diagonais: são duas. Os segmentos de retas AC e BD.
^, C
^eD
^.
Ângulos internos: são quatro. Os ângulos Â, B
Vértices
D
C
A
B
Diagonais
Vértices
Figura 4 − Quadrilátero ABCD
Além dos quadrados, que estudamos no item anterior, dentro do grupo dos quadriláteros,
vamos estudar como calcular a área dos retângulos, dos paralelogramos e dos
trapézios.
Matemática A05
Área de Retângulos
b
a
1 u.a
Figura 5 − Retângulo de área a · b
O retângulo ABCD, apresentado na Figura 5, tem altura medindo a unidades e
comprimento medindo b unidades.
3u
Os segmentos horizontais e os segmentos verticais que passam pelo interior do
retângulo dividem o retângulo em a ⋅ b quadrados, tendo 1 unidade de área, cada um.
6u
Figura 6 − Retângulo
Matemática A05
Exemplo 2
Na Figura 6, vemos um retângulo ABCD, que mede 6 unidades de
comprimento e 3 unidades de altura.
Os segmentos horizontais que passam no meio do retângulo e os segmentos
verticais dividem o retângulo em dezoito quadrados, tendo 1 unidade de
área, cada um. A área do retângulo ABCD é a soma das áreas desses
dezoito quadrados.
O número de unidades de área do retângulo é o mesmo com o obtido pelo
produto do número de unidades do comprimento da base pelo número
de unidades da altura. A área do retângulo pode ser representada pela
expressão: A = b ⋅ h.
Exemplo 3
Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 5 unidades de
comprimento (5 u.c.) e o comprimento da altura é 7 unidades de comprimento
(7 u.c.).
Considerando que a área do retângulo é dada pela expressão A = b ⋅ h,
temos:
A = b ⋅ h = (5 u.c.) ⋅ (7 u.c.) = 35 u.a.
Em situações do dia a dia, no cálculo de áreas em situações práticas,
usamos medidas de comprimento em unidades conhecidas como: metro,
decímetro, centímetro, etc.
Matemática A05
Exemplo 4
Para calcular a área de um retângulo com 3 m de altura e 10 cm de base,
podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade
de área.
Para representar a área em metros quadrados, devemos apresentar as
medidas em metros, assim h = 3 m e b = 10 cm = 0,10 m, a área obtida
será:
A = b ⋅ h ⇒ A = (3 m) ⋅ (0,10 m) ⇒ A = 0,30 m2.
Para representar a área em centímetros quadrados, devemos apresentar
as medidas em centímetros
Como h = 3 m = 300 cm e b = 10 cm, a área do retângulo será dada por:
A = b ⋅ h = (300 cm) ⋅ (10 cm) ⇒ A = 3 000 cm2.
Praticando...
2
1. Calcule a área do retângulo cujas dimensões medem, respectivamente,
1,5 dm e 1,2 dm.
2. Calcule a área do retângulo cujo perímetro é 12 dm e cuja altura está
para seu comprimento, assim como 1 está para 5.
3. A área de um retângulo é igual a 13,5 m2. Calcule a medida de sua altura
sabendo que essa medida está para o comprimento dessa mesma figura
assim como 2 está para 3.
Matemática A05
Área de Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem
dois pares de lados opostos paralelos.
No quadrilátero da Figura 7, temos
AB // CD e AD // BC.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser
tomado como sua base (cuja medida será
chamada de b). Nesse caso, tomamos
como base o segmento AB. A altura do
paralelogramo corresponde à medida h do
segmento perpendicular à reta que contém
a base até o ponto onde este segmento de
reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. Nesse caso, o segmento de reta
perpendicular à base é o segmento DE.
D
A
E
B
Figura 7 – Paralelogramo
D
C
h
A
Para compreender como calcular a área do
paralelogramo, imagine o recorte da figura
em duas partes, obtendo um triângulo
retângulo e um quadrilátero, como na
Figura 8.a.
