ARQUITETURA DE
COMPUTADORES
Aula 03: Sistemas de numeração
Prof. Benito Piropo Da-Rin
Sistemas de numeração
• Sistemas de Numeração: conceitos, bases de
numeração, número e numeral. Necessidade
de representação em outras bases de
numeração.
• Sistemas Decimal, binário, octal e
hexadecimal.
• Conversão entre bases: da base 10 para uma
base qualquer; de uma base qualquer para
base 10
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Sistemas de numeração:
Forma sistêmica (metódica, coerente) de usar
“numerais” (conjuntos de um ou mais
algarismos) para representar números.
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Sistemas de numeração devem:
• Representar um conjunto útil de números
(números inteiros, números relativos, números
reais, números racionais, etc.);
• Representar cada número de um único modo;
• Refletir a estrutura do número .
Há infinitas maneiras de fazer isto. Qualquer uma
que cumpra as três condições acima é válida.
51210 = DXII = 100000000002 = 20016 = 10008
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Sistemas de numeração posicionais:
• O valor de um algarismo depende de sua
posição no interior do numeral que
representa o número.
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Sistemas de numeração posicionais:
• O valor de um algarismo depende de sua
posição no interior do numeral que
representa o número.
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Sistemas de numeração posicionais:
• O valor de um algarismo depende de sua
posição no interior do numeral que
representa o número.
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Sistemas de numeração:
Por que base dez?
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Sistemas de numeração:
Seria possível usar outra base?
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Sistemas de numeração:
Seria possível usar outra base?
• Já se usou base doze?
– Dúzias, grosas…
– Pé = 12 polegadas…
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Sistemas de numeração:
Seria possível usar outra base?
• Já se usou base doze?
– Dúzias, grosas…
– Pé = 12 polegadas…
• Já se usou base 20?
– “oitenta”: “quatre-vingts”
– “setenta e oito”: “soixante dix-huit”
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Sistemas de numeração:
Seria possível usar outra base?
• Já se usou base doze?
– Dúzias, grosas…
– Pé = 12 polegadas…
• Já se usou base 20?
– “oitenta”: “quatre-vingts”
– “setenta e oito”: “soixante dix-huit”
• Qual a “melhor”?
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Sistemas de numeração:
Qualquer número poderia ser a base?
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Sistemas de numeração:
Qualquer número poderia ser a base?
• Base oito: sistema octal.
Algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
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Sistemas de numeração:
Qualquer número poderia ser a base?
• Base oito: sistema octal.
Algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
• Base dezesseis: sistema hexadecimal.
Algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F.
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Sistemas de numeração:
Qualquer número poderia ser a base?
• Base oito: sistema octal.
Algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
• Base dezesseis: sistema hexadecimal.
Algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F.
• E base um? Pode?
Sistema unário (um único algarismo: 1)
Três = 111 ; Sete = 1111111 ; Treze= 1111111111111
(atenção: este não é sistema numérico posicional !!!)
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Sistemas de numeração posicionais:
E o sistema de base dois? Pode?
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Sistemas de numeração posicionais:
E o sistema de base dois? Pode?
• Sistema binário (posicional de base dois)
– Algarismos (ou “dígitos”) binários: 0; 1.
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Sistemas de numeração posicionais:
E o sistema de base dois? Pode?
• Sistema binário (posicional de base dois)
– Algarismos (ou “dígitos”) binários: 0; 1.
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Sistemas de numeração posicionais:
E o sistema de base dois? Pode?
• Sistema binário (posicional de base dois)
– Algarismos (ou “dígitos”) binários: 0; 1.
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Sistemas de numeração posicionais:
E o sistema de base dois? Pode?
• Sistema binário (posicional de base dois)
– Algarismos (ou “dígitos”) binários: 0; 1.
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Sistemas de numeração posicionais:
E o sistema de base dois? Pode?
• Sistema binário (posicional de base dois)
– Algarismos (ou “dígitos”) binários: 0; 1.
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Sistemas de numeração:
O sistema binário e o computador
• Sistema binário usa apenas dois algarismos, zero e um.
• Computador é constituído de circuitos eletrônicos e
elétricos cujas grandezas, na maioria das vezes,
assumem dois estados mutuamente exclusivos:
–
–
–
–
Lâmpadas/LEDs: acesos ou apagados;
Capacitores: carregados ou descarregados;
Interruptores: abertos ou fechados;
Circuitos: energizados ou não energizados;
• Logo: um estado pode representar “zero”, outro “um”
(grandezas que variam linearmente, como tensões: criar limiares)
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Sistemas de numeração posicionais:
Representando números com um
conjunto de lâmpadas...
