CONVERSA DE PROFESSOR
MATEMÁTICA
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ÍNDICE
O SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES................................................ ..........................5
TÉCNICAS DE DIVISÃO............................................................................................11
MEDIDAS ..................................................................................................................17
CÁLCULO E RACIOCÍNIO........................................................................................22
FORMAS GEOMÉTRICAS.........................................................................................28
NÚMEROS COM VÍRGULA......................................................................................34
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ................................................................................40
FRAÇÕES..................................................................................................................45
O SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES
O ENSÍNO DAS OPERAÇÕES
Quando ensinamos Matemática de 1a a 4a série, uma boa parte do tempo é
usada para tratar das quatro operações. O objetivo é fazer as crianças
aprenderem as contas (somar, subtrair, multiplicar, dividir) e também a
resolverem problemas, usando as operações.
A segunda parte do objetivo, isto é, resolver problemas, é a rnais importante.
As contas podem ser feitas por calculadoras, mas nenhuma máquina é capaz
de entender uma situação-problema e nos dizer que operação (ou operações)
devem ser feitas para achar a solução.
No entanto, sabemos que muitos alunos têm dificuldades para resolver
problemas. Todos nós, professores, estamos acostumados às crianças que
lêem um problema e vêm nos perguntar:
- E um problema de mais ou de vezes?
Essas crianças não sabem qual operação usar. Provavelmente, elas não
entendem as operações, não sabem os significados das operações.
O que queremos dizer com a expressão significados das operações? Vamos
explicar a seguir, partindo de um exemplo sobre a divisão.
UM PROBLEMA
Vamos lhe propor um problema de Matemática. Após 1er o problema, pare e
pense um pouco sobre como você poderia resolvê-lo.
Coloco no visor da calculadora o número 256. Depois,
começo a subtrair de 6 em 6. Isto é, faço 256 - 6 e
aparece 250 no visor. Faço 250 - 6 e aparece 244 no
visor. Continuando assim, quantas vezes devo subtrair
Leu o problema? Em que tipo de solução você pensou? Muita
gente imagina que o problema deve ser resolvido
6 até aparecer um número menor que 6 no visor?
por meio de subtrações sucessivas:
256 - 6 = 250 ..............Uma subtração
250 - 6 = 244 .............. Duas subtrações
244 - 6 = 238 ..............Três subtrações
Etc.
Efetuar todas as subtrações até que se obtenha um resultado inferior a 6 e
contar quantas subtrações foram feitas é um método perfeitamente correto
para resolver o problema proposto.
No entanto, há um método rnais rápido para resolver o problema. Veja:
A divisão nos mostra que a quantidade 6 cabe 42 vezes em 256. Por isso,
pode-se subtrair 42 seis de 256, até se obter, no final, o resultado 4. Obtémse 4 porque esse é o resto da divisão.
Após efetuar a divisão, concluímos que a resposta à pergunta do problema é
42.
DOIS SIGNIFICADOS DA DIVISÃO
Muitos adultos resolvem o problema que vimos, usando a subtração. Eles
não percebem que a divisão pode resolver o problema. Por que não usam o
método rnais rápido?
Uma das razões é que as pessoas estão acostumadas a pensar na divisão
como uma operação que serve para repartir quantidades em partes iguais.
Esse é o significado habitual da divisão.
Mas a divisão pode ser interpretada de outra maneira. No problema, quando
dividimos 256 por 6, não pensávamos em repartir 256 objetos entre 6
pessoas e sim em verificar quantas vezes 6 resultaria 256. Essa é uma outra
interpretação ou um segundo significado da divisão: verificar quantas vezes
uma quantidade cabe na outra.
SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Todas as quatro operações têm mais de um significado, ou mais de um
uso. Isso precisa ser conhecido para saber qual operação empregar na
resolução de um problema. As crianças não precisam saber explicar para que
serve cada operação, mas precisam "sentir" quando cada uma deve ser usada.
como ajudar as crianças a entenderem as operações?
Vamos responder à pergunta, tomando como exemplo a subtração.
Mostraremos os três principais usos ou significados dessa operação e, depois,
veremos como as crianças podem apreendê-los.
SIGNIFICADOS DA SUBTRAÇÃO
A primeira idéia associada a subtrair é a de tirar. Subtrair é tirar uma
quantidade de outra.
Considere agora este problema:
Carlos coleciona as figurinhas da Copa do Mundo. No álbum, serão colocadas 160 figurinhas. Carlos já tem 73 delas. Quantas figurinhas lhe faltam
para completar o álbum?
Para verificar quanto falta para completar 160, tendo já 73, podemos subtrair:
160-73=87
A razão é que tirando aquilo que já temos (73 figurinhas), o que sobra é
justamente o que falta para completar 160. Assim uma segunda idéia
associada à subtração é a de verificar quanto falta.
Raramente as crianças de 2a série percebem por si mesmas que o problema
acima se resolve por subtração. Muitas crianças resolvem o problema usando
um raciocínio aditivo, como este:
De 73 para 80, faltam 7.
De 80 para 100, faltam 20.
De 100 para 160, faltam 60.
Então, no total, faltam 7 + 20 + 60 = 87.
Esse raciocínio é perfeitamente correto.
Além de tirar e verificar quanto falta, há uma terceira idéia associada à
subtração, que aparece neste problema:
Jaílson economizou 72 reais. Sua irmã, Marlisa, economizou 155 reais.
Quanto Marlisa economizou a mais que Jaílson?
Neste problema devemos calcular a diferença entre as quantias que os dois
irmãos têm. Essa diferença é o quanto Marlisa tem a mais e também o quanto
falta a Jaílson para alcançá-la. Achar a diferença é a terceira idéia associada
à subtração. Por isso, resolvemos o problema efetuando:
155-72=83
Nós, professores, sabemos que muitas crianças de 3a e, às vezes, até de 4 a
série, costumam se enganar neste tipo de problema, efetuando 155 + 72. Um
motivo para isso é uma compreensão insuficiente da operação. A palavra
rnais que aparece no enunciado do problema também contribui para
confundir as crianças.
APRENDENDO OS SIGNIFICADOS DAS OPERAÇÕES
Alguns professores ensinam os significados das operações, levando as
crianças a decorar palavras-chave. Por exemplo, elas dizem aos alunos que
devem subtrair sempre que aparecer a expressão quanto falta num problema.
Esse método pode dar algum resultado, mas acaba sendo nocivo para as
crianças. Primeiro, porque elas aprendem como papagaios, sem desenvolver
seu raciocínio. Em segundo lugar porque terão que decorar muita coisa e
acabam ficando confusas com a Matemática.
O melhor método para compreender as operações é refletir sobre elas e
perceber seus significados por si mesmo. Isso acontece quando as crianças
são incentivadas a resolver problemas. A professora pode preparar
problemas especiais (ou retirá-los de alguns livros didáticos) para explorar os
vários significados de cada operação e as relações entre eles.
Por exemplo, numa 2a série a professora pode propor os dois problemas
seguintes, em meio a alguns outros:
Maria já usou 52 folhas do caderno dela. O caderno tem 96 folhas.
Quantas folhas sobram ainda ?
Carlos já usou 23 folhas de uma caderno de 50 folhas. Quantas ainda
faltam usar?
Esses dois problemas são, de propósito, parecidos. No primeiro, as crianças
logo percebem que devem subtrair, devido à questão quanto sobra? No
segundo, que muitas crianças fariam usando a adição, aqui, percebendo a
semelhança com o problema anterior, é provável que optem pela subtração.
Se isso não acontecer, não faz mal. A professora pode propor, em outra
ocasião, novos problemas organizados da mesma maneira. Repare que
estamos sugerindo que os dois problemas sobre subtração apareçam junto a
outros, envolvendo outras operações. Não é adequado dar problemas todos do
mesmo tipo porque a criança, percebendo essa regularidade, trabalha
automaticamente e pára de pensar.
A partir de problemas também é possível ajudar as crianças a perceberem que
a subtração contém a idéia de diferença. Veja este problema, adequado para
muitas 3as séries:
A mãe da Luisinha tem 158 cm de altura. Luisinha tem só 109 cm.
a) Quanto falta para Luisinha alcançar sua mãe?
b) Qual a diferença de altura entre as duas?
c) Quantos centímetros a mãe de Luisinha tem a rnais?
De propósito, as três perguntas do problema têm a mesma resposta. Para
responder à primeira, as crianças provavelmente fazem 158 - 109 = 47,
porque numa 3a série já devem ter percebido que a expressão quanto falta
está ligada à subtração. Na segunda questão, como a palavra diferença
costuma já ser conhecida, pois é usada no dia a dia, muitas crianças
conseguem associá-la ao quanto falta. A diferença entre duas quantidades é
aquilo que falta a uma delas para alcançar a outra.
Finalmente, vem a terceira questão, na qual costumava haver engano. Aqui,
as crianças têm boas chances de acertar porque podem compará-la com as
questões próximas. Quase sempre percebem que a mãe tem a rnais em altura
a quantidade que é a diferença entre as alturas.
