 RESUMO TEÓRICO 
IDÉIAS DOS CONCEITOS:
“ Si st ema s Lin e are s c om o c om p os i ção d e vár ia s e qua ç õe s li n ear e s , qu e de ve m s er s at is fe ita s s im u lt ane am e nt e. De u m m o do ger a l, t a is e qua ç õe s mo d elam r e s tr iç õe s en c o ntr ada s no co t ida no” “ Op e raç õe s E l emen t ar es não a lt er am a s o luç ã o de u m s ist e m a e f aze m p ar t e do s pr o c e s s os de b us c a d e ta l so lu ç ão” . “ A Rep re se nt a ção M at ri ci al p o de s er út i l nos pr oc e s so s de a ná li s e, a lgor itm os d e r eso lu ç ão e ad a pt a ç ão a pr o c e s sos c om p ut a c ion ai s de u m s i st e m a li near .” “ Fo rma Es c al on ad a c om o u m a da s f or m as ú te is p ar a ob te nç ão e aná li s e da s olu ç ão d e um s ist e ma” “ Cl ass if i c ação de u m s i st em a lin e ar dep end end o d o nú m er o de s o lu çõ es” “ E sca lo n a ment o c om o m ét od o pr á ti c o par a a r e s olu ç ã o de s ist e m a s l inear e s” RE S U MO TE ÓR ICO :
2
 Equação linear  Exemplo: 2x – y + 3z= 5 Contra-exemplo: x + xy – z = 7  Solução de uma equação linear do tipo 2x – y + 3z= 5  “Terna ordenada” de números (x, y , z) que satisfaçam tal equação. Exemplos: ( 1, 3, 2)  21  3 + 32 = 5 OK! ( 0, 1, 2)  20  1 + 32 = 5 OK!  Um sistema linear geralmente é composto por m equações lineares com n incógnitas: Exemplos:  x + y = 7

 2x - y = 2
 x - y + z = 2

2x - y + 3z = 9
2 equações com 2 incógnitas x e y 2 equações com 3 incógnitas x, y e z 1
 Solução de um sistema linear: todo par ordenado, terna ordenada, . . . , n–upla ordenada, que satisfaça simultaneamente todas as equações do sistema. Exemplos:  x + y = 7

 2x - y = 2
(3, 4) satisfaz as duas equações!  x - y + z = 2

2x - y + 3z = 9
(1, 2, 3) e (7, 5, 0) satisfazem as duas equações!  Conjunto Solução de um sistema linear: conjunto que “represente” todas as soluções do sistema. Exemplos:  x + y = 7

 2x - y = 2
S = { (3, 4) }
Única solução  x - y + z = 2

2x - y + 3z = 9
S = { (7  2, 5  , ) /   R}
Infinitas soluções
 x + 2y = 7

 2x  4 y = 5
S = { } ou S = 
Não existe solução  Sistemas Equivalentes são aqueles que têm o mesmo conjunto solução.  x - y + z = 4
 x - y + z = 4


y + z = 4 S = { ( 2, 1, 3 ) } Exemplo: 2x - y + 3z = 12 ~ 
3x  2 y - 4z = - 4

- 12z = - 36


 Op er a çõ e s El e ment are s s ã o re a li zad a s c om o s eq uaç õ e s de um s i s te m a l in ear e q u e nã o
al t e ram a so lu ç ão d o s ist e ma . S ão t rê s as op er aç õ e s el em e nt ar e s:  T ro c ar a s p os i çõe s d e d u as eq u aç õe s do si st e ma.
a
a
Exemplo: Trocando a de posição a 1 e 2 equações: 2x - y + 3z = 12
 x - y + z = 4


 x - y + z = 4 ~ 2x - y + 3z = 12 3x  2 y - 4z = - 4
3x  2 y - 4z = - 4


 Mu lt ip l ic ar uma das equações por u m n ú me ro re al d if er ent e d e z ero .
Exemplo: Multiplicando a 1a equação por (  2 ):  x - y + z = 4
- 2x  2 y - 2 z = - 8


