Resolução das atividades complementares
Matemática
1
M1 — Trigonometria no ciclo
p. 7
1 Expresse:
a) 45° em radianos p rad
4
b) 330° em radianos 11p rad
6
c) 225° em radianos 5p rad
4
p
d)
rad em graus 60°
3
11p
rad em graus 165°
12
33p
f)
rad em graus 247° 30’
24
e)
Resolução:
a) 180°
p rad
45°
x
180° 5 p → x 5 p ? 45° → x 5 p rad
x
180°
4
45°
b) 180°
p rad
330°
x
180° 5 p → x 5 p ? 330° → x 5 11p rad
x
180°
6
330°
c) 180°
p rad
225°
x
180° 5 p → x 5 p ? 225° → x 5 5p rad
x
180°
4
225°
d) 180°
p rad
p rad
3
x
180° 5 p → p x 5 180° ? p → x 5 60°
x
p
3
3
e) 180°
p rad
11p rad
12
x
180° 5 p → p x 5 180° ? 11p → x 5 165°
x
11p
12
12
f) 180°
p rad
33p rad
24
x
180° 5 p → p x 5 180° ? 33p → x 5 247,5° 5 247° 30’
x
33p
24
24
2 (Mackenzie-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo p  3, a distância, em
centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:
a) 15
c) 20
e) 10
b) 12
d) 25
Resolução:
Em 60 minutos o ponteiro dá uma volta, que é o comprimento da circunferência C 5 2pr, em que
p 5 3 e r 5 4.
60’
2pr
25’
x
2pr ? 25
2 ? 3 ? 4 ? 25
x 5
→ x 5
→ x 5 10 cm
60
60
3 Um arco de circunferência mede 210° e seu comprimento é 2 km. Qual a medida do raio em metros?
Use p  3,14. aproximadamente 546 m
Resolução:
a rad 5 ,
r
, 5 2 km 5 2 000 m
180°
p rad
210°
x
210° ? p
x 5
5 7p rad
180°
6
2000
6 ? 2000
7p 5
→ r 5
 545,9
6
r
7p
A medida do raio é, aproximadamente, 546 metros.
4 Determine o comprimento de um arco de ângulo central 85°, cujo raio da circunferência é 5 cm. Use
p 5 3,14. aproximadamente 7,41 cm
Resolução:
a rad 5 ,
r
r 5 5 cm
180°
p rad
x
85°
85° ? p
x 5
5 17p rad
180°
36
17p 5 , → , 5 5 ? 17p  7,41
36
5
36
O comprimento do arco é, aproximadamente, 7,41 cm.
5 Ao meio-dia, o ponteiro dos minutos de um relógio coincide com o ponteiro das horas. A que horas
acontece a próxima coincidência? 13h 5min 27s
Resolução:
Em 3 600”, o ponteiro das horas percorre 30°, e o dos minutos, 360°.
30°
ponteiro das horas: 3 600”
x
a
a 5 x
(I)
120
ponteiro dos minutos: 3 600”
360°
x
360° 1 a
3600 ? (360 1 a)
x 5
→ x 5 10 ? (360 1 a)
360
(II)
Substituindo (I) em (II), temos:
x 5 10 ? 360 1 x → x 5 3600 1 10x → x 2 x 5 3600 →
120
12
120
12x 2 x
→
5 3600 → 11x 5 43 200 → x 5 3927”
12
3927
5 65’ 27”” 5 1h 5’ 27”
60
(
)
Portanto, a próxima coincidência acontecerá às 13h 5min 27s.
6 Um circuito de kart tem uma pista circular de raio 500 m. Um piloto, para testar a pista e o kart,
desenvolve uma velocidade constante de 80 km/h. Determine o número de voltas que ele deu na pista, após
15 minutos. 6,3 voltas
Resolução:
C 5 2pr 5 2 ? 3,14 ? 500 → C 5 3 140 m
Como a velocidade é 80 km/h, em 15 minutos ele andou 80 5 20 km 5 20000 m.
4
20 000
5 6,3
número de voltas 5
3 140
Após 15 minutos, o piloto deu 6,3 voltas na pista.
7 Ana pretende colocar renda em todo o perímetro de uma toalha circular de raio 1 m. Quantos metros
de renda ela deve comprar? 6,30 m
Resolução:
C 5 2pr 5 2 ? 3,14 ? 1 → C 5 6,28 m
Ela deve comprar 6,30 metros de renda.
8 Considerando o raio da Terra igual a 6 370 km, qual a medida do comprimento da linha do equador?
aproximadamente 40 003,6 km
Resolução:
C 5 2pr 5 2 ? 3,14 ? 6 370 → C 5 40 003,6 km
A linha do equador tem, aproximadamente, 40 003,6 km.
9 (Unesp-SP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular
de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e
o ângulo de abertura mede 1 rad. O perímetro do “monstro”, em centímetros, é:
a) p 2 1
c) 2p 2 1
e) 2p 1 1
b) p 1 1
d) 2p
Resolução:
A
1 cm
O
1 rad
1 rad (1 cm)
B
� é 1 cm.
O comprimento do arco menor AB
O perímetro do “monstro” é p 5 2pr 2 1 1 1 1 1 5 2p 1 1.
10 Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está assinalando:
a) 2 h 60°
b) 2h 15min 22° 30’
c) 2h 50min 145°
Resolução:
a) 2 h
11
12
1
10
2
9
3
8
4
7
6
5
Em 60’ o ponteiro dos minutos percorre 360°, e o ponteiro das horas, 30°. Então, às 2 horas, o
menor ângulo formado é 2 ? 30° 5 60°.
b) 2h 15min
11
12
1
10
�
9
8
3
4
7
�
2
6
5
Em 60’ o ponteiro das horas percorre 30°; em 15’, percorrerá:
60’
30°
15’
a
15 ? 30
a 5
→ a 5 7° 30
60
 5 30° 2 a 5 30° 2 7° 30’ →  5 22° 30’
c) 2h 50min
11
10
12
�
9
1
2
�
8
4
7
3
6
5
Em 60’ o ponteiro das horas percorre 30°; em 50’, percorrerá:
60’
30°
50’
a
50 ? 30
a 5
→ a 5 25°
60
 5 120° 1 a 5 120° 1 25° →  5 145°
�, ADC
� e CEB
� têm, respectivamente, raios 30 cm, 10 cm e 20 cm.
11 Na figura abaixo, os arcos AMB
� 5 94,2 cm; ADC
� 5 31,4 cm e
Determine os comprimentos desses arcos. O que podemos concluir? AMB
� 5 62,8 cm
CEB
Resolução:
� 5 2pr 5 2 ? 3,14 ? 30 5 94,2 cm
arco AMB
2
2
2 ? 3,14 ? 10
2
p
r
�
arco ADC 5
5
5 31,4 cm
2
2
� 5 2pr 5 2 ? 3,14 ? 20 5 62,8 cm
arco CEB
2
2
�
� 1 CEB
�.
Podemos concluir que AMB 5 ADC
12 Um grado (1 gr) é um ângulo central que determina na circunferência um arco de comprimento
igual a 1 da circunferência. Quantos radianos tem um ângulo de 50 gr? p rad
4
400
Resolução:
2p rad
400 gr
50 gr
x
50 ? 2p
x 5
→ x 5 p rad
400
4
13 Um ciclista leva 5 minutos para dar uma volta numa pista circular de raio 150 m. Qual o
comprimento da pista e qual a velocidade do ciclista em metros por minuto? 942 m e v 5 60p m/min
Resolução:
C 5 2pr 5 2 ? 3,14 ? 150 → C 5 942 m
v 5 s 5 2p ? 150 → v 5 60p m/min
t
5
p. 10
14 Determine as medidas de x, em graus, associadas ao arco e a 45°, nas quatro primeiras voltas
