MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM PROLEMA DE INTERAÇÃO
ESCOAMENTO-DEFLEXÃO
Hudison Loch Haskel (UNICENTRO)
Marcia da Costa (UNICENTRO)
Afonso Chimanski (UNICENTRO)
Márcio André Martins (UNICENTRO)
Maria José de Paula Castanho (UNICENTRO)
Maria Regina Carvalho Macieira Lopes (UNICENTRO)
Resumo
Uma aprendizagem reflexiva de conteúdos de Física requer questionamentos, argumentações,
explicações e tomada de decisão. A modelagem matemática, entendida como uma abordagem para
resolução de um problema físico, contempla levantamento de hipóteses e representações em termos
matemáticos. Com o objetivo de contribuir para um aprendizado reflexivo de fenômenos físicos de
interação escoamento-deflexão, considera-se neste trabalho a modelagem matemática de um
sistema envolvendo um recipiente, que contém um fluido em escoamento, apoiado sobre uma viga.
As hipóteses foram estabelecidas considerando conceitos de elasticidade, leis de Newton e
conservação de energia mecânica. As representações matemáticas foram obtidas com o emprego de
equações diferenciais. O modelo matemático elaborado descreve o fenômeno abordado e revela-se
como uma alternativa viável para o ensino de Física.
Palavras-Chave: Deflexão, Modelagem, Vazão.
Introdução
A modelagem matemática, enquanto estratégia de ensino, envolve as seguintes
etapas: definição do problema, formulação de hipóteses, dedução do modelo matemático,
resolução e validação do resultado. Neste enfoque, percebe-se sua ligação direta com a
resolução de problemas em geral.
Na ciência atual, a elaboração de modelos matemáticos auxilia na compreensão de
certos fenômenos, pois ela parte de observações e aproximações, e traz uma descrição
aproximada do problema real. Neste sentido, a modelagem contribui de forma significativa
para uma visão de ciência adequada à prática científica moderna e pode facilitar a
compreensão de diversos fenômenos (BRANDÃO, 2008).
No âmbito do ensino de Física, dentre as competências e habilidades a serem
desenvolvidas, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1999: 237), podem ser
destacadas: compreensão de enunciados que envolvam códigos e símbolos; capacidade de
discriminar e traduzir as linguagens matemática e discursiva entre si; expressão da
linguagem física adequada e domínio de elementos de sua representação simbólica.
Considerando a busca de contribuições para ensino e aprendizagem em Física,
mais especificamente no que se refere ao estudo de fenômenos de escoamento e deflexão,
sugere-se neste trabalho uma forma de descrever um problema de interação entre estes
fenômenos considerando o emprego de equações diferenciais. Com isso, torna-se
necessário o domínio de conceitos físicos sobre os temas: elasticidade, conservação de
energia, estática, dinâmica e leis de Newton.
O emprego de equações diferenciais na modelagem de um problema físico não é
apenas a aplicação de uma fórmula matemática, mas sim, algo pleno de significado e de
informações sobre o fenômeno que está sendo considerado. Para uma análise adequada do
problema é imprescindível ter um conhecimento sobre os conceitos e propriedades
envolvidas no estudo.
Nesta perspectiva, propõe-se a modelagem matemática de um sistema composto
por uma viga e um recipiente contendo determinado fluido em escoamento. Este recipiente
está apoiado sobre a viga ocasionando uma deflexão para baixo. À medida que o fluido
escoa a viga retorna ao seu estado inicial. A construção do modelo matemático que
representa este sistema requer uma articulação entre as propriedades e conceitos
envolvidos no problema. A análise detalhada sobre as variações – escoamento e deflexão –
consideradas, traz contribuições significativas para a compreensão dos fenômenos
estudados.
Desenvolvimento
Segundo Bassanezi (2002), para se construir uma modelagem matemática, partese inicialmente de um problema e baseando-se em conceitos relacionados ao mesmo
obtém-se uma série de hipóteses, com as quais pode-se construir um modelo teórico.
Como situação problema, considera-se aqui a investigação sobre a deflexão de
uma viga de comprimento 2l presa nas extremidades. Esta deflexão é ocasionada por um
peso associado a um recipiente em formato de prisma apoiado sobre a viga. O recipiente
contém um fluido de densidade ρ que está escoando por um pequeno orifício circular.
Desta forma, tem-se um sistema de interação escoamento-deflexão, ou seja, os fenômenos
se inter-relacionam no problema.
599 Uma força elástica age no sentido de restaurar a deformação sofrida, devido à
constante de elasticidade k que a viga apresenta. À medida que o fluido escoa a viga
retorna ao seu estado inicial.
Para análise da deflexão, considera-se que a trave (viga) se encontra presa em dois
suportes laterais, é constituída de um material flexível, é homogênea quanto a sua
composição estrutural e uniforme em relação à forma física. Devido a deformação, as
estruturas da parte superior da trave se contraem e da parte inferior são tracionadas, entre
estas duas partes há uma superfície neutra a qual não esta sob a ação de nenhum tipo de
tensão. Esta superfície assume uma forma curva a qual é denominada curva de deflexão
(Figura 1).
