Governador
Cid Ferreira Gomes
Vice Governador
Domingos Gomes de Aguiar Filho
Secretária da Educação
Maria Izolda Cela de Arruda Coelho
Secretário Adjunto
Maurício Holanda Maia
Secretário Executivo
Antônio Idilvan de Lima Alencar
Assessora Institucional do Gabinete da Seduc
Cristiane Carvalho Holanda
Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC
Andréa Araújo Rocha
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Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
SUMÀRIO
Apresentação da disciplina.......................................................................................5
1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria.........................................6
Tópico 1 – Revisão de Trigonometria..........................................................................7
2 – Introdução à Mecânica.......................................................................14
Tópico 1 – Conceitos Básicos de Mecânica...............................................................15
Tópico 2 – Fundamentos de Estática .................................................................….19
3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais ................................................31
Tópico 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais...................................32
4 – Tensão e Deformação ...................................................................................... 37
Tópico 1 – Tensão e Deformação..............................................................................38
5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos ......................................................46
Tópico 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação …...................47
6 – Carga Axial …....................................................................................55
Tópico 1 – Membros carregados axialmente............................................................56
7 – Vasos de pressão de paredes finas ...............................................................63
Tópico 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos...................................................................64
Referências Bibliográficas.........................................................................67
Mecânica – Resistência dos Materiais
1
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
O objetivo principal de uma disciplina de resistência dos materiais é o
desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpo
deformável (não-rígido) e as forças internas e deformações nele originadas.
O desenvolvimento de qualquer projeto de máquina ou estrutura na
engenharia baseia-se nos fundamentos de resistência dos materiais. Sendo
necessário primeiro usar os princípios básicos da estática para determinar as
forças que atuam tanto sobre como no interior dos corpos. A dimensão dos
elementos, sua deformação e sua estabilidade dependem também do tipo de
material do qual são feitos. Dessa forma, a compreensão do comportamento do
material quando submetido às solicitações externas é de vital importância para
o desenvolvimento das equações de resistência dos materiais e
consequentemente para a realização de projetos mecânicos.
Esta apostila aborda os conceitos básicos de resistência dos materiais, com
o propósito de tornar o assunto mais acessível aos alunos que estão sendo
iniciados em seus estudos de mecânica dos corpos deformáveis. Revisaremos
os conceitos fundamentais da trigonometria, alguns princípios importantes da
estática e mostraremos como eles são utilizados para determinar os esforços
internos resultantes em um corpo. Serão introduzidos ainda os conceitos de
tensão normal, tensão de cisalhamento, tensão admissível, fator de segurança,
deformação, além de uma revisão das propriedades mecânicas dos materiais.
O estudo da mecânica dos materiais é muito mais amplo e complexo do que
o apresentado neste material, deixando clara a necessidade de mais pesquisas
e estudos para a total compreensão e domínio do assunto. Para isso é sugerida
uma bibliografia básica para que o aluno aprofunde seu conhecimento de
resistência dos materiais.
Mecânica – Resistência dos Materiais
2
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Revisão dos Fundamentos de trigonometria
Nessa primeira
serão apresentadas algumas definições importantes
para orientar o estudo em questão, abordando uma rápida revisão das
relações e fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geral
de conceitos posteriores relacionados à estática e à resistência dos
materiais.
Ao final dessa você deverá ser capaz de calcular as relações métricas do
triângulo retângulo, as dimensões de um triângulo retângulo através do
teorema de Pitágoras e os ângulos através das funções trigonométricas
especiais.
Objetivos
•
Revisão das relações métricas de um triângulo retângulo
•
Revisão do teorema de Pitágoras
•
Revisão das funções trigonométricas
Mecânica – Resistência dos Materiais
3
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Revisão de Trigonometria
Objetivos do tópico:
•
Definir as relações métricas do triângulo retângulo e o teorema de
pitágoras
•
Apresentar as funções trigonométricas especiais e
•
Apresentar a relação fundamental da trigonometria
1.1 Triângulo Retângulo
Triângulos retângulos são figuras geométricas planas com três lados e três
ângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, medindo 90°.
a) Elementos
Considerando-se um triângulo ABC, retângulo em A, podem-se caracterizar
os seguintes elementos:
Lado AB = c: cateto
Lado AC = b: cateto
Lado BC = a: hipotenusa
Lado AD = h: altura relativa à hipotenusa
Lado BD = m: projeção de c sobre a
Lado DC = n: projeção de b sobre a
Figura
1.1
b) Relações métricas
Conduz-se a altura AD relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obtem-se dois
triângulos retângulos ABD e ACD semelhantes ao triângulo ABC. Devido à
congruência dos ângulos indicados:
Mecânica – Resistência dos Materiais
4
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B ≡ 1 (complementos de C)
C ≡ 2 (complementos de B)
Figura 1.2
Com base na semelhança dos
determinam-se as seguintes relações:
triângulos
ΔABC,
ΔABD
e
ΔACD,
Figura 1.3.
(1)
a.n
(2)
a.m
b² =
(3)
h² = (5) b . h = c .
m.n
n
c² =
(4) b . c = (6) c . h = b .
a.h
m
1.2. Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras pode ser provado considerando-se as relações (1) e
(2) definidas anteriormente, e somando-se membro a membro, como segue:
(1) b² = a . n
b² + c² = am + an
b² + c² = a(m + n)
b² + c² = a²
(2) c² = a . m
Demonstrou-se que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos
a² = b² + c²
1.3. Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo (30°, 45° e 90°)
Sendo θ a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ΔABC
mostrado, tem-se:
Mecânica – Resistência dos Materiais
5
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Figura 1.4.
Seno de θ = senθ= cateto opostohipotenusa= ba
Cosseno de θ = cosθ= cateto adjacentehipotenusa= ca
tangente de θ = tgθ= cateto opostocateto adjacente= bc
a) Razões trigonométricas especiais
Tabela 1.1. razões trigonométricas especiais
b) Relação fundamental da trigonometria
Relacionando o teorema de Pitágoras com as funções trigonométricas do
seno e do cosseno, obtemos a seguinte relação:
senθ= ba → b = a senθ
cosθ= ca
→ c = a cosθ
a² = b² + c²
→
a² = (a senθ)² + (a cosθ)²
a² = a² sen²θ + a² cos²θ → a² = a² (sen²θ +
cos²θ)
sen²θ + cos²θ = 1
1.4. Alfabeto grego
Nas formulações matemáticas de resistência dos materiais usualmente
utilizam-se letras do alfabeto grego, portanto, é necessário conhece-las.
Mecânica – Resistência dos Materiais
6
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Tabela 1.2. Alfabeto grego
1.5. Exercícios
01. Determine o valor de x nos casos:
a)
Mecânica – Resistência dos Materiais
b)
c)
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02. Determine x nos casos abaixo:
a)
b)
c)
03. Utilizando as relações métricas determine o valor de x:
a)
b)
c)
04. Determine x e y nos triângulos abaixo:
a)
b)
05. Determine o valor de x nas figuras planas mostradas:
a) quadrado
b) trapézio isóceles
c) losango
e) paralelogramo
Mecânica – Resistência dos Materiais
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06. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 24m.
07. A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m.
Determine a base, se o perímetro é de 36m.
08. Determine o senα nos casos seguintes:
a)
b)
c)
09. Determine o cosα nos casos:
a)
b)
c)
10. Determine a tgα nos casos:
a)
Mecânica – Resistência dos Materiais
b)
c)
9
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11. Determine o valor de x :
a)
b)
c)
d)
12. Determinar x e y nas figuras abaixo:
a) Retângulo
b) Paralelogramo
c) trapézio retângulo
13. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m.
14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18m e a altura relativa à base
mede 3m. Determine a base.
15. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e
6m.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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2 – Introdução à Mecânica
O físco e matemático inglês, Isaac Newton, em 1686, foi o primeiro a
apresentar uma teoria que explicava satisfatoriamente os movimentos, em
um trabalho sobre os princípios da mecânica. O sucesso da Mecânica
Newtoniana foi imediato e duradouro, ela reinou por mais de 200 anos.
Houve, na verdade, a necessidade de alguns aperfeiçoamentos feitos mais
tarde por outros físicos, mas a base da mecânica de Newton permaneceu
inalterada até o começo do século XX, com o surgimento da Mecânica
Relativística e da Mecânica Quântica para explicar certos fatos que a
mecânica Newtoniana não consegue. A mecânica relativística é necessária
quando os corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000Km/s),
enquanto que a mecânica quântica é necessária para o estudo dos
fenômenos atômicos e nucleares.
Nessa
abordaremos a definição de alguns conceitos básicos da
mecânica necessários para o entendimento dos princípios da resistência dos
materiais. Além da classificação da mecânica clássica e das unidades de
medida utilizadas pelo sistema internacional de Unidades (SI). Serão
abordados também os fundamentos de estática, com o estudo das forças,
momentos, equações de equilíbrio, apoios e suas reações.
Objetivos
•
Definir conceitos fundamentais de Mecânica
•
Apresentar a classificação da mecânica
•
Apresentar o Sistema Internacional de Unidades
•
Determinar os princípios da estática.
