Lógica
Introdução
Origem da Lógica


Na Grécia Antiga, 342 a.C, em meio a
embates filosóficos, Aristóteles sistematizou a
Lógica com o intuito de verificar que
argumentos eram válidos, elevando-a assim
à categoria de ciência.
Em sua obra chamada Organum (“ferramenta
para o correto pensar”), estabeleceu
princípios tão gerais e sólidos que até hoje
são considerados válidos.
Origem


Aristóteles se preocupava com as formas de
raciocínio que, a partir de conhecimentos
considerados verdadeiros, permitiam obter
novos conhecimentos.
A partir dos conhecimentos tidos como
verdadeiros, caberia à Lógica a formulação
de leis gerais de encadeamentos de
conceitos e juízos que levariam à descoberta
de novas verdades. Essa forma de
encadeamento é chamada, em Lógica, de
argumento.
Argumento

Um argumento é uma seqüência de proposições
(declarações/afirmações) na qual uma delas é a
conclusão e as demais são premissas.

Uma proposição (ou declaração/afirmação) é uma
sentença que pode ser verdadeira ou falsa

O objeto de estudo da lógica é determinar se a
conclusão de um argumento é ou não uma
consequência lógica das premissas.
Validade de um Argumento

Em um argumento válido, as premissas são
consideradas provas evidentes da verdade
da conclusão, caso contrário não é válido.

Quando é válido, podemos dizer que a
conclusão é uma consequência lógica das
premissas, ou ainda que a conclusão é uma
inferência decorrente das premissas.
Validade de um Argumento

Inferência é a relação que permite
passar das premissas para a conclusão
(um “ encadeamento lógico”)

A palavra inferência vem do latim,
Inferre, e significa “conduzir para”
Validade de um Argumento

Exemplo 1: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
Eu ganhei na Loteria.
Logo, sou rico.
É Válido
(a conclusão é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
Validade de um Argumento

Exemplo 2: O argumento que segue é
válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico
 Não é Válido
(a conclusão não é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
Validade de um Argumento

A lógica se preocupa com o relacionamento
entre as premissas e a conclusão, com a
estrutura e a forma do raciocínio. A verdade
do conteúdo de cada premissa e da
conclusão é estudo das demais ciências.

A validade do argumento está diretamente
ligada à forma pela qual ele se apresenta
(Lógica Formal – estuda a forma dos
argumentos).
Dedução e Indução

Algumas das ferramentas que podem
ser utilizadas pelo pensamento na
busca de novos conhecimentos são a
dedução e a indução, que dão origem a
dois tipos de argumentos: Dedutivos e
Indutivos.
Argumentos Dedutivos

Pretendem
que
suas
premissas
forneçam uma prova conclusiva da
veracidade da conclusão e podem ser:


Válidos: quando suas premissas, se
verdadeiras,
fornecem
provas
convincentes para a conclusão. Isto é, se
as premissas forem verdadeiras, é
impossível que a conclusão seja falsa;
Inválidos: não se verifica a característica
anterior.
Argumentos Dedutivos

Exemplos de argumentos dedutivos:

Os dois exemplos anteriores (um válido e
outro inválido)

Outro exemplo:
Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
(Argumento Válido)
Argumentos Indutivos

Não pretendem que suas premissas forneçam
provas cabais da veracidade da conclusão, mas
apenas que forneçam indicações dessa veracidade.
(possibilidade, probabilidade)

Seguem do Raciocínio Indutivo, isto é, obtém
conclusões baseada em observações/experiências.
Enquanto que um Raciocínio Dedutivo exigi uma
prova formal sobre a validade do argumento.

Os termos válidos e inválidos não se aplicam, são
avaliados de acordo com a maior ou a menor
probabilidade com que suas conclusões sejam
estabelecidas.
Argumentos Indutivos
(Argumento Indutivo)

Exemplo:
Joguei uma pedra no lago, e ela
afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela
também
afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e
também
esta
afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no
lago, ela vai afundar.
Argumentos Indutivos

A Lógica Formal só estuda Argumentos
Dedutivos, verificando se são ou não
válidos.
Validade e Verdade

Verdade e Falsidade: são propriedades
das
proposições,
nunca
dos
argumentos

Validade ou Invalidade: são propriedades dos argumentos dedutivos que
dizem respeito a inferência ser ou não
válida (raciocínio ser ou não correto)
Validade e Verdade

Exemplo 1
Toda baleia é um mamífero (V)
Todo
mamífero tem pulmões (V) Logo, toda
baleia tem pulmões
(V)
 Argumento válido e a conclusão verdadeira.
Validade e Verdade

Exemplo 2
Toda aranha tem seis pernas
(F)
Todo ser de seis pernas tem asas
(F)
Logo, toda aranha tem asas
(F)
 Argumento válido e a conclusão falsa
Validade e Verdade

Os conceitos de argumento válido ou inválido
são independentes da verdade ou falsidade de
suas premissas e conclusão.

