PRODUÇÃO DIDÁTICO - PEDAGÓGICA
Autor: César Faiçal
NRE: Londrina
Escola: Colégio Estadual Marechal Castelo Branco – Ensino Fundamental, Médio e
Normal
Disciplina: Matemática
Ensino Fundamental
Disciplina da relação interdisciplinar 1: História
Disciplina da relação interdisciplinar 2: Geografia
Conteúdo Estruturante: Números, Operações e Álgebra
Conteúdo Específico: Sistema de Numeração Decimal e as Operações fundamentais
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E AS
QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
PERCEPÇÃO VISUAL DOS NÚMEROS
Dos grupos de figuras a seguir, somente no olhar, observe quais grupos
você consegue descobrir o número de figuras sem a necessidade de contar?
Há muito tempo a humanidade convive com a necessidade de contar,
culturas distintas em diversos momentos buscaram por registros e falas, que
quantificassem (cardinal) e ou qualificassem (ordinal) suas contagens, uma vez
que a percepção visual de quantidade é pequena. Entre as diversas maneiras
de contar, temos o nosso sistema de numeração, que é o Sistema de
Numeração Decimal, esse sistema é predominante na atualidade e desde
criança precisamos compreender para realizarmos nossas contagens, medidas
e operações.
Entre as propriedades do Sistema de Numeração Decimal, destacamos
a base dez, que investigaremos a partir do texto de Georges Ifrah (1989, p.53).
DEZ, A BASE MAIS COMUM
Em certas regiões da África Ocidental, ‘há relativamente pouco tempo,
os pastores tinham um costume bastante prático para avaliar um rebanho. Eles
Faziam os animais passarem em fila, um a um. Após a passagem do primeiro
enfiavam uma concha num fio de lã branca, após o segundo uma outra concha,
e assim por diante até dez. Nesse momento desmanchava-se o colar e se
introduzia uma concha numa lã azul, associada às dezenas. E se recomeça a
enfiar conchas na lã branca até a passagem do vigésimo animal, quando se
introduzia uma segunda concha no fio azul. Quando este tinha, por sua vez,
dez conchas, e cem animais haviam sido contados, desfazia-se o colar das
dezenas e enfiava-se uma concha numa lã vermelha, reservada desta vez para
as centenas. E assim por diante até o término da contagem dos animais. Para
duzentos e cinqüenta e oito animais, por exemplo, haveria oito conchas de lã
branca, cinco azuis e duas vermelhas.
Não vamos pensar com isso que esses pastores raciocinavam como
“primitivos”. Nós ainda contamos segundo o mesmo princípio que eles, só que
com símbolos diferentes. A idéia básica deste procedimento reside de fato na
predominância do agrupamento por dezenas (ou “feixes” de dez unidades), por
centenas (ou dezenas de dezenas) etc. Nesta técnica concreta, cada concha
de lã branca vale por uma unidade simples, enquanto cada concha da segunda
ou da terceira lã marca um agrupamento de dez ou de cem unidades. Na
linguagem dos matemáticos, isto se chama “empregar a base dez”.
Podemos pensar também em bases diferentes de dez?
Como seria a contagem do pastor se quando ele tivesse 5 desmanchasse o
colar e introduzisse uma concha na lã azul?
Para saber mais, pesquise sobre o Sistema Binário e o Sistema Ternário.
Escreva a seqüência numérica destes dois sistemas até a quantidade 10.
Vamos representar algumas quantidades em outras bases
1) Qual é o número do sistema de numeração binário que representa o número
49 do sistema de numeração decimal?
2) Na base cinco, qual será a representação do número trinta e sete?
3) O número 1202 do Sistema Ternário corresponde a qual número do Sistema
de Numeração Decimal?
E mais....
A base doze e a base sessenta participam das suas contagens, de seus
cálculos matemáticos?