•
Estudar as forças e momentos
•
Estudar as equações de equilíbrio , os apoios e suas reações.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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TÓPICO 1 – Conceitos Básicos de Mecânica
Objetivos do tópico:
•
Apresentar a definição e a divisão da mecânica clássica
•
Apresentar o sistema internacional de unidades
2.1. Introdução
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças
e dos movimentos. Descreve e prediz as condições de repouso ou
movimento de corpos sob a ação de forças.
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos,
fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia e para
fenômenos encontrados no dia a dia.
A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos
Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformável e Mecânica dos Fluídos, como
indicado na figura 2.1 abaixo:
Figura 2.1 Divisões da mecânica clássica.
Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em: Estática, Cinemática e
Dinâmica.
A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em
equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na
Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente,
os resultados obtidos independem das propriedades do material.
A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:
- movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos
iguais para quaisquer trechos de trajetória;
- movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de
valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o
movimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o
movimento será uniformemente retardado;
- movimentos de rotação.
A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz
(força).
Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas
nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a
que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não
alteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da
estrutura considerada.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos
de ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela
Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos
Materiais ou Mecânica dos Sólidos.
O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da
resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.
Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo
dos fluidos incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma
importante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.
2.2. Conceitos fundamentais
Os conceitos fundamentais da mecânica clássica baseiam-se na
mecânica newtoniana, ou seja, nas leis de Newton. Isaac Newton
(1642-1727) foi um físico e matemático inglês quem primeiro apresentou
uma teoria que realmente explicava as causas do movimento.
Algumas definições tornam-se necessária para o melhor entendimento da
mecânica:
•
•
•
•
•
•
•
Ponto Material – é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas. É
considerado um ponto geométrico em que se concentra toda a massa do
corpo;
Corpo Extenso – quando as dimensões do corpo influenciarem no estudo;
Referencial – é um corpo em relação ao qual se analisa o estado de
movimento de um móvel;
Espaço – o conceito de espaço é associado à noção de posição de um
ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos
a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três
direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as
coordenadas do ponto;
Tempo – para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no
espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser
dado;
Massa – é uma medida da quantidade de matéria contida no corpo;
Força – a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que
tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada
pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma
força é representada por um vetor;
As três Leis ou princípios da mecânica são: o princípio da inércia (primeira
lei de Newton), o princípio fundamental da dinâmica (segunda lei de
Newton) e o princípio da ação e reação (terceira lei de Newton).
Estabelecem que:
• Primeira lei de Newton – qualquer corpo em repouso ou em movimento
retilíneo e uniforme tende a permanecer nesses estados, a menos que
seja obrigado a alterá-los por aplicação de forças externas;
Mecânica – Resistência dos Materiais
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•
•
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Segunda lei de Newton – A força resultante externa, agindo sobre um
corpo, produz uma aceleração, na mesma direção e no mesmo sentido
da força, inversamente proporcional à massa do corpo. F = m.a
Terceira lei de Newton – quando um corpo exerce uma força sobre um
segundo corpo, o segundo corpo reage sobre o primeiro com uma força
de mesma direção, de mesma intensidade e de sentido contrário.
2.3. Sistema Internacional de Unidades
O sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades
básicas ou fundamentais e unidades derivadas.
As grandezas fundamentais adotadas na mecânica são: comprimento,
massa e tempo. As grandezas derivadas podem ser relacionadas com as
unidades básicas, que são entre outras, força, pressão, trabalho, etc.
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto
significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos
locais onde são feitas as medições.
Tabela 2.1. Unidades Básicas
Unidade
Sím
fundamental
bolo
Comprime
Metro
M
nto
Massa
Quilograma
Kg
Tempo
Segundo
s
Algumas unidades derivadas são importantes para o presente estudo:
Tabela 2.2. Unidades derivadas
Unidade derivada
Símbo
lo
Área
Metro quadrado
m²
Força
Newton
N
Moment
Newton vezes
N.m
o
metro
Tensão
Pascal
Pa
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que
imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F =
m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.
As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos
chamados dinamômetros.
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N).
Da equação P = m.g (terceira Lei de Newton) segue-se que o peso de um
corpo de massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a
aceleração da gravidade.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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A tensão ou pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como
a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída
sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à
direção da força Pa = N /m² . Pascal é também unidade de tensões normais
(compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).
Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas são
utilizados na forma de potências inteiras de dez. esses múltiplos e
submúltiplos são designados por prefixos. Observe a tabela:
Pr
efixo
ExaPetaTeraGigaMega
Quilo
Hect
oDecaDeciCenti
MiliMicro
Nano
Pico-
Tabela 2.3. Múltiplos e submúltiplos
Sí
Fator pelo qual a unidade é
mbolo
multiplicada
E
1018 = 1 000 000 000 000
000 000
P
1015 = 1 000 000 000 000
000
T
1012 = 1 000 000 000
000
G
109 = 1 000 000 000
M
106 = 1 000 000
Femt
oAtto-
Mecânica – Resistência dos Materiais
K
103 = 1 000
h
102 = 100
da
d
c
101 = 10
10-1 = 0,1
10-2 = 0,01
m
μ
10-3 = 0,001
10-6 = 0,000 001
n
10-9 = 0,000 000 001
p
f
a
10-12 = 0,000 000 000
001
10-15 = 0,000 000 000
000 001
10-18 = 0,000 000 000 000
000 001
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TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática
Objetivos do tópico:
•
Forças no plano , força resultante e momento de uma força
•
Equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso rígido
•
Apoios, reações e tipos de estruturas
A estática é um assunto de grande utilidade na engenharia e mesmo no
seu dia a dia, como por exemplo, ao abrir uma porta, ao usar um alicate ou
ao trocar um pneu de carro, você mesmo sem saber está utilizando os
conceitos e aplicações da estática.
3.1. Forças no plano
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada
pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema
Internacional de Unidades (SI).
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta
ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma
com algum eixo fixo, como indicado na figura 3.1.
Figura 3.1. Definição de força
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um
único ponto de um corpo (figura 3.2).
Figura 3.2. Grupo de forças
Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em
pontos diversos de um mesmo corpo (figura 3.3).
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Figura 3.3 sistema de forças
3.2. Força Resultante
A força resultante (R) de um grupo de forças é a força que determina o
mesmo efeito que o grupo de forças (figura 3.4 e 3.5).
Formas de determinar a resultante das forças:
•
Regra do paralelogramo: vale para duas forças de cada vez.
=
+
=
+
=
+
+
Figura 3.4. Regra do paralelogramo
Método das Projeções: escolhem-se dois eixos ortogonais x e y no
plano das forças aplicadas ao ponto P e que formam com as direções das
forças ângulos conhecidos.
Cada uma das forças é projetada sobre os eixos x e y, encontrando-se as
respectivas projeções ortogonais:
•
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Figura 3.5. Método das projeções
Aplicando as relações trigonométricas para os ângulos α , β e θ, temos:
F1x = - F1senβ
F2x = F2cosα
F3x =
F3senθ
F1y = F1cosβ
F2y = F2sen α
F3y
= - F3cosθ
Efetua-se então a soma algébrica das projeções para cada eixo,
obtendo-se as resultantes (Rx e Ry) em cada um desses eixos x e y,
respectivamente:
y
Rx = F1x + F2x + F3x = - F1senβ + F2cosα + F3senθ
Ry = F1y + F2y + F3y = F1cosβ + F2senα - F3cosθ
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo
Ry
R
com hipotenusa R, catetos Rx e Ry, temos:
x
R²
=
R²x
+
R²y
Rx
Figura 3.6.
Representação da resultante
3.3. Equilíbrio de um ponto material
Considere um ponto material P sujeito a um sistema de forças F1, F2,
F3, ..., Fn
Figura 3.7. ponto material sujeito a n forças
O ponto material P está em equilíbrio quando é nula a resultante das
forças que atuam sobre ele, isto é:
ΣF=0
ou
R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0
Utilizando o método das projeções ainda pode-se dizer que é nula a soma
algébrica das forças atuando nos dois eixos ortogonais x e y:
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Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
ou
ou
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Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0
Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0
A condição de equilíbrio de um ponto material é uma garantia de que o
ponto material não sofrerá translação.
3.4. Momento de uma força
Quando um corpo rígido (extenso) está sujeito a um sistema de forças,
ele pode adquirir movimento de translação ou de rotação.
Para um corpo rígido de peso desprezível, sujeito às forças F1 e F2 de
mesma direção, mesma intensidade, mas sentidos diferentes, como na
figura 3.8.
F1
F2
Figura 3.8. Momento de uma
força
É claro que a resultante das forças é nula, isto é, R = F1 + F2 = 0 ,
garantindo que o corpo não sofre translação. Contudo, o corpo na situação
acima pode sofrer rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano da
figura (saindo do papel).
Por esse motivo as condições de equilíbrio de um corpo extenso rígido
devem levar em conta também a rotação.
Defini-se, portanto, uma grandeza vetorial denominada momento de
uma força em relação a um ponto, como uma medida da tendência da
força provocar uma rotação em torno daquele ponto.
A intensidade do momento de uma força F, aplicada em um ponto P, em
relação a um ponto O, é calculada por:
Figura 3.9. Equação do momento
Mo= ±F d
Onde:
F – intensidade da força, em Newton (N)
d – distância do ponto O até a linha de ação da força, em metro (m)
Mo – intensidade do momento da força, em Newton . metro (N.m)
O – é o pólo ou centro do momento.
O momento Mo é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O.
O sentido de Mo é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.
Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no
sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Figura 3.10. Convenção de sinais para momento
No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros
(m). Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).
Momento de um binário
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação
paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes
das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos
momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar
de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a
fazê-lo girar.
Figura 3.11. Momento de um binário
3.5. Equilíbrio de Corpos Rígidos
Para garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido devemos impor
duas condições: uma para evitar a translação do corpo e outra para evitar
sua rotação.
Então as condições para que um corpo extenso sujeito a um sistema de
forças esteja em equilíbrio, são:
1ª) A resultante do sistema de forças deve ser nula, ou seja, que o
somatório das forças na direção x e na direção y seja igual a zero.
R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0
( Σ F = 0 )
Equilíbrio da translação
ou
Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 ( Σ Fx = 0 )
Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 ( Σ Fy = 0 )
2ª) A soma algébrica dos momentos das forças do sistema deve ser nula
em relação a qualquer ponto:
M1 + M2 + M3 + ...+ Mn = 0 ( Σ M = 0 )
Equilíbrio da rotação
3.6. Apoios e suas reações
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer
somente as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário
conhecer como este corpo rígido está apoiado.
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das
estruturas e recebem a seguinte classificação:
a) Apoio móvel:
Figura 3.12.
•
•
Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio;
Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
b) Apoio Fixo:
Figura 3.13.
•
•
•
Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
c) Engastamento:
Figura 3.14.
•
•
•
Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Impede rotação.
Outros exemplos de apoios e suas reações podem ser observados na
tabela 3.1. abaixo:
Mecânica – Resistência dos Materiais
21
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Tabela 3.1.: Tipos de acoplamentos (apoios) e suas
reações
3.7. Tipos de Estruturas
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio
ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser
determinada.
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações
fundamentais:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
e
Σ Mo = 0
As estruturas são classificadas como: Hipostática,
Hiperestática. A definição de cada uma delas é dada a seguir.
Isostática
e
a) Estruturas Hipostáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos (2) é inferior
ao número de equações (3) fornecidas pelas condições de equilíbrio da
Estática.
Figura 3.15.
Mecânica – Resistência dos Materiais
22
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A figura 3.14. ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são
duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos
horizontais.
b) Estruturas Isostáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao
número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
No exemplo da estrutura da figura 3.15., as incógnitas são três: RA, RB e
HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente
pelas equações fundamentais da Estática.
Figura 3.16.
c) Estruturas Hiperestáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao
número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na figura 3.16. As
incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA.
Figura 3.17.
As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver
as equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao
comportamento da estrutura, como por exemplo, a sua deformabilidade
para determinar todas as incógnitas. Em casos como esse se torna
necessário o conhecimento da mecânica dos corpos deformáveis, ou seja,
de resistência dos materiais.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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3.8. Exercícios
16. Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre o
parafuso A. sen20°=0,34; cos20°=0,93; sen45°=0,71; cos45°=0,71.
17. Determinar a resultante do sistema de forças indicado. sen50°=0,77;
cos50°=0,64; sen30°=0,5; cos30°=0,86.
18. Determinar o valor da força F para que o ponto material esteja em
equilíbrio. sen60°=0,87, cos60°=0,5
a)
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b)
24
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c)
d)
e)
cos65°=0,99
f) sen65°=0,91;
19. Um ponto material sujeito a duas forças. Determine a força resultante e
o ângulo que ela faz com a horizontal.
a) F1 = 30N
0,6N
b)
F2 = 40N
F1 =
F2 = 0,8N
20. determine a resultante de um sistema de forças de um ponto material.
a)
10N
b)
2N
5N
Mecânica – Resistência dos Materiais
10N
25
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1
0N
4N
21. Um ponto material P está em equilíbrio. Sendo F1 = 3N, senα = 0,6 e
cosα = 0,8. Determine as forças F2 e F3.
F3
F2
F1
22. As forças indicadas agem sobre um ponto material que se encontra em
equilíbrio. Sabendo que F1 = 10N, sen30° = 0,5 e cos30° = 0,87. Determine
F2 e F3.
F2
F3
F1
23. Determine as tensões nos cabos, o sistema está em equilíbrio e g = 10
m/s2
a)
b)
24. Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relação
ao ponto A.
a) F = 2,5 N e L = 1,5 m
Mecânica – Resistência dos Materiais
b)
26
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c)
25. Uma barra homogênea de peso P = 20N está apoiada nos extremos A e B
distância 1,0m. A 0,20m da extremidade B é colocado um corpo C de peso Pc =
20N. Determine a intensidade dos apoios A e B sobre a barra.
26. Uma barra homogênea AB de peso P igual a 10N e comprimento L de 0,5m está
apoiada em um ponto O a 0,1m de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50N. A
que distância X de B deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10N para que a
barra fique em equilíbrio na horizontal.
Mecânica – Resistência dos Materiais
27
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27. Uma barra homogênea de peso 100N é articulada em A e mantida em equilíbrio
por meio de fio BC. Em B é suspenso um peso de 200N. Determine a intensidade
da força que traciona o fio BC e a reação da articulação A (Componente vertical e
horizontal).
28. Determine as reações nos apoios A e B da viga.
29. Calcule as reações no apoio A na barra submetida a uma carga
distribuída de 2kN/m e carga concentrada de 5kN.
Mecânica – Resistência dos Materiais
28
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3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais
Nessa aplicaremos alguns conceitos da estática e mostraremos como
eles são usados para determinar os esforços internos resultantes em um
corpo. Definiremos resistência dos materiais e sua aplicabilidade na área de
projetos de estruturas e máquinas. As forças aplicadas aos corpos serão
também classificadas.
Objetivos
•
Apresentar definição e história da resistência dos materiais
•
Classificar as forças
•
Determinar o método das seções.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos
Materiais
Objetivos do tópico:
-
-
-
•
Definir alguns Conceitos fundamentais
•
Apresentar a classificação das forças
•
Apresentar o método das seções
4.1. Introdução
Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações
entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade
das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse conhecimento é
empregado para realizar a análise e o projeto de qualquer estrutura ou
máquina sujeita a diferentes carregamentos.
Importante para o projeto seguro de aviões, navios, espaçonaves,
prédios, pontes, máquinas etc. Aplica-se, por exemplo, no dimensionamento
correto dos parafusos usados no acoplamento de uma estrutura metálica
que estão submetidos à tensão.
Os primeiros estudos relacionados à resistência dos materiais surgiram
na Antiga Grécia com os fundamentos da estática dos corpos rígidos, mas
nada relativo às deformações. A origem da resistência dos materiais
baseava-se na Teoria e na Experiência, com as pesquisas realizadas por:
Leonardo da Vinci (1452-1519): apresentou interesse pela estática dos
corpos deformáveis e pelas propriedades mecânicas dos materiais de
engenharia;
Galileo Galilei (1564-1642): realizou experiências para estudar os efeitos das
cargas em hastes e vigas e estabeleceu descrições experimentais precisas
das propriedades mecânicas dos materiais.
Robert Hooke (1635-1703): seus estudos levaram a definição da Lei de
Hooke em que as tensões são proporcionais às deformações.
Leonard Euler (1707-1783): Desenvolveu a teoria matemática de colunas e
calculou a carga crítica de uma coluna em 1744.
Outros estudos notáveis foram realizados por: Bernouilli, Navier,
Coulomb,Thomas Young, Poisson entre outros.
Problemas complexos com a utilização de Matémática avançada e
computador, amplia o campo de estudo de resistência dos materiais para
disciplinas de mecânica avançada como as teorias da elasticiadade e da
plasticidade.
Suposições introduzidas na resistência dos materiais (hipóteses
básicas)
Mecânica – Resistência dos Materiais
30
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a) Material homogêneo: possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas
em todo o seu volume, afim de que o material sofra deformação uniforme;
b) Material isotrópico: possui essas mesmas propriedades em todas as
direções. Ex. Aço.
material anisotrópico: possui propriedades diferentes em diferentes
direções
4.2. Classificação das forças externas e carregamentos Internos
Figura 4.1. Classificação das forças
Força externa: pode ser força de superfície ou força de corpo
a) Forças de superfície: causadas pelo contato direto de um corpo com a
superfície de outro (força distribuída na área de contato entre os corpos).
- Força concentrada: quando a área de contato for pequena em relação à área
total da superfície.
- Carga linear distribuída: se a carga na superfície for aplicada ao longo de
uma área estreita.
c) Força de corpo: quando um corpo exerce uma força sobre outro sem contato
físico direto. Exemplo: Peso efeito da gravidade.
Diagrama de corpo livre: é desenhado para especificar os efeitos de
todas as forças e conjugados aplicados no corpo e que serão considerados
nas equações de equilíbrio.
Mecânica – Resistência dos Materiais
31
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Carga interna resultante: Determinação da força resultante e do
momento em que atuam no interior do corpo, necessários para manter o
corpo unido quando submetido a cargas externas.
Tipos de cargas internas resultantes:
N (Força Normal) – força que atua perpendicular à área (quando forças
externas tendem a empurrar ou puxar);
V (Força Cisalhante) – força que se localiza no plano da área, ou seja,
tangente à seção transversal considerada;
T (Momento de Torção ou Torque) – Efeito criado quando as cargas
tendem a torcer uma parte do corpo em relação à outra;
M (Momento Fletor) – Provocado pelas cargas que tendem a fletir o corpo
em relação ao eixo localizado no plano da área.
