F UNDAMENTOS
DA
M ATEMÁTICA III
SOMESB
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Pedro Daltro Gusmão da Silva
Superintendente de Desenvolvimento e
Planejamento Acadêmico
FTC – EaD
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância
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Diretor Acadêmico
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Coord. de Produção de Material Didático
João Jacomel
E QUIPE
DE ELABORAÇÃO
/ P RODUÇÃO
DE MATERIAL DIDÁTICO
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Revisão Final
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Produção Técnica Edição em LATEX 2ε
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Fundamentos da Matemática III
Sumário
Trigonometria e Números Complexos
7
Trigonometria
7
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
1.2.1
Medida de Ângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
Mudança de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3
Classificação de Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.4
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A Circunferência Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1
Ângulo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2
Números Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3
Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ponto Móvel Sobre uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Arcos da Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
O Número π e o Comprimento da Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Medida de Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4
1.4
1.5
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Trigonometria e as Relações no Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1
O Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3
As Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo e os Arcos Notáveis . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4
Um Problema de Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.5
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1
As Funções e as Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Resumo da Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2
As Funções Trigonométricas e os Números Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.4
Paridade das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.5
Sinal das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.6
Monotonia das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.7
Reduções ao Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.8
Periodicidade das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.9
Resumo das Propriedades das Principais Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Função Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Função Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A Função Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
A Função Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A Função Cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6
1.7
Relações Importantes das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.1
Fórmulas de Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.2
Fórmulas de Duplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.3
Fórmulas de Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.4
Fórmulas de Transformações da Adição em Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.5
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.1
Arco Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.2
Arco Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7.3
Arco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7.4
Arco Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.5
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8
Equações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Números Complexos
53
2.1
O que existe além dos números reais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2
Introdução aos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3
Definição de Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.1
Algumas Definições Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Igualdade entre dois Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Oposto de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Conjugado de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2
2.4
2.5
2.6
Operações com Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.1
A Subtração entre Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2
Potências da Unidade Imaginária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.3
O Inverso Multiplicativo de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4
A Divisão entre dois Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.5
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Representação Geométrica de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.1
Módulo de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.2
Argumento de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Forma Polar de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.1
2.7
4
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Operações na Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.1
Multiplicação de Números Complexos na Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.2
Potência de um Número Complexo na Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7.3
Raízes de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7.4
Raiz n-ésima de um Número Complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7.5
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Fundamentos da Matemática III
2.8
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Polinômios e Equações Algébricas
67
Polinômios
67
3.1
Polinômios e uma Analogia aos Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2
Valor Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1
Igualdade entre Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3
Polinômio Identicamente Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4
Operações com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1
Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2
Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.3
Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.4
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5
Decomposição de um Polinômio em Fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.1
Polinômio do 2◦ Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2
Polinômio do 3◦ Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Equações Algébricas
76
4.1
Uma Aventura em Busca das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2
Raiz ou Zero de uma Equação Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3
Conjunto Solução ou Conjunto Verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4
Pesquisa de Raízes Inteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5
O Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6
Multiplicidade de uma Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7
Raízes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8
Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8.1
Equação do Segundo Grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8.2
Equação do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8.3
Método de Tartaglia para Obter Raízes da Equação do 3◦ Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8.4
Equação de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.9
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Atividade Orientada
87
Referências Bibliográficas
91
5
Apresentação da Disciplina
Prezado aluno,
Este texto compreende uma série de conteúdos em Matemática, elaborado especialmente na forma de resolução de problemas para a modalidade de ensino a distância que aposta e só se torna possível por acreditar na auto-aprendizagem.
Nossa intenção, aqui, é o de apresentar alguns tópicos vistos no ensino
médio e que serão separados em quatro temas: Trigonometria, Números
Complexos, Polinômios e Equações Algébricas, incluindo seus aspectos históricos. Enfim, o conteúdo exposto, de forma clara e didática, foi
concebido de modo a facilitar o seu aprendizado.
Para um bom aproveitamento, procure compreender passo a passo todas as deduções e definições. Resolva todos os exercícios propostos
e não deixe de fazer os desenhos, pois, em geral, eles facilitam a compreensão. O estudo do conteúdo aqui apresentado proporcionará a você
um belíssimo reencontro com a Matemática.
Bons estudos!
Prof. Gilclécio Dantas.
6
Fundamentos da Matemática III
Trigonometria e Números
Complexos
Trigonometria
Trigonometria
1.1
Introdução
Historicamente, existem vestígios de um estudo de Trigonometria entre os babilônios, que a usavam
para resolver problemas práticos de navegação, de Astronomia e de Agrimensura.
As correspondências entre relações das medidas dos lados de um triângulo retângulo e da medida dos
seus ângulos foram, sistematicamente, empregadas, pela primeira vez, pelo astrônomo grego Hiparco, por
volta do ano 140 a.C.
A Trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Sua aplicação hoje em dia se estende, por
exemplo, à Análise, à Eletricidade, à Mecânica, à Acústica, à Topografia, etc. Do ponto de vista etimológico,
a palavra Trigonometria significa “medida dos triângulos”, sendo formada por três radicais gregos tri = três,
gonos = ângulo e metron = medir.
1.2
Ângulos
Um ângulo no plano é uma região delimitada por duas semi-retas de
origem no mesmo ponto. Na figura, α é a menor região delimitada pelas
semi-retas. Outro ângulo definido pelas semi-retas é o ângulo β, que é
α
β
uma região de abertura visivelmente maior que a o ângulo α.
Os ângulos α e β na figura ao lado dizem respeito a ângulos no plano
(Existem os chamados ângulos sólidos, definidos no espaço, mas estão
Vértice
fora do âmbito deste estudo).
No plano, o sentido positivo atribuído aos ângulos é contrário ao dos
A
ponteiros do relógio. Na figura ao lado está indicado o sentido de crescimento de um ângulo. O ângulo α aumenta se a abertura aumentar no
sentido indicado pela seta. O sentido negativo é definido pela semi-reta
α
O
OA movendo-se no sentido horário.
7
1.2.1
Medida de Ângulos
O grau é a unidade de medida de ângulo obtida ao dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais.
Denotaremos a medida desta parte como sendo um grau (1◦ ).
Usualmente, utiliza-se o grau como unidade de medida de ângulos, porém, a unidade de ângulo adotada pelo Sistema Internacional (SI) é o radiano. Ele é definido de tal forma que um ângulo de π radianos
é igual a 180◦ :
π radianos = 180◦ ,
em que π é o número irracional 3, 141592654 . . ., definido pelo quociente entre o perímetro de uma circunπ
ferência e o seu diâmetro. Assim teremos, por exemplo, que α = = 45◦ . Para ângulos em unidades de
4
grau de arco, é necessário indicar o símbolo “◦ ” para distinguir da unidade radiano.
Existem, além destas, outras medidas utilizadas. Por exemplo, o grado, que é obtido de forma análoga
ao grau; porém, a divisão é feita por 400. Podemos estabelecer, portanto, que 90◦ = 100 g r ad . Esta última
unidade é muito pouco utilizada.
1.2.2
Mudança de Unidades
Considere x a medida em radianos de um ângulo que corresponde a α graus. A relação entre estas
medidas é obtida pela seguinte proporção:
π rad —— 180◦
x rad
α◦
——
Isso permite que façamos a conversão da medida de uma unidade para a outra através de uma regra de
três simples.
Podemos estabelecer a seguinte tabela de medidas de ângulos:
arco
medida em graus
360◦
180◦
medida em radianos
2π
π
90◦
π
2
270◦
3π
2
Da tabela acima podemos notar que medidas em graus e em radianos de um arco de circunferência
são diretamente proporcionais, isto é,
180◦
90◦
270◦
360◦
=
=
=
.
2π
π
π/2
3π/2
Exemplo 1.1. Converta 126◦ em radianos.
Solução: Temos
180◦
126
Então,
x=
8
◦
—— π rad
——
x
7π
126π
=
rad.
180
10
Fundamentos da Matemática III
Exemplo 1.2. Converter
2π
rad em graus.
5
Solução: Temos
180◦
——
x
——
π rad
2π
rad
5
Então,
2π
· 180
x= 5
= 72◦ .
π
Exemplo 1.3. Exprimir 300◦ em radianos.
Solução: Estabelecemos a seguinte regra de três simples:
Daí,
1.2.3
180◦
——— πrad
300◦
——— x
π
180◦
=
300◦
x
⇒
3
π
=
5
x
⇒ x=
5π
rad
3
Classificação de Ângulos
(i) quanto à abertura:
1. Ângulo nulo: α = 0◦ .
2. Ângulo agudo: 0◦ < α < 90◦ .
3. Ângulo reto: α = 90◦ .
4. Ângulo obtuso: 90◦ < α < 180◦ .
5. Ângulo raso: α = 180◦ .
6. Ângulo giro: α = 360◦.
(ii) quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos):
1. Ângulos complementares: α+β = 90◦ . Diz-se que α e β são complementares se a soma α+β
for um ângulo reto. Neste caso, diz-se também que 90◦ − α é o complementar ou o complemento de
α, e vice-versa. Naturalmente, 0◦ < α < 90◦ e 0◦ < β < 90◦ ,.com 0 < α + β < 90◦ .
2. Ângulos suplementares: α + β = 180◦. Diz-se que α e β são suplementares se a soma α + β
for um ângulo raso. Neste caso, diz-se também que 180◦ − α é o suplementar ou o suplemento de α,
e vice-versa. Naturalmente, 0◦ < α < 180◦ e 0 < β < 180◦ ,. com 0 < α + β < 180◦ .
3. Ângulos replementares: α + β = 360◦. Diz-se que α e β são replementares se a soma α + β
for um ângulo giro. Neste caso, diz-se também que 360◦ − α é o replementar ou o replemento de α,
e vice-versa. Naturalmente, 0◦ < α < 360◦ e 0◦ < β < 360◦ ,. com 0 < α + β < 360◦ .
3. Ângulos explementares: α + β = 720◦ . Diz-se que α e β são explementares se a soma
α + β for um ângulo de dois giros. Neste caso, diz-se também que 720◦ − α é o explementar ou o
explemento de α, e vice-versa. Naturalmente, 0◦ < α < 720◦ e 0◦ < β < 720◦ ,. com 0 < α + β < 720◦ .
Exemplo 1.4. O complemento do suplemento do triplo de um ângulo mede 30◦ . Classifique este ângulo
quanto a abertura.
Solução: O triplo de um ângulo: 3x . O suplemento do triplo de um ângulo: 180◦ − 3x , e o complemento
do suplemento do triplo de um ângulo: 90◦ −(180◦ −3x ). Este último é igual a 30◦ , ou seja, 90◦ −(180◦ −3x ) =
30◦ . Resolvendo-se esta equação encontramos x = 40◦ . Logo, o ângulo é agudo.
9
1.2.4
Exercícios Propostos
1.1. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta
ao dar 6 voltas completas nessa pista. Adote π = 3, 14.
1.2. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que seu comprimento é 3, 14 m. Use π = 3, 14.
1.3. Faça a conversão:
(a) 270◦ em radianos;
(b)
2π
em graus;
3
(c) 37◦ 30′ em radianos;
(d)
π
em graus;
16
1.4. O replemento do explemento de um ângulo é o suplemento do quíntuplo deste. Determine este
ângulo.
1.5. A metade do suplemento da quarta parte do complemento é igual ao replemento do triplo de ângulo.
Determine o quíntuplo desse ângulo.
1.3
A Circunferência Trigonométrica
Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Essa circunferência será denominada ciclo ou circunferência trigonométrica. O ponto A = (1, 0),
interseção da circunferência com o semi-eixo positivo OX , será chamado origem do ciclo.
Y
Os pontos A, B , C e D , interseções do ciclo com os eixos
B
coordenados, dividem o ciclo em quatro partes congruentes denominadas quadrantes. Os quadrantes são numerados, a partir
de A, no sentido anti-horário (de A para B para C ), conforme indicamos na figura abaixo. Convencionamos que o ponto divisor
A
C
O
X
de dois quadrantes está em ambos; assim, por exemplo, B está
no 1◦ quadrante e também no 2◦ (ele é o ponto final do 1◦ e o
ponto inicial do 2◦ quadrante).
D
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por
convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.
Já sabemos associar os números reais aos pontos de uma reta. Veremos agora como associar a cada
número real x a um ponto na circunferência trigonométrica. Sabemos também que ao número x = 0 está
correspondido o ponto A, que é a origem do ciclo. Se x 6= 0, associamos a x o ponto final do seguinte
percurso realizado sobre a circunferência:
• partimos de A;
• se x > 0, percorremos o ciclo no sentido anti-horário;
• se x < 0, percorremos o ciclo no sentido horário;
• o comprimento de percurso é |x |.
O ponto associado ao número x é denominado imagem de x no ciclo.
10
Fundamentos da Matemática III
Nota 1. Esses percursos podem ter mais do que uma volta na circunferência. Mesmo assim
vamos chamá-los de arcos.
Nota 2. Como a circunferência tem raio 1, o seu comprimento é l = 2π · 1 = 2π. Nessa cir-
cunferência o comprimento de qualquer arco é numericamente igual à sua medida em radianos.
Isso significa que fazer um percurso de comprimento x é percorrer um arco de x rad.
Exemplo 1.5. Marcar na circunferência trigonométrica os seguintes arcos:
π
π
2π
(c) γ = −5
(a) α =
(b) β =
2
6
3
y
Solução: Tomemos uma circunferência trigonométrica de centro na origem e um
α
ponto A de coordenadas (1, 0). Partindo-se de A, percorremos, no sentido antiπ
horário, um arco de comprimento .
2
O
y
2π
3
Para encontrarmos a extremidade do arco β, primeiramente,
dividamos a semi-circunferência
trigonométrica superior em três B
π
. Em seguida, tomemos a segunda parte no
partes iguais
3
sentido anti-horário.
A
A
x
y
B
x
O
π
2
A
x
O
y
y
Para encontrarmos a extremidade do arco γ, dividamos,
neste caso, a semi-circunferência
trigonométrica inferior em seis B
π
partes iguais
. Em seguida, tomemos a quinta parte no sen6
tido horário.
1.3.1
A
O
B
x
π
−5 6
A
O
x
Ângulo Trigonométrico
Vimos que um ângulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-reta que determina o
ângulo (com outra semi-reta, fixa, de referência) completa uma volta após 360◦ , duas voltas após 720◦ ,
etc., ou uma volta no sentido contrário e, nesse caso, diz-se que descreveu um ângulo de −360◦. O menor
ângulo α descrito pela semi-reta é o ângulo trigonométrico, ou primeira determinação positiva, e para o
ângulo ϕ descrito pela semi-reta tem-se:
ϕ = α + k · 360◦, k ∈ Z.
( 1.1)
O ângulo α é o de maior interesse em trigonometria, em particular, no que toca às funções trigonométricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = α+ m ·360◦ e y = α+ n ·360◦ (m e n números inteiros),
para igualar os ângulos x e y é necessário que m = 0 e n = 0 (por exemplo), uma condição trivial.
A razão para a existência desta periodicidade para ângulos prende-se com o caráter das funções
trigonométricas, o qual será discutido adiante. No entanto, é necessário definir univocamente a aplicação
que determina o ângulo definido por duas retas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se
os ângulos num domínio que vai de 0◦ a 360◦ (ou, o que é equivalente, de 0 a 2π radianos).
11
1.3.2
Números Congruentes
Os números x e x + 2π têm representação no mesmo ponto da circunferência trigonométrica. Nesse
mesmo ponto são representados, de fato, todos os seguintes números,
x , x ± 2π, x ± 4π, x ± 6π, x ± 8π, . . . , etc,
que denominamos números congruentes (ou côngruos) a x . Podemos notar que cada número congruente
a x se escreve na forma x + ( número par )π e, portanto, pode ser representado por x + 2k π, em que k ∈ Z.
Assim, o conjunto dos números congruentes a x é {x + 2k π; k ∈ Z}.
Exemplo 1.6. Listamos abaixo alguns números congruentes a
k=1
7π
π
+ 2π =
;
3
3
↓
π
.
3
k = −1
−5π
π
− 2π =
3
3
k = −2
π
−11π
− 4π =
3
3
k = −3
π
−17π
− 6π =
3
3
1 volta
k=2
π
13π
+ 4π =
;
3
3
↓
2 voltas
k=3
π
19π
+ 6π =
;
3
3
↓
3 voltas
o
π nπ
é
+ 2k π : k ∈ Z . Todos os números desse conjunto tem
3
3
π
no ciclo imagens coincidentes com a imagem de .
3
O conjunto dos números congruentes a
Exemplo 1.7. Calcular cos(9π/4).

π
9π
9π
= 2π + . Assim, temos cos
Solução: Podemos escrever
4
4
4
1.3.3
‹
√
π
2
π
.
= cos 2π +
= cos
=
4
4
2
Arcos
Ponto Móvel Sobre uma Curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto
possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Partindo de um ponto A, um ponto móvel, localizado
B
sobre uma circunferência, pode percorrer esta em dois
sentidos. Por convenção, o anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido
positivo.
12
anti-horário
A
Fundamentos da Matemática III
Arcos da Circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em
M , ele descreve um arco AM . O ponto A é a origem do arco e M é a
B
extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é de-
A
nominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB
se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de
percurso for de B para A. O sentido é positivo quando o ponto móvel se
desloca no sentido anti-horário. Caso contrário, o sentido é negativo.
+
B
B
−
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por
dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não
A
A
orientados sendo A e B as suas extremidades.
Observe que a um arco na circunferência
está associado um ângulo, ou seja, se tivermos uma circunferência de raio r , podemos
determinar um arco se conhecemos o ângulo
associado.
Arco de 360◦
Arco de 180◦
Exemplo 1.8. Uma circunferência de raio r = 20 cm tem comprimento ℓ = 2π r = 2π · 20 = 40π cm.
Aproximadamente, ℓ = 40 · 3, 14 = 125, 60 cm.
O Número π e o Comprimento da Circunferência
A razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Esta, é denotada pela
letra grega π, que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números
inteiros. Uma aproximação para o número π é dada por
B
π = 3, 1415926535897932384626433832795 . . .
Imagine que você possa “cortar” uma circunferência em um ponto
A ≡ B e “desentortá-la” obtendo um segmento de reta AB .
O comprimento AB = ℓ desse segmento de reta é também
denominado comprimento da circunferência. Da Geometria Plana,
r
A≡B
ℓ
sabemos que o seu valor é dado por
ℓ = 2π r ,
em que r é o raio da circunferência.
Exemplo 1.9. Calcule o comprimento da circunferência em cada caso:
(a) r = 20 cm
(b)
A
2
m
π
Solução: Uma circunferência tem comprimento C = 2π r = 2π. Portanto, (a) C = 2π · 20 cm = 40π cm.
2
Aproximadamente, C = 40 · 3, 14 = 125, 60 cm. No item (b) C = 2π · m = 4 m.
π
13
Medida de Arcos
A medida de um arco é feita por comparação. Sendo assim, seja u um arco de comprimento unitário
(igual a 1). A medida do arco AB é igual a quantidade de vezes que o arco u cabe no arco AB .
B
Na figura ao lado, a medida do arco AB é 3 vezes a medida
do arco u . Denotando a medida do arco AB por m(AB ) e a
u
u
u
u
A
medida do arco u por m(u ), temos m(AB ) = 3 · m(u ).
A medida de um arco de circunferência pode ser feita por comparação com um outro arco da mesma
circunferência cujo comprimento e ângulo são conhecidos. Se AB é o arco correspondente à volta completa
de uma circunferência, o comprimento do arco é igual a C = 2π r ; e se ℓ é o comprimento de um arco
determinado por um ângulo de medida α graus, sua medida pode ser encontrada através da relação em
que:
2π r
——
360◦
ℓ
——
α◦
Nota 3. Da Geometria Plana, devemos recordar que a medida em graus de um arco é igual à
medida em graus do ângulo central correspondente.
Exemplo 1.10. Determine a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma
circunferência de raio medindo 8 cm.
Solução: Para determinar esta medida, devemos fazer
m(AB ) =
12
comprimento do arco(AB )
=
.
comprimento do raio
8
Portanto, m(AB ) = 1, 5 radianos.
1.3.4
Exercícios Propostos
1.6. Determine em qual quadrante está a extremidade de cada um dos arcos dados abaixo:
92π
rad
6
1.7. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos dados abaixo:
(a) 752◦
(b) −2.535◦
(c) 137◦
(d)
π
2π
+ k π, k ∈ Z (c) x = + 2k π, k ∈ Z
4
3
◦
1.8. Determine o conjunto dos números congruentes a 150 e com arcos positivos menores que 1500◦?
(a) x =
π
+ k π, k ∈ Z
6
(b) x =
1.9. Dados os arcos AB e AC , que medem respectivamente 60◦ e 130◦ , dê a medida em radianos dos
arcos de origem em A cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC .
1.10. Um móvel, partindo da origem dos arcos, percorreu um arco de −3.120◦. Quantas voltas completas
ele deu e em que quadrante parou?
1.11. Três ângulos consecutivos somam 240◦ . O primeiro mede 60◦ e o terceiro é o suplemento deste.
Determine, em radianos, o ângulo formado pelas bissetrizes do segundo e terceiro ângulos.
14
Fundamentos da Matemática III
1.4
Trigonometria e as Relações no Triângulo Retângulo
A partir da sua criação pelos matemáticos gregos, quando a trigonometria dizia respeito exclusivamente
à medição de triângulos, e tal como as funções e relações trigonométricas apresentadas a seguir, era aplicada ao estudo de triângulos retângulos. Porém, as funções trigonométricas resultantes, e apresentadas
mais adiante, encontram aplicações mais vastas e de maior riqueza noutras áreas como a Física (por
exemplo, no estudo de fenômenos periódicos) ou a Engenharia.
Teorias mais elaboradas como a dos números complexos, a das funções trigonométricas hiperbólicas e
do desenvolvimento em série de Taylor de funções trigonométricas, dependem do estudo da trigonometria.
Nos limitaremos à trigonometria no plano.
particulares, apresentados na figura ao lado. O lado oposto ao ângulo
reto, chama-se hipotenusa; os lados que formam o ângulo reto chamam-
Cateto
Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes
Hi
po
te
nu
sa
se catetos.
Cateto
1.4.1
O Teorema de Pitágoras
O geômetra grego Pitágoras (570 − 501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e
que relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo retângulo.
1.1 Teorema (de Pitágoras). A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual
ao quadrado do comprimento da hipotenusa, ou seja, se x e y são os comprimentos dos dois
catetos e h o comprimento da hipotenusa, temos
x 2 + y 2 = h2 .
Prova: A demonstração deste teorema pode ser feita utilizando-se a fórmula do cálculo de áreas de
triângulos retângulos e de quadrados. Observaremos que a área ocupada pelo quadrado menor e pelos
quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado maior. Em seguida, constataremos que a equação
do teorema é obtida da relação das áreas ocupadas pelas figuras. Observe a figura abaixo:
x
h
y
x
h
y
x
h
y
x
y
h
y
x
x +y
A área de um quadrado com comprimento do lado de valor ℓ é dada por ℓ2 . Para um retângulo de
comprimento de base a e de altura b , a área é dada pelo produto destes dois comprimentos, isto é,
a · b . Se dividirmos esse retângulo com uma diagonal, teremos dois triângulos retângulos com catetos de
a·b
.
comprimento a e b ; a área de cada um é, então, metade da área do retângulo;
2
15
ℓ
b ⇒
b
ℓ
a
Área: ℓ · ℓ = ℓ2
Área: a · b
b
a
a
Área:
a·b
2
xy
.O
2
quadrado que está junto ao triângulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado precisamente igual
Assim sendo, como um triângulo retângulo com lados de comprimento x e y , possui área igual a
ao comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, h. A área do quadrado é, naturalmente, h2 .
Construindo-se três triângulos congruentes ao de lados x e y e colocando-os de tal forma que suas
hipotenusas coincidam com os outros três lados do quadrado uma nova figura é criada, a qual se inscrevem
o quadrado e os triângulos. Este novo quadrado tem lados com comprimento x + y .
Como a área (x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2 do novo quadrado é igual a área h2 do quadrado mais a área
dos quatro triângulos iniciais, ou seja,
x 2 + 2xy + y 2 = h2 + 4 ·
xy
2
xy
.
2
Portanto, temos
x 2 + 2xy + y 2 = h2 + 2xy ⇔ x 2 + y 2 = h2 .
2
1.4.2
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Boa parte das aplicações trigonométricas estão relacionadas com comprimentos dos lados e com os
ângulos de um triângulo. Devemos, no entanto, apresentar algumas definições das relações trigonométricas no triângulo retângulo.
1.2 Definição. Considere um triângulo ABC retângulo em B , cujos lados medem BC = a, AC = b e
AB = c e seja α o ângulo oposto ao cateto BC . Então,
cos(α)
=
c
cateto adjacente
=
hipotenusa
b
sen(α)
=
cateto oposto
a
=
hipotenusa
b
tg(α)
=
a
cateto oposto
=
cateto adjacente
c
Exemplo 1.11. Encontre, para o ângulo α, as relações trigonométricas no
C
triângulo da figura.
Solução: Para encontrarmos o cosseno e o seno do ângulo α da figura,
devemos, primeiramente, determinar a medida da hipotenusa. Considerando-
4
se as medidas BC = a, AC = b e AB = c , pelo teorema de Pitágoras, temos:
b 2 = a2 + c 2 .
4
4
3
Segue que b = 5. E, portanto, cos(α) = , sen(α) = e tg(α) = .
5
5
3
16
α
A
3
B
Fundamentos da Matemática III
1.4.3
As Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo e os Arcos Notáveis
Existem alguns ângulos do primeiro quadrante para os quais é possível determinar facilmente os valores
tomados pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo. Para ângulos de outros quadrantes, tornase necessário efetuar uma redução ao primeiro quadrante. Finalmente, os ângulos restantes cuja redução
ao primeiro quadrante (discutida mais adiante) não devolve um destes ângulos, e também para ângulos do
primeiro quadrante que não sejam os descritos, é necessário recorrer a tabelas trigonométricas.
Comecemos por considerar um triângulo equilátero, como o da figura
C
ao lado, cujos lados têm comprimento AB = BC = C A = 1. O ponto H é
ponto médio do segmento BC , logo BH = C H = 1/2. E como cos(α) =
α
C H /AC e AC = 1, vem cos(α) = cos(60◦ ) = C H = 1/2. Da aplicação do
teorema de Pitágoras resulta que
√
3
.
sen (60 ) + cos (60 ) = 1 ⇒ sen(60 ) =
2
2
A
◦
2
◦
◦
B
√
Por definição, tg(60 ) = 3. Observando a figura é, ainda, possível concluir que
H
◦
sen(30◦ ) =
CH
1
= cos(60◦ ) = ,
2
AC
cos(30◦ ) =
√
AH
3
= sen(60◦ ) =
,
2
AC
◦
tg(30 ) =
√
3
sen(30◦ )
1/2
1
= √ =
= √
.
cos(30◦ )
3
3/2
3
Consideremos agora um triângulo (retângulo) isósceles - α = 45◦ , como o da
B
figura ao lado. Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, MN = NP . Seja
MP = 1. Então,
NP
MN
=
= cos(45◦ ).
MP
MP
Sabendo, então, que sen(45◦ ) = cos(45◦ ), e aplicando a fórmula fundamental da
sen(45◦ ) =
trigonometria, vem:
sen2 (45◦ ) + cos2 (45◦ ) = 2 · sen2 (45◦ ) = 1
⇒
C
√
2
1
= cos(45◦ ).
sen(45◦ ) = √ =
2
2
α
A
Pela definição,
tg(45◦ ) =
sen(45◦ )
= 1.
cos(45◦ )
Em resumo, temos o seguinte quadro
Valores do argumento α (radianos — graus)
π/6 — 30◦
sen(α)
cos(α)
tg(α)
1/2
√
3/2
√
3/3
π/4 — 45◦
√
2/2
√
2/2
1
π/3 — 60◦
√
3/2
1/2
√
3
17
1.4.4
Um Problema de Trigonometria
Por vezes, não nos é possível (por quaisquer razões) encontrar os valores dos comprimentos dos
lados e dos ângulos a partir dos dados disponíveis. Mas, se conhecermos, por exemplo, um ângulo
(que não seja o ângulo reto, porque obviamente já é conhecido) e um lado de um triângulo retângulo,
podemos encontrar os valores dos ângulos e lados que faltam. Para isso, necessitamos de dispor de
uma tabela trigonométrica ou de uma calculadora para podermos obter os valores que tomam as funções
trigonométricas para diferentes ângulos.
Suponhamos, por exemplo, que quiséssemos medir a altura h da torre de um farol que nos é inacessível,
ou para a qual era incômodo e difícil efetuar diretamente uma medição sobre a torre com fita métrica. Como
fazer? Para isto observemos a figura:
T
α = 20◦ e β = 18◦
AB = 10m
b = a + AB
h =?
α
β
A
B
10m
a
b
Em primeiro lugar, mede-se, no ponto A, o ângulo α obtido pela semi-reta que passa por A e por T : a
extremidade mais alta da torre, e pela linha do horizonte, obtendo-se α = 20◦ . Depois, afastamo-nos de
uma distância apropriada de 10 metros e, deste ponto B , faz-se uma nova medição do ângulo β formado
pela semi-reta que passa por B e por T e a linha do horizonte, obtendo-se β = 18◦ .
É importante admitir aqui que os dois pontos, A e B , estão ao mesmo nível. De outro modo, seria
necessário introduzir uma correção para compensar a diferença de alturas - mais uma vez usando relações
trigonométricas. Não abordarei o problema aqui; na verdade, apela-se ao leitor para que tente resolver este
outro problema após compreender bem o formalismo por detrás do primeiro. De fato, teríamos de usar mais
triângulos (e obter relações entre eles) para se levar em conta tal desnível.
Consultemos uma tabela, ou usemos uma calculadora científica para obter os valores das funções
trigonométricas para os ângulos mencionados. Na tabela seguinte estão transcritos os valores para os
dois ângulos relevantes.
θ
sen(θ)
cos(θ)
tg(θ)
18
◦
0, 309
0, 951
0, 325
20
◦
0, 342
0, 940
0, 367
Que funções trigonométricas utilizar? Pretende-se obter a altura da torre, h. Não sabemos a distância
do solo até à torre, mas possuímos um dado parecido: a distância entre dois pontos de observação. O
problema sugere-nos, então, que usemos a função tangente para calcular a altura da torre. Sabemos uma
distância sobre um cateto, e queremos saber o comprimento de outro cateto. Assim, teremos
tg(β) =
18
h
h
e tg(α) = .
b
a
Fundamentos da Matemática III
Talvez possamos usar a tangente, visto h ser comum a tg(α) e a tg(β), como se vê pelas duas fórmulas
acima. Assim, ficamos com
h = b · tg(β) = a · tg(α).
E como b = a + 10,
(a + 10) · tg(β) = a · tg(α)
⇔ 10 · tg(β) = a · [tg(α) − tg(β)]
10 · tg(β)
10 · tg(18◦ )
⇔ a=
=
= 83, 20 metros.
tg(α) − tg(β)
tg(20◦ ) − tg(18◦ )
Por fim, temos que a altura da torre é
h = a · tg(α) = a · tg(20◦ ) = 30, 3 metros.
1.4.5
Exercícios Propostos
1.12. Num triângulo retângulo os lados têm medidas x − 3, x − 2 e x − 1. Determine o valor de x .
√
1.13. No triângulo retângulo ABC , calcule os valores de a e c , sabendo que c = 5 3 cm, o ângulo B̂ = 90◦
e em Ĉ = 60◦ .
1.14. O cosseno de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo vale 0, 7. Sabendo que o cateto
adjacente a esse ângulo mede 8 cm, dê as medidas aproximadas da hipotenusa e do outro cateto.
1.15. Sabendo que cos(t ) =
quadrante, determine sen(t ).
1.16. Sendo x =
2π
3 ,
1
e que o lado terminal do ângulo de t radianos está situado no quarto
3
calcule sen(3x ) + sen
x 2

