 RESUMO TEÓRICO 
 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
a
nus
ote
p
i
H
Cateto
Oposto a

Cateto Adjacente a
sen α 
Cateto Oposto a α
Hipotenusa
cos α 
Cateto Adjacente a α
Hipotenusa
tg α 
Cateto Oposto a α
Cateto Adjacente
Ângulos Notáveis

30o
45o
60o
sen 
1
2
3
2
cos 
3
2
2
2
2
2
tg 
3
3
1
1
2
3
 ATIVIDADES 
 PARTE A 
1) Em cada item determine o valor das incógnitas indicadas.
a)
d)
b)
c)
e)
1
2) (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da
pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
3) (G1 - CFTMG 2013) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado
pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A
ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado
em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C.
Dados:
α
30°
45°
60°
1/2
sen α
2/2
3 /2
cos α
3 /2
tg α
3 /3
2/2
1
1/2
3
Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por
a)
1
AC.
3
b)
1
AC.
2
c)
3
AC.
2
d)
3 3
AC.
3
4) (G1 - IFPE 2012) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso
ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B,
distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de
precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBA que mede
37º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros:
a) 60
b) 65
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75
c) 70
d) 75
e) 80
2
5) (G1 - IFBA 2012) Um atleta do IFBA se desloca com velocidade de 10 km/h ao longo da reta OP, que forma um
ângulo de 30° com a reta Ox, partindo do ponto O. Após 3 horas, qual a distância do atleta até a reta Ox?
a) 30 km
b) 15 km
c) 15 3 km
e) 7,5 3 km
d) 5 3 km
6) (PUCRS 2012) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito,
instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio.
De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore
no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é
a)
100 3
3
b)
100 3
2
c) 100 3
d)
50 3
3
e) 200
7) (UEL 2011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1 , um barco ancorado no horizonte
norte na posição B. Nesta posição P1 , o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90°, como mostrado
na figura a seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da posição P2 .
Neste novo ponto de observação P2 , o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 45°.
Qual a distância P2B aproximadamente?
a) 1000 metros
b) 1014 metros
c) 1414 metros
d) 1714 metros
e) 2414 metros
3
8) (G1 - IFSC 2011) Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o
Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em
alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para
energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e
situação de alerta – etapa imediatamente anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns
trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
(Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-do-rioamazonasdiminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.)
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento
forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então,
podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi de...
Dados:
Seno Cosseno Tangente
0º
45º
60º
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
3
a) 60 3 metros.
b) 40 3 metros.
c) 120 metros.
d) 20 3 metros.
e) 40 metros.
9) (UEMG 2010) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do
ângulo A F̂ B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a
a) 200 3.
b) 100 2.
c) 150 3.
d) 250 2.
10) (UNESP 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a
construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos
fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a
construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura
representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do
estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de 45°.
Nestas condições e considerando 2  1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do
comprimento desta rampa de acesso?
4
 PARTE B 
11) (G1 - UTFPR 2013) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em
um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa
da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um
ângulo máximo de 30° é, em metros, de:
(Considere: sen 30° 
a) 0,8 3.
1
3
3
)
, cos 30° 
e tg 30° 
2
2
3
c) 1,2 3.
b) 2,4.
d) 0,6 3.
e) 0,6.
12) (G1 - UTFPR 2012) Uma escada rolante de 6 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem
inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.
Use os valores: sen 30  0,5, cos 30  0,87 e tg 30  0,58.
a) 3,48.
b) 4,34.
c) 5,22.
d) 5.
e) 3.
13) (G1 - IFAL 2012) Considere um triângulo retângulo, cujas medidas dos catetos são 10 cm e 10 3 cm.
Assinale a alternativa errada.
Dados: sen 30° = 0,5, cos 45° = 0,707 e sen 60° = 0,866.
a) O seno do menor ângulo agudo é 0,707.
b) O cosseno do menor ângulo agudo é 0,866.
c) O seno do menor ângulo agudo é 0,5.
d) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60°.
e) O menor ângulo agudo desse triângulo mede 30°.
14) (G1 - IFSC 2011) A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um
cat. oposto
cat. oposto
cat. adjacente
triângulo retângulo, sabemos que senθ 
, cos θ 
e tgθ 
. Considere o
cat.adjacente
hipotenusa
hipotenusa
triângulo abaixo e as proposições I, II e III.
I. o ΔABC é retângulo em B.
II. cos   0,8
III. sen   tg  
32
15
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
15) (G1 - CFTSC 2008) Um menino está empinando uma pipa e sua mão se encontra a 50 centímetros do chão.
Sabendo que a linha que sustenta a pipa mede 100 m, encontra-se bem esticada e está determinando com o solo
°
plano e horizontal um ângulo de 30 , pode-se afirmar que a altura dessa pipa em relação ao chão é:
°
°
Dados: sen30 = 0,5; cos30 =
a) 200 m.
b) 50 m.
c) 200,5 m.
 3  ; tg30 =  3 
°
2
3
d) 50,5 m.
e) 50 3 m.
5
 PARTE C 
16) (UNESP 2007) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade
constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.
°
Use a aproximação sen 3 = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer
completamente a rampa é
a) 2,5.
b) 7,5.
c) 10.
d) 15.
e) 30.
17) (ENEM 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite
do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando
agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca,
Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após
o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o
avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no
mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
18) (ESPM 2010) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um
edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício,
esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura
desse edifício é de aproximadamente:
a) 59 m
b) 62 m
c) 65 m
d) 69 m
e) 71 m
19) (UEPG 2013) Num instante t1, um avião é visto por um observador situado no solo sob um ângulo de 60° e,
no instante t 2 , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta horizontal a uma altitude de 5 km,
assinale o que for correto.
01) No instante t1, a distância entre o observador e o avião é 10 3 km.
02) No instante t 2 , a distância entre o observador e o avião é 10 km.
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e t 2 é maior que 5 km.
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e t 2 é menor que 4 km.
6
20) (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia.
Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto
P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo   30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia
percorrido a distância AB  2000 m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância
do barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m .
b) 1000 3 m .
c) 2000
3
m.
3
d) 2000 m .
e) 2000 3 m .
 PARTE D 
21) (G1 - IFSP 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é perpendicular a BD,
AH  5 3 cm e θ  30. A área do retângulo ABCD, em centímetros quadrados, é
a) 100 3.
b) 105 3.
c) 110 3.
d) 150 2.
e) 175 2.
22) (UFPB 2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa.
No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de
comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme
ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
a)
2m
b) 2 2 m
c) 3 2 m
d) 4 2 m
e) 5 2 m
7
23) (G1 - CFTMG 2010) Em um setor circular de raio r foram traçados os triângulos ADO e BEO, conforme figura
a seguir.
A soma dos segmentos AD,DB,BE, e CE é igual a:
a)
r
2
b) r
c)
2r
3
d) 2r
24) (MACKENZIE 2013)
Se na figura, AD  3 2 e CF  14 6, então a medida de AB é
a) 8 6
b) 10 6
c) 12 6
d) 28
e) 14 5
25. (UFPR 2013) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5
cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal,
em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar?
a) 75°.
b) 60°.
c) 45°.
d) 30°.
e) 15°.
26) (FUVEST 2012) Na figura, tem-se AE paralelo a CD , BC , paralelo a DE , AE  2 ,   45º ,   75º .
Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a
a)
3
b)
2
c)
3
2
d)
2
2
e)
2
4
8
27) (G1 - CPS 2010) Ter condições de acessibilidade a espaços e equipamentos urbanos é um direito de todo
cidadão. A construção de rampas, nas entradas de edifícios que apresentam escadas, garante a acessibilidade
principalmente às pessoas com deficiência física ou com mobilidade reduzida. Pensando nisso, na entrada de
uma ETEC onde há uma escada de dois degraus iguais, cada um com 15 cm de altura, pretende-se construir uma
o
rampa para garantir a acessibilidade do prédio a todos. Essa rampa formará com o solo um ângulo de 3 ,
conforme a figura.
Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa será, em metros,
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
28) (ENEM 2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3km x
2km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto
inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em
repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a
figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João
corresponde, aproximadamente, a
(considere
a) 50%.
b) 43%.
3
= 0,58)
3
c) 37%.
d) 33%.
e) 19%.
29) (ENEM 2009 – Cancelado) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a
forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura.
Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2 3 m e que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo.
Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de
2
a) 12  m .
2
b) 108  m .
2
c) (12 + 2 3 )2  m .
2
d) 300  m .
2
e) (24 + 2 3 )2  m .
9
30) (FATEC 2005) De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é possível
°
°
enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45 e 60 , conforme é mostrado na figura a seguir.
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície
da Terra, é
a) 30 - 15 3
b) 30 + 15 3
c) 60 - 30 3
d) 45 - 15 3
e) 45 + 15 3
 RESPOSTAS / SOLUÇÕES 
1) a) x  20cm e y  20 3cm
d) z 
100 3
200 3
cm e w 
cm
3
3
c) x 
b) y  50 3cm
20 3
40 3
m ey 
m
3
3
e) z  60 o
2) Alternativa A.
Solução:
h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
tan 15 
h
 h  3,8  tg 15
3,8
3) Alternativa C.
No triângulo ABC, assinalado na figura, temos: sen60 
AB
 AB  AC  sen60  AB 
AC
3  AC
2
4) Alternativa D.
Solução:
tg (37°) = 0,75
AC
 0,75
100
AC  75m
10
5) Alternativa B.
Solução: Após três horas o atleta terá percorrido 30 km, já que sua velocidade é de 10 km/h. No triângulo
assinalado, temos:
sen30 
d
1
d
 