PARA FINALIZAR
Compreender as operações, suas várias interpretações ou significados, é um
processo lento que vai ocorrendo de acordo com o amadurecimento
intelectual das pessoas. Nós, professores, em geral usamos corretamente as
operações, sabemos seus significados. No entanto, nossos professores não
nos ensinaram o assunto e, muitas vezes, nem conseguimos explicar esses
significados para outras pessoas. O que ocorreu é que fomos aprendendo
sobre as operações à medida que aumentava nossa experiência de vida.
Nossos alunos também aprenderão os significados das operações devagar, ao
longo do tempo, mas esse processo poderá ser rnais eficaz que o nosso, se
soubermos ajudá-los. A melhor maneira de ajudar não é dar explicações
detalhadas para as crianças ou fazê-las decorar conceitos. É criar
oportunidades para que elas pensem, troquem idéias e façam descobertas,
como acontece quando resolvem e discutem problemas.
TÉCNICAS DE DIVISÃO
AS DIFICULDADES COM A DIVISÃO
Algumas vezes, colegas nossos reclamam da operação divisão, dizendo que é
o maior obstáculo que seus alunos enfrentam nas 3as e 4as séries. Nossos
colegas dizem operação divisão por hábito. Na verdade, eles não estão
pensando na operação e seus vários significados como um todo, e sim na
técnica ou método para dividir. Em outras palavras, o grande obstáculo dos
alunos é a conta de dividir, o algoritmo da divisão.
Realmente, o algoritmo da divisão é bastante complexo e é natural que os
alunos tenham dificuldades no seu aprendizado. Surge, então, a pergunta: Será que não poderíamos ajudar nossos alunos a superar rnais facilmente
esse obstáculo?
Para poder responder, vamos examinar o algoritmo da divisão por meio de
um exemplo.
EXAMINANDO UMA CONTA DE DIVIDIR
Considere a conta
Todos nós sabemos efetuá-la, mas, nem sempre sabemos o porquê de cada
passagem da conta. Para facilitar o entendimento desse algoritmo, vamos
imaginar que o número 342 corresponde a 342 reais em 3 notas de cem reais,
4 notas de dez reais e 2 moedas de um real. Veremos, então, que dividir 342
por 3 é bastante parecido com a ação de repartir a quantia de 342 reais entre
3 pessoas. Acompanhe.
Para repartir o dinheiro, começamos
dividindo as 3 notas de cem.
Na conta, dividimos 3 centenas
por 3, resultando 1 centena, sem
deixar resto.
Depois, repartimos as 4 notas de dez.
Agora, sobrará uma nota.
Na conta, dividimos as 4 dezenas
por 3. Restará 1 dezena.
Para dividir a nota de dez que restou,
devemos trocá-la por 10 moedas de
um real. Teremos 12 reais, no total.
Na conta, descemos o algarismo 2.
Isso corresponde a juntar aquela
dezena que restou com as duas
unidades, resultando 12 unidades.
Agora pode-se completar a repartição
do dinheiro. Dividindo as 12 moedas,
cada pessoa recebe 4. No final, cada
uma ficou com 114 reais.
Encerramos a conta dividindo 12
unidades por 3, o que dá 4. O
resultado final é 114.
COMENTARIOS SOBRE A CONTA Mostramos um
exemplo simples do algoritmo da divisão, envolvendo
números relativamente pequenos como 342 e 3. Mesmo nesse caso simples,
pode-se notar que as crianças têm de trabalhar um bocado para chegar ao
resultado. Precisam saber por qual algarismo começar a divisão, perceber
quando dá resto, decidir o que fazer com o resto, etc. Trata-se de uma tarefa
complexa, não é mesmo?
Por outro lado, é importante notar que todas as passagens que são executadas
na conta têm uma correspondente na repartição das notas de dinheiro. Para
que o colega se convença disso, recomendamos que volte a 1er a descrição do
cálculo, comparando cada passo feito na repartição do dinheiro com os que
são efetuados na conta. Assim, a divisão do dinheiro ajuda a entender a
conta, a explicar, a saber o porquê de cada passagem efetuada na conta.
Por isso, este exemplo nos sugere uma boa maneira de ensinar a conta de
dividir, facilitando seu aprendizado por parte das crianças. Vamos apresentála a seguir.
ENSINANDO A CONTA DE DIVIDIR
A idéia é simples. Antes de ensinar a conta deve-se propor aos alunos que
passem por várias experiências de repartição de quantias em dinheiro.
As próprias crianças podem fabricar dinheiro "de mentira". Devem usar
apenas notas de cem, de dez e moedas de um real para representar com o
dinheiro as centenas, dezenas e unidades do sistema de numeração. E preciso
ter notas suficientes para efetuar as trocas: uma nota de eem por 10 notas de
dez ou duas notas de dez por 20 moedas de um, etc, conforme a conta exigir.
As repartições podem ser dramatizadas por três o quatro crianças, que fariam
um teatro para a classe acompanhar e comentar. Também podem ser feitas
por toda a classe, que estaria dividida em grupos. Cada grupo recebe uma
certa quantidade de notas, usa-as para efetuar as divisões que o professor
escreveu no quadro de giz e, depois, registra cada conta e seu resultado. (Não
registra, é claro, o processo do cálculo, porque este ainda não foi aprendido).
É conveniente que as contas propostas envolvam números relativamente pequenos. Dividir, por exemplo, 878 reais por 9 pessoas daria muito
trabalho e provocaria confusão. O ideal é efetuar apenas divisões por 2 ou 3
ou 5, para que se compreenda bem o processo.
Nesse estágio, o professor deve dar o mínimo possível de explicações. As
crianças devem encontrar sozinhas os meios para dividir quantias com
dinheiro, de maneira que possam exercitar o raciocínio e compreender
realmente o processo de dividir.
Depois que o processo de dividir quantias em dinheiro está dominado, o
professor deve explicar como registrar a conta. Nas primeiras vezes é preciso
mostrar cuidadosamente como cada passagem da repartição do dinheiro é
indicada. Além disso, os números devem continuar sendo relativamente
pequenos.
A CONTA PELO PROCESSO LONGO
Quando mostramos a divisão de 342 por 3, registramos o cálculo naquilo
que chamamos de processo breve, ou abreviado. Há um outro processo de
registro, o processo longo, do qual damos um exemplo a seguir.
Vamos examinar a divisão 7 1 5 / 8 .
Para começar, devemos dividir 71 dezenas por 9. Podemos fazer tentativas
para encontrar o resultado: 8 x 7 = 5 6 ; 8 x 8 = 6 4 ; 8 x 9 = 72. Daqui se
conclui que dividindo as 71 dezenas por 8, o resultado é 8 dezenas.
Bem, o resultado é 8, mas qual é o resto?
Repare que encontrar esse resto não é tão fácil como na primeira conta que
mostramos. Lá, estávamos representando a divisão com notas de dinheiro.
Podíamos ver o resto, isto é, a nota que sobrava. Além disso, os números
eram pequenos, facilitando o cálculo do resto. Na divisão atual, os números
são maiores. Para uma criança, é difícil calcular qual é o resto na divisão de
71 por 8.
Para encontrar o resto, raciocinamos assim: dividindo 71 por 8 o
resultado é 8; como 8 x 8 dá 64, o resto dessa divisão é a diferença entre 71 e
64. Devemos, então, efetuar 71 - 64.
No processo breve, essa subtração deve ser feita mentalmente. No processo
longo, que estamos vendo, a subtração é registrada:
Continuamos a divisão, descendo o 5. Matematicamente, isso significa juntar
as 7 dezenas do resto com 5 unidades, obtendo 75 unidades que serão
divididas por 8. Das tentativas anteriores, sabemos que o resultado é 9. Para
encontrar o resto, efetuamos 9 x 8 = 72 e 75 - 72 = 3. Veja como fíca o
registro:
como vimos, o processo longo facilita a realização do cálculo quando temos
números relativamente grandes. Ele é especialmente útil quando o divisor é
um número de dois algarismos, como, por exemplo, em
4872 / 24.
ENSINAR O LONGO OU O BREVE?
Muitos professores pensam que se deve iniciar o ensino da conta de dividir
pelo processo longo, que é rnais fácil, e depois passar para o breve, que é
rnais rápido.
Nós estamos propondo o contrário: que se comece a dividir com o processo
breve e, depois, se passe para o longo. A razão é que sugerimos que os
cálculos comecem com apoio concreto (como as notas de dinheiro) e sejam
feitos com números pequenos. Nessas condições, o processo longo só
complica o registro da conta. Mais tarde, o processo longo se torna útil,
quando o aluno estiver operando com números maiores, sem material de
apoio.