positivas. 45°, 405°, 765°, 1 125°
Resolução:
x1 5 45°
x2 5 45° 1 360° 5 405°
x3 5 45° 1 720° 5 765°
x4 5 45° 1 1 080° 5 1 125°
15 Determine as medidas de x, em radianos, associadas ao arco de p8 nas três primeiras voltas
negativas. 2 p , 2 17p , 2 33p
8
8
8
Resolução:
x1 5 2 p
8
x 2 5 2 p 2 2p 5 2 17p
8
8
x 3 5 2 p 2 4p 5 2 33p
8
8
16 Construa um ciclo trigonométrico e marque os pontos correspondentes a:
0; p ; 2p ; 3p 5 p; 4p ; 5p ; 6p 5 2p.
3 3
3
3
3
3
p
a) Qual é o simétrico de
em relação à origem? 4p
3
3
4p
b) Qual é o simétrico de em relação ao eixo das ordenadas? 5p
3
3
Resolução:
2π
3 C
π
B 3
πD
A
0 m 2π
4π E
3
F 5π
3
a) O simétrico de p em relação à origem é 4p .
3
3
4
p
b) O simétrico de
em relação ao eixo das ordenadas é 5p .
3
3
17 Seja o arco de expressão geral: a 5 p 1 2kp, k  B.
4 p
a) Qual o valor da expressão para k  0? a 5
4
57p
b) Qual o valor da expressão para k  7? a 5
4
Resolução:
a 5 p 1 2kp, k  Z
⁄
4
a) k 5 0 → a 5 p
4
b) k 5 7 → a 5 p 1 2 ? 7 ? p 5 57p
4
4
18 a) Escreva em graus a expressão geral dos arcos de 20°. a  20°  360°k, k  B
b) Qual é a imagem do arco se k 5 22? a  700°
Resolução:
a) a 5 20° 1 360°k, k  B
b) a 5 20° 1 360° ? (22) 5 2700°
19 Em que quadrante se encontra a extremidade dos arcos de:­­
a) 1 690° 2o quadrante
b) 2 490° 4o quadrante
c) 323p 1o quadrante
8
Resolução:
a) 21 690° 5 (24) ? 360° 2 250° → a primeira determinação é igual a 2250°, que se encontra no
2o quadrante.
b) 2 490° 5 (6) ? 360° 1 330° → a primeira determinação é igual a 330°, que se encontra no
4o quadrante.
c) 323p 5 (20) ? 2p 1 3p → a primeira determinação é 3p , que se encontra no 1o quadrante.
8
8
8
20 Descubra a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos congruentes ao arco
de 2 310°. a  150° e a  150°  360°k, k  B
Resolução:
2310° 360°
150° 6
2 310° 5 (6) ? 360° 1 150°
A primeira determinação é 150°.
a 5 150° 1 360°k, k  B
21 Determine o raio do círculo percorrido por um ponto, sabendo que em uma volta e meia percorreu
uma distância de 9,420 km. 1 km
Resolução:
uma volta e meia 5 2pr 1 pr 5 3pr 5 9 420
9 420
r 5
→ r 5 1 000 m 5 1 km
3 ? 3,14
� e AC
� , em radianos, sabendo que estão orientados no sentido horário.
22 Determine a medida dos arcos AB
� 5 2 11p e med (AC)
� 5 2 5p
med (AB)
6
6
Resolução:
p rad
180°
30°
x
x 5 30p → x 5 p rad
180
6
Observando o sentido horário dos arcos, temos:
� 5 22p 1 p 5 2 11p
med (AB)
6
6
p
5
p
�
med (AC) 5 2p 1
52
6
6
p. 11
� AC,
� AD
� e AE.
�
23 Nas figuras a seguir, determine em graus os arcos AB,
a)
� 5 38°
med (AB)
� 5 142°
med (AC)
�) 5 218°
med (AD
� 5 322°
med (AE)
b)
� 5 22°
med (AB)
� 5 158°
med (AC)
� 5 202°
med (AD)
� 5 338°
med (AE)
Resolução:
� 5 38°
a) med (AB)
� 5 180° 2 38° 5 142°
med (AC)
�) 5 180° 1 38° 5 218°
med (AD
� 5 360° 2 38° 5 322°
med (AE)
� 5 202° 2 180° 5 22°
b) med (AB)
�) 5 180° 2 22° 5 158°
med (AC
�) 5 180° 1 22° 5 202°
med (AD
� 5 360° 2 22° 5 338°
med (AE)
10
24 Os polígonos a seguir são quadrados. Determine em radianos os arcos correspondentes aos vértices.
a)
� 5 p
med (AB)
2
�
med (AC) 5 p
� 5 3p
med (AD)
2
b)
� 5 p
med (AB)
4
3
�
med (AC) 5 p
4
� 5 5p
med (AD)
4
7p
�
med (AE) 5
4
Resolução:
� é um arco de 90°, equivalente a p rad; então:
a) AB
2
� 5 p
med (AB)
2
� 5 p 1 p 5 p
med (AC)
2
2
p
�
med (AD) 5 p 1
5 3p
2
2
� mede 45° e os arcos BC,
� CD
� e DE
� são
b) BD e CE são diagonais do quadrado; portanto, o arco AB
arcos de 90° ou p rad. Assim:
2
p
� 5
med (AB)
4
� 5 p 1 p 5 3p
med (AC)
4
2
4
p
5
p
� 5
med (AD)
1 p 5
4
4
� 5 p 1 3 ? p 5 7p
med (AE)
4
2
4
11
p. 16
25 Associe os valores da segunda coluna aos valores dos senos da primeira coluna:
a) sen 270°
1. 0
b) cos 315°
2. 2
c) cos 5p 6
d) sen 7p 6
e) sen 2p
f) cos 4p
a: 3, b: 4, c: 2, d: 5, e: 1, f: 6
3
2
3. 21 2
2
5.2 1
2
4.
6. 1
Resolução:
Observando o ciclo trigonométrico abaixo com os ângulos e seus respectivos senos e cossenos, temos:
a) sen 270° 5 21
b) cos 315° 5
2
2
(3)
(4)
c) cos 5p 5 2 3
(2)
6
2
d) sen 7p 5 2 1 (5)
6
2
12
e) sen 2p 5 0
(1)
f) cos 4p 5 cos 2p 5 1
(6)
26 Determine os valores de:
a) sen 19p 2
4
2
g) cos 3p 0
2
1
2
e) cos 2p 2 1 3
2
f) cos 1 305° 2 2
2
d) sen 150°
b) sen 675° 2 2
2
c) sen 5p 0
h) cos 1 000p 1
Resolução:
a) 19p 5 4p 1 3p → sen 19p 5 sen 3p 5
4
4
4
4
2
2
2
b) 675° 5 360° 1 315° → sen 675° 5 sen 315° 5 2
2
c) 5p 5 p 1 4p → sen 5p 5 sen p 5 0
d) sen 150° 5 1
2
e) cos 2p 5 2 1
3
2
2
f) 1 305° 5 (3) ? 360° 1 225° → cos 1 305° 5 cos 225° 5 2
2
g) cos 3p 5 0
2
h) 1 000p 5 (500) ? 2p → cos 1 000p 5 cos 2p 5 1
( )
( )
27 Determine o valor da expressão: A 5 cos 10p 1 sen 15p 2 sen 2 3p 1
2
Resolução:
10p 5 (5) ? 2p → cos 10p 5 cos 2p 5 1
15p 5 (3) ? 2p 1 3p → sen 15p 5 sen 3p 5 21
2
2
2
2
sen 2 3p 5 sen p 5 1
2
2
A 5 cos 10p 1 sen 15p 2 sen 2 3p 5 1 1 (21) 2 1 5 21
2
2
( )
( )
( )
13
2
28 Calcule sen (60°) e cos (45°). sen (260°) 5 2 3 e cos (245°) 5
2
Resolução:
2
2
sen (2a) 5 2sen a → sen (260°) 5 2sen 60° 5 2 3
2
2
2
cos (2a) 5 cos a → cos (245°) 5 cos 45° 5
 sen (260°) 5 2 3 e cos (245°) 5
2
2
2
29 Simplifique: A 5 sen (11p  x) 1 cos (7p 1 x), para x 5 p .
3
3 21
2
Resolução:
11p 5 (5) ? 2p 1 p; 7p 5 (3) ? 2p 1 p; x 5 p
3
A 5 sen p 2 p 1 cos p 1 p → A 5 sen 2p 1 cos 4p → A 5
3
3
3
3
)
(
→ A 5
(
)
3 2 1 →
2
2
3 21
2
30 Se a 1 b 5 270° e a 2 b 5 210°, determine o valor de cos a 1 cos b.
Resolução:
a 1 b 5 270°

