PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS É uma forma de os professores do Colégio Platão contribuírem com seus alunos, orientando-os na resolução das questões do vestibular da UEM. Isso ajuda o vestibulando no processo de aprendizagem porque comenta as alternativas incorretas de forma clara e objetiva. No final, temos um comentário geral da prova, feito pelos professores do Colégio Platão. Página 1 16) O ponto (2,1) está situado acima do gráfico da função f. MATEMÁTICA Rascunho PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS MATEMÁTICA Questão Acerca f ( x) Questão Considere a seguinte função polinomial p ( x ) x 4 3 x 2 4. Assinale o que for correto. 01 da função real f, definida x 2 8 x 15 , assinale o que for correto. 2x2 4x 5 por 01) f (0) ! f (1) . 02) A função é positiva no intervalo [0,5] da reta real. 04) Não existe número real a para o qual f (a) 1 . 2 24 08) f (1) . 11 16) O ponto (2,1) está situado acima do gráfico da função f. 01) Nenhum zero da função é real. 02) Geometricamente, os zeros da função são vértices de um quadrado no plano complexo. 04) Um zero da função é z 2(cos S i sen S ). 2 2 08) A função possui dois zeros reais e dois zeros imaginários. 16) O resto da divisão de p ( x) por x 2 1 é zero. RESPOSTA: 24 - NÍVEL MÉDIO Questão RESPOSTA: 25 - NÍVEL MÉDIO Questão 02 02 01) CORRETA. Considere a seguinte função polinomial p ( x) x 4 3 x 2 4. Assinale o que for correto. 02) INCORRETA. 01) Nenhum zero da função é real. 02) Geometricamente, os zeros da função são vértices de um quadrado no plano complexo. 04) Um zero da função é z 2(cos S i sen S ). 2 2 08) A função possui dois zeros reais e dois zeros imaginários. 16) O resto da divisão de p ( x) por x 2 1 é zero. 03 01) INCORRETA. Considere as seguintes propriedades para matrizes do tipo 2 u 2 : (i) A2 A; (ii) B 2 I , em que I é a matriz identidade, e assinale o que for correto. 01) Qualquer matriz que satisfaça a propriedade (i) é invertível. 02) Qualquer matriz que satisfaça a propriedade (ii) é invertível. 04) Se uma matriz satisfaz a propriedade (i), então det( A) 1 ou det( A) 0. 08) Se A satisfaz a propriedade (i), então A n todo número natural n t 2. A para 16) Se B satisfaz a propriedade (ii), então det( B ) r1. 02) INCORRETA. GABARITO 04) INCORRETA. Questão 03 Considere as seguintes propriedades para matrizes do tipo Existe 2 u 2 : (i) A2 A; (ii) B 2 I , em que I é a matriz identidade, e assinale o que for correto. 01) Qualquer matriz que satisfaça a propriedade (i) é invertível. 02) Qualquer matriz que satisfaça a propriedade (ii) é invertível. 04) Se uma matriz satisfaz a propriedade (i), então det( A) 1 ou det( A) 0. A n A para 08) Se A satisfaz a propriedade (i), então todo número natural n t 2. 16)08) Se BCORRETA. satisfaz a propriedade (ii), então det( B ) r1. 16) CORRETA. 04) INCORRETA. z = + i a = 0 b = 1 GABARITO 1 Página 2 p=1 cos q = 0 seb q = 1 q = p/2 z1 = 1 (cos p/2 + i sen p/2) UEM/CVU Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 Matemática 2 02) A função é positiva no intervalo [0,5] da reta real. 04) Não existe número real a para o qual f (a) 1 . 2 PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 24 08) f (1) . 11 16) O ponto está situado pacima z = - (2,1) i = 1 do gráfico da Questão 04 função f. a = 0 cos q = 0 b = -1 seb q = -1 Considere um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas xOy e três retas com equações q = 3p/2 r1 : 2 x 2 y 2 0; r2 : y x 2 0 e r3 : x 1 0. z2 = 102 (cos 3p/2 + i sen 3p/2) Questão Sejam A o ponto de interseção de r1 e r3 , e B o ponto Considere a seguinte função polinomial 4 2 p ( x) x 3 x 4. Assinale o que for correto. 