O processo breve é mais rápido, mas não há razão para os alunos serem
rápidos nas contas. Primeiro, porque quem quer rapidez deve usar uma
calculadora, como se faz nos escritórios, nas lojas, nos, bancos, etc. Em
segundo lugar, porque o objetivo de ensinar contas na escola de nossos dias é
a compreensão e não a rapidez e a precisão. Isto é, as crianças precisam
aprender a fazer algumas contas para entenderem melhor os números, as
operações, a Matemática em geral e não para serem melhores que as
máquinas, o que seria impossível.
como a compreensão das contas é fundamental, estas não devem ser
ensinadas muito cedo. O algoritmo da divisão só deveria ser ensinado a partir
da 3a série, o que não impede que antes disso se trabalhe com a operação
divisão.
uma observação final: o processo de dividir apresentado (na forma longa e
na breve) é o rnais usado aqui no Brasil, mas não é o único. Convidamos o
colega a pesquisar outros processos possíveis. Alguns deles são muito úteis
para se dividir mentalmente, ou seja, de cabeça, sem lápis e papel. Por
exemplo, um aluno de 4a série pode dividir 342 por 3, pensando assim:
300 / 3 = 100
30 / 3 = 10
12 / 3 = 4
Então 342 / 3 = 100 + 10 + 4 = 114
Incentivar os alunos a raciocinarem com números da maneira que vimos
acima é algo que vale a pena!
MEDIDAS
É IMPORTANTE ENSINAR MEDIDAS?
Alguns professores não dão atenção ao trabalho com medidas. como, na
maioria dos livros didáticos, o capítulo sobre medidas é um dos últimos,
acontece muitas vezes de o ano letivo terminar e os alunos não terem tido
experiência alguma com medidas. Será que o assunto é realmente de
importância secundária?
Em nossa opinião é extremamente importante e proveitoso trabalhar com
medidas desde a 1a série. Vamos justificar nossa opinião.
Medidas fazem parte de nosso dia a dia. O combustível que colocamos no
automóvel é medido em litros. O arroz que compramos no supermercado é
medido em quilogramas. Usando unidades de medida como o metro e o
centímetro, o médico mede a altura da criança para verificar se ela está
crescendo adequadamente, a mocinha mede sua cintura para saber se não
engordou, o pedreiro mede o comprimento do muro que irá construir, etc.
Esses exemplos mostram que o professor que trabalha com medidas está
propiciando a seus alunos um conhecimento útil nas rnais variadas profissões
e na vida diária. E um tema que tem importância social.
OS NÚMEROS E A MEDIDA
Há outras razões (além daquela que já apresentamos) que tornam importante
o trabalho com medidas. Considere o ensino dos números.
Os primeiros números que as crianças aprendem são os chamados números
naturais: 0, 1, 2, 3, 4, etc. Mais tarde, elas aprendem as frações e os números
com vírgula (3,2 ou 7,25, etc).
Os números naturais foram inventados há milhares de anos. uma forte razão
para inventá-los foi a necessidade dos seres humanos contarem coisas. Por
exemplo, um pastor de ovelhas daquela época usava a contagem para saber
quantos animais tinha seu rebanho. As crianças de hoje percebem a
importância dos números naturais porque os usam nas contagens. Por
exemplo, contam quantos gols o time fez na partida.
E as frações? E os números com vírgula? Por que surgiram? como as
crianças podem perceber sua utilidade? Na resposta a estas questões, entram
as medidas.
Frações surgiram há muitos séculos, para expressar medidas que não podiam
ser expressas por números naturais. Isso acontece ainda hoje. Por exemplo,
numa receita de torta, pode ser necessário usar 1/2 xícara de óleo. Nesse
exemplo, a fração indica uma medida entre zero e um, que não pode ser
expressa por números naturais.
Da mesma forma, os números com vírgula expressam medidas. Por exemplo,
a altura de uma professora pode ser l,63m (um vírgula sessenta e três metros
ou um metro e sessenta e três centímetros). Essa medida em metros está entre
1 e 2, não havendo número natural (ou inteiro) para expressá-la.
Vemos então que os números com vírgula e as frações estão ligados às
medidas. Quando o professor trabalha com medidas, esses números surgem
naturalmente e mostram sua utilidade. Assim, as medidas ajudam no
aprendizado dos números em geral e esta é mais uma razão para se trabalhar
com elas.
MEDIDAS E RACIOCÍNIO
uma professora contou para seus alunos, que precisava saber o peso de sua
gatinha para saber que quantidade de remédio o bicho devia tomar. Foi então
à farmácia, onde havia uma balança. Só que, na farmácia, a gatinha estava
tão assustada que foi preciso mantê-la no colo. como saber o peso da gata, já
que não se podia pô-la na balança?
As crianças deram algumas sugestões, mas elas mesmas perceberam que
eram inadequadas. Até que uma menina apresentou uma solução. A
professora deveria se pesar com a gata no colo. Depois, deveria pesar-se
sozinha, sem o animal. A diferença entre os pesos seria o peso da gata.
Belo raciocínio, não é? E mais que isso, este caso real mostra rnais um
motivo para se trabalhar com medidas. Balanças, fitas métricas, litros, enfim,
os instrumentos e as unidades de medidas em geral, são matéria prima para a
criação de diversos problemas interessantes e significati-
vos para os alunos. Dessa forma, o trabalho com medidas exercita o
raciocínio de nossas crianças.
MEDIDAS NA PROGRAMAÇÃO ESCOLAR
Até aqui, fizemos propaganda do ensino de medidas, procurando mostrar que
tem utilidade no dia a dia, que ajuda no aprendizado dos números
fracionários e contribui para exercitar o raciocínio dos alunos. Muitos colegas
devem estar de acordo com essas idéias e ter, no entanto, dúvidas sobre como
trabalhar o assunto na sala de aula.
Nossa primeira recomendação é de que o trabalho vá alem das unidades de
medida. É importante que todos vivenciem experiências com medidas, usem
instrumentos de medida como balanças, termômetros, régua, fita métrica, etc.
A segunda recomendação refere-se às unidades de medida. Certamente não é
preciso um trabalho exaustivo. Unidades não usadas na prática, tais como
hectômetro ou decalitro, nem deveriam ser mencionadas até a 4a série. O
professor das séries seguintes pode tratar delas se for necessário.
uma última recomendação é que o trabalho com medidas se estenda por todo
o ano letivo, um pouco por vez. Não é necessário concentrar o assunto num
bimestre, porque a todo momento, em atividades de Ciências, de Língua
Portuguesa, etc, há oportunidades para abordar as medidas.
SUGESTÕES PARA A SALA DE AULA
O tema medidas pode surgir acidentalmente nos rnais variados momentos de
uma aula. O professor precisa estar atento e aproveitar a deixa.
Sob certas condições, as crianças se interessam por questões como estas:
- Qual é o caminho rnais curto daqui da sala de aula até o pátio de recreação?
- Qual sala é rnais larga, a nossa ou a da 2a série aqui ao lado?
Eis o ponto de partida para uma atividade sobre medidas. Pode-se, por
exemplo, medir as distâncias citadas com passos. Nesse caso, alunos
diferentes costumam obter resultados diferentes, porque o comprimento
médio dos passos varia de uma pessoa para outra. Mas isso também é
interessante para o aprendizado. A professora pode conversar com a turma
sobre os motivos da diferença. Pode explicar que justamente porque há
variação no tamanho dos passos das pessoas é que foram inventadas unidades
de medida padronizadas, como o metro.
uma professora de 1a série, conversando com os alunos sobre o que é uma
boa alimentação, teve a idéia de lhes pedir uma pesquisa sobre quais são os
ingredientes habituais de um bolo. Na seqüência, ela e as crianças
resolveram preparar um bolo, em sala de aula, que foi assado na cozinha da
escola. Essa atividade envolveu Ciências e Saúde (estudo da alimentação),
Língua Portuguesa (leitura da receita) e Matemática (a medida de cada
ingrediente do bolo, a leitura dos números da receita, etc).
uma interessante atividade de 2a série consiste em medir a altura de cada
aluno no começo do ano, registrar essas alturas num cartaz e repetir essa
medida no final do ano. As crianças têm muito interesse em saber dados
sobre a própria altura e sobre seu crescimento. Nessa atividade, pode-se usar
uma régua ou uma fita métrica de costureira. As próprias crianças devem
efetuar as medições, ficando o professor apenas como orientador para evitar
erros muito graves. Pode-se dividir a classe em grupos de três alunos, cada
dois elementos do grupo medindo o terceiro.
Crianças de todas as séries se interessam pelo tamanho (comprimento e
peso) dos animais. Um elefante pode ter 3 metros de altura! como avaliar
essa altura? Naturalmente, não se pode levar um elefante para a sala de aula!
Um jeito é marcar essa altura numa parede da escola. As crianças ficam
assombradas quando vêem a altura do elefante.
uma atividade adequada para 3as séries consiste em avaliar o peso de objetos
variados. Por exemplo, uma criança estima o peso de uma caixinha de giz: Será que pesa meio quilo? Depois, a estimativa é comparada com o valor
real, obtido numa balança de cozinha ou de
feira: 250 gramas. Experiências como essa desenvolvem intuição, senso
numérico, capacidade de fazer estimativas. Às vezes, não se consegue levar
uma balança para a sala de aula, mas pode-se pedir como tarefa de casa que a
criança vá a uma venda ou a um mercadinho perto de sua casa e pese alguns
objetos.
