VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
GEOMETRIA ESPACIAL
Rio de Janeiro / 2007
TODOS
OS DIREITOS RESERVADOS À
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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por
quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo
Branco - UCB.
U n3p
Universidade Castelo Branco.
Geometria Espacial. –
Rio de Janeiro: UCB, 2007.
44 p.
ISBN 978-85-86912-55-9
1. Ensino a Distância. I. Título.
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Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional
Coordenadora de Educação a Distância
Prof.ª Ziléa Baptista Nespoli
Coordenadora do Curso de Graduação
Sonia Albuquerque - Matemática
Conteudista
José Carlos Morais de Araújo
Supervisor do Centro Editorial – CEDI
Joselmo Botelho
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação,
na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade
para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a
sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e
criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Auto-Estudo
O presente instrucional está dividido em cinco unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.
As Unidades 1, 2 e 3 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das cinco unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todos os
conteúdos das Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Auto-Estudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja
disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite
interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 11
Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 12
UNIDADE I
REVISITANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS APLICAÇÕES
1.1 – Teorema de Pitágoras .......................................................................................................................... 13
1.2 – Diagonal do quadrado ......................................................................................................................... 14
1.3 – Altura do triângulo eqüilátero ............................................................................................................. 14
1.4 – Projeção ortogonal .............................................................................................................................. 15
1.5 – Ângulo entre reta e plano e ângulo entre dois planos .........................................................................15
UNIDADE II
POLIEDROS
2.1 – Diagonal de um poliedro .................................................................................................................... 18
2.2 – Poliedros regulares ............................................................................................................................ 19
UNIDADE III
PRISMA
3.1 – Cilindro .............................................................................................................................................. 22
3.2 – Volume do prisma .............................................................................................................................. 23
3.3 – Princípio de Cavalieri ........................................................................................................................ 24
UNIDADE IV
PIRÂMIDE
4.1 – Cone ................................................................................................................................................... 27
4.2 – Volume da pirâmide ........................................................................................................................... 28
UNIDADE V
ESFERA
5.1 – Superfície esférica ............................................................................................................................. 32
5.2 – Troncos de pirâmide e de cone .......................................................................................................... 34
Glossário ..................................................................................................................................................... 39
Gabarito........................................................................................................................................................ 40
Referências bibliográficas ............................................................................................................................ 42
Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA
OBJETIVOS
I - REVISITANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS APLICAÇÕES
1.1 – Teorema de Pitágoras
1.2 – Diagonal do quadrado
1.3 – Altura do triângulo eqüilátero
1.4 – Projeção ortogonal
1.5 – Ângulo entre reta e plano e ângulo entre dois
planos
• Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular
segmentos no espaço usando sua projeção ortogonal.
II - POLIEDROS
2.1 – Diagonal de um poliedro
2.2 – Poliedros regulares
• Identificar Poliedros, aplicar a relação de Euler e
calcular o número de diagonais.
III - PRISMA
3.1 – Cilindro
3.2 – Volume do prisma
3.3 – Princípio de Cavalieri
• Identificar os elementos de um prisma, do cilindro
e saber calcular os volumes desses sólidos.
IV - PIRÂMIDE
4.1 – Cone
4.2 – Volume da pirâmide
• Identificar os elementos de uma pirâmide, do cone
e saber calcular os volumes desses sólidos.
V - ESFERA
5.1 – Superfície esférica
3.2 – Troncos de pirâmide e de cone
• Calcular o volume e a área da superfície esférica.
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12
Contextualização da Disciplina
Devo lembrá-lo que você optou por um curso a distância e isso exigirá uma dedicação maior do que num
curso presencial. Durante boa parte do tempo você estará sozinho e, portanto, precisará lançar mão de todo o
material que estiver ao seu alcance para ser seu parceiro nos estudos. Então, consulte livros, procure por objetos
que apresentem as características e propriedades pertinentes ao problema que você estiver resolvendo e não
esqueça que na internet há muito material de consulta, fóruns de discussões e aplicativos, que você pode fazer
download e que serão importantes para ajudar a reduzir a dificuldade de visualização.
Observe que todos os objetos à sua volta possuem três dimensões. Mesmo a folha de papel, por mais fina que
ela seja, além das duas dimensões que definem seu tamanho, há ainda a sua espessura. Portanto, concordemos,
não há razões para pensar que a Geometria Espacial não seja uma linguagem que não nos seja familiar.
Começaremos revisitando conceitos que você vai precisar para ter sucesso nesta disciplina.
Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.
UNIDADE I
13
REVISITANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS
APLICAÇÕES
1.1 – Teorema de Pitágoras
Sabemos que dois paralelogramos que possuam mesma base e mesma altura possuem áreas iguais. Assim,
o paralelogramo ABCD e o retângulo CDEF, que também é um paralelogramo – já que possui lados opostos
paralelos –, possuem bases e alturas comuns, portanto, eles têm mesma área.
Os dois possuem área:
S = b.h
Observe, então, as figuras seguintes. A fig.1 mostra quadrados construídos sobre os lados do triângulo retângulo.
Construímos quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa do triângulo retângulo ABC.
Se você observar as transformações que a seqüência de figuras nos mostra, vai poder concluir que a área do
quadrado menor é a mesma do retângulo, na figura final, que ocupa parte do quadrado sobre a hipotenusa.
Analogamente, poderíamos mostrar que a área do quadrado sobre o outro cateto (AC) é exatamente igual à
área do retângulo que sobrou no quadrado construído sobre a hipotenusa.
Então, podemos afirmar com toda segurança que: o quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo
retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre os seus catetos. Essa é a relação que conhecemos
como Teorema de Pitágoras. Por conta da Álgebra, que nos permite escrever a área do quadrado de lado x através
da expressão x2, isto é, a área de um quadrado é o quadrado de seu lado, podemos escrever que todo triângulo
retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, vale a relação:
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Exemplo:
Isso equivale dizer: o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
⇒ 52 = 32 + 42
A diagonal do quadrado e a altura do triângulo eqüilátero são duas importantes aplicações desse teorema.
1.2 – Diagonal do Quadrado
Seja d a diagonal de um quadrado de lado l.
d² = l ² + l ²
d² = 2 l ²
d²= 2l ² então,
d=l 2
1.3 – Altura do Triângulo Eqüilátero
Seja h a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.
Juntemos a essas relações o conceito de projeção ortogonal, como são definidos os ângulos formados entre
uma reta e um plano e entre dois planos.
1.4 – Projeção Ortogonal
Seja α um plano e seja AB∉ um segmento. Considere B um ponto do plano β.
Observe que a projeção do segmento
AB, sobre o plano β, representada pelo
segmento A”B, pode ser calculado, usando
a medida de AB, e a distância do ponto A
à esse plano.
A’B’ - É a projeção ortogonal de sobre o plano α.
A’’B - É a projeção ortogonal de sobre o plano β.
1.5 – Ângulo entre Reta e Plano e Ângulo entre Dois Planos
Ângulo entre reta e plano:
Ângulo entre dois planos:
O ângulo é formado pela reta e sua projeção sobre
o plano.
O que vai representar o ângulo entre os dois planos
será o ângulo formado por duas retas, cada um em um
dos planos e, as duas, perpendiculares a interseção
desses planos.
Exercícios de Fixação
01. Dois pontos A e B distam, respectivamente, 7 cm e 4 cm de um plano α. Se AB mede 5 cm, sua projeção
ortogonal sobre o plano α mede:
a) 1 m
b) 3 m
c) 4 m
d) 5 m
e) 7 m
15
16
02. Calcule as medidas dos segmentos mostrados nos cubos cujas arestas medem 4 cm:
03. Seja 4 cm a medida da aresta do cubo seguinte e seja PB = 6 cm. Calcule a distância do ponto P ao vértice
H.
04. Os cubos seguintes têm arestas iguais a 8 cm. Determine as áreas das regiões planas cujos vértices estão
sobre suas arestas.
05. Os cubos seguintes têm arestas iguais a 8 cm. Determine as áreas das secções planas MNPQRS e ANBM
sabendo-se que os pontos M, N, P, Q, R e S são pontos médios de sus arestas.
a)
b)
06. Um retângulo de cartolina ABCD, com AD = 20 cm e AB = 30 cm e dobrado, segundo a linha tracejada
MN//AD, tal que AM = 20 cm é colocado em pé sobre uma mesa conforme figura. Qual deve ser a medida de
ME, para que a poligonal BED tenha tamanho mínimo.
07. Num cubo de aresta igual a 10cm ligam-se os pontos A e B, médios dos segmentos MN e PQ, respectivamente, como mostra a figura. Calcule a medida do segmento AB.
08. Sobre cada face de um cubo, de 2 centímetros de aresta, é colocado um outro cubo de mesmo tamanho de
forma que suas faces coincidam totalmente. Qual é a área do novo sólido assim formado?