y + 3z = 12
2x - y + 3z = 12 ~  2x 3x  2 y - 4z = - 4
 3x  2 y - 4z = - 4


2
 S o ma r a u ma d a s eq ua çõ es u ma o ut ra e qu aç ão m ul t ip l i cad a p or u m nú m er o re al.
a
a
Exemplo: Somando a 2 equação a 1 equação multiplicada por (  2 ):  x - y + z = 4
 x - y + z = 4


y + z = 4 2x - y + 3z = 12 ~ 
3x  2 y - 4z = - 4
 3x  2 y - 4z = - 4


 A R ep res ent aç ão M at ri ci al d e u m s i st em a lin ear p ode s er f eit a por m e io d a m ult ip li c aç ão e igu alda de de m atr i zes . Exemplo:  x - y + z = 4

2x - y + 3z = 12 3x  2 y - 4z = - 4

  1

 2
 3

-1
-1
2
1  x   4

 
3   y  =  12
- 4   z    4


 

A pr i me ir a ma t r i z c om o s c oef i c ien t es nu m ér ico s é a Ma t ri z I n co mp l et a. A s eg u n da mat ri z é a Mat ri z d as I nc óg ni t a s. A terceira matriz é a Matriz dos Termos Independentes.
 Matriz Completa ou Ampliada é obtida acrescentado-se os termos independentes como última coluna na matriz incompleta.  x - y + z = 4

Exemplo: 2x - y + 3z = 12 3x  2 y - 4z = - 4

 1

Matriz Incompleta  2
 3

-1
-1
2
1 

3  - 4 
  1

 2
 3

-1
  1

Matriz Completa  2
 3

-1
2
1  x   4

 
3   y  =  12
- 4   z    4
-1
1
-1
2
3
-4


 

4 

12  - 4 
 Classificação de um sistema quanto ao número de soluções. Sistema Possível e Determinado  Única solução
 x + y = 7
 2x - y = 2
Exemplo: 
 S. P. D.
S = { (3, 4) }
3
Sistema Possível e Indeterminado  Infinitas soluções
 x - y + z = 2
2x - y + 3z = 9
Exemplo: 
 S. P. I.
S = { (7  2, 5  , ) /   R}
Sistema Impossível  Não existe solução
 x + 2y = 7
 2x  4 y = 5
Exemplo: 
 S. I.
S = { } ou S =   U ma ma tr iz est á n a Fo rma Es c al on ad a s e : 1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1; 2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos elementos abaixo desta linha iguais a zero; 3) Toda linha nula está escrita abaixo de todas as linhas que tem pelo menos um elemento não nulo e; 4) O primeiro elemento não nulo de uma linha deve “aparecer” à direita do elemento não nulo da linha superior. 1
0
Exemplos: 
 1
0 
 ,  0
1  
 0
3
1
0
0   1
 
4  ,  0
0   0
5
4
0
0
1
0

1  
 
7  , 
1  

1
0
0
0
8
5
1 -3
0 0
0 0
3
4
1
0
6
2
5
0
8 

5
0

1 
 Sistema Escalonado é aquele que tem a matriz ampliada na forma escalonada. “ Para a solução de um sistema escalonado basta tomar as incógnitas encontradas nas equações
inferiores e substituí-las, encontrando as outras incógnitas, nas equações superiores.”
 x - y + z = 4

Exemplo: S = 2x - y + 3z = 12 3x  2 y - 4z = - 4

Procederemos de maneira análoga a desenvolvida na aula anterior, até obtermos uma matriz ampliada na forma escalonada, ou seja:  1

1 Pa s so : es c r e v ê- lo na f or m a m atr i c ia l   2
 3

o
-1
-1
2
1  x   4

 
3   y  =  12
- 4   z    4


 

4
 1

2 Passo: tomar a matriz ampliada   2
 3

o
-1
1
-1
2
3
-4
4 

12  - 4 
o
3 Pa s so : por m e io d a s o per a ç õe s e le m e nt ar e s, t r a n sf or m ar a m at r i z a mp lia da em m a tr i z am pl iad a a f o rma e scalo na da:  1

