Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Guilherme Jahnecke Weymar
AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Fonte:
Boyce, Bronson, Zill, diversos internet
1
+
Queda livre de objetos
O objetivo é
saber qual a
posição do objeto
em função do
tempo! (tempo
que atinge o solo)
Lei Física:
2ª Lei de Newton
FORÇA
PESO
𝐹𝑖 = 𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎
𝑖
𝑃 = −𝑚. 𝑔 = 𝑚.
Aproximação
𝑑2𝑥
𝑑𝑡 2
2
Queda livre de objetos
Condições Iniciais
𝑑2𝑥
−𝑔 = 2
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑣 𝑡 = 0 = 𝑣0 =
(𝑡 = 0)
𝑑𝑡
𝑥0 = 𝑥 (𝑡 = 0)
Solução....
3
+
Queda livre de objetos
Considerando a
resistência do
ar sobre o
paraquedista!
Lei Física:
2ª Lei de Newton
𝐹𝑖 = 𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎
𝑖
𝑑𝑥
𝑃 − 𝐹𝑎𝑟 = −𝑚. 𝑔 − 𝑘
𝑑𝑡
2
𝑑2𝑥
= 𝑚. 2
𝑑𝑡
4
Queda livre de objetos
𝑑𝑥
−𝑃 − 𝐹𝑎𝑟 = −𝑚. 𝑔 − 𝑘
𝑑𝑡
2
𝑑2𝑥
= 𝑚. 2
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑2𝑥
−𝑃 − 𝐹𝑎𝑟 = −𝑚. 𝑔 − 𝑘
= 𝑚. 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
5
Corrente em circuito RLC
q(𝒕)
Comportamento da carga
elétrica do capacitor em um
circuito composto por um
Resistor (R) , um Indutor (I) e
um Capacitor (C), alimentado
por uma fonte de tensão (E0)
2ª Lei de
Kirchhoff
Diz:
Diferença
de
potencial
em
um
circuito fechado é
igual à soma das
voltagens em cada
componente
do
circuito.
𝐸0 𝑡 = 𝑉𝐿 + 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶
𝑑2𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐸0 𝑡 = 𝐿. 2 + 𝑅
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
6
Corrente em circuito RLC
𝑑2𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐸0 𝑡 = 𝐿. 2 + 𝑅
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
Solução....
Se 𝐸0 𝑡 = 0, as oscilações elétricas do circuito são ditas livres.
𝑑2𝑞
𝑑𝑞 𝑞
1
2
0 = 𝐿. 2 + 𝑅
+ → 0 = 𝐿. 𝜆 + 𝑅𝜆 +
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝐶
Existirão 3 formas de solução, que dependem de 𝑅2 − 4𝐿/𝐶:
4𝐿
- Sobreamortecido:
𝑅2 − > 0
- Criticamente amortecido:
𝑅2 −
- Subamortecido:
𝑅2 −
𝐶
4𝐿
𝐶
4𝐿
𝐶
=0
<0
Em cada um dos casos temos: 𝑒 −𝑅𝑡/2𝐿 , 𝑞 𝑡 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑡→∞
7
Corrente em circuito RLC
Existirão 3 formas de solução, que dependem de 𝑅2 − 4𝐿/𝐶:
4𝐿
- Sobreamortecido:
𝑅2 − 𝐶 > 0
- Criticamente amortecido:
𝑅2 −
- Subamortecido:
𝑅2 −
4𝐿
𝐶
4𝐿
𝐶
=0
<0
Em cada um dos casos temos: 𝑒 −𝑅𝑡/2𝐿 , 𝑞 𝑡 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜
Sobreamortecido
Criticamente amortecido
𝑡→∞
Subamortecido
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Sistema Massa-Mola
Lei de Hooke: “A mola por si
só exerce uma força
restauradora 𝐹𝑟𝑒𝑠𝑡 oposta à
direção de alongamento e
proporcional à quantidade
de alongamento s.”
