Geometria Espacial - Prismas
1) (NOVO ENEM) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa
Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem
os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam
que os círculos representavam as três artes: escultura,
pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto
inseparáveis.
3) (UFRN) O banho de Mafalda.
Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de
sua casa e ficou observando o nível da água subir.Deixou-a
encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a
torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O
gráfico abaixo que mais se aproxima da representação do
nível(N) da água na banheira em função do tempo (t) é:
Scientific American, ago. 2008
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de
Borromeo?
a)
d)
b)
e)
c)
2) (Mack) Na construção de um dique, foram utilizadas 90
toneladas de terra, acondicionadas em sacos plásticos de 5
litros. Considerando que cada cm3 de terra pesa 3 gramas,
a menor quantidade necessária de sacos para a construção
do dique foi de
a) 4000
b) 6000
c) 8000
d) 9000
e) 10000
1
c)
d)
4) (ENEM) Representar objetos tridimensionais em uma
folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista
holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade
criando várias figuras planas impossíveis de serem
construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da
litografia Belvedere, reproduzida ao lado.
e)
5) (ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto
de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos,
colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A
figura representa a planificação da caixa, com as medidas
dadas em centímetros.
Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas
figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje
construir uma delas com ripas rígidas de madeira que
tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele
poderia reproduzir em um modelo tridimensional real?
a)
b)
Os sólidos são fabricados nas formas de
I.
um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5
cm.
II.
um cubo de aresta 2 cm.
III.
uma esfera de raio 1,5 cm.
2
IV.
um paralelepípedo retangular reto, de dimensões
2 cm, 3 cm e 4 cm.
V.
um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1
cm.
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que,
pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos
tipos
a) I, II e III.
b) I, II e V.
c) I, II, IV e V.
d) II, III, IV e V.
e) III, IV e V.
6) (Vunesp) Um retângulo de medidas 3cm e 4cm faz uma
rotação completa em torno de seu lado maior, conforme a
ilustração. Adotando = 3,14,
a) 1,115m
b) 1,105m
c) 1,350m
d) 1,250m
e) 1,125m
9) (Fatec) A diagonal da base de um paralelepípedo reto
retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o
lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é
144 cm3, então a sua altura mede, em centímetros:
a) encontre a área total da figura gerada;
b) encontre o volume da figura gerada.
7) (Vunesp) A água de um reservatório na forma de um
paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura
20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o
calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório
evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a
altura de
a) 2m.
b) 3m.
c) 7m.
d) 8m.
e) 9m.
8) (Mack) A base do cesto reto da figura é um quadrado de
lado 25cm. Se a parte lateral externa e o fundo externo do
cesto devem ser forrados com um tecido que é vendido
com 50cm de largura, o menor comprimento de tecido
necessário para a forração é:
a) 5 3
b) 4 3
c) 3 3
d) 2 3
e)
3
10) (UFPE) A figura a seguir ilustra a planificação da
superfície de um cubo com arestas medindo 10cm. O
ponto B é o centro de uma de suas faces e o ponto A está
em outra face distando das arestas de 3cm, 5cm e 7cm.
3
13) (Mack) A figura acima representa uma caçamba com
água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares
e as laterais paralelas têm o formato de trapézios
isósceles. Se d = 2 a razão entre o volume de água e o
volume total da caçamba é
Seja C a curva de menor comprimento ligando A e B e
totalmente contida nas faces do cubo. Qual o
comprimento, em cm, de C?
11) (Cesgranrio) A figura a seguir mostra três dados iguais.
O número da face que é a base inferior da coluna de
dados:
a) é 1.
b) é 2.
c) é 4.
d) é 6.
e) pode ser 1 ou 4.
17
a) 25
21
b) 32
25
c) 28
17
d) 28
25
e) 32
14) (Unicamp) A figura ao lado apresenta um prisma reto
cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos
hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma
mede 10cm.
12) (Unicamp) A figura abaixo é a planificação de uma
caixa sem tampa:
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que
passa pelos pontos A, C e A’.
15) (Mack) A figura ao lado representa a maquete de uma
escada que foi construída com a retirada de um
paralelepípedo reto-retângulo, de outro paralelepípedo
reto-retângulo de dimensões 12, 4 e 6.
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a
capacidade dessa caixa seja de 50 litros.
b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro
quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros
considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?
4
O menor volume possível para essa maquete é
a) 190
b) 180
c) 200
d) 194
e) 240
16) (FUVEST) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais,
forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem
cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número
de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas
faces pintadas de vermelho é
19) (Uneb) A tinta contida em um recipiente, em forma de
um prisma de base quadrangular regular, foi distribuída
em pequenas latas iguais, com o mesmo formato do
1
recipiente, de altura igual a
da altura do recipiente e
3
1
lado da base
do lado da base do recipiente. O número
2
de latas utilizadas pra esse fim corresponde a:
1) 8
2) 10
3) 12
4) 14
5) 16
20) (FGV) a) A medida da diagonal de uma face de um cubo
mede 6 5 cm. Quanto mede a diagonal desse cubo?
b) Sabendo-se que cosx = k, obtenha em função de k o
valor de cos4x.
21) (FGV) Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura plana
ao lado. Se o montarmos novamente, a face oposta à face
B será a face:
a) 24
b) 26
c) 28
d) 30
e) 32
17) (Mack) A razão entre os volumes dos cilindros inscritos
e circunscrito num prisma triangular regular é:
1
a)
2
1
b)
4
1
c)
8
1
d)
3
2
e)
3
a) A
b) C
c) D
d) E
e) F
22) (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de
uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20
centímetros.
a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa.
b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1
decímetro cúbico).
23) (Vunesp) As arestas do cubo ABCDEFGH, representado
pela figura, medem 1cm.
18) (UECE) A soma do número de faces, com o número de
arestas e com o número de vértices de um cubo é:
a) 18
b) 20
c) 24
d) 26
5
e a área lateral total do mesmo é de 142cm2. Qual é o
volume do paralelepípedo?
Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que
pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é:
a) 0,625 cm3.
b) 0,725 cm3.
c) 0,745 cm3.
d) 0,825 cm3.
e) 0,845 cm3.
24) (Vunesp) As arestas dos cubos ABCDEFGH medem 1m.
Seja S1 a parte do cubo que a face AEHD geraria se sofresse
uma rotação de 90° em torno do DH até coincidir com
DCGH. E seja S2 a parte do cubo que a face ABFE geraria se
sofresse uma rotação de 90° em torno de BF até coincidir
com BCGF.
27) (ETEs) As tecnologias atuais, além de tornar os
equipamentos eletroeletrônicos mais leves e práticos, têm
contribuído para evitar desperdício de energia. Por
exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and
Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e
entrou em funcionamento em fevereiro de 1946. Sua
memória permitia guardar apenas 200 bits, possuía
milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um
galpão imenso da Universidade da Pensilvânia – EUA.
Consumia energia correspondente à de uma cidade
pequena.
O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que
acarretou grande complexidade ao projeto de construção
do computador, problema posteriormente resolvido pelo
matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a
utilização de recursos do sistema numérico binário,
simplificando o projeto e a construção dos novos
computadores.
Considere o formato do ENIAC um bloco retangular de
volume igual a 396 m3. Sabendo que o ENIAC tinha 5,5
metros de altura e 30 metros de comprimento, a medida
de sua largura, em metros, é igual a
a) 2,4.
b) 2,8.
c) 3,0.
d) 3,3.
e) 4,0.
28) (Vunesp) Aumentando em 2cm a aresta a de um cubo
C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total
aumenta em 216cm2, em relação à do cubo C1.
Nessas condições:
a) Determine o volume de S1 e o de S2.
b) Determine o volume de S1 2.
25) (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são
3cm, 20mm e 0,07m.
O volume dessa caixa, mililitros, é:
a) 0,42
b) 4,2
c) 42
d) 420
e) 4200
26) (OMU) As medidas, em centímetros, das arestas de um
paralelepípedo são números inteiros ímpares consecutivos
Determine:
a) a medida da aresta do cubo C1;
b) o volume do cubo C2.
29) (UEL) Aumentando-se em 1 m a altura de um
paralelepípedo, seu volume aumenta 35 m 3 e sua área
total aumenta 24 m2. Se a área lateral do paralelepípedo
original é 96 m2, então o volume original é
a) 133 m3
b) 135 m3
c) 140 m3
d) 145 m3
e) 154 m3
6
30) (PUC-RJ) Calcule a maior distância entre dois pontos de
um cubo de aresta
3 cm.
31) (UNIFESP) Colocam-se n3 cubinhos de arestas unitárias
juntos, formando um cubo de aresta n, onde n > 2. Esse
cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito,
separando-se os cubinhos.
a) Obtenha os valores de n para os quais o número de
cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de
cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de n para os quais o número de
cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56.
32) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base
quadrada, é correto afirmar:
01.
Cada diagonal de uma face divide-a em dois
triângulos congruentes.
02.
Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares
de vértices não pertencentes a uma mesma face.
04.
Dadas duas faces não adjacentes e quatro
vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano
que contém esses quatro vértices.
08.
{1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses
vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida
uma única vez.
16.
Se a medida do lado da base e a altura do prisma
são números inteiros consecutivos, e o volume é um
número primo p, então p é único.
32.
Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas
bases são faces do prisma e cujos vértices são também
vértices do prisma.
04.
O plano que contém as arestas BC e EH divide o
paralelepípedo em dois prismas de volumes iguais.
08.
Quando são escolhidos aleatoriamente dois
vértices do paralelepípedo, a probabilidade de que a
distância entre eles seja 5 cm é 1/7.
16.
O comprimento de qualquer diagonal da face
ABFE é 5 cm.
Marque como resposta a soma dos itens corretos.
34) (UNIUBE) Considere o cubo representado na figura
abaixo, cuja base é o quadrado ABCD. Qual das figuras, a
seguir, representa uma planificação deste cubo na qual a
linha em negrito representa a sua intersecção com um
plano, que passa por uma das diagonais do quadrado
ABCD e por exatamente um vértice da face paralela à
base?
33) (UFPR) Considerando o paralelepípedo reto-retângulo
representado , no qual AB = 4 cm, AE = 3 cm e AD = 5
cm, é correto afirmar:
35) (Vunesp) Considere o sólido da figura (em cinza),
construído a partir de um prisma retangular reto.
01.
O número de segmentos cujas extremidades são
dois vértices do paralelepípedo é igual ao número de
arranjos simples de 8 elementos tomados 2 a 2.
02.
Quando são escolhidos aleatoriamente dois
vértices do paralelepípedo, a probabilidade de que eles
pertençam à mesma face é 6/7.
Se AB = 2 cm,
AD = 10 cm,
FG = 8 cm e
7
BC = EF = x cm,
o volume do sólido, em cm3, é:
a) 4x.(2x + 5).
b) 4x.(5x + 2).
c) 4.(5 + 2x).
d) 4x2(2 + 5x).
e) 4x2(2x + 5).
36) (Vunesp) Considere o sólido resultante de um
paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do
qual um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x foi
retirado. O sólido está representado pela parte escura da
figura.
b) Calcule S para que d seja igual a 3.
c) Determine d para que S seja a menor possível.
38) (Vunesp) Considere um pedaço de cartolina retangular
de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4
quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada
canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra
a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem
tampa.
O polinômio na variável x, que representa o volume, em
cm3, desta caixa é
a) 4x3 - 60x2 + 200x.
b) 4x2 - 60x + 200.
c) 4x3 - 60x2 + 200.
d) x3 - 30x2 + 200x.
e) x3 - 15x2 + 50x.
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela
expressão:
a) 2x3 - x2.
b) 4x3 - x2.
c) 2x3 - x.
d) 2x3 - 2x2.
e) 2x3 - 2x.
37) (IBMEC) Considere um cubo ABCDEFGH cujas arestas
medem 8cm. Tomam-se os pontos J, K, L e M sobre as
arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente, de modo que AJ
= BK = 2dcm e GL = HM = dcm, em que 0 < d < 4, como
mostra a figura.
39) (Vunesp) Considere um prisma hexagonal regular,
sendo a altura igual a 5cm e a área lateral igual a 60cm2.
a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados.
b) Calcule o volume do prisma.
40) (FAZU) Considere uma piscina retangular de 10m x
15m e cujo fundo horizontal está com água até 1,5m de
altura. Um produto químico deve ser misturado à água à
razão de um pacote a cada 4500 litros. O número de
pacotes a serem usados é:
a) 75
b) 55
c) 45
d) 50