Figura 1: Representação do sistema de interação escoamento-deflexão
Este sistema será estudado na superfície terrestre, com temperatura ambiente a
293,15k e aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2. A viga apresenta um momento de inércia
I, o qual relaciona a tendência que o corpo apresenta a se opor ao movimento.
O modelo matemático a ser construído deve descrever a deflexão da trave em
função do escoamento do fluido. Entretanto, o escoamento do fluido determina a variação
do volume contido no recipiente em relação à variação do tempo. Com isso, o peso sobre a
trave varia em função do tempo.
Por questão didática, considera-se inicialmente uma análise sobre a deflexão da
viga. A deflexão máxima (Zmax) que a trave deve suportar, pode ser determinada
considerando-se as forças que estão ilustradas na Figura 2.
600 Figura 2: Representação do diagrama de forças do sistema
Onde Fe representa a força elástica da viga, P o peso do fluido contido no
recipiente, e ny o peso por unidade de comprimento da viga. Nos pontos O e B tem-se a
reação do apoio denotada por nl + P .
2
O momento de deflexão M, que estabelece a tendência que o corpo possui a se
opor a deformação, é dado pela seguinte expressão:
M =
Kl
R
(1)
em que K é a constante elástica da trave, I o momento de inércia e R o raio de curvatura
que o material adquire depois da deflexão.
Para confecção do modelo matemático que descreve o problema, considera-se o
emprego de operadores diferenciais com o objetivo de representar as variações envolvidas
no problema. Tomando a origem dos eixos na extremidade esquerda da trave como é
mostrado na Figura 2, pode-se expressar o raio de curvatura no ponto S (y, z) da viga pela
seguinte equação (ZILL, 2003):
(2)
601 A inclinação da curva
em qualquer ponto, representa uma quantidade muito
pequena e, considera-se na literatura (AYRES, 1969) a seguinte aproximação: ,
substituindo este resultado na equação (1), obtém-se:
(3)
Para calcular o momento fletor devido às forças que atuam no sistema, considerase que as forças que atuam para cima originam momentos positivos. Supõe-se também que
0< y <l.
As forças que atuam em OS são: uma reação ao peso no ponto O igual a nl + P ,
2
para cima, e um peso P, para baixo, no ponto médio de OS , assim:
M = Kl
d 2z
1
1
1
⎛ y⎞
= (nl + P) y − ny⎜ ⎟ = nly + Py − ny 2
2
2
2
2
dy
⎝2⎠
(4)
em que y é a distancia do ponto S em relação à origem e 2l é o comprimento da viga.
As forças que atuam em SB são as mesmas que atuam no segmento OS , mais
uma força peso, P, situada em (l – y). Desta forma:
Kl
d 2z
1
1
1
⎛ y⎞
= (nl + P) y − ny⎜ ⎟ − P( L − y ) = nly + Py − ny 2 − P(l − y )
2
2
2
2
dy
⎝2⎠
(5)
Se l < y < 2l, a força P está situada em (y – l) e a equação (5) torna-se:
m = kl
d 2z
1
1
= (nl + P) y − ny 2 − P( y − l ) .
2
2
2
dt
Para y = l, de (4) e (6) tem-se m =
(6)
1 2 1
nl + Pl e os dois casos podem ser tratados
2
2
simultaneamente, isto é, S esta no meio da viga.
Igualando (4) e (6) tem-se:
nly +
1
1
1
1
Py − ny 2 = (nly + Py − ny 2 − P( y − l )
2
2
2
2
(7)
602 E igualando (4) e (5):
nly +
1
1
1
1
Py − ny 2 = nly + Py − ny 2 − P(l − y )
2
2
2
2
(8)
De (7) e de (8) tem-se:
kl
1
1
1
d 2z
= (nly − ny 2 ± P (l − y ) + Pl
2
2
2
2
dt
(9)
Sendo o sinal positivo para o intervalo OS e o sinal negativo para o intervalo SB .
Integrando (9) duas vezes, tem-se:
Dos valores de contorno y = 0, z = 0 (ponto O), e em y = 2l, z = 0 (ponto B), temse:
, Então: Assim a deflexão máxima, ou seja, quando y = l ocorre no meio da viga e é dado
por:
(10)
Tratando-se do escoamento do fluido contido no recipiente, para determinar sua
vazão em função do tempo, considera-se que a velocidade do fluxo é igual à velocidade de
queda livre que um corpo iria adquirir sob a ação da gravidade, supondo que ele partisse do
repouso. Sabe-se que um corpo de massa m suspenso em um campo gravitacional, possui
uma quantidade de energia, chamada de energia potencial (U). U depende da posição h que
o corpo se encontra, esta relação é dada por: U = mgh (g = 9,81 m/s2) (HALLIDAY, 1996).
603 Quando o corpo for solto parte de sua energia se transforma em energia
relacionada com o movimento a qual é chamada energia cinética dada por:
.