01) Nenhum zero da função é real. 02) Geometricamente, os zeros da função são vértices de um quadrado no plano complexo. 04) Um zero da função é z 2(cos S i sen S ). 2 2 08) A função possui dois zeros reais e dois zeros 08) CORRETA. imaginários. de interseção de r2 e r3 , assinale o que for correto. 01) A área do triângulo ABO é 1 u.a. 2 02) As retas r1 e r2 são perpendiculares. 04) A reta r3 é perpendicular ao eixo Ox. 08) O ângulo formado pelas retas r1 e r3 mede 60D. 16) A distância entre as retas r1 e r2 é 1 u.c. 16) O resto da divisão de p ( x) por x 2 1 é zero. 16) CORRETA. RESPOSTA: 05 - NÍVEL MÉDIO Questão Questão 03 Considere as seguintes propriedades para matrizes do tipo 2 u 2 : (i) A2 A; (ii) B 2 I , em que I é a matriz identidade, e assinale o que for correto. 01) Qualquer matriz que satisfaça a propriedade (i) é invertível. 02) Qualquer matriz que satisfaça a propriedade (ii) é invertível. 04) Se uma matriz satisfaz a propriedade (i), então det( A) 1 ou det( A) 0. 08) Se A satisfaz a propriedade (i), então A n A para todo número natural n t 2. 16) Se B satisfaz a propriedade (ii), então det( B ) r1. 05 a) Determinando as coordenadas do ponto A, Considere um triângulo ABC, no qual os lados AB e AC temos: possuem o mesmo comprimento, a bissetriz do ˆ intercepta AB em P, e o comprimento de AP ângulo BCA é igual ao comprimento de CP. Assinale o que for correto. 01) O ângulo BÂC mede 36o. ˆ , é 02) O segmento CP, além de ser bissetriz de BCA mediana com relação ao lado AB. 04) Os triângulos BPC e BCA são semelhantes. 08) Os triângulos e APC sãodo congruentes. Logo as BPC coordenadas ponto A é (1; 2). 16) O triângulo BPC é isósceles. b) Determinando as coordenadas do ponto B temos: RESPOSTA: 30 – NÍVEL MÉDIO 01) INCORRETA Se GABARITO 1 Concluímos que a matriz A não é invertível, pois podemos ter det(A)= 0. UEM/CVU Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 Matemática 2 Logo as coordenadas do ponto B é (1; 3). 02) CORRETA 04) CORRETA 08) CORRETA 16) CORRETA Página 3 GABARITO PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS RESPOSTA: 21 - NÍVEL MÉDIO Graficamente temos: Questão De acordo com o enunciado temos a seguinte figura: Rascunho 04 Considere um sistema ortogonal de coordenadas 01) CORRETA. xOy e três retas com equações cartesianas 02) INCORRETA. r1 : 2 x 2 y 2 0; r2 :As y retas x 2 r,0e re2 são r3 :paralelas x 1 0. (coeficientes angulares iguais). Sejam A o ponto de interseção de r1 e r3 , e B o ponto 04) CORRETA. de interseção de r2 e r3 , Oassinale o queACD for correto . 08) INCORRETA. triângulo é isósceles, logo o ângulo  é igual a 45º (q = 45º). é 1 u.a. 01)16) A área do triângulo A ABO INCORRETA. distância 2 entre as retas r1 e r2 02) As retas e r2 são perpendiculares. é r1 (veja o cálculo abaixo). 04) A reta r3 é perpendicular ao eixo Ox. 01) CORRETA. 02) INCORRETA. A bissetriz intercepta o lado AB no ponto P (não é ponto médio). 08) O ângulo formado pelas retas r1 e r3 mede 60D. Veja figura abaixo: 16) A distância entre as retas r1 e r2 é 1 u.c. Questão 05 Considere um triângulo ABC, no qual os lados AB e AC possuem o mesmo comprimento, a bissetriz do ˆ intercepta AB em P, e o comprimento de AP ângulo BCA é igual ao comprimento de CP. Assinale o que for correto. 01) O ângulo BÂC mede 36o. ˆ , é 02) O segmento CP, além de ser bissetriz de BCA mediana com relação ao lado AB. 04) Os triângulos BPC e BCA são semelhantes. 08) Os triângulos BPC e APC são congruentes. 16) O triângulo BPC é isósceles. Página 4 04) CORRETA. 