− sen
‹
9x
.
4
1.17. Calcule o valor da expressão cos(810◦ ) + cos(3.780◦) −
1
cos(1.350◦).
2
1.18. Calcule o valor da expressão
sec(1.500◦ ) − cossec(990◦ ) − sec(
13π
17π
) + cossec(
) + 4 cotg(630◦ ) − 2 cotg(3.645◦) + cotg(810◦ ).
4
6
19
1.5
1.5.1
Funções Trigonométricas
As Funções e as Relações Trigonométricas Fundamentais
Recorrendo-se à circunferência trigonométrica, podemos
Y
estender o valor das razões trigonométricas no triângulo retângulo para quaisquer valores, além dos ângulos de medida entre
zero e noventa.
P (xP , yP )
N
Considere o ponto P (xP , yP ) sobre a circunferência
trigonométrica e cujo centro coincide com o sistema cartesiano
x
ortogonal. O triângulo △OMP é retângulo e OP = 1. Assim
O
sendo,
M
X
OM
ON
= xP e sen(x ) =
= yP .
cos(x ) =
OP
OP
Como na circunferência trigonométrica o raio OP é unitário,
temos que as coordenadas do ponto P são (xP , yP )
(cos(x ), sen(x )).
=
Assim, se P é um ponto de coordenadas
(xP , yP ) na circunferência trigonométrica, então:
⋄ xP = cos(x ), isto é, o cosseno de x é a abscissa do ponto P e;
⋄ yP = sen(x ), isto é, o seno de x é a ordenada do ponto P .
Desta forma, definimos o seno e o cosseno do ângulo para quaisquer valores de x , e não somente para
aqueles entre 0◦ (ou 0 radianos) e 90◦ (ou π/2 radianos), como anteriormente. Enunciemos a definição,
portanto, destas funções.
1.3 Definição. A função que associa cada x ∈ R à abscissa do ponto P da circunferência trigonométrica,
denomina-se função cosseno, ou seja,
f :R
x
→ R
7→ f (x ) = cos(x ) = xP
1.4 Definição. A função que associa cada x ∈ R à ordenada do ponto P da circunferência trigonométrica,
denomina-se função seno, ou seja,
g :R
x
→ R
7→ g (x ) = sen(x ) = yP
(0, 1)
P (cos(x ), sen(x ))
De acordo com a definição e observando a figura,
podemos ver que
x
(−1, 0)
O
(1, 0)
x
cos(x )
sen(x )
0
1
0
π/2
0
1
π
−1
0
3π/2
(0, −1)
20
2π
0
1
−1
0
Fundamentos da Matemática III
Pode-se observar ainda que, por P pertencer à circunferência trigonométrica, −1 ≤ cos(x ) ≤ 1 e
−1 ≤ sen(x ) ≤ 1. Assim, o conjunto imagem das funções cosseno e seno estão limitadas ao intervalo
[−1, 1], ou seja, f (x ) = cos(x ) e g (x ) = sen(x ). Então,
(
Im(f ) =
[−1, 1]
Im(g ) =
[−1, 1]
A definição de tangente de um ângulo num triângulo retângulo nos diz que:
tg(x ) =
yP
,
xP
Y
e, de acordo com a figura, os triângulos
△OPM e △OP ′ A são retângulos e o ângulo em O é comum.
P ′′
B
Logo, eles são
semelhantes. Assim,
OA
P ′A
OP ′
=
=
= γ,
OM
PM
OP
N
ou seja,
P
P′
M
A
x
1
P ′A
OP ′
=
=
= γ.
cos(x )
sen(x )
1
O
X
Segue, da primeira igualdade, que
P ′A =
sen(x )
= tg(x )
cos(x )
e, da segunda,
OP ′ =
1
.
cos(x )
A tangente de x é, portanto, também assinalada pela ordenada do ponto P ′ , ou seja, o ponto P ′ tem
coordenadas P ′ (x , y ) = (1, tg(x )).
1.5 Definição. A função que associa cada x ∈ R à ordenada do ponto P ′ , obtido da interseção do pro-
longamento do segmento OP com a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A, denomina-se
função tangente, ou seja,
h : {x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z}
x
→ R
7→ h(x ) = tg(x ) = yP ′
1.6 Definição. A função que associa a cada x , em que cos(x ) 6= 0, ao inverso multiplicativo do seu
cosseno, denomina-se função secante, ou seja,
h : {x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z}
x
→ R
7→ i (x ) = sec(x ) =
1
cos(x )
Observe que estamos definindo a secante do ângulo x como o inverso multiplicativo do cosseno deste
mesmo ângulo. Sendo assim,
OP ′ =
1
= sec(x ).
cos(x )
21
Nota 4. A extensão das funções tangente e secante para outros valores não é feita para todos
os valores reais. De fato, quando x = π/2, a ordenada de P ′ (1, tg(x )) não pode ser determinada.
Neste caso, escrevemos tg(x ) = ∞ e, como o símbolo ∞ não retrata um número, a função não
está bem definida nesse ponto. Ocorre o mesmo para 3π/2, 5π/2, e assim por diante, ou
seja, qualquer ponto na forma x = π/2 + k π, sendo k um número inteiro. A função secante
está definida para todos os pontos da circunferência exceto quando cos(x ) é zero, ou seja,
π
∀ x 6= + k π, k ∈ Z, assim como o da função tangente.
2
O mesmo se passa para as funções cotangente e cossecante. O valor da cotangente de um ângulo
corresponde à abscissa do ponto P ′′ , situado sobre a reta horizontal tangente à circunferência no ponto
(0, 1), ou seja, o ponto P ′′ tem coordenadas P ′ (x , y ) = (cotg(x ), 1). De fato, são semelhantes os triângulos
△OPM e △P ′′ OB . Assim,
OP
PM
OM
=
= ′′ = ρ,
′′
OP
OB
P B
ou seja,
cos(x )
1
sen(x )
= ′′
=
= ρ.
′′
1
OP
P B
Segue, da segunda igualdade, que
P ′′ B =
cos(x )
= cotg(x )
sen(x )
e, da primeira, que
OP ′′ =
1
= cossec(x ).
sen(x )
Quanto maior for a abscissa do ponto P , menor será o ângulo x , e a semi-reta definida pelo ângulo com
o eixo X se aproxima deste. Logo, cotg(x ) aumenta, bem como a abscissa do ponto P ′′ .
1.7 Definição. A função que associa cada x ∈ R à abscissa do ponto P ′′ , obtido da interseção do pro-
longamento do segmento OP com a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto B , denomina-se
função cotangente, ou seja,
j : {x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z} → R
x
7→ j (x ) = cotg(x ) = xP ′′
1.8 Definição. A função que associa a cada x , em que sen(x ) 6= 0, ao inverso multiplicativo do seu seno,
denomina-se função cossecante, ou seja,
l : {x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z}
x
→ R
7→ l (x ) = cossec(x ) =
1
sen(x )
Observe que estamos definindo a cossecante do ângulo x como o inverso multiplicativo do seno deste
mesmo ângulo. Sendo assim,
OP ′′ =
1
= cossec(x ).
sen(x )
Nota 5. Da mesma forma, cotg(x ) e sec(x ) são indefinidas para os valores 0, π, 2π, . . ., isto é,
qualquer ponto em que x = k π, k ∈ Z. Portanto, o domínio destas funções, necessariamente,
não contém o conjunto destes pontos em que as funções não estão bem definidas.
22
Fundamentos da Matemática III
Por se tratar de triângulos retângulos, podemos escrever para △OPM , △OP ′ A e △P ′ OB as seguintes
relações:
sen2 (x ) + cos2 (x )
2
1 + tg (x )
1 + cotg2 (x )
= 1
= sec2 (x )
= cossec2 (x )
Resumo da Relações Trigonométricas Fundamentais
tg(x ) =
cotg(x ) =
cos(x )
, ∀ x 6= k π, k ∈ Z
sen(x )
cotg(x ) =
1
, ∀ x 6= k π/2, k ∈ Z
tg(x )
sec(x ) =
cossec(x ) =
1 =
sec2 (x ) =
cossec2 (x ) =
Exemplo 1.12. Dada tg(x ) = 2 e 0 < x <
Solução: Para 0 < x <
sen(x )
(2k + 1)π
, ∀ x 6=
,k ∈ Z
cos(x )
2
(2k + 1)π
1
, ∀ x 6=
,k ∈ Z
cos(x )
2
1
, ∀ x 6= k π, k ∈ Z
sen(x )
sen2 (x ) + cos2 (x ), ∀ x ∈ R, k ∈ Z
1 + tg2 (x ), ∀ x 6=
(2k + 1)π
,k ∈ Z
2
1 + cotg2 (x ), ∀ x 6= k π, k ∈ Z
π
, obter as demais funções trigonométricas de x .
2
π
, temos que todas as funções trigonométricas assumem valor positivo. Então
2
È
√
√
tg2 (x ) + 1 = 22 + 1 = 5
√
5
1
1
cos(x ) =
=√ =
sec(x )
5
5
√
2 5
sen(x ) = tg(x ) · cos(x ) =
5
√
√
5 5
5
1
1
5
= √ = √ =
=
cossec(x ) =
sen x
2·5
2
2 5
2 5
5
1
1
=
cotg(x ) =
tg(x )
2
sec(x ) =
O processo de construção dos gráficos das funções trigonométricas devem ser vistos no Ambiente
Virtual de Aprendizagem (AVA).
1.5.2
As Funções Trigonométricas e os Números Trigonométricos
Nas aplicações são bastantes usados o seno e o cosseno das medidas de arcos dadas em graus,
que são respectivamente iguais ao seno e ao cosseno dos números reais que se obtém transformando as
23
medidas em radianos. Podemos formar a tabela abaixo.
0(0◦ )
x
sen(x )
0
cos(x )
1
tg(x )
0
π
(30◦ )
6
π
(45◦ )
4
π
(60◦ )
3
π
(90◦ )
2
√
2
2
√
2
2
√
3
2
−1
1
2
√
3
2
√
3
3
1
1
2
0
√
3
∄
Usando os resultados anteriores e propriedades de simetria em relação aos eixos coordenados, obtemos os senos, os cossenos e as tangentes que indicamos a seguir. Eles podem ser constatados pela
simples observação das figuras.

‹
5π
1
sen
=
2
 6‹
7π
1
sen
=−
2
 6 ‹
1
11π
sen
=−
√2
6 ‹
2
3π
sen
=
√2
 4‹
2
5π
=−
sen
4
2
√
‹
5π
3
=−
cos
√2
 6 ‹
3
7π
cos
=−
√2
 6 ‹
11π
3
=
cos
2
√
 6‹
2
3π
=−
cos
√2
 4 ‹
2
5π
cos
=−
4
2

e
e
e
e
e
√
‹
2
7π
sen
=−
√2
4 ‹
2π
3
sen
=
√2
 3‹
4π
3
sen
=−
√2
 3 ‹
3
5π
sen
=−
3
2

√
‹
2
7π
=
cos
2
 4 ‹
2π
1
cos
=−
2
 3 ‹
4π
1
=−
cos
2
 3 ‹
5π
1
cos
=
3
2

e
e
e
e
Dois números congruentes tem imagens coincidentes no ciclo trigonométrico e por isso possuem senos
iguais e cossenos iguais.
Para todo x real e para todo inteiro k , temos
cos(x + 2k π) = cos(x ) e sen(x + 2k π) = sen(x ).
Exemplo 1.13. Determinar o seno e o cosseno de:
1.
15π
12π + 3π
3π
π
=
= 2π +
= 3π +
6
6
6
2
Então
π
15π
= sen = 1
sen
6
2
15π
π
cos
= cos = 0
6
2
2.
16π + 3π
3π
19π
=
= 4π +
4
4
4
Então
√
19π
3π
2
sen
= sen
=
4
4
2
√
2
19π
3π
cos
= cos
=
4
4
2
Exemplo 1.14. Determinar os valores de x que satisfazem as equações.
1. sen x = 0
Temos sen x = 0, se x for congruente a 0 ou π ou 2π ou 3π, etc. Logo, para x = k π, k ∈ Z .
√
3
2. cos x =
2
√
3
π
11π
π
11π
, se x for congruente a ou
. Logo, x = + 2k π ou x =
+ 2k π, k ∈ Z .
Temos cos x =
2
6
6
6
6
√
Exemplo 1.15. Para que valores de x temos tg x = 3?
√
π
π
π
π
Temos tg x = 3 para x = ou x = + π ou x = + 2π ou x = + 3π, etc.
3
3
3
3
24
Fundamentos da Matemática III
Logo, para x =
π
+ k π, k ∈ Z
3
Exemplo 1.16. Dados sen x = 0, 6 e 0 < x <
x
, calcular tg x .
2
x
, temos cos x > 0.
2
√
√
Então, cos x = 1 − sen2 x = 1 − 0, 36 = 0, 8.
Para 0 < x <
Logo, tg x =
sen x
0, 6
=
= 0, 75.
cos x
0, 8
Exemplo 1.17. Qual é a condição de existência de cotg
x
4
−π ?
x
A condição é − π 6= k π. Logo, x 6= 4(k + 1)π, k ∈ Z .
4
Exemplo 1.18.
√
√
π
π
2
π
3
√
cos
cos
cos
√
3
π
π
1
π
4 = √2 = 1
3
6
2
√
=
2.
cotg
=
=
3. cotg
=
1. cotg =
= 3
=
π
π
π
1
4
3
3
2
3
6
sen
sen
sen
4
3
6
2
2
√
π
1
2 3
1
1
π
1
=2
Exemplo 1.19.
1. sec =
= √ =
=
e cossec =
π
π
1
6
3
6
3
cos
sen
6
6
2
2
√
√
π
1
1
π
1
1
2. sec =
π = √2 = 2 e cossec 4 =
π = √2 = 2
4
cos
sen
4
4
2
2
√
π
1
1
2 3
1
1
π
3. sec =
π = 1 = 2 e cossec 3 =
π = √3 = 3
3
cos
sen
3
3
2
2
1.5.3
Exercícios Propostos
1.19. Determine o valor de:
(a) sen 450◦
(b) cos 750◦
(c) sen 61π/6
(d) cos 25π/3
1.20. Dê o valor das expressões:
◦
◦
◦
◦
(a) sen 90 · sen 60 + sen 330 · sen 315 · sen 180
◦
(c) cos 90◦ + sen 30◦ · sen 60◦ + cos 120◦ · sen 270◦
√
3 · sen π/3 + sen π/6
(b)
sen 5π/6 + sen 2π
sen 2π/3 + cos π/3
(d)
sen π/3 + cos 2π/3
1.21. Determine m para que exista arco x , satisfazendo as igualdades:
(a) sen(x ) = 5m − 2
(b) cos(x ) = 3m − 5
(c) cos(x ) =
m+1
m−1
(d) sen(x ) =
2m − 7
3
1.22. Determinar os valores de x que satisfazem as equações:
√
1
3
(b) cos(x ) =
(a) sen(x ) =
2
2
1.23. Quando ocorre tg(x ) > sen(x )? (Analise no círculo trigonométrico).
1.24. Observando o círculo trigonométrico para x ∈ (0, π/2). Compare tg(x ) com x . É possível afirmar
que tg(x ) > x ?
25
1.25. Determine o valor de:

(a) tg(405◦ )
(b) tg(2820◦)
(c) tg
71π
6
‹
1.26. Calcule o valor das expressões:
◦
◦
◦
√
(tg(π/6) − tg(π/4)) · 3
(b)
tg(5π/4) + tg(π/3)
◦
(a) tg(45 ) · tg(30 ) − tg(60 ) · tg(180 )
1.27. Descubra o valor da expressão
tg(x ) · tg(2x ) − tg(4x )
, para x = π/6.
1 − tg(6x )
1.28. Determine o valor de:
(a) cotg 405◦
(b) cotg 1.860◦
(c) cotg
58π
3
1.29. Calcule o valor das expressões:
(a) cotg 3120◦
(b) cotg
7π
6
(c) cotg
245π
3
1.30. Determine o valor de:
(a) sec 315◦
(b) cossec 120◦
1.31. Determine o valor de
(c) sec
11π
6
3 sen(x ) + cossec(x )
sabendo que x = 30◦ .
cos(x ) − sec(x )
1.32. Determine m para que x = π/4 seja raiz da equação
√
m−7
cotg2 x + (m − 2) sec(x ) + cossec2 (x ) = 0.
2
1.33. Determine m para que x = π/6 seja raiz da equação (3m + 6) sec2 (x ) − 2 cotg2 (x ) + m2 cossec(x ) = 0.
1.5.4
Paridade das Funções Trigonométricas
Nesta seção serão apresentadas algumas propriedades importantes das funções trigonométricas seno,
cosseno, tangente e cotangente, nomeadamente: paridade, sinal, monotonia, periodicidade, e o resultado
da redução ao primeiro quadrante.
Das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante), todas têm
uma paridade bem definida.
1.9 Proposição. A função seno é ímpar e a cosseno é par.
Prova: Considere dois pontos P e P ′ da circunferência trigonométrica,
y
simétricos em relação ao eixo x . Assim, o segmento OP forma um ângulo
B
O
B′
P
α
−α
α com o eixo das abscissas, enquanto o segmento OP ′ , −α. Claramente,
dois pontos simétricos em relação ao eixo horizontal possuem mesma
x
P′
abscissa e ordenadas de sinais contrários, ou seja, P (x , y ) e P ′ (x ′ , y ′ ) são
simétricos em relação ao eixo das abscissas se, e somente se, x = x ′
e −y = y ′ . Como P (cos(α), sen(α)) e P ′ (cos(−α), sen(−α)), segue que
cos(α) = cos(−α) e − sen(α) = sen(−α).
O aluno deverá provar que:
1.10 Proposição. As funções tangente, cotangente e secante são ímpares e a função secante é par.
26
2
Fundamentos da Matemática III
Prova: Observe que:
sen(−α)
− sen(α)
=
= − tg(α)
cos(−α)
cos(α)
cos(−α)
cos(α)
cotg(−α) =
=
= − cotg(α)
sen(−α)
− sen(α)
1
1
=
= − cossec(α)
sen(−α)
− sen(α)
1
1
=
= sec(α)
sec(−α) =
cos(−α)
cos(α)
tg(−α) =
2
1.5.5
cossec(−α) =
Sinal das Funções Trigonométricas
Seja P (cos(α), sen(α)) um ponto da circunferência trigonométrica.
No caso do cosseno,
Já a tangente é estritamente positiva
constatamos que o seno de α é temos que ela é estritamente
se 0 < α < π/2 ou se π < α < 3π/2 e
estritamente positivo (sen(α) > positiva, se −π/2 < α <
é estritamente negativa se π/2 < α < π
0) e que, se π < α < 2π, o π/2 e é estritamente nega-
ou se 3π/2 < α < 2π. A razão deste fato
seno de α é estritamente nega- tiva se π/2 < α < 3π/2. A
se deve a que a tangente de um ângulo
tivo (sen(α) < 0). A cossecante secante de um ângulo pos-
pode ser determinada pela razão entre o
de um ângulo possui o mesmo sui o mesmo sinal que o
seno e o cosseno deste ângulo. A cotan-
sinal que o seno deste ângulo. cosseno deste ângulo. Isto
gente de um ângulo possui o mesmo
Isto se deve ao fato de que um se deve ao fato de que um
sinal que o tangente deste ângulo dev-
deles é o inverso multiplicativo deles é o inverso multiplica-
ido fato de que um deles é o inverso mul-
Se 0 < α < π, claramente
do outro.
tivo do outro.
tiplicativo do outro.
y
y
y
+
−
+
+
+
x
x
−
−
−
−
x
+
+
−
Em suma, temos o seguinte quadro
Sinal das funções trigonométricas
1.5.6
1◦ Q
2◦ Q
3◦ Q
4◦ Q
sen(α)
+
+
cos(α)
+
−
tg(α)
+
−
−
+
cotg(α)
+
−
sec(α)
+
cossec(α)
+
−
−
−
+
+
−
−
−
+
−
+
−
Monotonia das Funções Trigonométricas
Podemos classificar o comportamento de uma função f : I → R, no intervalo I , em crescente, de-
crescente ou constante. Estudamos a monotonia de uma função real se quisermos conhecer em quais
27
intervalos do seu domínio cada um destes comportamentos é verificado.
Uma função f : I → R diz-se monótona quando em I somente um comportamento é verificado. Neste
caso, a classificamos em crescente, decrescente ou constante. Na Trigonometria, são monótonas as
funções tangente e cotangente.
Uma função diz-se oscilante quando, ao longo de todo o seu domínio de aplicação, não existe somente
um comportamento, ou seja, de alguma forma verifica-se que ora ela cresce, decresce ou é constante.
Este é o caso das funções seno, cosseno, secante e cossecante.
Seja P (cos(x ), sen(x )) um ponto da circunferência trigonométrica. Podemos facilmente constatar através
de P que:
— a função f (x ) = cos(x ) é crescente se π < x < 2π e decrescente se 0 < x < π.
— a função g (x ) = sen(x ) é crescente se 0 < x <
π
π
π
π
ou 3 < x < 2π e decrescente se < x < 3 .
2
2
2
2
— a função h(x ) = tg(x ) é crescente em seu domínio.
— a função i (x ) = cotg(x ) é decrescente em seu domínio.
— a função j (x ) = sec(x ) é crescente se 0 < x < π e decrescente se π < x < 2π.
— a função k (x ) = cossec(x ) é crescente se
π
π
π
π
< x < 3 e decrescente se 0 < x < ou 3 < x < 2π.
2
2
2
2
Monotonia das Funções Trigonométricas
1◦ Q
sen(x )
cos(x )
tg(x )
cotg(x )
sec(x )
cossec(x )
1.5.7
2◦ Q
3◦ Q
4◦ Q
ր
ց
ց
ր
ր
ր
ր
ր
ց
ց
ր
ց
ց
ց
ր
ր
ր
ց
ց
ր
ր
ց
ց
ց
Reduções ao Primeiro Quadrante
A circunferência trigonométrica fica dividida em quatro partes
quando, por exemplo, sua origem coincide com o sistema cartesiano
ortogonal, como indicado na figura ao lado. Cada partes é denomi-
II
I
III
IV
nada quadrante e são indicados conforme o sentido do crescimento
dos ângulos.
Vimos que existem alguns ângulos, no primeiro quadrante, para
os quais podemos determinar facilmente os valores das razões
trigonométricas, e que convém ter sempre presente.
A aplicação da redução ao primeiro quadrante nos auxilia, por exemplo, a encontrar o valor de cada
uma das funções trigonométricas para outros ângulos, entender o comportamento destas nos quadrantes
restantes e na simplificação de expressões e de equações.
28
Fundamentos da Matemática III
Redução do Segundo ao Primeiro Quadrante
1.11 Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então,
cos(π − α) =
sen(π − α) =
− cos(α)
sen(α)
y
P
′
Prova: Considere dois pontos P e P ′ da circunferência trigonométrica,
P
α
′
A
simétricos em relação ao eixo y . Os triângulos △OPA e △OP ′ A′ são
α
O
congruentes, pois são triângulos retângulos e cujas hipotenusas possuem
A
x
mesma medida (ver figura ao lado). Sendo assim, ∠AOP = ∠A′ OP ′ = α.
Por serem pontos da circunferência trigonométrica, as coordenadas de P
e de P ′ são, respectivamente, (cos(α), sen(α)) e (cos(π − α), sen(π − α)).
Claramente, dois pontos simétricos em relação ao eixo vertical possuem ordenadas iguais e abscissas de
sinais contrários, ou seja, P (x , y ) e P ′ (x ′ , y ′ ) são simétricos em relação ao eixo das ordenadas se, e só se,
−x = x ′ e y = y ′ . Portanto, da simetria entre eles, cos(π − α) = − cos(α) e sen(π − α) = sen(α).
2
1.12 Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então
tg(π − α)
=
sec(π − α)
=
cotg(π − α)
=
cossec(π − α)
=
Prova:
− tg(α)
− cotg(α)
− sec(α)
cossec(α)
tg(π − α)
=
sen(α)
sen(π − α)
=
= − tg(α)
cos(π − α)
− cos(α)
cotg(π − α)
=
cos(π − α)
− cos(α)
=
= − cotg(α)
sen(π − α)
sen(α)
sec(π − α)
=
1
1
=
= − sec(α)
cos(π − α)
− cos(α)
cossec(π − α)
=
1
1
=
= cossec(α)
sen(π − α)
sen(α)
Para os demais quadrantes, o tratamento é semelhante.
Redução do Terceiro ao Primeiro Quadrante
1.13 Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então,
cos(π + α)
sen(π + α)
= − cos(α)
= − sen(α)
y
Prova: Considere dois pontos P e P ′ da circunferência trigonométrica,
P
A′
α
P′
simétricos em relação à origem. Os triângulos △OPA e △OP ′ A′ são
α
O
A
congruentes, pois são triângulos retângulos e cujas hipotenusas possuem
x
mesma medida (ver figura ao lado). Sendo assim, ∠AOP = ∠A′ OP ′ = α.
Por serem pontos da circunferência trigonométrica, as coordenadas de P
e de P ′ são, respectivamente, (cos(α), sen(α)) e (cos(π + α), sen(π + α)).
29
Claramente, dois pontos simétricos em relação à origem possuem ordenadas e abscissas de sinais contrários, ou seja, P (x , y ) e P ′ (x ′ , y ′ ) são simétricos em relação à origem se, e somente se, −x = x ′ e
−y = y ′ . Portanto, da simetria entre eles, cos(π + α) = − cos(α) e sen(π + α) = − sen(α).
2
1.14 Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então,
tg(π + α)
= tg(α)
cotg(π + α)
= cotg(α)
sec(π + α)
= − sec(α)
cossec(π + α)
Prova:
tg(π + α) =
= − cossec(α)
sen(π + α)
− sen(α)
=
= tg(α)
cos(π + α)
− cos(α)
cotg(π + α) =
cos(π + α)
− cos(α)
=
= cotg(α)
sen(π + α)
− sen(α)
sec(π + α) =
1
1
=
= − sec(α)
cos(π + α)
− cos(α)
cossec(π + α) =
1
1
=
= − cossec(α)
sen(π + α)
− sen(α)
2
Redução do Quarto ao Primeiro Quadrante
Apesar desta redução poder ser demonstrada da mesma maneira que as anteriores, a faremos de outro
modo mais simples.
1.15 Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então
cos(2π − α)
= cos(α)
e
sen(2π − α)
= − sen(α)
Prova: Considere os ângulos 2π − α e −α, com 0 < α < π/2. Estes ângulos são côngruos e
como a função cosseno é par e a função seno é ímpar, temos que cos(2π − α) = cos(−α) = cos(α) e
sen(2π − α) = sen(−α) = − sen(α).
2
1.16 Proposição. Seja α um ângulo no primeiro quadrante. Então
tg(2π − α) =
cotg(2π − α) =
− tg(α)
− cotg(α)
Prova:
30
sec(2π − α)
cossec(2π − α)
= sec(α)
= − cossec(α)
tg(2π − α)
=
− sen(α)
sen(2π − α)
=
= − tg(α)
cos(2π − α)
cos(α)
cotg(2π − α)
=
cos(2π − α)
cos(α)
=
= − cotg(α)
sen(2π − α)
− sen(α)
sec(2π − α)
=
1
1
=
= sec(α)
cos(2π − α)
cos(α)
cossec(2π − α)
=
1
1
=
= − cossec(α).
sen(2π − α)
− sen(α)
2
Fundamentos da Matemática III
Os resultados obtidos para a redução de quadrantes encontram-se resumidos no seguinte quadro:
Reduções ao Primeiro Quadrante
sen(β)
β =π−α
β =π+α
− sen(α)
− cos(α)
cos(α)
cos(β)
tg(β)
− cotg(α)
cotg(β)
− sen(α)
tg(α)
− tg(α)
cotg(α)
β = 2π − α
− cos(α)
sen(α)
− cotg(α)
− tg(α)
em que α é um ângulo do 1◦ quadrante e β é um ângulo a converter.
1.5.8
Periodicidade das Funções Trigonométricas
1.17 Definição. Uma função y = f (x ), definida no domínio D , é chamada função periódica se existe
um número positivo p que satisfaz a igualdade, f (x + p ) = f (x ), para todo x ∈ D . O menor valor positivo de p que satisfaz essa condição é chamado período da função. Verifica-se que para este valor p ,
f (x + k · p ) = f (x ), para todo k ∈ Z.
O período de uma função é o comprimento do intervalo no qual esta função passa por um ciclo completo
de variação. Graficamente, o gráfico da função periódica apresenta um elemento de curva que se repete.
1.18 Proposição. O período das funções f (x ) = cos(x ) e g (x ) = sen(x ) é 2π.
Prova: Dois ângulos na circunferência trigonométrica são côngruos se suas medidas diferem em
número de voltas, ou seja, possuem extremidade no mesmo ponto. Considere os ângulos α e α + 2k π, k ∈
Z. Eles são côngruos, portanto, as coordenadas (cos(α), sen(α)) e (cos(α+2k π), sen(α+2k π)) representam
o mesmo ponto, ou seja,
(
cos(α)
=
cos(α + 2k π)
sen(α)
=
sen(α + 2k π)
Segue que, p = 2π é o menor número positivo que satisfaz a ambas as equações.
2
Nota 6. Pode-se provar que o período das funções tangente e cotangente é π e o das funções
secante e cossecante é 2π.
31
1.5.9
Resumo das Propriedades das Principais Funções Trigonométricas
A Função Cosseno
Denominamos função cosseno à função que a cada número real x faz corresponder o número y =
cos(x ).
Utilizando os pares (x , y ) da tabela abaixo, em que y = cos(x ), construímos o gráfico da função cosseno
no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
x
y = cos(x )
0
π/4
1
√
3/2
√
2/2
π/3
1/2
π/2
0
π
−1
π/6
3π/2
y
1
2π
0
0
2π
1
π π π
6 4 3
π
π
2
x
3π
2
−1
Propriedades
• O domínio da função y = cos(x ) é o conjunto dos números reais R.
cos(x ) existe ∀ x ∈ R.
• Imagem: Im = {y ∈ R; −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1] (∃x ; cos(x ) = y ⇔ −1 ≤ y ≤ 1).
O valor máximo de cos(x ) é 1, enquanto o valor mínimo é −1.
∀ x ∈ R, −1 ≤ cos(x ) ≤ 1
• Período: p = 2π, pois, x temos cos(x + 2π) = cos(x ).
f (x ) = cos(x )
Domínio:
R
Imagem:
[−1, 1]
Paridade:
par
Período:
2π
Sinal:
Positiva
Quadrantes
1◦ e 4◦
Negativa
Monotonia:
Crescente
2◦ e 3◦
3◦ e 4◦
Decrescente
1◦ e 2◦
Gráfico
y
x
y
0
1
π/2
0
π
−1
3π/2
0
2π
1
32
1
−2π
− 3π
2
−π
0
−π
2
−1
π
2
π
3π
2
2π
x
Fundamentos da Matemática III
A Função Seno
Denominamos função seno à função que a cada número real x faz corresponder o número y = sen(x ).
Utilizando os pares (x , y ) da tabela abaixo, em que y = sen(x ), construímos o gráfico da função cosseno
no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
x
y = sen(x )
0
0
π/6
π/3
1/2
√
2/2
√
3/2
π/2
1
π
0
3π/2
−1
π/4
2π
y
−11
0
2π
π π π
6 4 3
π
π
2
x
3π
2
0
Propriedades
• O domínio da função y = sen(x ) é o conjunto dos números reais R.
sen(x ) existe ∀ x ∈ R.
• Imagem: Im = {y ∈ R; −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1] (∃x ; sen(x ) = y ⇔ −1 ≤ y ≤ 1).
O valor máximo de sen(x ) é 1, enquanto o valor mínimo é −1.
∀ x ∈ R, −1 ≤ sen(x ) ≤ 1
• Período: p = 2π, pois, x temos sen(x + 2π) = sen(x ).
f (x ) = sen(x )
Domínio:
R
Imagem:
[−1, 1]
Paridade:
ímpar
Período:
2π
Sinal:
Quadrantes
Positiva
◦
1 e2
◦
Negativa
◦
3 e4
Monotonia:
Crescente
◦
◦
1 e4
◦
Decrescente
2◦ e 3◦
Gráfico
y
x
y
0
0
π/2
1
π
0
3π/2
2π
−1
0
1
−2π
− 3π
2
−π
0
−π
2
π
2
π
3π
2
2π
−1
33
x
A Função Tangente
Denominamos função tangente à função que a cada número real x 6= π/2 + k π, k ∈ Z, faz corresponder
o número y = tg(x ).
Utilizando os pares (x , y ) da tabela abaixo, em que y = tg(x ), construímos o gráfico da função tangente
no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
y
y = tg(x )
x
0
√
π/6
π/4
0
3/3
π/3
1
√
3
π/2
∄
π
0
3π/2
∄
2π
0
1
2π
0
π π π
6 4 3
π
2
π
x
3π
2
Propriedades
• O domínio da função y = tg(x ) é o conjunto dos números {x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z}.
• Imagem: Im = R (∃x ; tg(x ) = y ⇔ y ∈ R).
• Período: p = π, pois, ∀ x 6= π/2 + k π, k ∈ Z, temos tg(x + π) = tg(x ).
f (x ) = tg(x )
Domínio:
Paridade:
Sinal:
Quadrantes
{x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z}
ímpar
Positiva
◦
1 e3
◦
Negativa
◦
2 e4
Imagem:
R
Período:
π
Monotonia:
◦
Crescente
Decrescente
Em todo o domínio
——
Gráfico
y
34
x
y
0
0
π/2
∄
π
0
3π/2
∄
2π
0
−2π
− 3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
x
Fundamentos da Matemática III
A Função Cotangente
Denominamos função cotangente à função que a cada número real x 6= k π, k ∈ Z, faz corresponder o
número y = cotg(x ).
Utilizando os pares (x , y ) da tabela abaixo, em que y = cotg(x ), construímos o gráfico da função
cotangente no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
y
x
y = cotg(x )
0
∄
√
3
π/6
π/4
√
π/3
1
1
3/3
0
π/2
0
π
∄
3π/2
0
2π
∄
π
π
2
π π π
6 4 3
x
2π
3π
2
Propriedades
• O domínio da função y = cotg(x ) é o conjunto dos números {x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z}.
• Imagem: Im = R (∃x ; cotg(x ) = y ⇔ y ∈ R).
• Período: p = π, pois, ∀ x 6= k π, k ∈ Z, temos cotg(x + π) = cotg(x ).
f (x ) = cotg(x )
Domínio:
Paridade:
{x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z}
ímpar
Sinal:
Positiva
◦
1 e3
Quadrantes
◦
Negativa
◦
2 e4
Imagem:
R
Período:
π
Monotonia:
Crescente
◦
——
Decrescente
Em todo o domínio
Gráfico
y
x
y
0
∄
π/2
0
π
∄
3π/2
0
2π
∄
−2π
− 3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
x
2π
35
A Função Secante
Denominamos função secante à função que a cada número x ∈ R; x 6= π/2+k π, k ∈ Z, faz corresponder
o número y = sec(x ).
Utilizando os pares (x , y ) da tabela abaixo, em que y = sec(x ), construímos o gráfico da função secante
no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
x
y = sec(x )
0
π/4
1
√
2 3/3
√
2
π/3
2
π/2
∄
π
−1
π/6
y
2
1
0
π π π
6 4 3
π
π
2
3π
2
2π
x
∄
3π/2
2π
1
Propriedades
• O domínio da função y = sec(x ) é o conjunto dos números {x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z}.
• Imagem: Im = R \ (−1, 1) (∃x ; sec(x ) = y ⇔ y ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[).
• Período: p = 2π, pois, ∀ x 6= π/2 + k π, k ∈ Z, temos sec(x + 2π) = sec(x ).
f (x ) = sec(x )
Domínio:
Paridade:
Sinal:
Quadrantes
{x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z}
par
Positiva
◦
1 e4
◦
Negativa
◦
2 e4
R \ (−1, 1)
Imagem:
2π
Período:
Monotonia:
Crescente
◦
◦
1 e2
◦
Decrescente
3◦ e 4◦
Gráfico
y
x
y
0
1
π/2
∄
π
−1
3π/2
∄
2π
1
36
−2π
− 3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
x
Fundamentos da Matemática III
A Função Cossecante
Denominamos função cossecante à função que a cada número x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z, faz corresponder
o número y = cossec(x ).
Utilizando os pares (x , y ) da tabela abaixo, em que y = cossec(x ), construímos o gráfico da função
secante no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
x
y = cossec(x )
0
∄
π/6
π/3
2
√
2
√
2 3/3
π/2
1
π
∄
3π/2
−1
π/4
y
2
1
3π
2
0
π π π
6 4 3
π
π
2
x
2π
∄
2π
Propriedades
• O domínio da função y = cossec(x ) é o conjunto dos números {x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z}.
• Imagem: Im = R \ (−1, 1) (∃x ; cossec(x ) = y ⇔ y ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[).
• Período: p = 2π, pois, ∀ x 6= π/2 + k π, k ∈ Z, temos cossec(x + 2π) = cossec(x ).
f (x ) = cossec(x )
Domínio:
Paridade:
{x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z}
ímpar
Sinal:
Positiva
◦
1 e2
Quadrantes
◦
3 e4
2π
Período:
Negativa
◦
R \ (−1, 1)
Imagem:
Monotonia:
Crescente
◦
◦
2 e3
◦
Decrescente
1◦ e 4◦
Gráfico
y
x
y
0
∄
π/2
0
π
∄
3π/2
0
2π
∄
−2π
− 3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
x
2π
37
Exemplo 1.20. Esboce o gráfico e determine o período, o domínio e a imagem de cada umas das
funções.
(a) y = − sen(x )
(c) y = 3 sen(x )
(e) y = 1 + 2 sen(x /2)
(b) y = sen(3x )
(d) y = 1 + sen(x )
(f) y = | sen(x )|
(a) y = − sen(x )
• Gráfico:
x
sen(x )
y
y
0
0
0
0
1
π/2
1
π/2
1
π
π
0
π
0
−1
3π/2
3π/2
3π/2
2π
2π
−1
−1
x
sen(x )
0
0
π/2
x
sen(x )
y
y
0
2π
0
0
0
1
−1
0
π
2
π
3π
2
2π
x
Podemos observar que:
• A função é periódica de período p = 2π.
• Domínio: D = R
− sen(x ) = y
⇒ sen(x ) = −y
⇒ −1 ≤ −y ≤ 1 ⇒ −1 ≤ y ≤ 1.
• Imagem: Im = {y ∈ R; −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1].
(b) y = sen(3x )
• Gráfico:
3x
3x
x /3
y
y
0
0
0
0
1
π/6
π/2
π/6
1
3x
x /3
0
0
π/2
π/2
x
y
y
π
π
π/3
π
π/3
0
3π/2
3π/2
π/2
3π/2
π/2
2π
2π
2π/3
2π
2π/3
−1
0
π
2
0
−1
Podemos observar que:
• A função é periódica de período p = 2π/3.
• Domínio: D = R
sen(3x ) = y
• Imagem: Im = {y ∈ R; −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1].
(c) y = 3 sen(x )
38
• Gráfico:
⇒ −1 ≤ y ≤ 1.
π
6
2π
3
π
3π
2
2π
x
Fundamentos da Matemática III
y
x
sen(x )
x
sen(x )
y
0
0
0
0
0
0
π/2
π/2
1
π/2
1
3
1
π
π
0
π
0
0
3π/2
3π/2
3π/2
2π
2π
−1
−1
−3
0
−1
x
sen(x )
y
y
0
2π
0
3
0
3π
2
π
2
2π
π
x
−3
Podemos observar que:
• A função é periódica de período p = 2π.
• Domínio: D = R
3 sen(x ) = y
⇒ sen(x ) =
y
3
⇒ −1 ≤
y
≤ 1 ⇒ −3 ≤ y ≤ 3.
3
• Imagem: Im = {y ∈ R; −3 ≤ y ≤ 3} = [−3, 3].
(d) y = sen(x ) + 1
• Gráfico:
x
sen(x )
x
sen(x )
y
0
0
0
0
0
1
π/2
π/2
1
π/2
1
2
π
π
0
π
0
1
3π/2
3π/2
3π/2
2π
−1
0
2π
−1
x
sen(x )
y
y
y
0
2π
0
2
1
3π
2
0
−1
π
2
π
2π
x
1
Podemos observar que:
• A função é periódica de período p = 2π.
• Domínio: D = R
sen(x ) + 1 = y
⇒ sen(x ) = y − 1
⇒ −1 ≤ y − 1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ y ≤ 2.
• Imagem: Im = {y ∈ R; 0 ≤ y ≤ 2} = [0, 2].
(e) y = 1 + 2 sen(x /2)
• Gráfico:
x /2
x
x /2
x
y
0
0
0
0
0
1
π/2
π/2
π
π/2
π
3
1
π
π
2π
π
2π
1
3π/2
3π/2
3π
3π/2
3π
0
−1
2π
2π
4π
2π
4π
−1
x
sen(x )
y
y
y
2
3π
2
π
2
2π
π
x
1
Podemos observar que:
• A função é periódica de período p = 4π.
39
• Domínio: D = R
1 + 2 sen(x ) = y
⇒ sen(x ) =
y −1
2
⇒ −1 ≤
y −1
≤1
2
⇒ −2 ≤ y − 1 ≤ 2 ⇒ −1 ≤ y ≤ 3.
• Imagem: Im = {y ∈ R; −1 ≤ y ≤ 3} = [−1, 3].
(
(f) y = | sen(x )| =
sen(x ),
− sen(x ),
se sen(x ) ≥ 0
se sen(x ) < 0
• Gráfico:
x
sen(x )
y
y
0
0
0
0
1
π/2
1
π/2
1
1
π
π
0
π
0
0
0
3π/2
3π/2
3π/2
2π
−1
1
2π
−1
−1
x
sen(x )
0
0
π/2
x
sen(x )
y
y
0
2π
0
0
π
2
π
3π
2
2π
x
Podemos observar que:
• A função é periódica de período p = π.
• Domínio: D = R
−1 ≤ sen(x ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ | sen(x )| ≤ 1
• Imagem: Im = {y ∈ R; 0 ≤ y ≤ 1} = [0, 1].
Nota 7. Considere a função f (x ) = a ± b sen(kx ), a ∈ R∗ e b ∈ R∗+ . Pelo que vimos anterior-
mente, podemos deduzir que:
• A função f (x ) é periódica de período p = 2π/k .
• Domínio: D = R
• Imagem: Im = {y ∈ R; a − b ≤ y ≤ a + b } = [a − b , a + b ].
Nota 8. Considere a função f (x ) = a ± b cos(kx ), a ∈ R∗ e b ∈ R∗+ .
• A função f (x ) é periódica de período p = 2π/k .
• Domínio: D = R
• Imagem: Im = {y ∈ R; a − b ≤ y ≤ a + b } = [a − b , a + b ].
Exemplo 1.21. Obter o domínio, a imagem e o período da função y = 2 cos(x ) − 2.
Comparando-se a função y = 2 cos(x ) − 2 à f (x ) = a ± b cos(kx ), a ∈ R∗ e b ∈ R∗+ , temos que a = −2,
b = 2 e k = 1. Portanto,
• Domínio: D = R
40
• Imagem: Im = [a − b , a + b ] = [−4, 0].
Fundamentos da Matemática III
• A função é periódica de período p = 2π/k = 2π.
• Gráfico:
y
1
x
cos(x )
x
cos(x )
y
0
0
1
0
1
0
π/2
π/2
0
π/2
0
π
π
π
3π/2
3π/2
−1
−1
−2
2π
2π
x
cos(x )
y
y
0
3π/2
1
2π
−4
0
−2
1
3π
2
2π
π
π
2
0
−1
x
−2
0
−4
1.5.10
Exercícios Propostos
1.34. Dê o domínio, a imagem e o período, e construa o gráfico de um período completo das funções:
(a) y = − sen(x ).
(c) tg(x /2).
(e) y = sec(2x ).
(b) y = −| cos(x )|.
(d) y = cotg(2x ).
(f) y = cossec(x /2).
1.35. Esboce o gráfico da tangente no intervalo [0, π]. Como a função é periódica, você pode obter o
gráfico da função tangente para intervalos [k π, (k + 1)π]?
1.36. Calcule m, sabendo que o período da função
y = cos 4mx é
π
2.
1.37. Esboce o gráfico da tangente no intervalo [0, π].Como a função é periódica, você pode obter o gráfico
da função tangente para intervalos [k π, (k + 1)π]?
1.38. Com auxílio do círculo trigonométrico, verifique as propriedades:
(a) se x é do primeiro ou do terceiro quadrante, então tg(x ) é positiva;
(b) se x é do segundo ou do quarto quadrante, então tg(x ) é negativa;
(c) se x percorre qualquer um dos quatro quadrantes, então tg(x ) é crescente.
(Você sabe quando uma função é crescente? (dados x1 e x2 , com x1 < x2 , temos f (x1 ) < f (x2 ), isto é,
tg(x1 ) < tg(x2 ).
1.39. Esquematize no círculo trigonométrico o sinal da tangente de x .
1.40. Quando ocorre tg(x ) > sen(x ) ? (Analise no círculo trigonométrico).
1.41. Observando o círculo trigonométrico para x em (0, π2 ). Compare tg(x ) com x . É possível afirmar que
tg x > x ?
1.42. Em que quadrante temos simultaneamente:
(a) sen θ < 0 e cos θ < 0?
(b) sen θ > 0 e tg θ < 0?
(c) cos θ > 0 e tg θ > 0?
1.43. Para que valores de θ, 0 ≤ θ < 2π, tem-se:
(a) sen(θ) =
√
2?
√
(b) cos(θ) = − 2/2?
(c) tg(θ) = −1?
(d) cos(θ) = 2?
41
1.44. Identifique a translação que existe entre as funções sen(x ) e cos(x ).
1.45. Para que valores de x em (0, 2π) tem-se sen(x ) >
1
?
2
1.46. Simplifique:
15π
π
− x ) · tg(
+ x)
2
2
(a) y =
.
7π
cos(5π + x ) · sen(
+ x ) · tg(4π − x )
2
sen(π + x ) · cos(
(b) y =
sen(270◦ − x ) · tg(540◦ − x )
.
cos(540◦ − x ) · tg(540◦ + x )
(c) y =
sec(4π − x ) · tg( π2 + x ) · sen(π − x )
.
cossec(5π − x ) · cotg(−x ) · sen(π + x )
1.6
Relações Importantes das Funções Trigonométricas
Em muitos casos é previsto a utilização de relações que envolvem funções trigonométricas diferentes
das que temos visto até aqui. Algumas destas podem envolver, por exemplo, funções trigonométricas da
adição de ângulos ou determinadas funções que envolvem funções trigonométricas de um ângulo, e cuja
escrita pode ser simplificada.
1.6.1
Fórmulas de Adição e Subtração
Y
B
Considere dois arcos α e β com extremidades, respectiva-
A
mente, nos pontos A e B , que estão sobre o ciclo trigonométrico
com centro na origem do sistema cartesiano ortogonal (ver
β
figura ao lado). Pela lei dos cossenos temos que:
AB
2
=
2
O
2
OA + OB − 2 · OA · OB · cos(β − α)
=
12 + 12 − 2 · 1 · 1 · cos(β − α)
=
2 − 2 · cos(β − α)
α
X
( 1.2)
Por estarem no ciclo trigonométrico, os pontos A e B possuem as seguintes e respectivas coordenadas
(cos(α), sen(α)) e (cos(β), sen(β)) e, pela fórmula da distância entre dois pontos,
AB
2
= (cos(α) − cos(β))2 + (sen(α) − sen(β))2
= cos2 (α) − 2 · cos(α) · cos(β) + cos2 (β) + sen2 (α) − 2 · sen(α) · sen(β) + sen2 (β)
= cos2 (α) + sen2 (α) + cos2 (β) + sen2 (β) −2 · (cos(α) · cos(β) + sen(α) · sen(β))
|
{z
1
}
|
{z
}
1
= 2 − 2 · (cos(α) · cos(β) + sen(α) · sen(β))
Igualando-se as equações ( 1.2) e ( 1.3), temos que
42
2 − 2 · cos(β − α) = 2 − 2 · (cos(α) · cos(β) + sen(α) · sen(β)),
( 1.3)
Fundamentos da Matemática III
ou seja,
cos(β − α) = cos(α) · cos(β) + sen(α) · sen(β).
Calculemos, em seguida, sen(β − α). Se α e β são dois ângulos complementares (isto é, cuja soma
é π/2 radianos), verifica-se que sen(α) = cos(β). Observe a figura abaixo e suponha que a hipotenusa
tem comprimento unitário (h = 1). O comprimento do cateto adjacente a α é cos α e observe que o cateto
adjacente ao ângulo α é simultaneamente o cateto oposto ao ângulo β. Logo, cos(α) = sen(β). Igualmente,
cos(β) = sen(α), como se poderá constatar observando a mesma figura.
sen(β − α) =
β
α
cos[π/2 − (β − α)]
=
cos(π/2 − β + α) = cos[α − (β − π/2)]
=
cos(α) · cos(β − π/2) + sen(α) · sen(β − π/2)
=
cos(α) · cos[−(π/2 − β)] + sen(α) · sen[−(π/2 − β)]
=
cos(α) · cos(π/2 − β) − sen(α) · sen(π/2 − β)
=
sen(β) · cos(α) − sen(α) · cos(β)
Ao substituirmos α por −α nas duas relações obtidas anteriormente obtemos as relações para a soma
de dois arcos. De fato,
cos(β − (−α))
=
sen(β − (−α))
= sen(β) · cos(−α) − sen(−α) · cos(β)
=
cos(β) · cos(−α) − sen(β) · sen(−α)
cos(β) · cos(α) + sen(β) · sen(α)
e
= sen(β) · cos(α) + sen(α) · cos(β)
Desta forma, podemos enunciar o seguinte teorema:
1.19 Teorema. Considere α e β dois ângulos quaisquer. Então,
cos(α ± β)
sen(α ± β)
=
=
cos(α) cos(β) ∓ sen(α) sen(β)
sen(α) cos(β) ± sen(β) cos(α)
O cálculo de tg(β ± α) decorre, naturalmente, dividindo-se sen(β ± α) por cos(β ± α). Portanto,
tg(β + α) =
tg(β) + tg(α)
tg(β) − tg(α)
e tg(β − α) =
1 − tg(β) · tg(α)
1 + tg(β) · tg(α)
Desta forma, podemos enunciar o seguinte teorema:
1.20 Teorema. Considere α e β dois ângulos quaisquer, exceto π/2, 3π/2 e seus côngruos. Então,
tg(α ± β)
=
tg(α) ± tg(β)
1 ∓ tg(α) tg(β)
Exemplo 1.22. Calcule:
(a) sen(75◦ ) e cos(75◦ ).
(b) sen(15◦ ) e cos(15◦ ).
(c) tg(105◦ ) e cotg(105◦ ).
Solução:
43
(a) Como 75◦ = 45◦ + 30◦ , temos
sen(75◦ ) =
=
=
=
sen(45◦ + 30◦ )
cos(75◦ ) =
sen(45◦ ) cos(30◦ ) + sen(30◦ ) cos(45◦ )
√ √
√
2 3 1 2
+
√2 2 √ 2 2
6+ 2
4
=
=
=
cos(45◦ + 30◦ )
cos(45◦ ) cos(30◦ ) − sen(45◦ ) sen(30◦ )
√
√ √
21
2 3
−
2
2
2
2
√
√
6− 2
4
(b) Como 15◦ = 45◦ − 30◦ , temos
sen(15◦ ) =
=
=
=
cos(15◦ ) =
sen(45◦ − 30◦ )
sen(45◦ ) cos(30◦ ) − sen(30◦ ) cos(45◦ )
√
√ √
2 3 1 2
−
√2 2 √ 2 2
6− 2
4
=
=
=
cos(45◦ − 30◦ )
cos(45◦ ) cos(30◦ ) + sen(30◦ ) sen(45◦ )
√
√ √
21
2 3
+
√2 2 √ 2 2
6+ 2
4
(c) Como 105◦ = 45◦ + 60◦ , temos
tg(105◦ ) =
=
=
=
=
1.6.2
tg(45◦ + 60◦ )
tg(45◦ ) + tg(60◦ )
1 − tg(45◦ ) · tg(60◦
√
1+ 3
√
1−1· 3
√
√
1+ 3 1+ 3
√ ·
√
1− 3 1+ 3
√
−2 − 3
cotg(105◦ ) =
=
=
=
1
tg(105◦ )
1
√
1+ 3
√
1− 3
√
√
1− 3 1− 3
√ ·
√
1+ 3 1− 3
√
−2 + 3
Fórmulas de Duplicação
1.21 Teorema. Seja α um ângulo qualquer. Então,
sen(2α)
cos(2α)
= 2 · sen(α) · cos(α)
= cos2 (α) − sen2 (α)
Prova: Façamos α = β e apliquemos nas fórmulas obtidas na subseção anterior. Teremos, então,
sen(2α)
cos(2α)
= 2 · sen(α) · cos(α)
= cos2 (α) − sen2 (α)
2
1.22 Teorema. Seja α 6= π/2 + k π e α 6= π/4 + k π/2, k ∈ Z, um ângulo. Então,
tg(2α)
=
2 · tg(α)
1 − tg2 (α)
Prova: Façamos α = β e apliquemos na fórmula da adição de dois ângulos, obtida na subseção
anterior. Teremos, então,
tg(2α) =
tg(α + α) =
2 · tg(α)
tg(α) + tg(α)
=
1 − tg(α) · tg(α)
1 − tg2 (α)
2
44
Fundamentos da Matemática III
Exemplo 1.23. Dado cos(a) =
√
12
, calcular cos(2a).
12
Solução: Temos que,
sen2 (a) = 1 − cos2 (a) = 1 −
Então,
cos(2a) = cos2 (a) − sen2 (a) =
1.6.3
132
12
=
.
144
144
12
132
120
5
−
=−
=− .
144 144
144
6
Fórmulas de Bissecção
1.23 Teorema. Seja α um ângulo qualquer. Então,
cos
α
2
r
=
1 + cos(α)
2
sen
α
2
r
=
1 − cos(α)
2
Prova: Vimos que cos(2α) = cos2 (α) − sen2 (α). Pela relação fundamental da trigonometria, podemos
escrever sen2 (α) = 1 − cos2 (α). Destas duas relações, temos que cos(2α) = cos2 (α) − (1 − cos2 (α)) =
2 cos2 (α) − 1.
Façamos 2α = β. Logo,
1 + cos(β)
2 cos (β/2) = 1 + cos(β) ⇔ cos (β/2) =
⇔ cos(β/2) = ±
2
2
r
2
1 + cos(β)
2
Para obter sen(α/2), retornemos à relação fundamental da trigonometria. Assim,
2
sen
α
2
2
+ cos
α
2
= 1 ⇔ sen
2
α
2
α
1 + cos(α)
+
=±
= 1 ⇔ sen
2
2
r
1 − cos(α)
2
2
1.24 Teorema. Seja α 6= k π, k ∈ Z, um ângulo. Então,
tg
α
2
Ê
=
±
1 − cos(α)
1 + cos(α)
Prova: Vimos que a tangente de um ângulo pode ser obtida pela razão entre o seno e o cosseno deste
ângulo. Portanto,
tg
α
2
α
r
1 − cos(α)
Ê
1 − cos(α)
2
2
=
α = r 1 + cos(α) = ± 1 + cos(α)
cos
±
2
2
sen
±
2
Exemplo 1.24. Calcular sen(22◦ 30′ ).
45◦
, podemos escrever que
2
√
2
√
 ◦‹
1−
2− 2
1 − cos 45◦
2
◦ ′
2 45
2
=
=
.
=
sen (22 30 ) = sen
2
2
2
4
Solução: Observando-se que 22◦ 30′ =
r
Logo, sen(22◦ 30′ ) = +
È
√
√
2− 2
2− 2
=
.
4
2
45
1.6.4
Fórmulas de Transformações da Adição em Produto
Transformar somas ou diferenças de senos ou de cossenos em produtos de funções trigonométricas
torna-se, por vezes, interessante. Para tal, definiremos a mudança de variáveis, invertível, T :
(
T =
p =α+β
q =α−β
Daqui resulta, ainda, a transformação inversa, T ′ :
8
p+q
< α=
2
T′ =
: β = p−q
2
Aplicando agora a transformação T ′ :
sen(α) + sen(β)
p
q
q
+ sen
−
2 2 2 2 p
p p q q p q
q
= sen
· cos
+ sen
· cos
+ sen
· cos
− sen
· cos
2 2 2
2
2
2
2
2
p
q
= 2 · sen
· cos
2
2
= sen
p
+
Da aplicação da transformação T resulta:

α+β
sen(α) + sen(β) = 2 · sen
2
‹

α−β
· cos
2
‹
Para calcular sen(α) − sen(β), usa-se a paridade da função seno e substitui-se − sen(β) por sen(−β).
Logo,

sen(α) − sen(β) = 2 · sen
α−β
2
‹

· cos
α+β
2
‹
O mesmo raciocínio é utilizado para se calcular cos(α) + cos(β) e cos(α) − cos(β), bem como para outras
relações entre as funções, como o produto de funções, por exemplo.
Podemos, portanto, enunciar os seguintes resultados:
1.25 Teorema. Sejam α e β dois ângulos quaisquer. Então,

sen(α) ± sen(β)
=
cos(α) + cos(β)
=
cos(α) − cos(β)
=
‹

‹
α±β
α∓β
· cos
2
2

‹

‹
α+β
α−β
2 · cos
· cos
2
2

‹

‹
α+β
α−β
−2 · sen
· sen
2
2
2 · sen
Exemplo 1.25. Calcule sen(75◦ ) + sen(15◦ ).
Solução:

sen(75◦ ) + sen(15◦ ) = 2 sen
‹

75◦ + 15◦
75◦ − 15◦
cos
2
2
‹
= 2 sen(45◦ ) cos(30◦ ) = 2 ·
√
√
3
6
2
·
=
.
2
2
2
√
Exemplo 1.26. Sabendo-se que sen(x ) = a, com 0 < x < π/2, determine:
(a) sen(3x ) − sen(x )
46
(b) cos(x ) + cos(3x )
(c) cos(5x ) − cos(3x )
Fundamentos da Matemática III
Solução:
(a) sen(3x ) − sen(x )
=
=
=
=
=
(b) cos(x ) + cos(3x )

‹

3x − x
3x + x
· cos
2 · sen
2
2
2 · sen(x ) · cos(2x )
‹

2 · sen(x ) · (1 − 2 sen2 (x ))
= 2 · cos(2x ) · cos(x )
2

‹
È
= 2 · (1 − 2 sen2 (x )) · 1 − sen2 (x )
√
= 2 · (1 − 2a2 ) · 1 − a2 .
2a(1 − 2a )
2a − 4a 3 .
(c) cos(5x ) − cos(3x )
‹
x + 3x
x − 3x
= 2 · cos
· cos
2
2
= 2 · cos(2x ) · cos(−x )

‹

5x + 3x
5x − 3x
· sen
2
2
= −2 · sen(4x ) · sen(x )
‹
= −2 · sen
= −2 · sen(2 · 2x ) · sen(x )
= −2 · 2 · sen(2x ) · cos(2x ) · sen(x )
= −4 · 2 · sen(x ) · cos(x ) · (1 − 2 sen2 (x )) · sen(x )
= −8 · sen2 (x ) · (1 − 2 sen2 (x )) · cos(x )
√
= −8 · a2 · (1 − 2a2 ) · 1 − a2 .
Os resultados obtidos nesta seção estão resumidos na seguinte tabela:
Fórmulas de Adição
Fórmulas de Subtração
sen(α + β) = sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β)
sen(α − β) = sen(α) · cos(β) − sen(β) · cos(α)
Fórmulas de Duplicação
Fórmulas de Bissecção
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sen(α) · sen(β)
tg(α) + tg(β)
tg(α + β) =
1 − tg(α) · tg(β)
sen(2α) = 2 · sen(α) · cos(α)
cos(2α) = cos2 (α) − sen2 (α)
tg(2α) =
2 · tg(α)
1 − tg2 (α)
cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sen(α) · sen(β)
tg(α) − tg(β)
tg(α − β) =
1 + tg(α) · tg(β)
r
1 − cos(α)
2
r
1 + cos(α)
cos(α/2) = ±
2
Ê
1 − cos(α)
tg(α/2) = ±
1 + cos(α)
sen(α/2) = ±
Fórmulas de Transformação

‹

‹

‹
α+β
α−β
α−β
α+β
sen(α) + sen(β) = 2 · sen
· cos
sen(α) − sen(β) = 2 · sen
· cos
 2 ‹
 2 ‹
 2 ‹
 2 ‹
α+β
α−β
α+β
α−β
cos(α) + cos(β) = 2 · cos
· cos
cos(α) − cos(β) = 2 · sen
· sen
2
2
2
2
sen(α + β)
sen(α − β)
tg(α) + tg(β) =
tg(α) − tg(β) =
cos(α) · cos(β)
cos(α) · cos(β)

1.6.5
‹
Exercícios Propostos
1.47. Verifique que a igualdade abaixo vale para todo valor de x 6= 2nπ ± π/2, em que n é um número
inteiro qualquer. Tais igualdades são chamadas identidades trigonométricas.
cos2 (x ) − sen2 (x ) =
1.48. Sabendo que sen(x ) +
1 − tg2 (x )
.
1 + tg2 (x )
√
3 cos(x ) = 2 e que x é um arco cuja extremidade cai no 1◦ quadrante,
determine sen(x ) e cos(x ).
47
1.49. Verifique a identidade:
1 + tg
1 − tg
x x2 = tg
x
2
+
π
.
4
2
1.50. Verifique a identidade: sec2 (x ) + cossec2 (x ) = sec2 (x ) · cossec2 (x ).
1.51. Verifique que cos2 (x ) − sen2 (x ) =
1 − tg2 (x )
, para todo valor de x 6= 2k π ± π/2, onde k é um número
1 + tg2 (x )
inteiro qualquer.
1.52. Calcular o seno, o cosseno e a tangente de 105◦.
1.53. Demonstre as identidades:
1. sen(a + b ) · sen(a − b ) = cos2 (b ) − cos2 (a)
2. cos2 (a + b ) + cos2 (b ) − 2 · cos(a + b ) · cos(a) · cos(b ) = sen2 (a)
1.7
Funções Trigonométricas Inversas
Uma função f está devidamente caracterizada quando temos expresso quem é o seu domínio, contradomínio e a lei de correspondência y = f (x ). Quando uma dada relação entre números reais y = f (x ) é
dita uma função, fica subentendido que o domínio D desta é o maior subconjunto de R que a define como
tal. Se dada uma função y = f (x ), alterarmos seu domínio para um subconjunto D ′ de D , dizemos que
esta função está restrita a D ′ e a denotamos por f |D ′ . Por um abuso de notação, utiliza-se f tanto para a
função original quanto para sua restrição.
Vimos na disciplina Fundamentos de Matemática Elementar II que a relação f −1 (y ) = x é função se
f é uma função bijetora. Notoriamente, a classe das funções trigonométricas não é bijetora. Neste caso,
para determinar cada elemento que compõe a classe das funções trigonométricas inversas trabalharemos
com a classe das funções resultante de restrições impostas a cada função trigonométrica.
Devido à periodicidade das funções trigonométricas, existem muitos intervalos nos quais cada restrição
a um destes define uma outra função bijetora. No entanto, usualmente é escolhido um intervalo de comprimento máximo no qual o elemento zero é o ponto médio dos extremos deste ou é o extremo inferior.
1.7.1
Arco Cosseno
y
1
A função f : R → R definida
por f (x ) = cos(x ) é não bijetora.
Isto é facilmente constatado pelo
seu gráfico.
0
−π
2
π
2
−1
Pelo que foi dito anteriormente, a inversa da função cosseno será
obtida de uma restrição de f tal que ela seja bijetora. Por convenção,
utiliza-se o intervalo [0; π] como o novo domínio, e, para que a função
seja sobrejetora, tomamos como contradomínio o conjunto dos valores permitidos para o argumento de f , ou seja, o intervalo [−1; 1].
48
π
3π
2
2π
x
y
1
π
0
−1
π
2
x
Fundamentos da Matemática III
Desta forma, a função inversa do cosseno f −1 (x ) = arccos(x ) pode ser estabelecida e, por definição de
função inversa, tem-se para esta função que o domínio é [−1; 1] e o contradomínio é [0; π].
y
π
1.26 Definição. Definimos a função arco cosseno y = arccos(x ) à
função que associa cada número real do intervalo [−1, 1] ao ângulo
π
2
y , 0 ≤ y ≤ π. Simbolicamente,
arccos : [−1, 1] → [0; π]
x
1.7.2
7→ arccos(x ) = y
−1
0
1 x
3π
2
2π
Arco Seno
y
1
Podemos facilmente verificar
que a função f : R → R definida
por f (x ) = sen(x ) não é bijetora
0
−π
2
através do seu gráfico.
π
π
2
−1
y
1
A inversa da função seno é obtida se restringirmos f (x ) = sen(x )
de tal modo que ela seja bijetora. Por convenção, utiliza-se o inter-
− π2
valo [−π/2; π/2] como o novo domínio, e, para que a função seja
x
0
sobrejetora, tomamos como contradomínio o conjunto dos valores
π
2
x
−1
permitidos para o argumento de f , ou seja, o intervalo [−1; 1].
Desta forma, a função inversa do seno f −1 (x ) = arcsen(x ) pode ser estabelecida e, por definição de função
inversa, tem-se para esta função que o domínio é [−1; 1] e o contradomínio é [−π/2; π/2].
y
1.27 Definição. Definimos a função arco seno y = arcsen(x ) à
π
2
função que associa cada número real do intervalo [−1, 1] ao ângulo
−1
y , −π/2 ≤ y ≤ π/2. Simbolicamente
x
1.7.3
1 x
0
arcsen : [−1, 1] → [−π/2; π/2]
7→ arcsen(x ) = y
− π2
Arco Tangente
Podemos facilmente verificar que a
y
função
f : {x ∈ R; x 6= π/2 + k π, k ∈ Z} → R
definida por f (x ) = tg(x ) não é bijetora
−2π − 3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
2π x
através do seu gráfico.
A inversa da função tangente é obtida se restringirmos
y
f (x ) = tg(x ) de tal modo que ela seja bijetora. Por convenção, utiliza-se
o intervalo ] − π/2; π/2[ como domínio, e, para que a função seja sobrejetora, tomamos como contradomínio o conjunto dos valores permitidos
−π
2
0
π
2
x
para o argumento de f , ou seja, o conjunto dos números reais.
Desta forma, a função inversa da tangente f −1 (x ) = arctg(x ) pode ser estabelecida e, por definição de
49
função inversa, tem-se para esta função que o domínio é R e o contradomínio é ] − π/2; π/2[. Note que os
extremos do intervalo, −π/2 e π/2, são excluídos, pois, nesses pontos, a tangente não está definida.
y
1.28 Definição. Definimos a função arco tangente y = arctg(x ) à
π
2
função que associa cada número real ao ângulo y , −π/2 < y < π/2.
Simbolicamente
arctg : R
x
1.7.4
→
7→
] − π/2; π/2[
0
x
π
2π
x
arctg(x ) = y
− π2
Arco Cotangente
Podemos facilmente verificar através do
y
seu gráfico que a função
f : {x ∈ R; x 6= k π, k ∈ Z} → R
−2π
− 3π
2
−π
−π
2
0
π
2
3π
2
definida por f (x ) = cotg(x ) não é bijetora.
A inversa da função cotangente é obtida se restringirmos
y
f (x ) = cotg(x ) de tal modo que ela seja bijetora. Por convenção, utilizase o intervalo ]0; π[ como domínio, e, para que a função seja sobrejetora,
tomamos como contradomínio o conjunto dos valores permitidos para o
0
π
2
π
x
argumento de f , ou seja, o conjunto dos números reais.
Desta forma, a função inversa da cotangente f −1 (x ) = arccotg(x ) pode ser estabelecida e, por definição
de função inversa, tem-se para esta função que o domínio é R e o contradomínio é ]0; π[. Note que os
extremos do intervalo, 0 e π, são excluídos, pois, nesses pontos, a cotangente não está definida.
y
1.29 Definição. Definimos a função arco cotangente y = arccotg(x )
π
à função que associa cada número real ao ângulo y , 0 < y < π.
Simbolicamente,
π
2
arccotg : R
x
1.7.5
→ ]0; π[
7→ arccotg(x ) = y
0
x
Exercícios Propostos
1.54. Prove que:
 ‹
1.8
1
x

