ELABORAÇÃO DE UM CADERNO DE ATIVIDADES PARA A EDUCAÇÃO
BÁSICA SOBRE GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
Karolina Barone Ribeiro da Silva
[email protected]
LINHA DE PESQUISA
Educação Matemática nas séries iniciais e finais do Ensino Fundamental e Médio
RESUMO
Este trabalho trata de uma pesquisa concluída, que teve como um dos objetivos a
elaboração de um caderno de atividades para a Educação Básica, contendo noções de
geometrias não-euclidianas, especificamente a geometria hiperbólica, a elíptica e a
fractal. A inclusão do tema nas orientações das Diretrizes Curriculares da Educação
Básica do Estado do Paraná e a escassez de material específico foram alguns dos
motivos que levaram à pesquisa aqui relatada. São apresentadas algumas das
atividades propostas no caderno, desenvolvidas à luz das Diretrizes. Espera-se que o
material venha preencher a lacuna deixada pela carência de bibliografia sobre
geometrias não-euclidianas voltada para a Educação Básica.
Palavras-Chave: Educação Básica, Geometrias Não-Euclidianas.
O PROJETO DE PESQUISA “GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS: ALGUMAS ATIVIDADES PARA
A EDUCAÇÃO BÁSICA”
A pesquisa relatada neste trabalho foi desenvolvida de junho de 2010 a janeiro de
2011, junto ao Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Centro-Oeste
(UNICENTRO), no campus de Guarapuava. Um dos seus objetivos era a elaboração de um
caderno de atividades relacionadas às geometrias não-euclidianas, à luz das Diretrizes
Curriculares Nacionais e da Educação Básica do Estado do Paraná.
Uma das justificativas para a pesquisa se deve ao fato que, em 2008, a Secretaria
de Estado da Educação do Paraná, por meio das Diretrizes Curriculares da Educação
Básica, propôs a inclusão de noções básicas de geometrias não-euclidianas no Ensino
Fundamental e Médio (PARANÁ, 2008, p. 55).
1
Nas Diretrizes, a proposta de ensino das noções de geometrias não-euclidianas
abrange, em relação ao Ensino Fundamental, noções de geometria projetiva, topológica e
dos fractais.
Já em relação ao Ensino Médio, as Diretrizes orientam que sejam aprofundados os
estudos das noções de geometrias não-euclidianas ao abordar a geometria dos fractais,
geometria projetiva, hiperbólica e elíptica, sugerindo que as duas últimas sejam tratadas
por meio de conceitos desenvolvidos por Lobachevsky e Riemann, respectivamente.
Devido ao curto período de tempo para a execução da pesquisa, as atividades do
caderno se restringiram apenas à geometria hiperbólica, elíptica e fractal.
Acreditamos que a inclusão de tais noções no Ensino Fundamental e Médio tem
muito a contribuir com o aprendizado da geometria, possibilitando, entre outros, que os
alunos conheçam outras geometrias além da euclidiana. Porém, os professores da
Educação Básica, que são responsáveis pela inclusão do tema em sala de aula, têm
encontrado muitas dificuldades em desenvolvê-lo com seus alunos.
Concordamos com Santos (s.d., p. 2) que afirma, em relação às geometrias
não-euclidianas, que “não adianta governantes e especialistas em Educação decidirem
incluir na Educação Básica determinado conteúdo, se o professor não se sentir seguro para
trabalhar com o tema”. Entre os motivos para essa insegurança, podemos apontar a
bibliografia escassa sobre o tema e a falta de conhecimentos sobre as geometrias nãoeuclidianas.
A idéia para a pesquisa aqui relatada e consequentemente para a elaboração do
caderno de atividades, teve início em um grupo de estudos orientado por mim, constituído
por três alunas do curso de licenciatura em Matemática da UNICENTRO. Por ocasião de
uma oficina sobre o ensino das geometrias não-euclidianas na Educação Básica, a ser
ministrada na Semana de Estudos da Matemática de 2010, o grupo constatou, em suas
pesquisas para a formulação das atividades, que existiam muitos artigos, trabalhos de
conclusão de curso, monografias, dissertações, teses e alguns livros que tratavam de
noções de geometria fractal, hiperbólica e elíptica, porém de forma isolada. Não foi
encontrado material que reunisse um número razoável de atividades interessantes e bem
detalhadas sobre os três conteúdos simultaneamente.
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O CADERNO DE ATIVIDADES
O material está estruturado em quatro capítulos. No primeiro são feitas algumas
considerações históricas sobre as geometrias não-euclidianas. Nos capítulos 2 a 4 são
apresentadas atividades sobre geometria hiperbólica, elíptica e fractal. Em cada capítulo
são propostas e desenvolvidas atividades sobre os temas utilizando os tradicionais lápis e
papel, bem como softwares livres (Régua e Compasso, NonEuclid), vídeos, bolas de
isopor, mapa mundi, globo terrestre etc. Além disso, foram elaboradas atividades de busca
de certos temas na Internet. Ao final de cada capítulo encontram-se as resoluções de todas
as atividades propostas, além das referências bibliográficas e indicação de material
adicional para aprofundamento em cada tema.