08) INCORRETA. Na figura os ângulos do triângulo BPC medem 36º, 72º e 72º, enquanto que no triângulo APC medem 36º, 36º e 108º. PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Questão Questão Alguns tipos de embalagens de bolas de tênis têm a 02)deINCORRETA. forma um cilindro, onde as bolas são colocadas uma Rascunho sobre a outra. Considere uma embalagem contendo 4 bolas de tênis, cada bola com diâmetro de 6, 4 cm, e suponha que a embalagem fechada seja um cilindro circular reto com diâmetro da base igual ao das bolas e cuja altura seja a soma dos diâmetros das 4 bolas. Desprezando as espessuras das bolas e da embalagem, bem como quaisquer deformações nelas, e considerando INCORRETA. S 04) 3, assinale o que for correto. 06 Alguns tipos de embalagens de bolas de tênis têm a forma de um cilindro, onde as bolas são colocadas uma sobre a outra. Considere uma embalagem contendo 4 bolas de tênis, cada bola com diâmetro de 6, 4 cm, e suponha que a embalagem fechada seja um cilindro circular reto com diâmetro da base igual ao das bolas e cuja altura seja a soma dos diâmetros das 4 bolas. Desprezando as espessuras das bolas e da embalagem, bem como quaisquer deformações nelas, e considerando S 3, assinale o que for correto. 01) O volume da embalagem é menor do que 800 cm 3 . 02) Cada bola ocupa um espaço com volume menor do que 130 cm 3 . 04) A área de superfície de cada uma das bolas é menor do que 120 cm 2 . 08) CORRETA. 08) O volume do espaço livre, entre as bolas e a 16) INCORRETA. embalagem, é menor do que 280cm 3 . 16) A área lateral da embalagem é maior do que 520 cm 2 . 01) O volume da embalagem é menor do que 800 cm 3 . 02) Cada bola ocupa um espaço com volume menor do que 130 cm 3 . 04) A área de superfície de cada uma das bolas é menor do que 120 cm 2 . 08) O volume do espaço livre, entre as bolas e a embalagem, é menor do que 280cm 3 . 16) A área lateral da embalagem é maior do que 520 cm 2 . Questão RESPOSTA: 09 - NÍVEL MÉDIO 06 07 Uma indústria de celulose adquiriu uma área de 1.000 hectares com eucaliptos prontos para serem cortados. No primeiro mês, a indústria cortou 10 hectares; no mês seguinte, cortará 15 hectares, e assim sucessivamente, aumentando em 5 hectares a área cortada no mês anterior, até chegar à capacidade máxima de corte, que é de 50 hectares. A partir daí a indústria manterá o corte mensal em 50 hectares. Além disso, essa indústria quer formar uma área de reflorestamento com árvores nativas da região. Por isso, a cada mês uma área proporcional a 10 % da área cortada é reservada para o reflorestamento. Com relação ao exposto, assinale o que for correto. Questão 07com o enunciado temos a seguinte De acordo figura: (p = de 3). celulose adquiriu uma área de 1.000 Uma indústria hectares com eucaliptos prontos para serem cortados. No primeiro mês, a indústria cortou 10 hectares; no mês seguinte, cortará 15 hectares, e assim sucessivamente, aumentando em 5 hectares a área cortada no mês anterior, até chegar à capacidade máxima de corte, que é de 50 hectares. A partir daí a indústria manterá o corte mensal em 50 hectares. Além disso, essa indústria quer formar uma área de reflorestamento com árvores nativas da região. Por isso, a cada mês uma área proporcional a 10 % da área cortada é reservada para o reflorestamento. Com relação ao exposto, assinale o que for correto. 01) Em 15 meses, a indústria conseguirá uma área para reflorestamento correspondente a mais de 5 % da área total. 02) A sequência numérica formada pela quantidade de hectares cortados a cada mês, até chegar à capacidade máxima de corte, forma uma progressão geométrica. 04) Nos 12 primeiros meses, a indústria terá cortado 420 hectares de eucalipto. 