17
18
UNIDADE II
POLIEDROS
Um poliedro é um sólido limitado por superfícies planas. Seus elementos são as faces, que são as superfícies
planas, arestas, que é o encontro de duas faces, e vértices, encontro de duas ou mais arestas.
Observemos que o sólido ao lado é formado
por 8 faces, 17 arestas e 11 vértices.
Consideremos um poliedro convexo de F faces, V vértices e A arestas. Prova-se que são validadas as seguintes
relações:
• Relação de Euler: V + F = A + 2.
• Soma dos ângulos de todas as faces: S = (V - 2).360º.
• Seja fn o número de faces de n lados, então: 3f3 + 4f4 + 5f5 +...+ nfn = 2A.
Exemplo: Aproveitemos o sólido anterior para verificar essas relações.
V = 11, F = 8 e A = 17. Então, V + F = 11 + 8 = 19 = A + 2.
O sólido é formado de duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Então temos:
f3 = 2, f4 = 2 e f5 = 4.
Então: 3.f3 + 4.f4 + 5.f5 = 2.A ⇒ 3.2 + 4.2 + 4.5 = 2.A ⇒ 2A = 34. Logo, A = 17.
2.1 – Diagonal de um Poliedro
É o segmento de reta que tem como extremos dois vértices que não pertencem a uma mesma face.
Obervemos que do vértice A do poliedro usado como exemplo
só podemos traçar as diagonais AF e AG. Todos os outros
segmentos que ligam o vértice. A aos vértices ou são arestas,
ou são diagonais das faces do poliedro.
• Seja Σdf o total de diagonais sobre as faces, então:
D=
V ( V − 1)
− A − ∑ dfdf
2
2.2 – Poliedros Regulares
19
Poliedro regular é um poliedro convexo cujas faces são polígonos regulares congruentes e todos os vértices,
concorrem com o mesmo número de arestas. Existem somente cinco poliedros regulares e eles são chamados
de Poliedros de Platão.
Observe que o nome do poliedro define o número de faces, e para você saber quantos vértices ou arestas cada
um deles possui, é aconselhável que você guarde, além do número de faces, como essas faces são. Isso não é
difícil se você levar em conta que as faces são de três tipos apenas: triângulos, quadrados ou pentágonos.
Então, devemos pensar no Dodecaedro Regular como um poliedro formado por 12 faces pentagonais. Portanto,
serão 12 vezes 5, o número de lados das faces e estes compõem, cada dois, uma aresta, portanto, duas vezes o
número de arestas.
Isto é: 2A = 12.5 ⇒ 2A = 60 ⇒ A = 30.
Usando agora a Relação de Euler: V + F = A + 2, teremos V + 12 = 30 + 2.
Logo, V = 20
Quanto ao número de diagonais serão D =
= 190 - Σdf. Mas como são 12 pentágonos e
cada pentágono tem cinco diagonais, o somatório das diagonais de todas as faces será Σdf = 12.5 = 60.
Logo D = 190 – 60 ⇒ O dodecaedro regular possui 120 diagonais.
Exemplo: O “cubo-octaedro” possui oito triangulares e seis faces quadradas. Determinar o número de faces,
arestas, vértices e diagonais desse sólido.
São dados f3 = 8 e f4 = 6. Como 3.f3 + 4.f4 = 2A, temos daí que 3.8 + 4.6 = 2A ⇒ A = 24.
Sabemos que F = 8 + 6 = 14 e que V + F = A + 2, portanto V + 14 = 24 + 2 ⇒ V = 12.
Ainda podemos dizer que o número de diagonais é D = 12.(12-1) - 24 - (2.6) ⇒ D = 30.
2
Exercícios de Fixação
01. Qual é o número de arestas do poliedro convexo que possui 6 faces e 8 vértices?
02. Calcular, em graus, a soma dos ângulos das faces de um:
a) Tetraedro regular.
b) Dodecaedro regular.
20
03. O poliedro da figura tem 8 faces triangulares e 6 faces quadradas. Determine seu número de vértices.
04. Determine o número de vértices do poliedro convexo que tem 8 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.
05. Quantas diagonais possui o icosaedro regular?
06. Calcule o número de diagonais do prisma pentagonal a seguir.
07. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces
quadrangulares é igual a 5.
08. Um poliedro convexo tem 11 vértices. O número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares e uma face é pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.
09. Determinar o número de faces, arestas e vértices do “tetra-hexaedro”, um poliedro euleriano (vale a Relação
de Euler) que possui 4 triângulos e 6 hexágonos.
