Capı́tulo 12
Funções Trigonométricas e suas Derivadas
12.1
Motivação
Um agrimensor quer medir a distância entre dois pontos opostos
de um lago, como na ﬁgura ao lado. Ele não pode medir AB
diretamente, mas pode medir CB e o ângulo θ. Como é possı́vel
determinar, a partir desses dados, a medida de AB?
Este problema é equivalente ao de determinar os catetos de um
triângulo retângulo, conhecidos um dos seus ângulos agudos e a
hipotenusa.
A
C
θ
B
O problema da “resolução de triângulos”, que consiste em determinar os seis elementos de um triângulo (3 lados
e 3 ângulos) quando se conhece 3 deles, motivou, há mais de dois mil anos, o desenvolvimento da Trigonometria (do
grego trı́gono = triângulo + métron = medida).
12.2
Uma pequena revisão de trigonometria
12.2.1
Razões trigonométricas
A idéia central da Trigonometria, como já vimos, é associar a cada ângulo θ de um triângulo retângulo, certos números,
ditos cosseno de θ (cos θ) e seno de θ (sen θ), cuja deﬁnição é baseada na semelhança de triângulos.
C
B
A
θ
O
A1
B1
C1
Os triângulos OAA1 , OBB 1 , OCC 1 são semelhantes (por quê?), portanto, valem as relações:
B B1
C C1
A A1
=
=
OA
OB
OC
OA1
OB 1
OC 1
(2)
=
=
OA
OB
OC
(1)
Agora, se deﬁnirmos
OA1
OA
AA1
(4) sen θ =
OA
as relações (1) e (2) garantem que as deﬁnições acima não dependem do triângulo retângulo particular usado para
deﬁni-las.
Pelo Teorema de Pitágoras conclui-se imediatamente, que
(3)
cos θ =
(5) cos2 θ + sen 2 θ = 1 ,
que é a relação trigonométrica fundamental.
• Como é possı́vel dessa maneira deﬁnir o seno e o cosseno de um ângulo obtuso?
168
Cap. 12.
12.2.2
Funções Trigonométricas e suas Derivadas
O cı́rculo trigonométrico e a função de Euler
Em Cálculo, a unidade utilizada para medir ângulos é o radiano. Veremos mais adiante a vantagem de se considerar
esta unidade de medida.
Um radiano é o ângulo que, colocado no centro de uma circunferência de raio r, subtende um arco cujo comprimento
é igual a r. Um ângulo central de θ radianos, subtende um arco, cujo comprimento é θ vezes o raio r, isto é, S = r θ.
S = rθ
S=r
θ rd
θ =1 rd
r
r
Como o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2 π r, então, 360 graus correspondem a 2 π radianos.
π
Assim, 1 radiano é equivalente a 180
π = 57, 296 graus e 1 grau a 180 = 0, 0175 radianos.
Com o surgimento e o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral foi necessário considerar, em aplicações
fı́sicas importantes, as funções seno, cosseno e as outras funções trigonométricas correlatas, deﬁnidas para todo número
real t.
A transição da deﬁnição de seno e cosseno de um ângulo para a deﬁnição de seno e cosseno de um número real é
feita por meio do cı́rculo trigonométrico e de uma função E, dita função de Euler, que deﬁniremos a seguir.
Definição: Cı́rculo trigonométrico
O cı́rculo trigonométrico S1 é definido como sendo uma circunferência de centro na origem e raio igual a uma unidade
de comprimento, orientada no sentido anti-horário.
Um ângulo θ > 0 é marcado no cı́rculo trigonométrico medindose sobre a circunferência, a partir do ponto (1, 0), um arco de
comprimento θ, percorrendo-se a circunferência no sentido positivo (anti-horário), e um ângulo θ < 0 é marcado medindo-se na
circunferência, a partir do ponto (1, 0), um arco de comprimento
| θ |, percorrendo-se a circunferência no sentido negativo (horário.
Repare, ainda, que neste caso a medida do ângulo θ, dada em
radianos, coincide com a medida do arco por ele subtendido.
θ rd
- θ rd
1
É possı́vel associar a todo número real θ um ponto Pθ sobre S1 da seguinte maneira:
1. Seja um número θ > 0. Considere um ponto Pθ sobre S1 de tal maneira que, percorrendo-se S1 no sentido
anti-horário, o comprimento total do arco P0 Pθ seja igual a θ.