4.3. Método das seções: Utilizado para determinar as cargas internas
que atuam em uma região específica no interior do corpo.
1. Faz-se uma seção (seção transversal) ou “corte” através da região em
que as cargas internas devem ser determinadas.
2. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livre
de uma das partes é desenhado.
3. Utiliza-se as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas
sobre o corpo à força resultante e ao momento em qualquer ponto
específico O da área secionada.
4. O ponto O é comumente escolhido como centróide da área secionada.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Figura 4.2.
Três Dimensões (plano x-y-z):
Força Normal, N.
Força de cisalhamento,V.
Momento de torção ou torque, T.
Momento fletor, M.
Em um sistema de coordenadas x, y, z, cada uma das cargas
apresentadas é determinada diretamente pelas seis equações de equilíbrio
aplicadas a qualquer segmento do corpo.
Cargas Coplanares (plano x-y)
Força Normal, N.
Força de cisalhamento,V.
Momento fletor, M.
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Figura 4.3.
4.4. Exercícios
30. A barra “AB” é uniforme e tem peso igual a 1 kN. Ela está apoiada nas
duas estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessas
condições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as
reações nos apoios “A” e “B”.
1,5 kN
0,5 kN
2m
5m
3m
A
B
31. A barra representada ao lado é uniforme e tem peso igual a 0,5 kN. Ela
está apoiada nos pontos “A” e “B” e suporta as forças representadas na
figura ao lado. Nessas condições e, considerando que o sistema está em
equilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”.
1,5 kN
0,5 kN
2m
5m
3m
A
B
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34
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100 N
10 m
45°
32. A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas
extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme
indicado. Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a
intensidade do momento no apoio.
33. Um bloco compacto pesando 20 kN está suspenso, conforme ilustrado
ao lado. Considerando desprezível o peso da barra “AB”, determine a
intensidade das forças que atuam no cabo “BC” e na barra “AB”.
34. Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá ser
o peso da barra para que o sistema fique em equilíbrio?
2m
8m
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35. Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kN, sendo que
o bloco pesa 2 kN e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos
apoios “A” e “B” .
B
2 kN
3m
7m
A
36. Aplicando o método das seções determine as cargas internas no ponto
“C” das estruturas abaixo.
b)
a)
c)
d)
e)
f)
Mecânica – Resistência dos Materiais
36
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4 – Tensão e Deformação
Nesta
abordaremos os conceitos de tensão, sua classificação e como
determina-la. Também apresentaremos os conceitos e classificação de
deformação de um corpo.
Em um projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve-se restringir
a tensão do material a um nível segura, é preciso analisar quais cargas
adicionais podem ser suportadas e baseando-se nesses cálculos
determina-se uma tensão segura ou admissível para garantir a segurança
do projeto. Nessa também definiremos o conceito de fator de segurança.
Objetivos
•
Apresentar a classificação e definição dos vários tipos de defeitos
cristalinos
•
Calcular o número de lacunas em equilíbrio em um material
•
Definir defeitos de contorno de grão e de macla.
•
Definir fator de segurança
Mecânica – Resistência dos Materiais
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TÓPICO 1 – Tensão e Deformação
Objetivos do tópico:
•
Definição de tensão
•
Classificação de tensão
•
Definição e classificação de deformação
•
Definição de fator de segurança
5.1. Introdução
Uma TENSÃO descreve a intensidade da força interna sobre um plano
específico (área) que passa por determinado ponto. Considerando que
exista uma força finita de intensidade “F” atuando sobre uma seção da área
“A” , a relação F/A é chamada de tensão.
Devem-se supor duas hipóteses em relação às propriedades do material:
a) contínuo – distribuição uniforme da matéria, sem vazios
b) coeso – todas as suas partes estão bem unidas, sem trincas ou falhas.
Dependendo da direção do carregamento interno com relação à seção
transversal considerada pode-se classificar a tensão em dois tipos: Tensão
Normal (σ) e Tensão de Cisalhamento (τ).
Cada uma dessas tensões será discutida nos tópicos seguintes através de
suas definições, fórmulas, classificações e deformações associadas.
5.2. Tensão normal média (σ - sigma).
Define-se como a intensidade da força “P”, ou força por unidade de área,
que atua no sentido perpendicular a “A”, Classifica-se em dois tipos
dependendo da característica do carregamento externo aplicado:
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38
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σ= PA
Onde:
σ - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção
Transversal (Pa);
P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide
da área da seção transversal. P é determinada pelo método
das seções e pelas equações de equilíbrio (N);
A - Área da seção transversal da barra (m2).
Figura 5.1.
a) tensão de tração - seção transversal submetida a um carregamento de
tração. Considerada positiva;
b) tensão de compressão – seção transversal submetida a um
carregamento de compressão. Considerada negativa.
No SI (Sistema Internacional de Medidas) a unidade de medida de tensão
é:
ou
5.3. Tensão cisalhante média (τ – tau)
A tensão de cisalhamento atua tangencialmente à área seccionada.
Supondo que as cargas estão distribuídas uniformemente, define-se
cisalhamento médio como:
τ=VA
τ – tensão de cisalhamento média na seção;
V – resultante interna da força de cisalhamento;
A – área da seção.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Figura 5.2. Exemplo de uma viga submetida a força cisalhante
Classifica-se o cisalhamento em dois tipos de acordo com a seção
transversal que está submetida ao cisalhamento, são eles:
a) Simples ou direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada F
com apenas uma superfície de cisalhamento. Ocorrem frequentemente em
vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material
de solda etc. Nesse caso:
V=F
e
τ=VA
Figura 5.3. Chapas de aço fixadas por pino e placas de madeira coladas
b) Duplo: quando existem duas superfícies de cisalhamento. Ocorre em
acoplamentos geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição.
Nesse caso:
V=F2
e
τ=VA
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Figura 5.4. Juntas de aço e madeira sobre a ação de cisalhamento duplo
5.4. Tensão admissível e fator de segurança
Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o
objetivo final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dos
mais importantes estudos.
1. A análise de estruturas e máquinas: para prever o comportamento
sob condições de carga específicas.
2. O projeto de estruturas e máquinas: que devem ser projetadas de
forma econômica e segura.
É necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga
aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento possa suportar
integralmente. Por várias razões:
- a carga de projeto pode ser diferente do carregamento aplicado;
- erros de fabricação ou montagem em componentes;
- vibrações desconhecidas;
- corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste durante o uso;
- variações nas propriedades mecânicas.
Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade
de resistência do material está sendo utilizada; outra parte é reservada para
assegurar ao material condições de utilização segura.
Para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento
usa-se um número denominado Coeficiente ou Fator de Segurança (F.S.) que
é a relação entre o carregamento último (carga de ruptura) e o
carregamento admissível.
F.S. = FrupFadm
Quando existe uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão
provocada pela carga, tem-se:
Tensão Normal:
F.S. = σrupσadm
Tensão Cisalhante:
F.S. = τrupτadm
A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a
possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto
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pode levar a um projeto não econômico. Deve-se, portanto, fazer uma
escolha apropriada para F.S.
Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente
de segurança:
- Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais
- O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da
estrutura ou máquina
- O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar
futuramente.
- O modo de ruptura que pode ocorrer
- Métodos aproximados e análise
- Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de
manutenção ou por causas naturais imprevisíveis
- A importância de certo membro para a integridade de toda a estrutura.
5.5. Deformação
São mudanças na forma e no tamanho de um corpo ocasionadas pela
aplicação de uma força. Podem ser perfeitamente visíveis (borracha) ou
imperceptíveis (aço) sem o uso de equipamento para fazer medições
precisas. Também pode ser ocasionada por variação da temperatura.
Para o nosso estudo admitiremos que as barras são prismática, as cargas
atuam no centróide das seções transversais e que o material da barra é
homogêneo.
A deformação pode ser classificada em deformação normal e deformação
de cisalhamento dependendo do tipo de tensão aplicada ao material.
5.5.1. Deformação Normal (ε )
Ocorre quando uma barra reta muda de comprimento com a aplicação de
uma carga axial tornando-se mais comprida (em tração) e mais curta (em
compressão). Provocando mudança de volume do elemento retangular.
Definida como o alongamento ou contração de um pequeno segmento de
reta por unidade de comprimento, associada a tensão normal
O alongamento (δ) ou variação do comprimento (ΔL) é o resultado do
estiramento ou contração através do volume da barra. Deformação normal é
dada pela equação (medida adimensional, m/m ; mm/mm) :
ϵ= δL ou ϵ= ΔLL
onde: ΔL = L - Lo
Figura 5.5.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Onde: ε – deformação
δ – alongamento ou contração (variação no comprimento)
Lo – Comprimento inicial da barra
L - Comprimento final da barra
5.5.2. Deformação Cisalhante (γ)
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta
originalmente perpendiculares entre si. O ângulo é designado por γ (gama)
e medido em radianos (rad). A deformação cisalhante provoca mudança no
formato do elemento retangular.
(a) Sem deformação
deformação cisalhante
Figura 5.6. Deformação por cisalhamento.