 2
 3

4
o
-1
1
-1
2
3
-4
4 
 1


12   Após várias operações . . .   0
 0
- 4 

-1
1
1
0
1
1
4

4  3 
P a sso : a p ar t ir d a m atr iz a mp li ad a a f o r m a e s c al ona da es cr e v er o s ist em a e sca lo nado eq u iv ale nt e ao or igin a l: x - y  z = 4

S ~ S ’ = 
y  z = 4

z = 3


Equação (1)


Equação (2) Equação (3)
o
5 Pa s so : det er m inar a s s olu ç õe s d o s ist e m a, p or sub st i tui ç ão: E qu aç ão ( 3) , z = 3 , na eq ua çã o ( 2) : y + 3 = 4 y = 1  E q ua ç ão ( 2 ’) E qu aç ão ( 3) e ( 2 ’) , z = 3 e y = 1 , na e q u aç ão ( 1) : x - 1 + 3 = 4 x = 2
 E q ua ç ão ( 1 ’) S olu ç õ es: ( 2, 1, 3)  S = { ( 2, 1, 3) }
Única Solução  Sistema Possível e Determinado IM PO R T AN T E:
 O m ét od o de r eso l uç ão de s cr it o a c im a é c o nh e c ido c om o Mé to d o
do
E scal o n a ment o ou M ét o do d e E li min açã o d e G au ss.
 Q u and o u m s i st em a es tá e s cr it o na f or m a e s ca lo nad a:  S e o n úm er o de e q ua çõ es é ig u a l ao n ú me ro d e i n cóg n it as o s is t em a é p o s sí ve l e
det ermi n a do .  S e o nú m er o d e equ açõ es é men o r que o nú m er o de in có gn it as o s is t em a é po s sí ve l e i n d et er mi nad o .  S e o n úm er o de eq u a çõe s é mai o r que o núm er o de i n c óg nit a s o s i s tem a é i mp o s sí ve l . 5
 PARTE A 
1) Assinale das equações abaixo, quais são lineares: a) 2x + y = 3 ( 2
d) x – y = 1 ( ) b) 2x – y + z= 6 ( ) c) xy = 9 ) e) 2xy – yz= 6 ( ) f) ( ) 2 x – y = 1 ( ) 2) Verifique quais das ternas ( 7, 3, 2), ( 0, 1, 2), ( 4, 0, 2), e ( 5, 1, 0) representam soluções da equação linear x – 2y + z = 3 3) Resolva os seguintes sistemas lineares:  x + y = 5

 2x - 3 y = - 5
a)  x - 3y = - 1
 3x + y = 7
b) 
 2x + 3y = 1
 5x + 7y = 3
 2x + 3y = 12
 3x - 4y = 1
c) 
d) 
4) O que são sistemas equivalentes? Resolva por meio do escalonamento os sistemas a seguir (5 até 10). Use a notação matricial, lembrado de expressar ao final o conjunto solução e a classificação de cada sistema.  x + y = 5
 2x - 3 y = - 5
6) 
 x + 3y = 2
 3x + 9y = 6
9) 
5) 
8) 
 x - 3y = - 1
 3x + y = 7
7) 
 2x + 4y = - 6
- 4x - 8y = 12
 x + 3y = 2
 3x + 9y = 6
10) 
 x + 3y = 2
 3x + 9y = 1
Resolva os sistemas escalonados a seguir (11 até 14), expressando ao final de cada item, o conjunto solução e a classificação. 2x 
11) 


13) y + 3z = 12
y + z = 4  x - 2 y + 3z = 12

y + z = 4 12) 

- 3z = 6

14) 
- 4z = - 4
 x - 2 y + 3z = 12

y + z = 4

 x + 2 y - 3z = 10
y - 2z = 4

Resolva por meio do escalonamento os sistemas a seguir (15 até ). Use a notação matricial, lembrado de expressar ao final o conjunto solução e a classificação de cada sistema. 2x - y + 3z = 12