2. Seja um número θ < 0. Considere um ponto Pθ sobre S1 de tal maneira que, percorrendo-se S1 no sentido
horário, o comprimento total do arco P0 Pθ seja igual a | θ|.
Estas regras deﬁnem uma função E : R → S1 , que a cada número real θ associa um ponto Pθ = E(θ) sobre S1 .
Esta função é chamada função de Euler.
Note que Pθ+2 π = Pθ para todo número real θ, porque adicionar 2 π a qualquer número θ signiﬁca, simplesmente,
que a partir do ponto Pθ damos uma volta completa no cı́rculo trigonométrico, terminando no mesmo ponto que
começamos. Analogamente, Pθ−2 π = Pθ e Pθ+2 k π = Pθ , qualquer que seja o número inteiro k.
Esta observação mostra que a função de Euler é periódica de perı́odo 2 π, isto é, E(θ) = E(θ + 2 k π).
12.2.3
As funções trigonométricas
Usando a função de Euler, podemos estender o domı́nio das funções trigonométricas a toda reta real. Para isso,
considere um número real t. Como já vimos, no cı́rculo unitário existe um ponto Pt de coordenadas (x, y), no cı́rculo
unitário, que é a imagem de t pela função de Euler. As funções trigonométricas são deﬁnidas a partir das coordenadas
de Pt como
sen t = y;
cos t = x;
tg t = xy , para x ̸= 0
cotg t = xy , para y ̸= 0; sec t = x1 , para x ̸= 0 e cossec t = y1 , para y ̸= 0.
W.Bianchini, A.R.Santos
169
Pt=(x,y)
Observação: Repare que para 0 ≤ t ≤ π2 ,
a deﬁnição das funções trigonométricas coincide
com as mesmas deﬁnições obtidas para um ângulo
b P0 a partir do triângulo retângulo, como
θ = Pt O
mostra a ﬁgura ao lado.
sen θ
θ
O
cos θ
P0
Em particular, como na circunferência unitária a medida do ângulo em radianos, foi deﬁnida como o comprimento
do arco subtendido por este ângulo, quando escrevemos, por exemplo, sen(t), é indiferente considerarmos, t como um
b P0 , cuja medida em radianos é igual a t.
número real qualquer ou como o ângulo θ = Pt O
12.2.4
Algumas propriedades das funções trigonométricas
Evidentemente, as funções trigonométricas são periódicas. Além disso, usando as deﬁnições dadas acima, podemos
deduzir, facilmente, a maioria das fórmulas que usualmente aparecem em trigonometria. Por exemplo, como (x, y)
é um ponto sobre o cı́rculo unitário, deduzimos, imediatamente, que x2 + y 2 = 1 e, portanto, provamos o teorema a
seguir.
Teorema 1: Relação trigonométrica fundamental
Para todo número real t, vale a relação
sen2 t + cos2 t = 1
Observando que P0 = (1, 0), P π2 = (0, 1), Pπ = (−1, 0), P 32π = (0, −1) e P2 π = (1, 0), segue, imediatamente, que
sen(0) = 0, cos(0) = 1, sen( π2 ) = 1, cos( π2 ) = 0, sen(π) = sen(2 π) = 0, cos(π) = −1, cos(2 π) = 1,
sen( 32π ) = −1 e cos( 32π ) = 0
Podemos concluir, também, que a função sen(x ) é crescente nos intervalos (0, π2 ) e ( 32π , 2 π) e é decrescente
em ( π2 , 32π ), enquanto que o cosseno é decrescente em (0, π) e crescente em (π, 2 π). É fácil concluir também que
−1 ≤ sen(x) ≤ 1 e −1 ≤ cos(x) ≤ 1, qualquer que seja o número real x (por quê?).
A partir destas informações podemos ter uma idéia dos gráﬁcos destas funções no intervalo [0, 2 π]:
Seno
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0
–0.2
Cosseno
1
0.8
0.2
1
2
3
x
4
5
6
0
–0.2
–0.4
–0.4
–0.6
–0.6
–0.8
–0.8
–1
1
2
3
x
4
5
6
–1
Além disso, como estas funções são periódicas de perı́odo 2 π, estes ciclos se repetem por toda a reta. Os gráﬁcos
das demais funções trigonométricas podem ser vistos a seguir.