08) A indústria atingirá capacidade máxima de corte no nono mês. 16) Em 23 meses, a indústria conseguirá cortar todos os 1.000 hectares de eucalipto. 01) Em 15 meses, a indústria conseguirá uma área para reflorestamento correspondente a mais de 5 % da área total. 02) A sequência numérica formada pela quantidade de hectares cortados a cada mês, até chegar à capacidade máxima de corte, forma uma progressão geométrica. 04) Nos 12 primeiros meses, a indústria terá cortado 420 hectares de eucalipto. 08) A indústria atingirá capacidade máxima de corte no Assim podemos afirmar corretamente que: nono mês. 16) Em 23 meses, a indústria conseguirá cortar todos os 01) CORRETA. 1.000 hectares de eucalipto. GABARITO Página 5 GABARITO 1 UEM/CVU Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 Matemática 4 x 2y z ° A: ®2 x y 2 z PROVA 3 - CONHECIMENTOS ° 3x y z ¯ RESPOSTA: 13 – NÍVEL FÁCIL 01) 02) 04) 08) 16) CORRETA. É uma progressão aritmética. CORRETA. CORRETA. INCORRETA. Até o 9º mês teremos: e assinale o que for correto. O sistema B está na forma escalonada, pois 01) Os sistemas lineares A e B são equivalentes. o número de coeficientes nulos aumenta da 02) O sistema linear B não está na aforma escalonada. primeira equação para terceira equação. 04) O sistema linear A é possível e indeterminado. CORRETA 08)04) O sistema linear B é impossível. 16) O conjunto solução do sistema B está contido no 08) INCORRETA conjunto solução do sistema A. O sistema B possui a solução ( 1 ; 1 ; - 2 ) 16) CORRETA Questão Do 10º ao 23º mês teremos: S10/23 = 50 x 14 = 700 ha Total = 970 ha < 1000 ha Questão 08 Considere os dois sistemas de equações lineares x 2y z 5 x 2 y z 5 ° ° A: ®2 x y 2 z 3 e B: ® y z 3 ° 3x y z 2 ° ¯ ¯ z 2 e assinale o que for correto. 01) Os sistemas lineares A e B são equivalentes. 02) O sistema linear B não está na forma escalonada. 04) O sistema linear A é possível e indeterminado. 08) O sistema linear B é impossível. 16) O conjunto solução do sistema B está contido no conjunto solução do sistema A. x 2 y z 5 ° 3 e B: ® y z 3 ESPECÍFICOS ° z 2 2 ¯ 5 09 Pedro possui 180 músicas armazenadas, das quais 80 são do gênero pagode, 60 do gênero sertanejo e as restantes, de rock. Ele sempre as escuta no modo shuffle, em que as músicas são executadas em ordem aleatória, sem repetição das que já foram executadas. Levando em conta esses dados, assinale o que for correto. 01) Considerando-se apenas as três primeiras músicas executadas, não sendo duas delas de um mesmo gênero, o número de maneiras de escolhê-las, levando-se em conta a ordem de execução, é exatamente 80 uRascunho 60 u 40 . 02) Se as primeiras duas músicas executadas são do gênero sertanejo, a probabilidade de que a próxima também seja é de 1/58. 04) Se a duração total das músicas de Pedro é de 10 horas e meia, a duração média de cada uma é superior a 3 minutos. 08) Considerando o total de músicas dos três gêneros, o menor número de músicas que preserva a proporção entre os gêneros musicais é 9. 16) O número mínimo de músicas que Pedro deve ouvir para ter certeza de que ouvirá uma de cada gênero é 81. RESPOSTA:12 – NÍVEL DIFÍCIL RESPOSTA: 20 – NÍVEL FÁCIL Questão 09 Resolvendo o sistema B: z =possui - 2 180 músicas armazenadas, das quais 80 são Pedro do gênero pagode, 60 do gênero sertanejo e as restantes, de rock. Ele sempre as escuta no modo shuffle, em que as músicas são executadas em ordem aleatória, sem repetição dasde queBjáé foram Levando em conta Solução ( 1 ; 1executadas. ; -2 ) esses dados, assinale o que for correto. 