‹

‹
1
x
= arcsen √
, (x > 0)
1 + x2
1 + x2
‚√
Œ

‹
√
1 − x2
x
2
= arctg √
, (0 < x < 1)
(b) arccos(x ) = arcsen( 1 − x ) = arctg
x
1 − x2
(a) arctg(x ) = arccotg
= arccos √
Equações Trigonométricas
Uma grande parte das equações trigonométricas são ou ficam reduzidas a uma das seguintes equações
fundamentais:
50
Fundamentos da Matemática III
1. cos(α) = cos(β)
2. sen(α) = sen(β)
3. tg(α) = tg(β)
1.30 Teorema. Dados dois números reais α e β, o conjunto solução da equação cos(α) = cos(β) é
{α ∈ R; α = β + 2k π ou α = −β + 2k π, k ∈ Z}.
Prova: cos(α)
= cos(β)
éequivalente
a cos(α) − cos(β) = 0. Transformando essa diferença em produto,

‹
‹
α+β
α−β
temos −2 sen
· sen
= 0. Esse produto só é zero se pelo menos um dos seus fatores for
2
2
‹

‹
α+β
α−β
= 0 ou sen
= 0. O seno de um ângulo só é nulo se este for igual a
zero, ou seja, sen
2
2
α+β
α−β
π ou um múltiplo deste. Portanto,
= k π ou
= k π, com k ∈ Z. Segue que α = β + 2k π ou
2
2
α = −β + 2k π.
2
Exemplo 1.27. Resolva as seguintes equações:
√
(b) cos(5x ) = − 32
(a) cos(x ) = cos(π/8)
Solução:
(a) cos(x ) = cos(π/8). Façamos α = x e β = π/8. Portanto,
8
>
<
>
:
x
=
π/8 + 2k π
ou
x
=
−π/8 + 2k π
k ∈Z
O conjunto solução é dado por
{x ∈ R; x = π/8 + 2k π ou x = −π/8 + 2k π, k ∈ Z}.
π
√
π
(b) cos(5x ) = − 32 ⇒ cos(5x ) = cos 5 . Façamos α = 5x e β = 5 . Portanto,
6
6
8
π
5x = 5 + 2k π
>
<
6
ou
k ∈Z
>
π
:
5x = −5 + 2k π
6
Dividindo-se ambos os membros de cada uma das equações por 5, temos
8
π
π
x =
+ 2k
>
<
6
5
ou
k∈Z
>
π
π
:
x = − + 2k
6
5
Uma simplificação do conjunto solução possivelmente é feita quando marcamos na circunferência
trigonométrica o conjunto de pontos que cada uma das equações determina.
π
17 30
Considere a primeira das equações
x=
π
π
+ 2k , k ∈ Z,
6
5
e a reduzamos ao mesmo denominador. Assim,
x =5
π
5 30
π
29 30
x
π
π
+ 12k , k ∈ Z.
30
30
Esta equação determina o conjunto de pontos expresso na figura
ao lado.
y
π
53 30
π
41 30
51
π
19 30
y
A segunda equação
x =−
π
7 30
π
π
+ 2k , k ∈ Z,
6
5
quando reduzida ao mesmo denominador é escrita, de forma
equivalente, como sendo
x = −5
π
31 30
x
π
π
+ 12k , k ∈ Z.
30
30
π
−5 30
Esta equação determina o conjunto de pontos expresso na figura
π
43 30
ao lado.
y
Marcando-se o conjunto de pontos determinados pelas duas
equações numa mesma circunferência trigonométrica, podemos
verificar que estes não estão igualmente espaçados (ver figura ao
lado) e, portanto, as equações não podem ser reduzidas a uma
x
equação somente.
Logo, o conjunto solução é dado por
{x ∈ R; x =
π
π
π
π
+ 2k ou x = − + 2k , k ∈ Z}.
6
5
6
5
Pode-se provar, de forma análoga, os seguintes teoremas:
1.31 Teorema. Dados dois números reais α e β, o conjunto solução da equação sen(α) = sen(β) é
{α ∈ R; α = β + 2k π ou α = π − β + 2k π, k ∈ Z}.
1.32 Teorema. Dados dois números reais α e β, o conjunto solução da equação tg(α) = tg(β) é
{α ∈ R; α = π + β + 2k π, k ∈ Z}.
1.9
Gabarito
3π
5π
. (b) 120◦ . (c)
. (d) 11◦ 15′ . . 1.4 90◦ . . 1.5 504◦ . . 1.6 (a) 1◦ Q (b) 4◦ Q (c) 2◦ Q (d) 3◦ Q
2
24
π
13π
. 1.7 . 1.8 {150◦ + k · 360◦ : k ∈ {1, 2, 3}} . 1.9
+ 2k π, k ∈ Z e
+ 2k π, k ∈ Z . 1.10 8 voltas, 2◦ quadrante. . 1.11
6
36
√
√
2 2
2+ 3
π
2 rad. . 1.12 5. . 1.13 a = 5 cm e b = 10 cm. . 1.14 11, 42 cm e 8, 14 cm . 1.15 3 . . 1.16
2 . .
√
1
3
1
1
1.17 −4. . 1.18 3 − 2. . 1.19 (a) 1 (b) cos(750◦ ) (c) (d) cos(25π/3) . 1.21 (a) ≤ m ≤ . (b) 4. (c) . (d) 2 ≤ m ≤ 5. . 1.22
2
5
5
2
√
2π
π
5π
π
+ 2k π ou x =
+ 2k π, k ∈ Z. (b) x =
+ 2k π ou x =
+ 2k π, k ∈ Z. . 1.23 . 1.24 . 1.25 (a) 1. (b) − 3. (c)
(a) x =
3
3
3
√
√
√
√
√
√3
√
√
√
√
3
3
3
− 3
3
3
. . 1.26 (a)
. (b) 3 − 2. . 1.27 1 + 3. . 1.28 (a) 1. (b)
. (c)
. . 1.29 (a)
. (b) 3. (c) −
. . 1.30 (a) 2.
3 √
3
3
3
3
√ 3
√
√
2 3
2 3
. (c)
. . 1.31 m = −7 3. . 1.32 m = 2 2 − 1. . 1.33 m = −1. . 1.34 . 1.35 . 1.36 m = 1. . 1.37 . 1.38 .
(b)
3
3
?? . 1.40 0 < x < π2 e π < x < 3π
1.41 . 1.42 (a) 3◦ quadrante. (b) 2◦ quadrante. (c) 1◦ quadrante. . 1.43 (a) ∄. (b) 135◦
2 . .
1
e 225◦ . (c) 135◦ e 315◦ . (d) ∄. . 1.44 . 1.45 30◦ < x < 120◦ . . 1.46 (a) −1. (b) −1. (c) − tg(x ). . 1.47 . 1.48 sen(x ) =
e
2
√
√
√
√
√
√
3
2(1− 3)
2(1+ 3)
,
e −2 − 3, respectivamente. . 1.53 . 1.54 .
cos(x ) =
. . 1.49 . 1.50 . 1.51 . 1.52
4
4
2
1.1 942 m. .
52
1.2 5 m. .
1.3 (a)
Fundamentos da Matemática III
Números Complexos
Números Complexos
2.1
O que existe além dos números reais?
Gerônimo Cardano (1.501 − 1.576), médico e matemático italiano, publicou em 1545 em sua obra Ars
magna a resolução de equações do tipo x 3 +px +q = 0. Essa resolução, relata Cardano, lhe foi apresentada
por Nicolo Tartáglia (cerca de 1.500 − 1.557).
O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u − v , tal que o produto uv seja
um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método,
deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram admitidas. Vamos
percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte
equação
x 3 − 6x + 4 = 0.
Façamos x = u − v e uv = −2, pois −2 é igual a um terço do coeficiente de x . Assim, temos
(u − v )3 − 6(u − v ) + 4 =
u 3 − 3u 2 v + 3uv 2 − v 3 − 6u + 6v + 4 =
0
u − 3u (uv ) + 3v (uv ) − v − 6u + 6v + 4 =
0
3
3
u 3 − 3u (−2) + 3v (−2) − v 3 − 6u + 6v + 4 =
0
u 3 + 6u − 6v − v 3 − 6u + 6v + 4 =
0
u −v +4 =
0.
3
Logo, chegamos a
0
3
8
< uv = −2 ⇒ v = − 2
u
: u3 − v 3 + 4 = 0
(I )
(I I )
Substituindo (I ) em (I I ), obtemos

u3 − −
2
u
‹3
+4
8
+4
u3
6
3
u + 4u + 8
u3 +
= 0
= 0
= 0
Para resolver essa equação basta fazer u 3 = t , então
t 2 + 4t + 8 =
∆ =
0
42 − 4 · 1 · 8 = −16
53
Nesse momento, Cardano concluiu que como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que
não existe u e, conseqüentemente, não existe v . Porém, espantosamente, ele verificou que o número real
2 é raiz da equação x 3 − 6x + 4 = 0, pois, 23 − 6 · 2 + 4 = 0. Essa constatação levou Cardano a considerar
√
a existência de novos números, como, por exemplo, −16.
Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli (cerca de 1.526 − 1.573) teve
o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números
negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade
2+
√
√
−1 + 2 − −1 = 4,
dando, assim, subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.
2.2
Introdução aos Números Complexos
Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa
o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto
dos números racionais, a equação 2x + 7 = 0, terá uma única solução dada por:
7
x =− .
2
Assim, o conjunto solução será:
§
S= −
ª
7
.
2
No entanto, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o
conjunto vazio, isto é:
S = ∅.
Analogamente, se tentarmos obter o conjunto solução para a equação x 2 + 1 = 0 sobre o conjunto dos
números reais, teremos como resposta o conjunto vazio. O que significa que não existe um número real que
elevado ao quadrado seja igual a −1, mas, se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos
comuns, obteremos:
x=
√
−1
√
−1 é a raiz quadrada do número real −1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta
√
razão que este número foi chamado imaginário, mas, o simples fato de substituir −1 pela letra i (unidade
em que
imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de
situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático, de grande utilidade, e isto nos leva à
teoria dos números complexos.
2.3
Definição de Número Complexo
Um número é complexo quando é escrito na forma
z = a + bi (forma algébrica do número complexo)
54
Fundamentos da Matemática III
em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número
complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z , denotadas por:
a = Re(z ) e b = Im(z ).
Exemplos de tais números são apresentados na tabela.
Número complexo
2 + 3i
Parte real
2
Parte imaginária
3
2 − 3i
2
3i
2
2
0
−3
0
3
−3i
0
0
0
−3
0
Um número como 3i , com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como 2,
pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Nota 9.
Números Complexos:
a + bi , i 2 = −1, a ∈ R, b ∈ R∗
b=0
Números Reais:
Números Imaginários Puros:
a=0
Exemplo 2.1. Dado o número z = x + (x 2 − 4)i , determine qual o valor de x para que z seja um número
real.
Solução: Suponhamos que z seja número real. Então a parte imaginária de z tem que ser nula, isto
é, x 2 − 4 = 0. Resolvendo a equação anterior, temos que x 2 = 4, ou seja, x = −2 ou x = 2. Logo, z = −2
ou z = 2.
Nota 10. O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto
dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número
complexo da forma z = x + y i , em que y = 0, então assumiremos que o conjunto dos números
reais está contido no conjunto dos números complexos.
2.3.1
Algumas Definições Importantes
Igualdade entre dois Complexos
Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di , definimos a igualdade entre z e w , escrevendo
z = w ⇔ a = c e b = d.
Para que os números complexos z = 2 + y i e w = c + 3i sejam iguais, deveremos ter que c = 2 e y = 3.
Exemplo 2.2. Determine os valores reais de m e n de modo que se tenha 2(m − n) + i (m + n) − i = 0.
Solução: Temos que 2(m − n) = 0 e m + n − 1 = 0, ou seja, m − n = 0 e m + n = 1. Somando estas
1
1
duas equações temos que 2m = 1 ou m = . Como m − n = 0, isto é, m = n, então n = .
2
2
Oposto de um Número Complexo
O oposto do número complexo z = a + bi é o número complexo denotado por −z = −(a + bi ), isto é:
−z = oposto(a + bi ) = (−a) + (−b )i .
55
O oposto de z = −2 + 3i é o número complexo −z = 2 − 3i .
Exemplo 2.3.
1. O oposto de z = −1 + 3i é −z = −(−1 + 3i ) = 1 − 3i .
2. O oposto de z = 2 − 5i é z = −(2 + 5i ) = −2 − 5i .
3. O oposto de z = 5i é z = −(−5i ).
4. O oposto de z = 4 é z = −4.
Conjugado de um Número Complexo
O número complexo conjugado de z = a + bi é o número complexo denotado por z = a − bi , isto é:
z = conjungado(a + bi ) = a − bi .
O conjugado de z = 2 − 3i é o número complexo z = 2 + 3i .
Exemplo 2.4.
1. O conjugado de z = −1 + 3i é z = −1 − 3i .
2. O conjugado de z = 2 − 5i é z = 2 + 5i .
3. O conjugado de z = 5i é z = −5i .
4. O conjugado de z = 4 é z = 4.
2.3.2
Exercícios Propostos
2.1. Resolva a equação x 2 − 4x + 5 = 0 no campo complexo.
2.2. Diga qual é a parte real e a parte imaginária de cada complexo a seguir:
(a) z = −3 + 5i .
(b) z = −2i .
(c) z = −1.
2.3. Resolva, no campo complexo, a equação x 2 − 6x + 13 = 0.
2.4. Resolva, no campo complexo, a equação x 2 − 4x + 5 = 0.
2.5. Diga qual é o produto da parte real pela parte imaginária do complexo (−3 + 5i ) · (−2i ):
2.6. Calcule o valor de k para que z = k + 1 + (k 2 − 1)i seja:
(a) imaginário
(b) imaginário puro
(c) real
2.7. Calcule os valores de x e y para que os números x + 2i e −3 + y i sejam iguais.
2.8. Resolva, no campo complexo, a equação x 2 − 6x + 13 = 0.
2.9. Dê o conjugado de cada número complexo abaixo:
(a) z = 4 − 6i
(b) z = −4i
(c) z =
2.10. Determine x e y de modo que −2 + 5i = x + y i .
2.11. Determine x e y de modo que 3x 2 + 12x + (y 2 − 2x )i = −9 + 3i .
56
−1
2
Fundamentos da Matemática III
2.4
Operações com Números Complexos
Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di , podemos definir duas operações fundamentais,
a adição e o produto, que agem sobre eles da seguinte forma:
• z + w = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i
• z · w = (a + bi ) · (c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc )i
Nota 11. Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes
imaginárias.
Exemplo 2.5. Se z = 2 + 3i e w = 4 − 6i , então z + w = (2 + 3i ) + (4 − 6i ) = 6 − 3i .
Nota 12. Multiplicamos dois números complexos aplicando a propriedade de distributiva,
usando o fato de que i 2 = −1.
Exemplo 2.6. Calcule (a) (5 + 7i ) · (3 − 2i ) e (b) (2 + 3i ) · (4 − 6i ).
Solução: (a) (5 + 7i ) · (3 − 2i ) = 15 − 10i + 21i − 14i 2 = 15 + 11i + 14 = 29 + 11i .
(b) (2 + 3i ) · (4 − 6i ) = 2 · 4 − 2 · 6i + 3i · 4 − 3i · 6i = −4 + 0i .
Exemplo 2.7. Qual é o valor de m, real, para que o produto (2 + mi ) · (3 + i ) seja um imaginário puro?
Solução: Temos que:
(2 + mi ) · (3 + i ) = 6 + 2i + 3mi + mi 2 = 6 + (2 + 3m)i − m = 6 − m + (2 + 3m)i .
Como queremos que produto seja um imaginário puro, temos que 6 − m = 0, ou seja, m = 6.
2.4.1
A Subtração entre Números Complexos
A subtração entre os números complexos z e w é definida como o número complexo obtido pela adição
entre z e −w , isto é,
z − w = z + (−w ).
Nota 13. Para subtrairmos dois números complexos z e w , subtraímos as partes reais e as
partes imaginárias de z e de w , respectivamente.
Exemplo 2.8. Calcule a diferença entre os números z = 2 + 3i e w = 5 + 12i .
Solução: A diferença entre os complexos z = 2 + 3i e w = 5 + 12i é
z − w = (2 + 3i ) − (5 + 12i ) = (2 + 3i ) + (−5 − 12i ) = (2 − 5) + (3 − 12)i = −3 − 9i .
57
2.4.2
Potências da Unidade Imaginária
Temos que
i0 = 1
i 4 = i 3 · i = −i · i = −i 2 = −(−1) = 1
i1 = i
i5 = i4 · i = 1 · i = i
i 2 = −1
i 6 = i 5 · i = i · i = i 2 = −1
i 3 = i 2 · i = −1 · i = −i
Quando tomamos i =
i 7 = i 6 · i = −1 · i = −i
√
−1 temos uma série de valores muito simples para as potências de i :
Potência
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
i9
Valor
−1
−i
1
i
−1
−i
1
i
Pela tabela acima podemos observar que as potências de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem
o resultado 1; logo, toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto
que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i , apenas
conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.
2.4.3
O Inverso Multiplicativo de um Número Complexo
Dado um número complexo z = a + bi , não nulo (a ou b deve ser diferente de zero), podemos definir o
inverso deste número complexo como o número z −1 = u + v i , tal que
z · z −1 = 1.
O produto de z pelo seu inverso z −1 deve ser igual a 1, isto é,
(a + bi ) · (u + v i ) = (au − bv ) + (av + bu )i = 1 = 1 + 0 · i
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas
(
au − bv = 1
av + bu = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Crammer e possui uma única solução (pois a ou b são
diferentes de zero), fornecendo
u=
a2
a
−b
ev = 2
.
2
+b
a + b2
Assim, o inverso do número complexo z = a + bi é
z −1 =
b
a
−
i
a2 + b 2 a2 + b 2
Exemplo 2.9. Determine o inverso de z = 5 + 12i .
O inverso do número complexo z = 5 + 12i é
z −1 =
58
12
5
12
5
−
i=
−
i.
52 + 122 52 + 122
169 169
Fundamentos da Matemática III
Nota 14. Podemos obter o inverso de um número complexo através do método abaixo que será
descrito calculando o inverso de z = 5 + 12i .
1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração;
z −1 =
1
1
=
.
z
5 + 12i
2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z ;
z −1 =
1
(5 − 12i )
5 − 12i
1 · z̄
=
·
=
.
z · z̄
5 + 12i (5 − 12i )
(5 + 12i ) · (5 − 12i )
3. Lembrar que i 2 = −1 e simplificar os números complexos pela redução dos termos
semelhantes.
z −1 =
5 − 12i
.
169
Exemplo 2.10. Calcule o inverso dos números complexos z = 5 + 12i e w = −2 + 3i .
Solução:
z −1
=
=
=
=
=
=
2.4.4
1
5 + 12i
1 · (5 − 12i )
(5 + 12i ) · (5 − 12i )
5 − 12i
25 − 60i + 60i − 144i 2
5 − 12i
25 − 144 · (−1)
5 − 12i
25 + 144
5 − 12i
169
w −1
=
=
=
=
=
=
1
−2 + 3i
1 · (−2 + 3i )
(−2 + 3i ) · (−2 − 3i )
−2 + 3i
4 + 6i − 6i − 9i 2
−2 + 3i
4 − 9 · (−1)
−2 + 3i
4+9
−2 + 3i
13
A Divisão entre dois Números Complexos
A divisão entre os números complexos z = a + bi e w = c + di (w não nulo) é definida como o número
complexo obtido pelo produto entre z e w −1 , isto é,
z
= z · w −1 .
w
z
, se multiplicarmos tanto o numerw
ador quanto o denominador desta fração pelo conjugado de w .
Nota 15. Podemos encontrar, da mesma forma, o número
Exemplo 2.11. Calcule
z
, sabendo-se que z = 2 + 3i e w = 5 + 12i .
w
Solução: Para encontrarmos o número complexo resultado da divisão z = 2 + 3i por w = 5 + 12i ,
z
pelo conjugado de w . Assim,
w
multipliquemos o numerador e também o denominador da fração
z
2 + 3i
=
= (2 + 3i ) ·
w
5 + 12i