15)  x - y + z = 4 3x  2 y - 4z = - 4

 x + y + z = 2

17) 3x - 2y + z = - 3 4x - y + 2z = 4

 x  4y  3z = 1

16) 2x  5y  4 z = 4  x - 3y - 2 z = 5

 x  2y  3z = 1

18) - 2x  3y  z = 4  - x  5y  4 z = 5

6
 - x  y
 x  2y

19) 
 x - 4y
 2x  7y
+ z = 2
- 2z = 0
+ 10z = 6
 x
 x

20) 
2x
3x
- 5z = 2
+ y + z + t = 2
- y - 2z - 3t = 5
+ y - 3z + t = -9
- y -
z + t = -6
21) D e ter m ine o v a lor de a par a qu e o s is te ma  x + y = 2
t en h a u ma ú n ic a s o lu ç ão. 
3x + 3y = a
 x + 2y = 3
é: 2x + k y = 2
22) Determine para quais valores de k o sistema 
a) possível e determinado; b) possível e indeterminado e; c) impossível.  PARTE B 
2x  y  3
23) (PUCRS 2014) O sistema 
pode ser apresentado como  x  2y  4
 2 1  x  3 
a) 
       1 2   y   4 
 1 2   x   3 
b) 
       2 1  y   4 
 1 2   x   3 
c) 
       1 2   y   4 
 2 1   x   3 
d) 
       1 2   y   4 
 2 1  x  3 
e) 
       1 2   y   4 
24) (UEA 2014) Na era do real, o brasileiro nunca guardou tantos recursos na poupança quanto no mês de junho de 2013. Nesse mês, a caderneta captou R$ 9,5 bilhões líquidos (depósitos menos saques), um recorde mensal na série do Banco Central, iniciada em 1995. Sabendo que, nesse mês, a metade do valor total depositado mais 2
do valor total sacado foi igual a R$ 100,6 bilhões, pode-se concluir que o valor total depositado na poupança 5
em junho de 2013 foi, em bilhões de reais, igual a a) 112,5. b) 108. c) 106,5. d) 116. e) 98. 25) (UEMG 2014) Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal. A tabela a seguir referese ao faturamento da empresa nos meses de agosto e setembro: 7
Faturamento mensal
Faturamento mensal
com colchão de solteiro com colchão de casal (?) (?) Metade do valor faturado Um terço do valor em agosto faturado em agosto AGOSTO SETEMBRO
TOTAL R$ 8 320,00 R$ 3 200,00 Cada colchão de solteiro custa R$ 320,00, e cada colchão de casal custa R$ 480,00. A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a a) 6. b) 8. c) 10. d) 11. 26) (G1 - EPCAR (CPCAR) 2013) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1
da quantia de Pitágoras. 4
Dessa forma, é correto afirmar que: a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. b) Pitágoras possui hoje, 2
do que Tales possui. 3
c) Tales possui hoje, mais que 220 reais. d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais. 5x  4y  2  0
27) (UFRGS 2013) O sistema de equações 
possui: 3x  4y  18  0
a) nenhuma solução. b) uma solução. c) duas soluções. d) três soluções. e) infinitas soluções. 28) (UEPA 2012) Em um Shopping Center, uma pessoa verificou o valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela abaixo: Samba Forró Loja A R$ 18,00 R$ 21,00 Loja B R$ 17,00 R$ 20,00 Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD do gênero samba e y unidades de CD do gênero forró, na loja A, ela gastaria R$ 138,00. Mas, se ela comprasse as mesmas quantidades de CDs x e y na loja B ela gastaria R$ 131,00. Então a soma x  y é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 29) (G1 - UTFPR 2012) Num jogo de decisão de campeonato, os preços dos ingressos num estádio de futebol eram: arquibancada R$25,00 e geral R$10,00. A renda, com a venda desses dois tipos de ingressos, foi de 8
R$48.200,00. Sabendo que todos os ingressos foram vendidos e que o número de ingressos da arquibancada equivale a 2
do número de ingressos da geral, determine quantos ingressos da arquibancada foram vendidos. 5
a) 1024. b) 964. c) 1824. 2
d) 2410. 2
e) 890. x
30) (ESPM 2012) Sendo x e y números reais e (3x + 2y) + (x – 2y + 8) = 0, o valor de y é: a) 1
9
b) 1
8
c) –8 d) 9 e) 8 31) (UNISINOS 2012) Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2 camisas e pagou R$240,00. Roberto comprou 2 calças e 3 camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente? a) 70 e 95. b) 75 e 90. c) 80 e 85. d) 85 e 80. e) 90 e 75. 32) (UFPR 2012) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 25 centavos, totalizando R$ 3,25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? a) 6. b) 8. c) 9. d) 10. e) 12. 33) (EPCAR (AFA) 2011) Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. • Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5 reais. • Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4 reais. • Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou k reais. Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu, é correto afirmar que a) o guaraná custou o dobro da esfirra. b) os três amigos, juntos, consumiram 16 reais. c) cada esfirra custou 2 reais. d) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu. kx + 4ky = 0 , k  R , considere as afirmações I, II e III abaixo. 3x  ky = 8
34) (MACKENZIE 2011) Relativas ao sistema 