Transfira o triângulo retângulo (Figura 8.b)
para o outro extremo da figura. A figura
resultante, como você pode ver na Figura
8.b, é um novo quadrilátero: o retângulo
de vértices E’, E, D e D’.
C
E
B
Figura 8. a
D
b
C
h
E
A
A figura obtida é um retângulo cuja base
mede b unidades de comprimento e cuja
altura mede h unidades de comprimento.
Lembre-se que h coincide com a medida da
altura do paralelogramo. Portanto, a área
do paralelogramo ABCD pode ser obtida
da mesma expressão de área do retângulo
E’EDD’ que é igual a A = b ⋅ h.
B
E
Figura 8. b
b
D’
C=D
h
A
E’
A=B
E
Figura 8. c
10
Matemática A05
Nos paralelogramos podemos observar as seguintes propriedades:
 os lados opostos são congruentes;
 cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
 os ângulos opostos são congruentes;
 as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
Exemplo 5
Determine a área do terreno em forma de paralelogramo, representado na
Figura 9.
C
b = 30m
h = 12m
D
A
E
B
Figura 9
Nesse caso, a medida b da base do paralelogramo pode ser a medida da
frente do terreno e h a medida de sua profundidade. Substituindo os valores
das medidas de base e da altura do paralelogramo na expressão da área
do paralelogramo ABCD, temos:
A = b ⋅ h ⇒ A = 30 m ⋅ 12 m ⇒ A = 360 m2.
A área do terreno é igual a 360 m2.
11
Matemática A05
exemplo Determine a altura do paralelogramo que tem 30 mm de base, para que ele
tenha área igual a 3,9 cm2.
A área do paralelogramo é dada pela expressão A = b ⋅ h.
Observe que: b = 30 mm = 3 cm e que A = 3,9 cm2.
A = b ⋅ h ⇒ 3,9 cm2 = 3 cm ⋅ h ⇒ 3 cm ⋅ h = 3,9 cm2
⇒h=
3, 9 cm2
⇒ h = 1, 3 cm
3 cm
Praticando...
. Determine a área do paralelogramo, cuja altura é igual a 48 mm e cujas
bases medem 12 cm.
. Calcule a área do paralelogramo cujas bases medem 20 cm e cuja altura
tem o mesmo comprimento igual ao da diagonal de um quadrado cujos
√
lados medem 8 2 cm.
Responda aqui
Matemática a05
Área de Losangos
D
O losango é uma figura geométrica que apresenta as
seguintes características:
 possui duas diagonais que podem ter medidas
diferentes, na Figura 10, representadas por d 1
(diagonal menor – segmento AC ) e por d2 (diagonal
maior – segmento BD );
 suas diagonais se cruzam formando ângulos de 90º
no centro do losango e dividindo-o em 4 triângulos
retângulos.
d2
A
d1
C
B
Figura 10 – Losango
A área do losango é o semiproduto da soma das medidas das diagonais, ou seja,
(d1 · d2 )
A=
. Veja, na demonstração a seguir, como essa fórmula foi encontrada.
2
Demonstração:
Tome dois losangos, como os da Figura 11.a, dividindo um desses losangos sobre as
diagonais, ou seja, em 4 partes iguais, que são triângulos retângulos (Figura 11.b).
Encaixe as quatro partes do primeiro losango no segundo losango (o inteiro) para formar
uma figura já conhecida.
Uma das figuras conhecidas que pode ser formada é um retângulo de altura, que tem a
mesma medida da diagonal maior e cuja base tem a mesma medida da diagonal menor
(Figura 11.c). Ou seja, a área do retângulo é dada por: A = b⋅h ⇒ A = d1 ⋅ d2.
Como essa expressão é referente à área de dois losangos, podemos afirmar que:
2 ⋅ A = d1 ⋅ d2 ⇒ A =
(d1 · d2 )
.