a 2 b 5 210°
2a
5 480° → a 5 240°
Substituindo a, temos:
a 1 b 5 270° → 240° 1 b 5 270° → b 5 30°
Então: cos 240° 1 cos 30° 5 2 1 1
2
3 5
2
3 21
.
2
14
3 21
2
31 Se a 5 1 380°, determine o valor de sen a ? cos a. 2 3
4
Resolução:
1 380° 5 (3) ? 360° 1 300°
sen 300° ? cos 300° 5 2 3 ? 1 5 2 3
2
2
4
 sen a ? cos a 5 2 3
4
32 Calcule o valor da expressão: A 5 sen 5x 1 cos 10x , para x 5 30°. 1
sen 9x
Resolução:
sen 5x 1 cos 10x
sen 5 ? 30 1 coos 10 ? 30
A 5
5
→
sen 9x
sen 9 ? 30
1 1 1
sen 150° 1 cos 300°
2 → A 5 21
→ A 5
5 2
sen 270°
21
33 Se sen 5p 5 a, qual o sinal de a? Qual o valor do sen 13p em função de a? a é positivo e sen 13p 5 a.
18
18
Resolução:
p 180°
5p
x
18
180 ? 5p
p 5 180 → x 5
18 → x 5 50°
5p
x
p
18
Portanto, é um ângulo do primeiro quadrante e seu seno é positivo.
5p
Se 13p 5 p 2
e sen x 5 sen (p 2 x), então:
18
18
5p
sen
5 sen p 2 5p 5 sen 13p 5 a
18
18
18
Então, a é positivo e sen 13p 5 a.
18
(
)
15
18
34 Se sen x 5 1 , determine:
1
3
b) sen (p  x) 2 1
3
3
a) sen (p  x)
1
c) sen (2p  x) 2
3
1
d) sen (2p 1 x)
3
Resolução:
Observando o ciclo trigonométrico abaixo, temos:
1
3
(π � x) N
M (x) 2π � x
x
(π � x) P
Q (2π � x)
�1
3
a) sen (p 2 x) 5 1
3
b) sen (p 1 x) 5 2 1
3
c) sen (2p 2 x) 5 2 1
3
d) sen (2p 1 x) 5 1
3
35 (Unesp-SP – modificado) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura em metros de
seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão: h(t) 5 11,5 1 10 sen  p ( t 2 26) , em que o tempo
 12