Tangente
Cossecante
3
3
2
y
2
y
1
1
0
0
1
2
3
x
4
5
6
–1
–1
–2
–2
–3
–3
1
Secante
3
2
y
2
y
1
1
0
0
2
3
x
4
3
x
4
5
6
5
6
Cotangente
3
1
2
5
6
–1
–1
–2
–2
–3
–3
1
2
3
x
4
170
Cap. 12.
Funções Trigonométricas e suas Derivadas
Outras propriedades das funções trigonométricas são enunciadas nos teoremas a seguir e podem ser facilmente
demonstradas.
Teorema 2
Para todo número real t, temos
sen(−t) = −sen(t),
cos(−t) = cos(t), tg(−t) = −tg(t),
cotg(−t) = −cotg(t), sec(−t) = sec(t), cossec(−t) = −cossec(t).
Demonstração Como os pontos Pt e P−t são simétricos em relação ao eixo x, se Pt = (x, y) temos P−t = (x, −y).
Aplicando-se as deﬁnições das funções trigonométricas ao ponto (x, −y), seguem as relações acima.
Teorema 3
Seja P = (x, y) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio r e seja Pt o ponto sobre a
circunferência unitária determinado pela sua interseção com o segmento OP. Então,
x = r cos(t) e
y = r sin(t).
Além disso
sen(t) = yr ,
cotg(t) =
x
y
cos(t) =
x
r
para y ̸= 0, sec(t) =
r
x
e
tg(t) =
para x ̸= 0,
y
x
para x ̸= 0 e cossec(t) =
r
y
para y ̸= 0
Demonstração Use as deﬁnições de seno e cosseno e a semelhança de triângulos, conforme sugere a ﬁgura:
(x,y)
θ
r
1
Teorema 4: Lei dos Cossenos
Na figura ao lado, se o ângulo ACB é igual a θ, então
B
c
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
a
C
b
A
Demonstração: Pelo teorema anterior, B = (a cos(θ), a sen(θ)). Como A = (b, 0), a fórmula de distância entre
dois pontos implica que
c2
= (a cos(θ) − b)2 + (a sen(θ) − 0)2 = a2 cos(θ) − 2 a b cos(θ) + b2 + a2 sen2 θ
= a2 (cos2 θ + sen 2 θ) + b2 − 2 a b cos(θ) = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
o que prova o teorema.
Teorema 5: Cosseno da diferença
Para todo θ e ϕ, temos que
cos(θ − ϕ) = cos(θ) cos(ϕ) + sen(θ) sen(ϕ)
W.Bianchini, A.R.Santos
171
P2
c
Demonstração Sem perda de generalidade, podemos supor 0 ≤ ϕ ≤ θ < 2 π. Assim, se na ﬁgura ao lado considerb P0 igual a ϕ
armos a circunferência unitária, o ângulo P1 O
b P1
b
e o ângulo P2 O P0 igual a θ, é claro que o ângulo P2 O
é igual a θ − ϕ, como mostra a ﬁgura ao lado.
P1
θ−φ
θ
φ
O
P0
A lei dos cossenos implica que
(1) c2 = 12 + 12 − 2 cos(θ − ϕ) = 2 − 2 cos(θ − ϕ).
Como, P2 = (cos(θ), sen(θ)) e P1 = (cos(ϕ), sen(ϕ)), a fórmula da distância entre dois pontos implica que
(2) c2
= (cos(θ) − cos(ϕ))2 + (sen(θ) − sen(ϕ))2
= cos2 θ − 2 cos θ cos ϕ + cos2 θ + sen2 θ − 2 sen(θ) sen(ϕ) + sen2 θ
= (cos2 θ + sen 2 θ) + (cos2 ϕ + sen 2 ϕ) − 2 (cos(θ) cos(ϕ) + sen(θ) sen(ϕ)) .
Igualando (1) e (2) obtemos o resultado desejado.
Corolário 1
Para todo θ valem as igualdades
cos( π2 − θ) = sen(θ)
e
sen( π2 − θ) = cos(θ).