I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k. II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. III. É impossível para um único valor de k. Dessa forma, a) somente I está correta. b) somente II e III estão corretas. c) somente I e III estão corretas. d) somente III está correta. e) I, II e III estão corretas. 9
2x  y  5
35) (ESPECEX (AMAN) 2011) Para que o sistema linear 
seja possível e indeterminado, o valor de ax  2y  b
a  b é: a) –1 b) 4 c) 9 d) 14 e) 19 36) (FGV 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:  x  3y  m

2x  py  2
Será impossível quando: a) Nunca b) p ≠ –6 e m = 1 c) p ≠ –6 e m ≠ 1 d) p = –6 e m = 1 e) p = –6 e m ≠ 1  PARTE C 
37) (FGV 2014) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$ 100.000,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ 60.000,00. O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: a) R$ 10 000,00 b) R$ 15 000,00 c) R$ 20 000,00 d) R$ 25 000,00 e) R$ 30 000,00 38) (UEL 2014) Uma padaria possui 3 tipos de padeiros, classificados como A, B e C. Essa padaria é bem conhecida na cidade pela qualidade do pão francês, da baguete e do pão de batata. Cada padeiro do tipo A produz, diariamente, 30 pães franceses, 100 baguetes e 20 pães de batata. Cada padeiro do tipo B produz, diariamente, 30 pães franceses, 70 baguetes e 20 pães de batata. Cada padeiro do tipo C produz, diariamente, 90 pães franceses, 30 baguetes e 100 pães de batata. Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C são necessários para que em um dia a padaria produza, exatamente, 420 pães franceses, 770 baguetes e 360 pães de batata? Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. 39) (UEPG 2013) Se Bruna der 6 reais a Ana, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Carla perder 2 reais, ficará com a mesma quantia que tem Ana. Se Bruna perder um terço do que tem, ficará com a mesma quantia que tem Carla. Nesse contexto, assinale o que for correto. 01) As três juntas têm mais de 50 reais. 02) Ana tem menos de 20 reais. 04) Carla tem mais de 15 reais. 08) Bruna tem mais do que Ana e Carla juntas. 40) (UPE 2013) Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa? a) 5 reais b) 8 reais c) 10 reais d) 15 reais e) 24 reais 10
41) (UNIOESTE 2013) Sabe-se que x, y e z são números reais. Se (2x  3y  z)2  (2y  x  1)2  (z  3  y)2  0, então x  y  z é igual a a) 7. b) 6. c) 5. d) 4. e) 3. 42) (ESPECEX (AMAN) 2012) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. Assim, o valor numérico da expressão x  y  z é a) 2 b) 1 c) 2 d) 5 e) 10 43) (UFG 2012) Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola. As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir. Tipo de Cereais Frutas Castanhas Light 80 10 10 Simples 60 40 0 Especial 60 20 20 granola/ingredientes O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e 2 kg de castanhas. Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível. 44) (UNESP 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de a) 3.767,00. b) 3.777,00. c) 3.787,00. d) 3.797,00. e) 3.807,00. 11
45) (G1 - IFAL 2012) Analise as afirmativas abaixo. x  y  5
I. O sistema 
é possível e indeterminado. 2x  y  1
x  y  z  4