01) Considerando-se apenas as três primeiras músicas 01) INCORRETA executadas, não sendo duas delas de um mesmo Não são equivalentes, pois o sistema A possui gênero, o número de maneiras de escolhê-las, infinitasem soluções sistema possui uma levando-se conta ea oordem deB execução, é única solução. exatamente 80 u 60 u 40 . 02) Se as primeiras duas músicas executadas são do 02) INCORRETA gênero sertanejo, a probabilidade de que a próxima também seja é de 1/58. 04) Se a duração total das músicas de Pedro é de 10 horasPágina 6 e meia, a duração média de cada uma é superior a 3 minutos. 01) INCORRETA (80.60.40).P3 = (80.60.40).6 02) INCORRETA a probabilidade da terceira música 04) CORRETA 08) CORRETA GABARITO 16) INCORRETA O número mínimo de músicas que Pedro de ouvir é 141. 08) Y é uma reta vertical no plano de Argand-Gauss. 16) Y Z possui uma quantidade infinita de elementos. PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Questão 10 Questão Questão A respeito dos subconjuntos do plano de Argand-Gauss: X { z ^ | z 4 1} , Y {z ^ | z z Z {z ^ | z 2 z Y {z ^ | z z 2} , 02) 3 ! 2. 2 2 Z {z ^ | z 2 z 2} , 1 0,01010101... 04) é correto 90 afirmar que 15 7 e 3 80 pertencem ao intervalo real [2, 4]. 08) 01) X é,finito. 4 3 02) X Y . 16) A multiplicação de quaisquer dois números 04) X Z . irracionais resulta sempre em um número irracional. 08) Y é uma reta vertical no plano de Argand-Gauss. 16) Y Z possui uma quantidade infinita de elementos. 2} , é correto afirmar que 01) X é finito. 02) X Y . 04) X Z . 08) Y é uma reta vertical no plano de Argand-Gauss. 16) Y Z possui uma quantidade infinita de elementos. RESPOSTA: 09 – NÍVEL DIFÍCIL Questão RESPOSTA: 03 - NÍVEL FÁCIL Questão 11 Assinale o que for correto. 01) 2 1 1 1 . 2 3 3 3 02) ! 2. 2 04) 1 0,01010101... 90 15 08)Se , 7 e 3 80 pertencem ao intervalo real [2, 4]. 4 3 z = a + bi ⇒ a + bi + a - bi = 2 + 0i ⇒ a = 1 16) A multiplicação de quaisquer dois números Y = {1} irracionais resulta sempre em um número irracional. temos a2 - b2 = 1 (equação de hiperbole) Rascunho Assinale o que for correto. A respeito dos subconjuntos do plano de Argand-Gauss: 1 1 1. 01) , X 2{z 2^3| z 4 3 1} 2} , 2 11 10 , 12 01) CORRETA. 02) CORRETA. Questão 11 Considerando ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência de centro O, assinale o que for Assinale o que for correto. 04) .INCORRETA. correto 1 01) Se 2 ABCD 1 é 1um . paralelogramo, então necessariamente 2 3 retângulo. trata-se3de um 3 ! 2. ˆ ˆ os ângulos ABC e BCD medem, 02) Se 2 respectivamente, 75o e 120o, os demais ângulos 1 0,01010101... de ABCD são agudos. 04) internos 90 04) Se o raio da circunferência mede 2 cm e ABCD é um 08) 15 , INCORRETA. 7 e 3a80 área do mesmo 8 cm2. real [2, 4]. 08) quadrado, pertencem aoéintervalo 4 o centro 3 08) Se da circunferência pertence à diagonal BD, 16) A multiplicação de quaisquer dois números ˆ é reto. o ângulo BCD irracionais resulta um número irracional.do 16) Se a diagonal BD sempre possui em o mesmo comprimento ˆ e raio da circunferência, um dentre os ângulos BCD 16) INCORRETA. Ex.: BÂD mede 150o . 01) CORRETA Questão 12 Considerando ABCD um quadrilátero convexo inscrito 02) INCORRETA em uma circunferência O,{1assinale oX que for X = {1; -1;0 - i;dei} centro e y= }⇒Y⊂ correto. 01) Se ABCD é um paralelogramo, então necessariamente 04) INCORRETA trata-se de um retângulo. No conjunto Z os pontos ( a , b ) representa ˆ ˆ 02) Se no osplano ângulos ABC e uma BCD medem, de Argand-Gauss hipérbole de respectivamente,2 75o2 e 120o, os demais ângulos equação a - b = 1, logo X ∩ Z = ≠ ∅ internos de ABCD são agudos. 