Geometria
e medidas
O experimento
Experimento
Cilindro = cone + esfera⁄² ?
Objetivos da unidade
1. Fazer a comparação de volumes de três sólidos: cone, esfera
e cilindro;
2. Obter as relações que fornecem o volume do cone e da esfera
a partir do volume do cilindro.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Cilindro =
cone + es fera ?
2
O experimento
Sinopse
Reunidos em grupos, os alunos construirão, usando massa de
modelar, um cone e um cilindro de alturas iguais ao raio de sua base
e uma semiesfera de mesmo raio. Depois, mergulharão os sólidos
individualmente num recipiente com água e anotarão a altura que
ela atingiu. Fazendo isso, pode-se perceber que a altura que a água
sobe para o cone, semiesfera e cilindro são proporcionais a 1, 2 e 3,
respectivamente. Dessa forma serão obtidas as relações de volume
do cone e esfera a partir do volume do cilindro.
Conteúdo
Geometria Espacial, Volumes.
Objetivos
1. Fazer a comparação de volumes de três sólidos: cone, esfera e cilindro;
2. Obter as relações que fornecem o volume do cone e da esfera a partir
do volume do cilindro.
Duração
Uma aula dupla.
Introdução
No trabalho “O Método”, o matemático
grego Arquimedes explora um modo
mecâ­nico para investigar problemas da
matemática, dentre eles a relação entre os
volumes da esfera, do cilindro e do cone.
Destaca também a impor­tância de uma
demonstração posterior aos resultados
obtidos. Sendo assim, no trabalho “Sobre
a Esfera e o Cilindro”, escrito em 2 livros e
constituído de 53 proposições, ele apresenta
uma demonstração rigorosa da relação entre
os volumes.
Neste experimento, seus alunos verão
uma maneira experimental de demonstrar
que o volume de um cone é igual a um terço
do volume de um cilindro de mesmo raio
da base e altura, e que o volume de uma
esfera é igual a quatro terços do volume de
um cilin­dro cujo raio da base e altura são
iguais ao seu raio.
Por ser uma atividade experimental,
ela se torna interessante no sentido de que
os alunos, por terem um contato manual
com os sólidos citados, poderão se lembrar
das relações de volume mais facilmente.
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
O Experimento 2 / 10
O Experimento
Material necessário
„„
„„
„„
„„
„„
„„
„„
„„
Papel cartão;
Tesoura;
Régua;
Compasso;
Massa de modelar;
Estilete (é opcional, servindo apenas
para ajudar a modelar);
Recipiente cilíndrico transparente (pode ser
um pote de detergente, um copo etc);
Água.
Comentários iniciais
Divida a classe em grupos e dê um pedaço
de papel cartão, massa de modelar e um
recipiente transparente para cada um. Como,
inicialmente, serão feitos 3 sólidos, o ideal
é que os grupos sejam compostos por 3
alunos.
etapa
Construção dos sólidos
1
Nesta etapa, cada grupo deverá construir um
cone, um cilindro e uma semiesfera usando
massa de modelar. Para facilitar a montagem,
será usado um molde feito de papel cartão.
Oriente seus alunos a realizarem os seguintes
procedimentos:
fig. 1
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
O Experimento 3 / 10
„„
„„
„„
„„
Cone
Desenhar, no papel cartão, dois triângulos
isósceles de altura R e base
2R
R 2R, e recortá-los;
Sobre a altura, fazer um corte da base até
a metade em um dos triângulos e do vértice
até a metade no outro;
Encaixar os dois triângulos usando esses
cortes (molde do cone);
Com massinha de modelar, construir
finalmente o cone, usando o molde anterior.
ºº Incentive o uso de
um valor de R diferente
2R
para cada grupo,
lembrando-os de não usar
um valor que faça com que
o sólido pronto não caiba
no recipiente.