II. O sistema 2x  3y  z  5 é possível e determinado.  x  2y  2z  7

2x  y  5
III. O sistema 
é impossível. 4x  2y  10
Marque a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) Apenas I é falsa. e) Apenas III é falsa.  x  y  az  1

46) (UFSJ 2012) A respeito do sistema 3x  y  2z  6 é CORRETO afirmar que: 2x  2y  2z  b

a) se a  1, o sistema tem solução única. b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções. c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução. d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções. 47) (UFTM 2011) Seja o sistema linear nas variáveis x, y e z:  x  y  mz  0

x  y  z  0
2x  my  z  0

a) Determine os valores do parâmetro m para que o sistema tenha apenas a solução nula. b) Resolva o sistema para m  1. 2x  2y  2z  2  0

48) (G1 - IFSC 2011) O sistema  2x  y  3z  6 é possível e determinado, quando o valor de k for:  kx  y  5z  9

a) k  3 . b) k  5 . c) k  3 . d) k  5 . e) k  0 . 49) (IBMECRJ 2010) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z  x  y  kz  1

2
 2x  k z  1  x  y  2z  0

Assinale a afirmativa correta: 12
a) para k = 1, possui mais de uma solução. b) para k = 3, não possui solução. c) para k = 2, possui infinitas soluções. d) para k = 2, não possui solução. e) para k = 2, possui uma única solução. 50) (G1 - IFSC 2012) A alternativa CORRETA que indica o valor de a para que a seguinte equação matricial admita somente a solução trivial é:  4 8 a x 0

   
 1 2 1   y    0   6 0 2 z  0

   
a) a 
10
3
b) a 
20
3
c) a  
20
3
d) a 
20
3
e) a 
10
3
 RESPOSTAS – PARTES B e C 
23) Alternativa A. Solução:
Decompondo o sistema num produto matricial, temos: 2x  y  3
 2 1  x  3 


       x  2y  4
 1 2   y   4 
24) Alternativa D. Solução: Considerando x o valor depositado e y o valor sacado, temos o seguinte sistema:  x  y  9,5
 x  y  9,5


 x 2y


100,6
5x  2y  1006
 2 5
Multiplicando a primeira equação por 4 e somando com a segunda, temos 9x  1044  x  116. Portanto, x = 116 bilhões. 25) Alternativa B. Solução: Sendo x o faturamento para o mês de agosto para colchão de solteiro e y o faturamento para o mês de agosto para colchão de casal, tem o seguinte sistema:  x  y  8320

x y
 2  3  3200
Resolvendo o sistema temos x  2560, portanto o número de colchões vendidos em agosto será dado por 2560 : 320  8. 26) Alternativa A. Solução: Pitágoras possui p reais e Tales possui t reais. Temos, então, o sistema abaixo:  p  50  t  50


p  100  t  100 
4

Resolvendo o sistema, temos t = 200 e p = 300. Portanto, a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. 13
27) Alternativa B. 5 4
, segue que o sistema é possível e determinado, ou seja, possui uma solução. Solução: Como 
3 4
28) Alternativa B.
Solução: Com as informações do problema, podemos escrever o seguinte sistema linear: 18x  21y  138 (i)

17x  20y  131 (ii)
Fazendo (i) – (ii), temos: x + y = 7. 29) Alternativa B.
Solução: x é o número de ingressos na arquibancada e y o número de ingressos na geral. Podemos escrever o sistema:  x.25  y.10  48200 (I)


2
5x
 x  5 y  y  2 (II)

substituindo (II) em (I), temos:
25x + 10 
5x
 48200
2
50x  48200
x  964
Portanto foram vendidos 964 ingressos da arquibancada. 30) Alternativa A. Solução:Para que a soma dos quadrados de dois números reais seja zero, será necessário que estes dois números sejam iguais a zero. 3x + 2y = 0
 x  2y  8 = 0 
x
-2
Resolvendo o sistema temos: x = –2 e y = 3. Logo, y = 3 = 1/9. 31) Alternativa E. Solução: Preço da calça: x; Preço da camisa: y . Com as informações do problema, escrevemos o sistema.  x  2y  240