𝐹𝑟𝑒𝑠𝑡 = 𝑘. 𝑠
Constante da mola – esta
ligada diretamente com as
características físicas do
material da mola.
Sistema Massa-Mola fora da
posição de equilíbrio.
9
Sistema Massa-Mola
10
Sistema Massa-Mola
Aproximações:
- Não existe forças de retardo atuando no sistema;
- Massa oscile livre de forças externas.
Lei Física:
2ª Lei de Newton
X
𝐹𝑖 = 𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎
Posição de Equilíbrio
𝑖
𝐹𝑅𝑒𝑠𝑡 = 𝑘(𝑠 + 𝑥)
𝑑2𝑥
𝑚. 2 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑠 + 𝑥 = −𝑘𝑥 + 𝑚𝑔 − 𝑘𝑠
𝑑𝑡
11
Sistema Massa-Mola
Equação Diferencial do movimento não-amortecido livre:
𝑑2𝑥
+ 𝜔2 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑘
Onde: 𝜔2 = 𝑚
Condições iniciais do problema:
- 𝑥 0 = 𝑥0 quantidade inicial deslocada;
- 𝑥′ 0 = 𝑥1 velocidade inicial da massa.
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Sistema Massa-Mola
Solução:
𝑑2𝑥
+ 𝜔2 𝑥 = 0 → 𝜆2 + 𝜔2 = 0
2
𝑑𝑡
Onde:𝜆1 = 𝜔𝑖; 𝜆2 = −𝜔𝑖
Solução Geral:
- 𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sen 𝜔𝑡
Forma Alternativa:
𝑥 𝑡 = 𝐴 sen 𝜔𝑡 + 𝜙
Onde 𝐴 =
𝑐1 2 + 𝑐2 2
𝑠𝑒𝑛 𝜙 = 𝑐1 /𝐴
tan 𝜙 = 𝑐1 /𝑐2
cos 𝜙 = 𝑐2 /𝐴
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Sistema Massa-Mola
Forças atuantes sobre a massa:
Caso Geral:
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝑷 + 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂 + 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 + 𝑭𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂
1º Modelo: Considerou-se apenas as forças: PESO e MOLA.
𝑑2𝑥
+ 𝜔2 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sen 𝜔𝑡
2º Modelo: Considera-se as forças: PESO; MOLA e
AMORTECIMENTO.
3º Modelo: Considera-se as forças: PESO; MOLA;
AMORTECIMENTO e EXTERNA.
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Sistema Massa-Mola: Movimento
Amortecido Livre
Existe uma força de resistência decorrente do meio que a envolve:
Forças de Amortecimento atuando sobre o corpo são
consideradas como sendo proporcionais a uma
potência da velocidade instantânea.
𝑑𝑥
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∝
𝑑𝑡
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑚. 2 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑠 + 𝑥 − 𝛽
= −𝑘𝑥 − 𝛽
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑 2 𝑥 𝛽 𝑑𝑥 𝑘
+
+ 𝑥=0
𝑑𝑡 2 𝑚 𝑑𝑡 𝑚
𝛽
Tomando: 2γ = 𝑚
𝑘
e 𝜔2 = 𝑚
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Sistema Massa-Mola: Movimento
Amortecido Livre
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
+
2γ
+ 𝜔2 𝑥 = 0 → 𝜆2 + 2γ𝜆 + 𝜔2 = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜆1 = −γ + γ2 − 𝜔 2
𝜆2 = −γ − γ2 − 𝜔 2
1º Caso: γ2 − 𝜔2 > 0
Sistema é dito ser sobreamortecido. 𝛽 é grande comparado
com a constante da mola.
