Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º Ano
Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema –
do português para a equação, dedução de fórmulas
MATEMÁTICA, 7º Ano
Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do
Português para a equação, dedução de formulas.
Um dos objetivos do Ensino Fundamental é:
“Utilizar as diferentes linguagens , verbal, musical, matemática, gráfica,
plástica e corporal , como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias,
interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados,
atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação.”(PCN, terceiro e quarto
ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 7,1998).
“Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a
resolução de problemas que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto
de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e
aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante
a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las.” (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática,
página 40,1998).
“Um dos objetivos da matemática para o terceiro ciclo do pensamento algébrico
é reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre
propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as
possíveis soluções.” (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 64,1998)
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Português para a equação, dedução de fórmulas.
BRINCADEIRA ENTRE AMIGOS
João chamou seu amigo Tiago para brincar
de escrever de maneira mais curta, ou seja,
resumida, frases em linguagem corrente.
Logo, Tiago perguntou: - Mas como vamos
fazer isso? Vamos diminuir o número de
palavras?
João responde: - Vamos utilizar
seguintes símbolos matemáticos:
os
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Símbolos matemáticos
Algarismos
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sinais de operação
+ - . : √
Sinais de comparação
= > < ǂ ≥ ≤
Sinais de agrupamento
() [] {}
João completa dizendo: - Caso nas frases
apareçam
números
desconhecidos,
representaremos por qualquer letra do
nosso alfabeto: a, b, c, d, ..., x, y, z.
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João diz: - Vou escrever em uma tabela as frases em
linguagem corrente, e você, Tiago, as reescreve utilizando
os símbolos matemáticos.
Linguagem corrente
Frase utilizando símbolos
Um número qualquer menos nove.
4 + 6 = 10
2 . 7 = 14
11 > 8
x - 9
O triplo de um número mais 2 é
igual a dezessete.
3b
Quatro mais seis é igual a dez.
Duas vezes sete é igual a catorze.
Onze é maior que oito.
A diferença entre dois números é
maior ou igual a seis.
+
2 = 17
c - d≥6
Treinar mais: http://www.pam.lusopt.info/linguagem/linguagem.htm
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- Parabéns, Tiago! Disse João, orgulhoso.
Agora,
observe
outras
expressões
matemáticas, ou seja, frases escritas
utilizando símbolos matemáticos.
5+4
8 : (2 + 4)
2³ . 7
3x + y
3.(a + b)
b-3
2
x+x
x+y
2c + 5
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João questiona: - Tiago, como eu
sei que você é um excelente
observador, quero saber se algo
lhe chamou a atenção nas
expressões apresentadas. É, João,
já ia comentar com você que havia
observado algo muito interessante.
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O que chamou a atenção de Tiago?
Reposta de Tiago:
Algumas expressões eram compostas por NÚMEROS e sinais de
operação (algumas apresentavam ainda sinais de agrupamento):
5+4
2³ . 7 8 : (2 + 4)
Outras expressões eram compostas por NÚMEROS, LETRAS e sinais
de operação (algumas apresentavam ainda sinais de agrupamento):
3.(a + b) 2c + 5 3x + y
b-3
2
E havia expressões com LETRAS e sinais de operação:
x+x
x+y
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João resume:
Expressões que
Expressões que
contêm números e contêm NÚMEROS
letras são chamadas são chamadas de
de EXPRESSÕES
EXPRESSÕES
ALGÉBRICAS OU
NUMÉRICAS OU
LITERAIS.
ARITMÉTICAS.
Procurar no dicionário o significado das palavras literal, algébrico, aritmética.
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Tiago fala para João, entusiasmado:
Lembrei-me de algumas expressões vistas
anteriormente e acabo de observar algo que
me parece interessante.
11 > 8
4 + 6 = 10
c–d≥6
3b + 2 = 17
Posso dizer que essas expressões
são verdadeiras.
Já essas não posso classificar
como verdadeiras nem falsas.
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Muito bem!!! - Disse João, orgulhoso do amigo. E
esclareceu:
- Uma expressão matemática que podemos
classificar como verdadeira ou falsa é denominada
SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA.
EXEMPLOS:
SENTENÇAS VERDADEIRAS
11 > 8
4 + 6 = 10
SENTENÇA FALSA
2 . 7 = 15
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- Uma expressão matemática que NÃO podemos
classificar como verdadeira ou falsa é denominada
SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA.
EXEMPLOS:
3b + 2 = 17
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO
VALOR ATRIBUÍDO A b.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO
DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x E A y.
c–d≥6
x + y ǂ 10
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES
ATRIBUÍDOS A c E A d.