‹
5
12i
.
−
169 169
59
Exemplo 2.12. Escrever
1 + 2i
2 + 3i
e
na forma x + y i .
3 − 4i 5 + 12i
Solução: Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para obter um
número real no denominador.
1 + 2i
3 − 4i
=
=
=
=
=
=
=
2.4.5
(1 + 2i ) · (3 + 4i )
(3 − 4i ) · (3 + 4i )
3 + 4i + 6i + 8i 2
9 + 12i − 12i − 16i 2
3 + 10i + 8 · (−1)
9 − 16 · (−1)
3 + 10i − 8
9 + 16
−5 + 10i
25
−5 10i
+
25
25
−1 2i
+
5
5
2 + 3i
5 + 12i
(2 + 3i ) · (5 − 12i )
(5 + 12i ) · (5 − 12i )
10 − 24i + 15i − 36i 2
25 − 60i + 60i − 144i 2
3 − 9i − 36 · (−1)
25 − 144 · (−1)
3 − 9i + 36
25 + 144
39 − 9i
169
=
=
=
=
=
Exercícios Propostos
2.12. Dados os números complexos z1 = 2 + 3i e z2 = 1 + 2i , calcular
(a)z1 + z2 .
(b)z1 · z2 .
2.13. Dado o número complexo z = 3 − 5i , calcular
(a) z 2 .
(b) −1 · z .
(c) i · z .
(b) (5 − 4i ) − (2 + i )
(c) (2 +
2.14. Calcule:
(a) (2 + 3i ) + (−1 − 2i )
√
√
2i ) · (1 − 2i )
2.15. Calcule z ∈ C de modo que z + 2 · z = 3 + 2i .
2.16. Determine o complexo z sabendo que 3z 2 = 9 + 12i .
2.17. Sendo z = 2 − 5i , mostre que z + z = 2 Re(z ) e z − z = Im(z ).
2.18. Dizemos que um número complexo x + y i (x ∈ R, y ∈ R) é um imaginário puro se a sua parte real
x é zero e sua parte imaginária y não é zero. Mostre que efetuando-se o produto (1 − i ) · (2 − i ) · (3 − i )
obtém-se um imaginário puro.
2.19. Mostre que i (1 −
√
√
2i ) · ( 2 − i ) é um número real.
2.20. Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di com {a, b , c , d } ⊂ R,dar a condição sobre
{a, b , c , d } para que o produto z1 · z2 seja
(a) real
(b) imaginário puro
2.21. Calcule:
(a)
60
3 + 2i
4i
(b)
4 − 3i
2+i
(c)
2
−1 + i
Fundamentos da Matemática III
2.22. Determine o inverso do número complexo z = 2 + i .
5i
√ .
2.23. Calcule x e y de modo que x + y i = √
2+i 3
2.24. Sendo z =
4
3
5
+
−
, calcule z 2 · z .
1−i
1+i
1−i
2.25. Obter na forma algébrica o número complexo z =
11−2i
2+i
2.26. Mostrar que o conjugado do produto de dois números complexos é o produto dos conjugados destes
números
z1 · z2 = z1 · z2 .
2.5
Representação Geométrica de um Número Complexo
O texto a seguir mostra uma reflexão de Carl Friedrich Gauss, quando estudava aplicações dos números
complexos.
“Durante este outono, preocupei-me largamente com a consideração geral das superfícies curvas, o que conduz a um campo ilimitado (. . . ). Essas pesquisas ligam-se profundamente a
muitos outros assuntos, inclusive – como me sinto tentado a dizer — com a metafísica da
geometria, e não é sem ingentes esforços que consigo me lançar às conseqüências que daí
advém, qual seja, por exemplo, a verdadeira metafísica das grandezas negativas e imaginárias.
√
Em tais ocasiões, sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, o verdadeiro sentido de −1,
mas creio que será extraordinariamente difícil expressá-lo com palavras.”
Um número complexo da forma z = a + bi pode ser representado geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se
a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo z no eixo OX e
a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY , sendo
b
α
que o número complexo 0 = 0 + 0i é representado pela própria origem (0, 0) do
sistema. O ponto z = (a, b ) é chamado afixo do número complexo z .
2.5.1
z
ρ
0
a
Módulo de um Número Complexo
No gráfico anterior temos um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa correspondente a distância
entre a origem 0 e o afixo número complexo z , normalmente denotada pela letra grega ρ. O cateto adjacente ao ângulo α tem comprimento igual à parte real a e o cateto oposto ao ângulo α tem comprimento
igual à parte imaginária b do número complexo z . Desse modo, se z = a + bi é um número complexo,
então,
ρ2 = a 2 + b 2
e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z , denotado por |z |, isto é,
z=
p
a2 + b 2 .
61
2.5.2
Argumento de um Número Complexo
O ângulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX , aqui representada pela letra grega α, é denominado o argumento do número complexo z . Pelas definições da trigonometria temos as três relações
cos(α) =
Nota 16.
a
b
b
, sen(α) = e tg(α) = .
ρ
ρ
a
Ao pensar um número complexo z = a + bi
como um vetor z = (a, b ) no plano cartesiano, a multipli-
w
cação de um número complexo z = a + bi pela unidade
imaginária i , resulta em um outro número complexo w =
z
−b + ai . Este último, também pensado como vetor, forma
um ângulo reto (90◦ graus) com z = (a, b ).
De fato,
(a, b ) · (−b , a) = 0.
2.6
Forma Polar de um Número Complexo
Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever
z = a + bi = ρ · cos(α) + ρ · sen(α) · i
e assim temos a forma polar do número complexo z
z = ρ · [cos(α) + i sen(α)].
2.6.1
Exercícios Propostos
2.27. Represente, no plano de Gauss, os seguintes números complexos:
(a) z = 2 + 9i
(c) z = 5i
(e) z = 6 − 5i
(b) z = 6
(d) z = −1 + 3i
(f) z = 2 − i
2.28. Represente graficamente os números complexos z que satisfazem a condição |z + 2 − 3i | = 1.
2.29. Calcule o módulo e o argumento dos seguintes números complexos:
(a) z = 4
(b) z = −3 − 3i
(c) z = 3i
2.30. Determine o módulo de z , sabendo que 3z + 2 = z − 2i .
2.7
2.7.1
Operações na Forma Polar
Multiplicação de Números Complexos na Forma Polar
Consideremos os números complexos z = ρ(cos(α) + i sen(α)) e w = σ(cos(β) + i sen(β)), em que,
respectivamente, ρ e σ são os módulos α e β são os argumentos destes números complexos.
62
Fundamentos da Matemática III
Podemos realizar o produto entre estes números da forma usual e depois reescrever este produto na
forma
z · w = ρ · σ[cos(α + β) + i sen(α + β)].
Este fato é garantido pelas relações
cos(α + β)
sen(α + β)
2.7.2
= cos(α) · cos(β) − sen(α) · sen(β)
= sen(α) · cos(β) + sen(α) · cos(β)
Potência de um Número Complexo na Forma Polar
Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como
z = ρ · [cos(α) + sen(α)], então
z k = ρk · [cos(k · α) + i sen(k · α)].
Exemplo 2.13. Calcule (1 + i )16
Solução: Consideremos o número complexo z = 1 + i , cujo módulo é igual à raiz quadrada de 2
√
(|z | = 2) e o argumento é igual a 1/4 de volta (π/4 ou 45◦ ). Para elevar este número à potência 16, basta
escrever
√
z 16 = ( 2)1 6[cos(720◦ ) + i sen(720◦ )] = 28 [cos(0) + i sen(0)] = 256.
2.7.3
Raízes de um Número Complexo
Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a
raiz de ordem n de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa
resolver uma equação algébrica do n-ésimo grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número −16,
basta encontrar as quatro raízes da equação algébrica x 4 + 16 = 0.
Antes de prosseguir em nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w ,
necessitamos, antes de tudo, saber o seu módulo ρ e o seu argumento θ, o que significa poder escrever
w = ρ(cos(θ) + i sen(θ)).
O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este
número complexo w em um círculo de raio ρ e observar o argumento θ, dado pelo ângulo entre o eixo OX e o número com-
w
ρ
plexo w .
1
θ
O passo seguinte é obter um outro número complexo z cujo
módulo seja a raiz quarta de ρ e cujo argumento seja θ/4. Este
O
número complexo é a primeira das quatro raízes complexas
procuradas.
1
•
z 1 = ρ 4 cos
 ‹
θ
4
 ‹˜
+ i sen
θ
4
63
z2
√
4
r
As outras raízes serão
z2 = i · z1
z3 = i · z2
θ/4
z4 = i · z3
z3
z1
O
e todas elas aparecem no gráfico
z4
Nota 17. O processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou muito facilitado,
pois conhecemos a propriedade geométrica que o número complexo i , multiplicado por outro
número complexo, acrescenta ao argumento deste o ângulo de 90◦ e outro fator interessante é
que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos
formados entre duas raízes consecutivas é de 90◦ graus. Se os quatro números complexos
forem ligados, aparecerá um quadrado rotacionado de θ/4 radianos em relação ao eixo OX .
2.7.4
Raiz n-ésima de um Número Complexo
Antes de continuar, apresentaremos a importantíssima relação de Euler
e i θ = cos(θ) + i sen(θ)
que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2, 71828 . . ..
Nota 18. A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os
mais importantes sinais e constantes da Matemática
eiπ + 1 = 0
Voltemos agora à e i θ . Se multiplicarmos o número e i θ por
um número complexo z , o resultado será um outro número com-
z1
plexo cujo argumento está acrescido de θ radianos em relação
ao argumento do número complexo z . Por exemplo, se mulπ
tiplicarmos o número complexo z1 = ρ · e i θ por z2 = e i 8 =
t
cos π8 + i sen π8 , obteremos um número complexo z ′ cujo argumento difere do de z1 de um ângulo de medida π/8 = 22, 5◦, no
sentido anti-horário.
Iremos agora resolver a equação x n = z , onde n é um
número natural e z é um número complexo dado. Da mesma
forma que antes, podemos escrever o número complexo
z = ρ[cos(θ) + i sen(θ)]
e usar a relação de Euler, para obter
z = ρe i θ .
64
O
z
Fundamentos da Matemática III
Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo
1
iθ
z1 = ρ n e n .
Todas as outras n − 1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por
zk = zk −1 e
2i π
n
em que k varia de 2 até n.
Exemplo 2.14.
Para obter a primeira raiz da equação x 8 = −64, observa-
π
mos a posição do número complexo w = −64 + 0i , constatando
−64
que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é um ângulo raso
◦
(π radianos = 180 graus).
O
Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é π/8, então z1 pode ser escrita na
forma polar
h
z1 = 2e i π/8 = 2 · cos
π
π i
.
8
8
As outras raízes serão obtidas pela multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma
das três formas
e 2i π/8 = cos
2π
2π
+ i sen
= cos 45◦ + i sen 45◦
8
8
ou ainda pela forma simplificada
e
Assim,
h
z1
z2
z3
z4
2.7.5
= 2 · cos
π
8
2i π/8
√
2
=
(1 + i ).
2
+ i sen
π i
8
z5
=
z4 ·
z6
=
z5 ·
z7
=
z6 ·
z8
=
z7 ·
√
2
(1 + i )
2
√
2
(1 + i )
= z2 ·
2
√
2
= z3 ·
(1 + i )
2
= z1 ·
+ i sen
√
2
(1 + i )
2
√
2
(1 + i )
2
√
2
(1 + i )
2
√
2
(1 + i )
2
Exercícios Propostos
2.31. Representar o número complexo z =
√
3 − i na forma trigonométrica.
√
2.32. Obter na forma trigonométrica o produto z1 · z2 , dados z1 = (1 + i ) e z2 = ( 3 + i ).
√
√
− 2 − 2
2.33. Escreva o número complexo z =
−
i na forma polar.
2
2
2.34. Escreva o número complexo z = cos
5π
5π
+ i · sen
na forma algébrica.
4
4
65
2.35. Sabendo que
1
z = −1
3
i
i
1
1
i ,
−i 0 escreva na forma polar os seguintes números complexos:
(b) z 2
(a) z
(c) 1/z
2.36. Calcular (1 + i )4 .
2.37. Calcular a potência (1 + i )7 .
2.38. Determine o valor das seguintes potências:
(a) (2 − 2i )2
(b) (2 − 2i )6
2.39. Escreva na forma algébrica o seguinte número complexo

2.40. Sendo n ∈ N , calcule

2.41. Calcule
2 − 2i
1+i
‹4n+2
3 + 3i
3 − 3i
‹4n+2
(c) (2 − 2i )2049
4 · i 13 − i 38 + 3i
3 · i 19 − i 52
.
sabendo que n ∈ N .
2.42. Dado o complexo z = 2 + 2i , calcule z 10 .
2.43. Obter as raízes cúbicas do complexo z = 1 − i .
2.44. Determinar em C as raízes quartas de 16 e representá-las no plano complexo.
2.45. Resolver em C a equação x 4 + 3x 2 + 2 = 0.
2.8
Gabarito
Questão. 2.1 V = {2 ± i }. . Questão. 2.2 (a) Re (z ) = −3 e I m(z ) = 5 (b) Re (z ) = 0 e I m(z ) = −2 (c) Re (z ) = −1 e I m(z ) = 0
. Questão. 2.3 V = {3 ± 2i } . Questão. 2.4 V = {2 ± i } . Questão. 2.5 60. . Questão. 2.6 (a) k 6= ±1. (b) ∄. (c) k = ±1.
−1
. . Questão. 2.10
. Questão. 2.7 x = −3 e y = 2. . Questão. 2.8 . Questão. 2.9 (a) z = 4 + 6i . (b) z = 4i . (c) z =
2
x = −2 e y = −5. . Questão. 2.11 x = −1 e y = ±1. . Questão. 2.12 (a) 3 + 5i . (b) −4 + 7i . . Questão. 2.13 (a) −16 − 30i
√
(b) −3 + 5i (c) 5 + 3i . . Questão. 2.14 (a) 1 + i . (b) 3 − 5i . (c) 4 − 2i . . Questão. 2.15 z = 1 − 2i . . Questão. 2.16 2 + i
1
3
ou −2 − i . . Questão. 2.17 . Questão. 2.18 . Questão. 2.19 . Questão. 2.21 (a) − i . (b) 1 − 2i . (c) −1 − i . . Questão.
2
4
√
√
1
2
− i . . Questão. 2.23 x = 3 e y = 2. . Questão. 2.24 5 − 10i . . Questão. 2.25 z = 4 − 3i . . Questão. 2.26 .
2.22
5
5
√
√
5π
π
Questão. 2.27 . Questão. 2.28 . Questão. 2.29 (a) ρ = 4 e θ0. (b) ρ = 3 2 e θ =
. (c) ρ = 3 e θ = . . Questão. 2.30 52.
4
2
√
5π
5π
11π
5π
5π
. Questão. 2.31 z = 2(cos 11π
+ i · sen
.
6 + i sen 6 ). . Questão. 2.32 2 2(cos 12 + i sen 12 ). . Questão. 2.33 z = cos
4
4
√
”
€
Š
€
Š—
”
€
Š
€
Š—
√
π
π
3π
3π
−1
− 3
+i ·
). . Questão. 2.31 (a) 2 cos
+ i · sen
. (b) 2 cos
+ i · sen
. (c)
. Questão. 2.34 z = 2(
2
2
4
4
2
2
√ ”
€
Š
€
Š—
2
π
π
cos
+ i · sen
. . Questão. 2.36 −4. . Questão. 2.37 8 − 8i . . Questão. 2.38 (a) −8i . (b) 512i . (c) 22049 (1 − i ).
2
4
4
−11
2
. Questão. 2.39
− i . . Questão. 2.40 −1. . Questão. 2.41 −28n−3 i . . Questão. 2.42 z 10 = 215 · i . . Questão.
5 5
√
√ √
6
5π
+ i sen 7π
+ i sen 5π
e z3 = 6 2 cos 23π
+ i sen 23π
. . Questão. 2.44
2.43 z1 = 6 2 cos 7π
12
12 √ , z2 =√ 2 cos
4
4
12
12
2, 2i , −2 e 2i . . Questão. 2.45 i , −i , 2i e − 2i . .
66
Fundamentos da Matemática III
Polinômios e Equações
Algébricas
Polinômios
Polinômios
3.1
Polinômios e uma Analogia aos Sistemas de Numeração
O nosso sistema de numeração utiliza a base 10, isto é, 10 unidades formam 1 dezena, 10 dezenas
formam 1 centena, 10 centenas formam 1 milhar, etc. Assim, por exemplo, o número 3472 pode ser escrito
sob a forma
3 · 103 + 4 · 102 + 7 · 10 + 2 · 100 .
Se quisermos escrever o número 3472 em uma outra base, por exemplo a base 5 devemos obter os
números an , an−1 , an−2 , . . . , a1 , a0 com {n, n − 1, n − 2, . . . , 1, 0} ⊂ N, tais que
Tomando o último quociente e os restos, na ordem inversa em que foram obtidos, tem-se os valores 1,
0, 2 , 3, 4 e 2, que são, respectivamente, os números an , an−1 , an−2 , . . . , a1 , a0 . Assim, podemos escrever
3472 = 1 · 55 + 0 · 54 + 2 · 53 + 3 · 52 + 4 · 5 + 2 · 50 ,
ou abreviadamente:
3472 = 1023425.
O que fizemos foi escrever na base 5 o número 3472 dado na base 10. O número 1023425 deve ser lido
como “um, zero, dois, três, quatro, dois, na base cinco”.
Generalizando, todo número natural k pode ser escrito em uma base x , qualquer, do seguinte modo:
an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + . . . + a1 x + a0 x 0 .
Esse expressão é denominada “decomposição polinomial do número k ”.
A expressão an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + . . . + a1 x + a0 x 0 , em que x é variável complexa, an , an−1 ,
an−2 , . . ., a1 , a0 são constantes complexas e n, n − 1, n − 2, . . . são números naturais são chamadas de
polinômios.
3.33 Definição. Dados um número natural n e os números complexos an , an−1 , . . . , a2 , a1 e a0 , denomina-
se função polinomial ou, simplesmente, polinômio em C a função definida por
p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a2 x 2 + a1 x + a0 ,
em que an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 são números complexos chamados coeficientes e x ∈ C é a variável.
67
Se an 6= 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(p ) = n.
Exemplo 3.1. Os graus dos polinômios p (x ) = 7 = 7x 0 , q (x ) = 9x + 6 e r (x ) = (4 + i )x 2 − 10x + i são,
respectivamente, 0, 1 e 2, isto é gr(p ) = 0, gr(q ) = 1 e gr(r ) = 2.
Para o polinômio nulo, p (x ) = 0, não se define seu grau.
3.2
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio p (x ), para x = α, é o número que se obtém substituindo x por α e
efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio.
Exemplo 3.2. Se p (x ) = 4x 2 − 10x , o valor numérico de p (x ), para x = 3, é
p (x ) = 2x 2 − 8x
⇒ p (3) = 2 · 32 − 8 · 3 = 18 − 24
⇒ p (3) = −6
O valor numérico de p (x ), para x = 3, é a imagem do 3 pela função polinomial p (x ).
Exemplo 3.3. Seja p (x ) = 5x 2 + 8ix + 1. Então o valor numérico para x = 2 é
p (x ) = 5x 2 + 8ix + 1
⇒ p (2) = 5 · 22 + 8i · 2 + 1 = 20 + 16i + 1
⇒ p (2) = 21 + 16i
Nota 19.
1. Se p (α) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de p (x ). No polinômio p (x ) = 4x 2 −10x ,
temos p (4) = 0, isto é, 4 é raiz ou zero do polinômio.
2. Para α = 1, o valor numérico de um polinômio qualquer é sempre igual à soma dos seus
coeficientes.
Assim por exemplo, para p (x ) = ax 2 + bx + c temos p (1) = a + b + c .
3. Para α = 0, o valor numérico de um polinômio qualquer é igual ao termo independente a0 .
Assim por exemplo, para p (x ) = ax 2 + bx + c , temos p (0) = c .
3.2.1
Igualdade entre Polinômios
Dizemos que dois polinômios
p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 e q (x ) = bn x n + bn−1 x n−1 + · · · + b2 x 2 + b1 x + b0
são iguais (ou idênticos) se, e somente se, os seus termos correspondentes tiverem coeficientes respectivamente iguais. Ou seja,
8
>
an
>
>
>
an−1
>
>
>
<
p (x ) ≡ q (x ) ⇔
68
>
>
>
>
>
>
>
:
=
bn
=
..
.
bn−1
a2
=
b2
a1
=
b1
a0
=
b0
Fundamentos da Matemática III
Exemplo 3.4. Determine m, n e p , de modo que (mx 2 + nx + p )(x + 1) ≡ 2x 3 + 3x 2 − 2x − 3.
Solução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes no 1◦ membro, temos
mx 3 + mx 2 + nx 2 + nx + px + p = mx 3 + (m + n)x 2 + (n + p )x + p .
Desta forma,
mx 3 + (m + n)x 2 + (n + p )x + p ≡ 2x 3 + 3x 2 − 2x − 3
Igualando os coeficientes correspondentes, temos o seguinte sistema
8
>
m=2
>
>
< m+n =3
>
n + p = −2
>
>
:
p = −3
cuja solução é m = 2, n = 1 e p = −3.
3.2.2
Exercícios Propostos
3.1. Quais das seguintes expressões representam polinômios?
√
√
√
1
(a) 3x 2 + x + 1
(d) x −1 + + 3
(b) 3x 3 + x 2 − 5 (c) 4 x + x
x
(e) x 5 + 3x − 7
3.2. O que se pode afirmar sobre o grau da soma de dois polinômios de graus diferentes entre si?
3.3. Dê um exemplo de dois polinômios do 3◦ grau que somados resultam num polinômio do 1◦ grau.
3.4. Qual é o grau do polinômio p = 0x 4 + ax 3 + 2x 2 + 1?
3.5. Determinar os valores dos coeficientes a, b , c , d , e de modo que os polinômios p (x ) = ax 4 +5x 2 + dx − b
e q (x ) = 2x 4 + (b − 3)x 3 + (2c − 1)x 2 + e sejam iguais.
3.6. Determinar o polinômio p (x ) do 1◦ grau tal que p (1) = 3 e p (3) = 13.
3.7. Dê um exemplo de dois polinômios diferentes p (x ) e q (x ) tais que p (2) = q (2) e p (5) = q (5).
3.3
Polinômio Identicamente Nulo
3.34 Definição. Um polinômio p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 será chamado de polinômio
identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes forem nulos, ou seja,
8
>
an
>
>
>
an−1
>
>
>
<
p (x ) ≡ 0 ⇔
>
>
>
>
>
>
>
:
=
0
=
..
.
0
a2
=
0
a1
=
0
a0
=
0
Indicamos por p (x ) ≡ 0 (lê-se: p (x ) é idêntico a zero).
69
Exemplo 3.5. Calcular m, n e k para os quais o polinômio p (x ) = (2m − 1)x 3 − (5n − 2)x 2 + (3 − 2k ) seja
identicamente nulo.
Solução: Para que p (x ) seja identicamente nulo, ou seja, p (x ) ≡ 0, precisamos que seus coeficientes
1
2
3
sejam nulos, isto é: 2m − 1 = 0, 5n − 2 = 0 e 3 − 2k = 0. Logo, m = , n = e k = .
2
5
2
Nota 20. O valor numérico de um polinômio identicamente nulo é sempre igual a zero, qualquer
que seja o valor atribuído ao número complexo.
3.4
3.4.1
Operações com Polinômios
Adição e Subtração
Para somar (subtrair) dois polinômios devemos somar (subtrair) os respectivos monômios de mesmo
grau.
3.4.2
Multiplicação
Para multiplicar dois polinômios devemos multiplicar cada monômio de um deles por todos os monômios
do outro e, em seguida, somar os monômios resultantes.
Exemplo 3.6. Dados os polinômios p (x ) = 7x 3 − 5x 2 + 1, q (x ) = 4x 2 + 3x + 7, r (x ) = 4x 2 + 9x − 12 e
m(x ) = 2x + 3, temos:
(a) p (x ) + q (x ) = 7x 3 − 5x 2 + 1 + 4x 2 + 3x + 7 = 7x 3 − 5x 2 + 3x + 8;
(b) q (x ) − r (x ) = 4x 2 + 3x + 7 − (4x 2 + 9x − 12) = −6x + 19;
(c) r (x ) · m(x ) = (4x 2 + 9x − 12) · (2x + 3) = 8x 3 + 30x 2 + 3x − 36.
Com este último exemplo, observemos que na adição e na subtração de dois polinômios, caso o resultado não seja o polinômio nulo, o grau do resultado é, no máximo, o maior dos graus entre os graus dos
dois polinômios; e na multiplicação de dois polinômios não nulos o grau do resultado é a soma dos graus
dos dois polinômios.
3.4.3
Divisão
Dividir um polinômio p (x ) por um polinômio d (x ), este sempre não nulo, é encontrar dois outros polinômios
q (x ) e r (x ) que satisfaçam as seguintes condições:
⋄ p (x ) = q (x ) · d (x ) + r (x );
⋄ gr(r ) ≤ gr(d ) ou r (x ) = 0, ou seja, r (x ) é o polinômio nulo,
em que p (x ) é o dividendo, d (x ) é o divisor, q (x ) é o quociente e r (x ) é o resto da divisão.
70
Fundamentos da Matemática III
Exemplo 3.7. Dados os polinômios p (x ) = 2x 3 − 5x 2 + 6x + 11 e d (x ) = x 2 − 3x + 4 obtemos q (x ) = 2x + 1
e r (x ) = x + 7 de maneira que
1. 2x 3 − 5x 2 + 6x + 11 = (2x + 1) · (x 2 − 3x + 4) + (x + 7)
2. gr(x + 7) = 1 < 2 = gr(x 2 − 3x + 4).
Note que nessa divisão gr(p ) = gr(q ) + gr(d ).
Nota 21.
1. Se numa divisão acontecer gr(p ) < gr(d ) teremos q (x ) = 0 e r (x ) = p (x );
2. Se na divisão de um polinômio p (x ) por um polinômio d (x ) encontrarmos r (x ) = 0, isto é,
o resto da divisão é o polinômio nulo, dizemos que a divisão é exata e o polinômio p (x ) é
divisível (ou múltiplo do) pelo polinômio d (x ). Podemos ainda dizer que o polinômio d (x )
é divisor (ou fator) do polinômio p (x ).
3.35 Teorema (do Resto). O resto da divisão de um polinômio p (x ) por um polinômio d (x ) = x − a é p (a).
Prova: Ao dividirmos o polinômio p (x ) pelo polinômio d (x ) = x − a obtemos polinômios q (x ) e r (x )
tais que p (x ) = q (x ) · (x − a) + r (x ) e gr(r ) < gr(x − a) = 1. Daí gr(r ) = 0, ou seja, r (x ) é um polinômio
constante. Seja então r (x ) = r ∈ C . Logo, p (x ) = q (x ) · (x − a) + r . Substituindo x por a, obtemos
p (a) = q (a) · (a − a) + r = r .
2
Uma conseqüência imediata do Teorema do Resto é o teorema abaixo.
3.36 Teorema (de D’Alembert). Um polinômio p (x ) é divisível pelo polinômio d (x ) = x − a se, e somente
se, p (a) = 0, ou seja, se a for raiz de p (x ).
Prova: Suponhamos que p (x ) seja divisível por d (x ) = x − a. Desta forma r = 0 e portanto, p (a) = 0.
Reciprocamente, suponha que a é raiz de p (x ). Assim, temos que p (a) = 0, ou seja, r = 0. Logo, p (x ) é
divisível por d (x ) = x − a.
2
Exemplo 3.8. O resto da divisão de p = 2x 3 − 4x 2 + 8x − 1 por x − 3 é p (3) = 2 · 33 − 432 + 8 · 3 − 1 = 41.
Confirme este resultado efetuando a divisão pelo método da chave ou por Briot-Ruffini conforme veremos abaixo.
3.37 Corolário. Se um polinômio p (x ) é divisível por d (x ) = x − a e também por s (x ) = x − b , com a, b ∈ C,
então p (x ) é divisível por (x − a) · (x − b ).
Efetuando Divisão de Polinômios
I - Método da Chave Este método lembra a divisão de números inteiros.
Exemplo 3.9. Vamos dividir o polinômio p (x ) = 8x 3 + 8x 2 − 21x + 7 pelo polinômio d (x ) = 4x 2 − 6x + 3.
1◦ Passo: Dispomos o dividendo e o divisor lado a lado (devidamente reduzidos e ordenados, um dentro
e outro fora da chave) como se fôssemos dividir números inteiros.
8x 3 + 8x 2 − 21x + 7
4x 2 − 6x + 3
71
2◦ Passo: Dividimos o primeiro monômio do dividendo 8x 3 pelo primeiro monômio do divisor 4x 2 obtendo,
assim, o primeiro termo do quociente.
8x 3 + 8x 2 − 21x + 7
4x 2 − 6x + 3
2x
3◦ Passo: Multiplicamos o primeiro monômio do quociente, 2x , pelo divisor e subtraímos o resultado dos
respectivos termos semelhantes do dividendo, obtendo assim o primeiro resto parcial.
8x 3
−8x 3
◦
8x 2
+
+ 12x 2
1 resto parcial ⇒ 20x
2
−
21x
−
27x
−
+ 7
6x
4x 2 − 6x + 3
2x
+ 7
4◦ Passo: Transformamos o primeiro resto parcial em novo dividendo e repetimos o segundo e o terceiro
passo quantas vezes sejam necessárias até obtermos um resto nulo ou que possua grau menor que
o grau do divisor.
8x 3
−8x
3
+
8x 2
+
12x
2
20x
2
20x
2
−
− 21x
+
− 27x
+
7
−
15
−
7
6x
+ 30x
resto final ⇒ 3x −
4x 2 − 6x + 3
2x + 5 ⇐ quociente
8
Note que, como já era esperado, o resto não sendo nulo, tem grau 1 menor que o grau, 2, do divisor e
o grau do quociente, 1, é igual à diferença entre o grau do dividendo, 3, e o grau do divisor, 2, ou seja,
gr(q (x )) = gr(p (x )) − gr(d (x )) e gr(r (x )) < gr(d (x )).
II - Método de Descartes Baseado na identidade de polinômios, vamos estudar um novo método para
determinar o quociente e o resto de uma divisão de polinômios. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 3.10. Determinar o quociente e o resto da divisão de p (x ) = x 4 + x 3 − 7x 2 + 9x − 1 por
d (x ) = x 2 + 3x − 2.
Solução: O grau do quociente q é dado por
gr(q ) = gr(p ) − gr(d ) ⇒ gr(q ) = 4 − 2
⇒ gr(q ) = 2
Se o quociente tem grau 2, ele é do 2◦ grau, isto é, q (x ) = ax 2 + bx + c . O resto r tem grau máximo igual
a 1, pois gr(r ) < gr(d ). Logo, r (x ) = dx + e .
Aplicando a definição de divisão, temos
p (x ) =
4
3
2
x + x − 7x + 9x − 1 =
x 4 + x 3 − 7x 2 + 9x − 1 =
d (x ) · q (x ) + r (x )
(x 2 + 3x − 2)(ax 2 + bx + c ) + (dx + e )
ax 4 + (b + 3a)x 3 + (c + 3b − 2a)x 2 + (3c − 2b + d )x + (−2c + e )
Igualando os coeficientes, vem
a=1
b + 3a = 1
⇒ b + 3(1) = 1
⇒ b = 1−3
⇒ 3(1) − 2(−2) + d = 9
⇒ d =9−3−4
c + 3b − 2a = −7 ⇒ c + 3(−2) − 2(1) = −7 ⇒ c = −7 + 6 + 2
3c − 2b + d = 9
72
−2c + e = −1 ⇒ −2(1) + e = −1
⇒ e = −1 + 2
⇒ b = −2
⇒ c=1
⇒ d =2
⇒ e=1
Fundamentos da Matemática III
Se q (x ) = ax 2 + bx + c e r (x ) = dx + e , então q (x ) = x 2 − 2x + 1 e r (x ) = 2x + 1.
III - Algoritmo de Briot-Ruffini Este é um método prático e eficiente que nos permite efetuar com
rapidez a divisão de um polinômio p (x ) por um polinômio do tipo d (x ) = ax + b . Vejamos o roteiro desse
dispositivo através de um exemplo.
Exemplo 3.11. Determinar o quociente e o resto da divisão de p (x ) = 5x 3 + 3x 2 + 7x + 4 por d (x ) = x − 2.
1◦ passo: Dispomos os coeficientes do dividendo p (x ) devidamente ordenados numa mesma linha, ao
lado, separado por uma barra vertical, colocamos a raiz do divisor d (x ).
2
5 3
7 4
Nota 22. Se o polinômio p (x ) não tivesse o termo x 2 , o coeficiente desse termo seria igual
a 0 (zero).
2◦ passo: Abaixamos o primeiro coeficiente de p (x ) para a linha inferior.
5 3
2
7 4
5
3◦ passo: Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o produto com o segundo
coeficiente do dividendo p (x ), colocando o resultado abaixo deste.
5
2
3
7
4
5 13
4◦ passo: Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do segundo coeficiente e somamos o produto encontrado com o terceiro coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim
sucessivamente.
2
5
3
7
4
5
13 33 70
5◦ passo: Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à
esquerda deste são os coeficientes do quociente.
2
5
3
7
4
5 13 33
70
Logo, q (x ) = 5x 2 + 13x + 33 e r (x ) = 70.
3.4.4
Exercícios Propostos
3.8. Determinar m no polinômio P (x ) = x 3 − 3x 2 + mx + 1 de modo que se tenha P (1) − 3 = 0.
3.9. Determinar a, b e c de modo que:
a(x 2 + 1) + (bx + c )(x − 1) − (x + 1) = 0.
3.10. Determinar a e b de modo que p (x ) = x 4 + ax 2 + b seja divisível por d (x ) = x 2 + 2x + 5.
73
3.11. Determinar o resto da divisão de p (x ) = x 2n+1 − 2x 2n − x 2n−1 + 3 por x + 1, para todo natural n 6= 0.
3.12. Dividir p (x ) = 3x 2 − 2x 2 + x − 1 por 3x − 1 usando o algoritmo de Briot-Ruffini.
3.13. Um polinômio P (x ) dividido por (x − 3) dá resto 6 e dividido por (x − 5) dá resto 8. Obter o resto da
divisão de p (x ) por (x − 3)(x − 5).
3.14. Determine a de modo que a divisão de f (x ) = x 4 − 2ax 3 + (a + 2)x 2 + 3a + 1 por g (x ) = x − 2 apresente
resto igual 7.
3.15. Determinar m e n de modo que p (x ) = 2x 4 + 3x 3 + mx 2 − nx − 3 seja divisível por (x 2 − 2x − 3).
3.16. Obter o quociente e o resto da divisão de x n − an por (x − a), para todo natural n 6= 0.
3.17. Mostrar que 5x 6 − 6x 5 + 1 é divisível por (x − 1)2 .
3.5
Decomposição de um Polinômio em Fatores
Podemos aplicar o teorema do resto na decomposição de um polinômio em fatores. Segue-se daquele
teorema que, se a é raiz ou zero do polinômio p (x ), este é divisível por x − a. Logo, p (x ) = (x − a) · q (x ).
3.5.1
Polinômio do 2◦ Grau
Sejam os polinômios p (x ) = x 2 − 9, d (x ) = x 2 + 2x + 4, t (x ) = x 2 + x − 6 e m(x ) = 2x 2 − 7x + 3.
Colocando esses polinômios na forma de produto de fatores do 1◦ grau, temos:
⋄ x 2 − 9 = (x − 3) · (x + 3);
⋄ x 2 + 2x + 4 = (x + 2)2 = (x + 2) · (x + 2).
Para o polinômio t (x ), vamos calcular suas raízes. Logo,
x 2 + x − 6 ⇒ x = 2 ou x = −3.
Pelo Teorema do Resto da Divisão, se x = 2 é raiz do polinômio, ele é divisível por x − 2. Logo,
x 2 + x − 6 = (x − 2) · q (x ).
Utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini, vem
2
1 1
1 3
−6
0
O quociente é q (x ) = x + 3. Portanto, podemos escrever x 2 + x − 6 = (x − 2) · (x + 3).
Para fatorar o polinômio m(x ) = 2x 2 − 7x + 3, vamos calcular suas raízes. Logo,
2x 2 − 7x + 3 ⇒ x =
1
é raiz do polinômio, ele é divisível por x −
2
dispositivo de Briot-Ruffini, vem
1
2
2
Se x =
74
1
ou x = 3.
2
1
1
. Logo, 2x 2 − 7x + 3 = (x − ) · q ′ (x ). Utilizando-se o
2
2
−7
3
2 −6
0
Fundamentos da Matemática III
O quociente é q ′ (x ) = 2x − 6. Portanto, podemos escrever