As questões anteriores nos levam a refletir sobre as diferentes bases
dos sistemas de numeração, os decimais e os não-decimais. Outra propriedade
do Sistema de Numeração Decimal, é que os valores dos algarismos se
alteram dependendo da posição que ocupam num número, ou seja, o Sistema
de Numeração Decimal é posicional. Para ilustrar a idéia de posição de um
algarismo, vamos conhecer um pouco sobre o Antigo Egito e seu sistema de
numeração.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO
Emergindo do tribalismo, numa região de vales secos e desérticos a
civilização egípcia se desenvolveu nas margens do rio Nilo. Esse grande e
volumoso rio, que limita os desertos da Líbia e da Arábia, além de muita água,
possuía as margens ricas
em húmus, o que deu
condições
para
a
organização de plantios
em
comunidades.
Heródoto, um historiador
grego, registrou que os
sacerdotes consideravam
o Egito um presente do
Nilo. A história política do
Egito tem como marco
inicial, a unificação entre
povos do Baixo Egito,
situado no delta, e do Alto
Egito, situado no vale,
feita por Menés em 3500
a.C. aproximadamente e
depois
passa
períodos
Fonte: Howard Eves. Introdução à história da
matemática, 2004, p.68
de
por
dez
mudança,
que teve como marco
final
o
domínio
dos
persas em 525 a.C., o que, mais tarde é alterado pela ocupação das terras dos
antigos faraós pelos árabes. Os
arquitetos da época pareciam
transmitir a idéia de eternidade
nas construções funerais como
as mastabas, as pirâmides e os
hipogeus.
Os
acreditavam
que
egípcios
os
homens
tinham duas almas, Ba e Ka e os
cadáveres eram embalsamados
para manter o elo de ligação entre
Pirâmides de Gizé – acesso em 08/06/2008
Fonte: WWW.creativecommos.org.br
corpo e a alma. Na medicina chegaram a fazer operações, tratavam fraturas
ósseas com habilidade e na observação de propriedades terapêuticas de
certas drogas apropriaram de conhecimentos básicos de farmacodinâmica
(SOUTO, 1978).
Os conhecimentos científicos dos egípcios se destacam na matemática
e na astronomia, de acordo com Souto (1978, p.32):
Dois mil anos antes de cristo já haviam descoberto fórmulas
para cálculo das áreas do triângulo e do círculo, assim como do
volume das esferas e dos cilindros. Apesar de não conhecerem
o zero, já resolviam nessa época equações algébricas. Os
conhecimentos astronômicos permitiram-lhes a organização de
um calendário baseado nos movimentos do sol. A divisão do
ano em doze meses de trinta dias é de origem egípcia; os
romanos adotaram-na e ainda hoje é conservada com
pequenas modificações.
Os hieróglifos do sistema de numeração egípcio a partir do século XXVII
a.C., de acordo com Ifrah (1989), tornaram-se mais regulares e minuciosos, o
que permite destacarmos na tabela a seguir, seus valores e possíveis seres
animados e inanimados que originaram suas representações.
Valores
1
10
100
1000
Nome
bastão
asa
corda
ferradura
Símbolos
10000
100000
1000000
Flor de dedo
rã
Homem
lótus
girino
Segundo Ifrah (1997), num dos extratos dos anais do faraó Tutmosis III
(1490 – 1436) do Antigo Egito, constava entre os registros dos anais o seguinte
número na escrita egípcia:
Pense sobre essas coisas e responda:
1) O que podemos observar em relação à posição dos símbolos numéricos do
sistema Egípcio?
2) Pesquise sobre o sistema de numeração Babilônico, na antiga Mesopotâmia,
para saber se, em relação a posição dos símbolos, ele possui as mesmas
características do sistema de numeração egípcio.
3) Você conhece o sistema de numeração Romano, ele é decimal e posicional?
4) E sobre o nosso sistema de numeração, mudando a posição altera o valor?
5) Qual é a função do zero, e o nome das cinco primeiras classes do Sistema
de Numeração Decimal?
Aproveite o momento para:
1) Localizar nos mapas das populações da antiguidade a região na qual os
povos Egípcios, os Mesopotâmios, os Incas e os Astecas habitavam.
2) Consultar nos livros de História da Matemática da biblioteca da sua escola
sobre os registros das contagens dos Incas.