04) Se o raio da circunferência mede 2 cm e ABCD é um 08) CORRETA quadrado, a área do mesmo é 8 cm2. 08) Se o centro da circunferência pertence à diagonal BD, 16) INCORRETA. ˆ é reto. o ângulo BCD Y∩Z={1} 16) Se a diagonal BD possui o mesmo comprimento do ˆ e raio da circunferência, um dentre os ângulos BCD BÂD mede 150o . Questão 12 Considerando ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência de centro O, assinale o que for correto. GABARITO 01) Se ABCD é um paralelogramo, então necessariamente trata-se de um retângulo. ˆ ˆ 02) Se os ângulos ABC e BCD medem, respectivamente, 75o e 120o, os demais ângulos internos de ABCD são agudos. 04) Se o raio da circunferência mede 2 cm e ABCD é um quadrado, a área do mesmo é 8 cm2. 08) Se o centro da circunferência pertence à diagonal BD, ˆ é reto. o ângulo BCD 16) Se a diagonal BD possui o mesmo comprimento do ˆ e raio da circunferência, um dentre os ângulos BCD BÂD mede 150o . Página 7 GABARITO 1 UEM/CVU Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 Matemática 6 PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS RESPOSTA: 29 - NÍVEL MÉDIO RESPOSTA: 27 - NÍVEL MÉDIO 01) CORRETA. De acordo com o enunciado temos o seguinte gráfico: 02) INCORRETA. Veja a figura abaixo: 01) CORRETA. 02) CORRETA. 04) INCORRETA. Os triângulos AOC e AOC´são equiláteros, logo a área de cada um deles é igual a: 04) CORRETA. 08) CORRETA. 16) CORRETA. 08) CORRETA. Questão 16) CORRETA. Rascunho 13 Considere uma circunferência com centro O(0,0) e raio 2, e três pontos A, B e C sobre esta circunferência, sendo A um ponto do primeiro quadrante e que dista 1 do eixo Oy, B o ponto diametralmente oposto a A , e C um ponto que dista 2 do ponto A. Assinale o que for correto. 01) O ponto C está no segundo quadrante ou está sobre o eixo Ox. 02) A área do setor circular definido pelo menor arco 1 da área delimitada pela circunferência. AC é 6 04) A área do triângulo AOC é 2 u.a. 08) A distância entre os pontos B e C é 2 3 u.c. 16) O triângulo ABC é um triângulo retângulo. Página 8 Questão 14 No primeiro dia de aula, uma professora de Inglês do 16) O triângulo ABC é um triângulo retângulo. PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Questão 14 Questão No primeiro dia de aula, uma professora de Inglês do Ensino Médio entregou um questionário para avaliar o conhecimento prévio dos 40 alunos. A primeira questão era “quantos anos você cursou inglês fora da escola?”. A resposta de todos os alunos (meninos e meninas) foi um número inteiro não negativo estritamente menor do que 5. Sete alunos responderam “zero”, catorze alunos responderam “um”, dez alunos responderam “dois”, oito alunos responderam “três” e apenas um aluno respondeu “quatro”. Além disso, das vinte meninas que há na sala, treze cursaram pelo menos dois anos de inglês fora da escola. Considerando essas informações, assinale o que for correto. 01) A média de anos de inglês cursados fora da escola, nessa turma, é superior a 1,5. 02) A mediana da amostragem é 2 anos. 04) Escolhendo-se ao acaso um aluno, a probabilidade de se escolher uma menina ou alguém que cursou um ano ou menos de inglês fora da escola é superior a 3/4. 08) Escolhendo-se ao acaso um aluno, a probabilidade de se escolher um menino que tenha cursado pelo menos dois anos de inglês fora da escola é inferior a 1/8. 16) No caso em que três meninas cursaram exatamente três anos, dez meninas cursaram exatamente dois anos e as demais não cursaram inglês fora da escola, a média de anos que as meninas da sala cursaram inglês fora da escola é inferior à média dos meninos que cursaram inglês fora da escola. 