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐1 𝑒
γ2 −𝜔2 .𝑡
+ 𝑐2 𝑒 −
γ2 −𝜔2 .𝑡 )
2º Caso: γ2 − 𝜔2 = 0 Criticamente amortecido
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)
3º Caso: γ2 − 𝜔2 < 0
Sistema é dito ser subamortecido. 𝛽 é pequeno comparado
com a constante da mola.
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐1 cos
−γ2 + 𝜔 2 𝑡 + 𝑐2 sen
−γ2 + 𝜔 2 𝑡
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Sistema Massa-Mola: Movimento
Amortecido Forçado
Existe uma força externa atuando sobre a massa:
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑚. 2 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑠 + 𝑥 − 𝛽
+ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = −𝑘𝑥 − 𝛽
+ 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
𝑚 2 +𝛽
+ 𝑘𝑥 = 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Equação Diferencial Não Homogênea
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Deflexão de uma viga
Problema: Vigas ou
traves, se defletem ou
distorcem em decorrência
do seu próprio peso ou
sob influência de alguma
força externa.
Deflexão 𝒚(𝒙)
é governada
por uma E. D.
de 4ª ordem
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Deflexão de uma viga
Simplificações:
• Viga de comprimento 𝑳 homogênea;
• Seção transversal uniforme ao longo do seu comprimento;
• Na ausência de qualquer carga na viga, tem-se o eixo de
simetria
x
y
Supomos:
• A curva de deflexão se aproxima
do formato da viga;
• Eixo X coincida com o eixo de
simetria;
• A deflexão y(x), medida a partir
do eixo de simetria, seja
positiva quando for para baixo.
19
Deflexão de uma viga
Teoria da Elasticidade:
• Mostra que o momento de inclinação 𝑀(𝑥) em um ponto x ao
longo da viga está relacionado à carga por unidade de
comprimento [𝜔(𝑥)] pela equação:
𝑑2𝑀
= 𝜔(𝑥)
𝑑𝑥 2
Onde o momento de inclinação 𝑀(𝑥) é proporcional à curvatura 𝜅
da curva elástica:
𝑀 𝑥 = 𝐸. 𝐼. 𝜅
𝐸 é o módulo de elasticidade de Young do material da viga;
𝐼 momento de inércia de uma seção transversal da viga.
𝐸. 𝐼 conhecido como rigidez flexural da viga.
𝑦′′
𝜅=
[1 + (𝑦′)2 ]3/2
Note que:
Quando a deflexão for pequena,
o coeficiente angular 𝑦′ ≈ 0 o
que implica:
𝜅 ≈ 𝑦′′
20
Deflexão de uma viga
𝑀 𝑥 = 𝐸. 𝐼. 𝑦′′
Logo, temos:
𝑑 2 𝑀 𝑑 2 (𝐸. 𝐼. 𝑦′′)
𝑑 2 𝑦′′
𝑑4𝑦
=
= 𝐸. 𝐼.
= 𝐸. 𝐼. 4 𝜔(𝑥)
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
Problema de Valor de Contorno:
Dependem de como as extremidades da viga estão sendo apoiadas
Viga em balanço: está encaixada ou grampeada em uma das
extremidades e livre na outra.
Exemplos: Trampolim, uma asa de avião, uma sacada, etc.
Note que árvores e arranha-céus podem atuar como vigas em balanço.
Extremidade encaixada:
Extremidade livre:
𝑦 0 =0
→ 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑦 ′′ (𝐿) = 0 → 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 é 0.
𝑦 ′ 0 = 0 → 𝑦 𝑥 é 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 𝑦′′′(𝐿) = 0 → 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 0.
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Deflexão de uma viga
𝑑3𝑦
𝐹𝑐𝑖𝑠. = 𝐸. 𝐼. 3
𝑑𝑥
Condições de Contorno:
Extremidades da Viga
Encaixada
Livre
Simplesmente Apoiada ou
Curvada
Condições de Contorno
y=0
e
y’=0
Y’’=0
e
y’’’=0
y=0
e
y’’=0
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