10. O poliedro da figura, uma invenção de Leonardo da Vinci, utilizada na fabricação de bolas de futebol, tem
como faces 20 hexágonos e 12 pentágonos, todas regulares. Determine o número de vértices desse poliedro.
11. Quantas diagonais possui o dodecaedro convexo que tem 4 faces quadrangulares e todas as demais triangulares?
12. Calcular, do octaedro representado a seguir, a soma dos ângulos das faces e o número de diagonais.
13. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que os números de faces
triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o
dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.
14. Num poliedro convexo, 4 faces são quadriláteros e as outras triângulos. O número de arestas é o dobro do
número de faces triangulares. Quantas são as faces?
21
22
UNIDADE III
PRISMA
Sejam α e α´ dois planos paralelos e r uma reta que os corta. Consideremos um polígono convexo contido em α.
Suponhamos agora que tracemos, por todo ponto X pertencente ao polígono ou ao seu interior, uma reta paralela
a r que corte o plano α´ no ponto X´. Chamamos de prisma a figura formada pela união dos segmentos XX´.
Na figura seguinte, representamos o caso particular em que o polígono P é um pentágono. O prisma assim
obtido é um prisma pentagonal.
O prisma será reto ou oblíquo conforme a reta r seja, respectivamente, perpendicular ou não, aos planos α e α´.
3.1 - Cilindro
De forma análoga podemos definir o cilindro. Podemos entender o cilindro como um “prisma” obtido a partir
do círculo, ou seja, supomos o círculo como resultado de um polígono regular cujo número de lados aumenta
infinitamente.
Quando o cilindro é reto podemos ainda chamá-lo de cilindro de revolução. Isto se deve ao fato de ele poder
ser obtido pela rotação de um retângulo.
3.2 – Volume do Prisma
A noção de volume de um sólido está relacionada ao espaço por ele ocupado. Determinar o volume de um
sólido é determinar quantas vezes ele ocupa o espaço que um cubo de aresta unitária ocupa.
Usamos um cubo de arestas igual a 1 para unidade de volume. Entendemos que 1cm3, 1dm3 e 1m3, por exemplo, são os espaços ocupados pelos cubos de arestas 1cm, 1dm e 1m, respectivamente. O volume de um sólido,
portanto, será “n”, se o espaço ocupado por ele for equivalente a “n” vezes o volume do cubo unitário.
O volume pode ser visto como uma função que associa a cada sólido um número real positivo tal que:
P1: A todo “sólido no espaço” está associado um número real positivo, chamado volume;
P2: Sólidos congruentes têm o mesmo volume;
P3: Se um sólido S é dividido em dois sólidos S1 e S2, então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2.
Para calcular o volume do prisma, usaremos a idéia intuitiva de que “dois prismas de bases congruentes têm
seus volumes proporcionais às suas alturas”.
O argumento que apresentamos a seguir não é uma “demonstração” do volume do paralelepípedo (prisma
retangular), pois, não provaremos a afirmação que fizemos anteriormente, e ela é a base para nossa argumentação. Em turmas de Ensino Médio, onde o formalismo das demonstrações pode prejudicar a compreensão
do volume do paralelepípedo como o produto de suas três dimensões, essa argumentação pode ser usada
satisfatoriamente.
Não se contente, no entanto, com o desenvolvimento aqui apresentado. Procure outras fontes para ter diferentes visões sobre essa justificação.
Bom, se é “verdade” que dois prismas de bases congruentes têm seus volumes proporcionais às suas alturas,
vamos admitir quatro prismas retos, de bases retangulares, assim definidos:
P1: um cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo de volume unitário;
P2: um prisma quadrangular regular com arestas da base igual a 1 e altura c;
P3: um prisma de arestas da base iguais a 1 e b, e altura c;
P4: um paralelepípedo de arestas a e b e c.
A seguir, a ilustração de nosso argumento:
Usaremos as áreas assinaladas como bases comuns dos prismas quando compararmos seus volumes. Então:
V
V2 c V3 a
V
V V V
b
c a b
= ;
= e 4 = ⇒ 2 . 3 . 4 = . . ⇒ 4 = abc
V1
V1 1 V 2 1
V3 1
V1 V 2 V 3 1 1 1
Mas V1 é o volume do cubo unitário, portanto V1 = 1. Então, o volume do paralelepípedo de dimensões a, b e
c é dado por V = abc. Mas, como “ab” é a área da base desse paralelepípedo podemos concluir que: V = B.h.