Demonstração Decorrência imediata do Teorema 5.
Observação O nome cosseno é uma alusão a este corolário. A palavra cosseno vem do latim “complementi sinus”
e signiﬁca seno do complemento.
Teorema 6: Cosseno da soma
Para todo θ e ϕ vale a igualdade
cos(θ + ϕ) = cos(θ) cos(ϕ) − sen(θ) sen(ϕ).
Demonstração Decorre imediatamente do teorema anterior, substituindo-se ϕ por −ϕ.
Teorema 7: Seno da soma
Para todo θ e ϕ, temos que
sen(θ + ϕ) = sen(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sen(ϕ).
Demonstração Pelo Corolário 1 sabemos que
sen(θ + ϕ)
π
π
π
π
− (θ + ϕ)) = cos([ − θ] − ϕ) = cos( − θ) cos(ϕ) + sen( − θ) sen(ϕ)
2
2
2
2
= sen(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sen(ϕ)
=
cos(
o que demonstra o teorema.
Teorema 8: Continuidade das funções seno e cosseno
As funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são contı́nuas em toda a reta.
Demonstração Faremos a demonstração para a função seno; a demonstração para o cosseno é análoga e é deixada
como exercı́cio (veja Problemas Propostos 2 ).
172
Cap. 12.
Funções Trigonométricas e suas Derivadas
Em primeiro lugar, vamos provar que as funções sen(x)
e cos(x) são contı́nuas no zero. Para isto, basta observar a ﬁgura a o lado e lembrar como estas funções foram
deﬁnidas. Veja que quando θ → 0, quer pela direita, quer
pela esquerda, o ponto (x, y) se aproxima do ponto (1, 0).
Como x = cos(θ) e y = sen(θ), temos que lim sen(θ) = 0 =
(x,y)
θ rd
cos θ
sen θ
1
θ→0
sen(0) e lim cos(θ) = 1 = cos(0), o que prova que estas
θ→0
funções são contı́nuas no zero.
Devemos mostrar, agora, que lim sen(x) = sen(x0 ), qualquer que seja o número real x0 . Tomando-se x = x0 + h
x→x0
de modo que h = x − x0 , temos que h → 0 quando x → x0 . Assim, lim sen(x) = lim sen(x0 + h), e precisamos
x→x0
h→0
mostrar somente que este último limite é igual a sen(x0 ).
Aplicando a fórmula do seno de uma soma, temos que
lim sen(x0 + h) = lim (sen(x0 ) cos(x0 ) + cos(x0 ) sen(h)) = = sen(x0 ) ( lim cos(h)) + cos(x0 ) ( lim sen(h)).
h→0
h→0
h→0
h→0
Como as funções seno e cosseno são contı́nuas no zero (primeira parte da demonstração), temos que lim cos(h) = 1
h→0
e lim sen(h) = 0 e, portanto,
h→0
lim sen(x0 + h) = sen(x0 ) ,
h→0
o que prova a continuidade da função sen(x ) em toda a reta.
12.3
Derivadas das funções trigonométricas
12.3.1
A derivada da função seno
Aplicando a deﬁnição de derivada à função sen(x), obtemos
sen(x + ∆ x) − sen(x)
∆x
e daı́, como sen(x + ∆ x) = sen(x) cos(∆ x) + sen(∆ x) cos(x), temos que
sen′ (x) = lim
∆ x→0
sen(x) cos(∆ x) + sen(∆ x) cos(x) − sen(x)
∆ x→0
∆x
cos(∆ x) − 1
sen(∆ x)
= sen(x) ( lim
) + cos(x) ( lim
).
∆ x→0
∆ x→0
∆x
∆x
Na próxima seção, vamos mostrar que
sen′ (x) =
lim
(1)
lim
∆ x→0
cos(∆ x) − 1
=0
∆x
e que
sen(∆ x)
= 1.
∆x
Uma vez demonstrados estes fatos, segue, imediatamente, que
(2)
lim
∆ x→0
sen′ (x) = cos(x).
Observação Examinando cuidadosamente os limites que aparecem em (1) e (2), veremos que ambos têm uma
curiosa forma. Como cos(0) = 1, o limite dado em (1) pode ser escrito como
lim
∆ x→0
cos(0 + ∆ x) − cos(0)
,
∆x
e este limite, por deﬁnição, é igual a cos′ (0).
