PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2012 – 2a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
Questão 01
Dados os pontos P(−1,2) e Q(1, 2), determine o par de coordenadas cartesianas de
cada ponto S da parábola y = 2x² de abscissa x ≠ ±1 , de modo que as retas SP e SQ
sejam perpendiculares.
RESOLUÇÃO:
Se o ponto S é um ponto da parábola y = 2x², então pode-se ser representado pelo par
ordenado (x, 2x2).
Logo, o coeficiente angular da reta SP é a =
2x 2 − 2
2x 2 − 2
e o da reta SQ é a' =
.
x +1
x −1
Para que as retas SP e SQ sejam perpendiculares,
 2x 2 − 2  2x 2 − 2 
4
2
2
4
2



 x + 1  x − 1  = −1 ⇒ 4x − 8 x + 4 = 1 − x ⇒ 4x − 7x + 3 = 0, com x ≠ ± 1 ⇒



− b ± b 2 − 4ac
7 ± 49 − 48
7 ±1
6
3
3
x=±
⇒x = ±
⇒x=±
⇒x=±
=±
⇒ x2 =
2a
8
8
8
2
4

3 3
 3 3
RESPOSTA: Sendo S = (x, 2x2), tem-se S =  −
,  ou S = 
,  .
2
2
2
2



Questão 02
1
 , sabendo que
3
Determine f −1 (x ) , função inversa de f : R − { 3 } → R − 
f(2x − 1) =
x
, para todo x ∈ R − {2} .
3x − 6
RESOLUÇÃO:
x
X +1
, faça-se 2x – 1 = X ⇒ x =
.
3x − 6
2
x
X +1
Em f(2x − 1) =
faça-se agora a substituição de x por x =
:
3x − 6
2
X +1
X +1
X +1
x +1
2
f(X) =
⇒ f(X) =
⇒ f(X) =
⇒ f(x) =
⇒
3X + 3 − 12
3X − 9
3x − 9
 X +1
3
−
6

 2 
Em f(2x − 1) =
1
Se (x, y ) ∈ f (x ) ⇒ (y, x ) ∈ f −1 (x ) ⇒ f(x) = y =
x=
x +1
⇒ que em f −1 (x) tem-se:
3x − 9
y +1
9x + 1
⇒ 3xy − 9x = y + 1 ⇒ 3xy − y = 9x + 1 ⇒ (3x − 1)y = 9x + 1 ⇒ y =
.
3y − 9
3x − 1
RESPOSTA: f −1(x) =
9x + 1
3x − 1
Questão 03
Determine o polinômio p(x) = bx4 + cx3 + dx, sabendo que
• o coeficiente b é igual à soma dos termos da progressão geométrica infinita
2 2 

 6,2, , ,...  ;
3 9 

• o coeficiente d é igual ao termo a50 da progressão aritmética decrescente (a1, a2, a3,...),
cujos termos a5, a9, a10 e a14 são as abscissas dos pontos de interseção das curvas
de equações x2 + y2 = 82 e y =
9
;
x
• o resto da divisão de p(x) pelo binômio x + 1 é igual a 40.
RESOLUÇÃO:


2 2
3 9


A sequência  6,2, , ,...  é uma P.G. infinita na qual a1 = 6 e a razão q =
Sendo b = S =
2 1
=
6 3
a1
6
6 18
4
3
⇒b=
= =
= 9 ⇒ p(x) = 9x + cx + dx
1
2
1− q
2
1−
3 3
Como a5, a9, a10 e a14 são as abscissas dos pontos de interseção das curvas
de equações x2 + y2 = 82 e y =
9
:
x
( x 2 − 1)( x 2 − 81) = 0
 x 2 + y 2 = 82  x 2 + y 2 = 82  2 81
 2
x
+
=
82



2
⇒  2 81
⇒
x2

x − 1 = 0 ou x − 81 = 0 ⇒
9
y =
y = 2
 x 4 − 82 x 2 + 81 = 0x = ±1 ou x = ±9
x

x



Como a P.A. é decrescente , a 5 = 9, a 9 = 1, a10 = −1 e a14 = −9 .
a10 = a 9 + r ⇒ −1 = 1 + r ⇒ r = −2 .
Sendo d = a 50 = a10 + (50 − 10)r ⇒ d = −1 + 40 × (−2) = −81 ⇒
p(x) = 9x4 + cx3 − 81x
Como o resto da divisão de p(x) pelo binômio x + 1 é igual a 40 ⇒
p(x) = 9x4 + cx3 − 81x = q(x)(x + 1) + 40 ⇒ p(−1) = 9− c + 81 = 40 ⇒ c = 50 ⇒
p(x) = 18x4 + 50x3 − 81x
RESPOSTA: O polinômio é p(x) = 18x4 + 50x3 − 81x.
2
Questão 04

 sen3x cos3x
Dadas as matrizes A =  − cos3x sen3x
 0
0


0
0 


e
B =  3x
0

x 

9

3− x 
2
0
0
0 
4  . encontre o

2x 

conjunto solução da inequação det(AB) ≤ 0, sendo det(AB) o determinante da matriz
produto AB.
RESOLUÇÃO:
sen3x
cos3x