Na 3a série é conveniente o professor estar rnais atento à escrita correta das
medidas. Assim, a atividade acima descrita pode ser complementada pelo
registro do peso dos objetos. Por exemplo, um peso de 250 gramas pode ser
expresso assim: 250g ou 0,250kg. A escrita 0,250kg fíca rnais fácil de ser
compreendida, quando associada à experiências concretas com medidas.
Convém não esquecer também das unidades de medida de tempo: horas,
minutos e segundos. Ler horas inteiras em relógio de ponteiros na 1a série,
1er horas e minutos na 2a série, resolver problemas com horas e minutos na
4a série, deve estar na programação.
Além de atividades como as sugeridas acima, há também o trabalho
desenvolvido pelos livros didáticos. Ele deve ser aproveitado e não é preciso
ter trabalhado todos os capítulos, que vêm antes do capítulo de medidas, para
poder abordar esse assunto.
Nós vamos encerrar, mas esperamos que seja aqui mesmo, o começo do
trabalho e da pesquisa do colega professor.
CÁLCULO E RACIOCÍNIO
POR QUE ELES NÃO PARAM PARA PENSAR?
Veja este problema:
Na festa, Maria comeu 7 docinhos e João comeu 17. No total, quantos copos
de refrigerante eles tomaram?
Quando se propõe esse problema em classes de 1a ou 2a séries, há crianças
que efetuam 7 + 17 e dão a resposta 24. Diante de situações desse tipo, nós,
professores de Matemática, acabamos fazendo a célebre pergunta: -Por que
eles não param para pensar?
Há muitas razões para essas respostas a esmo, sem reflexão, que os alunos
produzem às vezes. uma delas é que nem sempre a criança está atenta e
interessada e isso pode ocorrer com qualquer um de nós. No entanto, o
motivo rnais importante está no fato de que, freqüentemente, não
estimulamos nossas crianças a pensar. E claro que temos intenções bem
diferentes. Queremos que nossos alunos exercitem o raciocínio. No entanto,
nossa forma de trabalhar pode não contribuir para isso. Veja porque:
• usamos boa parte do tempo da aula de Matemática ensinando cálculos,
técnicas para efetuar operações;
• quase sempre explicamos o jeito de efetuar o cálculo e esperamos que a
criança reproduza igualzinho;
• nesse processo, a criança não tem oportunidade para pensar por si mesma
e compreender o que aprende; ela apenas reproduz o que mandamos e não
pensa.
Em resumo, a criança é treinada para encontrar respostas certas, mesmo sem
saber o que está fazendo. Ela age assim quando faz contas e acaba agindo
assim também nos problemas, como no exemplo que mostramos no início.
O QUE FAZER PARA MUDAR? Desejamos que as
crianças pensem, tenham idéias próprias, exercitem
o raciocínio. Para atingir esse objetivo devemos aproveitar todas as
oportunidades, entre elas o tempo que usamos para trabalhar cálculos. Devese trabalhar cálculos de forma que as crianças entendam o que estão fazendo
e raciocinem durante a aprendizagem. Em outras palavras, deve-se trabalhar
cálculos como se fossem problemas.
Certamente a maioria dos colegas que estão nos lendo, concorda com o que
acabamos de dizer. Mas alguns devem estar pensando: - como fazer isso?
Vamos, então, mostrar exemplos.
ENSINANDO UM MÉTODO DE CÁLCULO
Suponha que a professora deva ensinar sua turma a efetuar multiplicações
como 13 x 25 ou 57 x 88 (números de dois algarismos por números de dois
algarismos).
Ela pode ir ao quadro de giz e mostrar, por meio de exemplos, como deve ser
feita a conta. Depois, ela chama alguns alunos ao quadro para que eles
efetuem outras contas, repetindo todas as passagens que ela fez.
Esse é o procedimento habitual no ensino de cálculos, mas certamente não
exercita o raciocínio dos alunos, uma vez que estes apenas seguem ordens.
Haveria outro método de ensino?
uma professora nos contou que ensina esse tipo de conta na 3a série. Ela parte
de algum problema fácil, cuja solução seja o resultado de, por exemplo 12 x
13.
Quando os alunos chegam a esse cálculo, costumam reclamar: - Não sabemos
fazer! Nesse ponto, a professora os desafia a efetuar a conta: - Eu ainda não
ensinei como fazer, mas vocês são capazes de descobrir! Por que não tentam?
Trabalhando em duplas ou em grupos de três, motivados pelo desafio, os
alunos são capazes de produzir soluções interessantes:
• o mais comum é fazer 12 x 13, somando 12 parcelas iguais a 13: 13 + 13
+ 13 + 13 +13 +13 +13 +13 + 13 + 13 + 13 + 13= 156
• alguns separam 12 em 10 + 2, multiplicam cada parcela por 13 e somam
os resultados:
10x13=130
1 3 x 2 = 26
130 + 26=156
• uma solução rara consiste em perceber que 12 = 2x6; assim 12x13
pode ser efetuado multiplicando-se 13 por 6 e o resultado por 2.
As diferentes resoluções dos alunos são apresentadas por eles mesmos, para
o resto da classe. Repare que o método habitual para fazer esse tipo de conta
é igual à segunda das soluções. Assim, após algumas aulas em que as
crianças fazem os cálculos da maneira que cada um prefere, a professora
retoma o segundo método e mostra como registrá-lo de modo simplificado,
efetuando uma só conta no lugar de três:
13
x12 .
2 6 Este é o resultado de 2 x 13
+ 130 Este é o resultado de 10 x 13
1 56
Nessa experiência de ensino, o verdadeiro problema era como multiplicar
dois números de dois algarismos. Foram os alunos que descobriram o
método de cálculo e, por isso mesmo, exercitaram o raciocínio. A professora
orientou todo o processo. Quando, no final, ela mostrou como registrar a
conta, estava organizando um conhecimento que, na maior parte, já havia
sido construído pelas crianças.
Acreditamos que este foi um bom exemplo de bom ensino.
DESENVOLVENDO O CÁLCULO MENTAL
O melhor recurso para juntar raciocínio e cálculo é dar oportunidades para a
criança desenvolver o cálculo mental. Devem ser propostas contas para ser
feitas de cabeça, desde a 1a série ou no ciclo básico, um pouquinho por dia,
durante todo o ano letivo.
Para que o raciocínio seja exercitado convém:
• evitar ensinar métodos para fazer as contas; (às vezes, porém, é válido o
professor mostrar seu próprio método para um determinado cálculo);
• deixar cada aluno escolher livremente o método que vai utilizar; (às
vezes, porém, deve-se propor que toda a classe use o método que uma das
crianças inventou, quando este é muito bom);
• volta e meia perguntar às crianças que acertaram uma conta, de que
maneira elas pensaram.
Infelizmente não há espaço para estender nossa conversa sobre o cálculo
mental, mas vamos mostrar exemplos do que as crianças podem fazer.
A conta é 7 + 8 = 15 :
Marcos (1a série) explicou assim: - Sete rnais sete é quatorze. Sete rnais oito
é quatorze rnais um. Dá quinze.
Marilda (1a série) pensou assim: - Para somar oito, eu somo três e cinco. Sete
rnais três é dez. Dez rnais cinco é quinze.
A conta é 16 + 16 = 32 :
Explicação de Vantuir (1a série) : - Dezesseis é dez rnais seis. Dez rnais dez é
vinte. Seis rnais seis é doze. Vinte rnais doze é trinta e dois. Então, dezesseis
mais dezesseis é trinta e dois.
Observe que Vantuir efetuou 16 + 16 sem usar a técnica conhecida como
"vai um". Seria muito bom que as crianças só aprendessem essa técnica na 2a
série, depois de dominarem cálculos como 16 + 16 ou 18 + 23, etc.
efetuando-os da maneira que Vantuir fez.
Pelos exemplos que mostramos de crianças de 1ª série, é fácil imaginar que
crianças de 4a série podem efetuar de cabeça, cálculos bem rnais
complicados, como, por exemplo 253 - 87 ou 8 x 54. Realmente isso não é
difícil, nem exige muito exercício, desde que o trabalho com cálculo mental
seja contínuo.
JOGOS E CÁLCULOS
Atividades com jogos levam as crianças a exercitar o raciocínio, porque,
nessas situações, elas devem tomar decisões por si mesmas e têm o estímulo
de vencer o jogo. Muitos jogos contribuem para desenvolver o cálculo
mental e recomendamos que o professor procure utilizá-los em suas aulas.
Vamos dar, como exemplo, dois tipos de jogos e convidamos o colega a
pesquisar ou criar outros.
JOGOS COM TRILHA E DADOS
Apresentamos uma versão adequada a uma 1a série. Começa-se desenhando
uma trilha no quadro de giz. Veja um trecho dela:
Os jogadores, cada um na sua vez, lançam um dado e andam na trilha o
correspondente ao número de pontos obtido.
