Apostila de matemática aplicada – Prof.Renato A .Toledo
Análise e desenvolvimento de sistemas
1
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Os números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos através de um produto
da forma x • 10n , onde 1 ≤ x < 10 e n ∈ Z . Denominamos essa representação de notação
científica .
Exemplos:
• Distância da Terra ao Sol =150.000.000 km
Notação científica : 1,5 • 108km
• Velocidade da luz = 300.000km/s
Notação científica : 3 • 105km / s
• Massa do átomo de hidrogênio= 0,000 000 000 000 000 000 000 00166 g
Notação científica: 1,66 • 10 −24 g
1- Dê a notação científica dos números:
a) 82.500
c) 243.000.000.000
e) 0,00045
g) 0,000 000 0004
b) 15.000.000
d) 1.030.000.000
f) 0,000 000 003
h) 0, 000 000 000 15
2- Represente os seguintes números em potências de 10
a) 0,1
d) 0,001
g)
1
0,01
b) 1000
e) 100 000
h)
100
0,1
c) 0,0001
f)
i)
0,01
1000
1
10 000
3- Um ônibus espacial ao ser lançado libera 163 toneladas de ácido clorídrico, causando sérios
danos à camada de ozônio. Dê a notação científica dessa massa liberada em gramas.
4- No cérebro há mais de 14 milhões de neurônios. Escreva esse número em notação científica.
5-Segundo a previsão, a população mundial no ano 2.050 será de 10 bilhões de habitantes. Use a
notação científica para escrever essa população.
6- Em 1972 a nave americana Pioneer 10 percorreu 5.900.000.000.000 km, estabelecendo um
recorde na corrida espacial.Dê a notação científica desta distância.
7- A estrela de Barnard localiza-se a 6 anos-luz do Sol. Dê a notação científica dessa distância
em km, sabendo que 1 ano-luz corresponde a , aproximadamente, 9,5 trilhões de km.
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2
8-O governo dos EUA está financiando as pesquisas do Nasp (Avião Nacional Aeroespacial),
projetado para levantar vôo como avião e entrar em órbita. O Nasp, por enquanto batizado X-30
(X é o código para aviões experimentais), deverá ser testado ainda neste século. O hipersônico
americano deverá voar a uma velocidade de 23.760 km/h(Mach20).Dê a notação científica dessa
velocidade.
9-A fusão nuclear produz a energia que mantém acesa as estrelas. Uma versão de laboratório, a
300 milhões de graus Celsius,foi obtida por físicos europeus na Grã –Bretanha. Dê a notação
científica da temperatura dessa experiência em graus Celsius.
10- A tabela a seguir registra a distância média dos planetas do sistema solar ao Sol, vamos
completá-la usando notação científica.
Planeta
Distância média ao Sol ( em km)
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
57 900 000
108 200 000
149 600 000
227 900 000
Utilizando Notação
Científica
11- Dê a resposta das expressões numéricas em notação científica
(
) (
(
) (
)
c) 4,8 • 10 −3 ÷ 1,6 • 10 −6
(
) (
)
d)
a ) 2,4 • 10-3 • 3,6 • 107
b) 4,2 • 10- 7 ÷ 2 • 10− 2
)
3,6 • 10 − 2
1,44 • 10 − 4
12- A massa de um próton é 1,65 • 10−24 gramas. Qual é a massa em quilogramas de 50 prótons?
Dê a resposta em notação científica.
13-Sabe-se que a=0,0013 e b=0,005.Nessas condições, escreva o número que expressa o produto
a.b usando a Notação Científica.
2
0,0001 × (0,01) × 1000
14- Determine, em potência de 10, o valor da expressão:
0,001
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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
A evolução no sistema de contagem
Ao longo da história percebemos que o homem sempre teve a necessidade de contar
objetos, coisas e registrar de alguma maneira essas quantidades encontradas.
Um dos primeiros registros que a história nos conta provavelmente foi a associação dos
homens com os seus dedos da mão (“digitus” = dedos), mas que em pouco tempo tornou-se
impossível estabelecer uma correspondência entre cada dedo e a quantidade a ser contada,
quando essa quantidade era maior que dez. Então o homem começou associar os objetos a serem
contados com pedrinhas , sementes , riscos em gravestos , ossos ou mesmo nas cavernas.