Da mesma forma, como sen(0) = 0 , o segundo limite pode ser escrito como
sen(0 + ∆ x) − sen(0)
∆ x→0
∆x
e, usando a deﬁnição de derivada uma vez mais, concluı́mos que este limite é igual a sen′ (0).
Assim, se provarmos que cos′ (0) = 0 e sen′ (0) = 1, teremos mostrado que sen′ (x) = cos(x), o que é feito na próxima
seção.
lim
W.Bianchini, A.R.Santos
12.3.2
173
O limite trigonométrico fundamental
O limite
sen(x)
=1
x
que aparece durante os cálculos feitos no processo de derivação de funções trigonométricas tem considerável importância
no Cálculo Diferencial.
Na demonstração consideraremos apenas valores positivos para x, pois, se substituirmos x por −x na expressão
sen(x)
sen(x)
sen(x)
= L, então lim−
= L. A
x , o valor da razão permanece inalterado. Isto implica que, se lim+
x
x
x→0
x→0
demonstração é baseada na seguinte ﬁgura:
lim
x→0
R
S
x
0
P
Dessa ﬁgura podemos concluir que, para 0 < x <
Q
π
2,
a área do ∆OPS ≤ à área do setor circular OQS ≤ a área do ∆OQR,
ou seja
cos(x) sen(x)
x
tg(x)
≤ ≤
.
2
2
2
Da primeira desigualdade, concluı́mos que
1
sen(x)
≤
x
cos(x)
Da segunda,
sen(x)
cos(x) ≤
x
1
Assim, como lim cos(x) = 1 e lim
= 1 (por quê?), o teorema do sanduı́che garante que, quando x → 0, a
x→0
x→0 cos(x)
→ 1.
razão sen(x)
x
sen(x)
Uma vez estabelecido que lim
= 1, é fácil provar que
x→0
x
cos(x) − 1
= 0.
lim
x→0
x
Assim,
(
)(
)
cos(x) − 1
cos(x) − 1
cos(x) + 1
cos2 (x) − 1
lim
= lim
= lim
x→0
x→0
x→0 x (cos(x) + 1)
x
x
cos(x) + 1
(
)(
)
2
sen x
1
sen(x)
1
= lim −sen(x) lim
lim
= lim −
x→0
x→0
x→0 cos(x) + 1
x→0
x
cos(x) + 1
x
1
= 0 .1 . = 0
2
12.3.3
A derivada da função cosseno
Da mesma forma que foi feito para a função seno, aplicando-se a deﬁnição de derivada à função cosseno obtemos:
cos(x + ∆ x) − cos(x)
cos(x) cos(∆ x) − sen(x) sen(∆ x) − cos(x)
= lim
∆ x→0
∆x
∆x
cos(∆ x) − 1
sen(∆ x)
= cos(x) lim
− sen(x) lim
∆ x→0
∆ x→0
∆x
∆x
= −sen(x) .
cos′ (x) =
lim
∆ x→0
174
Cap. 12.
12.3.4
Funções Trigonométricas e suas Derivadas
As derivadas das demais funções trigonométricas
A partir das fórmulas sen′ (x) = cos(x) e cos′ (x) = −sen(x) e aplicando-se as regras de derivação, podemos facilmente
obter as derivadas das demais funções trigonométricas, como é proposto no exercı́cio:
Exercı́cio
Prove que
1. tg′ (x) = sec2 x
3. sec′ (x) = sec(x) tg(x)
2. cotg′ (x) = −cossec2 x
4. cossec′ (x) = −cossec(x) cotg(x)
Observação No Maple, os comandos usados para as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente,
secante e cossecante são, respectivamente:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
12.4
Porque se usa radianos em Cálculo
απ
Já vimos na revisão de trigonometria que a um ângulo de α graus corresponde um ângulo de x = 180
radianos. Assim,
απ
sen(α) = sen( 180 ) .
sen(α)
cos(α) − 1
Use a relação acima para calcular o valor de lim
e lim
e use estes limites para provar que a
α→0
α→0
α
α
derivada de sen(α), com α dado em graus, é
(απ)
π
απ
π
sen′ (α) = sen′
=
cos(
)=
cos(α)
180
180
180
180
π
Veja que aparece o fator 180
= 0,01745329252 multiplicando a derivada do seno, o que causa um certo transtorno
nas operações. Isto não acontece quando trabalhamos com radianos, o que simpliﬁca muitos cálculos. Além disso, nas
aplicações é mais conveniente entendermos as funções trigonométricas com domı́nio em toda a reta e não como uma
medida de ângulos.