é dado em segundos e a medida angular em radianos. A que altura seu amigo se encontrava do solo quando a
roda começou a girar (t 5 0)? 6,5 m
Resolução:
h(t) 5 11,5 1 10 sen  p ? (t 2 26)

 12
h(0) 5 11,5 1 10 sen  p ? (0 2 26) → h(0) 5 11,5 1 10 sen 2 13p  →
 6 
 12

→ h(0) 5 11,5 1 10 sen 2 p  5 11,5 2 5 5 6,5 m
 6 
16
36 Para que valores de x temos sen x 5 cos x, se 0° < x , 360°? 45° e 225°
Resolução:
Pelo ciclo trigonométrico, podemos concluir que sen x 5 cos x, para x 5 45° e para x 5 225°.
37 O fenômeno da maré em determinado ponto da costa brasileira pode ser obtido pela expressão:
)
(
P(t) 5 21 1 2 cos p ? t 1 5p , em que t é o tempo decorrido após o início da operação (t 5 0), e P(t) é
2
6
4
a profundidade da água no instante t. Qual é a profundidade da água no início da operação? 9 m
Resolução:
P(t) 5 21 1 2 ? cos p t 1 5p → P(0) 5 21 1 2 ? cos p ? 0 1 5p →
2
2
6
4
6
4
→ P(0) 5 21 1 2 ? cos 5p 5 21 1 2 ? 2 2 → P(0) 5 9,0
2
2
4
2
(
( )
)
( )
A profundidade da água no início da operação é 9 metros.
17
(
)
p. 22
38 Construa o gráfico das funções a seguir, dando o domínio, a imagem e o período.
)
(
(
p
b) y 5 3 cos x 2
3
a) y 5 2 2 cos x
p
c) y 5 3 cos x 1
2
)
Resolução:
a) y 5 2 2 cos x
Fazendo a tabela com os valores principais da primeira determinação positiva, temos:
x
cos x
2 2 cos x
0
1
1
1o quadrante → crescente
p
2
0
2
2o quadrante → crescente
p
3
21
3o quadrante → decrescente
3p
2
0
2p
1
2
4o quadrante → decrescente
1
Esboçando o gráfico da função, temos:
(
)
D5V
Im(f) 5 [1, 3]
P 5 2p
b) y 5 3 cos x 2 p
3
Fazendo a tabela com os valores principais da primeira determinação positiva, temos:
(
)
(
x 2 p
3
x
cos x 2 p
3
0
p
3
1
3
p
2
5p
6
0
0
p
4p
3
21
23
3p
2
11p
6
0
0
2p
7p
3
1
3
18
3 cos x 2 p
3
)
Esboçando o gráfico da função, temos:
y
4
3
2
1
5π
6
0
2,5π
�2π
�1,5π
�π
π
3
0
�0,5π
4π
3
x
11π
6
7π
3
�2
D5V
Im(f) 5 [23, 3]
P 5 7 p 2 p 5 2p
3
3
�3
�4
)
(
c) y 5 3 cos x 1 p
2
Fazendo a tabela com os valores principais da primeira determinação positiva, temos:
(
)
(
(
x
cos x 1 p
2
0
2p
1
3
3
p
2
0
0
0
0
p
p
2
21
23
3
3p
2
p
0
0
0
2p
3p
2
1
3
3
2
3 cos x 1 p
2
)
x 1 p
2
3 cos x 1 p
2
y
4
3
2
1
x
0
�2,5π �2π
�1,5π
�π
0
�0,5π
π
0,5π
�2
�4
19
1,5π
2π
2,5π
D5V
Im(f) 5 [0, 3]
P5p
)
(
39 Determine o período da função: f(x) 5 sen x 1
Resolução:
2
p
3
)
. p  4p
)
(
f(x) 5 sen x 1 p
2
3
x
p
0 
1
 2p → 2 p  x  2p 2 p → 2 2p  x  10p
2
3
3
2
3
3
3
p 5 10p 2 2 2p 5 10p 1 2p 5 12p → p 5 4p
3
3
3
3
3
( )
40 Seja a função real f(x) 5 2 cos ax. Qual o valor de a para que o período dessa função seja 6p? a 5 1
3
Resolução:
f(x) 5 2 cos ax
0  ax  2p → 0  x  2p
a
2
p
2
p
p 5
20 → p 5
a
a
2
p
p 5 6p →
5 6p → a 5 1
a
3
41 (FGV-SP) Para que valores de m, a equação na incógnita x, 2 sen x  1 5 3m, admite solução?
21  m  1
3
Resolução:
2 sen x 2 1 5 3m
3m 1 1
sen x 5
2
Como 21 < sen x < 1, então:
3m 1 1
21 
 1 → 22  3m 1 1  2 → 23  3m  1 → 21  m  1
2
3
20
1
42 Seja a função f: V → V definida por y 5 1 2 sen x . Qual é o domínio da função no intervalo [0, 2p]?
{
D 5 x  IR  x  p
2
Resolução:
1 2 sen x  0 → sen x  1 → x  p
2
Então, D(f) 5 x  IR | x  p .
2
{
}
(
)
43 Qual é a imagem da função f(x) 5 2 2 1 3 cos x 2 p ? Im 5 [25, 1]
Resolução:
(
)
21  cos x 2 p  1
4
23  3 cos x 2 p  3
4
(
)
(
4
)
22 2 3  2 2 1 3 cos x 2 p  2 2 1 3
4
p
25  2 2 1 3 cos x 2
1
4
Im(f) 5 {x  V | 25 < y < 1} 5 [25 , 1]
(
)
44 Seja a função f: V → V definida por f(x) 5 2 cos x. Considere as afirmações:
I. f(x) é uma função par.
II. f(x) é uma função periódica de período 2p.
III. A imagem de f(x) 5 [21, 1].
Podemos afirmar que:
a) I e II são verdadeiras, e III é falsa. b) I é falsa, e II e III são verdadeiras. c) I e III são verdadeiras, e II é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.
Resolução:
I. (Verdadeira) → 2 cos x 5 2 cos (2x); portanto, a função é par.
II. (Verdadeira) → 2 cos x 5 2 cos (x 1 2kp); então, p 5 2p.
III. (Falsa) → 21 < cos x < 1 → 22 < 2 cos x < 2 → Im(f) 5 [22, 2]
21
}
( )
45 O custo de x dezenas de certo produto é dado pela função: C(x) 5 3 2 sen p x em milhares de
3
reais. Qual é o valor do custo mínimo desses produtos? Quantas dezenas podem ser fabricadas por esse
custo? 2 000 reais; 1,5 dezena
Resolução:
( )
21  sen p x  1
3
( )
( )
Portanto, o valor máximo de sen p x é 1, e o custo só será mínimo quando sen p x for máximo.
3
3
C(x) 5 3 2 sen p x
3
( )
C(x) 5 3 2 1 5 2 → o valor do custo mínimo é 2 000 reais.
( )
( )
( )
2 5 3 2 sen p x → sen p x 5 1 → sen p x 5 sen p → p x 5 p → x 5 3 5 1,5
2
3
2
2
3
3
3
O custo mínimo desses produtos é R$ 2 000,00 e pode ser fabricada 1,5 dezena por esse custo.
46 Se sen x  sen y, 0  x  p e ainda 0  y  p , podemos afirmar que:
a) x 5 y
b) x  y
2
c) sen x  0 d) cos x  cos y
2
e) cos x, sen y  0
Resolução:
sen
x
y
cos
No ciclo acima verificamos que se sen x . sen y, então: x . y e cos y . cos x.
22
47 A função f: V → V dada por f(x) 5 2 cos x é:
3
c) decrescente para 0  x  6p
d) crescente para 0  x  6p
a) decrescente para 0  x  3p
b) crescente para 0  x  3p
e) crescente para 3p  x  3p
2
Resolução:
Fazendo a tabela com os valores principais da primeira determinação positiva, temos:
x
3
x
cos x
3
2 cos x
3
0
0
1
2
p
2
3p
2
0
0
p
3p
21
22
3p
2
9p
2
0
0
2p
6p
1
2
Esboçando o gráfico da função, temos:
y
6
4
2
0
�5π
�4π
�3π
�2π
�π
0
π
2π
3π
4π
x
5π
�2
�4
�6
Portanto, a resposta certa é a alternativa a, pois a função é decrescente para 0 < x < 3p.
23
48 O valor máximo da função f(x) 5 3 sen x é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 21
2
e) 0
Resolução:
21  sen x  1 → 23  3 sen x  3
2
2
Portanto, o valor máximo é 3.
49 A figura a seguir representa o gráfico da função y 5 a cos bx.
Os valores de a e b são, respectivamente:
a) –1 e 2
b) –1 e 1
c) 21 e 1 2
d) 1 e 2
Resolução:
Observando o gráfico, temos:
Se bx 5 0 → x 5 0
Se bx 5 2p → x 5 2p
b
p 5 2p 2 0 5 2p 5 4p → b 5 2
b
b
Como a imagem da função é [21, 1], então a 5 1.
24
e) 1 e 1 2
50 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas por:
( )
()
3 sen2 x 2 1
f(x) 5 2
e g(x) 5 1
2
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a:
a) 0
c) 1 4
1
1
b) 2 d)
4
2
Resolução:
f(x) 5
( )
2
3 sen x 2 1
()
; g(x) 5 1
2
3 sen x 2 1
, x  IR
e) 1
3 sen2 x 2 1
f será mínimo se sen x 5 21, e g será mínimo se sen2 x 5 1.
23 2 1
fmin 5 ( 2 )
5 1
4
321
g min 5 1
5 1
4
2
1
fmin 1 g min 5
1 1 5 1
4
4
2
()
2
51 (FGV-SP) Considere a função f(x) 5 2 2 3 cos x . Os valores máximo e mínimo de f(x) são,
4
respectivamente:
a) 1 e –1
b) 1 e 0
c) 2 e 2 3 4