2
Figura 11
13
Matemática A05
Exemplo 7
Qual é a área do canteiro em forma de losango cujas diagonais medem
2,5 m e 1,8 m?
Para calcular a fórmula do losango, temos a expressão A =
(d1 · d2 )
.
2
Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos:
A=
(d1 · d2 )
(2, 5 m) · (1, 8 m)
4, 5 m2
⇒A=
⇒A=
⇒ A = 2, 25 m2
2
2
2
Praticando...
4
1. Calcule a área do losango cujas diagonais medem 2,0 m e 1,8 m.
2. A medida da diagonal maior de um losango é igual a 18 cm e a diagonal
menor mede dois terços dessa medida. Determine a área desse
losango.
b1
D
Área de Trapézios
C
Trapézio é qualquer quadrilátero que apresenta somente
dois lados paralelos e que chamamos de bases.
h
A
B
E
b2
O menor desses lados paralelos é chamado de base
menor, de medida b1.
O maior desses lados paralelos é a base maior, de
medida b2.
Figura 12 – Trapézio
14
Matemática A05
A menor distância entre as bases é a altura do trapézio, que representaremos pela
medida h. Na Figura 12, destacamos a altura como segmento DE.
Existem vários tipos de trapézios, vejamos quais são e as características que os
diferenciam.
Tipos de trapézios
D
C
A
B
Figura 13 – Trapézio Retângulo
Trapézio retângulo: é aquele que apresenta dois ângulos retos.
Observe, na Figura 13, que (I) os lados AD e BC são paralelos, (II) os ângulos A e D
são ângulos retos e (III) a medida do segmento AB é altura do trapézio.
Trapézio isóscele (ou isósceles): é aquele em que os lados não-paralelos são congruentes
(de mesma medida).
Observe que no trapézio da Figura 14:
D
C
A
B
Figura 14 – Trapézio Isóscele
15
Matemática A05
 os lados AB e CD são congruentes (m(AB) = m(CD));
 as diagonais AC e BD são congruentes (m(AC) = m(BD));
^ e os ângulos
 há dois pares de ângulos internos congruentes: os ângulos  e B
^eD
^.
C
Trapézio escaleno: É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Na Figura 15, vemos um trapézio escaleno, pois os lados não-paralelos não têm a
mesma medida (AD e BC não são congruentes).
D
C
A
B
Figura 15 – Trapézio Escaleno
Cálculo de área do trapézio
A área do trapézio é a média aritmética das medidas das bases multiplicada pela medida
(b + b2 )
(b1 + b2 ) · h
da altura, isto é, A = 1
· h , ou seja A =
.
2
2
Para entender como foi obtida essa fórmula, podemos construir dois trapézios idênticos
e encaixando-o lado a lado, para encontrar um paralelogramo cujas bases tem medida
b1 + b2 e altura de medida h. A área da figura obtida pela união dos dois trapézios é igual
a (b1 + b2) · h, que é o dobro da área de cada trapézio (veja Figura 16).
b1
b2
b2
b1
h
E
Figura 16 – Área de dois trapézios idênticos
16
Matemática A05
Assim, temos que dividir por 2 para obter a área do trapézio e obter: A =
(b1 + b2 ) · h
.
2
Exemplo 8
Determine a área do trapézio cuja altura h é igual a 80 cm e cujas bases
medem 1,5 m e 1,2 m.
Os dados do enunciado são: h = 80 cm = 0,80 m; b1 = 1,2 m; e b2 = 1,5 m
Substituindo-os na expressão da área do trapézio, temos:
(b1 + b2 ) · h
(1, 2 m + 1, 5 m) · 0, 80 m
A=
⇒A=
⇒
2
2
A=
2, 7 m · 0, 80 m
⇒ A = 1, 08 m2 .
2
A área do trapézio é de 1,08 m.
Exemplo 9
Determine a área do trapézio isóscele apresentado na Figura 17.a, cujas
medidas são as seguintes: m(AD) = m(BC) = 5 cm, m(AB) = 13 cm e
m(CD) = 7 cm.