Você já ouviu falar em “papiros”? Papiro de acordo com o dicionário
Houaiss (2001) é uma planta nativa da África Central e do Vale do Nilo (rara no
Alto Nilo) é cultivada em diversos países, como ornamental e pelos rizomas
comestíveis. Especialmente na Antiguidade suas hastes eram usadas na
confecção de choupanas, barcos, sandálias, esteiras e na produção de folhas
para escrever, também chamadas papiro e de onde procede o termo papel.
Os cálculos presentes nos papiros antigos apresentavam uma aritmética
de caráter predominante aditivo. Mesmo nos papiros mais recentes do tempo
do Império Romano, podemos observar o principio aditivo:
MMMDCCXXVII = 1000 + 1000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 10 +10 +5 + 1 + 1
(IFRAH, 1997). Constava de uma matemática que envolvia cálculos que
dificultavam as quatro operações fundamentais. Imagine se fossemos somar
mediante os algarismos romanos:
CCXXXII
+
CCCXIII
+
MCCXXXI
+
MDCCCLII
____________
MMMDCXXVIII
Se não traduzíssemos para o nosso sistema de numeração seria difícil
somarmos as parcelas, por isso os calculadores europeus da Idade Média
sempre apelaram para ábacos para efetuarem seus cálculos. Você já viu um
ábaco?
ÁBACO, MATERIAL DOURADO E TABUADA GEOMÉTRICA
Ábaco chinês suan pan. Fonte: ( IFRAH, 1997, p.603)
Neste ábaco chinês denominado suan pan está representado o número
4.561.280. Para iniciarmos as operações com o ábaco, posicionamos todas as
bolinhas nas extremidades voltadas para fora do ábaco. Cada cinco bolinhas
da haste grande correspondem a uma bolinha da haste pequena, ou seja, se
queremos representar o número cinco não deslocamos cinco bolinhas da haste
grande para o centro, e sim, deixamos as cinco bolinhas na extremidade da
haste grande voltada para fora e deslocamos apenas uma bolinha da haste
pequena para dentro. Assim, conseguimos representar as unidades, as
dezenas, centenas, milhares, unidades de milhares e assim sucessivamente de
acordo com o número de hastes que possui o ábaco.
Vamos usar o ábaco?
1) Desenhe no seu caderno como ficaria a representação do número
38.423.876 no ábaco chinês suan pan.
2) Se somarmos o número anterior com 13.747, qual será o posicionamento
dos marcadores no ábaco suan pan? E se subtrairmos 13.747?
O Sistema de Numeração Decimal tem como vantagem a possibilidade
de estabelecermos processos por meio de algoritmos para resolver problemas
que envolvam as operações fundamentais. Para sabermos um pouco mais
sobre o que está envolvido nas operações apresentamos o Material Dourado.
Esse material, feito de madeira, é composto de cubo grande, placas, barras e
cubinhos. Veja se tem na sua escola esse material, então forme grupos para
vocês poderem conhecer as peças e estabelecerem as relações com o nosso
Sistema de Numeração.
CUBO
PLACA
BARRA
CUBINHO
Responda:
1) Quantos cubinhos eu preciso para ter uma barra?
2) Quantos cubinhos eu preciso para ter o equivalente a uma placa?
3) Quantos cubinhos possui um cubo?
4) Associando as peças do Material Dourado aos agrupamentos que fazemos
no nosso Sistema de Numeração, qual peça representa a:
a) dezena? ___________________________
b) unidade? ___________________________
c) milhar? _____________________________
d) centena? ___________________________
Se pensarmos nas multiplicações com o Material Dourado, só é de fácil
aplicação com números pequenos, para quantidades grandes, se não
dispusermos de uma calculadora no momento de multiplicarmos, o jeito é, se
não memorizamos a tabuada, ter uma em mãos para nos auxiliar nos cálculos.
Agora vamos construir uma Tabuada Geométrica:
Adquira um papel quadriculado, copie a parte da tabuada geométrica
que o estudante começou, e complete até dez.
1) A respeito dos retângulos coloridos o que podemos dizer da sua forma?