d) 2 e 0
e) 2 e 5
4
Resolução:
2
f(x) 5 2 2 3 cos x
4
21  cos x  1 → 0  cos 2 x  1 → 0  3 cos 2 x  3 → 0  3 cos 2 x  3 →
4
4
3
3
3
3
3
2
2
→ 0  2 cos x  2 → 2  2 2
cos x  2 2
→ 2  22
cos 2 x  5
4
4
4
4
4
4
Portanto, o valor máximo é 2, e o valor mínimo é 5 .
4
25
p. 28
52 Determine os valores de:
a) tg (2420°) 2 3
b) tg 420° 3
c) tg 4 000p 0 d) tg 7 001p 0
e) tg 15p não existe
6
Resolução:
a) tg (2420°) 5 tg (260°) 5 2tg 60° 5 2 3
tg (2420°) 5 2 3
b) tg 420° 5 tg 60° → tg 420° 5 3
c) tg 4 000p 5 tg 2p → tg 4 000p 5 0
d) tg 7 001p 5 tg p → tg 7 001p 5 0
e) tg 15p 5 tg 5p 5 tg p (não existe)
6
2
2
53 Dê o sinal dos números:
a) tg p positivo
6
b) tg p positivo
3
c) tg 2p negativo
3
d) tg 4p positivo
3
Resolução:
Observe, no ciclo, os valores das tangentes dos referidos arcos:
Então:
2π
3
π
3
π
6
7π
4
4π
3
a) tg p  0 → sinal positivo
6
b) tg p  0 → sinal positivo
3
2
c) tg p , 0 → sinal negativo
3
d) tg 4p  0 → sinal positivo
3
7
e) tg p , 0 → sinal negativo
4
26
e) tg 7p negativo 4
(
)
{
}
54 Qual é o domínio da função y 5 tg 3x 1 p ? D(f) 5 x  IR | x  p 1 kp , k  Z⁄
Resolução:
(
3
18
3
)
y 5 tg 3x 1 p
3
3x 1 p  p 1 kp → 3x  p 2 p 1 kp → 3x  p 1 kp → x  p 1 kp , k  Z
⁄
3
2
2
3
6
18
3
D(f) 5 x  IR | x  p 1 kp , k  Z
⁄
18
3
{
}
(
)
55 Esboce o gráfico e dê o domínio, a imagem e o período da função y 5 tg x 2 p .
4
Resolução:
Fazendo uma tabela com os valores principais da primeira determinação positiva, temos:
(
tg x 2 p
4
)
x 2 p
4
x
0
p
4
0
p
2
3p
4
não existe
p
5p
4
0
3p
2
7p
4
não existe
2p
9p
4
0
Esboçando o gráfico da função, temos:
y
4
2
x
0
�2,5π �2π
�1,5π
�π
0
�0,5π
0,5π
π
1,5π
2π
2,5π
x 2 p  p 1 kp → x  3p 1 kp
4
2
4
D(f) 5 x  IR | x  3p 1 kp, k  Z
⁄
4
{
Im(f) 5 IR
p 5 5p 2 p 5 p
4
4
�2
�4
27
}
56 Se tg x 5 m 1 5 , para que valores de m existe essa função? m  3
m2 3
Resolução:
A única restrição para m, neste caso, é que o denominador seja diferente de zero; portanto, m  3.
57 Determine A 5 sen (p 2 x) ? cos (p 1 x) 1 tg (p 2 x) ? tg (p 1 x), para x 5 p . 2 3
4
2
Resolução:
A 5 sen (p 2 x) ? cos (p 1 x) 1 tg (p 2 x) ? tg (p 1 x); x 5 p
4
sen (p 2 x) 5 sen x
cos (p 1 x) 5 2cos x
tg (p 2 x) 5 2tg x
tg (p 1 x) 5 tg x
Então:
A 5 sen p ? 2cos p 1 2tg p ? tg p
4
4
4
4
A 5 2 ? 2 2 1 (21) ? (1) → A 5 2 1 2 1 → A 5 2 3
2
2
2
2
(
(
)
) (
) ( )
58 Resolva as expressões:
a) A 5 3 tg p 1 tg 2p 3
4
b) B 5 tg 2 5p 1 tg 2 2p
6
3
Resolução:
a) tg p 5 1
4
10
3
A 5 3 tg p 1 tg 2p → A 5 3 ? 1 1 0 → A 5 3
4
5
p
b) tg
5 2 3 ; tg 2p 5 2 3
6
3
3
2
2
B 5 tg 2 5p 1 tg 2 2p → B 5 2 3 1 ( 3 ) → B 5 3 1 3 → B 5 10
6
3
9
3
3
( )
28
59 Se f(x) 5 tg x, para que valores de x, x  [0, 2p], temos f(x) 5 1? x 5 p ou x 5 5p
4
4
Resolução:
Para x  [0, 2p], tg x 5 1; para x 5 p ou x 5 p 1 p 5 5p .
4
4
4
(
)
60 Qual o período da função real y 5 tg 2x 1 p ? p
2
2
Resolução:
A função tg tem período p, então:
2x 1 p 5 0 → x 5 2 p e 2x 1 p 5 p → x 5 p
2
4
2
4
p
p
p
p 5
2 2
→ p 5
4
2
4
( )
61 Localize os arcos no ciclo trigonométrico e coloque-os em ordem crescente: tg 30°, tg 135°, tg 240°
e tg 330°. tg 135°  tg 330°  tg 30°  tg 240°
Resolução:
Com os dados, temos:
tg 240°
135°
30°
tg 30°
330°
tg 330°
240°
tg 135°
Então, tg 135° , tg 330° , tg 30° , tg 240°.
29
p. 31
62 Resolva as equações no intervalo 0  x  2p.
a) sen x 5 1 S 5
b) cos x 5 0
S 5 p , 3p
2
2
{
}
{}
{
c) tg x 5 1 S 5 p
, 5p
4
4
1
d) sen x 5 2
2
S 5 7p , 11p
6
6
p
2
{
Resolução:
a) sen x 5 1
sen x 5 sen p → x 5 p → S 5
2
2
}
}
e) tg x 5 0 S  {0, p}
{}
p
2
b) cos x 5 0
cos x 5 cos p → x 5 p ou
2
2
p
cos x 5 cos 2p 2
5 cos 3p → x 5
2
2
c) tg x 5 1
tg x 5 tg p → x 5 p ou
4
4
5p → S 5
p
tg x 5 tg
1 p → x 5
4
4
)
(
{
)
(
3p → S 5
2
p , 5p
4 4
{
p , 3p
2 2
}
}
d) sen x 5 2 1
2
sen x 5 sen 7p → x 5 7p ou
6
6
sen x 5 sen 2p 2 p 5 sen 11p → x 5 11p → S 5 7p , 11p
6
6
6
6
6
e) tg x 5 0
tg x 5 tg 0 → x 5 0 ou
tg x 5 tg p → x 5 p → S 5 {0, p}
(
{
)
30
}
63 Resolva as equações reais.
{
{
{
}
2
⁄
S 5 x  IR | x 5
3 p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z
a) cos x 5 2
2
4
4
b) tg x 5 2 3
2 p 1 kp, k  Z
⁄
S 5 x  IR | x 5
3
3
S 5 x  IR | x 5 4p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z
⁄
c) sen x 5 2
2
3
3
}
}
d) sen x 5 24 S  { }
e) cos x 5 3 S  { }
Resolução:
a) cos x 5 2 2
2
x 5 3p 1 2kp
4
ou
3
p
x 52
1 2kp 5 1 2kp
4
cos x 5 cos 3p → x 5  3p 1 2kp
4
4
{
}
S 5 x  IR | x 5 3p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z
⁄
4
4
b) tg x 5 2 3
tg x 5 tg 2p → x 5 2p 1 kp
3
3
⁄
S 5 x  IR | x 5 2p 1 kp, k  Z
3
{
}
c) sen x 5 2 3
2
x 5 4p 1 2kp
3
sen x 5 sen 4p
ou
3
4
p
x 5 p 2
5 2 p 5 5p 1 2kp
3
3
3
4
p
5
p
S 5 x  IR | x 5
1 2kp ou x 5
1 2kp, k  Z
⁄
3
3
{
(k  Z
⁄)
}
d) sen x 5 24; não existe x tal que sen x 5 24, pois 21 < sen x < 1.
S 5 { }
e) cos x 5 3; não existe x tal que cos x 5 3, pois 21 < cos x < 1.
S 5 { }
31
(k  Z
⁄)
{
}
⁄
S 5 x  IR | x 5 5p 1 2kp ou x 5 7p 1 2kp, k  Z
2
6
6
64 Resolva a equação em V:
cos x 5 21.
3
Resolução:
2 cos x 5 21 → cos x 5 2 3 → cos x 5 cos 5p → x 5  5p 1 2kp
2
6
6
3
 x 5 5p 1 2kp ou x 5 7p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
S 5 x  IR | x 5 5p 1 2kp ou x 5 7p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
{
}
{
65 Determine o conjunto verdade da equação 2 sen2 x 5 1, para 0  x  2p. S 5 p , 3p , 5p , 7p
Resolução:
2 sen 2 x 5 1; 0  x , 2p
sen 2 x 5 1 → sen x 5  2
2
2
Se sen x 5 2 → sen x 5 sen p → x 5 p ou x 5 3p
2
4
4
4
Se sen x 5 2 2 → sen x 5 sen 5p → x 5 5p ou x 5 7p
2
4
4
4
p
3
p
5
p
7
p
 S 5
,
,
,
4 4
4
4
{
}
66 Determine a soma das raízes da equação tg2 x 5 3 no intervalo 0  x  2p. 4p
Resolução:
tg 2 x 5 3; 0  x , 2p
tg 2 x 5 3 → tg x 5  3
3 → tg x 5 tg p → x 5 p ou x 5 4p
3
3
3
Se tg x 5 2 3 → tg x 5 tg 2p → x 5 2p ou x 5 5p
3
3
3
soma 5 p 1 4p 1 2p 1 5p 5 4p
3
3
3
3
Se tg x 5
32
4
4
4
4
}
{
}
⁄
S 5 x  IR | x 5 7p 1 kp ou x 5 11p 1 kp, k  Z
12
12
67 Resolva a equação 2 sen 2x 5 21 no conjunto dos números reais.
Resolução:
2 sen 2x 5 21
sen 2x 5 2 1 → sen 2x 5 sen 7p → 2x 5 7p 1 2kp → x 5 7p 1 kp ou
2
6
6
12
2x 5 11p 1 2kp → x 5 11p 1 kp
6
6
S 5 x  IR | x 5 7p 1 kp ou x 5 11p 1 kp, k  Z
⁄
12
12
{
}
{
68 Resolva a equação 2 cos 2x 5 1, no intervalo 0  x  p. S 5 p , 5p
Resolução:
2 cos 2x 5 1; 0  x  p
cos 2x 5 1 → cos 2x 5 cos p
2
3
 S 5
{
p , 5p
6
6
}
6
6
}
2x 5  p 1 2kp → 2x 5 p 1 2kp → x 5 p 1 kp
3
3
6
2x 5 2 p 1 2kp → 2x 5 5p 1 2kp → x 5 5p 1 kp
3
3
6
33
{
69 Resolva a equação cos 4x 5 cos 2x, no intervalo 0  x  2p. S 5 0, p , 2p , p, 4p , 5p
3
3
3
3
}
Resolução:
cos 4x 5 cos 2x; 0  x , 2p
4x 5  2x 1 2kp
k 5 0 → x 5 0