2x  3y  405
Resolvendo o sistema temos: x = 90 e y = 75 Portanto, o valor da calça será R$90,00 e o da camisa R$75,00. 32) Alternativa D. Solução:x moedas de 25 centavos; y moedas de 10 centavos e y moedas de 5 centavos. Considerando as informações do problema temos o seguinte sistema: x  2y  20

 x  2y  20.( 3)
 3x  6y  60



0,25.x

0,15y

3,25.(20)
5x

3y

65.(2)


10x  6y  130
Resolvendo o sistema por adição, temos: 7x = 70, assim x = 10 . 33) Alternativa C.
Solução: Vamos considerar x o preço do guaraná e y o preço da esfirra. 14
 x  2y  5

4x  2y  8
Somando as equações, temos: - 3x = - 3 o que leva a x = 1 e y = 2. Logo, o preço de cada esfirra é de R$2,00. 34) Alternativa B.
Solução: k 4k
 0  k 2  12k  0  k  0 e k  12 (o sistema possui solução única) 3 k
0  0  0
8
Se k = 0 temos 
 x  e y pode ser qualquer real, logo o sistema possui infinitas soluções. 3
 3x  8
12x  48y  0(: 4)
3x  12y  0
Se k = 12 temos 

(sistema impossível)  3x  12y  8
3x  12y  8
I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções. III) Verdadeira, é impossível se k = 12 35) Alternativa D. Solução: Para que o sistema seja possível e indeterminado, deve-se ter 2 1 5
   a  4 e b  10. a 2 b
Por conseguinte, a  b  4  10  14. 36) Alternativa E. Solução:
Se D = 0  SPI ou SI 1 3
 0   p  6  0  p  6 2 p
 x  3y  m
Fazendo p = -6, temos: 
2 x  6 y  2
Resolvendo temos 0 = -2m + 2 Logo, o sistema será SI quando – 2m + 2 for diferente de zero, ou seja, quando m  1. 37) Alternativa A. Solução:Sejam a, b e c, respectivamente, as quantias com que os sócios A, B e C entraram na sociedade. Tem-se que a  b  c  100000
a  2a  a  60000  100000


b

2a


b  2a
c  a  60000
c  a  60000


a  10000

 b  20000.
c  70000

Portanto, o resultado é | a  b |  | a  2a |  a  R$ 10.000,00. 38) Solução: Sejam a, b e c, respectivamente, o número de padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C. Temos 15
30a  30b  90c  420

100a  70b  30c  770
20a  20b  100c  360

a  b  3c  14

10a  7b  3c  77
a  b  5c  18

a  b  14  3c

10a  7b  3c  77
2c  4

a  b  8

10a  7b  71
c  2

a  5

b  3.
c  2

Portanto, são necessários 5 padeiros do tipo A, 3 padeiros do tipo B e 2 padeiros do tipo C. 39) Resposta: 01 + 02 + 04 = 07. Solução: Considerando b o valor que Bruna possui, a o valor que Ana possui e c o valor de Carla, seguindo as orientações do problema, temos o sistema: 
b  6  a  6

 a  c  2 , resolvendo o sistema, temos: a = 18, b = 30 e c = 20 
3c
 b
2

[01] Verdadeira, pois 18 + 30 + 20 > 50. [02] Verdadeira, pois Ana tem 18 reais. [04] Verdadeira, pois Carla tem 20 reais. [08] Falsa, pois 30 < 18 + 30. 40) Alternativa D. Solução: Sejam x, y e z, respectivamente, os preços unitários das margaridas, lírios e rosas. De acordo com as informações, obtemos o sistema  4x  2y  3z  42

 x  2y  z  20
 2x  4y  z  32

 x  2y  z  20

4x  2y  3z  42
 2x  4y  z  32

 x  2y  z  20

 6y  z  38 
 z  8

x  2

 y  5.
z  8

Portanto, o resultado pedido é x  y  z  2  5  8  R$ 15,00. 41) Alternativa D. Solução: Para que a soma de quadrados seja zero, devemos ter: 2x  3 y  z  0