e) 60
41) (UFPE) Constrói-se uma pirâmide sobrepondo-se 15
blocos, cada qual na forma de um paralelepípedo
retângulo de altura igual a 1m e base quadrada cujos lados
medem 15m, 14m, 13m, 12m, 11m, 10m, 9m, 8m, 7m, 6m,
5m, 4m, 3m, 2m, e 1m, respectivamente (veja um corte
desta pirâmide, na figura a seguir, obtido através de um
Seja S a área, em cm2, do quadrilátero JKLM.
a) Calcule S para que d seja igual a 1.
8
ponto dos seus planos de simetria).
45) (FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de
lado 10cm extrai-se uma cunha de altura h=15cm,
conforme a figura.
n(n 1)(2 n 1)
Sabendo que 12+22+32+...+n2=
6
e que o
V
volume da pirâmide é V m3, determine 31 .
42) (ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que
sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da
área de sua base. O volume deste prisma, em cm3, é:
a) 27 3
b) 13 2
c) 12
d) 54 3
O volume da cunha é:
a) 250cm3
b) 500cm3
c) 750cm3
d) 1000cm3
e) 1250cm3
46) (OBM) Diga como dividir um cubo em 1999 cubinhos. A
figura mostra uma maneira de dividir um cubo em 15
cubinhos.
e) 17 5
43) (OBM) De quantas maneiras diferentes podemos
construir um paralelepípedo usando exatamente 216
considerados iguais.
44) (ESPM) De um cubo com 4 cm de aresta retira-se um
paralelepípedo reto-retângulo, resultando no sólido
mostrado na figura, com as medidas indicadas em
centímetros. O volume desse sólido varia conforme o valor
de x. O menor valor que esse volume poderá ter é:
a) 52 cm3
b) 36 cm3
c) 48 cm3
d) 40 cm3
e) 32 cm3
47) (Fuvest) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo,
com arestas medindo 10cm e 6cm são levados juntos à
fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um
paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de
x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
48) (UFPE) Dois cubos C1 e C2 são tais que a aresta de C1 é
igual à diagonal de C2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os
volumes dos cubos de C1 e C2, então, a razão V1/V2 é igual
a:
3
a) 3
9
b)
27
c)
1
27
1
d) 3
3
e) 9
b) 5 minutos.
c) 11 minutos.
d) 16 minutos.
e) 21 minutos.
3
51) (Fatec) Em certa região árida prevê-se construir um
açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma de
um losango, conforme a vista superior apresentada.
49) (Mack) Dois paralelepípedos retângulos de mesmas
dimensões cortam-se conforme a figura, sendo igual a 1 o
volume da região assinalada.
Se ABCD é um quadrado, e o volume total do sólido obtido,
incluindo a região assinalada, é 9, a dimensão b é igual a
a) 2
b) 6
c) 5
d) 3
e) 4
50) (ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas de
um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade,
subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo,
está representada a descida de uma embarcação, pela
eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná
ate o nível da jusante.
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de
200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água
durante o esvaziamento da câmara e de 4.200 m 3 por
minuto.
Assim, para descer do nível mais alto até o nível da
jusante, uma embarcação leva cerca de
a) 2 minutos.
A capacidade do açude em litros pode ser estimada
multiplicando-se a área de sua superfície pela
profundidade, lembrando que 1m3 corresponde a 103
litros. Se a profundidade média do açude é 2m e ele estiver
completamente cheio, aproximadamente quantas famílias
com consumo mensal de 2 x 104 litros de água cada uma
poderiam ser atendidas em um mês? A resposta correta é
a) 640
b) 1 600
c) 6 400
d) 16 000
e) 64 000
52) (SpeedSoft) Em reportagem sobre a Casa dos Artistas
2, foi escrito: “...Outra inovação é a piscina aquecida com
61 mil litros (9m x 4,5m), que vai ter uma parede de
vidro...”. De acordo com o que foi escrito na reportagem,
qual é a profundidade média dessa piscina ?
53) (Fuvest) Em um bloco retangular (isto é,
27
paralelepípedo reto retângulo) de volume
, as medidas
8
das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em
progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a
medida da aresta menor é:
7
a)
8
8
b)
8
9
c)
8
10
d)
8
10
e)
calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de
tanques-rede contém.
b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de
um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico.
Suponha que um tanque possua largura igual ao
comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as
dimensões mínimas do tanque para que ele comporte
7200 peixes adultos da espécie considerada?
11
8
54) (Vunesp) Em um camping, sobre uma área plana e
horizontal, será montada uma barraca com a forma e as
dimensões dadas de acordo com a figura. Em cada um dos
quatro cantos do teto da barraca será amarrado um
pedaço de corda, que será esticado e preso a um gancho
fixado no chão, como mostrado na figura.
57) (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma
de prisma regular de altura H  6 3 cm e base triangular
de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado.
Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o
custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo
total de fabricação de cada unidade é:
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.
b) Se cada corda formará um ângulo de 30° com a
lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos
metros de corda serão necessários para fixar a barraca,
desprezando-se os nós. (Use, se necessário, a aproximação
3 = 1,73).
55) (UFBA) Em um paralelepípedo retângulo P, a altura h, a
diagonal da base d e a diagonal D são, nessa ordem, os
termos consecutivos de uma progressão aritmética de
razão r =1. Sendo a base do paralelepípedo P um
quadrado, pode-se afirmar:
(01)
(02)
h.d.D = 60 cm3
O volume de P é V = 16 cm2
(04)
A área total de P é S = 4(4+3 2 ) cm2
(08)
A área do círculo inscrito na ba
(16)
O perímetro do triângulo cujos lados coincidem
com h, d, D é p =12cm
2
Dado: Considere
3  1, 7
a) R$ 12,30
b) R$ 13,60
c) R$ 8,16
d) R$ 15,20
e) R$ 17,30
58) (UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1+ 2 )cm.
Calcule o volume do cubo em cm3.
A resposta é a soma dos pontos das alternativas corretas
56) (Unicamp) Em um sistema de piscicultura
superintensiva, uma grande quantidade de peixes é
cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta
densidade populacional e alimentação à base de ração. Os
tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são
revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes,
mas permite a passagem da água.
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em
um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no
total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um
peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e
que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição,
59) (UFPR) Na figura abaixo está representado um cubo de
aresta 6 m, com a face ABCD na posição horizontal. Um