23
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3.3 – Princípio de Cavalieri
Considere dois sólidos S1 e S2 e um plano α. Suponha que, para todo plano β paralelo a α são produzidas nos
dois sólidos, seções equivalentes (áreas iguais).
Então Vol(S1) = Vol(S2).
Com base nesse princípio podemos afirmar que prismas que possuam bases equivalentes e alturas iguais têm
volumes iguais. Então, o volume de qualquer prisma é o produto de área da base pela sua altura.
Exercícios de Fixação
01. Um paralelepípedo retângulo tem dimensões 6 cm, 12 cm e 9 cm. Qual é a menor quantidade de cubos,
cujas arestas sejam números inteiros, que são necessários para preencher completamente esse paralelepípedo?
02. Na figura abaixo, cada cubo tem 2 cm de aresta. Calcule o volume da pilha, incluindo os cubos não visíveis
no canto.
03. Um tanque cúbico tem 8m3 de volume e contém água até a sua metade. Após mergulhar uma pedra de
granito o nível d’água subiu 8cm. Qual é o volume da pedra?
04. Um paralelepípedo de volume V é seccionado por um plano que contém uma de suas arestas e corta outra
aresta em dois segmentos iguais. A razão entre os volumes dos dois sólidos determinados pelo corte é:
a) 1/8.
b) 1/6.
c) 1/4.
d) 1/3.
05. Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e dimensões dadas pela figura abaixo.
06. Calcule o volume da piscina representada pela figura. As medidas são dadas em metros.
07. O reservatório esquematizado na figura é utilizado na indústria. Sua forma é a composição de um bloco
retangular com um semi-cilindro. Calcule a sua capacidade em litros.
08. Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6 cm é seccionado por um plano oblíquo à mesma que
determina, no cilindro, alturas entre 2 cm e 8 cm, como indicado na figura. O volume do tronco resultante, em
cm3, é:
a) 7 3ππ .
b) 30π.
c) 8 3π
π
d) 45 π.
e) 10 3π
π.
09. Um tronco de cilindro reto com diâmetro da base igual a 10 cm tem alturas entre 6cm e 12cm, como
indicado na figura. Calcule a que altura deve-se cortar esse sólido, por um plano paralelo à base, para dividi-lo
em dois sólidos com volumes iguais?
25
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10. Determine o volume do sólido gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno do lado AB.
UNIDADE IV
PIRÂMIDE
Vejamos agora a definição de pirâmide. Considere um polígono convexo P contido em um plano α, e um ponto
A fora de α. Tracemos, então, para todo ponto X pertencente a P ou no seu interior, o segmento AX. Chamamos
de pirâmide a figura formada pela união dos segmentos AX.
A pirâmide que representamos como exemplo é uma pirâmide HEXAGONAL. Observe que ela possui seis
arestas laterais, seis arestas na base (a base é um hexágono) e suas faces laterais são todas triangulares, o que
ocorre com toda pirâmide, independente do formato da base.
Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e todas as arestas laterais são iguais.
4.1 – Cone
Usaremos com o cone a mesma analogia que usamos para definir o cilindro. Podemos entender o cone como
uma “pirâmide” cuja base é um círculo, isto é, o círculo é o resultado de um polígono regular cujo número de
lados aumenta infinitamente.
27
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Qualquer segmento do vértice A até um ponto P sobre a circunferência do círculo da base será chamado de
geratriz. Quando todas as geratrizes são iguais o cone pode ser chamado de cone de revolução. Isto se deve ao
fato de ele poder ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo, em torno de seu cateto.
4.2 – Volume da Pirâmide
Pelo Princípio de Cavalieri, pirâmides de mesma altura e com bases equivalentes têm o mesmo volume. Para
chegar ao volume da pirâmide vamos seccionar um prisma de base triangular. As figuras seguintes ilustram um
prisma triangular sendo dividido em três pirâmides.
Observe que as pirâmides I e III têm volumes iguais, pois as áreas sombreadas mostram bases iguais e suas
alturas são iguais à altura do prisma. Nas pirâmides II e III, os triângulos hachurados sustentam o argumento de
que essas pirâmides têm bases iguais, além de as alturas serem iguais. Lembremos que a altura de uma pirâmide
é a distância do vértice à base.
Logo, todas as três pirâmides têm volumes iguais.
Portanto: V1 + V2 + V3 = VPRISMA ⇒ 3.V1 = B.h ⇒ VPIRÂMIDE = 1 . B.h
3
Ou seja, o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura.