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João completa, dizendo:
- Observe que as sentenças ou preposições
matemáticas estabelecem uma relação de
igualdade ou de desigualdade.
11 > 8
4 + 6 = 10
c–d≥6
3b + 2 = 17
x + y ǂ 10
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João diz: - Tiago, observe
outra coisa interessante.
Considere a expressão:
O triplo de um
número mais dois:
3.x + 2
Complete a tabela
x
3.x + 2
Resultado
0
1
2
3 .0 + 2
3 .1 + 2
2
5
3 .2 + 2
8
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João pergunta: - Tiago, o que você pode observar
na tabela?
Antes da resposta de Tiago, o que se pode observar na tabela?
RESPOSTA:
De início, não sabemos qual é a letra x. Ela é
uma incógnita, ou seja, representa um valor
desconhecido. Em seguida, atribuímos ao x
valores variados, resolvemos as operações
indicadas e encontramos como resultado
um número, ou seja, um valor numérico.
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-É isso aí! Disse João, e explicou:
- Na expressão algébrica dada, a letra x é
chamada de INCÓGNITA ou VARIÁVEL.
- Numa expressão algébrica, quando
substituímos a incógnita por um número
qualquer e resolvemos as operações
indicadas, encontramos como resultado um
número que é denominado VALOR
NUMÉRICO dessa expressão.
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João pede para Tiago dizer qual é a(s) incógnita(s) e o
valor numérico de cada expressão algébrica a seguir.
EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
INCÓGNITA(S)
VALOR
CÁLCULO
VALOR
NUMÉRICO
2c + 5
3x+ y
3.(a + b)
b–3
2
c
xey
C=3
2.3+5
3.2+1
11
7
27
aeb
b
x=2 e y=1
a=4 e b =5
b = 15
3 . (4 + 5)
15 – 3
2
6
Pesquisar na internet: História da álgebra: François Viète (1540-1603), René
Descartes(1596-1650), copiar resumo no caderno e fazer um debate.
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João retoma o assunto sobre sentenças e diz:
- Tiago, você sabia que sentenças
matemáticas abertas que expressam uma
relação de igualdade recebem nome
“especial”?
-Qual? diz Tiago.
- EQUAÇÃO, diz João!
No dicionário, procure outros significados da palavra Equação e escreva em seu caderno.
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João mostra exemplos de equações e suas
respectivas incógnitas.
3x – 5 = 12 r² + 1 = r + 13 x – y = 10
É uma equação de
incógnita x.
É uma equação com uma
incógnita: r.
É uma equação com
duas incógnitas: x e y.
3x = 12 x + 3 = 2x - 7
x é a incógnita
da equação.
É uma equação com uma
incógnita: x.
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Não são equações:
5 + 5 = 10
Não tem a incógnita e não é uma
sentença aberta.
x + y ǂ 10
Não expressa uma igualdade.
c–d≥6
Não expressa uma igualdade.
4x + 5 > 12
Não expressa uma igualdade.
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Tiago observa : - João,
percebo que em toda
equação
existe
uma
expressão à esquerda do
sinal de igualdade (=) e outra
à direita. Isso não é curioso?
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João: - PARABÉNS, TIAGO!!! E explica:
Observe a equação 2x + 4 = 18.
2x + 4
Denomina-se
1º membro da
equação
=
18
Denomina-se
2º membro da
equação
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João diz: - Vejamos algumas
interpretações de equações.
EQUAÇÃO
2x = 16
3x – 7 = 23
a + 20 = 42
2z – 1 = z + 1
INTERPRETAÇÃO
Qual é o número cujo dobro é igual a 16?
Qual é o número cujo triplo menos 7 dá 23?
Que número se deve adicionar a 20 para obter 42?
Qual é o número cujo antecessor de seu dobro é
igual a seu sucessor?
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João continua, dizendo: - Geralmente, em uma
equação, queremos saber o valor da incógnita.
Exemplos:
1) Qual é o número que multiplicado por 5 é igual
a 35?
Tradução do português para a equação:
Chamando o número desconhecido, isto é, a
incógnita de a, temos:
5.a = 35 ou 5a = 35
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Resolvendo mentalmente o número é 7:
5 . 7 = 35
Logo, a = 7, ou seja,
7 é a solução da equação
5a = 35.
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2) Que número elevado ao quadrado é igual a 25?
Tradução do português para a equação:
Chamando a incógnita de c, temos:
c² = 25 ou c.c = 25
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Resolvendo mentalmente: Pode ser dois
números: +5 ou -5.