D
C
A
B
Figura 17a
17
Matemática A05
Antes de calcular a área desse trapézio, temos que calcular a altura da
figura. Para isso, vamos traçar segmentos perpendiculares às duas bases
(Figura 17.b) e com isso, dividir o trapézio em dois triângulos retângulos
idênticos e um retângulo.
7 cm
D
C
5 cm
5 cm
h
A
h
B
13 cm
Figura 17b
Cada um dos triângulos retângulos idênticos, da Figura 17.c, tem dois lados
com medidas conhecidas: a hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede
3 cm. O cateto coincide com a altura do trapézio, cuja medida é h, e é o que
precisamos determinar.
7 cm
D
C
5 cm
5 cm
h
h
3 cm
A
3 cm
13 cm
B
Figura 17c
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:
(medida do cateto1)2 + (medida do cateto2)2 = (medida da hipotenusa)2
⇒ h2 + (3cm)2 = (5cm)2 ⇒ h2 + 9cm2 = 25cm2 ⇒ h2 = (25 - 9)cm2 ⇒ h2 = 16cm2
⇒ h = 4cm
18
Matemática A05
Agora que sabemos a altura do trapézio podemos calcular sua área,
utilizando a fórmula:
A=
A=
(b1 + b2 ) · h
2
(7 cm + 13 cm) · 4 cm
20 cm · 4 cm
=
⇒ A = 40 cm2 .
2
2
A área do trapézio isóscele é igual a 40 cm2.
Praticando...
5
1. Calcule a área do trapézio que apresentam bases que medem 15 m, 20 m
e altura que mede 1,8 dam.
2. Calcule a área do trapézio cuja medida da base menor é igual a 12 cm, a
medida da base maior é o dobro da medida da base menor, e a medida
da altura é 15 cm.
Área de outras figuras geométricas
Seria impossível, aqui, estudarmos o cálculo de área de todas as figuras planas
existentes, por isso estudaremos somente as mais comuns. Além das áreas dos
quadriláteros, que vimos no início desta aula, vamos também estudar sobre as áreas
dos triângulos e dos círculos.
Área de triângulos
Triângulo é a figura geométrica que apresenta três lados e três ângulos internos, como
o apresentado na Figura 18.
19
Matemática A05
C
h
A
E
B
Figura 18 – Triângulo ABC
Área de um triângulo conhecendo-se
as medidas da base e da altura
A área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de
b·h
.
sua altura, isto é, A =
2
Exemplo 10
Calcule a área do triângulo cujas medidas de base e altura são,
respectivamente, iguais a 20 cm e 18 cm.
Para calcular a área desse triângulo temos que substituir os valores de b
e h na fórmula
b·h
A=
.
2
Assim: A =
20 cm · 18 cm
360 cm2
⇒A=
⇒ A = 180 cm2 .
2
2
A área do triângulo é igual a 180 cm2.
Área do triângulo equilátero
Para calcular a área de um triângulo equilátero basta conhecer a medida de seus lados.
Observe o exemplo a seguir:
20
Matemática A05
Exemplo 11
Triângulo Equilátero
Determine a área do triângulo equilátero cujo lado está sendo representado
por a.
 Triângulo que
apresenta três
lados congruentes.
b·h
Para calcular a área do triângulo equilátero pela fórmula A =
, é preciso
2
calcular, primeiramente, o valor de h.
Veja, na Figura 19, que a altura do triângulo equilátero dividiu-o em dois
triângulos idênticos. Como esses triângulos são retângulos, podemos aplicar
o Teorema de Pitágoras para calcular a medida de h.
C
a
A
h
a/2
a
a/2
B
Figura 19 – Triângulo
a
5
= m = 2, 5 m.
2
2
 a 2
2
a
a2
Vejamos: h2 +
= (a)2 ⇒ h2 +
= a2 ⇒ h2 = a2 −
2
4
4

√
4a2 a2
3a2
3a2
a 3
h2 =
−
⇒ h2 =
⇒h=
⇒h=
m.