12.5
Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labtrig.mws da versão eletrônica deste
texto.
12.6
Exercı́cios
1. Calcule os seguintes limites:
sen(3 x)
(a) lim
x→0
x
sen2 x
(b) lim
x→0
x
1 − cos(x)
(c) lim
x→0
sen(x)
sen(2 x)
(d) lim
x→0 x + x cos(x)
sen(12 x)
(e) lim
x→0 sen(3 x)
1 − 2 cos(x) + cos(2 x)
x
6 x − sen(2 x)
(k) lim
x→0 2 x + 3 sen(4 x)
2 sen2 x − 6 x3
(l) lim
x→0
x2
cos( π2 x)
(m) lim
− sen(x) − 1
x→ π
2
x − sen(x)
x + sen(x)
sen(x) sen(2 x)
(g) lim
x→0
x sen(3 x)
tg(x)
(h) lim
x→0 sen(2 x)
x
(i) lim
x→0 cos(x)
(j) lim
(f) lim
x→0
x→0
{
2. Calcule os limites laterais, caso existam, de f(x) =
sen(x)
cos(x)
x>
x<
π
4
π
4
, quando x →
3. Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) f(x) = sen(x) cos(x)
(c) y = sec(x) + tg(x) sen(x) − cossec(x)
(b) g(x) = sen(x)1cos(x)
(d) h(x) = cos2 x − sen2 x
π
4.
Existe o limπ f(x)?
x→( 4 )
(e) f(x) =
4 x−x4
sen(x3 +2)
W.Bianchini, A.R.Santos
175
4. (a) Raciocinando geometricamente, faça uma previsão plausı́vel para Dx sen(a x). Você é capaz de provar que
a sua resposta está correta. (Veja: Atividades de Laboratório 7 )
(b) Usando o resultado do item anterior, determine o ângulo com que a curva y =
12.7
sen(3 x)
3
corta o eixo x.
Problemas propostos
1. Usando o processo abaixo, mostre que a área do cı́rculo de raio r é π r2 .
(a) Mostre que a área do polı́gono de n lados inscrito no cı́rculo é
1
2
[n r2 sen( 2nπ )].
(b) Calcule a área do cı́rculo fazendo n → ∞ na expressão encontrada no item anterior. Por que este limite é
igual à área do cı́rculo?
2. Mostre que a função g(x) = cos(x) é contı́nua em todo o conjunto dos números reais.
√
3. Determine o domı́nio máximo de continuidade da função f(x) = sen( x3 − 9 x)
{ sen(x)
, se x ̸= 0 é contı́nua em x = 0. Caso esta função seja descontı́nua, classiﬁque a
x
4. Decida se f(x) =
0,
se x = 0
descontinuidade em removı́vel ou essencial.
{
x sen( x1 ) , se x ̸= 0
5. (a) Mostre que a função f (x) =
não é derivável em x = 0.
0,
se x = 0
(0)
(0)
Sugestão: Mostre que existem valores arbitrariamente pequenos de h tais que f (h)−f
= 1 e f (h)−f
= −1.
h
h
{
1
x2 sen( x ) , se x ̸= 0
. Aplique a deﬁnição de derivada para mostrar que f é derivável em
(b) Seja f (x) =
0,
se x = 0
′
x = 0 e que f (0) = 0.
6. Seja f (x) = sen(x) − 21 . Calcule o valor máximo atingido por f .
7. Seja f (x) = x + sen(x).
(a) Encontre os pontos onde f ′ = 0
(b) Mostre que em todos os outros pontos f ′ > 0
(c) Esboce o gráﬁco de f .
8. Uma partı́cula se move sobre o eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t é dada
por v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a partı́cula está na origem.
(a) Para 0 ≤ t ≤ π, ache todos os valores de t para os quais a partı́cula se move para a direita.
