CADERNO DE ATIVIDADES UTILIZANDO GEOGEBRA E
WINPLOT PARA A DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I
Priscla Pigatto Gasparin
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
[email protected]
Franciele Buss Frescki Kestring
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
[email protected]
Liliane Hellmann
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
[email protected]
Resumo:
A educação vem passando por diversas transformações, principalmente com relação às
metodologias utilizadas em sala de aula, em especial a área da matemática. No ensino superior,
observa-se um alto índice de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, devido
ao aluno chegar até a universidade com uma grande defasagem em matemática. Desta forma,
buscou-se desenvolver um caderno de atividades que auxiliasse a compreensão dos conteúdos
desta disciplina por meio dos softwares GeoGebra e Winplot. Esse caderno de atividades é
composto de diversos exemplos para que o aluno possa compreender os conceitos envolvidos no
cálculo e também aprender a linguagem desses recursos tecnológicos. O objetivo do trabalho foi
avaliar o caderno de atividades por meio de questionário aplicado aos estudantes da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Medianeira que cursaram a disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I. Os alunos consideraram que o caderno é de grande importância
para quem cursa a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, pois este apresenta resolução de
exercícios de forma diferenciada, ou seja, faz um resgate de conteúdos com solução passo a
passo, permitindo que o aluno compreenda como a solução foi encontrada.
Palavras-chave: Recursos Tecnológicos. Matemática. Gráficos de funções. Ensino
semipresencial.
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ISSN 2175 - 2044
Introdução
O alto índice de reprovações nas disciplinas na área de exatas, especificamente
na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I (CDI) na Universidade Tecnológica
Federal do Paraná (UTFPR) campus Medianeira fez com que professores se motivassem
a pesquisar e encontrar maneiras de amenizar essa situação. Um grupo de professores de
matemática e informática da universidade realizaram pesquisas relacionadas às novas
tecnologias da informação e comunicação (TICs), com o tema “Softwares e Aplicativos
como auxílio para a resolução de problemas envolvendo Cálculo Diferencial e Integral”.
Esses estudos resultaram na inserção de uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral
na modalidade semipresencial.
O ensino da matemática é de fundamental importância para qualquer curso na
área de exatas. Porém, tem-se observado que cada vez mais alunos iniciam a graduação
com grande deficiência em conteúdos da matemática estudada na educação básica, o
que prejudica seu desempenho na continuidade de seus estudos.
Para esses alunos com dificuldades nas disciplinas relacionadas à matemática,
são disponibilizados cursos de pré-cálculo e monitorias, além do atendimento pelo
professor. Mesmo assim, observa-se um grande índice de reprovação e desistência,
especialmente na disciplina de CDI I. Desta forma, para oportunizar uma maneira
alternativa de cursar a disciplina, ofertou-se CDI I na modalidade semipresencial, na
qual o aluno deve acessar a plataforma Moodle1 para consultar o material digital e
assistir vídeo aulas, como também fazer listas de exercícios e entregá-las e realizar as
provas presencialmente.
Com esta nova modalidade de ensino, em que o aluno necessita de um meio
digital para ter acesso ao material, desenvolveu-se um caderno de atividades para
auxiliar a compreensão dos conteúdos da disciplina de CDI I. Este caderno é composto
de vários exemplos que foram resolvidos utilizando os softwares GeoGebra e Winplot.
O caderno funciona como um roteiro de estudo sobre os conteúdos de CDI. O objetivo
1
Moodle é um sistema de administração de atividades educacionais destinado à criação de comunidades
on-line, em ambientes virtuais voltados para a aprendizagem. Criado em 2001 por Martin Dougiamas, a
plataforma está em desenvolvimento constante, tendo como filosofia uma abordagem social construtivista
da educação. A palavra Moodle vem do acróstico Modular Object-Oriented Dynamic Learning
Environment
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desse trabalho foi avaliar o caderno de atividades por meio de um questionário com os
alunos que já cursaram a disciplina de CDI I.