Um outro recurso muito importante surgiu quando
os homens começaram a substituir grupos de dez por
outro objeto diferente na cor, tamanho ou tipo.
O ato de usar pedras ( em latim - calculus)para
associar quantidades tornou-se comum a vários povos,
por isso o termo calcular ou fazer cálculo.
Conforme os cálculos foram ficando mais
sofisticados, povos como os chineses começaram
a desenvolver instrumentos facilitadores como o ábaco,
muito utilizado nas escolas atuais.
Sistema de numeração
É o conjunto de símbolos e regras que nos permite representar números.
Um sistema muito antigo e até hoje utilizado é o sistema de numeração romano , que
consiste em usar letras para representar números.
Símbolo romano
I
V
X
L
Número
1
5
10
50
C
D
M
100 500 1000
Para a utilização desse sistema algumas regras devem ser obedecidas:
• Os símbolos I , X , C e M podem ser utilizados até três vezes num mesmo número.
Exemplos:
3 = III
30 = XXX
300 = CCC
3000 = MMM
• Os símbolos I , X e C quando colocados antes de símbolos que representam valores
maiores do que eles, significa que eles tem os seus valores subtraídos do símbolo imediatamente
a direita.
Exemplos:
4 = IV
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
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• Um símbolo escrito a direita do outro tem o seu valor somado ao símbolo da esquerda, ,
com exceção de I ,X e C, quando escritos na forma IV , IX , XL , XC , CD e CM.
Exemplos:
6 = VI
70 = LXX
68 = LXVIII
1752 = MDCCLII
• Colocando -se um traço horizontal sobre um ou mais símbolos, significa que o seu ou os
seus valores foram multiplicados por mil.
Exemplos:
4000 = IV
15123 = XVCXXIII
Sistema de numeração decimal
Esse sistema de numeração também conhecido como posicional, pois cada algarismo tem
o seu valor de acordo com a sua posição no número.
O sistema adotado o nome de decimal pois a contagem é feita em grupos de dez: onde
dez unidades equivalem a uma dezena, dez dezenas equivalem a uma centena, dez centenas
formam uma unidade de milha , e assim por diante.
Os símbolos usados para representar os números são conhecidos como algarismos indoarábicos,pois o seu aparecimento é atribuído aos indianos e a sua divulgação aos árabes.
Observe no quadro abaixo as modificações que os algarismos sofreram desde os
primeiros registros até os dias de hoje.
Um dois
três quatro cinco seis
sete
oito nove zero
O sistema descrito acima é o decimal, isto significa que o algarismo que está escrito
imediatamente a esqueda de outro tem o seu valor dez vezes maior do que se estivesse escrito na
posição imediatamente a direita dele.
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Com os dez símbolos que temos podemos escrever qualquer número, mesmo que ele seja
maior que dez, basta apenas mudar o símbolo de posição.
Exemplos:
14 = vale 4 unidades
47 = vale 40 unidades
489 = vale 400 unidades ou 40 dezenas
Classe dos
bilhões
centenas
dezenas
unidades
centenas de
milhares
dezenas de
___
centenas de
milhão
dezenas de
centenas de
bilhão
dezenas de
Para que possamos ler com facilidade , as ordens foram agrupadas de 3 em 3 da direita
para a esquerda. Cada grupo de 3 ordens formam uma classe.
___ ___ ___
Classe dos
milhões
Classe dos Classe das
milhares
unidades
Exemplos:
a) 3 526 → lê-se : três mil, quinhentos e vinte e seis
b) 15.734.106 → lê-se : quinze milhões, setecentos e trinta e quatro mil e cento e seis
Obs.: As classes podem ser separadas por um espaço ou por um ponto
Base de um sistema numérico
No sistema de numeração decimal agrupamos e reagrupamos de 10 em 10 o que
caracteriza o sistema conhecido como de base 10. Se agrupássemos e reagrupássemos de 7 em 7
o sistema teria base 7. Os sistemas mais utilizados são os de base 10 ( decimal), base 2 (binário),
base 8 (octal) e base 16 (hexadecimal). Para identicarmos a base do sistema, na qual o número
está escrito, devemos colocá-la como índice no número.