(b) com
Para Materiais da engenharia que apresentam relação linear entre tensão
e deformação na região de elasticidade, isto é, um aumento na tensão
provoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato é conhecido
como lei de Hooke. Matematicamente, é expressa por:
σ=ϵ.E
(Para tensão normal)
τ=γ.G
(Para tensão
cisalhante)
Onde: E – Módulo de elasticidade ou módulo de Young.
G – Módulo de Elasticidade para ao cisalhamento ou módulo de
rigidez
5.6. Exercícios
37. Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão,
com 5 mm de diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa.
38. Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm de
comprimento, se a resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo a
força máxima de ruptura igual a 100 kN. A seção da barra é quadrada.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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39. Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm de
comprimento, sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulo
de Elasticidade do material igual a 210 Gpa.
40. Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a uma
tensão de tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimento
de 0,002 cm. Qual é o valor do Módulo de Elasticidade do material dessa
barra?
41. Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possui
Módulo de Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetro
dessa barra, para que ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kN,
apresentando um alongamento de 0,0025 cm
42. Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujo
limite de escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir,
com segurança, a uma força de tração de 50 kN, adotando-se um
coeficiente de segurança igual a 2
43. Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm e
diâmetro interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial de
compressão, de 50 kN. Calcule a tensão normal induzida no eixo, bem como
a variação de comprimento do mesmo. O eixo tinha 60 cm de comprimento
e o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120 GPa.
44.Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4
cm e o interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida a
uma determinada força de tração. Sabe-se que esta força produziu, no
material, uma tensão de 210 MPa e que o comprimento da barra aumentou
para 100,20 mm, pergunta-se:
a) Qual a intensidade da força aplicada?
b) Qual o Módulo de Elasticidade do material?
c) Qual a deformação linear no material?
15 m
300 kN
45. Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra
de aço, representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm, tem 15
metros de comprimento e está submetida a uma força axial, de tração, de 300
kN. Calcule também a variação de comprimento da barra, sabendo que o peso
específico do material da mesma é 78 kN/m3 e o Módulo de elasticidade igual
a 210 Gpa.
Mecânica – Resistência dos Materiais
44
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46. Determine a tensão normal na haste de seção circular com área de
Ahaste = 0,002 m2 e a tensão de cisalhamento no bloco com área Abloco =
0,1 m2 , provocadas pela carga de 50kN.
47. A barra de aço da figura foi submetida a uma tensão normal σ =
130MPa, possui módulo de elasticidade Eaço = 200GPa. Determine a
deformação (Є) e a carga (P). Sabendo que a área A = 0,02m2.
P
48. Calcule o diâmetro mínimo para que o pino suporte uma tensão de
cisalhamento admissível τadm = 15Mpa. O pino está sujeito a cisalhamento
duplo.
49. Calcule o valor da tensão e a deformação no cisalhamento para um pino
de aço com diâmetro igual a 10mm carregado como mostra as figuras.
Considere o módulo de rigidez (G) do aço de 75GPa.
a)
b)
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45
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50. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica na
figura, Se o diâmetro do rebite é 19 mm e a carga P = 30 kN, qual a tensão
de cisalhamento no rebite?
51. A barra mostrada é suportada por uma haste de aço AC que tem
diâmetro de 20 mm e bloco de alumínio que tem área de 1800 mm². Os
pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento
simples. Para P = 168kN na estrutura, considerando a tensão de ruptura do
aço e do alumínio (σaço)rup = 680MPa e
(σal)rup = 70MPa ,
respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino
(τpino)rup = 900MPa. Aplicas fator de segurança F.S = 2. Determine:
a) as tensões admissível para a haste, o bloco e os pinos.
b) Calcule as cargas suportadas pela haste, bloco e pinos, verifique se a
estrutura falha ou não devido a aplicação de P.
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5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a
carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao
próprio material e deve ser determinada através de ensaios mecânicos.
Nessa será mostrado como a tensão pode ser relacionada à deformação
por meio experimental determinando o diagrama tensão-deformação par
aum material específico. Será discutido o comportamento descrito pelo
diagrama para materiais de construção mecânica, mostrando a
determinação das propriedades mecânicas através desse diagrama.
Objetivos
•
Apresentar o diagrama tensão-deformação
•
Apresentar algumas propriedades mecânicas
•
Apresentar relação entre a deformação lateral e longitudinal
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TÓPICO 1 – Propriedades
tensão-deformação
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mecânicas
e
Diagrama
Objetivos do tópico:
•
Diagrama tensão-deformação
•
Materiais dúcteis e frágeis
•
Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson
6.1. Introdução
Quando em serviço, os componentes mecânicos de máquinas e
estruturas estão submetidos à ação de esforços ou cargas.
O projeto adequado desses componentes exige o conhecimento do
comportamento mecânico ou das propriedades mecânicas dos materiais de
que são fabricados.
A tensão pode se relacionada à deformação por meio de um diagrama
tensão-deformação para um material específico. Algumas propriedades
mecânicas importantes, como a resistência mecânica à tração ou à
compressão, a ductilidade, a dureza, entre outras, podem ser determinadas
através de ensaios ou experimentos de laboratório, cuidadosamente
elaborados.
6.2. Diagrama tensão-deformação
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a
carga sem deformação excessiva ou ruptura.
Um dos testes mais importantes a realizar nesse sentido é o teste de
tração ou compressão, utilizado principalmente para determinar a relação
entre a tensão normal média e a deformação normal média em muitos
materiais da engenharia, tais como, metais, cerâmicas, polímeros e
materiais compostos.
Com os dados do teste pode-se construir um gráfico para os diversos
valores de tensão e deformação. A curva resultante é denominada diagrama
tensão-deformação. Pode ser convencional ou real.
No diagrama tensão-deformação convencional, os dados registrados da
tensão (σ) são obtidos dividindo-se a carga aplicada (P) pela área
transversal inicial (Ao) do corpo-de-prova.
A deformação nominal ou de engenharia é medida diretamente pela
leitura do extensômetro ou dividindo-se a variação do comprimento (δ ou
ΔL) pelo comprimento inicial do corpo de prova (Lo).
Enquanto que o diagrama tensão-deformação real para calcular a tensão
e a deformação usa-se a área real da seção transversal e o comprimento do
Mecânica – Resistência dos Materiais
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corpo-de-prova no instante em que a carga é medida. Os valores da tensão
e da deformação obtidos com essas medidas são chamados tensão real e
deformação real.
As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa de
endurecimento por deformação, em que a intensidade da deformação
torna-se mais significativa.
Apesar das diferenças entre os diagramas, a maioria dos projetos de
engenharia é feita na faixa de elasticidade onde a distorção do material
geralmente não é severa, a deformação permanece pequena e o erro do uso
dos valores do diagrama convencional será muito pequeno (cerca de 0,1%)
quando comparado aos valores reais. Essa é uma das principais razões para
usar os diagramas tensão-deformação convencionais.
6.2.1. Diagrama Tensão-Deformação Convencional (ou de engenharia)
Figura 6.1.
Na figura 6.1 apresenta-se um diagrama tensão-deformação para um aço
estrutural (aço mole ou aço de baixo teor de carbono) amplamente utilizado
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em prédios, pontes, guindastes, navios, torres, veículos entre outras
aplicações. As deformações são apresentadas no eixo horizontal e as
tensões no eixo vertical.
As características da curva serão discutidas identificando-se quatro
regiões do comportamento do material dependendo da deformação nele
provocada e considerando o diagrama tensão-deformação convencional do
ponto O ao ponto F.
Comportamento Elástico – ocorre quando as deformações estão na
região elástica. O diagrama começa com uma linha reta de origem em O ao
ponto A, de modo que a tensão e a deformação são proporcionais. O ponto
A é chamado de limite de proporcionalidade e a inclinação da reta é
chamada de módulo de elasticidade. Se a tensão excede ligeiramente o
limite de proporcionalidade o material ainda pode responder elasticamente
até o limite de elasticidade ponto B. Para o aço o limite de elasticidade é
muito próximo do limite de proporcionalidade.
Escoamento – com um aumento da tensão além do limite de
elasticidade, a curva fica horizontal (trecho C- D), pois um alongamento do
corpo ocorre sem um aumento notável da força de tração. Esse fenômeno é
conhecido como escoamento e a tensão que provoca escoamento é
chamada tensão limite de escoamento ou ponto de escoamento (σE). Na
região entre C e D o material fica perfeitamente plástico, ou seja, ele se
deforma sem um aumento da carga aplicada e faz com que ele se deforma
permanentemente.
Endurecimento por deformação – após o escoamento o aço começa a
recuperação, passando por mudanças em sua estrutura cristalina,
resultando em um aumento da resistência do material para mais
deformação. O alongamento do corpo de prova na região D-E exige um
aumento na carga de tração o que resulta em uma curva que cresce
continuamente, mas que se torna mais plana até que alcança a tensão
máxima denominada limite de resistência (σLRT ou σr) ou tensão normal
última.
Estricção – Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal
começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Forma-se
gradualmente uma estricção ou contração (empescoçamento) nessa região
à medida que o corpo se alonga. Como a área da seção transversal está
decrescendo continuamente, a área menor pode suportar apenas carga
decrescentes, portanto o diagrama curva-se para baixo até que o corpo de
prova quebre com a tensão de ruptura (σrup).