2) Que relação existe entre a seqüência numérica das medidas das áreas das
figuras coloridas e da seqüência numérica das medidas dos lados das figuras
coloridas?
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO À SOMBRA DAS PIRÂMIDES
Como um faraó multiplicaria 128 por 12 para determinar o número total
de sacos de trigo armazenados?
No Antigo Egito, procediam da seguinte maneira para multiplicar:
colocavam 1 na coluna da esquerda e 12 na coluna da direita, depois
dobravam esses números até que o multiplicando 128 apareça na coluna da
esquerda, assim, o resultado é o número correspondente da coluna da direita,
veja:
1
2
4
8
16
32
64
128
12
24
48
96
192
384
768
1536
Pense, porque esse método dá certo?
E se quiséssemos multiplicar 128 por 13 utilizando esse método?
Outras situações podem ocorrer nas quais o resultado é identificado de
outra maneira, como exemplo, imagine se o faraó precisasse multiplicar 84 por
15 para determinar o número de sacos de trigo. Procederia da seguinte
maneira: inscreve o número 1 na coluna da esquerda e o multiplicador 15 na
coluna da direita, dobra sucessivamente cada um dos números, mas como o
multiplicando 84 não aparece desta vez na coluna da esquerda, prosseguimos
com a duplicação até o momento em que não obtenha um número maior que o
multiplicando 84, pára na coluna da esquerda no momento em que chega no
64. Assim,
1
2
4
8
16
32
64
15
30
60
120
240
480
960
Depois, procura na coluna da esquerda os números cuja soma é igual a
84 e marca com um traço e com uma barra oblíqua os correspondentes da
direita:
1
2
-4
8
- 16
32
- 64
15
30
60/
120
240/
480
960/
E adicionando os números marcados com a barra oblíqua obtemos o
resultado: 84 x 15 = 960 + 240 + 60 = 1260 (IFRAH, 1997).
Agora é com você...
1) Com a calculadora em mãos e representações no caderno multiplique pelo
processo egípcio 369 por 19 para determinar o número de sacos de cevada
que foram negociados.
2) Multiplique 369 por 19 usando algoritmos da atualidade, só que iniciando a
multiplicação pelas dezenas do multiplicador.
Notícia da Antiguidade
Perto de Tebas, no vale dos reis, no tempo de Ramsés II (1290 – 1224
a. C.), arrombadores de tumbas acabam de despojar a tumba de um soberano
da dinastia precedente. Subtrairam-lhe diademas, brincos, adagas, peitorais,
pendentes, etc., todos em ouro dividido e encrustrado com massa de vidro.
Esses objetos preciosos são em número de 1476 e o chefe dos
arrombadores propõe repartir o butim entre seus onze homens e ele próprio.
Toma um caco de cerâmica e faz a divisão de 1476 por 12 (IFRAH, 1997,
p.367).
Quanto cada arrombador receberá?
Para tanto, o chefe apresenta os algarismos nas colunas como se fosse
fazer multiplicação por 12, escreve o 1 na coluna da esquerda e o divisor 12 na
coluna da direita e dobra sucessivamente até 768, já que a multiplicação
seguinte resulta em um número superior ao dividendo 1476.
1
2
4
8
16
32
64
12
24
48
96
192
384
768
Depois desse estágio ele procura, por tentativas, na coluna da direita (e
não da esquerda como na multiplicação) os números que adicionados dão o
dividendo 1476. Com isto, tem os números 768, 384, 192, 96, 24, e 12 cuja
soma é 1476, esses números são marcados com traços horizontais e a soma
de seus correspondentes marcados com a barra oblíqua dão o resultado, como
a seguir:
/1
/2
4
/8
/16
/32
/64
12 24 48
96 192 384 768 –
Somando os números marcados com as barras oblíquas, temos que:
1476 : 12 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 123 (IFRAH, 1997).
Você em ação...
1) Se posteriormente um dos arrombadores aparecesse com mais 143 objetos
preciosos e por estar farto e ter que fazer uma longa caminhada, dá para seus
companheiros dividirem. Usando o processo do chefe do arrombamento divida
os objetos preciosos entre os onze.