plano contém a aresta EH e o ponto médio M da aresta
BF. Assim, é correto afirmar:
11
62) (UECE) Na figura, as arestas do cubo medem 1m e
estão divididas em 4 parte iguais. A poligonal ABCDE
construída sobre as faces do cubo mede:
a) 13 m
b) 15 m
c) 17 m
d) 19 m
paralelos
63) (UFMG) Nesta figura, estão representados o cubo
ABCDEFGH e o prisma ACRPQO :
a) O comprimento do segmento EM é 3 3 m
pirâmide
c) A área do trapézio ABME é 27 m2
igual a 162 m3.
60) (Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente,
os pontos médios das arestas AB e CD do cubo. A razão
entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo é:
Sabe-se que:
» P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das
arestas AE, CG e CD;
» o ponto O é o centro da face CDHG; e
» o volume do prisma ACRPQO é 24 cm3.
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento de cada
aresta desse cubo é
a) 3/8.
b) 1/2.
c) 2/3.
d) 3/4.
e) 5/6.
61) (Fuvest) Na figura abaixo:
a) 4.
b) 2.
c) 4.
d) 2.
3
2 cm
3
3 cm
3
3 cm
3
2 cm
64) (UFPE) No cubo da figura a seguir, as arestas medem
4cm. Quanto mede a diagonal AB?
a) 4 3 cm
a) ABCD e EFGH são trapézios de lados 2, 8, 5 e 5.
b) Os trapézios estão em planos paralelos cuja distância é
3.
c) As retas AE, BF, CG e DH são paralelas.
12
c)
3
2 a
7
5 a
d)
3a
e)
5
3 a
b)
67) (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo mostrado na
figura, AB=2cm e AD=AE=1cm.
b) 2 3 cm
c) 4 2 cm
d) 2 2 cm
e) 2 cm.
65) (Mack) No cubo da figura dada , a distância do vértice
A à diagonal PQ é 6 . Então, o volume do cubo é:
Seja X um ponto de segmento AB e x a medida do
segmento AX.
a) Para que valor de x, CX = XH?
b) Para que valor de x, o ângulo CXH é reto ?
68) (Mack) Num paralelepípedo retângulo a soma das
a) 27
b) 64
c) 125
d) 9 3
e) 8 3
66) (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo da figura
abaixo, sabe-se que AB = AD = a, AE = b e que M é a
intersecção das diagonais da face ABFE. Se a medida de
MC também é igual a b, o valor de b será:
a) 2 a
medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede
Se as medidas das arestas estão em progressão
geométrica, então o seu volume é:
a) 216.
b) 108.
c) 81.
d) 64.
e) 27.
91 .
69) (Fuvest) Numa caixa em forma de paralelepípedo retoretângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve
ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O
maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas
na caixa é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
70) (Mack) O cubo da figura tem aresta 2 2 . Se P e Q
área do quadrilátero PQDE é
13
a) 9
b) 10
c) 7
d) 12
e) 6
71) (FUVEST) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na
figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M
é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto
M ao centro do quadrado ABCD é igual a
a) a3/3
b) a3/2
c) 3a3/4
d) 7a3/8
e) 15a3/16
73) (ESPM) O seno do ângulo que a diagonal de um cubo
forma com uma das arestas concorrentes a ela tem como
valor:
2 2
a) 3
6
b) 2
6
c) 3
a 3
a) 5
a 3
b) 3
a 3
c) 2
d) a 3
3
d) 3
2
e) 3
74) (UEL) O sólido representado na figura a seguir é
formado por um cubo de aresta de medida x/2 que se
apóia sobre um cubo de aresta de medida x.
e) 2a 3
72) (Emescam) O figura abaixo representa um sólido que
foi construído seccionando-se um cubo de aresta a por um
plano que contém os pontos A, B, C, D. Esses pontos são
pontos médios de arestas do cubo. O volume desse sólido
é dado por:
14
O volume de sólido representando é dado por
a) 9x3/8
b) x3/8
c) 3x3
d) 3x3/2
e) 7x3
75) (Fuvest) O volume de um paralelepípedo reto
retângulo é de 240 cm3. As áreas de duas de suas faces são
30 cm2 e 48 cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2,
é:
a) 96
b) 118
c) 236
d) 240
e) 472
76) (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A
medida de sua diagonal, em centímetros, é:
a) 0,8 3
b) 6
c) 60
d) 60 3
e) 900 3
77) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, está representado um cubo de aresta 10.
Sabendo que AP = QC = 4, calcule a distância de P e Q.
78) (UFMG) Observe a figura.
Essa figura representa uma piscina retangular com 10 m de
comprimento e 7 m de largura. As laterais AEJD e BGHC
são retângulos, situados em planos perpendiculares ao
plano que contém o retângulo ABCD. O fundo da piscina
tem uma área total de 77 m2 e é formado por dois
retângulos, FGHI e EFIJ. O primeiro desses retângulos
corresponde à parte da piscina onde a profundidade é de 4
m e o segundo, à parte da piscina onde a profundidade
varia entre 1 m e 4 m. A piscina, inicialmente vazia, recebe
água à taxa de 8.000 litros por hora.
Assim sendo, o tempo necessário para encher totalmente
a piscina é de:
a) 29 h e 30 min
b) 30 h e 15 min
c) 29 h e 45 min
d) 30 h e 25 min
79) (UERJ) Observe as figuras a seguir:
(I)
15
(II
)
A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a
figura II, sua respectiva planificação, composta por dois
trapézios isósceles congruentes e dois triângulos.
Calcule:
a)
a distância h da aresta AB ao plano CDEF;
b)
o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D,
mostrado na figura I, em função de h.
80) (UEMG) Observe o desenho a seguir:
O vasilhame I é cúbico com a medida da aresta igual a 10
cm. O vasilhame II tem a forma de um paralelepípedo
retangular com dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm.
Enchendo o vasilhame I de água e despejando esse líquido
na II, que está vazia, esta terá sua capacidade ocupada em,
aproximadamente,
a) 20,8%
b) 28%
c) 22,2%
d) 12,5%
81) (PUC-SP) Para obter a peça esboçada na figura abaixo,
um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos
vértices de um bloco maciço de madeira que tem as
seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm
Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603 kg e
sabendo que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, a
aresta de cada cubo recortado deverá medir, em
centímetros:
a) 6,5
b) 6
c) 5,5
d) 5
e) 4,5
82) (PUC-SP) Para obter a peça esboçada na figura ao lado,
um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos
vértices de um bloco maciço de madeira que tem as
seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm.
Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603kg e
sabendo que a densidade da madeira é 0,93g/cm3, a aresta
de cada cubo recortado deverá medir, em centímetros,
a) 6,5
b) 6
c) 5,5
d) 5
e) 4,5
83) (UNICAMP) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter
210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com
0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de
forma que a dobra é sempre perpendicular à maior
dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão
geométrica que representa a espessura do papel dobrado
em função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o
papel seis vezes, quais serão as dimensões do
paralelepípedo?
16
84) (ENEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca,