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Conversão de bases:
• Representação de um número em um sistema
numérico posicional:
• Número (N) -> (dn-1 dn-2 dn-3... d2 d1 d0)b
• Onde:
– n -> número de algarismos do numeral;
– dpos -> cada algarismo do numeral;
– (n-1); (n-2)... 2; 1; 0 -> posição do algarismo no
numeral;
– b -> base do sistema numérico.
– N -> número
• Cálculo do valor do número:
N = (dn-1 . bn-1)+ (dn-2 . bn-2)+ ... + (d2.b2)+ (d1.b1)+ (d0.b0)
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Conversão de bases:
Simplificando:
• Número (N) -> [(3) (5) (7) (4) (8)]10
• Onde:
–
–
–
–
–
n -> 5 (número de algarismos do numeral);
(n-1); (n-2)... 2; 1; 0 -> 4 ; 3; 2; 1; 0 (posição);
dpos -> 34 ; 53 ; 72 ; 41 ; 80 (cada algarismo do numeral);
b -> 10 (base do sistema numérico).
N -> número (35748)
• Cálculo do valor do número:
N = (3 x 104) + ( 5 x 103) + (7 x 102) + (4 x 101) + (8 x 100) =
= 30000 + 5000 + 700 + 40 + 8 =
= 35748
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Conversão de bases:
Simplificando um pouco mais...
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Conversão de bases:
Base 10 para base 2:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 2:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 2:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 2:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 2:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 2:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 16:
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Conversão de bases:
Base 10 para base 8:
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Conversão de bases:
Base 2 para base 10:
Multiplique o valor de cada numeral pela base
elevada ao valor que indica a posição e some.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 8:
23 é igual a 8 (base), logo todo conjunto de três bits
pode ser substituído por um único algarismo octal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 8:
23 é igual a 8 (base), logo todo conjunto de três bits
pode ser substituído por um único algarismo octal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 8:
23 é igual a 8 (base), logo todo conjunto de três bits
pode ser substituído por um único algarismo octal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 8:
23 é igual a 8 (base), logo todo conjunto de três bits
pode ser substituído por um único algarismo octal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 8:
23 é igual a 8 (base), logo todo conjunto de três bits
pode ser substituído por um único algarismo octal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 16:
24 é igual a 16 (base), logo todo conjunto de quatro bits
pode ser substituído por um algarismo hexadecimal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 16:
24 é igual a 16 (base), logo todo conjunto de quatro bits
pode ser substituído por um algarismo hexadecimal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 16:
24 é igual a 16 (base), logo todo conjunto de quatro bits
pode ser substituído por um algarismo hexadecimal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 16:
24 é igual a 16 (base), logo todo conjunto de quatro bits
pode ser substituído por um algarismo hexadecimal.
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Conversão de bases:
Base 2 para base 16:
24 é igual a 16 (base), logo todo conjunto de quatro bits
pode ser substituído por um algarismo hexadecimal.
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Conversão de bases:
Base 8 para base 2:
A base 8 é igual a 23, portanto qualquer algarismo
octal (0 a 7) pode ser representado por 3 bits.
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Conversão de bases:
Base 8 para base 2:
A base 8 é igual a 23, portanto qualquer algarismo
octal (0 a 7) pode ser representado por 3 bits.
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Conversão de bases:
Base 8 para base 2:
A base 8 é igual a 23, portanto qualquer algarismo
octal (0 a 7) pode ser representado por 3 bits.
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Conversão de bases:
Base 8 para base 2:
A base 8 é igual a 23, portanto qualquer algarismo
octal (0 a 7) pode ser representado por 3 bits.
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Conversão de bases:
Base 8 para base 10:
Multiplique o valor de cada numeral pela base
elevada ao valor que indica a posição e some..
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Conversão de bases:
Base 8 para base 16:
Converta primeiro da base 8 para a base 2 e em
seguida converta da base 2 para a base 16.
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Conversão de bases:
Base 16 para base 10:
Multiplique o valor de cada numeral pela base
elevada ao valor que indica a posição e some.
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Conversão de bases:
Base 16 para base 2:
16 (base) é igual a 24, portanto qualquer algarismo
hexadecimal (0 a F) pode ser representado por 4 bits.
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Conversão de bases:
Base 16 para base 8:
Converta primeiro da base 16 para a base 2 e
em seguida converta da base 2 para a base 8.
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