2
x
det(AB) = detA×detB = − cos3x sen3x
0
0
0
0 × 3
x
9
3− x
0
0
4 ⇒
2x
0
0
x 
 x 
2
x
 + cos 3 x
  × 36 2 − 6 2 ⇒
3− x 
 3 − x 
det(AB) =  sen 2 3x
[
]

 x 

2
2
x
x
det(AB) = 
 sen 3 x + cos 3 x  × 2 36 − 6 = 2 36 − 6
3
−
x



(
)
(
)
(
) 3 −x x  ⇒


 x 
2 36 − 6 x 
≤ 0 ⇒
3− x
(
det(AB) ≤ 0 ⇒
)
ou
(36 − 6 ) ≤ 0
x
 x 
e 
≥0
3− x
ou
(36 − 6 ) ≥ 0
x
 x 
e 
≤0
 3− x 
6 x ≥ 36
Questão 05
Considere
• a curva C obtida da circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 por uma
rotação, no sentido anti-horário, em torno da origem do sistema cartesiano, segundo
π
radianos;
um ângulo de
2
• a reta r que passa pelo centro de C e faz, com o eixo coordenado Ox, um ângulo α
π


π
tal que α ∈  , π  e tg 2α +  = 0 .
3

2 
Determine uma equação de r.
Determine uma equação de r.
3
RESOLUÇÃO:
Da equação x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 ⇒
(x + 1)2 + (y − 2)2 − 1 − 4 − 4 = 0 ⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
Logo a circunferência de equação x 2 + y 2 + 2x − 4y − 4 = 0
tem centro no ponto (−1, 2) e raio 3.
Aplicando a essa circunferência e ao ponto (−1, 2) uma
rotação, no sentido anti-horário, em torno da origem do
sistema cartesiano obtêm-se outra circunferência C de
2
2
centro no ponto (2, − 1) e de equação (x − 1) + (y + 2 ) = 9 .
A reta r que passa pelo ponto (2, − 1) e faz, com o eixo coordenado Ox, um ângulo α
tem como uma de suas equações, y + 1 = tgα(x − 2) .
π
π
π
π 

Sendo que α ∈  , π  e tg 2α +  = 0 ⇒ 2α + = kπ ⇒ 2α = − + kπ ⇒
3
3
3
2 

π kπ
+ , com k ∈ Z.
6 2
π
π kπ
4
7
π 
< π ⇒ 3 ≤ −1 + 3k < 6 ⇒ ≤ k < ⇒ k = 2 .
Como α ∈  , π  , então ≤ − +
2
6 2
3
3
2 
α=−
Logo α = −
π kπ
π
5π
π
3
+
=− +π =
⇒ tgα = − tg = −
6 2
6
6
6
3
Determinação da equação de r pedida:
3
y + 1 = tgα(x − 2 ) ⇒ y + 1 = −
(x − 2) ⇒ y = − 3 x + 2 3 − 1 .
3
3
3
3
2 3
RESPOSTA: Uma das equações de r é y = −
x+
−1
3
3
4
Questão 06
Considere uma pirâmide hexagonal regular reta, cujos vértices da base são pontos
de uma superfície esférica de raio 5cm.
Sabendo que
• o vértice da pirâmide encontra-se a uma distância de
25
cm do centro da superfície
4
esférica;
• as retas que contêm as arestas laterais dessa pirâmide são tangentes a essa superfície
esférica nos vértices da base, calcule o volume da pirâmide.
RESOLUÇÃO:
Como as retas que contêm as arestas laterais dessa pirâmide, são tangentes à superfície
esférica nos vértices da base, então a reta VD é perpendicular ao raio CD , da esfera.
Como a pirâmide hexagonal é regular reta, então BD (raio do hexágono) é
perpendicular à altura VB .
No triângulo retângulo VDC:
2
225
15
 25 
c 2 =   − 52 ⇒ c 2 =
⇒c= .
16
4
 4 
25
15
• VC × BD = CD × VD ⇒
× BD = 5 × ⇒ BD = 3 .
4
4
Sendo BD o raio do hexágono regular, base da pirâmide, isso significa que o lado desse
hexágono tem a mesma medida que BD , isto é, 3.
Para determinar a medida da altura VB , destaquemos o triângulo retângulo VBD:
225
81
9
VB2 = VD 2 − BD 2 ⇒ VB2 =
− 9 ⇒ VB2 = ⇒ VB = .
16
16
4
Logo, o volume da pirâmide é:
 BD 2 × 3 
1
9 3 9 81 3
 × BV = 2 ×
V = × 6 × 
× =

3
4
4
4
8


•
RESPOSTA: O volume da pirâmide é
81 3
u.v.
8
5