4x 5 2x 1 2kp → 2x 5 2kp → x 5 kp k 5 1 → x 5 p
k 5 2 → x 5 2p (não convém)

k

k

k


4x 5 22x 1 2kp → 6x 5 2kp → x 5 kp k
3 
k

k

k
{
 S 5 0, p , 2p , p, 4p , 5p
3 3
3
3
}
50 → x 50
51 → x 5 p
3
5 2 → x 5 2p
3
53 → x 5 p
5 4 → x 5 4p
3
5 5 → x 5 5p
3
5 6 → x 5 2p (não convém)
70 Resolva a equação trigonométrica (4 sen2 x 2 2) ? (2 cos x 2 1) 5 0, no intervalo 0  x  2p.
S 5
{
p , p , 3p , 5p , 5p , 7p
4 3
4
4
3
4
}
Resolução:
cos 4x 5 cos 2x; 0 < x , 2p
(4 sen2 x 2 2) ? (2 cos x 2 1) 5 0, temos: 4 sen2 x 2 2 5 0 ou 2 cos x 2 1 5 0.
Se 4 sen 2 x 2 2 5 0 → sen 2 x 5 1 , e sen x 5 
2
Se 2 cos x 2 1 5 0 → cos x 5 1 ; x 5 p ou x 5
2
3
 S 5 p , p , 3p , 5p , 5p , 7p
4 3 4
4
3
4
{
}
34
2 → x 5 p ; x 5 3p ; x 5 5p ou x 5 7p .
2
4
4
4
4
5p .
3
71 Resolva a equação sen x ? cos x 2 sen x 2 cos x 1 1 5 0 em V.
{
}
S 5 x  IR | x 5 p 1 2kp ou x 5 2kp, k  Z
⁄
2
Resolução:
sen x ? cos x 2 sen x 2 cos x 1 15 0
sen x ? (cos x 2 1) 2 (cos x 2 1) 5 0
(sen x 2 1) ? (cos x 2 1) 5 0 → sen x 2 1 5 0 ou cos x 2 1 5 0
Se sen x 2 1 5 0 → sen x 5 1 → x 5 p 1 2kp
2
Se cos x 2 1 5 0 → cos x 5 1 → x 5 2kp
 S 5 x  IR | x 5 p 1 2kp ou x 5 2kp, k  Z
⁄
2
{
}
72 Determine x  V tal que 2 sen3 x 2 7 sen2 x 1 3 sen x 5 0.
{
}
S 5 x  IR x 5 kp ou x 5 p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
Resolução:
2 sen 3 x 2 7 sen 2 x 1 3 sen x 5 0
sen x 5 0

sen x ? (2 sen x 2 7 sen x 1 3) 5 0 
2 sen 2 x 2 7 sen x 1 3 5 0
Se sen x 5 0 → x 5 kp
2
Se 2 sen 2 x 2 7 sen x 1 3 5 0 → sen x 5
7 
49 2 24
4
(
)
ou
sen x 5 3 (não convém)
ou
1
sen x 5
2
sen x 5 1 → sen x 5 sen p → x 5 p 1 2kpou x 5 p 2 p 1 2kp
2
6
6
6
 S 5 x  IR | x 5 kpou x 5 p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
{
35
}
(
)
9p
73 Calcule a soma das raízes da equação tg 2 x 2 1 ? (sen x 2 1) 5 0 no intervalo 0  x  2p. 2
3
Resolução:
(tg x 2 13 ) ? (sen x 2 1) 5 0; 0  x , 2p
(tg x 2 13 ) ? (sen x 2 1) 5 0 → tg x 2 13 5 0 ou sen x 2 1 5 0
2
2
2
Se tg 2 x 2 1 5 0 → tg x 5  3 → x 5 p 1 kp ou x 5 5p 1 kp
3
3
6
6
Se sen x 2 1 5 0 → sen x 5 1 → x 5 p 1 2kp
2
Então, as raízes são: p , 7p , 5p , 11p ou p .
6 6
6
6
2
p
7
p
5
p
11
p
p
soma 5
1
1
1
1
5 9p
6
6
6
6
2
2
cos ( x 1 y) 5 21

.
p
 x 2 y 5 2
74 Resolva o sistema 
{(
3p , p
4 4
)}
Resolução:
x 1 y 5 p
cos (x 1 y) 5 21 → cos (x 1 y) 5 cos p → x 1 y 5 p