A seguir são apresentados alguns exemplos das atividades dos capítulos 2 a 4, na
forma em que se encontram no caderno produzido. As notas de rodapé são as notas
presentes no caderno de atividades.
Atividades do capítulo 2 (Geometria hiperbólica)
Atividade 3 – Ângulos
No disco de Poincaré os ângulos são medidos como na geometria euclidiana. Se
duas retas-h interceptam-se num ponto A, a medida do ângulo formado entre elas é, por
definição, a medida do menor ângulo formado pelas semi-retas euclidianas tangentes aos
arcos (retas-h) em A.
retas euclidianas
tangentes às
A
retas-h em A
3
retas-h com interseção em A
Existe um software livre que permite trabalhar com os elementos do disco de
Poincaré. Trata-se do NonEuclid (versão 2007.04)1. Explore as ferramentas do software e
depois faças as atividades abaixo.
AT 3a) Construas algumas retas-h que se interceptem.
Para isso, inicie um novo documento, clicando em File e em seguida em New. É
possível construir retas-h clicando em Construction e em seguida em Draw Line. Observe
as retas-h obtidas por meio desta ferramenta na FIG. 6.
FIGURA 6 – Exemplos de retas-h
AT 3b) Determine a medida do ângulo formado por duas das retas construídas na
atividade anterior.
1
O software pode ser obtido em http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html. Acesso em 28/01/2011.
Mais informações, em português, estão disponíveis em Caldeira e Carvalho (2006).
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Clique em Measurements e em seguida em Measure Angle. Siga as instruções que
aparecem no canto superior esquerdo da tela. Observe na FIG. 7 o resultado obtido como
medida do ângulo BÂF da FIG. 6.
FIGURA 7 – Medida do ângulo BÂF
Observe que em AT 3b obtivemos a medida de um ângulo previamente
construído. Como deveríamos proceder se ao invés de realizar a medição resolvêssemos
construir um ângulo hiperbólico medindo, por exemplo, 60º utilizando o software Régua e
Compasso?
AT 3c) Construa um ângulo hiperbólico medindo 60º utilizando o software
Régua e Compasso.
Como você faria isso?
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Vamos nos ater no que foi dito no início da atividade 3: “Se duas retas-h
interceptam-se num ponto A, a medida do ângulo formado entre elas é, por definição, a
medida do menor ângulo formado pelas semi-retas euclidianas tangentes aos arcos (retash) em A”.
Assim, para construirmos um ângulo hiperbólico medindo 60º, primeiramente
devemos construir o ângulo euclidiano que tenha tal medida. E depois?
O passo seguinte consiste em obter duas retas-h, que se interceptem no vértice do
ângulo construído, de forma que as retas euclidianas que contêm os lados do ângulo
euclidiano sejam tangentes às retas-h no seu ponto de interseção. Parece complicado, mas
não é. Basta revisar a atividade 2.
Atividades do capítulo 3 (Geometria elíptica)
Atividade 3 – Triângulos
AT 3a)
1. Partindo de certo ponto da Terra, um caçador andou 10 quilômetros para o
sul, 10 quilômetros para o leste e 10 quilômetros para o norte, voltando ao ponto de
partida. Ali encontrou um urso. De que cor é o urso? Represente a trajetória do caçador e
identifique a figura formada. Como você a chamaria? (atividade adaptada de
Barco (1989))
2. Que elementos a formam?
3. Elabore uma definição para a figura encontrada.
AT 3b) Marque três pontos distintos sobre uma bola de isopor. Quantos
triângulos você consegue obter tendo esses pontos como vértices? Faça uma
representação desses triângulos no papel.
AT 3c) Seja P um ponto sobre uma reta na superfície esférica. É possível
construir um triângulo com apenas um ângulo reto, sendo P um de seus vértices?
AT 3d) É possível construir um triângulo esférico com dois ângulos retos?
Explique.
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AT 3e) O que ocorre com a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo
construído na atividade anterior?
AT 3f) É possível construir um triângulo com três ângulos retos? Qual é a
porção da superfície esférica ocupada por ele? Explique.
AT 3g) Você conseguiria construir um triângulo que ocupasse ¼ da superfície
esférica? Explique.
AT 3h) De acordo com a resolução da atividade anterior, você acha que é
possível obter triângulos degenerados com soma dos ângulos internos diferente de 360°?
Explique.
AT 3i) De acordo com as atividades anteriores, você acha que há relação entre a
área do triângulo esférico e a soma de seus ângulos internos? Explique.
AT 3j) Como você pode perceber nas atividades anteriores, é possível obter
triângulos esféricos com diferentes somas das medidas dos ângulos internos. Existe um
valor mínimo para esta soma? E um valor máximo? Explique.