Exemplos:
2435 ( base 5)
97810 ou 978 ( base 10)
5467 ( base 7)
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Base dois ou sistema binário
Os computadores utilizam circuitos eletrônicos que são capazes de distinguir dois níveis
de tensão, alta ou baixa.Isso significa que as informações armazenadas nele utilizam esses dois
níveis de tensão, que de agora em diante iremos representá-los pelos algarismos 0 (baixa tensão)
e 1 (alta tensão), ou 0 ( desligado) e 1 ( ligado). Cada um dos algarismos utilizados para
representar um número na forma binária recebe o nome de bit ( Binary digit).
Temos agora algumas denominações muito freqüentes:
1 byte = 8 bits
1 kilobyte = 1024 bytes
1 megabyte = 1024 kilobytes ( K ou KB)
1 gigabyte = 1024 megabytes (MB)
1terabyte = 1024 gigabytes (GB)
1petabyte = 1024 terabytes (TB)
1 exabyte = 1024 petabytes (PB)
1 zetabyte = 1024 exabytes (EB)
1 yotabyte = 1024 zetabytes (ZB)
O sistema de base 2 utiliza somentes os algarismos 0 e 1 , lembrando que os
agrupamentos e reagrupamentos se dão de dois em dois, ou seja cada 2 unidades de uma ordem
formam uma unidade de ordem superior.
Exemplos:
1012 = 1×22 + 0 × 21 + 1×20 = 4 + 0 + 1 = 5
10112 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
111112 = 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×2
Passando para a base dois
Para entendermos um pouco melhor essa idéia, vamos imaginar que tivéssemos um jogo
onde o tabuleiro é uma caixa com compartimentos e cada compartimento no sistema binário só
aceita estar vazio ou com uma bolinha, já que duas bolinhas se transformam em uma na ordem
seguinte.
Exemplo:
5=
→
→
1
0
1
Logo temos que 5 é igual a 1012
Agora ficará mais fácil enterdermos os processos utilizados abaixo, para transformarmos um
números escrito na base 10 para a base 2.
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1º Processo
Para passarmos um número escrito na base 10 para a base dois , devemos dividi-lo por
dois reservando o resto e divindo novamente o quociente obtido por 2, e seguindo dessa maneira
até obtermos um quociente igual a 1. A leitura do número escrito na base dois é dada pelo último
quociente e os restos seguintes.
Exemplos:
Passe para a base 2 os seguintes números escritos na base 10.
a) 18
18
0
b) 79
2
79
1
9
2
1
4
2
0
2
2
0
1
18 = 100102
2
39
2
1
19
2
1
9
2
1
4
2
0
2
0
2
1
79 = 10011112
2º Processo
Outra maneira de obtermos o número binário equivalente a um dado número natural
escrito na forma decimal, é transformá-lo numa soma de potências de base dois. Podemos fazer
isso, subtraindo do número dado a maior potência de base dois conseguida, e continuar esse
processo com os restos que forem surgindo.
Exemplos:
Escreva na base dois , os seguintes números escritos na base dez:
a) 18 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
Portanto : 18 = 100102
b) 79 = 1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
Portanto : 79 = 10011112
Obs.: Com base no 2º processo passaremos de binário para decimal , apenas efetuando as somas
dos produtos de cada potência de base dois pelo respectivo dígito binário.
Exemplo:
1001102 = 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38
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Exercícios
1. Passe para a base 2 os seguintes números:
a) 15
e) 127
b) 25
f) 128
c) 31
g) 511
d) 32
h) 1024
2. Escreva , na base 10 , os seguintes números, escritos na base 2 :
a) 1102
b) 101112
c) 1000002
d) 11111112
e) 10101112
f) 111100002
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3.Escreva na base 2, e com 5 bits, os números naturais de 0 a 16.