O uso de softwares nas aulas de Cálculo Diferencial e Integral I
O ensino de Cálculo vem sendo discutido em diversos estudos acadêmicos,
como Barbosa (2009), Barufi (1999), Igliori (2009), Lanchini (2001), Reis (2009),
Resende (2003), entre outros. De acordo com Igliori (2009), o interesse na disciplina de
Cálculo se dá pelo fato de que o CDI é um dos maiores responsáveis pelo fracasso dos
estudantes no ensino superior.
Segundo Penteado (2005, p. 384), “o uso de TIC exige movimento constante, por
parte do professor, para áreas desconhecidas”. Sacristan et al (2009) indica a
importância da tecnologia nas aulas, ressaltando, porém, que a tecnologia é um meio,
não um fim, que é necessário ter cautela na seleção de atividades.
Trabalhos como o de Miskulin (1999), e de Borba e Penteado (2001), defendem
a implantação das TIC no ensino de matemática, inclusive no ensino superior. Richit et
al (2012), utilizou o software GeoGebra em aulas de cálculo, concluindo que o software
se mostrou adequado para a realização das atividades de natureza exploratórioinvestigativa, uma vez que foi possível reduzir o número de repetições durante a
verificação de um resultado. O que no papel e lápis seria preciso vários desenhos, o
software mostrou, através da variação de parâmetros, o comportamento das funções.
Winplot
O Winplot2, um dos softwares do grupo Peanut Software, é uma ferramenta
computacional bastante interessante, principalmente para representar gráficos de
funções reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D). Foi desenvolvido pelo Professor
Richard Parris (Rick), da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. A versão em
Português foi preparada com a assistência de Adelmo Ribeiro de Jesus (Bahia). O
software
2
pode
ser
instalado
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
em
sistemas
operacionais
Windows®
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95/98/ME/2K/XP/Vista/7/8 ou mesmo em Linux. O Winplot tem a vantagem de ser um
software gratuito.
Na Figura 1 apresenta-se interface do Winplot, com uma janela de trabalho em
duas e outra em três dimensões (2D e 3D), com um exemplo de gráfico representado em
cada.
Figura 1. Interface do software Winplot, com um exemplo de gráfico em duas
dimensões (janela intitulada 2D) e em três dimensões (janela intitulada 3D).
Com o Winplot é possível esboçar gráficos de funções definidas explícita ou
implicitamente. O software também permite que sejam feitas animações, o que facilita o
entendimento do aluno quanto à variações que ocorrem com algumas funções.
GeoGebra
O GeoGebra3 é um software gratuito de geometria dinâmica, no qual é possível
trabalhar a geometria, a álgebra e o cálculo, foi desenvolvido em linguagem JAVA. Este
software oportuniza a visualização da relação entre a representação algébrica e a
representação geométrica de um objeto em estudo. O seu autor é o professor Markus
Hohenwarter da Universidade de Salzburgo, na Áustria. Esse sistema de geometria
dinâmica permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas,
seções cônicas, como com funções que, se feitas de forma adequada, podem modificar3
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/
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se dinamicamente. Também é possível gerar animações, inserindo parâmetros nas
funções e equações.
A interface do software de geometria dinâmica GeoGebra pode ser considerada
como simples, pois permite ao usuário um fácil entendimento a partir de um menu e
uma lista desdobrável de botões, que oferecem várias possibilidades de construção.
A Figura 2 apresenta a janela inicial do GeoGebra.
Figura 2. Janela inicial do GeoGebra
Como pode-se observar na Figura 2, há uma janela algébrica (localizada à
esquerda da tela) e uma janela de desenho ou janela geométrica ou ainda janela de
gráficos (localizada à direita da tela).
Metodologia
Como parte do projeto “Softwares e Aplicativos como auxílio para a resolução
de problemas envolvendo Cálculo Diferencial e Integral”, professores e monitores
elaboraram um caderno de atividades utilizando os softwares GeoGebra e Winplot para
a disciplina de CDI.