Qualquer combinação de valores verdade entre
as premissas e a conclusão é possível, exceto
que nenhum argumento dedutivo válido tenha as
premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Um argumento dedutivo no qual todas as
premissas são verdadeiras é dito Argumento
Correto, evidentemente sua conclusão também
é verdadeira.
Avaliação de um Argumento

Principal propósito de um argumento:


Demonstrar que uma conclusão é provável
ou verdadeira.
Como avaliar que um argumento atinge
ou não esse propósito? (Se ele é válido?)
Avaliação de um Argumento

Critérios usados
argumento:



para
avaliar
um
Se todas as premissas são verdadeiras;
Se, dada a verdade das premissas, a
conclusão é ao menos provável;
Se as premissas são relevantes para a
conclusão;
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos

Os argumentos podem ser classificados em
duas categorias:

Argumento dedutivo


Argumento cuja conclusão deve ser verdadeira se suas
premissas básicas forem verdadeiras.
Em outras palavras - um argumento é dedutivo quando:
“se as premissas forem verdadeiras é impossível a
conclusão ser falsa”.
Argumento indutivo (ou dedutivo inválido)

Argumento cuja conclusão não é necessária, dadas
suas premissas básicas.
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exemplos
1) . Todo homem é mortal
. Sócrates é um homem
◊ Sócrates é mortal
2) . Freqüentemente quando chove fica nublado
. Está chovendo
◊ Está nublado
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exercícios

1)
.
Não há registros de seres humanos com mais
de 5 metros de altura.
◊ Nunca tivemos um ser humano com mais de 5
metros de altura.

2)
. Alguns porcos tem asas
. Todas as coisas aladas gorjeiam
◊ Alguns porcos gorjeiam
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.

3)
Exercícios
. Se houver uma guerra nuclear, a civilização será destruída.
. Haverá uma guerra nuclear
◊ A civilização será destruída por uma guerra nuclear.

4)
. O cloreto de potássio é, quimicamente, muito similar ao sal
de cozinha (cloreto de sódio).
◊ O Cloreto de potássio tem sabor igual ao do sal de
cozinha.
Argumento Dedutivo e Argumento Indutivo
Exercícios

Avalie os seguinte argumentos com relação aos critérios 1 e 2:
1)
. Todos tem um e um só pai biológico.
. Os irmãos tem o mesmo pai biológico.
. Ninguém é pai biológico de si mesmo.
Não há pai biológico que seja também seu irmão.
Argumento Dedutivo e Argumento Indutivo
Exercícios
2)
. Os visitantes da China quase nunca contraem malária no país.
. José está visitando a China.
José não contrairá malária na China.

3)
. Eu sonho com monstros.
. Meu irmão sonha também com monstros.

 Todas as pessoas sonham com monstros.
Argumento Complexo
Exercícios
3)
"Todos os argumentos são ou indutivos ou dedutivos. O
que você está lendo agora é um argumento. Este
argumento não é indutivo. Este argumento é dedutivo.“
4)
"Não existe o maior número primo. Mas de todos os
números primos sempre podemos imaginar que
certamente existe um maior. Logo, existem números
primos maiores do que qualquer um que possamos
imaginar."
Argumentos
Qual o tipo de argumento que estudaremos?

A Lógica Formal estuda o argumento dedutivo no
sentido tradicional

O objetivo da Lógica Formal é mostrar a validade de
certas formas de argumento (estruturas).

O estudo das formas de argumento facilita a
verificação da validade dos argumentos.

Na Lógica formal estudaremos formas básicas do
raciocínio lógico de um ponto de vista sintático
(manipulação de símbolos) e em seguida os
princípios semânticos que justificam estas formas de
raciocínio.
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional

Até agora estudamos
maneira informal.
a
Lógica
de

A Lógica formal é o estudo de formas de
argumento, isto é, regras de raciocínio
comum em vários argumentos.
Formas de Argumento
Exemplos:
1.
. Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.
. Hoje não é segunda-feira.
 Hoje é sexta-feira.
2.
. Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo
a pintou.
. Não foi Rembrandt quem a pintou.
 Michelângelo pintou a Mona Lisa.
3.
. Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
. Ele não é menor de 18 anos.
 Ele é um irresponsável.
Formas de Argumento

Os 3 argumentos são da seguinte forma:
. P ou Q
. Não é o caso que é P
Q

As letras P e Q representam sentenças
declarativas: (símbolos sentenciais).
P pode representar: Hoje é segunda-feira.
Q pode representar: Hoje é sexta-feira.
Formas de Argumento

A lógica trata de formas de argumentos que consistem de letras
sentenciais combinadas com as expressões:






Não é o caso que
E
Ou
Se ... Então
Se e somente se
negação
conjunção
disjunção
implicação ou condicional
bi-implicação,equivalência ou bicondicional
Essas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.
Formas de Argumento
Conectivo Não é o caso que

Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma
nova sentença, a negação da primeira.
Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘
é a negação da sentença
‘Ele é fumante'.