„„
„„
„„
„„
Semiesfera
Desenhar e recortar no papel cartão
uma circunferência de raio R, igual
2R à altura
do cone anterior, e cortá-la ao meio em um de
seus diâmetros;
No raio perpendicular ao diâmetro recortado
das semicircunferências, fazer um corte
da base até a metade em um deles e
da metade até a borda no outro;
Encaixar as duas semicircunferências usando
esses cortes (molde da semiesfera);
Com massinha de modelar, construir
finalmente a semiesfera, usando o molde
anterior.
fig. 2 Molde do cone.
fig. 4 Molde da semiesfera.
fig. 3
fig. 5
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
O Experimento 4 / 10
„„
„„
„„
„„
Cilindro
Desenhar, no papel cartão, dois retângulos
de largura igual a R, igual
2R à altura do cone
anterior, e comprimento
R 2R, e recortá-los;
No meio do comprimento dos retângulos,
fazer um corte perpendicular da base até
a metade da largura;
Encaixar os dois retângulos usando esses
cortes (molde do cilindro);
Com massinha de modelar, construir
finalmente o cilindro, usando o molde
anterior.
etapa
Comparação dos volumes
2
Agora, com os sólidos prontos, seus alunos
farão a comparação de seus volumes e
provavelmente chegarão à relação de 1 : 2 : 3
para os volumes do cone, semiesfera e
cilindro respectivamente.
fig. 8
fig. 6 Molde do cilindro.
Para essa comparação, será necessário
o uso de um recipiente cilíndrico transpa­
rente (frasco de detergente, por exemplo)
com água. Peça a seus alunos para fazer
o seguinte:
„„
„„
fig. 7
„„
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
Marcar, no recipiente, o nível da água;
!! Lembre seus alunos que
Mergulhar o cone no recipiente e marcar
o volume da água que
DsemiesferasubiuDécilindro
novamente o nível. Medir a altura Dcone que
igual ao volume
do sólido mergulhado.
a água subiu;
Retirar o cone e voltar a água no nível inicial.
O Experimento 5 / 10
„„
Dsemiesfera
„„
Mergulhar a semiesfera e marcar novamente
o nível da água. Medir D
a altura
cone Dsemiesfera Dcilindro
que a água subiu;
Retirar a semiesfera e voltar a água no
nível inicial. Mergulhar o cilindro marcando
novamente o nível da água. Medir a altura
Dcilindro que a água subiu;
Calcular as seguintes razões:
!! Repare que as razões
Dcone
D semiesfera
cone
e semiesfera
.
Dcilindro
Dcilindro
cilindro
cilindro
entre as alturas que a
água subiu no recipiente
são iguais às razões entre
os volumes dos sólidos.
fig. 11
fig. 12
A partir daí, eles poderão verificar
a relação mencionada, já que o esperado
é que a água suba em proporções de
1 : 2 : 3 para o cone, semiesfera e cilindro
respectivamente. Isto quer dizer que
fig. 9
Vcone Vsemiesfera Vcilindro
=
=
1
2
3
Assim sendo, podemos facilmente cons­
tatar, pelas razões que calcularam, que, se
2
1
h
o volume do cilindro for V , então
3
3o volume
2
2
1
1
V é 3 de3V eh3o do3cone,
h que tem
da semiesfera
2
1
2
1
altura igual ao raio daVbase,
3 é 3 dehV . 3
3 h
fig. 10
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
O Experimento 6 / 10
etapa
Generalização do volume
do cone
V
Pela etapa anterior, podemos mostrar,
experimentalmente, que o volume de um
cone com a medida do raio da base igual
2
1
a da sua altura tem valorVigual
3 a 3 dohvolume
de um cilindro de mesmas dimensões.
Será que podemos generalizar esse resul­
tado? Ou seja, será que o volume de um
V R e23 altura
cone de raio da base
2R13 h tem
2
1
sempre volumeVigual
3 a 3 dohvolume de
um cilindro de mesmos raio da base R e 2R
2
1
3 altura
3 h ? Nesta etapa, vamos tentar mostrar
experimen­talmente que sim!
Peça aos grupos para que construam outro
cone e outro cilindro, seguindo os mesmos
passos da Etapa 1, porém fazendo a medida
o raio da base diferente da medida da altura.