um agricultor pretende construir um reservatório fechado,
que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no
telhado de sua casa, ao longo de um período anual
chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões
da casa, a quantidade média mensal de chuva na região,
em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído.
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana
horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do
reservatório deverá medir
a) 4m
b) 5m
c) 6m
d) 7m
e) 8m
85) (AFA) Qual deve ser a medida da altura de um prisma
reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para
que seu volume tenha valor a3?
a 3
a) 4
3a 3
b) 4
a 3
c) 3
4a 3
d) 3
86) (PUC-PR) Qual o número de diagonais das faces e das
bases de um prisma de 2n vértices?
a)
87) (Unifesp) Quando se diz que numa determinada região
a precipitação pluviométrica foi de 10mm, significa que a
precipitação naquela região foi de 10 litros de água por
metro quadrado, em média. Se numa região de 10km2 de
área ocorreu uma precipitação de 5cm, quantos litros de
água foram precipitados?
a) 5 x 107.
b) 5 x 108.
c) 5 x 109.
d) 5 x 1010.
e) 5 x 1011.
88) (PUC-RJ) Quantos azulejos de 30cm x 30cm são
necessários para forrar as paredes laterais e o fundo de
uma piscina de 9m x 7,5m x 3m ?
89) (UFSCar) Se a soma das medidas de todas as arestas de
um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em
centímetros cúbicos, é
a) 125.
b) 100.
c) 75.
d) 60.
e) 25.
90) (PUC-PR) Se aumentarmos de 0,5 m a aresta de um
cubo, o seu volume aumentará 2375 dm3. Qual era o valor
da aresta do primeiro cubo?
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m
91) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas
tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de
figuras espaciais cujos nomes são:
n(n - 3)
2
b) n(n + 3)
c)
n(n  3)
2
d) n(n - 1)
e)
n(n - 1)
2
17
a) tetraedro, octaedro e hexaedro.
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.
c) octaedro, prisma e hexaedro.
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.
92) (FMTM) Seja ax3 + bx2 + cx + d = 0 uma equação
algébrica que possui 3 raízes reais positivas. Se as raízes
dessa equação são numericamente iguais às dimensões de
um paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da diagonal
desse prisma é igual a
a 2  2bc
a2
a)
c) 2,125%
d) 4,25%
e) 21,25%
95) (NOVO ENEM) Suponha que, na escultura do artista
Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os
prismas numerados em algarismos romanos são retos,
com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro
II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por
sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos
prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são
perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.
b 2  2ac
a2
b)
b 2  2cd
a2
c)
c 2  2ab
a2
d)
c 2  2ad
a2
e)
93) (UFPE) Seja C um cubo cujo lado mede 5cm e
plano contendo duas diagonais de C. Particiona-se C em
125 cubos com lado medindo 1cm através de planos
quantos destes 125 cubos com lado medindo 1cm?
94) (PUC-SP) Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo
apóie-se sobre um suporte circular feito de chocolate que,
por sua vez, encontra-se sobre uma mesa de madeira de
tampo retangular, cujas dimensões são 0,90m de
comprimento, 0,80m de largura e 0,02m de espessura.
Assim, a parte dura que o Cebolinha mordeu diz respeito
apenas a um pedaço do tampo da mesa.
Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma
regular triangular, cuja aresta da base mede 6cm, o
volume de madeira do pedaço equivale a que
porcentagem do volume do tampo da mesa? (Use
1,7)
a) 0,2125%
b) 0,425%
3 =
Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul.
2009.
Imagine um plano paralelo à face  do prisma I, mas que
passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II,
indicado na figura. A interseção desse plano imaginário
com a escultura contém
a) dois triângulos congruentes com lados correspondentes
paralelos.
b) dois retângulos congruentes e com lados
correspondentes paralelos.
c) dois trapézios congruentes com lados correspondentes
perpendiculares.
d) dois paralelogramos congruentes com lados
correspondentes paralelos.
e) dois quadriláteros congruentes com lados
correspondentes perpendiculares.
96) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância
entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são:
a) 1, 2 e 3
b) 1 e
2
c) 1,
3e2
d) 1,
2e3
18
97) (SpeedSoft) Um aquário de 20x30x10 cm, totalmente
fechado, está com água dentro de modo que quando ele
fica apoiado no retângulo de 30x10 cm, o nível da água
atinge 15cm. Virando o aquário, de modo que ele fique
apoiado pelo retângulo de 20x10 cm, que altura atingirá o
nível d’água?
101) (Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em
forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas
internas são, em m, expressas por x, 20-x, e 2. O maior
volume que esta piscina poderá ter, em m 3, é igual a:
98) (CPCAR) Um aquário tem formato de um
paralelepípedo retângulo com as arestas da base medindo
20 cm e altura medindo 40 cm. O aquário receberá uma
quantidade de água equivalente a 80% de sua capacidade
máxima. Para preparar a água para receber os peixes
recomenda-se 1 gota de antifungo para cada 256 ml de
água. O número de gotas de antifungos necessário para a
preparação desse aquário é
a) 50
b) 40
c) 30
d) 20
a) 240
b) 220
c) 200
d) 150
e) 100
102) (UFRJ) Um marceneiro cortou um cubo de madeira
maciça pintado de azul em vários cubos menores da
seguinte forma: dividiu cada aresta em dez partes iguais e
traçou as linhas por onde serrou, conforme indica a figura .
99) (FGV) Um arquiteto tem dois projetos para construção
de uma piscina retangular com 1m de profundidade:
Projeto 1: dimensões do retângulo: 16m x 25m
Projeto 2: dimensões do retângulo: 10m x 40m
Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são
revestidos de azulejos cujo preço é R$ 10,00 por m2.
a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto?
b) Se a área do retângulo for de 400m2, e x for uma de suas
dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x.
100) (Fuvest) Um bloco retangular (isto é, um
paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado
2
4cm e altura 20 3 cm, com
de seu volume cheio de
3
água, está inclinado sobre uma das arestas da base,
formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral
abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação
ao solo.
a) Determine o número de cubos menores que ficaram
sem nenhuma face pintada de azul.
b) Se todos os cubos menores forem colocados em um
saco, determine a probabilidade de se retirar, ao acaso,
um cubo com pelo menos duas faces azuis.
103) (UNICAMP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado
para medir a quantidade de chuva precipitada em
determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é