6.2.2. Diagrama tensão-deformação real (ou verdadeiro)
Quando esse diagrama é construído, adquire o formato mostrado pela
curva do ponto O até o ponto G, na figura 6.1. Observe que os diagramas
convencional e real são praticamente coincidentes quando a deformação é
pequena, até o ponto D. As diferenças começam a aparecer na faixa de
endurecimento por deformação, em que a intensidade da deformação
torna-se mais significativa.
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Pelo diagrama tensão-deformação real, a área real na região de estricção
é sempre decrescente até a ruptura, e desse modo, o material suporta
realmente tensão crescente.
Apesar de os diagramas tensão-deformação real e convencional serem
diferentes, a maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa de
elasticidade, onde para a maioria dos metais a deformação até o limite de
elasticidade permanecerá pequena e o erro do uso dos valores de
engenharia será pequeno. Essa é uma das razões principais para usar os
diagramas tensão-deformação convencionais.
6.3. Materiais Dúcteis e Frágeis
Os materiais dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar na
temperatura ambiente. Á medida que o corpo de prova é submetido a uma
carga crescente, seu comprimento inicialmente aumenta linearmente com a
carga e a uma taxa muito baixa. Após alcançar um valor crítico de tensão
(σE), o corpo de prova sofre uma grande deformação com aumento
relativamente pequeno da carga aplicada. São materiais dúcteis o aço
estrutural e muitas ligas de outros metais.
Os materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, são
caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança
prévia notável na taxa de alongamento. Para materiais frágeis não há
diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. E a
deformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis do
que para materiais dúcteis.
Uma medida padrão da ductilidade de um material é sua deformação
percentual, definida como:
Deformação percentual = L – Lo x 100
Lo
Onde Lo e L são respectivamente, o comprimento inicial do corpo de
prova e o seu comprimento final na ruptura.
Uma outra medida da ductilidade é a redução percentual da área,
definida como:
Redução percentual da área = Ao – A x 100
Ao
Onde Ao e A são respectivamente a área da seção transversal inicial do
corpo de prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura.
6.4. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade
A relação diretamente proporcional entre a tensão e a deformação
específica é conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemático
inglês Robert Hooke. Definida como:
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σ =ε E
(Para tensão
normal)
τ=γG
(Para
tensão cisalhante)
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do material
envolvido, ou também módulo de Young, em homenagem ao cientista inglês
Thomas Young. O coeficiente G é chamado de módulo de elasticidade para o
cisalhamento ou módulo de rididez. Como a deformação específica é
adimensional, o módulo de elasticidade é expresso nas mesmas unidades
da tensão, ou seja, em pascal (Pa).
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a
armazenar energia internamente em todo o seu volume essa energia é
denominada energia de deformação (ΔU). A formula da energia de
deformação por unidade de volume de material denominada densidade de
energia de deformação, pode ser expressa por:
u = ΔU = σε
ΔV
2
Se o comportamento do material for linear elástico, então se aplica a lei
de Hooke e a densidade de energia pode ser expressa em termos da tensão
uniaxial:
u = σ2
2E
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia sem
sofrer qualquer dano permanente, ou seja, dentro da região elástica.
Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a densidade de
energia de deformação é denominada módulo de resiliência (ur), que
equivale à área triangular na regiação elástica do diagrama σ x ε (figura
6.2-a).
ur = 1 σlp εlp = 1 σlp 2
2
2 E
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a)
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b)
Figura 6.2. Representação gráfica do módulo de resiliência e de
tenacidade
A tenacidade é a capacidade de um material em absorver energia até a
ruptura. A densidade de energia do material um pouco antes da ruptura é
denominada módulo de tenacidade, representada pela área inteira sob o
diagrama tensão-deformação (figura 6.2-b).
Ligas de metais também mudam sua resiliência e tenacidade. Os
diagramas tensão-deformação da figura 6.3, por exemplo, mostram como os
graus de resiliência e tenacidade podem mudar, conforme muda a
porcentagem de carbono no aço.
Figura 6.3. Variação da resiliência e da tenacidade com relação ao
percentual de carbono no aço.
6.5. Coeficiente de Poisson
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Figura 6.4. Deformação lateral e longitudinal de material carregado por
tração.
Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável não
apenas se alonga, mas também se contrai lateralmente. Da mesma forma
na compressão, que provoca contração na direção da força e expansão
lateral. A razão entre as deformações na direção lateral e longitudinal é uma
constante, denominada coeficiente de Poisson (ν),
ν= - ϵlatϵlong
O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor está compreendido em
0 ≤ ν ≤ 0,5.
6.6. Exercícios
52. O teste de tração para uma liga de aço resulta no diagrama
tensão-deformação da figura 6.5. Calcular o módulo de elasticidade e a
resistência ao escoamento com base em uma deformação residual de 0,2%.
Identificar no gráfico o limite de resistência e a tensão de ruptura.
Figura 6.5.
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53. O diagrama tensão deformação de uma liga de alumínio usada para
fabricar peças de aeronaves é mostrado na figura 6.6. Supondo que um
corpo-de-prova desse material seja tracionado com 600MPa, determine a
deformação permanente que ficará no corpo-de-prova quando a carga for
removida. Calcular também o módulo de resiliência tanto antes como depois
da aplicação da carga.
Figura 6.6.
54. A haste de alumínio mostrada na figura 6.7-a tem seção transversal
circular e está submetida a uma carga axial de 10kN. Se uma parte do
diagrama tensão-deformação do material é mostrada na figura 6.7-b,
determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada.
Se a carga for removida, qual será o alongamento permanente da haste?
Suponha que Eal = 70GPa.
Figura 6.7-a
Figura 6.7-b
55. uma barra feita de aço (Eaço = 200GPa) tem as dimensões mostradas
na figura 6.8. supondo que uma força axial de P = 80kN seja aplicada a ela,
determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua
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seção transversal depois de aplicada a carga. O material comporta-se
elasticamente.
6 – Carga Axial
Nas s anteriores desenvolvemos o método para encontrar a tensão
normal em elementos carregados axialmente. Nessa
discutiremos como
determinar a deformação desses elementos, desenvolvendo um método
para encontrar as reações dos apoios quando elas não poderem ser
determinadas com a utilização das equações de equilíbrio. Analisaremos os
efeitos da tensão térmica e a variação no comprimento provocada pela
temperatura.
Objetivos
•
Apresentar a deformação elástica de um elemento com carga axial
•
Apresentar determinação das reações problemas estaticamente
indeterminados
•
Apresentar os efeitos da tensão térmica.
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TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente
Objetivos do tópico:
•
Determinar o deslocamento provocado por cargas axiais
•
Analisar membros estaticamente indeterminados
•
Calcular deslocamento provocado por uma tensão térmica
7.1 Carregamento axial com comportamento elástico.
Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressão
são chamados de membros carregados axialmente. Barras sólidas com eixos
longitudinais retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais
também suportem cargas axiais. Exemplos de barras carregadas axialmente
são membros de suporte, hastes de conexão em motores, aros em rodas de
bicicleta, colunas em prédios entre outras aplicações.
As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob carga de
tração e encurtamento sob cargas de compressão. Para analisar esse
comportamento, vamos considerar uma barra (Fig.7.1) submetida a uma
carga de tração P. A tensão normal uniforme nas seções transversais é dada
pela equação σ = P/A, em que A é a área da seção transversal. Se a barra é
feita de material homogêneo a deformação axial é ε =  /L, em que  é o
alongamento e L é o comprimento inicial da barra. Assumindo que o
material é elástico linear, logo ele segue a lei de Hooke σ = ε.E, em que E é
o módulo de elasticidade.
Figura 7.1
Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação,
desenvolveremos uma equação para determinar a variação do comprimento
(ΔL) de um elemento submetido a cargas axiais.
σ= PA
e
ϵ= δL
ou ϵ= ΔLL
substituindo na lei de Hooke
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σ=ϵ.E
PA=δL E ↔ δ= P LA E
Equação 7.1
Embora a equação 7.1 tenha sido formulada a partir de um membro em
tração, ela se aplica muito bem a um membro em compressão, nesse caso
 representa o encurtamento da barra. Por convenção, o alongamento é
usualmente tomado como positivo e o encurtamento como negativo.
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a
área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem
abruptamente de uma região para outra da barra, a equação 7.1 poderá ser
aplicada a cada segmento da barra em que essa quantidades sejam todas
constantes. O deslocamento de uma extremidade da barra em relação à
outra é então determinado pela adição algébrica dos deslocamentos de
cada segmento.
δ=Σ P LA E
Equação 7.2
Convenção de sinal positivo para carga e deslocamento na figura 7.2
Figura 7.2
Como exemplo considere a barra da figura 7.3 para obter o deslocamento
da extremidade A em relação à extremidade D devemos determinar as
forças axiais internas P pelo método das seções para cada segmento,
substituir os respectivos valores com o sinal adequado, temos:
Figura 7.2
δ=Σ P LA E= 5 kNLABAE+ (-3kN)LBCAE+ (-7kN)LCDAE
7.2. Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Quando as reações e forças internas de determinada estrutura podem ser
calculadas unicamente a partir de diagramas de corpo livre e equações de
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equilíbrio sem saber as propriedades dos materiais, classifica-se esse tipo
de estrutura em estaticamente determinada.
A maioria das estruturas é mais complexa e suas reações e forças
internas não podem ser encontradas apenas através da estática. Essas
estruturas são classificadas como estaticamente indeterminadas. Para
analisar tais estruturas devemos suplementar as equações de equilíbrio com
equações adicionais de deslocamentos da estrutura.