Por exemplo, se Luisinha inicia tirando 5 no dado, ela vai parar na casa 5 e
marcar um L (é a letra inicial de seu nome) nesse local.. Quando jogar
novamente, se ela tirar 4, vai parar na casa 9, porque 5 + 4 = 9 ou porque 4
casas à frente do 5 está o 9. Ela apaga o L que havia marcado na casa 5 e
coloca um novo L na casa 9. E assim por diante. Vence o primeiro jogador
que atingir o final da trilha, que pode ser 30 ou 50 ou 60, dependendo do
aprendizado das crianças.
O esquema que descrevemos pode ser modificado de muitas maneiras. Por
exemplo: podem ser usados dois dados. Em vez de jogadores individuais
podemos ter equipes jogando, etc.
Nesse jogo, as crianças ampliam bastante seus conhecimentos da adição. A
partir de jogos como esse, elas chegam depois a um bom desempenho em
cálculo mental.
Jogos com baralho comum
Veja uma versão adequada a uma 4ª série. Usam-se as cartas numéricas do
baralho (com números de 2 a 10), das quais sorteiam-se oito que ficam sobre
a mesa:
São 4 jogadores. Um deles fala um resultado de uma multiplicação, que
possa ser obtido com os números da mesa. Por exemplo, ele diz: -Quarenta e
dois! e os outros três procuram pegar as cartas cujos números dão esse
produto. No caso, são as cartas 6 e 7 e quem as pegar primeiro, guarda-as
para si. Duas novas cartas são sorteadas para substituir as que foram
retiradas. Depois, é a vez de outro jogador falar um produto e assim por
diante até acabar o baralho. O vencedor é quem guardou rnais cartas.
É fácil ver que esse jogo, nessa versão, ajuda a memorizar a tabuada. Pode-se
modificá-lo de muitas maneiras, usando até duas ou três operações
diferentes, desenvolvendo outros aspectos do cálculo mental.
FORMAS GEOMÉTRICAS
A IMPORTANCIA DA GEOMETRIA
Em vários países, pedagogos, psicólogos e professores de Matemática vêm
se esforçando para que a Matemática tenha significado para a criança,
contribua para seu desenvolvimento cognitivo e seja também útil para a vida
na sociedade atual. Por isso, o ensino de Matemática vem mudando, e
mudando para melhor.
As novas tendências valorizam o ensino da Geometria. Ele é considerado
muito importante e os livros didáticos de vários países dão bastante espaço
ao assunto. No entanto, isso não vale aqui no Brasil. A maioria dos livros
didáticos traz pouca Geometria. Além disso, o capítulo de Geometria (assim
como o de Medidas) costuma ficar no final do livro. O resultado é que o ano
letivo acaba sem que as crianças tenham noções de Geometria.
O ensino da Geometria vem sendo valorizado porque colabora com o
desenvolvimento cognitivo das crianças. Há indícios de que crianças que
trabalham com formas geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação motora e visual, melhoram a leitura, compreendem
rnais rapidamente gráficos, mapas e outras informações visuais.
Além disso, a Geometria é uma parte essencial da Matemática. Desde que os
seres humanos começaram a produzir Matemática, milhares de anos atrás,
duas coisas sempre estiveram presentes: números e formas geométricas. A
Aritmética (os números e as operações) e a Geometria (as formas) são os
dois ramos básicos da Matemática.
Foi a Geometria que orientou os povos antigos na divisão de terras de
cultivo, na construção de vários objetos e utensílios, nos desenhos que
enfeitavam seus tecidos. Você já deve ter visto uma foto das pirâmides do
Egito, não é? Pois bem, esses monumentos gigantescos, construídos há
milhares de anos, foram fruto do conhecimento geométrico daquele povo.
Atualmente, a Geometria continua presente em nossas vidas, na arquitetura,
na organização urbana, nas embalagens de produtos variados, nas rnais
diversas máquinas e motores e nos utensílios em geral.
O QUE ENSINAR? como ENSINAR?
Um programa para a Geometria depende das secretarias de educação de
estados e municípios. No entanto, algumas idéias gerais sobre o que ensinar
podem ser apresentadas.
Quando chegarem ao final da 4a série, seria bom que as crianças
conhecessem formas planas (quadrados, triângulos, retângulos, etc), formas
espaciais como (cubo, blocos retangulares, cilindros, etc), reconhecessem
ângulos retos e ângulos maiores ou menores que ele, tivessem noções sobre
perímetro e, talvez, alguma noção de área. Por outro ado, é desnecessário que
as crianças tenham idéias abstratas, como as noções matemáticas de reta,
semi-reta, etc. É claro que a criança deve diferenciar linha reta de linha não
reta, mas não precisa saber sobre a Feta dos matemáticos que é infinita, sem
espessura, etc.
Pode ser que as noções apresentadas acima pareçam muito pouco. No
entanto, elas não são adquiridas rapidamente. Conhecer uma forma plana
como a do quadrado, não é uma questão de mostrar a figura e dizer qual é
seu nome. Conhecer o quadrado implica conhecer algumas de suas
propriedades fundamentais, como por exemplo:
E como as crianças vão conhecer todas essas propriedades?
Certamente não adianta nós, professores, contarmos quais são as
propriedades dos quadrados, pedirmos que as crianças as decorem. Só
podemos garantir que as crianças entendam essas propriedades se elas
puderem percebê-las por si mesmas. Para isso, é necessário participar de
atividades variadas em que se usam as figuras geométricas. Vamos
apresentar três exemplos dessas atividades para esclarecer o que acabamos de
afirmar.
EXEMPLO 1: ARTE GEOMETRICA
uma professora de 2a série disse a seus alunos que queria um trabalho bonito
para decorar o mural da sala de aula. Deu a cada criança um pedaço de papel
quadrado.
Primeiro, o papel foi dobrado váDepois, outras linhas forarn rias
vezes, nos eixos de simetria
traçadas com régua. do quadrado.
A professora aproveitou o momento e perguntou quantos quadrados as
crianças viam naquele papel (note que há pelo menos 7 quadrados!), quantos
triângulos, etc. Depois, pediu que o papel fosse inteiramente pintado,
usando-se apenas duas cores, de modo que triângulos vizinhos ficassem com
cores diferentes.
Isto é um exemplo de atividade simples em que se usam figuras geométricas
e, na qual, as crianças vão percebendo propriedades enquanto dobram,
traçam linhas, pintam figuras. E uma atividade agradável porque o resultado
é bonito e as crianças gostam disso. E também uma atividade útil, que produz
conhecimento geométrico, por meio da experiência, sem teoria ou exercícios.
EXEMPLO 2: GEOMETRIA E GEOGRAFIA
Os alunos de uma 3a série montaram uma espécie de cidade no chão da sala
de aula. Os "prédios" eram caixas de pasta de dente, caixas de maizena, latas
de ervilhas, etc. A professora contribuiu com caixas menos comuns, como
uma de panetone. Para as caixas ficarem parecendo edifícios, as crianças
colaram papel sobre as faces, com desenhos de portas, janelas, etc.
Nesse trabalho, as crianças aprenderam diversos fatos sobre as cidades, sua
organização geográfica e sua estrutura administrativa. Ficaram sabendo dos
vereadores, dos secretários municipais, das atribuições do prefeito, etc.
Aprenderam também muita Geometria. A professora ensinou o nome de cada
forma espacial, e levou os alunos a observarem vários detalhes da forma.
Veja um exemplo:
A caixa tem a forma de
um bloco retangular.
Apresenta vértices, arestas e faces.
Cada face é uma superfície plana.
Os alunos notaram que as 6 faces são retângulos. Contaram ainda 8 vértices e 12 arestas.
Pronta a cidade, o professor propôs outro desafio: fazer o mapa da cidade!
EXEMPLO 3: PROBLEMAS DE GEOMETRIA
Palitos de fósforo constituem um material simples e barato, que possibilita
aos alunos participarem de várias atividades instrutivas e algumas até
artísticas.
Eis um problema adequado para 2a ou 3a série em cuja resolução os palitos
ajudam:
Usando 14 palitos de fósforo sem quebrar nenhum, quantos retângulos
diferentes posso fazer?
A resposta é três. Veja as soluções:
Em todos esses retângulos, o perímetro é 14 palitos.
O colega já imaginou quantos problemas diferentes ele pode inventar,
utilizando como auxiliar os palitos de fósforo?
CONCLUSÕES
Neste texto, citamos algumas das noções geométricas que as crianças
deveriam adquirir e demos exemplos de atividades nas quais as formas
geométricas são usadas. A criança pode brincar com elas, manipulá-las,
pintá-las, falar sobre elas e, dessa maneira, adquirir conhecimento sobre elas.
Os exemplos de atividades foram dados, principalmente, para reforçar
a idéia de que ensinar Geometria não significa ensinar nomes de figuras e
sim propiciar uma vivência com a Geometria. Não é importante que o colega
siga as atividades apresentadas e sim que entenda seu espírito para criar
outras, que estejam de acordo com seu programa e seu estilo de trabalho.