Obs.: Embora possamos escrever V = Bh , insisto na forma V = 1 . Bh pois, dessa forma, evidenciamos a relação
3
do seu volume com o volume do prisma.3
Exercícios de Fixação
01. Calcule a área e o volume da pirâmide quadrangular regular cujas arestas, todas elas, medem 8 cm.
02. Se um prisma e uma pirâmide possuem bases respectivamente iguais, e ainda, se a altura do prisma é o
triplo da altura da pirâmide, então, quantas vezes o volume da pirâmide cabe no prisma?
03. Na figura abaixo, X, Y e Z são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE, BF e CG do cubo. Que
fração o volume da pirâmide XYZF representa do volume do cubo?
a) 3/8
b) 1/12
c) 2/11
d) 3/4
e) 5/16
04. O sólido seguinte é obtido cortando-se os cantos de um cubo de 6 cm de aresta, por planos que passam
pelos pontos médios das arestas. Calcule seu volume.
05. Um cilindro e um cone têm bases e alturas respectivamente iguais. O cilindro está cheio de água. Com a
água do cilindro enchemos o cone. Agora, que altura a água do cilindro atingirá?
06. Um sólido é formado fazendo-se um furo cônico num cilindro de raio 6cm e com 4cm de altura, conforme
mostra a figura. Qual é o volume do sólido assim obtido?
07. Determine o volume do sólido representado pela figura seguinte:
29
30
08. Considere a pirâmide AEGH inscrita no cubo ABCDEFGH de aresta a, como se vê na figura. Determine:
a) A distância de H ao plano AEG.
b) O volume da pirâmide AEGH.
09. O recipiente abaixo, formado por um cilindro e um cone de revolução, é completamente fechado. Ele está
com água até uma altura x do cilindro. Se virarmos o recipiente de “ponta cabeça”, o nível da água atingirá a
mesma marca. Determine o valor de x?
10. As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma
por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AP. Para que o tetraedro MPQR tenha
volume igual a 1/3 do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter PM igual a:
a) 3.PA/4.
b) 2.PA/3.
c) 3.PA/5.
d) PA/3.
e) PA/6.
11. No sólido seguinte, as arestas AB, AC e AD são perpendiculares duas a duas e medem 6 cm cada uma
delas. Calcule a distância do vértice A ao plano que contém o triângulo BCD.
UNIDADE V
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ESFERA
Seja O um ponto e seja r um número real positivo. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor ou igual a R.
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio R ao
conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância
OP seja igual a R.
Para determinar o volume da esfera usaremos novamente o Princípio de Cavalieri. Consideremos uma esfera
de raio R e o sólido que se obtém retirando-se de um cilindro eqüilátero de raio R, dois cones de altura R cujas
bases coincidam com as bases do cilindro.
Admitamos um plano α, paralelo às bases do cilindro, distante x unidades de seu centro e do centro da esfera,
seccione esses dois sólidos.
Observe que esse plano determina sobre a esfera, um círculo de raio r e, no outro sólido, uma coroa circular
de raios R e x. As áreas do círculo e da coroa circular podem ser obtidas pelas expressões:
Scírculo = πr2 onde r2 = R2 – x2
⇒ Scírculo = π(R2 – x2)
Scoroa = πR2 – πx2
⇒ Scoroa = π(R2 – x2)
Portanto, as duas áreas são iguais e, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos possuem o mesmo volume.
Então, podemos calcular o volume da esfera, calculando o volume desse sólido.
Calculamos o volume do sólido, subtraindo do cilindro, os dois cones de raio R e altura R. Então:
V = πR2.2R – 2. 1 πR2.R ⇒ V = 2πR3 –
3
2πR 3
3
⇒ V=
4πR 3
3
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5.1 – Superfície Esférica
Para calcular a área da superfície da esfera, suponhamos pirâmides com vértices no centro da esfera e com
os vértices das suas bases sobre sua superfície. A soma dos volumes de todas essas pirâmides será menor do
que o volume da esfera, no entanto, se diminuirmos tanto quanto possível as áreas das bases dessas pirâmides,
a soma de seus volumes terá como limite o volume da esfera. Nesse caso, a soma das áreas de suas bases será
a superfície da esfera e, a altura de cada pirâmide, será igual ao raio da esfera. Então, podemos dizer que o
volume da esfera é igual à terça parte da área de sua superfície multiplicada pelo seu raio. Lembre-se que a área
da pirâmide é um terço da área da base pela altura.