 d  15km
30
2 30
6) Alternativa C.
Solução: O resultado pedido é dado por tg60 
7) Alternativa C.
Solução: Seja P2B  x , então,
cos 45 o 
y
 y  100 3 m.
100
1000
x
x = 1414
8) Alternativa B.
Solução:
sen60o 
60
AB
3
60

2
AB
120
AB 
3
AB  40 3m
9) Alternativa A.
Solução: tg 30o =
x
3
 x  600.
 x  200. 3m
600
3
11
10) Solução:
Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m.
11) Alternativa B.
Solução:
No triângulo assinalado, temos:
12) Alternativa E.
sen 30  
1,2
1 1,2


 x  2, 4
x
2
x
Solução:
Sendo h = altura entre os dois andares, temos:
sen30 
h
6
h
6
h3m
0,5 
13) Alternativa A.
Solução:

a2  102  10 3

2
 a  20
12
senα 
10 1
  α  30
20 2
10 3
3

 β  60
20
2
Logo, a alternativa errada é a [A], “O seno do menor ângulo agudo é 0,707”.
senβ 
14) Alternativa C.
Solução:
I. (V) - Observar o desenho.
6
II. (F) - cos(Â) 
 0,6 ;
10
III) (V) - sen   tg  
15) Alternativa D.
8 8 4 4 32
   
;
10 6 5 3 15
16) Alternativa A.
17) Alternativa C.
Solução:
Com o triângulo isósceles ABC temos a medida AC = 3,7. É possível aplicar Pitágoras no triângulo pintado ou
somente utilizar relação trigonométrica básica, sendo H a altura procurada:
tg 60 o 
3
H
1,8
H
1,8
H  3,1
18) Alternativa E.
Solução:
x
3
 x  80.
 40.1,73  69,3m
80
2
h  69,2  1,8  71m
sen60 o 
13
19) Resposta: 02 + 04 = 06.
Solução:
[01] Falsa, pois sen 60 
5
3 5
10 3

 y
km.
y
2
y
3
5
1 5
   x  10 km.
x
2 x
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z = y > 5.
[02] Verdadeira, pois sen30 
[08] Falsa, pois z = y > 5.
20) Alternativa B.
Solução:
ΔABP é isósceles (AB  BP  2000)
No ΔPBC temos:
sen60o 
d
2000
3
d

2
2000
d  1000 3 m
21) Resposta: Alternativa A.
Solução:
5. 3
 AD  10. 3
AD
5. 3
no ΔAHB  cos30 
 AB  10
AB
no ΔAHD  sen30 
Portanto a área do retângulo ABCD será dada por:
A  10. 3.10  100 3
14
22) Alternativa B.
Solução:
x 2  x 2  22
o
sen 30 =
2
 L  2. 2
L
x 2
23) Alternativa D.
Solução:
Os triângulos OAD e OBE são congruentes pelo caso ALA.
Considerando o triângulo OAD como “metade” e um triângulo equilátero, temos:
r 3
2
r r
BD  r  
2 2
r
BE  OD 
2
AD 
r 3
2
Somando AD  BD  BE  CE  2r
CE  r  OE  r  AD  r 
24) Alternativa C.
Considerando que o quadrilátero ABCF é um trapézio isósceles, temos:
No triângulo ACD: tg60 
3 2
3 2
 3
 CD  6 e EF  6.
CD
CD
Logo, AB  DE  14 6  6  6  12 6.
25) Alternativa D.
Solução:
senα 
5
 α  30
10
15
26) Alternativa A.
Solução:
No triângulo destacado, temos:
sen60o 
d
2
3 d

2
2
d 3
27) Alternativa A.
Solução:
30
30
 0,05 
 0,05x  30  x  600 cm
x
x
Logo, o comprimento da rampa será 600 cm = 6 m.
Na figura, temos: sen3o 
28) Alternativa E.
Solução:
No triângulo assinalado (João) temos:
x
3
x2
 2.0,58  1,16
2
3
1,16.2
A
 1,16
2
1,16
Em porcentagem
 19%
6
tg 30 o 
16
29) Alternativa B.
Solução:
tg 30 o 
x
 x4 3
12
r = 4 3  2 3  6 3 , logo a área da tampa será:
A =  .(6 3 ) 2  108 m 2
30) Alternativa D.
17