NÚMEROS COM VÍRGULA
ELES ESTÃO A NOSSA VOLTA
Repare bem: números como 1,5, 74,55, 0,2, etc. estão por toda a parte. São
números com vírgula. Antigamente eram chamados de números quebrados,
porque os algarismos à direita da vírgula indicam partes ou uma fração da
unidade. Na Matemática são chamados de números decimais, porque são
escritos no mesmo sistema decimal que usamos para os números naturais
(que são os números 0, 1, 2, 3, etc).
Veja alguns exemplos do uso dos números com vírgula:
• nas balanças eletrônicas de supermercados (por exemplo, a balança pode
mostrar que o peso de um frango é 1,545 kg);
• indicando preços (por exemplo, um pãozinho custa atualmente R$0,13);
• no registro de medidas do sistema métrico (por exemplo, a altura de uma
pessoa pode ser 1,63 m);
• nos jornais e revistas (por exemplo, os jornais usam números com vírgula
para escrever quantias muito grandes de maneira abreviada: 1,2 milhão de
reais para indicar 1 200 000 reais; outro exemplo: a sessão de economia
dos jornais está repleta de números com vírgula que indicam índices
como IGP, IGPM, rendimentos da poupança, etc).
Esses números são importantes nos mais diversos tipos de cálculos. Em
particular, eles são usados nos cálculos de porcentagens. Por exemplo,
usando uma calculadora, a maneira mais simples de calcular 23% (vinte e
três por cento) de R$ 340,00, consiste em efetuar 0,23 x 340 = 78,2. Assim,
23% de R$ 340,00 é R$ 78,20.
Às vezes, os números decimais aparecem um pouco disfarçados. Você já
ouviu falar das lapiseiras zero-cinco? Examinando a lapiseira, vemos escrito
0.5 (zero ponto cinco). Essa é a maneira dos norte-americanos e ingleses
escreverem 0,5 (zero vírgula cinco), porque eles usam ponto
no lugar da vírgula. No caso da lapiseira, o número indica o diâmetro da
ponta, em milímetros. Lapiseira zero-cinco é a que tem uma ponta com 0,5
(ou meio) milímetro de diâmetro.
Outro exemplo de número com vírgula disfarçado está na conhecida
expressão motor um ponto oito. Nesse caso, o número é 1,8. Isso significa
que os cilindros do motor têm uma capacidade de 1,8 litros. Quanto maior
essa capacidade, mais potente é o motor.
ENSINO DOS NÚMEROS DECIMAIS
Os exemplos apresentados mostram a importância dos números decimais no
dia a dia. Note que eles são muito mais usados que as frações. Estas também
servem para representar partes da unidade, mas não aparecem em preços,
medidas ou quantias em dinheiro. Estão menos presentes no dia a dia.
Mesmo sendo importantes, os decimais não são agradáveis aos alunos. Temse constatado que alunos do final do 1° Grau e até do 2" Grau encontram
grande dificuldade em lidar com eles. Confundem 0,2 com 0,02, acham que
0,20 é maior que 0,2, freqüentemente erram divisões simples como 0,34 +
3,4.
Dessas observações tiramos duas conclusões em relação ao ensino. A
primeira é de que os decimais deveriam ocupar mais tempo das aulas do que
as frações. Atualmente, acontece o contrário, as frações ocupando um ou dois
bimestres letivos na 4a e na 5a séries.
A segunda conclusão é que deveria ser mais trabalhada a compreensão da
escrita decimal com vírgula, evitando as dificuldades às quais já nos
referimos. Em geral, já na 4a série são dadas as regras para efetuar as quatro
operações com decimais e tudo isso é repetido na 5a série. No entanto, toda
essa informação é de eficácia duvidosa, porque os alunos não entendem essas
regras. Melhor seria saber menos sobre contas e compreender as idéias
relativas aos números decimais. Por exemplo, parece desnecessário ensinar
divisão de decimais na 4a série, já que ela é pouco usada na prática e difícil de
compreender. O tempo que seria utilizado na divisão pode ser muito bem
aproveitado, como veremos a seguir. Passamos a apresentar algumas idéias
para um ensino dos decimais voltado para a compreensão.
IDÉIAS PARA ENSINO DOS DECIMAIS
NÚMEROS DECIMAIS E QUANTIAS EM DINHEIRO
Os sistemas monetários costumam ter uma unidade monetária dividida em
cem partes iguais, cada uma das quais é um centavo. Em épocas de inflação
alta, os centavos deixam de ser usados porque o dinheiro perde valor
rapidamente. Ultimamente, no Brasil, a inflação tem sido baixa e os centavos
estão em uso. Para o ensino dos decimais isso é muito bom. Apresentando os
números com vírgula, relacionados com o real e os centavos de real, o
professor favorece o aprendizado das crianças. Veja porquê.
• Desde a 2a série, os alunos podem se familiarizar com o números com
vírgula escrevendo quantias em dinheiro.
• As quantias em dinheiro ajudam a entender adições e subtrações. Por
exemplo, alunos de 3a série costumam fazer mentalmente o cálculo 7 0,30 = 6,70 pensando em dinheiro: 7 reais menos 30 centavos é igual a
seis reais e 70 centavos. Por outro lado, já é mais difícil que eles
compreendam esse cálculo feito no papel, devido ao fato de escrevermos
7,00 no lugar de 7:
7 - 0,30
->
7,00
- 0,30
6,70
• Os centavos também ajudam a compreender certas multiplicações.
Por exemplo, se uma criança nunca foi ensinada a efetuar multipli
cações envolvendo números com vírgula, é natural que ela pense
que 10 x 0,10 = 0,100. No entanto, se no lugar de 0,10 a criança
pensar em R$ 0,10 (dez centavos de real), é provável que ela perceba
que 10 x 0,10 = 1, pois 10 vezes dez centavos resultam em um real.
(Ou pensando com o vocabulário matemático: dez vezes 10 centési
mos é igual a 100 centésimos, que é igual a uma unidade.)
NÚMEROS DECIMAIS E MEDIDAS
Em geral, os números com vírgula ganham significado se forem trabalhados
junto com medidas, ou seja, com as unidades de medida e os instrumentos de
medida mais conhecidos. Assim, convém que se exer-
cite a escrita e a leitura dos decimais, bem como o cálculo com eles, em
situações-problema envolvendo pesos, comprimentos, fitas métricas,
balanças, etc.
Tendo esse objetivo, repare que:
números como 1,25 ou 3,70 (além de indicar quantias em dinheiro)
podem ser relacionados com metros e centímetros. números como 1,5,
3,2, 7,5 (com uma só casa decimal) podem ser relacionados com
temperaturas. Com um termômetro comum, desses que medem a febre,
pode-se realizar uma atividade que ajuda a entender números com vírgula
e contribui para o aprendizado das Ciências. Trata-se de fazer cada
criança medir, 1er e registrar sua própria temperatura com o termômetro.
Ao 1er as temperaturas na escala do termômetro, percebe-se, entre outras
coisas, como os números com vírgula podem ser organizados numa linha
reta, como podem ser escritos em ordem crescente, etc.
números como 0,655 ou 3,750 (com três casas decimais, isto é, chegando
aos milésimos) podem ser relacionados com quilogramas e gramas. As
atuais balanças eletrônicas são um bom exemplo do uso desses números.
Esses números talvez só devam ser trabalhados na 4a série, pois não é
fácil para as crianças formar a idéia do que é um milésimo.
NÚMEROS DECIMAIS E MATERIAL BASE DEZ
Mesmo usando dinheiro, unidades e intrumentos de medida como recursos
de ensino, há propriedades importantes da escrita decimal com vírgula, que
não ficam claras para as crianças. uma delas refere-se ao zero à direita da
vírgula, no final da escrita do número. É fundamental perceber o papel desse
zero e saber que, por exemplo, 7,00 = 7 ou 0,2 = 0,20.
Por isso, sugerimos mais um auxiliar do aprendizado: o material dourado ou
material base dez.
Convém usar três tipos de peças do material: a placa, a barra e o cubinho. Em
vez do material em madeira, é equivalente usar cartolina: um quadrado, uma
faixa e um quadradinho, de modo que o quadrado contenha 10 faixas, cada
uma das quais contém 10 quadradinhos.
Convenciona-se que a placa vale 1 unidade, a barrinha vale 1 décimo da
unidade e o cubinho vale 1 centésimo da unidade.
Veja a representação de 1,23 com esse material:
O material permite visualizar que:
• o algarismo à esquerda da vírgula ( 1 no exemplo) corresponde às
unidades;
• o primeiro algarismo à direita da vírgula corresponde aos décimos (2
décimos no exemplo);
• o segundo algarismo corresponde aos centésimos (3 centésimos no
exemplo).
Com essas idéias pode-se perceber que 0,2 e 0,20 são iguais. (A tendência
das crianças é supor que 0,20 > 0,2.) Veja uma maneira de explicar a
igualdade:
• 0,2 corresponde a 0 unidade e 2 décimos;
• 0,20 corresponde a 0 unidade, 2 décimos e 0 centésimo;
• a diferença entre os dois números é zero centésimo, ou seja, nenhuma!
Esse raciocínio deve ser muito abstrato para crianças. No entanto, o material
ajuda a explicar o mesmo fato de outro jeito. Observe:
O material permite ver que cada 10
centésimos formam 1 décimo. Portanto,
20 centésimos formam 2 décimos.