4. Determine o consecutivo dos seguintes números binários:
a) 110002
b) 101012
c) 100112
d) 111112
5. Passe para a base 10, sem fazer a conversão ,os seguintes números escritos na forma binária:
a) 1002
e) 1112
b) 10002
f) 11112
c) 100002
g) 111112
d) 1000002
h) 1111112
6. Sem efetuar a conversão, escreva o dobro dos números binários abaixo:
a) 1012
b) 10012
c) 10101012
d) 1011100012
7. Determine o que acontece a um número, quando acrescentamos zeros a sua direita .
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ARITMÉTICA BINÁRIA
Soma binária
È semelhante a soma decimal , com a diferença que dispomos apenas dos dígitos 0 e 1, e
por isso quando o resultado excede um , transportamos o excesso a ordem imediatamente
superior. Observe as somas abaixo:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10 ( 0 com o transporte de 1 )
Exemplos:
Somar os números binários representados abaixo:
a)
10010102 ( 74 ) + 1101012 ( 53 )
1001010
+ 110101
1111111
b)
74
+ 53
127
10101012 (85) + 101012 (21)
1 1 1 transporte ( vai um )
1010101
+ 10101
1101010
c)
85
+ 21
106
10110112 (91) + 1010012 (41)
1 1 1 1 1 transporte ( vai um )
1011011
+ 101001
10000100
91
+ 41
131
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Subtração binária
Como na adição, a subtração binária também é muito semelhante a subtração decimal.
Entretanto , na forma binária só temos os dígitos 1 e 0, portanto, quando uma subtação não for
possível, devemos efetuar o “empréstimo” de 1 da ordem superior, que na ordem imediatamente
inferior se “transforma” em 2.São os transportes que vimos na adição.
Observe as subtrações abaixo:
0 - 0= 0
1 - 0= 1
1 - 1= 0
0 - 1 = ( não é possível)
Exemplos:
Subtrair os números binários representados abaixo:
a) 111111112 (255) - 101010102 (170)
11111111
-
- 10101010
01010101
255
170
85
b) 1011012 ( 45) - 100012 (17)
2 ( “emprestou” 1 que se” transformou” em 2)
-
101101
10001
11100
45
- 17
28
c) 11010012 (105) - 1110102 (58)
12 1 2
22 2
-
1101001
111010
101111
(“ empréstimos” que se “transformam“ em 1)
-
105
58
47
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12
Multiplicação binária
È semelhante a multiplicação decimal , exceto pela soma dos produtos que é efetuada em
binário. Observe as multiplicações abaixo:
0
0
1
1
×
×
×
×
0=0
1=0
0=0
1=1
Exemplos:
Multiplicar os números binários representados abaixo:
a) 10112 (11) por 1012(5)
1011
× 101
1011
0000
1011
110111
11
×5
55
b) 111011012 (237) por 10112(11)
11101101
× 1011
11101101
11101101
00000000
11101101
101000101111
237
× 11
2607
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13
Divisão binária
Como aconteceu com a multiplicação, a divisão binária é muito semelhante a divisão
decimal, exceto pelas multiplicações e subtrações que são feitas em binário.
Exemplos:
Divida os números binários representados abaixo:
a) 110012 (25) por 1012 (5)
-
11001
101
00101
101
000
101
11
Quociente (5)
-
Resto (0)
b) 1010112 (43) por 1102 (6)
-
101011
110
01001
110
00111
110
001
-
110
111
Quociente (7)
Resto (1)
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Exercícios
1. Efetue:
a) 100012 + 10102
c) 11111112 + 111112
b) 1010102 + 11112
d) 101101112 + 110011112
2. Efetue as seguintes subtrações:
a) 110012 – 1012
c) 1110112 – 101012
b) 10101012 - 11112
d) 10000002 - 1112
3. Efetue:
a) 101112 × 112
b) 1010101 × 1012
c) 11111012 × 1112
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4.Efetue as divisões abaixo:
a) 1101012 : 1012
c) 110011012 : 1002
b) 10101112 : 112
d) 11110012 : 10112
Base oito ou sistema octal
È um sistema que utiliza escrever os números em forma de potências de base oito, já que
utiliza apenas os símbolos 0,1,2,3,4,5,6 e 7.