4
4
4
4
2
Lembre-se de que se a = 5 m ⇒
Agora podemos calcular a área do triângulo equilátero:
√
√
a 3
a2 · 3
√
√
a·
a2 · 3 1
a2 · 3
2
2
A=
⇒A=
=
· ⇒A=
,
2
2
2
2
4
em que a é a medida do lado do triângulo equilátero.
21
Matemática A05
Exemplo 12
Calcule a área do triângulo equilátero que tem perímetro igual a 12 cm.
Para calcular a área do triângulo, devemos lembrar que o perímetro de um
triângulo equilátero é dado pela expressão 3a. Como 3a = 12 cm ⇒ a = 12
cm ÷ 3 ⇒ a = 4 cm.
Assim a área do triângulo equilátero é:
√
√
√
√
a2 · 3
(4 cm)2 · 3
16 cm2 · 3
A=
⇒A=
⇒A=
⇒ A = 4 · 3 cm2
4
4
4
√
Como o valor de 3 é aproximadamente 1,73, a área do triângulo mede,
aproximadamente, 4 ∙ (1,73) cm2, ou seja, cerca de 6,92 cm2.
Área de um triângulo retângulo
Para calcular a área de um triângulo retângulo, basta conhecer as medidas de
seus catetos.
Exemplo 13
Calcule a área do triângulo retângulo cujos lados menores medem
1,5 m e 2,0 m.
Altura
C
A
Base
B
Figura 20 – Triângulo Retângulo
22
Matemática A05
Em um triângulo retângulo, os lados menores são chamados de catetos.
Quando consideramos um dos catetos como a base do triângulo, como na
Figura 20, o outro cateto passa a coincidir com a altura da figura.
Para calcular a fórmula do triângulo retângulo, temos a fórmula A =
e, nesse caso, o produto b ⋅ h é o produto dos catetos.
Assim: A =
b·h
2
b·h
(1, 5 m) · (2, 0 m)
3, 0 m2
⇒A=
=
⇒ A = 1, 5 m2 .
2
2
2
Cálculo da área de um triângulo
pela fórmula de Heron
Considere o perímetro de um triângulo de lados a, b e c, ou seja, 2p = a + b + c. O valor
a+b+c
do semiperímetro dessa figura é p =
.
2

A área do triângulo citado pode ser expressa pela fórmula A = p · (p − a) · (p − b) · (p − c),
que é chamada fórmula de Heron.
Exemplo 14
Para obter a área de uma região triangular cujos lados medem 21 cm, 28 cm e
45 cm, basta substituir a por 21 cm, b por 28 cm,c por 45 cm, para obter:
2p = (21 + 28 + 45) cm ⇒ 2p = 94 cm ⇒ p = 47 cm.
Assim:
A=
A=
A=
A=

p · (p − a) · (p − b) · (p − c)

47 · (47 − 21) · (47 − 28) · (47 − 45)

47 · (26) · (19) · (2)
√
46 436 ⇒ A = 215,49013898552295471810525668626... ⇒ A ≅ 215,5 cm2
A área do triângulo é de, aproximadamente, 215,5 cm2.
23
Matemática A05
Praticando...
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1. Calcule a área de um triângulo cuja base mede 28 cm e cuja altura é de
16 cm.
2. Em um triângulo retângulo, os lados menores medem 6 cm e 8 cm. Calcule
a área do triângulo.
3. Em um triângulo equilátero, cada lado mede 25 cm. Calcule a área desse
triângulo.
4. As medidas dos lados de um triângulo são 32 mm, 54 mm e 48 mm. Calcule
a área da figura.
5. Calcule a área do triângulo escaleno cujos lados apresentam as seguintes
medidas: 28 dm, 30 dm e 42 dm.