2x 2 − 7x + 3
=
=
‹

1
1
· (2x − 6) = x −
2
2
(2x − 1) · (x − 3)
‹
x−

· 2 · (x − 3) = 2 · x −
1
2
‹
· (x − 3)
De uma forma geral, o polinômio do 2◦ grau p (x ) = ax 2 + bx + c que admite as raízes x1 e x2 pode ser
decomposto em fatores do 1◦ grau, da seguinte forma
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
3.5.2
Polinômio do 3◦ Grau
Conhecendo-se uma das raízes de um polinômio do 3◦ grau, podemos decompô-lo num produto de um
polinômio do 1◦ grau por um polinômio do 2◦ grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida, também
decompô-lo.
Exemplo 3.12. Decompor x 3 + 1 num produto de fatores do 1◦ grau.
Solução: Observando que −1 é raiz de x 3 + 1, temos
−1
Logo, x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 − x + 1).
As raízes de q (x ) = x 2 − x + 1 são x ′ =
1
0
0
1
1 −1 1
0
√
√
3
3
1
1
+
i e x ′′ = −
i . Substituindo-se, vem
2
2
2
2
‚
√ Œ!
√ Œ!
3
1
3
1
(x + 1) x −
+
i
−
i
x−
2
2
2
2
‚
√ Œ‚
√ Œ
3
3
1
1
−
i
+
i
(x + 1) x −
x−
2
2
2
2
‚
3
x +1 =
x3 + 1 =
Do exemplo acima, o polinômio do 3◦ grau p (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d que admite as raízes x1 , x2 e x3 ,
podemos escrevê-lo na seguinte forma fatorada
ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ).
Generalizando, se o polinômio p (x ) = an x n + an−1 x n−1 +· · ·+ a2 x 2 + a1 x + a0 admite n raízes x1 , x2 , . . . , xn ,
podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 = an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ).
3.6
Exercícios Propostos
3.18. Determinar m no polinômio p (x ) = x 3 − 3x 2 + mx + 1 de modo que se tenha p (1) = 3.
3.19. Determinar a, b e c de modo que x + 1 = a(x 2 + 1) + (bx + c )(x − 1) seja uma identidade.
75
3.20. Determinar a e b de modo que p (x ) = x 4 + ax 2 + b seja divisível por d (x ) = x 2 + 2x + 5.
3.21. Determinar o resto da divisão de p (x ) = x 2n+1 − 2x 2n − x 2n−1 + 3 por x + 1, para todo natural n 6= 0.
3.22. Um polinômio p (x ) dividido por (x − 3) dá resto 6 e dividido por (x − 5) dá resto 8. Obter o resto da
divisão de p (x ) por (x − 3)(x − 5)
3.23. Mostre que p (x ) = (x − 2)2n + (x − 1)n − 1 é divisível por (x − 1)(x − 2), para todo natural n 6= 0.
3.24. Determinar m e n de modo que p (x ) = 2x 4 + 3x 3 + mx 2 − nx − 3 seja divisível por (x 2 − 2x − 3).
3.25. Obter o quociente e o resto da divisão de x n − an por (x − a), para todo natural n 6= 0 .
3.26. Mostrar que 5x 6 − 6x 5 + 1 é divisível por (x − 1)2 .
3.27. Dividir p (x ) = 3x 2 − 2x 2 + x − 1 por 3x − 1 usando o algoritmo de Briot-Ruffini.
3.7
Gabarito
Questão. 3.1 (a), (b), (e) . Questão. 3.2 esse novo polinômio terá o grau coincidente com o polinômio de maior grau . Questão. 3.3
. Questão. 3.4 3 se a 6= 0 . Questão. 3.5 a = 2, b = 3, c = 3, d = 0, c = −3 . Questão. 3.6 a = 5, b = −2 . Questão. 3.7 .
Questão. 3.8 m = 4 . Questão. 3.9 a = 1, b = −1 e c = 0 . Questão. 3.10 a = 6 e b = 25 . Questão. 3.11 r (x ) = 1 . Questão.
3.12 q (x ) = x 2 − 31 x + 29 e r (x ) = −7
9 . Questão. 3.13 r (x ) = x + 3. Questão. 3.14 a = 2. Questão. 3.15 m = −19 e n = 23.
Questão. 3.16 Q (x ) = x n−1 + ax n−2 + a2 x n−3 + · · · + an−2 x + an−1 e R (x ) = 0. Questão. 3.17 . Questão. 3.18 m = 4. Questão.
3.19 a = 1, b = −1 e c = 0. Questão. 3.20 a = 6 e b = 25. Questão. 3.21 R (x ) = 1. Questão. 3.22 R (x ) = x + 3. Questão. 3.23
. Questão. 3.24 m = −19 e n = 23. Questão. 3.25 Q (x ) = x n−1 + ax n−2 + a2 x n−3 + · · · + an−2 x + an−1 e R (x ) = 0. Questão.
1
2
−7
3.26 . Questão. 3.27 q (x ) = x 2 − x + e r (x ) =
.
3
9
9
Equações Algébricas
Equações Algébricas
4.1
Uma Aventura em Busca das Raízes
Era a Renascença, meados de 1.593. Durante um passeio pelos jardins do palácio, o rei Henrique I V ,
da França, notou que o embaixador dos Países Baixos, em conversa com membros da corte, se gabava
de um seu compatriota.
- Não há, em toda a França, matemático capaz de resolver a equação:
É
x
45
− 45x
43
+ 945x
41
5
3
− · · · + 95.634x − 3795x + 45x =
2+
q
2+
È
2+
√
2,
proposta por Van Roomen, desafiou o embaixador, referindo-se ao matemático belga Adrian Van Roomen
(1.561 − 1.615).
Então o rei se aproximou do grupo, e não deixou por menos! Aceitou imediatamente o desafio, convocando para defender a honra de seus conterrâneos o matemático francês François Viète (1.540 − 1.603).
Não demorou muito. Após rabiscar alguns cálculos, Viète apresentou a solução da equação, causando
espanto ao nobre embaixador.
76
Fundamentos da Matemática III
Durante a Renascença o principal objetivo dos matemáticos era descobrir uma fórmula que determinasse o conjunto solução das equações polinomiais de qualquer grau, o que já haviam conseguido até o
4◦ grau.
Certas equações, como a de Van Roomen, por possuírem alguma particularidade, podiam ser resolvidas. Porém, buscava-se uma fórmula geral.
Essa procura teve conseqüências importantes, como o teorema fundamental da álgebra, as relações
de Girard, o teorema de Bolzano, etc.
Em 1.824, o matemático Niels Henrik Abel (1.802 − 1.829) pôs um ponto final nessa busca, provando
que equações com grau superior a quatro não podem ser resolvidas por radicais e combinações de coeficientes. Isto é, não existe fórmula geral que resolva equações polinomiais de grau maior do que quatro.
4.38 Definição. Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x ∈ C,
toda equação que pode ser reduzida à forma
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0,
em que n ∈ N, e an , an−1 , . . ., a2 , a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes.
Exemplo 4.1. As equações 3x + 1, x 3 − x + 1 e 3ix 4 − x 3 + 6x 2 − 1 são equações algébricas do 1◦ grau,
3◦ grau e do 4◦ grau, respectivamente.
4.2
Raiz ou Zero de uma Equação Polinomial
4.39 Definição. Denomina-se raiz ou zero de uma função polinomial p (x ) a todo número complexo a tal
que p (a) = 0.
Assim por exemplo, aequação algébrica x 2 − 4 = 0 admite x = −2 como raiz, pois (−2)2 − 4 = 0.
4.3
Conjunto Solução ou Conjunto Verdade
O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação algébrica no corpo dos complexos é o conjunto formado por todos os números complexos que são solução da equação, ou seja, é o conjunto formado
por todas as raízes da equação algébrica. Indicaremos conjunto solução por S .
Exemplo 4.2. Resolver a equação x 3 + x 2 − 2x = 0.
Solução: Como x aparece em todos as parcelas do primeiro membro da equação x 3 + x 2 − 2x = 0,
escrevemos equivalentemente x (x 2 + x − 2) = 0. Daí, x = 0 ou x 2 + x − 2 = 0. Resolvendo a equação
algébrica do 2◦ grau, x 2 + x −2 = 0, temos que x = 1 ou x = −2. Logo, as raízes da equação x 3 + x 2 −2x = 0
são −2, 0 e 1, ou seja, S = {−2, 0, 1}.
Exemplo 4.3. Resolver a equação x 4 − 13x 2 + 36 = 0.
Solução: Façamos y = x 2 . Temos então y 2 − 13y + 36 = 0. Logo, as raízes da equação algébrica
y 2 − 13y + 36 = 0 são y = 4 ou y = 9. Como y = x 2 , então x 2 = 4 ou x 2 = 9, ou seja, x = ±2 ou x = ±3.
Logo, o conjunto solução da equação x 4 − 13x 2 + 36 = 0 é S = {−3, −2, 2, 3}.
77
4.4
Pesquisa de Raízes Inteiras
Numa equação polinomial de coeficientes inteiros, pode-se obter suas eventuais raízes inteiras. Comecemos por observar que, no exemplo anterior, as raízes inteiras −3, −2, 2 e 3 são divisores do termo
independente 36. É bom lembrar que, dados dois números inteiros a e b , diz-se que a é divisor de b (ou
que a divide b ) quando existe um número inteiro c tal que c · a = b (neste caso, denotamos a|b ). Assim, por
exemplo, 3 é divisor de 36, pois 12 · 3 = 36. Ou seja, 3 divide 36, ou ainda 3|36. Prosseguindo, provaremos
que as eventuais raízes inteiras da equação x 3 − 10x 2 + 26x − 12 = 0 são (obrigatoriamente) divisores do
termo independente −12. De fato, se r é uma raiz inteira de x 3 − 10x 2 + 26x − 12 = 0, temos que:
r 3 − 10r 2 + 26r − 12 = 0
⇒ r 3 − 10r 2 + 26r = 12
⇒ r (r 2 − 10r + 26) = 12.
( 4.4)
Como r é um número inteiro, então r 2 − 10r + 26 também é. Desta forma, a expressão ( 4.4) nos diz
que r é um divisor de 12, e também de −12.
4.5
O Teorema Fundamental da Álgebra
Sabemos que:
b
(zero da equação do 1◦ grau)
a
√
−b ± ∆
2
• ax + bx + c = 0 (com a 6= 0) ⇒ x =
(zeros da equação do 2◦ grau)
2a
• ax + b = 0 (com a 6= 0) ⇒ x = −
Pelo que podemos observar, nas equações do 1◦ e do 2◦ grau, os zeros são obtidos por fórmulas que
envolvem os coeficientes das equações, as operações fundamentais e a extração de raízes.
Alguns matemáticos do século X V I , baseados nesses conhecimentos, já resolviam equações polinomiais de 3◦ e 4◦ graus, constatando que a quantidade de soluções encontradas era sempre igual ao grau da
equação. Entretanto, as resoluções dependem de fórmulas complicadas demais para terem valor prático.
Ainda assim, os matemáticos tentaram descobrir uma fórmula geral para resolver equações polinomiais
de grau igual ou superior a cinco por meio de radicais. Ficou provado, porém, que não existe tal fórmula!
Veremos alguns métodos que nos permitem resolver algumas dessas equações, baseados no teorema
abaixo, que foi enunciado e provado por Gauss, em 1.799, na sua tese de doutoramento.
4.40 Teorema (Fundamental da Álgebra (TFA)). Toda equação algébrica p (x ) = 0, de grau n ≥ 1, admite
pelo menos uma raiz real ou complexa.
Conseqüências do TFA:
1. Todo polinômio de grau n pode ser decomposto em n fatores do tipo di (x ) = x − xi , onde i ∈ N é tal
que 1 ≤ i ≤ n e xi são as raízes complexas deste polinômio.
2. Toda equação algébrica de grau n possui n, e somente n, raízes complexas.
78
Fundamentos da Matemática III
Prova: Considere a equação polinomial de grau n, p (x ) = 0, em que
p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 .
Pelo TFA, p (x ) tem uma raiz complexa. Seja r1 esta raiz. Logo, p (r1 ) = 0, isto é, p (x ) é divisível por r1 . Daí,
p (x ) = q1 (x ) · (x − r1 ), onde q1 (x ) é o quociente da divisão e a equação p (x ) = 0 pode ser assim escrita
q1 (x ) · (x − r1 ) = 0, e então x − r1 = 0 ou q1 (x ) = 0. Mas, q1 (x ) = 0 é uma equação algébrica de grau n − 1
e, novamente, pelo TFA, possui uma raiz complexa r2 . Daí, q1 (x ) = q2 (x ) · (x − r2 ) e a equação p (x ) = 0
pode ser reescrita como q2 (x ) · (x − r2 ) · (x − r1 ) = 0, em que q2 (x ) é o quociente da divisão de q1 (x ) por
x − r1 .
Repetindo-se este raciocínio quantas vezes sejam possíveis, concluímos que a equação p (x ) = 0 pode
ser escrita da seguinte forma: q (x − rn )(x − rn−1 ) · · · (x − r2 )(x − r1 ) = 0, onde q é o último quociente
encontrado.
Da igualdade de polinômios,
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 = q (x − rn )(x − rn−1 ) · · · (x − r2 )(x − r1 ) = 0,
concluímos que q = an .
Portanto, a equação polinomial inicial p (x ) = 0 pode, finalmente, ser escrita como
an (x − rn )(x − rn−1 ) · · · (x − r2 )(x − r1 ) = 0,
ou seja, p (x ) pode ser decomposto em n fatores do tipo x − ri , onde ri é um número complexo e p (x ) = 0
tem n raízes complexas.
4.6
2
Multiplicidade de uma Raiz
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. Se uma equação algébrica tiver
duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla. Se tiver três raízes iguais, a raiz
terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e assim sucessivamente. Se um número complexo a for
uma só vez raiz de uma equação algébrica, ele será chamado raiz simples.
Exemplo 4.4. Seja a equação algébrica 7(x − 2)3 (x − 5)2 (x + 8)(x + 2i )4 = 0, que pode ser colocada na
forma
7(x − 2)(x − 2)(x − 2)(x − 5)(x − 5)(x + 8)(x + 2i )(x + 2i )(x + 2i )(x + 2i ) = 0.
Observe que a equação tem 10 raízes, e que:
(i) 2 é raiz de multiplicidade 3 ou raiz tripla;
(iii) −8 é raiz de multiplicidade 1 ou raiz simples;
(ii) 5 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla;
(iv) −2i é raiz de multiplicidade 4 ou raiz quádrupla.
De uma maneira geral, se um polinômio p (x ) é tal que
p (x ) = (x − a)m · q (x ),
com q (a) 6= 0, dizemos que a é raiz de multiplicidade m da equação p (x ) = 0.
Vejamos um exemplo.
79
Exemplo 4.5. Sabendo-se que −1 é raiz dupla da equação x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 7x + 6 = 0, determinar o
seu conjunto solução.
Solução: A equação dada pode ser indicada da seguinte forma
(x + 1)2 q (x ) = 0.
Para determinarmos q (x ), que é do 2◦ grau, aplicaremos duas vezes o dispositivo prático de Briot-Ruffini,
abaixando para 2 o grau da equação dada.
−1
−1
1
1
1
−3 −3 7
−4
−5
1
6
6
0
6
0
Logo, q (x ) = x 2 − 5x + 6. As outras raízes x = 2 e x = 3 são soluções da equação q (x ) = 0. Portanto,
S = {−1, 2, 3} é o conjunto solução da equação algébrica x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 7x + 6 = 0.
4.7
Raízes Complexas
Considere o polinômio p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 .
4.41 Teorema (das Raízes Complexas ou das Raízes Conjugadas). Seja p (x ) um polinômio cujos coeficientes
são todos reais. Se o número z = a + bi é raiz da equação algébrica p (x ) = 0, então o complexo conjugado
z = a − bi , também é raiz dessa equação.
Prova: Se z é raiz de p (x ), então p (z ) = 0, ou seja, an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0.
Para provar que z é raiz de p (x ), isto é, p (z ) = 0, vamos utilizar as seguintes propriedades dos números
complexos:
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1 · z2 = z1 · z2 ,
a = a ⇔ a ∈ R.
Temos, então,
p (z ) =
=
an (z )n + an−1 (z )n−1 + · · · + a1 z + a0 = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 = 0.
Logo, z = a − bi é raiz de p (x ).
2
Nota 23. Numa equação algébrica cujos coeficientes são reais, se o número a + bi é uma raiz
com multiplicidade k , o número conjugado a−bi é também uma raiz com a mesma multiplicidade.
Nota 24. Numa equação algébrica cujos coeficientes são reais o número de raízes complexas
não reais é sempre par e, se o grau dessa equação é ímpar, pelo menos uma raiz é real.
Exemplo 4.6. Sabendo que uma das raízes da equação x 4 − 9x 3 + 30x 2 − 42x + 20 = 0 é 3 + i , determinar
o seu conjunto solução.
Solução: Se 3 + i é raiz da equação de coeficientes reais, então 3 − i também é raiz da mesma
equação. Aplicando Briot-Ruffini para abaixar o grau da equação, vem
80
Fundamentos da Matemática III
3+i
1
3−i
1 −6 + i
Logo,
1
−9
30
11 − 3i
−3
”
−42
−6 + 2i
2
— ”
— ”
—
—
0
0
x − (3 + i ) · x − (3 − i ) · q (x )
”
20
= 0
2
x − (3 + i ) · x − (3 − i ) · (x − 3x + 2) = 0
As outras raízes são determinadas fazendo q (x ) = 0. Logo, x = 1 e x = 2 são soluções da equação
x 2 − 3x + 2 = 0. Portanto, S = {1, 2, 3 + i , 3 − i }.
4.8
Relações de Girard
As relações existentes entre as raízes e os coeficientes de uma equação polinomial são chamadas
relações de Girard. Uma equação polinomial de grau n possui n relações de Girard.
4.8.1
Equação do Segundo Grau
Seja ax 2 + bx + c = 0, com a 6= 0.
ax 2 + bx + c = 0 ⇔ a(x − r2 )(x − r1 ) = 0.
Daí temos que
ax 2 + bx + c
=
=
a(x − r2 )(x − r1 )
€
a x 2 − (r1 + r2 )x + r1 r2
Š
ou ainda
b
c
x + = x 2 − (r1 + r2 )x + r1 r2 .
a
a
Pela igualdade de polinômios obtemos as duas equações de Girard para uma equação do segundo grau,
x2 +
que são:
r1 + r2 = −
4.8.2
c
b
e r1 · r2 = .
a
a
Equação do Terceiro Grau
Numa equação algébrica do terceiro grau, temos ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ a(x − r3 )(x − r2 )(x − r1 ) = 0,
com a 6= 0. Daí podermos escrever
€
ax 3 + bx 2 + cx + d = a x 3 − (r1 + r2 + r3 )x 2 + (r1 · r2 + r1 · r3 + r2 · r3 )x − r1 · r2 · r3
Š
ou
d
b 2 c
x + x + = x 3 − (r1 + r2 + r3 )x 2 + (r1 · r2 + r1 r3 + r2 · r3 )x − r1 · r2 · r3 ,
a
a
a
obtendo, então, as três relações de Girard para uma equação do terceiro grau
x3 +
b
c
d
r1 + r2 + r3 = − , r1 · r2 + r1 · r3 + r2 · r3 =
e r1 · r2 · r3 = − .
a
a
a
81
4.8.3
Método de Tartaglia para Obter Raízes da Equação do 3◦ Grau
Apresentaremos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método
de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia.
Uma equação geral do terceiro grau na variável x , é dada por:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0.
Se o coeficiente a do termo do terceiro grau é não nulo, dividiremos esta equação por a para obter:
x3 +
d
b 2 c
x + x+ =0
a
a
a
e assim iremos considerar só as equações em que o coeficiente de x 3 seja igual a 1, isto é, equações da
forma geral:
x 3 + Ax 2 + Bx + C = 0,
em que A =
c
d
b
,B= eC = .
a
a
a
Fazendo a substituição de translação x = y −
A2
y + B−
3
3
e tomando p =
A2
B−
3
eq =C−
A
na equação acima, obteremos:
3