15 Considere um prisma reto cuja base é um pentágono não regular ABCDE , em que os lados AB e EA medem 10 2 cm, o lado CD mede 20 cm e os lados BC e DE são perpendiculares ao lado CD e têm metade da sua medida. Sabendo que a altura desse prisma é de 10 cm, assinale o que for correto. 01) A área lateral desse prisma mede 600 2 cm2. 02) O volume do prisma é 3.000 cm3. 04) O prisma tem 7 faces retangulares. 08) A área total do prisma é 1.200 cm2. 16) O prisma tem 10 vértices. RESPOSTA: 18 - NÍVEL FÁCIL De acordo Questão 16com o enunciado temos a seguinte figura. 2 Considere as funções f ( x) log (2 x 1 ) e g ( x) 2 x 1, e assinale o que for correto. 01) O domínio da função f é o conjunto D ( f ) { x \ | x 2 1 t 0}. 02) ( f D g )( x) log (16 x 1 ). 04) A função f é injetora. 08) O valor mínimo de f é log (2). 16) Para x [1,1] tem-se f ( x) d 0. 2 RESPOSTA: 21 - NÍVEL MÉDIO 01) CORRETO. UEM/CVU Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 7 GABARITO 1 concluímos Então que: Matemática 02) INCORRETO. A mediana está entre 20 e 21 estão . 01) INCORRETA. A área lateral do prisma é igual a: 04) CORRETO. 08) INCORRETO. Probabilidade de escolher um menino é 50% a probabilidade pelo menos de ter cursado 2 anos é e entre esses que tenha assim a probabilidade total é que é maior que . 02) CORRETA. 04) INCORRETA. O p r i s m a t e m 5 f a c e s retangulares e 2 faces pentagonais (bases). 08) INCORRETA. A área total do prisma é igual a: 16) CORRETA. 16) CORRETA. Página 9 GABARITO 16) O prisma tem 10 vértices. PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Questão Questão 16 2 Considere as funções f ( x) log (2 x 1 ) e g ( x) 2 x 1, e assinale o que for correto. 01) O domínio D( f ) {x \ | da função x2 1 t 0}. f é o conjunto 2 08) Para todo x real, cos(2 x ) 1 2(sen x ) 2 . 16) Um triângulo é obtusângulo se, e somente se, o quadrado do lado maior é superior à soma dos quadrados dos lados menores. Questão Questão 01) Um INCORRETA ângulo18que mede 2 radianos é agudo. 01) 02) Seja g : \ o \ definida por g ( x) sen sen x para Considere os polinômios p ( x ) x 4 8 x 3 14 x 2 8 x 15 3 , para todo x real. 3 7então e qtodo que p ( x) 0 e ( x ) xxreal; x 2 14gx( x)8. 2Sabendo q( x) 0CORRETA têm como raízes somente números inteiros e 04)02) Para todo x real, (sen x) 2 d sen x . que 1 é uma raiz em comum, assinale o que for correto. 08)04) ParaCORRETA todo x real, cos(2 x ) 1 2(sen x ) 2 . 01) O resto da divisão de p ( x) por se, q ( x )e ésomente zero. 16) Um triângulo é obtusângulo se, o 02)08) As raízes de p ( x ) 0, colocadas ordem quadrado do lado maior é superior à em soma dos CORRETA quadrados dos ladosuma menores. crescente, formam progressão aritmética. 04)16) As CORRETA raízes de q( x) 0, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão geométrica. 08) A soma das quatro raízes de p ( x ) 0 com as três raízes de q( x) 0 é um número negativo. Domínio de F. 02) INCORRETA. Fog(x) = f(g(x)) Questão 16) O resto da18 divisão de p ( x) por x 2 1 é x 2. 04) INCORRETA. 17 RESPOSTA: – NÍVEL MÉDIO Assinale o que for30 correto . e g(x) = 2x - 1 01) INCORRETA. 01) Um ângulo que mede 2 radianos é agudo. 02) Seja g : \ o \ definida por g ( x) sen sen x para 04) Para todo x real, (sen x) 2 d sen x . RESPOSTA: 24 – NÍVEL fácil Assinale o que for correto. 3 , para todo x real. todo x real; então g ( x) 2 02) ( f D g )( x) log (16 x 1 ). 04) A função f é injetora. 08) O valor mínimo de f é log (2). 