Área do círculo
Um círculo é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos
internos de uma circunferência. Também chamamos círculo ao conjunto
de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (a
que chamamos raio).
A área A de um círculo pode ser expressa matematicamente por A = π ⋅ r 2, onde r é o
raio da circunferência e π (Pi) uma constante, cujo valor conhecemos na aula 4.
Demonstração:
Considere dois círculos de raios iguais a r, divididos em fatias extremamente finas que
se assemelhem a triângulos.
Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>.
Acesso em: 13 out. 2008.
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Matemática A05
Abra-os para que possam ser encaixados um no outro.
Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>.
Acesso em: 13 out. 2008.
Dessa forma, você obterá um paralelogramo cujas bases têm medida igual a 2 ⋅ π ⋅ r e
cuja altura tem medida igual a r.
C = 2¢π¢r
r
Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>.
Acesso em: 13 out. 2008.
O paralelogramo obtido tem área igual a A = b ⋅ h = (2 ⋅ π ⋅ r) ⋅ r2 = 2 ⋅ π ⋅ r2
Lembre-se de que essa medida é obtida a partir da área de dois círculos, então para
encontrar a área de um círculo de raio igual a r, temos:
AC = (2 ⋅ π ⋅ r2) ÷ 2 ⇒ AC = π ⋅ r2, onde π = 3,141592653589... ⇒ π ≅ 3,14
Recordando: Na aula 4, você viu que π (Pi) é o valor constante resultante do
quociente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.
C
=π∼
= 3, 14
D
D = 2⋅ r
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Matemática A05
exemplo 5
Determine a área de um círculo cujo raio mede 15 cm.
Para calcular a área do círculo, vamos substituir essa medida (r = 15 cm) e
substituir π por 3,14 na fórmula AC = π ⋅ r2. Logo, obteremos:
AC = π ⋅ r2 ⇒ AC = (3,14) ⋅ (15 cm)2, ⇒ AC = (3,14) ⋅ 225 cm 2 ⇒ AC = 706 cm2.
Praticando...
. Calcule a área do círculo cujo raio mede 10 cm.
. Calcule a área do círculo cujo diâmetro mede 10 cm.
Responda aqui
Matemática a05
a) 14 cm.
b) 21 cm.
c) 28 cm.
d) 35 cm.
. As medidas de área e do perímetro do retângulo com altura de 25 dam e base
de 12 dam, são, respectivamente,
a) 3 000 m2 e 7,4 m.
b) 30 000 m2 e 74 m.
c) 300 000 m2 e 740 m.
d) 3 000 000 m2 e 7 400 m.
. A área de 220 mm2 é equivalente à área de um paralelogramo de altura e bases,
respectivamente, iguais a
a) 2,2 dm e 10 mm.
b) 1,1 cm e 20 mm.
c) 1,1 dm e 1,0 cm.
d) 2,2 cm e 1,0 mm.
exercícios
. Sabendo que a área de um quadrado é 49 cm2, podemos afirmar que seu
perímetro é igual a
. Um terreno em forma de trapézio tem a base menor igual a 28 m, a base maior
igual a 32 m e a altura igual a 30. A área desse terreno é
a) 900 m2.
b) 720 m2.
c) 630 m2.
d) 540 m2.
5. Considere um triângulo equilátero de lado 8 cm. A área desse triângulo mede,
aproximadamente,
a) 27,7 cm2.
b) 22,7 cm2.
c) 20,7 cm2.
d) 20,2 cm2.
. A expressão mais adequada para calcular a área de um triângulo escaleno,
cujas medidas dos lados são conhecidas, é
a) A = 2 ⋅ (b + h) - (a∙c)
c) A = (a + b + c) ⋅ h ÷ 2
b) A = 2 ⋅ (a + b + c) ÷ h

d) A = p · (p − a) · (p − b) · (p − c)
. Um triângulo tem lados que medem 12 cm, 10 cm e 8 cm. A área desse triângulo
é de, aproximadamente,
a) 39,7 cm2.
b) 112,8 cm2.
c) 283,7 cm2.
d) 487,4 cm2.