AT 3k) Considere o triângulo esférico ABC destacado na figura a seguir. Utilize
os seus conhecimentos de geometria espacial em relação aos elementos da esfera para
mostrar que a área desse triângulo (AABC) e a soma de seus ângulos internos (A + B + C)
se relacionam por meio da expressão
A + B + C = π + AABC/r2,
em que r é o raio da esfera.
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Fonte: http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/0405/Apontamentos/sII5.pdf (p. 110)
AT 3l) Utilize a expressão deduzida na atividade anterior, para mostrar que o
triângulo que ocupa 1/8 da superfície esférica tem 270° como soma de seus ângulos
internos.
Atividade do capítulo 4 (Geometria fractal)
Atividade 1 – Conjunto de Cantor
O matemático russo naturalizado alemão Georg Cantor publicou, em 1883, um
trabalho no qual é construído um conjunto chamado hoje de Conjunto de Cantor ou Poeira
de Cantor, um dos “monstros matemáticos”.
Georg Cantor
Fonte: http://www.univie.ac.at/bvi/photo-gallery/photo_gallery.htm. Acesso em 06/02/2011.
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AT 1a) Construa alguns níveis do conjunto de Cantor, seguindo os passos
abaixo.
a) Nível 0: inicie com um segmento de reta de comprimento qualquer.
b) Nível 1: divida o segmento no nível zero em três partes iguais e elimine a
central.
c) Nível 2 em diante2: divida cada segmento do nível anterior3 em três partes
iguais.
É importante ressaltar que a figura conhecida como conjunto de Cantor, bem
como qualquer outro fractal, só será obtida após o desenvolvimento de infinitos níveis.
Os cinco primeiro níveis do fractal são apresentados abaixo:
Fonte: MIRANDA et al.(2008, p. 6)
Observe a auto-similaridade: cada pequeno segmento é similar ao todo, porém
tem menor comprimento.
AT 1b) Você consegue explicar o porquê da denominação “Poeira de Cantor”?
AT 1c) Observe o número de segmentos em cada nível. Deduza uma expressão
para o número de segmentos em um nível n qualquer.
2
Lembre-se que uma das características dos fractais é a complexidade infinita. Logo, são necessários
infinitos níveis para obter o fractal. Por questões óbvias, apenas alguns níveis serão representados.
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A recursividade citada na propriedade 2, pode ser verificada notando que cada nível é obtido com base no
nível anterior.
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AT 1d) Observando a figura anterior, o que acontece com o número de
segmentos à medida que construímos mais níveis?
AT 1e) De acordo com a expressão obtida na atividade anterior, o que acontece
com o número de segmentos quando n tende ao infinito, ou seja, quando n tende a ser um
número infinitamente grande?
AT 1f) Suponha que o segmento do nível 0 tenha comprimento igual a 1 metro.
Quanto medirá cada segmento do nível n?
AT 1g) Como você uniria as informações de AT 1c e AT 1f para determinar o
comprimento total da figura de um nível n qualquer? O que acontece com esse
comprimento quando n tende ao infinito?
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Espera-se que o caderno de atividades venha preencher a lacuna deixada
pela escassez de material sobre geometrias não-euclidianas voltado para a Educação
Básica, servindo de consulta e apoio para os professores (e futuros professores) da
Educação Básica e Superior, e para outros interessados em geometrias não-euclidianas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARCO, L. Geometria com urso e sem urso: colocando a matemática em xeque.
Superinteressante, São Paulo, mar. 1989. Disponível em:
http://super.abril.com.br/ciencia/geometria-urso-urso-colocando-matematica-xeque438944.shtml. Acesso em: 25 de fev. 2011.
CALDEIRA, P. I. D.; CARVALHO, T. F. Tradução do software NonEuclid. In:
ENCONTRO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA, 3., 2008, Campinas. Anais do XIII Encontro
de
Iniciação
Científica
da
PUC-Campinas.
Disponível
em:
http://www.pucampinas.edu.br/pesquisa/ic/pic2008/resumos/Resumo/%7B1F21DB3592E8-4913-BC25-EEC7C80F8A65%7D.pdf. Acesso em: 26 de abr. 2010.
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MIRANDA, J. G. V.; ASSIS, T. A.; MOTA, F. B.; ANDRADE, R. F. S.; CASTILHO, C.
M. C. Geometria fractal: propriedades e característica de fractais ideais. Revista Brasileira
de Ensino de Física, v. 30, n. 2, 2304 (2008), p. 1-10. Disponível em:
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/302304.pdf. Acesso em 25 de fev. 2011.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da
Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008. Disponível em:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/diretrizes_2009/out_20
09/matematica.pdf. Acesso em: 17 de abr. 2010.
SANTOS, T. S. Geometrias não-euclidianas em um curso de atualização para professores
da Educação Básica. Disponível em:
http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/323-2-Agt1_santos_ta.pdf.pdf. Acesso em: 17 de abr. 2010.
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