O caderno de atividades inicia com tutoriais dos softwares GeoGebra e Winplot.
A seguir, são apresentadas oitenta atividades, que foram subdivididas conforme a
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disciplina de CDI, isto é: funções, limites, derivadas e integrais. Para cada conteúdo,
foram elaborados ou adaptados, dez atividades, para as quais foi utilizado o GeoGebra
e, na sequência, o Winplot. Cada atividade apresenta um enunciado com a resolução
passo a passo em ambos os softwares, com a respectiva resposta. Desta forma, o aluno
utiliza os softwares e pode consultar o caderno quando tiver alguma dúvida ou apenas
comparar o seu resultado com o do caderno.
A seguir são apresentados dois exemplos resolvidos no caderno de atividades:
1) Verifique o que acontece com a função f ( x)  ax²  bx  c quando seus coeficientes
são alterados. Obs.: utilize os seletores no GeoGebra.
Procedimentos de construção:
(i) Crie três seletores, um para cada coeficiente, utilizando a ferramenta do GeoGebra
Controle deslizante;
(ii) Digite no campo de entrada a função f ( x)  ax²  bx  c e verifique o que acontece
com a parábola ao variar os seletores.
Para verificarmos o que acontece com a parábola ao alterarmos o valor dos seletores,
basta clicarmos em animação com o botão da direita em cima de cada seletor, ou
manualmente arrastarmos os seletores.
Figura 3 Construção de uma parábola por meio do GeoGebra. (MACHADO,
LIMA, VENTURI, 2011).
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2) Encontre o gráfico da derivada da função f ( x)  x³  x² utilizando o Winplot;
Procedimento de construção:
(i) Digite a função na janela do inventário;
(ii) Perceba que a equação já estará selecionada;
(iii) Clique na opção “Derivar”, na janela do inventário, a função pode ser derivada
quantas vezes quiser, clicando novamente em “Derivar”;
(iv) Aparecerá então o gráfico da derivada;
Solução:
Figura 4 Construção do gráfico da função e da sua derivada. (GIANERI, 2005).
Para alguns exercícios, antes de iniciar a resolução, foram resgatados alguns
conceitos de matemática elementar , necessários à resolução do exercício, pois, mesmo
com o recurso tecnológico, o usuário necessitaria de tais conhecimentos.
Para reconhecer e validar o caderno de atividades, foi elaborado e aplicado um
questionário com doze questões, que versavam sobre a impressão do aluno quanto ao
caderno e também as experiências do aluno com a disciplina de CDI I e uso de
softwares.
O questionário foi aplicado aos alunos do campus Medianeira da UTFPR que já
cursaram a disciplina de CDI I. Os materiais, bem como os questionários estavam
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disponíveis em um dos laboratórios de informática da instituição. Os participantes
puderam ler, relembrar e avaliar os conteúdos ali apresentados, porém não foi solicitado
que resolvessem as atividades propostas no caderno.
Resultados e discussões
Quarenta e dois alunos validaram o material. Destes, 43% foram aprovados na
disciplina de cálculo 57% foram reprovados. A maioria dos estudantes, 40%, respondeu
que tiveram contato com softwares ou aplicativos apenas no ensino superior.
Com relação ao uso de TICs nas aulas de CDI, todos concordam ser muito
importante, pois é possível realizar diversas simulações, e compreender melhor os
conteúdos. Com relação aos softwares GeoGebra e Winplot, cerca de 83% os
conheciam, porém apenas 37% sabiam manuseá-los.
A análise dos questionários revelou que a avaliação do caderno de atividades foi
muito positiva, pois da maneira como foram apresentados os exercícios e resolvidos
com o passo a passo, a maioria dos alunos acreditam estar fácil de compreender tanto o
exercício quanto a maneira de se resolver utilizando os softwares.