Assim, 20 centésimos são iguais a 2
décimos.
PARA ENCERRAR
Os números decimais são um tema rico e importante do ensino de
Matemática do 1° Grau. Apresentamos algumas idéias fundamentais para seu
ensino, mas, de maneira alguma, esgotamos o assunto. Fica para o colega um
campo vasto para reflexão e pesquisa.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O PROBLEMA DOS PROBLEMAS
É muito frequente professores dizerem que ensinam Matemática para
desenvolver o raciocínio das crianças. Quase todos concordam que a melhor
forma de atingir esse objetivo de ensino é por meio da resolução de
problemas. Portanto, quase todos acreditam na extrema importância dos
problemas. Pena que eles sejam também uma tremenda dificuldade!
Dizemos dificuldade, porque a maioria dos professores apontam a resolução
de problemas como o maior obstáculo que os alunos enfrentam. Isto é,
problemas de Matemática constituem um problema no ensino! Será que é
possível melhorar essa situação?
PRIMEIRAS IDÉIAS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Pode-se até pensar que nada se pode fazer para superar as dificuldades das
crianças na resolução de problemas. Afinal, nós, professores, não podemos
pensar por nossos alunos. De nada adianta ensinar-lhes a resolver um
problema porque, se eles não pensam por si mesmos, o próximo problema já
não saberão fazer. No entanto, o argumento apresentado não se sustenta. Há
vários procedimentos que melhoram o desempenho dos alunos em
problemas. Começamos mostrando algumas sugestões de professoras
experientes e que observam bastante suas crianças.
Algumas professoras já notaram que a simples menção da palavra problema
é perturbadora para certos alunos. Provavelmente, essas crianças têm
lembranças negativas em relação a problemas de Matemática desde séries
anteriores, ou receberam essas idéias negativas de irmãos mais velhos ou dos
pais. Por isso, essas professoras evitam a palavra problema. Às vezes, quando
vão propor um problema mais difícil que o habitual, elas dizem que vão
propor um desafio. E isso até aumenta o interesse das crianças!
Outras professoras notaram que os problemas tratam, às vezes, de situações
com as quais as crianças não têm familiaridade. Por exemplo,
crianças de classe média que vivem em grandes cidades não costumam fazer
compras para os pais e mal sabem o que é troco. Por isso, não sabem o que
fazer em problemas envolvendo compras. Por outro lado, muitas crianças de
zona rural não têm idéia do que é um supermercado e acabam também não
compreendendo esses problemas.
Esse tipo de dificuldade pode ser solucionado! uma boa forma é dramatizar o
problema, isto é, junto com os alunos fazer uma espécie de teatro,
representando o que acontece no problema. Um menino faz o papel de
vendedor, uma menina representa a compradora e assim por diante. Os alunos
se divertem e aprendem.
Outra contribuição à resolução de problemas é eliminar os problemas
artificiais, mal feitos, que tratam de situações muito fora da realidade. Por
exemplo, veja este caso:
No almoço, Maria comeu 0,265 da melancia. Quanto sobrou para o jantar?
Ninguém separa a melancia em milésimos para comer 265 milésimos. Esse
problema é absurdo e não deveria ser proposto aos alunos porque os faz
perder o interesse pela Matemática.
Há só uma situação em que os problemas absurdos poderiam ser trabalhados.
E quando eles podem ser criticados. Se a professora e os alunos dialogam
sobre esses problemas e os alunos percebem que são irreais, então alguma
coisa se aprende.
Algumas professoras também observaram que é bastante negativo dar como
tarefa seqüências de problemas parecidos (todos de subtração, por exemplo). Da
mesma forma, é negativo explicar um problema-modelo e passar como tarefa
problemas iguais ao modelo. Esses dois procedimentos tornam a criança incapaz
de enfrentar desafios. Ele se . acostuma a resolver apenas problemas que ela já
sabe e nem tenta pensar em situações diferentes das conhecidas.
Da última observação conclui-se que o raciocínio necessário para resolver
problemas precisa ser exigido em situações novas e variadas, para que seja
exercitado e se desenvolva.
uma última observação. Às vezes, as crianças não resolvem certos problemas
por desconhecerem os significados das operações. Esse tema já
foi tratado em outro artigo e não vamos repetir o que já dissemos.
Recomendamos que o colega leia o referido artigo.
IDÉIAS FUNDAMENTAIS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
As idéias da sessão anterior contribuem para a resolução de problemas, mas
não bastam. Apresentaremos agora idéias mais importantes, que são muito
eficazes e afetam não só o trabalho com problemas, como também o ensino
de Matemática como um todo.
A ABORDAGEM PROBLEMATIZADORA
O que quer dizer isso? O objetivo é exercitar o raciocínio em todas as
oportunidades em que isso é possível. Deve ocorrer em todas as aulas e não
só nas aulas de Matemática. A razão é que não podemos ficar esperando que
nossos alunos raciocinem, apenas no dia em que trabalhamos problemas de
Matemática.
Vejamos um exemplo do que é a abordagem problematizadora. Imagine que
a professora e os alunos estão lendo uma história numa aula de Língua
Portuguesa. A heroína da história é uma menina que vive algumas aventuras.
Em certos momentos da leitura, a professora pode fazer perguntas como esta:
- Vocês notaram que a Luisinha se meteu numa encrenca? Se você fosse a
Luisinha, como é que você sairia dessa?
Essa questão é um problema, embora não seja problema de Matemática. Foi
proposto oralmente para ser respondido com palavras, mas isso não impede
que exercite o raciocínio. Assim, uma abordagem problematizadora consiste
em tratar os mais diversos assuntos como se fossem problemas. Em outras
palavras, problemas escritos e problemas de Matemática não são os únicos
que merecem nossa atenção.
Já recomendamos que a abordagem problematizadora seja usada também no
ensino das contas. Recomendamos que o colega leia o artigo Cálculo e
raciocínio.
O DIÁLOGO
Logo no início deste texto dissemos que não podemos pensar por nossos
alunos. Portanto, cada problema deve ser resolvido pelas crian-
ças e não por nós. Sendo assim, de que maneira será possível ajudá-los na
resolução, sugerir caminhos e raciocínios? A resposta está na troca de idéias,
no diálogo.
Vamos esclarecer esse diálogo por meio de um exemplo. Suponha que a
professora proponha que seus alunos resolvam em grupo alguns problemas
de Matemática. Os problemas podem ter sido selecionados de um livro
didático ou criados por ela.
Os alunos reúnem-se em grupos de três, vão lendo os problemas, conversando
entre si e tentando resolver. A professora, passeia pelos grupos, pára ora num,
ora noutro, faz perguntas. Ela percebe que um grupo escolheu um caminho
incorreto e pergunta - Por que você está fazendo essa conta de vezes? Ela não
quer corrigir esses alunos; ela quer fazê-los refletir sobre o que fizeram para
que eles mesmos se corrijam. Outro grupo não faz progresso. A professora
percebe e tenta ajudar com uma pergunta: - O que a gente tem que descobrir: o
preço do refrigerante ou a quantidade de garrafas? Assim, ela procura
orientar o raciocínio do grupo.
Na situação de nosso exemplo está ocorrendo diálogo, troca de idéias, entre
os alunos e entre estes e o professor. Em conseqüência, cada um ajuda os
demais, sugere idéias para os outros, sem pensar por eles. Em particular, o
professor passa um pouco de sua experiência com a Matemática para seus
alunos, ao mesmo tempo ajudando-os a viverem suas próprias experiências.
O diálogo, tal como o descrevemos, valoriza o raciocínio do aluno, porque
este é constantemente ouvido pelo professor e pelos colegas. Em
conseqüência, o aluno se sente estimulado a raciocinar.
Normalmente, uma maneira ideal de complementar uma aula de problemas,
resolvidos em grupo, consiste em pedir que alguns alunos expliquem para o
resto da classe como resolveram um ou outro dos problemas. Assim, mais
uma vez, o raciocínio dos alunos é valorizado e cada um aprende com os
demais.
O diálogo não está presente apenas quando problemas são resolvidos em
grupo. Ele é a base de qualquer abordagem problematizadora. Sempre que o
professor pergunta, ouve seus alunos e estes também podem apresentar suas
idéias, promove-se o diálogo e estimula-se o raciocínio.
PARA CONCLUIR
Apresentamos duas idéias fundamentais e outras idéias de menor alcance,
mas muito úteis, sobre resolução de problemas. Aplicando essas idéias,
consegue-se melhorar significativamente o desempenho dos alunos. Alguns
progredirão mais, outros menos, mas alguma melhora é garantida sempre.
Alertamos o colega, porém, que a aplicação dessas idéias exige dedicação,
reflexão e experiência. Aos poucos, adquire-se a sensibilidade para ajudar os
alunos sem pensar por ele, encontram-se problemas adequados e motivadores
e consegue-se abordar de maneira problematizadora cada assunto tratado na
sala de aula. Não é fácil, mas todo professor concordará que vale a pena!