(b) Você é capaz de achar a função que fornece a posição da partı́cula em qualquer instante de tempo t?
(c) Se você resolveu o item (b), ache a velocidade média da partı́cula no intervalo 0 ≤ t ≤
(d) Ache a aceleração da partı́cula em t =
π
2.
π
2.
9. Um semi-cı́rculo com diâmetro P Q é colocado sobre
a base de um triângulo isósceles, formando a ﬁgura
mostrada ao lado. Se A(θ) é a área do semi-cı́rculo
A(θ)
.
e B(θ) é a área do triângulo, ache lim+
θ→0 B(θ)
P
Q
θ
R
10. Um objeto com peso W é puxado sobre um plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda
amarrada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a magnitude da força é dada por F =
µW
µsen(θ)+cos(θ) , onde µ é uma constante chamada coeﬁciente de atrito.
(a) Ache a taxa de variação de F em relação a θ.
(b) Quando esta taxa de variação é nula?
(c) Se W = 50 e µ = 0, 6, com a ajuda do Maple trace o gráﬁco de F como uma função de θ e use este gráﬁco
para localizar os valores de θ para os quais dF
dθ = 0. Este valor está de acordo com a resposta que você
encontrou no item anterior?
176
Cap. 12.
Funções Trigonométricas e suas Derivadas
12.8
Um pouco de história: O problema da navegação e as primeiras
noções de trigonometria
12.8.1
O Problema da navegação
Na Antiguidade, o transporte e a comunicação por via terrestre envolviam enormes diﬁculdades, pois as vias de acesso
entre as localidades eram penosamente construı́das, em geral usando mão de obra escrava. Para percorrer grandes
distâncias, era bem mais fácil, portanto, estabelecer rotas marı́timas que costeassem ilhas e continentes. A partir da
necessidade de se navegar em alto-mar, surgiu o problema básico da navegação: o de se determinar a posição de um
navio em alto mar.
Os navegantes gregos, que por volta do século V A.C. já tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronômicos dos babilônios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.
Para os navegantes no hemisfério norte, a latitude de um lugar é o ângulo formado pela Estrela Polar e o horizonte
naquele ponto. A latitude de uma pessoa no pólo norte é de 900 , pois nesse ponto a Estrela Polar está diretamente sobre
a sua cabeça (na realidade existe um pequeno desvio angular pois a Estrela Polar não se encontra exatamente sobre
o pólo norte). Navegando para o norte, a cada noite um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais alto
no céu. Navegando para o sul, aconteceria o contrário. Medindo a elevação angular da Estrela Polar, um marinheiro
poderia obter uma medida acurada da distância para o sul ou para o norte. No hemisfério sul, a determinação da
latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevação angular da estrela chamada Sigma
Oitante, que representa o Distrito Federal na Bandeira Brasileira.
No entanto, para determinarmos a posição de um ponto no globo terrestre é necessário além da latitude, que
determina a posição Norte-Sul desse ponto, a determinação da sua longitude, que indica a direção Leste-Oeste.
Os alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude transportando um relógio preciso a bordo de
seu navio. O relógio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante
toda a sua viagem. Como a Terra descreve uma rotação completa (3600 ) em 24h, a cada hora gira 150 . Assim, o
navegador poderia determinar sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas do
relógio quando o sol incidisse diretamente sobre a sua cabeça. Sua longitude em relação a Alexandria seria o produto
de 150 pelo diferença em horas entre o meio-dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relógio.
Infelizmente, não havia relógios portáteis, à disposição dos alexandrinos, que fossem suﬁcientemente precisos para
manter um registro contı́nuo das horas durante uma longa viagem. As diﬁculdades práticas para a determinação da
longitute eram tão grandes que este dado deixou de ser levado em consideração na prática da navegação durante um
grande perı́odo.
12.8.2
As primeiras noções de trigonometria
Tentando resolver o problema da navegação, os gregos se interessaram, também, em determinar o raio da Terra e a
distância da Terra à Lua. Este último problema implicou no surgimento das primeiras noções de Trigonometria.
O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Eratóstenes (250 A.C.), o bibliotecário de Alexandria.
Seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro
ao sul. Eratóstenes sabia que Alexandria, ponto A na ﬁgura seguinte, ﬁcava a 800 km da cidade hoje chamada de
Assuã, ponto B; portanto, esta era a medida do arco AB na ﬁgura. Ele também sabia que em Assuã no dia 21 de
junho, solistı́cio de verão no hemisfério Norte, ao meio dia, o sol incidia diretamente sobre as suas cabeças, junto a
primeira catarata do Nilo. Portanto, neste momento, seus raios formavam um ângulo de zero grau com a vertical,
não produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do sol formavam um ângulo de 7 12 graus com a vertical em
Alexandria.
D
Devido à grande distância, ao atingirem a Terra, os raios do
sol podem ser considerados paralelos, portanto, os ângulos
AÔB e DÂS são iguais, conforme mostra a ﬁgura ao lado.
S
A
Sol
O
B
S’
Como o ângulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assuã e de Alexandria era igual a 7 12 graus,
calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a seguinte proporção
circunferência inteira da Terra.
7 12
360
=
800
x ,
uma vez que 3600 correspondem a
W.Bianchini, A.R.Santos
177
O cálculo feito por Eratóstenes para a circunferência da Terra (38400 km) foi um resultado fantástico se considerarmos que, na época de Colombo, os mais reputados geógrafos acreditavam que o valor correto para a circunferência
da Terra era cerca de 27200 km. De fato, se Colombo conhecesse uma estimativa melhor (cerca de 39840 km), talvez
nunca tivesse se arriscado a viajar para a Índia!
O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunferência por 2 π (aproximadamente
igual a 6,28).
Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8800 km (o raio terrestre é cerca de 6378 km). De posse desse
valor, ele tentou achar a distância da Terra à Lua da maneira descrita a seguir.
Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos situados no
equador, quando ela estiver diretamente sobre um desses pontos,
conforme mostra a ﬁgura ao lado.
No mesmo instante, um observador em C vê a Lua nascer no
horizonte. Conhecendo a localização dos pontos C e E, Hiparco
estimou a medida do ângulo Â. Como a distância AC era igual ao
raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos
um dos lados (8 800 km) de um triângulo retângulo e um de seus
ângulos (Â), determinar a hipotenusa AB.
C
A
E
B
Lua
Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos retângulos semelhantes as razões, constantes, entre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas.
Hiparco organizou diversas tabelas relacionando as razões trigonométricas com ângulos.
As relações trigonométricas num triângulo retângulo constituı́ram um avanço no estudo das relações métricas
nos triângulos porque estabelecem fórmulas que relacionam entre si medidas de segmentos, enquanto que as razões
trigonométricas relacionam medidas de ângulos com medidas de segmentos (lados dos triângulos).
12.9
Para você meditar: Outra forma de definir as funções seno e cosseno
Se f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x), então temos que as seguintes condições se veriﬁcam
(a) f ′ = g, (b) g ′ = −f ,
(c) f (0) = 0, (d) g(0) = 1.
• É possı́vel que haja um outro par de funções satisfazendo estas mesmas condições?
Sugestão Suponha que F (x) e G(x) são um par qualquer de funções com as mesmas propriedades. Mostre que a
derivada da função H deﬁnida por
H(x) = (F (x) − f (x))2 + (G(x) − g(x))2 é igual a zero e daı́ deduza que tipo de função é H.
A resposta a esse problema tem um signiﬁcado notável: tudo que é conhecido sobre as funções seno e cosseno ou
mesmo tudo que venha a ser conhecido sobre elas está implicitamente contido nas condições (a)-(d). Isto é, o seno e
o cosseno são completamente caracterizados pelas condições
sen′ = cos,
cos′ = −sen,
sen(0) = 0, cos(0) = 1.
1. Use as propriedades acima, para mostrar que sen2 x + cos2 x = 1. (Na realidade você já demonstrou esta igualdade no item anterior!)
2. Prove que as funções seno e cosseno satisfazem a seguinte equação funcional y ′′ + y = 0.
3. Seja h(x) = a sen(x) + b cos(x), onde a e b são constantes quaisquer. Prove que a função h também satisfaz a
equação dada no item anterior.
4. Você é capaz de provar alguma outra propriedade das funções seno e cosseno utilizando somente as propriedades
de (a)-(d)? Voltaremos a este problema mais tarde.