Para escrevermos um número escrito na base dez para a base oito devemos proceder da
mesma maneira que fizemos com a base dois.
Exemplo:
Converter o número 16510 para a base oito.
165
5
8
20
8
4
2
16510 = 2458
Converter o número 2458 para a base dez.
2458 = 2 × 82 + 4 × 81 + 5 × 80 = 2 × 64 + 4 × 8 + 5 × 1 = 128 + 32 + 5 = 16510
Para convertermos um número escrito na base dois para o sistema octal, basta apenas
agruparmos de três em três bits da direita para a esquerda e escrevermos cada grupo desse na
forma decimal.
Exemplos:
111001011112 = 11 100 101 111 = 34578
3
4
5
7
1001100110012 = 100 110 011 001 = 46318
4
6
3
1
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16
Base 16 ou sistema hexadecimal
Esse sistema utiliza 16 símbolos para a sua representação. A mudança da base dez para a
base 16 é semelhante a utilizada para a conversão para a base dois.Como não temos todos os
algarismos necessários para compor essa base, então utilizaremos algumas letras para completar
os 16 símbolos necessários.Os símbolos utilizados são 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F , onde as
letras representam respectivamente os números dez,onze,doze,treze,quatorze e quinze.
Exemplo:
Converter o número 47010 para a base 16:
470
16
6
29
16
13=D
1
47010 = 1D6
Converter o número 1D616 para a base dez.
1D616= 1 × 162 + 13 × 161 + 6 × 160 = 47010
D
Para convertermos um número escrito na base dois para o sistema hexadecimal, basta
apenas agruparmos de quatro em quatro bits da direita para a esquerda e escrevermos cada grupo
desse na forma decimal.
Exemplos:
110011110012 = 110 0111 1001 = 67916
6
7
9
1100011110102 = 1100 0111 1010 = C7A16
12=C
7
10=A
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17
Exercícios
1. Efetue as conversões pedidas:
a) 2548 em decimal e binário
b) 1010112 em decimal e octal
c) 234510 em octal e hexadecimal
d) 2F516 em binário e octal
2. Complete a tabela seguinte:
Representação decimal Representação
binária
Representação octal Representação
hexadecimal
1000
1011011101
754
AF2
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18
3. Nos computadores existe uma representação simbólica na qual um determinado símbolo tem o
seu correspondente decimal e binário. Um dos principais padrões utilizados hoje é o ASCII
( Americam Standard Code for Information Interchange) que pode ser de 7 bits ou o ASCII
estendido de 8 bits.
Observe os exemplos abaixo e em seguida responda as perguntas:
DECIMAL
25
42
93
166
190
BINÁRIO
11001
101010
1011101
10100110
10111110
CARACTER
↓
*
]
ª
¥
a) Utilizando o código ASCII de 7 bits podemos representar quantos caracteres diferentes?
b) Utilizando o código ASCII de 8 bits podemos representar quantos caracteres diferentes?
4.Um sistema utilizado para as cores nos computadores é o RGB que significa Red (vermelho),
Green (verde) e Blue (azul). Cada um dos códigos descritos acima representa a intensidade da
cor, que varia de 0 (sem intensidade) a 255 ( intensidade máxima), pois esse código tem base 16.
Exemplos:
Cor
Branco
Preto
Verde
Azul
Vermelho
Amarelo
Agora responda:
Código RGB
R=255,G=255,B=255
R=000,G=000,B=000
R=000,G=255,B=000
R=000,G=000,B=255
R=255,G=000,B=000
R=255,G=255,B=000
Notação hexadecimal
# FF FF FF
# 00 00 00
# 00 FF 00
# 00 00 FF
# FF 00 00
# FF FF 00
a) Quantas cores diferentes podemos representar utilizando o código RGB?
b) Dê a representação hexadecimal de cada cor relacionada abaixo:
Cor
Laranja
Código RGB
R=255,G=153,B=000
Rosa
R=255,G=051,B=204
Notação hexadecimal