Os alunos acreditam que o caderno de atividades, da maneira como foi
elaborado, é ótimo apoio para o manuseio e compreensão dos softwares. Outros
consideraram muito interessante o material, pois, mesmo não conhecendo previamente o
GeoGebra, julgaram que conseguiriam realizar operações elementares e resolver
exercícios relacionados aos conteúdos de cálculo diferencial e integral seguindo o
caderno. Além disso, 90% dos alunos responderam que as atividades propostas
proporcionaram uma forma interessante de se estudar a disciplina de CDI I.
Com relação à importância desses recursos tecnológicos para a sua formação,
98% dos alunos consideraram relevante saber utilizar e interpretar os softwares.
Destacam-se alguns comentários realizados pelos alunos:
“Auxilia na verificação do problema e também na otimização do tempo para resolver
os mesmos”.
“Encontra-se resultados de forma mais rápida”.
“A importância entre a matemática e a tecnologia é um ponto fundamental para a vida
acadêmica e profissional”.
“Estes recursos facilitam a compreensão dos conteúdos da disciplina de CDI I”.
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“Proporcionam uma melhor visualização da construção de gráficos e simulações
instantâneas”.
Esses resultados confirmam os estudos de Guimarães et al (2009), que salienta a
importância das diferentes formas de representações seja ela numérica, algébrica ou
gráfica, que são formas diferentes de análise de uma mesma situação, e para isso o uso
de softwares facilita essa compreensão. Corroboram também com as pesquisas de Borba
e Penteado (2001, p.30), pois o conhecimento sobre funções matemáticas significa
coordenar múltiplas representações e esta abordagem “ganha força” em ambientes que
geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas.
Vale ressaltar que a disciplina de CDI I é mais ampla, não sendo utilizado como
material didático apenas esse caderno. Stweart (2003) orienta que o fato de utilizar um
recurso tecnológico não torna obsoleto o uso do lápis e papel, ou seja, o aluno não pode
se tornar “refém” dos softwares, mas estes devem ser utilizados no caso da construção
de gráficos, apenas como comparação ou simulação de outras situações. A utilização do
caderno de atividades segue esta orientação, pois o caderno está vinculado à disciplina
de CDI I, que apresenta outras formas de atividades.
Santos et al (2012) realizaram uma atividade em que contemplava o conceito de
integral aplicado ao cálculo de área entre curvas. Até então os alunos não haviam
trabalhado com as aplicações de integrais e também não haviam trabalhado com o
GeoGebra. Mas foi possível observar na realização da atividade que os alunos tiveram
um bom desempenho, apresentando algumas dificuldades em relação ao uso do
software por não conhecê-lo. Segundo Santos et al (2012) pode-se concluir que durante
o desenvolvimento da atividade de Cálculo com a utilização do GeoGebra, os
estudantes fizeram observações, levantaram algumas conjecturas, buscando validá-las.
A visualização foi bastante explorada nas atividades propostas, constatando-se que após
representar os gráficos com a utilização do GeoGebra, os acadêmicos desenvolveram
conhecimentos intuitivos sobre a integral, uma vez que trabalharam com as Somas de
Riemann.
Considerações finais
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Por meio da avaliação observou-se que o caderno de atividades proporcionou
aos estudantes conhecerem as ferramentas que os softwares GeoGebra e Winplot e o
que elas podem oferecer para a resolução de exercícios, auxiliando a disciplina de CDI.
Os questionários mostraram que o caderno é de grande importância para quem
cursa a disciplina de CDI, pois este apresenta a resolução de exercícios e o resgate de
conteúdos de uma forma diferenciada. Além disso, haverá uma interação entre os alunos
e os softwares, podendo realizar simulações e comparar com as atividades realizadas
manualmente.
Futuramente, pretende-se ampliar esse material e anexar na plataforma Moodle,
juntamente com os demais materiais de CDI I, para que o aluno possa ter esse caderno
como um tutorial na resolução e compreensão dos conteúdos utilizando os recursos
computacionais.
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