→


p
p
x
2
y
5

 x 2 y 5 2
2
2x
5 3p → x 5 3p
2
4
Substituindo x, temos:
3p 1 y 5 p → y 5 2 3p 1 p → y 5 p
4
4
4
 S 5 3p , p
4 4
{(
)}
36
75 (Unesp-SP) Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Exatas, observou
o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que era periódico e podia ser
aproximado pela expressão:
P(t) 5 21 1 2 cos p t 1 5p ,
2
6
4
em que t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t 2 0) e P(t) é a profundidade da água
(em metros) no instante t.
9 1 12k, k  IN
Resolva a equação cos p t 1 5p 5 1, para t  0. S 5 t  IR | t 5
2
6
4
)
(
Resolução:
{
)
(
}
)
)
(
(
cos p t 1 5p 5 1; t  0
6
4
p t 1 5p 5 2p 1 2kp
p
5
cos
t 1 p 5 cos 2p →
6
4
6
4
t 1 5 5 2 1 2k → 2t 1 15 5 122 ? (2 1 2k) → 2t 5 24 1 24k 2 15 →
6
4
12
12
9 1 24k
9
→ t 5
→ t 5
1 12k
2
2
S 5 t  IR | t 5 9 1 12k, k  IN
2
{
}
p. 37
76 Calcule cotg x, sec x e cossec x para:
a) x 5 p 1,
4
2,
2
b) x 5 150° 2 3 , 2
Resolução:
a) x 5 p
4
cotg p 5 1 5 1 → cotg x 5 1
4
1
tg p
4
1
sec p 5
5 1 → sec x 5 2
4
p
2
cos
4
2
1
cossec p 5
5 1 → cossec x 5 2
4
p
2
sen
4
2
b) x 5 150°
1
1
cotg 150° 5
5
→ cotg 150° 5 2 3
tg 150°
3
2
3
2 3
1
1
sec 150° 5
5
→ sec 150° 5 2
cos 150°
3
2 3
2
1
cossec 150° 5
5 1 → cossec 150° 5 2
sen 150°
1
2
37
2 3
,2
3
77 Seja x 5 p . Determine os valores de:
6
a) sen x 1
2
b) cos x c) tg x
3
2
d) cotg x
6
sen p 5 1 → sen x 5 1
6
2
2
3
3
3
Resolução:
a) x 5 p
6
sen p 5 1 → sen x 5 1
6
2
2
3
3
1
e) sec p 5
5
6
cos p
6
1 → sec x 5 2 3
3
3
2
1
f) cossec p 5
5 1 → cosssec x 5 2
6
p
1
sen
6
2
b) cos p 5
6
3 → cos x 5 3
2
2
1
sen p
p
6
c) tg
5
5 2 → tg x 5
6
p
3
cos
6
2
d) cotg p 5 1 → cotg x 5 3
6
tg p
6
3
b) cos p 5 3 → cos2x 5
3 2
6
2 sec x
e)
13
sen p
f) 6cossec x2 2
c) tg p 5
5
→ tg x 5
6
3
cos p
6
2
p
1
d) cotg
5
→ cotg x 5 3
6
tg p
6
3
3
1
e) sec p 5
5
6
p
cos
6
1 → sec x 5 2 3
3
3
2
1
1 → cosssec x 5 2
p
p
kp
f) cossec po 5
78 Determine
da5
função
⁄
6 domínio
p
1 real: y 5 cotg 2x 2 4 . D(f) 5 x  IR | x  8 1 2 , k  Z
sen
6
2
Resolução:
)
(
{
)
(
y 5 cotg 2x 2 p
4
p
2x 2
 kp → 2x  p 1 kp → x  p 1 kp , k  Z
⁄
4
4
8
2
 D(f) 5 x  IR | x  p 1 kp , k  Z
⁄
8
2
{
}
(
)
79 Para que valores de x existe a função y 5 sec 3x 2 p ?
Resolução:
(
)
2
y 5 sec 3x 2 p
2
3x 2 p  p 1 kp → 3x  p 1 kp → x  p (1 1 k), k  Z
⁄
2
2
3
p (1 1 k)
A função existe para x 
, k  Z.
⁄
3
38
}
(
4
(
2
)
80 Determine m para que a função y 5 cotg mx 1 p tenha período p2 . m  2
Resolução:
mx 1 p 5 0 → x 5 2 p
4
4m
mx 1 p 5 p → x 5 3p
4
4m
3
p
p 5
2 2 p 5 p → m5 2
4m
2
4m
(
)
)
81 Determine m para que a função y 5 sec mx 2 p tenha período 2p . m  3
Resolução:
mx 2 p 5
2
p
mx 2
5
2
p 5 5p 2
2m
3
0 → x 5 p
2m
2p → x 5 5p
2m
p 5 2p → m 5 3
2m
3

3p 
82 Calcule m de modo que cossec a 5 2m 1 7 e a   p, 2  . m  4
Resolução:
Entre p e 3p , a cossecante é menor ou igual a 21, então:
2
2m 1 7  21 → m  2 4
39
83 Qual o sinal de f(x) 5 sen x ? (2sec x) no intervalo  3p , 2p ? positivo
 2

Resolução:
f(x) 5 sen x ? (2sec x); 3p , 2p
2
1
f(x) 5 sen x ? 2
5 2 tg x
cos x
A função tangente no intervalo  3p , 2p é negativa; então, f(x) é positiva.
 2

(
)
84 Determine o sinal do produto: A 5 tg 122° ? sec 213° ? cossec2 317°. positivo
Resolução:
tg 122° , 0
1
, 0
cos 213°
cossec2 317° . 0
A 5 tg 122° ? sec 213° ? cossec2 317° . 0
Então, o sinal do produto é positivo.
sec 213° 5
85 Resolva a expressão: A 5 5 cossec2 17p ? cotg 21p 2 4 sec 10p ? cotg 2 2p . 26
4
4
Resolução:
A 5 5 cossec 2 17p ? cotg 21p 2 4 sec 10p ? cotg 2 2p
4
4
3
1
cossec 17p 5 cossec p 5
5 2 → cossec 2 17p 5 2
p
4
4
4
sen
4
cotg 21p 5 cotg p 5 1
4
4
1
sec 10p 5 sec 2p 5
51
cos 2p
cotg 2p 5 2 3 → cotg 2 2p 5 1
3
3
3
3
A 5 5 ? 2 ? 1 2 4 ? 1 ? 1 5 10 2 4 → A 5 26
3
3
3
40
3
3
 2 3
2 3
S 5 2
, 0,

3
3 

86 Considere a função f(x) 5 x3 2 x cossec2 a. Resolva a equação f(x) 5 0, para a 5 p .
3
Resolução:
f(x) 5 x 3 2 x cossec 2 a
x 3 2 x cossec 2 p 5 0
3
2 3
x x 2 2 cossec 2 p 5 0 → x 5 0 ou x 2 2 4 5 0 → x 5 
3
3
3
 2 3
2 3
S 5 2
, 0,

3
3 

)
(
87 Resolva a equação em V: cotg x 5
{
}
3 . S 5 x  IR | x 5 p 1 kp, k  Z
⁄
3
3
Resolução:
3 → tg x 5 3 → tg x 5 tg p → x 5 p 1 kp, k  Z
⁄
3
3
3
⁄
S 5 x  IR | x 5 p 1 kp, k  Z
3
cotg x 5
{
1 5
tg x
}
88 Resolva a equação cossec x 5 1 no intervalo [0, 2p]. S  { }
2
Resolução:
cossec x 5 1 → 1 5 1 → sen x 5 2 (não existe x que satisfaça essa condição)
2
sen x
2
S 5{ }
41
{
89 Resolva a equação sec2 x 1 2 3 sec x 5 0 no intervalo [0, 2p]. S 5 5 p , 7 p
3
6
6
}
Resolução:
2 3
sec x 5 0
3
sec x  sec x 1 2 3  5 0 → sec x 5 0 (não existe) ou