Então:
Vesfera =
4πR 3
1
1
.Sesfera . R ⇒ .Sesfera . R =
3
3
3
⇒ Sesfera = 4πR2
Exercícios de Fixação
01. Um cilindro reto de 10 cm de raio e 20 cm de altura está com água até a metade de sua altura. Se colocarmos
no interior deste cilindro uma esfera maciça de 3cm de raio, quantos centímetros o nível da água se desloca?
02. Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é
colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1cm, então calcule
o raio da esfera.
03. O modelo astronômico heliocêntrico de Kleper, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco
poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme a ilustra figura abaixo. Que fração o raio da
esfera que envolve o tetraedro representa do raio da esfera que envolve o hexaedro?
04. No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais
próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas
bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. Calcule a distância entre os pontos A e B, em que
as bolas tocam o chão.
05. Três bolas de tênis idênticas, de diâmetro igual a 6cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica com
tampa. As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura abaixo.
Calcule:
a) a área total, em cm2, da superfície da embalagem.
b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas.
06. Ping Oin recolheu 4,5m3 de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à
chegada do verão no Pólo Sul.
O boneco será composto por uma cabeça e um corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo
maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir.
Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3. Calcule, usando a aproximação
considerada, os raios das duas esferas.
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34
07. Um medicamento é produzido nas formas farmacêuticas de cápsulas e de comprimidos. Suponha que o
comprimido tenha forma de um cilindro circular reto e que a cápsula tenha a mesma forma cilíndrica do comprimido, tendo, entretanto, uma semi-esfera em cada extremidade. Considere que o raio de cada semi-esfera
seja igual ao raio da parte cilíndrica da cápsula.
As figuras abaixo mostram os esboços da cápsula e do comprimido, com suas respectivas dimensões.
Com base nessas informações, calcule o valor de r admitindo que:
a) A área total da cápsula é o dobro da área lateral do comprimido.
b) A soma dos volumes das semi-esferas da cápsula é igual ao volume do comprimido.
08. Numa esfera de 26cm de diâmetro faz-se um corte por um plano que dista 5 cm do centro. Calcule o raio
da seção feita pelo corte.
09. Na figura abaixo, há um círculo de raio R e uma reta (e) que contém o seu centro - ambos do mesmo plano.
Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu
a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser calculada através da fórmula 2πRm, sendo m a projeção
ortogonal do arco AB sobre a reta (e).
A) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m.
B) Demonstre que a área da calota esférica gerada pelo arco AB é equivalente à área plana limitada por uma
circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida da corda AB.
5.2 – Troncos de Pirâmide e de Cone
Seccionando uma pirâmide ou um cone, por um plano paralelo às bases, teremos seus respectivos troncos.
Entenderemos seus volumes como frações desses respectivos sólidos: pirâmide e cone, e, aceitando o cone
como limite de uma pirâmide, fazendo o número de lados do polígono, que lhe serve como base, aumentar
infinitamente. Basta, então, que justifiquemos o cálculo do volume do tronco de pirâmide.
Precisaremos da razão entre áreas de dois polígonos semelhantes. Usaremos o triângulo para isso.
Consideremos dois triângulos semelhantes e seja k a razão de semelhança.
Ou seja: a razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.
Traçando um plano, paralelo à base de uma pirâmide, obteremos uma outra pirâmide semelhante à primeira.
Seja k a razão de semelhança.
Ou seja: a razão entre os volumes de duas pirâmides semelhantes é o cubo da razão de semelhança.
Portanto, se a pirâmide menor tem volume igual a k3.V’, podemos concluir que o volume do tronco de pirâmide
é (1-k3) do volume da pirâmide.
Exemplo: Um cone de revolução é cortado por um plano paralelo à base, que divide a geratriz SA na razão
PA/PS = 1/2. Sendo dados o raio do cone, 3 cm, e a altura, 8cm, calcule o volume do tronco.
Podemos afirmar que o cone pequeno é semelhante ao cone maior
e, a razão de semelhança, é k = SP . Chamando PA = a e PS = 2a,
SA
temos SP = 2a = 2 .
SA 3a
3
Então, k = 2 e o volume do cone pequeno é 8 do volume do cone
3
27
maior.
()
O volume do tronco, portanto, será 19 do volume do cone maior.
27
19
1
19
2
.
V=
⇒ V=
π.3 .8
.(3π.8) ⇒ V = 152π cm3
27
3
27
9
(
)
35
36
Exercícios de Fixação
01. Duplicando-se simultaneamente a medida do raio da base e da altura de um cone de revolução, o seu volume:
a) fica 8 vezes maior.
b) fica 6 vezes maior.
c) quadruplica.
d) duplica.
e) não se altera.