 2y  x  1  0  z3y  0

Resolvendo o sistema temos: x  0, y  1 2 e z  7 2. Logo, x  y  z  4. 16
42) Alternativa A. Solução: De acordo com o enunciado, segue que  x  y  5  24

 y  z  15  24
 x  z  10  24

 x  y  19

y  z  9 .  x  z  14

Tomando a matriz ampliada do sistema, vem  1 1 0 19 


 0 1 1 9 .  1 0 1 14 


Somando a 3ª linha com a 1ª multiplicada por 1, obtemos 1 1

0 1
 0 1

0 19 

1 9 . 1  5 
Somando a 3ª linha com a 2ª multiplicada por 1, encontramos  1 1 0 19 


 0 1 1 9 . 0 0 2 4 


Assim, z  2, y  7 e x  12. Portanto, segue que x  y  z  12  7  2  2. 43) Solução: Considerando: x a quantidade de porções de 100g de granola light y a quantidade de porções de 100g de granola simples e z a quantidade de porções de 100g de granola especial Temos o seguinte sistema: 80x  60y  60z  18000

 10x  40y  20z  6000  10x
 20z  2000

Resolvendo o sistema temos x = 120, y = 100 e z = 40, logo 12 kg de granola light, 10 kg de granola simples e 4 kg de especial. 44) Alternativa C.
Solução:
Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema:  y  z  1288

 x  y  3698  x  z  2588

Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y + z = 3.787. 45) Alternativa B.
Solução:
x  y  5
[I] Falsa, pois o sistema 
admite um a única solução com x = 2 e y = 3. 2x  y  1
17
x  y  z  4

[II] Verdadeira, pois o sistema 2x  3y  z  5 admite uma única solução com x=1, y=2 e z=–1.  x  2y  2z  7

2x  y  5
2x  y  5

[III] Falsa, pois 
(sistema possível e indeterminado). 4x

2y

10

 00 0
46) Alternativa A.
Solução: Calculando o determinante dos coeficientes, temos: 1 1 a
D  3 1 2  6a  6 2 2 2
Se 6a  6  0 o sistema será possível e determinado, logo se a  1 o sistema terá solução única. 47) Solução: a) Para que o sistema linear homogêneo tenha apenas a solução trivial, deve-se ter 1 1 m
1 1
2 m
1  0   1  2  m2  2m  m  1  0
1
 m2  m  0
 m  0 e m  1,
 1 1 1
b) Para m  1, temos que a matriz dos coeficientes é  1 1 1 . Aplicando as operações elementares sobre 2 1 1
essa matriz, encontramos: L '2  ( 1)  L1  L 2
L '3  ( 2)  L1  L3
1 1 
1
0 2 2


0 3 3 
 1
L ''2      L '2
 2
1 1 1 
0 1 1


0 3 3 
L ''3  3  L ''2  L '3
1 1 1 
0 1 1 .


0 0 0 
x  y  z  0
Desse modo, o sistema 
é equivalente ao sistema dado e seu conjunto solução é yz 0

S = { (0, , ) /   R }. 48) Alternativa D.
Solução: O determinante dos coeficientes deverá ser diferente de zero. 18
2 2 2
2 1 3  0  10  6k  4  2k  6  20  0  4k  20  k  5 k 1 5
49) Alternativa D.
Solução:
1 1 k
2 0 k 2  0  2k  4  0  k  2 1 1 2
Fazendo k = 2, temos:  x  y  2z  1

 2 x  4 z  1 x  y  2z  0

Observado a primeira e terceira equações, entendemos que para k = 2 o sistema é impossível. 50) Alternativa D.
4 8 a
Solução: Para que a equação matricial acima admita somente a solução trivial, o determinante 1 2 1 deverá 6 0 2
ser diferente de zero. Calculando o determinante, teremos a seguinte desigualdade: 16  0  48  12  a  16  0  0 12  a

a

a

 80
80
12
20
3
19