y+ C−
AB
2
+ A3
3
27
‹
=0
AB
2
+ A3 , poderemos simplificar a equação do terceiro grau na
3
27
variável y , para:
y 3 + py + q = 0
Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós procuraremos esta raiz na forma
y = u + v . Substituindo y por u + v , na última equação, obteremos:
(u + v )3 + p (u + v ) + q = 0
o que equivale a
u 3 + v 3 + 3uv (u + v ) + p (u + v ) + q = 0,
ou seja,
u 3 + v 3 + (3uv + p )(u + v ) + q = 0.
Usando esta última equação e impondo a condição para que p = −3uv e q = −(u 3 + v 3 ), obteremos valores
de u e v para os quais y = u + v deverá ser uma raiz da equação. Estas últimas condições implicam que:
u3 v 3 = −
p3
e u 3 + v 3 = −q .
27
Considerando u 3 e v 3 como variáveis, o problema equivale a resolver uma equação do 2◦ grau da forma:
z 2 − Sz + P = 0,
em que S é a soma das raízes, u 3 + v 3 e P é o produto das raízes, u 3 v 3 .
Resolveremos agora a equação z 2 + qz −
p3
= 0 para obter as partes u e v da primeira raiz:
27
r1 = u + v
82
Fundamentos da Matemática III
q2 p3
+
e utilizando a fórmula de Bhaskara
4 27
(o próprio Bhaskara relatou em um trabalho seu que a fórmula não é de sua autoria, mas do matemático
Com o discriminante desta última equação definido por: D =
hindu Sridhara), obtemos:
u3 = −
q √
q √
+ D e v3 = − − D
2
2
A primeira raiz r1 da equação original
x 3 + Ax 2 + Bx + C = 0
depende da translação realizada no início e será dada por:
r1 = u + v −
A
3
Como r1 é uma raiz, utilizaremos a divisão
x 3 + Ax 2 + Bx + C
x − r1
para obter a polinomial de segundo grau:
p (x ) = x 2 + (A + r1 )x −
C
r1
com o resto da divisão igual a r13 + Ar12 + Br1 + C que será nulo ou muito próximo de zero se o valor for
aproximado.
Os zeros desta equação do segundo grau podem ser obtidos facilmente e as outras duas raízes dependem do valor D que é o discriminante desta última polinomial.
Pela análise destes valores, conheceremos as características das raízes da equação
x 3 + Ax 2 + Bx + C = 0.
Discriminante
Detalhes sobre as raízes da equação
D =0
3 raízes reais, sendo duas iguais
D >0
1 raiz real e 2 raízes complexas conjugadas
D <0
3 raízes reais distintas
A construção das raízes não é simples e consideraremos duas possibilidades: D negativo ou D nãonegativo.
⋄ D < 0: Calcularemos os valores: E =
√
−D .
r=
q2
+ E2
4
t = arccos −
1/2
q
2r
sendo as três raízes reais dadas por:
r1 = 2r 1/3 cos(t /3) − A/3
r2 = 2r 1/3 cos((t + 2pi )/3)) − A/3
r3 = 2r 1/3 cos((t + 4pi )/3)) − A/3
83
Situação D > 0, calcularemos os valores: E = D 12 .
u3 = −q /2 + E
v3 = −q /2 − E
u = (u3 )1/3
v = (v3 )1/3
sendo que a primeira raiz será: r1 = u + v − A/3
Para obter as outras raízes, construímos outra constante:
d2 = (A + r1 )2 + 4C /r1
e consideramos duas possibilidades sobre d2 :
— Se d2 é negativo:
r2 = −(A + r1 )/2 + 1/2(−d2 )1/2
r3 = −(A + r1 )/2 − 1/2(−d2 )1/2
— Se d2 é não negativo:
r2 = −(A + r1 )/2 + 1/2(d2)1/2
r3 = −(A + r1 )/2 − 1/2(d2)1/2
4.8.4
Equação de Grau n
Para a equação an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0, sendo an 6= 0 e r1 , r2 , . . . , rn as raízes da
equação temos as seguintes relações de Girard:
n
X
i =1
−an−1
ri =
,
an
n
X
an−2
ri · rj =
,
an
i , j =1
i 6=j
n
X
n
Y
−an−3
(−1)n a0
ri · rj · rk =
ri =
e
.
an
an
i , j , k =1
i 6=j 6=k
i =1
Raízes Inteiras
As raízes de uma equação polinomial, bem como seus coeficientes, podem ser números reais ou não;
sendo reais, podem ser irracionais ou racionais; sendo racionais, podem ser inteiras ou não.
Vejamos qual a possibilidade de um número inteiro ser ou não ser raiz de uma equação algébrica.
Tomemos, como exemplo, uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros e suponhamos que
ela tenha uma raiz inteira não nula. Ou seja,
⋄ Equação: ax 2 + bx + c = 0, com a, b , c ∈ Z e a 6= 0
⋄ Raiz: r ; r ∈ Z
então,
c
ar 2 + br + c = 0 ⇒ ar 2 + br = −c ⇒ r (ar + b ) = −c ⇒ ar + b = − .
r
c
Como ar + b é um número inteiro, concluímos que − também é. Portanto, a raiz r deve ser um divisor do
r
termo independente c . Essa conclusão é verdadeira para qualquer que seja o grau da equação.
84
Fundamentos da Matemática III
4.42 Teorema. Sejam p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 e r ∈ Z. Se r é uma raiz da equação
p (x ) = 0, então r é um divisor do coeficiente a0 .
Prova: Sendo r uma raiz da equação, escrevemos an r n + an−1 r n−1 + · · · + a2 r 2 + a1 r + a0 = 0, que é
equivalente a an r n + an−1 r n−1 + · · ·+ a2 r 2 + a1 r = −a0 . Pondo r em evidência no primeiro membro, obtemos:
r (an r n−1 + an−1 r n−2 + · · · + a2 r + a1 ) = −a0
|
{z
}
∈Z
Como estamos supondo que r e todos os coeficientes da equação são inteiros, a expressão anterior,
que se encontra entre parênteses, também resultará num número inteiro, que indicaremos por k . Então
k · r = −a0 . Logo, r é divisor de a0 .
2
Exemplo 4.7. Quais são as raízes inteiras de 2x 3 − 17x 2 + 19x + 14 = 0?
Solução: Pelo teorema anterior sabemos que as eventuais raízes inteiras são os divisores do termo
independente a0 , que é 14. Seus divisores são ±1, ±2, ±7 e ±14. Por simples inspeção, vê-se que 2 é
raiz, logo
2x 3 − 17x 2 + 19x + 14 = (x − 2)(2x 2 − 13x − 7)
1
são as outras raízes de 2x 3 − 17x 2 + 19x + 14 = 0. Portanto, as raízes inteiras da
2
equação dada são 2 e 7, que são de fato divisores de 14.
e então x = 7 ou x = −
Raízes Racionais
De maneira análoga à feita com as raízes inteiras, vamos demonstrar o seguinte
a
4.43 Teorema. Se o número racional , com a e b primos entre si, é uma raiz da equação polinomial com
b
coeficientes inteiros an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0, então a é divisor de a0 e, além disso, b é
divisor de an .
Prova: Sejam p (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 , an 6= 0, ai ∈ Z, ∀i e α =
mdc(a, b ) = 1 tal que p (α) = 0. Vamos mostrar que
a
∈ Q com
b
a | a0 e b | an .
De fato, p (α) = 0 implica
an ·
an−1
a2
a
an
+ an−1 · n−1 + · · · + a2 · 2 + a1 · = −a0 .
n
b
b
b
b
Reduzindo ao mesmo denominador, temos:
an · an + an−1 · an−1 · b + · · · + a2 · a2 · b n−2 + a1 · a · b n−1 = −a0 · b n ,
e colocando a em evidência obtemos:
a an · an−1 + an−1 · an−2 · b + · · · + a2 · a · b n−2 + a1 · b n−1
|
{z
}
= − a0 · b n .
∈Z
Isto implica que, por um lado, se a | a0 · b n , então a | a0 ou a | b n , mais ainda, a | a0 ou a | b . Como
mdc(a, b ) = 1, segue que a | a0 . Analogamente mostra-se que b | an
As raízes fracionárias de um polinômio p (x ) são da forma
2
b
, onde b é um divisor de a0 .
an
85
Raízes Irracionais
√
Se uma equação de coeficientes racionais admitir uma raiz irracional da forma a + b , admitirá também
√
a raiz a − b, conjugada da primeira, com o mesmo grau de multiplicidade.
4.9
Exercícios Propostos
4.1. Resolver a equação z 4 − 5z 3 − 10z 2 − 10z + 4 = 0, sabendo que 1 e 2 são raízes.
4.2. Resolver a equação z 4 − 3z 3 − z 2 + 13z − 10 = 0 sabendo que 1 e 2 são raízes.
4.3. Dada a equação 3x 3 − 6x 2 + 3x − 1 = 0 com raízes a, b e c , pede-se:
1 1 1
(a) escrever as relações de Girard
(b) calcular + +
a b c
(c) calcular a2 + b 2 + c 2 .
4.4. Resolver a equação P (x ) = 3x 4 − 8x 3 − 6x 2 + 24x + 19 = 0, sabendo que −1 é raiz dupla.
4.5. Obter uma equação de coeficientes reais e de menor grau possível que tenha como raízes 1, −i e 2i .
4.6. Resolver a equação P (x ) = x 4 − 5x 3 + 15x 2 − 5x − 26 = 0 sabendo que 2 + 3i é uma de suas raízes.
4.7. Resolver a equação x 3 − 2x − 4 = 0.
4.8. Mostrar que a equação x 4 + 3x 3 + 2x + 2 = 0 não admite raízes racionais.
4.9. Mostrar que a equação x 3 + 2x + 1 = 0 admite uma raiz real irracional.
4.10
Gabarito
Questão. 4.1 1, 2, 1 + i e 1 − i . . Questão. 4.2 1, −2, 2 + i e 2 − i . . Questão. 4.3 (a) a + b + c = 2, ab + ac + bc = 1 e abc = 13 .
√
√
7+2 2
7−2 2
ie
i . . Questão. 4.5 (x − 1)(x 2 + 1)(x 2 + 4) = 0. .
(b) a1 + b1 + c1 = 3. (c) a2 + b 2 + c 2 = 2. . Questão. 4.4 −1,
3
3
Questão. 4.6 −1 2 2 + 3i e 2 − 3i . . Questão. 4.7 2, −1 − i e −1 + i . . Questão. 4.8 . Questão. 4.9 .
86
Fundamentos da Matemática III
Atividade Orientada
1a Etapa
5.1.1. Sabendo que uma volta completa tem medida igual a 360◦ , determine o comprimento da circunferência em radianos.
Para ter uma noção intuitiva, faça a seguinte construção.
(a) Inscreva um hexágono regular ABC DE F em uma circunferência de centro “O ” e raio r .
(b) Compare o comprimento dos arcos dados por dois pontos consecutivos do hexágono regular com o
comprimento da corda correspondente.
(c) Compare o comprimento de um destes arcos com 1 radiano.
Quantas vezes cabe o radiano na circunferência?
Agora, para você saber se o seu número está correto, demonstra-se que a circunferência tem comprimento 6, 283184 . . . radianos (Você chegou perto?). Este número é batizado de 2π. Deste fato, estabeleceuse a correspondência abaixo para conversão de unidades.
360◦
—— 2πrad.
⇔
180◦
—— π
Para esclarecer, caso não tenha entendido, leia atentamente a resolução do exemplo seguinte.
Exemplo 5.1. Considere os círculos concêntricos de raio r1 , r2 e r3 . Seja α o ângulo central AOB , tal
que α = 60◦ , determinando sobre as circunferências arcos l1 , l2 e l3 , respectivamente. Qual é a medida em
radianos do ângulo 60◦ ?
Solução: Dados do exercício:
• raios - r1 , r2 e r3 ;
• α = 60◦ ;
• A é o ângulo central;
• arcos l1 , l2 e l3 .
Como podemos determinar o comprimento dos arcos? Vejamos:
360◦
60
◦
—— 2π r1
—— l1 .
⇒
l1 =
π
l1
π r1
= .
⇒
3
r1
3
⇒
l2 =
π
l2
π r2
= .
⇒
3
r2
3
Também
360◦
60
Da mesma maneira,
◦
—— 2π r2
—— l2 .
π
l3
= .
r3
3
(Você concorda? Faça o desenho se você tiver dúvidas).
87
ATIVIDADE ORIENTADA
Assim,
Portanto,
l1
l2
l3
π
=
=
= .
r1
r2
r3
3
π
é a medida em radianos do ângulo α = 60◦ .
3
5.1.2. Exprima em radianos:
(a) 210◦;
(b) 270◦;
(c) 315◦ .
(b) 2π/3;
(c) 5π/6.
5.1.3. Exprima em graus:
(a) π/4;
5.1.4. Sabendo que tg(x ) =
12
3π
eπ<x <
, calcule as demais funções circulares.
5
2
5.1.5. Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas a
seguir:
(a) f (x ) = −2 sen(x )
(c) f (x ) = sen
x 2
(d) f (x ) = 1 + cos(2x ).
(b) f (x ) = 2 cos(x /4)
5.1.6. Classifique as questões abaixo em verdadeiro ou falso, justificando suas respostas.
(a) Seja 0 ≤ θ <
√
√
π
. Se tg(θ) = 2, então sec(θ) = 3.
2
(b) Se cos(θ) 6= 1, então
sen2 (θ)
= 1 + cos(θ).
1 − cos(θ)
(c) Se tg(θ) = cotg(θ), então sen(θ) = cos(θ).
(d) A função definida por f (x ) = sen(6x ) tem período
π
.
3
(e) A imagem da função definida por f (x ) = sec(x ) é o conjunto dos números reais.
(f) cos(33π/4) = −1.
(g) Para x ∈ R, sen2 (π − x ) + cos2 (x ) = 1.
(h) cos(cos(x )) > 0, ∀ x ∈ R.
(i) Se sen(α) · cos(α) > 0, então sen(π + 2α) < 0.
(j) cotg(α) existe se, e somente se, cossec(α) existe.
(k) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x ) e cos(x ), então os pontos assinalados
correspondem aos valores de x tais que tg(x ) = 0.
y
x
(l) Existe um único valor de α entre 0 e
π
tal que sec2 (α) − tg2 (α) = 1.
2
(m) O período da função cos(2x ) é menor do que o período da função cos(x ).
88
Fundamentos da Matemática III
(n) No triângulo retângulo de hipotenusa 1.000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este
cateto é menor do que 30◦ .
π
(o) cos( )rad < cos(1) rad.
2
2a Etapa
Ao pensarmos num número complexo z = a + bi como um vetor z = (a, b ) no plano cartesiano, observamos que a multiplicação de um número complexo z = a + bi pela unidade imaginária i , resulta em um
outro número complexo w = −b + ai , que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi
dado. Desta maneira, dado z = 1 + i , multiplique z por i para obter z1 = i · z , depois multiplique o resultado
z1 por i para obter z2 = i · z1 . Continue multiplicando os resultados obtidos por i e faça um desenho no
plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.
5.2.1. Sejam z e w números complexos. Mostre que:
(a) z + w = z + w
(b) z · w = z · w
(c) Se z é real então z = z
(d) z = z
5.2.2. Determine o módulo e o argumento dos complexos a seguir e faça sua representação geométrica.
(a) z = 1 − i
√
(b) z = 2 + 2 3i
(c) z = 4i
5.2.3. Represente na forma trigonométrica os seguintes complexos:
√
(c) z = −5.
(a) z = 8i .
(b) z = 1 − 3i .
√
(d) z = −2 + 2 3i .
(d) z = −i .
π
π
+ i sen ), obtenha z1 · z2 .
3
3
π
π
+ i sen , calcule z 12 .
5.2.5. Dado o número complexo z = cos
16
16
5.2.6. Um hexágono regular, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus
5.2.4. Dados z1 = 5(cos π + i sen π) e z2 = 3(cos
vértices o afixo de z = 2i . Que números complexos são representados pelos outros cinco vértices do
hexágono?
3a Etapa
5.3.1. Se f e g são dois polinômios de grau n, qual é o grau de f + g e de f · g ?
5.3.2. Determine a, b e c de modo que se tenha para todo x real:
ax 2 − bx − 5
=3
3x 2 + 7x + c
5.3.3. Dizemos que os polinômios p1 (x ), p2 (x ) e p3 (x ) são linearmente independentes (L.I.) se a relação
a1 p1 (x ) + a2 p2 (x ) + a3 p3 (x ) = 0 implica a1 = a2 = a3 = 0, em que a1 , a2 , a3 são números reais. Caso
contrário, dizemos que p1 (x ), p2 (x ) e p3 (x ) são linearmente dependentes (L.D.). Classifique os polinômios
p1 (x ) = x 2 + 2x + 1, p2 (x ) = x 2 + 1 e p3 (x ) = x 2 + 2x + 2 quanto a dependência linear.
89
ATIVIDADE ORIENTADA
5.3.4. Determine a condição para que ax 2 + bx + c seja um polinômio quadrado perfeito.
5.3.5. Numa divisão de polinômios em que o divisor tem grau 4, o quociente tem grau 2 e o resto tem
grau 1, qual é o grau do dividendo? E se o grau do resto fosse 2?
5.3.6. Determine o resto e o quociente da divisão de f (x ) = x n − an por g (x ) = x − a.
5.3.7. Os algarismos α, β e γ formam a centena K = αβγ.
(a) Escreva o polinômio completo do 2◦ grau p (x ) tal que p (10) = K .
(b)Prove que K é divisível por 3 se, e somente se, α + β + γ é múltiplo de 3.
5.3.8. Determine o resto e o quociente da divisão de:
(a) x 2 + x + 2 por x − 1
(b) 5x 3 + 2x 2 − x + 4 por x
(c) x 7 − x 6 por x − 1
(d) x 6 − x 4 + x 2 por x + 2.
5.3.9. Prove usando o teorema do resto, que o polinômio p (x ) = x 25 + 2x 14 + x é divisível por x + 1.
5.3.10. Sabendo que o polinômio P (x ) = x 4 + ax 3 − 10x 2 + bx − 12 é divisível por D (x ) = (x + 4)(x − 3),
calcule o quociente da divisão de P (x ) por D (x ).
5.3.11. Dividindo-se o polinômio p (x ) pelos polinômios (x − 2) e (x − 5) obtém-se respectivamente, os
restos 13 e 28. Determine o resto da divisão de p (x ) por (x − 2) · (x − 5).
5.3.12. Fatore o polinômio p (x ) = x 3 + 8x 2 + 4x − 48, sabendo que −4 é uma de suas raízes.
5.3.13. Qual ou quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
(a) Seja p (x ) = a0 x n + a1 x n−1 + . . . an . Então, p (x ) = 0 para todo x real ⇔ a0 = a1 = . . . = an = 0.
(b) Sejam p (x ) = (ax +2)x 2 + bx +4 e q (x ) = x 2 +5x + c . Então, p(x) = q(x) para todo x real ⇔ a = 1, b = 3
e c = 4.
(c) Todo polinômio p (x ) de grau n admite no máximo n raízes reais.

5.3.14. Sendo a, b , e c as raízes da equação x 3 + x − 1 = 0, calcule o valor de log
‹
bc
ac
ab
.
+
+
a
b
c
5.3.15. Resolva a equação polinomial x 4 − 7x 3 + 13x 2 + 3x − 18 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla da
equação.
5.3.16. Sendo r1 ,r2 e r3 as raízes da equação 5x 3 − 6x 2 − 2x + 3 = 0, calcule

cos
90
π
π
π
+ +
r1
r2
r3
‹
.
Fundamentos da Matemática III
Referências Bibliográficas
[1] CARMO, M. P.. Trigonometria e Números Complexos – Coleção do Professor de Matemática.
Rio de Janeiro: SBM, 1.992.
[2] IEZZI, Gelson; Fundamentos de Matemática Elementar – Polinômios, Complexos e Equações –
Vol. 6. 7a edição. São Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004.
[3] IEZZI, Gelson; Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria – Vol. 3. 7a edição. São
Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004.
[4] LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio – Coleção do Professor de Matemática Vol. 2.
Rio de Janeiro: SBM, 1.998.
[5] M. R., Paiva. Matemática – Vol. 1. São Paulo: Editora Moderna, 1.995.
[6] PAIVA, M. R.. Matemática – Vol. 3. São Paulo: Editora Moderna, 1.995.
[7] SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial: Ensino Fundamental, Médio e Superior.
URL: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica>
[8] MARQUES, Paulo. Matemática do Científico ao Vestibular.
URL: <http://www.terra.com.br/matematica>
91
FTC – EaD
Faculdade de Tecnologia e Ciêcnias – Educação a Distância
Democratizando a educação.
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