Cálculo Diferencial e Integral II – Prof. Ms. Robson Rodrigues da Silva
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8ª Lista de Exercícios - Problemas de Otimização
Problema 1. Utilizando 40 m de tela e um muro como um dos lados, deseja-se construir um cercado de
formato retangular. Determine as dimensões do cercado para que a área seja máxima.
Problema 2. Um fazendeiro deseja usar 320 m de cerca para determinar um pasto retangular com a
maior área possível. Quais devem ser as dimensões do pasto se:
a) os quatro lados do pasto são delimitados pela cerca?
b) três lados do pasto são delimitados pela cerca e o outro lado é delimitado por um muro?
Problema 3. O departamento de estradas e rodagem está planejando construir uma área de piquenique
para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área
de 5000 m2, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual é o menor
comprimento da cerca necessária para a obra?
DATA : ___/____/_00
________PROFESSOR : Robson _____
Problema 4. Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina de 60 cm de
lado, cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Determine as dimensões da
caixa para que seu volume seja máximo.
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Problema 5. Uma lata cilíndrica, sem tampa, deve ter 250 cm3 de volume. O preço do material usado
para o fundo é de 4 centavos o cm2 e o preço do material usado para o lado da lata é de 2 centavos o
cm2.Qual deve ser a medida do raio da base e a altura da lata, de modo que o custo de matéria-prima
seja mínimo?
Problema 6. Pretende-se construir um recipiente cilíndrico, sem tampa, com um volume V. O custo do
material usado para fazer o fundo é de 3 centavos o cm2 e o do material usado para fazer o lado é de 2
centavos o cm2. Encontre uma relação simples entre o raio e altura do recipiente a fim de que o custo
seja mínimo.
Problema 7. Uma caixa fechada de fundo quadrado tem volume de 250 m 3. O material usado para fazer
a tampa e o fundo da caixa custa R$ 2,00 o metro quadrado e o material utilizado para os lados custa
R$ 1,00 o metro quadrado. A caixa pode ser construída por menos de R$ 300,00?
Problema 8. Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O
material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para
fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que
pode ser construída por R$ 48,00?
Problema 9. Uma estação geradora de eletricidade está na margem de um rio que tem 2 m de largura.
Uma fábrica está a 6 m rio abaixo, do outro lado do rio (ver figura). O custo de operação das linhas é de
$ 10 o metro por terra e $15 o metro por água.
a) Expresse o custo C, da transmissão de energia a usina à fábrica como função de x.
b) Encontre o trajeto mais econômico.
usina
2
x
6–x
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fábrica
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Problema 10. A rigidez de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo cubo da
altura. Determine as dimensões da viga de maior rigidez que pode ser fabricada a partir de uma tora
de madeira de 15 cm de diâmetro.
diâmetro da tora
y: altura da viga
x : largura
Problema 11. Suponha que devamos cortar uma de seção transversa retangular máxima, de um toro
circular de 1 m de raio. Qual é a forma e área da seção transversa de uma tal viga?
Problema 12. Um empresário pode produzir gravadores ao custo de R$ 20,00 a unidade. Estima-se que
se os gravadores forem vendidos por x reais à unidade, os consumidores comprarão 120 – x
gravadores por mês. Determine o preço de venda para o qual o lucro do empresário é máximo.
Problema 13. Deve-se fazer cocho para água com uma longa peça de estanho de 6 ft (pés) de largura,
dobrando para cima, a um ângulo , uma faixa de 2 ft de cada lado. Qual o ângulo  que maximiza a
área da seção transversal e, conseqüentemente, o volume do cocho?
2
2


2
Problema 14. Na figura abaixo está esquematizado um circuito elétrico formado por um gerador de
força eletromotriz E e resistência interna ro = 2 ohms, aos terminais do qual está ligado um resistor de
resistência r.
a) Determine a intensidade i da corrente elétrica que flui no circuito.
b) Calcule a potência P fornecida ao resistor de resistência r.
c) Supondo E = 40 volts, e r variável (r  0), calcule o valor máximo de P.
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i
r
ro
Problema 15. Considere a função f(x) =
1 3
x  9x  2 . Utilizando o teste da primeira derivada,
3
determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. Encontre também seus pontos críticos,
classificando-os em ponto de máximo ou mínimo local.
Problema 16. Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 256 cm3 de volume. Determine as
dimensões que exigem o mínimo de material.
Problema 17. Um industrial deseja construir uma caixa aberta de base quadrada e área de superfície de
108 cm2. Que dimensões fornecem uma caixa de volume máximo?
planificação
Problema 18. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 cm3. O custo do
material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm2 e o custo do material usado para a
parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que
minimizem o custo do material.
planificação
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Problema 19. De uma folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha
dobrando-se as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada
lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
30 cm
Problema 20. Deve-se fazer uma caixa aberta com uma peça quadrada de material de 6 polegadas
cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Ache o volume da maior caixa que
pode ser construída desta maneira.
Problema 21. Deve-se construir uma caixa retangular sem tampa de 972 cm 3 de volume e
comprimento da base igual ao dobro da largura. Determine as dimensões que minimizem a área total
de sua superfície.
x
2x
Problema 22. (Uma curiosidade) Na Biologia, encontramos a fórmula  = V. A, onde  é o fluxo de ar na
traquéia, V a velocidade do ar e A a área do círculo formado ao seccionarmos a traquéia.
A
Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Sendo ro o raio normal da
traquéia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traquéia durante a tosse é dada por
V(r) = a.r2(ro – r), onde a é uma constante positiva.
a) Calcular o raio r em que é maior a velocidade do ar.
b) Calcular o valor de r com o qual teremos o maior fluxo possível.
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Problema 23. A figura abaixo esquematiza um bloco de peso P, em uma mesa horizontal. Uma força de
intensidade F, fazendo um ângulo de medida com a horizontal, , é aplicada no bloco, como indicado na
figura. O bloco permanece em equilíbrio, porém na iminência de escorregar. Existe atrito entre o bloco
e a mesa, que provoca o aparecimento de uma força de atrito Fat , que é oposta à tendência de
movimento, cuja intensidade é proporcional à intensidade da reação normal da mesa. Tal constante de
proporcionalidade é o coeficiente de atrito entre o bloco e a mesa. Sabendo – se que
determine a medida do ângulo que fornece a mínima intensidade de F.
N
F
Fat
P
GABARITO PARCIAL
02. a) 80 m x 80 m
b) 80 m x 160 m
08. 2 m x 2 m x 4/3 m
04. 40 cm x 40 cm x 10 cm
11. Um quadrado de área 2 m2
13.  = /3
06. r = 2h/3
14. c) 200 watts
15. f é crescente para x < - 3 , decrescente para -3 < x < 3 e crescente para x > 3.
(-3, 20) é ponto de máximo local e (3, -16) é ponto de mínimo local
16. 8 cm x 8 cm x 4 cm
20. V = 16 u.v.
17. 6 cm x 6 cm x 3 cm
21. 9 cm x 18 cm x 6 cm
18. r = 5 cm e h = 15 cm
22. a) r =
15
2
ro
3
b) r =
4
ro
5
19. x = 7,5 cm
= 0,577,