. Para confeccionar um tipo de almofada, é necessário um pedaço de tecido
em forma de triângulo retângulo cujos catetos medem 2 m e 1,8 m. A área do
tecido utilizado para confeccionar a almofada é igual a
a) 1,8 m2.
b) 2,0 m2.
c) 2,4 m2.
d) 3,6 m2.
. A área de um círculo com raio de 5 cm mede, aproximadamente,
a) 58,7 cm2.
b) 75,8 cm2.
c) 78,5 cm2.
d) 87,5 cm2.
Matemática a05
Resposta
Matemática a05
Nesta aula, você viu como calcular a área de quadriláteros (quadrados, retângulos,
paralelogramos, trapézios e losangos), de triângulos (conhecendo-se as medidas
da base e da altura dessa figura; conhecendo-se a medida do lado de um triângulo
equilátero; conhecendo-se os catetos de um triângulo retângulo; ou conhecendose as medidas dos lados de um triângulo qualquer) e de círculos (utilizando a
medida do raio da figura).
Auto-avaliação
1. Quais as características de um quadrado unitário?
2. O que significa calcular a área de uma superfície?
3. Como calculamos a área de um quadrado qualquer?
4. Quais são as medidas necessárias para calcular a área de um retângulo?
5. Qual é a expressão algébrica que representa a área de um paralelogramo que
tem base com medida igual a m cm e altura igual a y cm?
6. Considere as seguintes medidas de um trapézio: altura igual a 2b, base
maior medindo 3c e base menor medindo 2c. Qual a expressa algébrica que
representa a área desse trapézio?
7. As medidas dos lados de um triângulo são 2m, 2n e 2s. Qual á a expressão
algébrica do semiperímetro dessa figura?
8. Considere o triângulo da questão 7 e a = 2 cm, b = 3m e c = 4 cm. Calcule a
área do triângulo utilizando essas medidas.
9. Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 16 cm e 21 cm, calcule a
medida da área.
10. Em um triângulo, a base mede 2 m e a altura, 180 cm. Calcule a medida da
área dessa figura em decímetros quadrados.
11. Um triângulo equilátero tem lados medindo 16 cm. Determine a área dessa
figura.
m
12. Se um círculo tem raio igual a , determine a medida de sua área.
2
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Matemática A05
Para Consulta
Área de figuras planas
Área do quadrado unitário: A = a2 = (1)2 = 1 u. a
Área do quadrado: A = a2 , na qual a é a medida do lado do quadrado.
Área do retângulo: A = a ⋅ h, na qual b é a medida da base e h, a medida
da altura da figura.
Área do paralelogramo: A = b ⋅ h, na qual b é a medida da base e h, a
medida da altura.
Área do losango: A =
diagonais.
(d1 · d2 )
, na qual d 1 e d 2 são as medidas das
2
(b1 + b2 ) · h
, na qual b1 e b2 são as medidas das bases
2
e h, a medida da altura.
Área do trapézio: A =
Área do triângulo:
(I) A = b · h , em que b é a medida da base e h, a medida da altura;
2
√
2
(II) A = a · 3 , em que a é a medida do lado de um triângulo equilátero;
4
(III) A = b · c , em que b e c são as medidas dos catetos de um triângulo
2
retângulo;
(IV) A =

p · (p − a) · (p − b) · (p − c) , em que e a, b e c são as medidas
dos lados de um triângulo qualquer e p é a medida do semiperímetro da
figura, ou seja, p = a + b + c .
2
Área do círculo: A = π ⋅ r 2, onde r é o raio da circunferência e π ≅ 3,14.
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Matemática A05
Referências
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática e realidade:
8ª série. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005.
INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO. Círculo, perímetro, área e abordagem experimental
de Pi (p ). Disponível em: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/
vnm-/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf>. Acesso em 22 jul. 2008.
Anotações
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