exibida ao lado. Nesse pluviômetro, o diâmetro da
abertura circular existente no topo é de 20cm. A água que
cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um
tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60cm de
19
altura e sua base tem 1/10 da área da abertura superior do
pluviômetro. (Obs.: a figura ao lado não está em escala).
a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.
b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no
cilindro interno subiu 2cm, calcule o volume de água
precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular
com 500m de comprimento por 300m de largura.
104) (UFMG) Um recipiente cúbico, sem tampa, com
arestas medindo 12 cm, está apoiado em um plano
horizontal e contém água até um nível de h cm. Ao se
inclinar esse recipiente sobre uma de suas arestas, de
maneira que a face inferior faça um ângulo de 30o com o
plano horizontal, são derramados 300 cm3 de água,
conforme mostrado nestas figuras.
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é:
a) 50
b) 60
c) 80
d) 100
e) 120
107) (Fuvest) Um tanque em forma de paralelepípedo tem
por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m.
Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque,
faz o nível da água subir 0,075 m. Então, o volume do
indivíduo, em m3, é:
a) 0.066
b) 0,072
c) 0,096
d) 0,600
e) 1,000
108) (Vunesp) Um tanque para criação de peixes tem a
forma da figura
DETERMINE o valor de h.
105) (Vunesp) Um reservatório de água de uma creche tem
a forma de um paralelepípedo retângulo com área da base
igual a 2 m2 e altura de 2 m. O reservatório estava
completamente vazio e às 0 horas (quando a creche estava
fechada) ele começou a encher de água. A altura do nível
de água no reservatório ao final de t horas, após começar a
5t
encher, é dada por h(t) = t  6 com h(t) em metros.
a) Determine a capacidade total de água do reservatório e
o volume V(t) de água no reservatório no instante t (em
m3).
b) Determine entre quais horários da madrugada o volume
V(t) do reservatório será maior que 2m3 e menor que sua
capacidade total.
onde ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo
e EFGHIJ um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo
106) (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de
um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a
seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:
109) (PUCCamp) Um tanque tem a forma de um prisma
reto de base quadrada e está totalmente cheio d'água. Se
a aresta de sua base mede 2m e a altura mede 0,9 m,
quantos litros d'água devem ser retirados do seu interior
3
). A superfície interna do tanque será
5
pintada com um material impermeabilizante líquido. Cada
metro quadrado pintado necessita de 2 litros de
impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Sabendose que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine:
a) as medidas de EI e HI;
b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto,
em reais.
20
para que o líquido restante ocupe os 2/3 de sua
capacidade?
a) 12000
b) 2400
c) 1200
d) 240
e) 120
110) (Unicamp) Uma caixa d’água cúbica, de volume
máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma
casa, conforme mostra a figura ao lado.
Dados: AB = 6m, AC= 1,5m, CD= 4m.
a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa?
b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85%
da altura da caixa, quantos litros de água podem ser
armazenados na caixa?
111) (Fuvest) Uma caixa d’água tem forma cúbica com 1
metro de aresta. De quanto baixa o nível d’água ao
retirarmos 1 litro de água da caixa?
112) (UEL) Uma caixa é totalmente preenchida por
cinqüenta cubos idênticos. Quantos cubos iguais a esses
podem ser colocados em uma caixa cujas dimensões
internas têm, respectivamente, o dobro das dimensões da
caixa anterior?
a) 100
b) 150
c) 200
d) 400
e) 500
114) (Mack) Uma piscina com 5 m de comprimento, 3 m de
largura e 2 m de profundidade tem a forma de um
paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20 cm
abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é
igual a:
a) 27000 cm3
b) 27000 m3
c) 27000 litros
d) 3000 litros
e) 30 m3
115) (FGV) Uma piscina com o formato de um
paralelepípedo retângulo tem dimensões, em metros,
iguais a 20 por 8 por h, em que h é a profundidade.
Quando ela está cheia de água até 80% de sua capacidade,
o volume de água é 256m3. Podemos concluir que a
medida em metros de h é:
a) Um número racional não inteiro.
b) Um número inteiro.
c) Um número menor que 1,8.
d) Um número maior que 2,2.
e) Um número irracional.
116) (Vunesp) Uma piscina de forma retangular tem 8m de
largura, 15m de comprimento, 0,9m de profundidade num
de seus extremos e 2,7m de profundidade no outro
extremo, sendo seu fundo um plano inclinado. Calcule o
volume da água da piscina quando a altura do nível da
água é de 0,6m na extremidade mais funda.
117) (UFC) Uma piscina na forma de um paralelepípedo
retângulo de 9 m de comprimento, 4 m de largura e 2 m de
altura está sendo abastecida de água à razão constante de
50 litros por minuto. O tempo necessário, em horas, para
encher esta piscina, sem desperdício de água, é:
a) 26
b) 24
c) 22
d) 20
e) 18
113) (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de
livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30
cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em
caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x
60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para
esse envio é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
e) 17
21
Gabarito
1) Alternativa: E
21) Alternativa: C
2) Alternativa: B
22) a) 80 cm
b) 512 L
3) Alternativa: A
23) Alternativa: A
4) Alternativa: E
5) Alternativa: C
6) a) 131,88cm2
b) 113,04cm3
7) c) A água evaporada tem a forma de um paralelepípedo
de 20x30xh onde h é a altura de água evaporada. Assim,
24) a) Volume de S1 = Volume de S2 =
b) Volume da intersecção de S1 e S2
3
- 1 m3
25) Alternativa: C
26) Isso nos dá que 2[n(n - 2) + n(n + 2) + (n - 2)(n + 2)] =
142, isso nos dá que 3n2 que convém é n = 5. Assim o volume será 3 x 5 x 7 =
105cm3.
27) Alternativa: A
Sobrou então 10 – 3 = 7m de água.
28) a) 8cm
b) V = 1000 cm3
8) Alternativa: E
29) Alternativa: C
9) Alternativa: C
10) C = 8cm. (note que, no cubo montado, os pontos A e B
ficam em faces adjacentes...)
30) A maior distância é:
11) Alternativa: D
31) a) n = 8
b) n = 4
12) a) 50cm
b) R$ 8,40
32) Resposta: 57
( 3 ) 2  ( 3 ) 2  ( 3 ) 2  3.
33) F – V – V – F – V  2+4+16 = 22
13) Alternativa: E
34) Alternativa: A
14) a ) 375.
b ) 50
3 cm3
35) Alternativa: A
3 cm3
36) Alternativa: C
15) Alternativa: E
16) Alternativa: A
17) Alternativa: B
18) Alternativa: D
37) Resposta:
a) 8
89 cm2
b) 8
65 cm2
8
c) 3 cm
19) Alternativa: C
38) Alternativa: A
20) a) 3 30
b) 8k4 - 8k2 + 1
39) a) as arestas da base medem 2cm cada e as arestas
laterais medem 5cm cada.
22
b) 30 3 cm3
40) Alternativa: D
41) V/31 = 40
 d 54 