02. O cone representado abaixo tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Sendo d a distância do vértice a um
plano α, paralelo à base. Para que as duas partes do cone separadas pelo plano α possuam volumes iguais, qual
deve ser o valor de d?
03. O recipiente em forma de cone circular reto tem raio igual a 12 cm e altura igual 16 cm. O líquido ocupa
1/8 do volume do recipiente. Determine a altura x do líquido.
04. Dois planos paralelos à base de um cone de volume V dividem a altura do cone em três partes iguais.
Calcule o volume do tronco limitado entre os dois planos.
a) V / 27.
b) 7V / 27.
c) 8V / 27.
d) 8V / 9.
e) V / 9.
05. Dada a pirâmide de altura igual a 12 cm, a que distância do vértice, deve-se traçar um plano secante paralelo
à base, de modo que o volume do tronco seja 19/27 do volume da pirâmide?
06. De um cone de volume V, de centro da base O e de altura H (fig.1), obtém-se um tronco de cone de altura
H / 2 (fig.2). Neste tronco, faz-se um furo cônico com vértice O. Qual o volume do sólido obtido.
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Glossário
Calota esférica - superfície da esfera determinada pelo corte de um plano que a secciona.
Concêntricas - duas circunferências, ou duas esferas, são concêntricas quando possuem mesmo centro.
Congruentes - em Geometria, usamos a palavra congruente para designar dois objetos que podem ser superpostos coincidindo todos os seus pontos. A congruência é a propriedade atribuída a duas figuras que são
geometricamente iguais.
Coroa circular - região plana compreendida entre dois círculos concêntricos. Sua área é a diferença entre as
áreas desses círculos.
Geratriz - em Geometria, geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a
outra na curva que envolve a base.
Ortogonal - dois objetos geométricos são ortogonais quando formam um ângulo de 90º.
Polígono - é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. Entendemos linha poligonal como
um conjunto de segmentos de reta consecutivos. A palavra polígono advém do grego e quer dizer muitos (poly)
e ângulos (gon).
Semi-esfera - suponha um plano passando pelo centro de uma esfera. Esse plano divide a esfera em dois sólidos,
cada um deles é chamado de semi-esfera.
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Gabarito
Unidade I
01. c) 4m.
02. 4 3 ; 2 5 ; 2√6; 2√6.
03. 2 33.
04. 64 2 ;16 5 ; 32 2 ; 32 3 .
05.
a) 48 3
b) 32 6 .
06. ME = 6,666...
07. 5 5 .
08. 120 cm2.
Unidade II
01. 12.
02. 720º e 6480º.
03. 12.
04. 11.
05. 36.
06. 10.
07. 9.
08. 11.
09. F = 10; A = 24 e V = 16.
10. 60.
11. 17.
12. 3240º e 14 diagonais.
13. 20.
14. 20.
Unidade III
01. 24.
02. 80 cm3.
03. 0,32 m3.
04. d) 1/3.
05. 240.
06. 6000 m3.
07. 43500cm3 ou 43,5 litros.
08. d) 45π.
09. 5 cm.
10. 96π.
Unidade IV
01. S = 64(1+ 3) cm2 e V = 256 2 cm3.
3
02. 9 vezes.
03. b) 1/12.
04. 180 cm3.
05. 12 cm.
06. 96π cm3.
07. 144π cm3.
08.
a) a 2
2
3
b) a
6
09. 6 cm.
10. a) 3.PA/4.
11. 2 3 .
3
Unidade V
5.1
01. 0,36 cm.
02. 3 cm.
3.
3
04. 8 2 .
05.
a) 126π cm2
b) 2
3
06. 1m e 0,5 m.
07.
a) r = 0,85.
03.
36
10
3
08. 12 cm.
09.
a) AB = 2 R
Rm
m
b)
BAB22 . Então, S = π AB2 .
b) A área da calota: S = 2πRm = 2πR. A
2R
5.2
01. a) fica 8 vezes maior.
6 =8 3 4.
02. d = 163
3
33
2
03. 8 cm.3
04. b) 7V/27.
05. 8 cm.
06. 3V .
4
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Referências Bibliográficas
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática. Rio
de Janeiro: SBM, 1993.
DOLCE, Osvaldo & IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol. 10. São Paulo: Atual,
1997.
LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1973.
____. Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM,
1997.
____. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1991.
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