Instituto Politécnico de Bragança
Escola Superior de Educação
___________________________________________________________________________
Transformações geométricas
1. Translações
Sendo dado um vector u , a translação associada a u é a aplicação que faz corresponder ao
ponto M o ponto M′ tal que MM´= u .
Notação: Tu .
M´ é o translato de M.
- A inversa da translação associada ao vector u é a translação associada ao vector - u .
- A composta da translação associada ao vector u e da translação associada ao vector v é a
translação associada ao vector u + v .
- Se A′ e B′ são as imagens respectivas de A e B por Tu , tem-se que A´B´ = AB .
- A imagem de uma recta por uma translação é uma recta paralela à primeira.
- A imagem de uma circunferência por uma translação é uma circunferência com o mesmo raio,
e cujo centro é o translato do centro da primeira circunferência.
2. Rotações
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
1/4
Sendo dados um ponto C e um real θ, a rotação de centro C e de ângulo θ faz corresponder a M
o ponto M´ definido por: CM´ = CM e, se M ≠ C, CM ^ CM´ = θ .
(
)
Notação: R C,θ .
M´ é o rotacionado de M.
Exemplos:
¾ R C,0 é a identidade.
¾ R C,π é a simetria de centro C.
¾ R
¾ R
C,
π
é o quarto de volta directo.
2
C,-
π
é o quarto de volta indirecto.
2
- A inversa da rotação de centro C e de ângulo θ é a rotação de centro C e de ângulo -θ.
- A composta de duas rotações de centro C e de ângulos α e β é a rotação de centro C e de
ângulo α + β.
- C é o único ponto invariante pela R C,θ (se θ ≠ 0).
(
)
- Tem-se que A´B´ = AB e, se A ≠ B, AB ^ A´B´ = θ .
- A imagem de uma circunferência é uma circunferência com o mesmo raio, e cujo centro é o
rotacionado do centro da primeira circunferência.
3. Simetrias
Simetria axial de eixo r é uma aplicação que faz corresponder:
- a cada ponto da recta r esse mesmo ponto;
- a cada ponto P não pertencente à recta r, um ponto P', de tal modo que r seja perpendicular ao
meio de [PP'].
Notação: S r .
M' é o simétrico de M, na S r .
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
2/4
- O conjunto dos pontos invariantes por S r é r.
- A imagem de uma circunferência é uma circunferência com o mesmo raio, e cujo centro é o
simétrico do centro da primeira circunferência.
- A composta de duas simetrias de eixos paralelos é uma translação.
- Toda a translação é decomponível em duas simetrias de planos paralelos.
- Existe uma infinidade de decomposições possíveis para uma translação: a escolha do primeiro
eixo é arbitrária, excepto no que respeita ao facto de ele ter de ser ortogonal (perpendicular) ao
vector da translação.
- A composta de duas simetrias de eixos concorrentes em C é uma rotação.
- Toda a rotação é decomponível em duas simetrias de eixos concorrentes.
Eixo de Simetria
Dizemos que uma recta r é eixo de simetria de uma figura, quando a imagem dessa figura
através de S r é ela própria.
Exemplo:
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
3/4
- Através da simetria de eixo r, todos os pontos da figura [ABCDEF] são transformados em
pontos da própria figura.
- A imagem da figura é pois ela própria.
- [ABCDEF] é simétrica em relação a r, ou seja, r é eixo de simetria da figura.
- A imagem da figura, através da recta s, é também a própria figura.
- [ABCDEF] é simétrica em relação a s, ou seja, s é eixo de simetria da figura.
Propriedades das simetrias axiais
Consideremos a figura:
- Os triângulos são simétricos em relação à recta r, pelo que são geometricamente iguais. Assim,
[AC] é transformado em [A'C'], ou seja,
[A′C ′] e [AC ] ≅ [A′C ′]
S r ([AC ]) = [A′C ′] ou [AC ] ⎯⎯→
Sr
- [BC] é transformado em [B'C'], ou seja,
[B′C ′] e [BC ] ≅ [B′C ′]
S r ([BC ]) = [B′C ′] ou [BC ] ⎯⎯→
Sr
- [AB] é transformado em [A'B'], ou seja,
[A′B′] e [AB] ≅ [A′B′]
S r ([AB]) = [A′B′] ou [ AB] ⎯⎯→
Sr
Concluímos que numa simetria axial, um segmento de recta é transformado num segmento de
recta geometricamente igual.
Considerando, ainda, a mesma figura, também podemos comprovar que:
O ângulo BAC ⎯⎯→
no ângulo B′A ′C′
Sr
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
4/4
O ângulo ACB ⎯⎯→
no ângulo A ′C′B′
Sr
O ângulo ABC ⎯⎯→
no ângulo A ′B′C′
Sr
Concluímos que numa simetria axial, um ângulo é transformado num ângulo geometricamente
igual.
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
5/4