  3 1
b  4 tem  2 
solução (eliminamos
b  1, b  2 e b  3 ) e b  c  36 com b  6 tem
 d 36 
 2   4 1


solução (elimina-se b = 1, 2 ,3 ou 4).
42) Alternativa: D
43) Resp: 19
Resolução: Sejam a  b  c as medidas do paralelepípedo.
Temos então que a, b e c são inteiros positivos e
abc  216 .
Como a  b  c  a  a  a  a  6 e a | 216, temos
a  1, a  2, a  3, a  4 ou a  6.
Se a  1, temos b  c  216. As possibilidades neste caso
são b  1 e c  216; b  2 e c  108;
44) Alternativa: C
45) Alternativa: C
46) O cubo deve ser dividido em 1000 cubinhos, ou seja 10
 10  10, depois, deve-se pegar um deles e dividí-lo
novamente em 1000 cubinhos para que obtenhamos 1999
cubinhos. Assim teremos 1000 – 1 (que será dividido) +
1000 = 1999 cubinhos.
47) Alternativa: D
b  3 e c  72; b  4 e c  54; b  6 e c  36; b  8 e c  27; b  9 e c  24; b  12 e c  18.
Se a  2, temos b  c  108, com b  2. Temos então as
48) Alternativa: B
b

2
e
c

54
;
b

3
e
c

36
;
possibilidades
49) Alternativa: C
b  4 e c  27; b  6 e c  18; b  9 e c  12.
Se a  3, temos b  c  72, com b  3. Temos então as
50) Alternativa: D
b