2) Divida 143 por 11 usando algoritmos da atualidade, só que iniciando a
divisão pelas unidades do dividendo.
Esperamos que a nossa pequena viagem pela História da Matemática
leve você a viajar por outros caminhos dela.
REFERÊNCIAS
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Higino H.
Domingues. Campinas: Unicamp, 2004.
HOUAISS, Antônio; VILLAR, Mauro de Sales. Dicionário Houaiss da língua
Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2001
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção.Tradução:
Stella M. de Freitas Senra. São Paulo: Globo, 1989.
______. História Universal dos Algarismos. Tradução: Alberto Muñoz e Ana
Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, Vol.1, 1997.
Pyramids Egypt. Pirâmides de Gizé. Tirada em Kirdasa, Al Jizah, 29 de agosto
de 2007, upload feito em 22 de dezembro de 2007. Pesquisa:
WWW.creativecommons.org.br - Pirâmides de Gizé - acesso em 08/06/2008.
SOUTO MAIOR, Armando. História Geral. São Paulo: Nacional, 1978.
Professor Colaborador: Dulcimar Ferreira dos Anjos
Disciplina: História
RG: 3076189 - 8
Escola: Colégio Estadual Marechal Castelo Branco – Ensino Fundamental,
Médio e Normal
O Folhas, História da Matemática: Sistema de Numeração
Decimal e as Quatro Operações Fundamentais, contempla a disciplina de
História, uma vez que o autor aborda sobre questões relacionadas com a
história do universo dos algarismos e revela o conhecimento matemático de
maneira humanizada, o que vai ao encontro com a finalidade da disciplina
História segundo as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná: [...] é a
busca da superação das carências humanas fundamentada por meio de
um conhecimento constituído por interpretações históricas [...] que
diagnosticam as necessidades dos sujeitos históricos e propõem ações
no presente e projetos de Futuro (2007, p.7). O Folhas mencionado é um
caminho para a realização de investigações na História da Matemática, já que
por meio de questionamentos o autor possibilita ao leitor a busca por
conclusões de acordo com o desenvolvimento histórico.
Professora Colaboradora: Olga Eiko Yosida
Disciplina: Matemática
RG: 1635536 - 4
Escola: Colégio Estadual Marechal Castelo Branco – Ensino Fundamental,
Médio e Normal
Considero o Folhas produzido uma maneira interessante para
ensinar as propriedades do Sistema de Numeração Decimal e para justificar o
porquê dos processos dos algoritmos utilizados nas quatro operações
fundamentais. O Folhas em questão apresenta a matemática no seu contexto
histórico, o que possibilita o aluno a observar a humanização da matemática e
o poder de elaboração com o domínio desse conhecimento, indo ao encontro
com os PCNs no momento em que cita que: a História da Matemática ao
revelar
a
Matemática
como
uma
criação
humana,
ao
mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria
condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais
favoráveis diante desse conhecimento (1998, p.42). Acredito que o fato
desse folhas considerar a História da Matemática como o eixo norteador e por
meio
do
envolvimento
com
as
atividades
propostas,
consigamos
compreensão dos conteúdos específicos de maneira significativa.
a
Professora Colaboradora: Nilcéia de Jesus
Disciplina: Geografia
RG: 4153613 - 6
Escola: Colégio Estadual Marechal Castelo Branco – Ensino Fundamental,
Médio e Normal
O Folhas elaborado contempla a disciplina Geografia, visto que
constam atividades que envolvem reflexões sobre valores culturais associados
a localizações geográficas da Antiguidade. Nesse sentido, temos também a
Diretriz Curricular de Geografia do Estado do Paraná, esta concebe que [...] a
Geografia fornece ao educando uma visão crítica e construtiva do seu
espaço no âmbito social, físico e histórico, passando a fazer parte do
processo de mudança do mundo em que vive [...], o que vai ao encontro
com a proposta desse Folhas, uma vez que a partir da análise de sistemas de
algarismos antigos, nos remete a compreensão do Sistema de Numeração
Decimal de nossa atualidade.