Aplicando o principio da conservação da energia em um sistema conservativo, onde não
atuam forças que dissipam energia, a quantidade
permanece constante, isto
é a variação das trocas de energia em suas formas permanece constante. Como o corpo
(fluido) parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula e, então, se obtém a seguinte
.
relação
Supõe-se que o recipiente sobre a viga esteja preenchido com um fluido, de modo
que seu peso fez com que a deflexão da trave fosse máxima. Em seguida, considera-se que
o fluido passa a ser drenado por meio de um orifício em uma de suas laterais.
Denominando por AO a área do orifício, e por h a altura do fluido remanescente no
recipiente no instante t, a velocidade de saída do fluido fica determinada por
.
. Desta
O volume por unidade de tempo (fluxo) de líquido que sai do recipiente é
forma, a variação do volume em relação ao tempo, que também é conhecida como vazão, é
dada por:
(11)
O sinal negativo indica que o volume esta decrescendo. Neste enfoque, não foi
considerada alteração na vazão devido ao atrito com as bordas do orifício.
Considerando-se Ab como sendo a área da superfície do líquido, seu volume em função do
tempo pode ser escrito como
, e sua variação é dada por
.
Substituindo este resultado em (11), obtém-se:
(12)
Como a densidade de um fluido é determinada pela razão entre sua massa e seu
volume, o peso (P) fica descrito por:
(13)
604 Substituindo (13) na expressão que descreve a deflexão máxima, equação (10),
obtém-se:
(14)
O momento de inércia do sistema I é dado por
, em que a e b são
as dimensões da superfície da seção transversal da viga, portanto é constante. Assim, da
expressão (14) pode-se observar que a deflexão da viga em função do tempo depende de
uma única variável, o volume sobre ela.
Para encontrar esta variação basta diferenciar (14) em função do tempo, ou seja:
,
Mas
Portanto,
(15)
Da equação (12), tem-se que
A
dh
=− o
dt
Ab
2 gh . Resolvendo esta equação de
2h0
g ⎛ A0
t+
variáveis separáveis encontra-se h = ⎜⎜ −
g
2 ⎝ Ab
2
⎞
⎟ , em que h0 é a altura do fluido
⎟
⎠
no recipiente no instante t = 0.
Utilizando este resultado, na equação (15) é possível escrever
:
dz ρg 2 l 3 A0
=
dt
6 KI
⎛ 2ho A0 ⎞
⎟
⎜
⎜ g − A t⎟
b
⎝
⎠
(16)
Considerando z (0) = z max , isto é, no instante inicial a deflexão é máxima, o
modelo matemático pode ser escrito como:
605 ⎧ dz ρg 2 l 3 A0 ⎛ 2h0 A0
⎜
−
⎪ =
6 KI ⎜⎝ g
Ab
⎪ dt
⎨
⎪
5nl 4 ρgAb h0 l 3
−
⎪ z (0) = −
24 KI
6 KI
⎩
⎞
t⎟
⎟
⎠ (17)
Cuja solução é dada por
z=
ρgl 3 ⎡
⎤ 5nl 4
A02 g 2
A
t
gh
−
−
2
t
A
h
.
⎢ 0
b 0⎥ −
0
6 KI ⎣
2 Ab
⎦ 24 KI
A equação (17) é a equação que descreve a deflexão da trave em função do
escoamento do fluido ou, mais especificamente, em função do tempo t. Devido a equação
12, nota-se que, quando não há fluido no recipiente, isto é quando h = 0, a variação da
deflexão é nula.
Como continuidade a este trabalho, considerando a modelagem matemática,
pretende-se validar o modelo, ou seja, verificar se a solução da equação (17) é consistente
com dados experimentais sobre o comportamento do sistema físico.
Considerações
O processo de modelagem matemática considerado neste trabalho visa contribuir
para um aprendizado reflexivo de fenômenos de deflexão e escoamento. Atividades desta
natureza, interligando os fenômenos, não são encontradas em livros didáticos.
A abordagem adotada instiga a pesquisa sobre conceitos físicos e incentiva uma
atitude crítica diante da situação problema. A interpretação do enunciado e a resolução do
problema pressupõem o entendimento sobre conceitos de elasticidade, leis de Newton e
conservação de energia mecânica. Percebe-se que um enfoque interativo entre fenômenos
físicos aponta diferentes caminhos para solucionar problemas, criando-se modelos
matemáticos e refletindo-se sobre sua viabilidade.
Neste trabalho, o emprego de equações diferencias mostrou-se adequado ao
estudo proposto, uma vez que o modelo desenvolvido descreve a deflexão de uma viga
considerando o escoamento de determinado fluido, de uma forma simples e objetiva.
606 Referências
AYRES, F. J. Equações Diferenciais. 1ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 1969.
BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
Contexto, 2002.
BRANDÃO, R. V., ARAUJO, I. S., VEIT, E. A. A Modelagem Científica de Fenômenos
Físicos e o Ensino de Física, Física na Escola v. 9, nº1, 2008.
HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K. S. Física 1. 4ª ed., Rio de Janeiro: LTC,
1996.
Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Média e Tecnológica,
Parâmetros Curriculares Nacionais. (MEC/SENTEC, Brasília, 1999).
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 3ª ed., São Paulo:
Makron Books, 2003.
607