(+5)² = (+5) . (+5) = +25
ou
(-5)² = (-5) . (-5) = +25
Logo, c = +5 ou c = -5, ou seja, são
soluções da equação c² = 25.
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João conclui, dizendo:
Todo número que, substituindo a
incógnita, torna a equação uma
sentença verdadeira é chamado de
solução ou RAIZ dessa equação.
7 é a RAIZ da equação 5a = 35.
+5 e -5 são as RAÍZES da equação c² = 25.
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Resolver uma equação é
encontrar a(s) sua(s) raiz(es) e
verificar se ela(s) satisfaz(em) as
condições do problema que a
equação representa.
Dica de revisão do conteúdo apresentado:
Vídeo aula do Novo Telecurso, Ensino
Fundamental, Matemática, aula 51.
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João convida Tiago para resolver alguns
problemas que envolvem os conhecimentos
construídos sobre equação. (Consultar: I) Dicionário: significado
de perímetro; II) Internet: símbolo utilizado nas unidades de medidas.)
Problema 1:
a) Observe a figura:
6 cm
6 cm
Qual é o perímetro desse quadrado?
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SOLUÇÃO DADA POR TIAGO:
No quadrado, perímetro é a soma dos lados.
Chamando o perímetro do quadrado de P,
temos:
P
= 6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm
P = 4 . 6 cm = 24 cm
Note que o perímetro do quadrado é igual a 4 vezes o seu lado.
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João: -“É isso aí Tiago!!!!! . Vamos Continuar.
b) Considerando um quadrado de lado a :
a
a
Qual é o perímetro desse quadrado?
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TIAGO RESPONDE ASSIM: Considerando
P o perímetro do quadrado, temos:
P
=
a
+
a
+
a
+
a
P = 4.a = 4a
Note que o perímetro do quadrado é igual a 4 vezes o seu lado.
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Tiago diz a João:
- Observando as soluções desse
problema, posso deduzir que para
calcular o perímetro (P) de um quadrado
de lado x, basta multiplicar um lado por
4, e para isso posso utilizar a fórmula: P =
4x. - PARABÉNS ,Tiago ! Disse João,
orgulhoso.
Verificar no dicionário o significado da palavra fórmula.
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Continuando:
c) Considerando o quadrado do item
anterior:
a
a
Qual é a sua área?
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SOLUÇÃO DESENVOLVIDA POR TIAGO:
Indicando a área do quadrado por A ,
temos:
A =
a
.
A =
a
=
a²
a²
Podemos deduzir que a área do quadrado é
igual ao quadrado do lado:
Fórmula : A = a²
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Problema 2:
a) Observe
o
retângulo
dimensões b e c :
c
de
b
Qual é a área desse retângulo?
Consulta ao dicionário: qual o significado da palavra dimensões?
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SOLUÇÃO APRESENTADA POR TIAGO:
Representando a área do retângulo por
A , temos:
A =
b
A =
.
c
=
bc
bc
Deduz-se que a área do retângulo é igual
ao produto de suas dimensões:
Fórmula : A = b. c
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Finalizando, Tiago agradece a João por ter
proporcionado
essa
aventura
envolvendo
linguagem algébrica: passar uma frase em
linguagem corrente para a linguagem matemática,
ou seja, traduzir um enunciado de um problema
do Português para a equação, observar
características, classificar e calcular valores
numéricos de expressões algébricas, achar a(s)
raíz(es) de uma equação e fazer deduções de
algumas fórmulas.
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Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do
Português para a equação, dedução de fórmulas.
BIBLIOGRAFIA
-Behrens, Marilda Aparecida. O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição,
Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. –
Brasília : MEC /SEF, 1998.148 p.1
-Guelli, Oscar. Matemática: Uma aventura do pensamento. 6ª série, São Paulo, Ática, 8ª
edição, 2001.
-Giovanni, José Ruy. Aprendendo Matemática. Novo, José Giovanni Ruy, Eduardo Parente, 6ª
série, São Paulo, FTD, 2002.
-Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática, 6ª série, São Paulo, Ática, 2005.
-Bonjorno, José Roberto. Matemática: fazendo a diferença. José Roberto Bonjorno, Regina
Arenha Bonjorno, Ayrton Olivares, 1 edição, 6ª série, São Paulo, FTD, 2006.
-Bigode, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim, 6ª série, São Paulo, FTD, 2000.
Imanes, Luiz Mácio Pereira. Matemática. Imenes & Lellis, São Paulo, Scipione, 1997.
-www.somatematica.com.br
-Novo Telecurso, Ensino Fundamental, Matemática, aula 51.
-http://tvescola.mec.gov.br/