FRAÇÕES
AS CRIANÇAS E AS FRAÇÕES
Na maioria das escolas, as crianças começam a aprender sobre frações na 3a
série. Esse aprendizado continua na 4a série. Em alguns momentos,
especialmente quando são ensinadas as operações com frações, as crianças
encontram enormes dificuldades. Às vezes, chegam a saber como efetuar as
operações, mas, examinando com atenção, perceberemos que não se trata de
verdadeiro aprendizado. Elas não entendem o que estão fazendo e apenas
repetem os procedimentos ensinados pelo professor de maneira mecânica.
Além disso esquecem rapidamente o que lhes foi ensinado. Tanto é assim
que o assunto é inteiramente repetido na 5a série.
Assim, é natural fazer perguntas como estas:
• Qual o motivo dessa dificuldade em aprender as operações com frações?
• Vale a pena todo o esforço que muitos professores fazem para as crianças
aprenderem a calcular com frações?
UM POUCO DE HISTÓRIA
As frações foram criadas há milhares de anos, no antigo Egito, no tempo dos
faraós e das pirâmides. Serviam, entre outras coisas, para expressar medidas.
Por exemplo, se um muro tem mais de 1 metro e menos de 2 metros de
comprimento, para expressar seu comprimento exato podemos usar uma
fração. Ele pode ter, digamos, 2 metros mais 3/4 de metro de comprimento
ou, usando números mistos, 2 3/4 metros.
No entanto, atualmente, ninguém expressaria esse comprimento usando
frações. No exemplo que vimos, como 3/4 é igual a 0,75, diríamos que o
comprimento do muro é 2,75 metros.
Os números decimais foram inventados há cerca de 500 anos, justamente
para expressar medidas no lugar das frações, porque é mais fácil operar com
decimais do que com frações. Também é mais fácil comparar (isto é,
determinar qual o maior número) decimais do que comparar frações. Pelo
que vemos a nossa volta, a invenção dos decimais foi
bem sucedida. Os números decimais com vírgula vêm substituindo as frações
em quase todas as aplicações. No dia a dia, estas só aparecem
constantemente nas receitas de culinária, nas quais usam-se medidas como
1/2 colher ou 3/4 de xícara.
AS FRAÇÕES NA ESCOLA
As frações são, então, pouco usadas no dia a dia. O que não se usa, acaba se
perdendo. É por essa razão que poucas pessoas adultas sabem fazer cálculos
com frações, mesmo tendo ido à escola e aprendido o assunto por muito
tempo. Essa é também uma das razões pelas quais as crianças têm
dificuldades com as frações. O dia a dia não oferece exemplos de fração, não
contribui para que elas se familiarizem com essa idéia.
Essas considerações são importantes para o ensino de Matemática. Os
números decimais são mais úteis que as frações, do ponto de vista prático.
Por que, então, na escola, as frações ocupam mais tempo que os números
com vírgula?
Por outro lado, embora tenham atualmente menos utilidade prática, as
frações não podem ser abandonadas. Elas têm importância para diversos
conteúdos de Matemática que muitos alunos aprenderão mais tarde, como
Álgebra ou Probabilidade.
Assim, no ensino, deve-se dar às frações seu justo lugar. De 1a à 4a série,
convém trabalhar o conceito de fração, mas não as operações e outras
técnicas mais complicadas (tais como conversão em número misto, etc), que
são pouco usadas. No entanto, a partir da 5a série, essas técnicas podem ser
abordadas (sem exageros em cálculos como alguns ainda fazem), sendo
razoável continuar seu estudo na 6a e mesmo na 7a série.
Dessa maneira, elimina-se boa parte das dificuldades que os alunos
enfrentam na 3a e 4a série com as frações. Quando, mais tarde, eles estudarem
os temas mais complexos, terão melhores condições para entendê-los, pois
possuirão mais experiência e maturidade. Ao mesmo tempo, são atendidas as
necessidades do dia a dia. Reduzindo o esforço com frações nas 3as e 4as
séries, pode-se trabalhar temas mais relevantes socialmente, como números
decimais ou Estatística.
O CONCEITO DE FRAÇÃO
Dissemos que a maior parte do trabalho com frações até a 4a série deve-se
concentrar no conceito de fração. Esse conceito está, no início, ligado à
divisão de uma unidade ou um total em partes iguais. Esse total pode ser uma
figura (uma unidade) ou uma quantidade (uma classe de alunos, por
exemplo). Assim, para começar, devemos tratar de frações de figuras e de
quantidades.
FRAÇÕES DE FIGURAS
É muito freqüente o professor apresentar a idéia de um todo, dividido em
partes iguais por meio de desenhos. Por exemplo, desenha-se um retângulo
dividido em 3 partes iguais e diz-se ao aluno que cada parte é 1/3 do
retângulo. Diversas experiências de ensino têm mostrado que essa
abordagem é insuficiente. Há vários motivos para isso. Um deles é que,
devido à pouca experiência das crianças com as formas geométricas, muitas
delas não são capazes de perceber que um retângulo está dividido em partes
iguais, a partir do desenho.
Assim, no ensino das frações, mais do que conveniente, é necessário
começar o trabalho usando unidades concretas, como um círculo ou
retângulo de cartolina, e suas partes.
Por exemplo, a professora, antes mesmo de falar em fração pela primeira
vez, pode dar às crianças uma unidade de cartolina e meios, terços, quartos e
sextos dessa unidade, também em pedaços de cartolina, mas de cores
diferentes:
As crianças devem manipular essas peças e, aos poucos, perceberem as
relações de tamanho entre elas. Por exemplo, perceberem que duas
verdes fazem uma branca ou duas vermelhas fazem uma amarela.
Só depois dessa percepção é que se deve nomear as peças (a branca
corresponde a 1, cada verde corresponde a 1/2, cada amarela corresponde a
1/3, etc). E, depois disso, pode-se traduzir para a linguagem das frações as
descobertas dos alunos em relação ao material. Por exemplo, o fato de duas
vermelhas terem o mesmo tamanho que uma amarela significa que 2/6 = 1/3.
Desse fato, outros podem ser deduzidos (como 1/ 6 < 1/3). Repare, então, que
o material permite aos alunos descobrirem e visualizarem uma série de fatos
sobre as frações que, somente a partir de desenhos, parecem
incompreensíveis para eles.
Apresentamos acima um material muito simples para iniciar o trabalho com
frações. É conveniente notar que, se esse material for usado, o professor não
deve se restringir a ele. É preciso trabalhar com outros materiais, de outras
formas. A razão é que, quando lidamos com frações, o todo ou a unidade é
variável. Podemos ter 1/3 de uma xícara, de uma peça de tecido, de um
comprimento, etc.
FRAÇÕES DE QUANTIDADES
Frações de retângulos ou círculos ajudam a formar o conceito de fração, mas
não bastam. É preciso estender a idéia para situações do dia a dia, como nas
receitas de bolo (- Encha 1/4 de xícara de água.) ou na linguagem comuni (Que fração da tarefa já foi feita?).
Finalmente, é preciso chegar às frações de quantidades. Nos livros didáticos
são comuns problemas como este:
Marialva comprou 20 adesivos para enfeitar o caderno. Já usou 1/5 deles.
Quantos ela já usou ?
Mesmo tendo trabalhado com frações de figuras, usando materiais e
desenhos, muitos alunos não percebem que a quinta parte de 20 objetos é
obtida dividindo-se 20 por 5. Isto é, eles não associam a divisão das figuras
em partes iguais com a divisão de quantidades em partes iguais. Por isso, o
professor deve ser cuidadoso ao iniciar o trabalho com frações de
quantidades.
Nas primeiras vezes em que trabalhar com problemas desse tipo, o professor
deve pedir que os alunos desenhem os objetos e separem-nos
em partes iguais. Por exemplo, desenham-se os 20 adesivos, para separá-los
em 5 grupos de mesma quantidade, permitindo verificar que l/õ de 20 é igual
a 4. Em pouco tempo os alunos perceberão que não é necessário desenhar e
que, nessas situações, pode-se efetuar uma divisão. Mas é importante que
percebam por si mesmos para garantir o entendimento.
PARA CONCLUIR
As idéias de fração de figura e de quantidade parecem o bastante para uma 3a
série. Se os alunos forem capazes de nomear partes de um todo usando
frações de denominadores "pequenos", como meios, terços, sextos, se
conseguirem representar essas frações por meio de desenhos, se usarem
essas frações na fala do dia a dia, se souberem calcular, digamos, dois terços
de uma quantia, então, já têm um conhecimento adequado para a faixa
escolar de 3a / 4a série.
ANOTAÇÕES
Imenes, Luis Márcio. I32c Conversa de professor: Matemática/Luís Márcio
Imenes e Marcelo Lellis. — Brasilia, Ministério da Educação e do Desporto,
Secretaria de Educação ã Distância, [1996]. 49p. il. (Cadernos da TV Escola)
1. Matemática — Material institucional. I. Lellis, Marcelo. II. Ministério
da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação à Distância. III. Série.
CDU: 372.47:371.671.12