Mesmo assim, a medida da altura do cilindro
deve ser a mesma que a da altura do cone,
e as medidas dos raios da base devem
também ser iguais.
3
fig. 14
ºº Novamente, incentive
o uso de medidas diferentes para cada grupo,
para que, no Fechamento,
possamos ter um conjunto
maior de dados.
fig. 15
fig. 16
Agora, peça para os grupos fazerem
o seguinte:
fig. 13
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
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„„
„„
„„
„„
Colocar água no recipiente e marcar o nível
atingido;
Mergulhar o cone e marcar novamente o
Dsemiesfera
Dcilindro
nível. Medir a altura Dcone que
a água subiu;
Retirar o cone e voltar a água no nível inicial.
Mergulhar o cilindro marcando novamente
o nível daDágua.
a altura Dcilindro que
Dsemiesfera
cone Medir
a água subiu;
Dcone
Dsemiesfera
Calcular a razão
.
Dcilindro
Dcilindro
Fechamento
Depois que os grupos terminarem as 3
etapas, siga para a socialização dos dados
obtidos, anotando no quadro as razões
encontradas por cada grupo nas Etapa 2 e 3.
Observe e discuta com seus alunos que
todas as razões
Dcone
Dcilindro
Dsemiesfera
Dcilindro
V 23de 13 . Dessa
h
são próximas
maneira, pode­mos
V
inferir que Vcone = 1
3 cilindro, quando
a altura for igual ao raio da base.
Do mesmo modo, observe que todas
as razões
Dcone
Dcilindro
fig. 17
fig. 18
Pergunte aos alunos se a razão calculada
V 23de 13 . Seh isso ocorrer com vários
foi próximo
grupos, podemos considerá-la uma prova
experimental de que Vcone = 1
3 Vcilindro.
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
Dsemiesfera
Dcilindro
1
são próximasVde 2
3 . Assim,
3 h podemos ver que
2
Vsemiesfera = 3 Vcilindro, para o cilindro com
altura igual ao raio da base.
Na razão obtida na Etapa 3, continuamos
observando a mesma relação entre o volume
do cone e do cilindro, e por isso podemos
generalizar a relação.
Analisando desta maneira, se soubermos
expressar o volume do cilindro em função
de sua altura e raio da base, poderemos
expressar também os volumes do cone e da
esfera.
Sabemos que o volume de um parale­
lepípedo é igual à área da base multiplicado
pela altura. Sabemos também que existe a
possibilidade de se fazer um paralelepípedo
com a área da base e altura do mesmo
ºº Princípio de Cavalieri:
“ Dois sólidos com
a mesma altura tem
o mesmo volume se
as seções planas de igual
altura tem a mesma área.”
O Experimento 8 / 10
tamanho que a área da base e altura de
um cilindro. Logo, pelo Princípio de Cavalieri,
esse paralelepípedo e esse cilindro teriam
o mesmo volume.
demonstrar as fórmulas do volume do cone
e da esfera e, como os alunos tiveram um
contato manual com elas, será muito mais
fácil guardá-las na memória.
h
fig. 19
Dessa forma:
Vcilindro = Abase · h = π · R2 · h
V
2
3
1
onde
2Rseu raio da base.
3 h é sua altura e R é o
Agora, sabendo essa relação, podemos
obter a do volume da esfera usando a compa­
ração com o cilindro de altura igual ao raio
da base (h = R):
2
4
Vesfera = 2 · Vsemiesfera = 2 · π · R2 · R = π · R3
3
3
Da mesma maneira, podemos obter
a relação do volume do cone:
Vcone =
1
1
· Vcilindro = π · R2 · h
3
3
Comente sobre isso com seus alunos.
Essa é uma maneira experimental de se
Cilindro = cone + esfera ⁄²?
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Ficha técnica
Autoras
Maria Lúcia Bontorim de Queiroz,
Claudina Izepe Rodrigues e
Eliane Quelho Frota Rezende
Coordenação de redação
Rita Santos Guimarães
Redação
Felipe M. Bittencourt Lima
Projeto gráfico
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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