Variações gramaticais dessa negação:
´Ele é não-fumante’,
´Ele não é fumante’
´Ele não fuma’.
Formas de Argumento
Conectivo E



Uma composição constituindo-se de duas sentenças
ligadas por 'e' chama-se conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor
Obs: em linguagem natural, ‘e’ às vezes sugere sequencia
temporal
Ele ganhou na loto e enriqueceu.
A conjunção também pode ser expressa por palavras
como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ‘além do mais’,
‘no entanto’, ‘apesar disso’...
Chove mas faz calor
Formas de Argumento
Conectivo Ou

Um enunciado composto consistindo de
duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se
disjunção.
Exemplo: Chove ou faz calor
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Enunciados do tipo se... então ... chamam-se
condicionais ou implicações .

O enunciado subseqüente ao 'se' chama-se o
antecedente e o subseqüente ao 'então' chama-se
o conseqüente.

Forma do condicional:
Se antecedente então conseqüente
Ex: Se sinto frio então visto o casaco
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Uma implicação também pode ser expressa na
ordem inversa.
Visto o casaco se sentir frio
mantém a semântica de
Se sentir frio, visto o casaco
Se sentir frio então visto o casaco
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Variações gramaticais da implicação:





Se P então Q
P implica em Q; P, logo Q
P só se Q; P somente se Q
P apenas se Q; P só quando Q
Q se P ; Q segue de P
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se

Os enunciados formados com a expressão ...se e
somente se... são chamados bicondicionais ou
equivalências .
Exemplo:
T é um triângulo se e somente se T é um polígono
de três lados
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se

Um bicondicional pode ser considerado uma conjunção
de dois condicionais:

1.
2.
3.
4.




P se e somente se Q
P se Q e P somente se Q
Se Q então P e P somente se Q
Se Q então P e Se P então Q
que equivale a:
5. Se P então Q e Se Q então P
Formas de Argumento
Formalização

Para facilitar o reconhecimento e comparação de
formas de argumento, cada operador lógico é
representado por um símbolo:
 Não é o caso que: ~ ou ┐
 E: ^ ou &
 Ou: v
 Se ... então:

 Se e somente se:

Formalização:
Linguagem da Lógica Proposicional

Alfabeto




Símbolos de pontuação: (,)
Símbolos de verdade: true, false
Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, P2,
Q2...
Conectivos proposicionais: ,v,^,  , 
Linguagem
(cont.)

da
Lógica
Proposicional
Fórmula



Todo símbolo de verdade ou proposicional é
uma fórmula da Lógica Proposicional
Se H é fórmula então (H) também é
Se H e G são fórmulas, então (HvG), (H^G),
(HG) e (HG) também são
Exercícios:
1) Quais das expressões seguintes são
fórmulas e quais não são:
a)    R
b) ( R)
c) PQ
d) (PQ)
e) (P ^ Q)
Linguagem da Lógica
Proposicional (cont.)

Ordem de precedência





, 
^,v
Subfórmula: Se H é fórmula




H é uma subfórmula
Se H=(G), então G é subfórmula de H
Se H é do tipo (EvG), (E^G), (EG) ou (EG), então E
e G são subfórmulas de H
Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de G
também é subfórmula de H
Formas de Argumento
Formalização

Exemplo de formalização: Simbolize o argumento
que segue e o represente na Forma Padrão.
A proposta de auxílio está no correio. Se
a receberem até sexta-feira, eles a
Portanto, eles a analisarão porque se
estiver no correio, eles a receberão até
(C, S, A)
os árbitros
analisarão.
a proposta
sexta-feira.
Solução:

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros
a receberem até sexta-feira, eles a analisarão.
Portanto, eles a analisarão porque se a proposta
estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.
C: A proposta de auxílio está no correio.
S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.
A: Os árbitros analisarão a proposta.
. C
. SA
. CS
□A
{C, SA, CS} |-- A
Formas de Argumento
Composição de conectivos

Nem ... Nem ...
Nem José nem Maria estavam em casa
J – José estava em casa
M – Maria estava em casa
┐(J v M)
Formas de Argumento
Composição de conectivos (cont.)

A menos que...
José irá à festa, a menos que Maria vá.
J – José irá à festa
M – Maria irá à festa
J  M
Formas de Argumento
Formalização



A linguagem consistindo das letras sentenciais e
dos operadores lógicos juntamente com as regras
a serem empregadas, chama-se a Lógica
Proposicional ou Cálculo Proposicional.
A palavra Cálculo é empregada no sentido de
avaliação ou raciocínio e não no sentido de
diferenciação ou integração
O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é provar
a validade de certas formas de argumento.