As forças desconhecidas dos problemas estaticamente indeterminados
são calculadas satisfazendo-se os requisitos de equilíbrio, compatibilidade e
força-deslocamento do membro. Seguindo os passos do procedimento de
análise abaixo é possível determinar as forças desconhecidas, então:
1. Desenhar o diagrama de corpo livre do elemento a fim de identificar
todas as forças que atuam sobre ele.
2. O problema é classificado como estaticamente indeterminado se o
número de reações desconhecidas no diagrama de corpo livre for maior
que o número de equações de equilíbrio disponíveis;
3. Escrever as equações de equilíbrio do membro;
4. Para estabelecer as equações de compatibilidade, desenhar o diagrama
de deslocamento a fim de investigar a maneira como o elemento
alonga-se ou contrai-se quando submetido a cargas externas;
5. Expressar as condições de compatibilidade em termos do deslocamento
provodado pelas forças;
6. Usar uma relação carga-deslocamento, tal como  = PL/AE, para
relacionar os deslocamentos desconhecidos com as reações
desconhecidas;
7. Resolver as equações de equilíbrio e compatibilidade para as forças de
reação desconhecidas.
Considerando a figura 7.3, tem-se uma barra dita estaticamente
indeterminada visto que as equações de equilíbrio não são suficientes para
determinar as reações de apoio.
Equação de equilíbrio:
ΣFy = 0
FA + FB – P = 0
As condições de compatibilidade especificam as restrições que ocorrem
nos apoios ou outros pontos do membro. Como as extremidades da barra
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estão fixas em apoios rígidos a condição de compatibilidade adequada
requer que o deslocamento relativo entre as extremidades seja nulo, logo:
Condição de compatibilidade: δA/B = 0 ; δA/D = δAC + δCB = 0
FALACAE- FBLCBAE=0
supondo AE constante, resolvendo as duas
equações
FA=PLCBL e FB=PLACL
7.3. Tensão Térmica
Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões
de um material. Em geral, se a temperatura aumenta, o material se
expande; se a temperatura diminui, o material se contrai. Para material
homogêneo e isotrópico, pode-se determinar o deslocamento provocado
pela variação da temperatura (T) a partir da equação 7.3
δT = α.ΔT.L
Onde: α é o coeficiente linear de expansão térmica (1/°C), ΔT é a
mudança na temperatura do elemento e L é o comprimento inicial do
elemento.
7.4. Exercícos
56. A barra (figura 7.4) composta de aço A-36 (Eaço = 210 GPa)é composta
por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal AAB = 600
mm2 e ABD = 1200 mm2, respectivamente. Determine o deslocamento
vertical da extremidade A em relação à extremidade D.
Figura 7.4
Figura 7.5
57. Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos (figura 7.5). O
poste AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e o poste BD é feito de
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alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F em
AB se uma carga vertical de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço =
200GPa, Eal = 70GPa.
58. A coluna de aço (Eaço = 200GPa) é usada para suportar as cargas
simétricas dos dois pisos de um edifício (figura 7.6). Determine o deslocamento
vertical de sua extremidade, A se P1 = 200kN, P2 = 310kN e a coluna tiver
área de seção transversal de 14.625 mm2.
Figura 7.6.
59. O eixo de cobre (figura 7.7) está sujeito às cargas axiais mostradas na
figura. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade
D se os diâmetros de cada segmento forem dAB = 20mm, dBC = 25 mm e dCD
= 12 mm. Considere Ecobre = 126 GPa.
Figura 7.7
Problemas Estaticamente indeterminados (60 a 62)
60. A haste de aço (figura 7.8) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede
fixa em A. antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’
e a haste. Determine as reções em A e B’ se a haste for submetida a uma força
axial P = 20kN. Despreze o tamanho do colar em C e considere Eaço = 200
GPa.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Figura 7.8
61. O poste de alumínio (figura 7.9) é reforçado com um núcleo de latão. Se
esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P = 45 kN,
aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no
latão. Considere Eal = 70 GPa e Elatão = 105 GPa.
Figura
Figura 7.10
7.9.
62. As três barras de aço (figura 7.10) estão conectadas por pinos a um
elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força
desenvolvida em cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção
transversal de 25 mm2, e a barra CD tem área de seção transversal de 15
mm2. Eaço = 200 GPa.
Problemas de Tensão térmica (63 a 65)
63. A barra de aço (figura 7.11) está restringida para caber exatamente entre
os dois suportes fixos quando T1 = 30°C. Se a temperatura aumentar até T2 =
60°C, determine a tensão térmica normal média desenvolvida na barra.
Mecânica – Resistência dos Materiais
62
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Figura 7.11
64. Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura
7.12. Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos quando a
temperatura é T1 = 12°C, determine a tensão normal média em cada material
quando a temperatura atingir T2 = 18°C.
Figura 7.12
65. Os dois segmentos de haste circular (figura 7.13), um de alumínio e o outro
de cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de 0,2
mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de 30 mm, αal =
24(10-6)/°C, Eal = 70 GPa, αcobre = 17(10-6)/°C, Ecobre = 126 GPa.
Determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 150°C. Calcule
também o novo comprimento do segmento de alumínio.
Figura 7.1
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7 – Vasos de pressão de paredes finas
Nessa
discutiremos a solução de problemas com análise de tensão
desenvolvida em vasos de pressão de paredes finas. Serão considerados
vasos cilíndricos e esférico.
Objetivos
•
Apresentar definições e conceitos básicos para vasos de pressão
•
Analisar tensões em vasos cilíndricos
•
Analisar tensões em vasos esféricos.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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TÓPICO 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos
Objetivos do tópico:
•
Definição de vasos de pressão
•
Análise de tensão em vasos cilíndricos
•
Análise de tensão em vasos esféricos
8.1. Introdução
Vasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na indústria como
cadeiras, tanques ou reservatórios. Quando estão sob pressão, o material de
que são feitos é submetido a cargas em todas as direções. Mesmo que seja
esse o caso, o vaso de pressão pode ser analisado de uma maneira mais
simples, contanto que tena paredes finas. Em geral, “paredes finas”
refere-se a um vaso para o qual a relação raio interno-espessura da parede
tem valor igual ou superior a 10 (r/t ≥ 10).
Quando a parede do vaso é “fina”, a variação da distribuição de tensão
pela sua espessura não será significativa, portanto consideraremos que ela
é uniforme ou constante.
8.2 Vasos Cilíndricos
Considere o vaso cilíndrico com parede de espessura t e raio interno r
como mostra a figura 8.1. A pressão manométrica p é desenvolvida no
interior do vaso por um gás ou fluido nele contido, cujo peso consideramos
insignificante. As paredes dos vasos cilíndrico estão submetidas à tensões
normais σ1 na direção circunferencial ou do aro e σ2 no sentido
longitudinal ou axial. Ambas essas componentes da tensão exercem
tração sobre o material. Para determinar cada uma dessas componentes em
termos da geometria do vaso e de sua pressão interna. Para isto, temos de
usar o método das seções e aplicar as equações de equilíbrio de força.
Figura 8.1
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Para equilíbrio na direção x e na direção y, obtem-se as tensões σ1 e σ2 em
função da pressão interna, do raio e da espessura do cilindro. As equações
são:
σ1= prt
e σ2= pr2t
Onde: σ1 e σ2 – tensão normal nas direções circunferencial e longitudinal,
respectivamente;
p –pressão manométrica interna desenvolvida pelo gás ou fluido;
r- raio interno do cilindro
t – espessura da parede
8.3 Vasos esféricos
Podemos analisar um vaso de pressão esférico de maneira semelhante.
Por exemplo, considere que o vaso tem espessura de parede t e raio interno
r e que está sujeito a uma pressão manométrica interna p. Se o vaso for
secionado pela metade, o diagrama de corpo livre é mostrado na figura 8.2.
O equilíbro na direção y obtem-se a equação para tensão:
Figura 8.2
σ2= pr2t
Nos dois casos apresentados o material do vaso também está sujeito a
uma tensão radial, σ3 . Essa tensão tem um valor máximo igual à pressão p
na parede interna e diminui até zero à medida que atravessa a parede e
alcança a superfície externa do vaso. Entretanto, para vasos de paredes
finas ignoramos a componente radial, σ3 = 0.
8.4. Exercícios
66. Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 1,2 e espessura
de 12 mm. Determine a pressão interna máxima que ele pode suportar de
modo que nem a componente de tensãocircunferencial nem a de tensão
longitudinal ultrapasse 140 MPA. Sob as mesmas condições, qual é a
pressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho semelhante pode
sustentar?
Mecânica – Resistência dos Materiais
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67. Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetido
a uma pressão interna p = 300 kPa, determine a espessura exigida para que
a tensão normal máxima não ultrapasse 12 Mpa.
68. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12
mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna p = 1,4 Mpa,
determine seu raio externo para que a tensão normal máxima não
ultrapasse 105 Mpa.
69. O tanque do compressor de ar (vaso cilíndrico) está sujeito a uma
pressão interna de 0,63 Mpa. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm e
a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da tensão que
agem na parede do cilindro.
70. Um tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm e
diâmetro interno 40 mm. calcule a pressão que o gelo exerceu na parede
interna do tubo para provocar uma ruptura na parede. A tensão máxima que
o material pode suportar na temperatura de congelamento é de 360 Mpa.
71. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro
interno de 100 mm e espessura de 5 mm. Se transportar água corrente à
pressão de 0,42 Mpa, determine as tensões nas paredes do tubo.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Resposta dos Exercícios
1 - Revisão dos Fundamentos de trigonometria
TÓPICO 1 – Revisão de Trigonometria
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
a) 5
b) 12 c) √7
a) 12 b) 24
c)2√29
a) 6
b)3
c)9
a) x =10; y =24/5 b) x = 4;y = 4√3
a) 6√2 b) 4√2 c) 17 d) 5
4√3 m
base = 10 m
a) ½
b) 3/5 c) 3/5
a) ¾
b) ½
c) √11/6
a) 4/5 b) √3
c) 4/3
a) 10 b) 3√2 c) 10
d)16√3
a) x = 6; y = 6√3
b) x=8; y=4√3
c) x=18; y = 6√5
2√13 m
8m
(5√7)/4 m
2 – Introdução à Mecânica
TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
97,6 N
32,3 N
a) 315,3N b) 397,9N c) 200,8N d) 253N e)323,5N
a) 50 N ; 37°
f) 266,2 N
b) 1 N ; 53°
a) 3,35 N b) 4 N
4N e 5N
5N e
8,7 N
a) TAC = 724,6 N e TBC = 391,3 N
; b) TAC = 100 N e TBC
= 100√3 N
a) 3,75N.m
b) M1 = 0 ; M2 = 0,4N.m ; M3 = 0 ; M4 = 0,4N.m
c) 2,5N.m
14N e 26N
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2
6
2
7
2
8
2
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5 cm
TBC = 416,7N ; Ax = 333,3N ; Ay = 49,98N
RAx = 0; RAy = 9,1kN e RB = 50,9kN
N = 0 ; V = 15kN e MA = 40kN.m
3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais
TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
RA = 1,35 kN; RB = 1,65 kN
RA = 1,5 kN; RB = 1 kN.
RH = RV = 70,7 N; M = 7.070 N.m
FAB = 26,67 kN, FBC = 33,33 kN
200 N
RA = 1,9 kN; RB = 1,1 kN.
a) N = 0; V = 200N; M = 1200N.m
b)N = 100N; V = 100√3N; M = 600√3N.m
c) N = 0; V = 300N; M = 900N.m
d) N = 75√3N; V = 75N;
M = 630N.m
e) N = 50√3N; V = 50N; M = 300√3N.m f)N = 50√3N; V = 10N; M
= 60N.m
4 – Tensão e Deformação
TÓPICO 1 – Tensão e Deformação
3
7
3
8
3
9
4
0
4
1
4
2
4
F = 392,7 N.
A = 2 cm x 2 cm.
δ = 0,4 mm.
E = 200 GPa.
d = 50,46 mm.
d = 26,6 mm.
σ = 22,72 MPa;
δ = 0,1136 mm.
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4
4
4
5
4
6
4
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4
8
4
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5
0
5
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a) 197.820 N; b) 105 GPa; c) 0,002 (0,2%).
σ = 10,72 MPa, δ = 0,723 mm.
σ = 25 MPa, τ = 250kPa
ε = 0,65 x 10-3 , P = 2600kN
d = 0,08m
a) τ = 63,7MPa , γ = 0,85 x 10-3 rad
10-3 rad
τ = 10,6 kN/cm2.
b) τ = 76,4MPa , γ = 1,02 x
a)(σaço)adm = 340MPa , (σal)adm = 35MPa e (τpino)adm =
450MPa.
b)FAC = Fpino = 105kN e FB = 63kN . A estrutura não falha.
5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos
TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação
5
2
5
3
5
4
5
5
E = 31,2 x 103 ksi; σe = 68 ksi; σresil = 108 ksi e σrup = 90 ksi
εpermanente = 0,0150 ; (ures)inicial = 1,35 MJ/m3 ; (ures)final =
2,40 MJ/m3
δaprox = 18,3 mm e δperm = 17,7 mm
δx = - 2,56 μm e δy = - 1,28 μm e δz = 120 μm
6 – Carga Axial
TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente
5
6
5
7
5
8
5
9
6
0
6
1
δA = 0,61 mm
δF = 0,225 mm
δAB = - 1,74769 mm
δA/D = 3,8483 mm
FA = 16,6 kN e FB = 3,39 kN
σal = 5,09 MPa e σlatão =7,64 MPa
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3
6
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6
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FA = 9,52 kN , FC = 3,46 kN e FE = 2,02 kN
σ =72 MPa
F = 4,20 kN
σ =185,58 Mpa e Lal = 200,117793 mm
7 – Vasos de pressão de paredes finas
TÓPICO 1 – Vasos cilíndricos e vasos esféricos
6
6
6
7
6
8
6
9
7
0
7
1
p = 2, 8 Mpa e p = 5,6 MPa
t = 18,8 mm
r = 18,875 m
σ1 = 28,88 Mpa , σ2 = 14,44 Mpa
p = 36 MPa
σ1 = 4,2 Mpa , σ2 = 0
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Referência Bibliográfica
1. Dolce, O.; Pompeo, J.N. – Fundamentos de Matemática Elementar:
geometria plana – vol.9 , 7ª edição, Editora Atual, São Paulo, 1998.
2. Bezerra, M.J. – Bezerra Matemática – 2º grau, Editora Scipione, São
Paulo, 1994.
3. PENTEADO, P.C.M. – Física: Conceitos e Aplicações - Mecânica – 1ª
edição, Vol.1. Editora Moderna. São Paulo,1998.
4. CALÇADA, C.S.; SAMPAIO, J. C. – Física Clássica (Dinâmica e Estática)
– 2ª Edição. Editora Atual. São Paulo, 1998.
5. HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais – 7ª Edição, Editora
Pearson, São Paulo, 2009.
6. GERE, J.M. – Mecânica dos Materiais – Editora Thomson Learning, São
Paulo, 2003.
7. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E.R.; DeWOLF, J.T. – Resistência dos
Materiais – 4ª Edição, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 2006.
Mecânica – Resistência dos Materiais
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Hino Nacional
Hino do Estado do Ceará
Ouviram do Ipiranga as margens plácidas
De um povo heróico o brado retumbante,
E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,
Brilhou no céu da pátria nesse instante.
Poesia de Thomaz Lopes
Música de Alberto Nepomuceno
Terra do sol, do amor, terra da luz!
Soa o clarim que tua glória conta!
Terra, o teu nome a fama aos céus remonta
Em clarão que seduz!
Nome que brilha esplêndido luzeiro
Nos fulvos braços de ouro do cruzeiro!
Se o penhor dessa igualdade
Conseguimos conquistar com braço forte,
Em teu seio, ó liberdade,
Desafia o nosso peito a própria morte!
Ó Pátria amada,
Idolatrada,
Salve! Salve!
Brasil, um sonho intenso, um raio vívido
De amor e de esperança à terra desce,
Se em teu formoso céu, risonho e límpido,
A imagem do Cruzeiro resplandece.
Gigante pela própria natureza,
És belo, és forte, impávido colosso,
E o teu futuro espelha essa grandeza.
Terra adorada,
Entre outras mil,
És tu, Brasil,
Ó Pátria amada!
Dos filhos deste solo és mãe gentil,
Pátria amada,Brasil!
Deitado eternamente em berço esplêndido,
Ao som do mar e à luz do céu profundo,
Fulguras, ó Brasil, florão da América,
Iluminado ao sol do Novo Mundo!
Do que a terra, mais garrida,
Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;
"Nossos bosques têm mais vida",
"Nossa vida" no teu seio "mais amores."
Ó Pátria amada,
Idolatrada,
Salve! Salve!
Brasil, de amor eterno seja símbolo
O lábaro que ostentas estrelado,
E diga o verde-louro dessa flâmula
- "Paz no futuro e glória no passado."
Mas, se ergues da justiça a clava forte,
Verás que um filho teu não foge à luta,
Nem teme, quem te adora, a própria morte.
Terra adorada,
Entre outras mil,
És tu, Brasil,
Ó Pátria amada!
Dos filhos deste solo és mãe gentil,
Pátria amada, Brasil!
Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!
Chuvas de prata rolem das estrelas...
E despertando, deslumbrada, ao vê-las
Ressoa a voz dos ninhos...
Há de florar nas rosas e nos cravos
Rubros o sangue ardente dos escravos.
Seja teu verbo a voz do coração,
Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!
Ruja teu peito em luta contra a morte,
Acordando a amplidão.
Peito que deu alívio a quem sofria
E foi o sol iluminando o dia!
Tua jangada afoita enfune o pano!
Vento feliz conduza a vela ousada!
Que importa que no seu barco seja um nada
Na vastidão do oceano,
Se à proa vão heróis e marinheiros
E vão no peito corações guerreiros?
Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!
Porque esse chão que embebe a água dos rios
Há de florar em meses, nos estios
E bosques, pelas águas!
Selvas e rios, serras e florestas
Brotem no solo em rumorosas festas!
Abra-se ao vento o teu pendão natal
Sobre as revoltas águas dos teus mares!
E desfraldado diga aos céus e aos mares
A vitória imortal!
Que foi de sangue, em guerras leais e francas,
E foi na paz da cor das hóstias brancas!