3
e
c

24
;
b

4
e
c

18
;
possibilidades
b  6 e c  12; b  8 e c  9.
Se a  3, temos b  c  72, com b  3. Temos então as
possibilidades b  3 e c  24; b  4 e c  18;
b  6 e c  12; b  8 e c  9.
Se a  4, temos b  c  54, com b  4. Neste caso,
temos uma só solução, que é b  6 e c  9.
Se a  6, a única solução é b  c  6.
Temos, assim, 19 maneiras de construirmos o
paralelepípedo.
Observação: pode-se verificar que o número de soluções
 d n  

,
de b.c  r, com b  c naturais, é  2  onde
x denota o menor número inteiro maior ou igual

a x e d n é o número de divisores de n. Assim,
 d 216 

 8
b  c  216 tem  2 
soluções; b  c  108 com
 d 108 

 1 5
b  2 tem  2 
soluções (descontamos aqui
b

1
e
c

108
a solução
); b  c  72 com b  3 tem
 d 72 
 2 24


soluções (eliminamos
b  5 e c  72 e b  2 e c  36 ); b  c  54 com
51) Alternativa: D
52) Resposta: 1,51m
53) Alternativa: C
Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq =
3
27
x3 =
. Como x é a aresta intermediária entre a
2
8
maior e a menor, ela é a média geométrica dessas duas.
3
9
Então, ( )2
2
8
54) a) 36m3
b) 9,23
55) V - F - F - V -
25
56) Respostas Esperadas • (CONVEST/UNICAMP)
a)
Seja xA o número de peixes da espécie A e x B o número de
peixes da espécie B postos nos tanques-rede. Como o
número total de peixes é igual a 600, tem-se xA + xB = 600.
Conhecendo os hábitos alimentícios dos peixes, tem-se
também a equação 1,5xA + 1xB = 800. Obtemos, assim, um
sistema linear. Subtraindo a primeira equação da segunda,
chegamos a 0,5xA = 200. Assim, xA = 400, o que implica xB =
600 - xA = 600 - 400 = 200.
23
Resposta: o grupo continha 400 peixes da espécie A e 200
peixes da espécie B.
b) Para comportar 7200 peixes, o tanque deve ter um
volume igual a 7200/400 = 18 m3. Sejam L, C e A,
respectivamente, a largura, o comprimento e a altura do
tanque-rede. Com base nos dados do problema,
concluímos que o volume do tanque é V = L.C.A = 2L2.
Assim, temos 2L2 = 18, ou L2 = 9, ou ainda L = 3m. Desta
forma, L = C = 3 m.
Resposta: o tanque deve ter largura e comprimento iguais
a 3 m e altura igual a 2 m.
78) Alternativa: C
79) a)
3,4
 1,7 m
2
3
B' M   1,5 m
2
BB
' h
BM
57) Alternativa: B
58) V = 64 cm3
59) V – V – F – F – V – V
60) Alternativa: D
h2 + 1,52 = 1,72
m
b)
61) V = 60
62) Alternativa: C
63) Alternativa: C
64) Alternativa: A
65) Alternativa: A
volume = V = V(prisma) + V(pirâmide)
V
3h
2 3
 AB
h
2
3
V
3h
 4  2h
2
V  8h
66) Alternativa: E
67) a) x = 0,75 cm
b) x = 1 cm
80) Alternativa: A
68) Alternativa: E
81) Alternativa: D
69) Alternativa: D
82) Alternativa: D
70) Alternativa: A
83) a) (0,1)
71) Alternativa: C
b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm.
2kmm
72) Alternativa: D
73) Alternativa: C
84) Alternativa: D
74) Alternativa: A
85) Alternativa: D
75) Alternativa: C
76) Alternativa: D
86) Alternativa: D
(cada base tem n vértices, além de n laterais com 2
diagonais cada)
77) PQ = 2 38
87) Alternativa: B
24
b) entre 1h30min e 4 horas da manhã
88) R: 1850 azulejos
89) Alternativa: A
106) Alternativa: D
90) Alternativa: A
107) Alternativa: B
91) Alternativa: E
92) Alternativa: B
108) a) EI = 5m e HI = 4m
b) A = 104 m2 e o custo será de R$ 416
93) 25 cubos
109) Alternativa: C
94) Alternativa: A
110) a) 1,2m = 12dm
b) 0,85.123 = 1468,8 L
95) Alternativa: A (com ressalvas)
Nota do Editor: A alternativa A é a menos pior. Entretanto,
há muitas controvérsias. Nota-se pela imagem que há um
3º sólido sendo interceptado pelo plano, com uma face
unida com parte da face do prisma IV, e que portanto
transformaria a intersecção pedida em um triângulo e um
quadrilátero (provavelmente um losango).
Teríamos 2 triângulos apenas se a intersecção pedida fosse
do plano com os prismas II e IV. E ainda assim, Como saber
se os lados dos triângulos da intersecção são realmente
paralelos?
111) baixa 0,001 metro.
112) Alternativa: D
113) Alternativa: C
Em cada pacote cabem 8 pacotes, de forma que
precisaríamos de uma quantidade maior que 12,5 caixas.
114) Alternativa: C
5x3x1,80 = 27 m3 = 27000 litros
96) Alternativa: A
115) Alternativa: B
97) 22,5 cm
116) 12 m3
98) Alternativa: A
117) Alternativa: B
2
99)
2
portanto custo de R$ 4820,00
portanto custo de R$ 5000,00
800
b) Custo = 400 + 2x + x
100) h = 21cm
101) Alternativa: C
102) a) 512 cubos
b) 96/1000 = 0,096 = 9,6%
103) a) 600cm3
b) 300m3
169 24 3
12
104) h =
10t
t
105) a) V = 4m e V(t) =  6
3
25