16) Para x [1,1] tem-se f ( x) d 0. f(x) = log 17 Considere os polinômios p ( x ) e q ( x ) x 3 7 x 2 14 x 8. Sabendo que p ( x) 0 e q( x) 0 têm como raízes somente números inteiros e que 1 é uma raiz em comum, assinaleUEM/CVU o que for correto. para injetora x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Sendo x1 = 1 e x2 = -1 f(1) = log 2º ⇒ f(1) = 0 f(-1) = log 2º ⇒ f(-1) = 0 Concluímos que f não é injetora. x 4 8 x 3 14 x 2 8 x 15 GABARITO 1 Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 8 01) O resto da divisão de p ( x) por q (Matemática x ) é zero. 02) As raízes de p ( x) 0, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. 04) As raízes de q( x) 0, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão geométrica. 08) A soma das quatro raízes de p ( x ) 0 com as três raízes de q( x) 0 é um número negativo. 08) CORRETA. 16) O resto da divisão de p ( x) por x 2 1 é x 2. 16) CORRETO. Página 10 GABARITO PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS RESPOSTA: 06 - NÍVEL RESPOSTA: 26 - NÍVEL MÉDIO 01) INCORRETA. A equação x2 + y2 = 2 representa uma circunferência com centro (0; 0) e raio igual a 1. A equação x2 - y2 = 1 representa uma hipérbole, como podemos ver no gráfico. X 0 1 2 O resto é R(x) = 7x2 + 2x - 7 02) CORRETA. 3 04) CORRETA. -3 08) INCORRETA. Raízes de p(x) → -1, 1, 3 e 5 Raízes de q(x) → 1, 2, 4 -2 -1 Rascunho 19 Acerca dos lugares geométricos do plano cartesiano dados pelas equações x 2 y 2 1 e x 2 y 2 1 , assinale o que for correto. 01) A primeira equação representa uma parábola. 02) A segunda equação representa uma hipérbole. 04) Os pontos de interseção dessas curvas pertencem ao eixo das ordenadas. 08) Os focos da cônica dada pela equação x 2 y 2 1 pertencem ao eixo das abscissas. 16) A reta de equação x y 2 0 tangencia a curva dada por x 2 y 2 1 . Questão 20 0 Assim, obtemos o seguinte gráfico: 16) INCORRETA. Questão Y ER 0 Página 11 Considerando o espaço tridimensional, suponha que r e s sejam retas perpendiculares em um ponto A, e que s seja Concluimos que: 01) INCORRETA. A equação x2 + y2 = 1 representa uma circunferência de centro (0; c) e raio 1. 02) CORRETA. 04) INCORRETA. Os pontos A e B do gráfico ficam no eixo das abascissas. 08) CORRETA. 16) CORRETA. PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Questão COMENTÁRIO: 20 Considerando o espaço tridimensional, suponha que r e s sejam retas perpendiculares em um ponto A, e que s seja concorrente com uma reta t em um ponto B diferente de A. Com relação ao exposto, assinale o que for correto. 01) Se a reta s é perpendicular à reta t , então a reta r também é perpendicular à reta t. 02) Se a reta t é concorrente com a reta r , então as retas r , s e t são coplanares. 04) Se a reta t é paralela à reta r , então as retas r , s e t estão contidas em um mesmo plano. 08) Se as retas r e t são reversas, então r e t não são ortogonais. 16) Se a reta t é perpendicular ao plano que contém r e s , então a reta r é ortogonal à reta t. Os enunciados e as alternativas propostas na prova de matemática, foram apresentadas numa linguagem clara e acessível ao aluno que se preparou para o vestibular. O conteúdo exigido abrangeu quase todo o programa estudado durante os três anos do Ensino Médio. Quanto ao nível das questões, podemos afirmar que esteve adequado aos candidatos que optaram pela disciplina de matemática como sua prova específica. Parabéns! Parabéns! Parabéns! Parabéns! Parabéns! Parabéns! Parabéns! Parabéns! Parabéns! Professores: Hélio, Zéca, Daniele RESPOSTA: 22 - NÍVEL MÉDIO Considerando o enunciado dado, concluímos que: 01) INCORRETA. As retas r e t podem ser paralelas ou reservas. GABARITO 1 02) CORRETA. 04) CORRETA. 08) INCORRETA. As retas r e t podem ser orrtogonais também. 16) CORRETA. Página 12 UEM/CVU Vestibular de Inverno/2012 – Prova 3 Matemática 10