3 
sec 2 x 1
2 3
2 3
→ 1 52
→ cos x 5 2 3 → cos x 5 cos 5p → x 5  5p
3
cos x
3
2
6
6
x 5 5p ou x 5 7p
6
6
 S 5 5p , 7p
6
6
sec x 5 2
{
}
p. 40
90 Se sen x 5
3 e p , x , p, determine as demais funções trigonométricas.
6
2
2 33
cos x 5 2 33 , tg x 5 2 11 , cotg x 5 2 11 , sec x 5 2
, cossec x 5 2 3
6
11
11
Resolução:
3 → x pertence ao segundo quadrante.
6
sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 → cos 2 x 5 1 2 3 5 33 → no segundo quadrante, cos x é negativo.
36
36
33
33
cos x 5 2
→ cos x 5 2
6
36
3
sen
x
6
tg x 5
5
→ tg x 5 2 11
cos x
11
33
2
6
1
cotg x 5
→ cotg x 5 2 11
tg x
sen x 5
1 5 2 6 → sec x 5 2 2 33
cos x
11
33
cossec x 5 1 5 6 → cossec x 5 2 3
sen x
3
sec x 5
42
91 Sabendo que sen x 1 cos x 5 1 , determine A 5 sen x ? cos x. A 5 2 12
5
25
Resolução:
sen x 1 cos x 5 1 → elevando ao quadrado os dois membros, temos:
5
2
(sen x 1 cos x)2 5 1 → sen 2 x 1 cos 2 x 1 2 sen x ? cos x 5 1 →
25
5
1
1
→ 1 1 2 sen x ? cos x 5
→ 2 sen x ? cos x 5
2 1 5 2 24
25
25
25
12
A 5 sen x ? cos x 5 2
25
12
 A 52
25
()
92 Se tg x 5 4, determine y 5
1 . y  17
cos 2 x
Resolução:
y 5
sen 2 x 1 cos 2 x
1
5
5 tg 2 x 1 1
cos 2 x
cos 2 x
Como tg x 5 4, tg2 x 5 16. Então:
tg2 x 1 1 5 16 1 1 5 17
 y 5 17
93 Determine o valor da expressão: A 5 (sen x 2 cos x)2 1 (sen x 1 cos x)2. A  2
Resolução:
A 5 (sen x 2 cos x)2 1 (sen x 1 cos x)2
A 5 sen2 x 1 2 sen x ? cos x 1 cos2 x 1 sen2 x 2 2 sen x ? cos x 1 cos2 x
Como sen2 x 1 cos2 x 5 1, temos: A 5 2.
43
94 Determine o valor numérico da expressão y 5 tg x ? cos2 x para cotg x 5 2 7 e p , x , p.
1 2 cos x
24
2
y 5 25
24
Resolução:
tg x ? cos x
cos x
y 5
5 tg x ?
5 tg x ? cotg x ? cossec x 5 tg x ? 1 ? cossec x
sen x ? sen x
tg x
1 2 cos 2 x
cossec 2 x 5 1 1 cotg 2 x
( )
2
cossec 2 x 5 1 1 2 7
5 1 1 49 5 625
576
576
24
cossec x 5  25 → no terceiro quadrante, a cossecante é positiva; loggo, y 5 25 .
24
24
95 Dado sec x 5 8, determine o valor da expressão y 5 2 1 sen x ? tg x 1 cos x. y  10
Resolução:
y 5 2 1 sen x ? tg x 1 cos x
2
sen 2 x 1 cos 2 x
y 5 2 1 sen x ? sen x 1 cos x 5 2 1 sen x 1 cos x 5 2 1
cos x
cos x
cos x
1
y 521
5 2 1 sec x 5 2 1 8 → y 5 10
cos x
44
96 (Fuvest-SP) A soma das raízes da equação sen2 x 2 2 cos4 x 5 0 que estão no intervalo [0, 2p] é:
a) 2p
b) 3p
c) 4p
d) 6p
e) 7p
Resolução:
sen2 x 2 2 cos4 x 5 0
1 2 cos2 x 2 2 cos4 x 5 0
Fazendo cos2 x 5 y, temos: 2y2 1 y 2 1 5 0.
y 5 1
2
21  1 1 8
y 5
ou
4
y 5 21
Se cos 2 x 5 1 → cos x 5  2 → x 5 p , x 5 3p , x 5 5p ou x 5 7p
2
2
4
4
4
4
2
Se cos x 5 21 → não existe x
soma 5 p 1 3p 1 5p 1 7p 5 4p
4
4
4
4
{
97 Resolva a equação cos2 x 2 sen2 x 5 1 no intervalo [p, 2p[. S 5 7p , 11p
2
6
6
}
Resolução:
cos 2 x 2 sen 2 x 5 1
2
1 2 sen 2 x 2 sen 2 x 5 1 → sen 2 x 5 1 → sen x 5  1
2
4
2
Se sen x 5 1 → x 5 p ou x 5 5p ; então, não pertencem ao intervalo [p, 2p[.
2
6
6
1
7
p
Se sen x 5 2 → x 5
ou x 5 11p ; então, pertencem ao intervalo [p, 2p[.
2
6
6
7 p 11p
Logo, S 5
,
.
6
6
{
}
45
sec2 x ? cos x 2 cotg x ? sen x
, podemos afirmar:
cossec2 x ? sen x 2 sec x ? cotg x 1 cotg x ? cos x
V 1. O numerador é igual a sen x ? tg x.
V 2. O denominador é igual a cos x ? cotg x.
98 (Unemat-MT) Na expressão
sec 2 x ? cos x 2 cotg x ? sen x
F 3. Podemos dizer que
5 tg x.
cossec 2 x ? sen x 2 sec x ? cotg x 1 cotg x ? cos x
F 4. Se considerarmos sec x ? cotg x 1 cotg x ? cos x isoladamente, então poderemos substituí-la por sen x.
F 5. O numerador é igual ao denominador, portanto a expressão é igual a 1 (um).
Resolução:
1 ? cos x 2 cos x ? sen x
sec x ? cos x 2 cotg x ? sen x
sen x
cos 2 x
5
5
2
1 ? sen x 2 1 ? cos x 1 cos x ? cos x
cossec x ? sen x 2 sec x ? cotg x 1 cotg x ? cos x
cos x sen x
sen x
sen 2 x
2
1 2 cos x
1 2 cos x
sen x ? tg x
cos
x
cos x
5
5
5
2
cotg
x
?
cos
x
cotg
x ? cos x
cos x
sen x
1. (Verdadeira)
2. (Verdadeira)
sen 2 x
3
sen x ? tg x
3. (Falsa);
5 cos2 x 5 sen3 x 5 tg 3 x
cotg x ? cos x
cos x
cos x
sen x
2
1 1 cos x 5 cos x 1 1 sen 2 x 5 1 1 sen x
4. (Falsa); sec x ? cotg x 1 cotg x ? cos x 5 cotg x
sen x
sen x
cos x
cos x
5. (Falsa)
2
(
)
(
)
99 Para que valores de m sen x 5 m2 1 2m 1 1 e cos x 5 1? m  1
Resolução:
Se cos x 5 1, sen x 5 0; então, m2 1 2m 1 1 5 0 → m2 1 2m 1 1 5 0 → (m 1 1)2 5 0 → m 5 21
46
100 (Fuvest-SP) Se a está no intervalo 0, p  e satisfaz sen4 a  cos4 a 5 1 , então o valor da tangente

de a é:
a)
3
5
c)
3
7
b)
5
3
d)
7
3
4
2
e)
5
7
Resolução:
sen 4 a 2 cos 4 a 5 1
4
(sen 2 a 1 cos 2 a) ? (ssen 2 a 2 cos 2 a) 5 1
4
1 2 cos 2 a 2 cos 2 a 5 1 → 1 2 2 cos 2 a 5 1 → cos 2 a 5 3 → cos a 5 6 →
4
4
8
4
cosseno positivo, pois pertence ao primeiro quadrante.
sen 2 a 5 1 2 cos 2 a
1 2 6 → sen a 5 10 → seno também positivo.
16
4
tg a 5
10 5
6
5
3
101 (UFAM) Associe as expressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa correspondente à
associação correta.
1
(A)
cos 2 x
(B) sec x
(1)
(C) sec2 x 2 1
(3) 1
(D) cossec2 x 2 cotg2 x
(4) tg2 x
a) A2, B1, C3, D4
b) A3, B1, C4, D2
c) A2, B3, C4, D1 d) A2, B1, C4, D3
sen 2 x 1 cos 2 x
cos x
2
(2) tg x 1 1
e) A2, B4, C1, D3
Resolução:
sen 2 x 1 cos 2 x
5 1 5 sec x → (B)
cos x
cos x
2
sen 2 x 1 cos 2 x
(2) tg 2 x 1 1 5 sen2 x 1 1 5
5 12 → (A)
2
cos x
cos x
cos x
2
2
1
(3) cossec 2 x 2 cotg 2 x 5
2 cos 2 x 5 sen 2 x 5 1 → (D)
sen 2 x
sen x
sen x
2
1 2 cos x
sen 2 x 5 tg 2 x → (C)
(4) sec 2 x 2 1 5 12 2 1 5
5
cos x
cos 2 x
cos 2 x
(1)
47
p. 42
102 Se cos x 5 4 e 0  x  p , determine:
a) sen x 3
5
p
b) cos
2 x 3
2
5
5
2
)
(
c) tg ( 2p 2 x ) 2 3
4
d) sec (p 1 x) 2 5
4
Resolução:
cos x 5 4 ; 0  x  p
5
2
3
sen
x
c) tg (2p 2 x) 5 2tg x 5 2
5 2 5 5 23
cos x
4
4
5
1
1
d) sec (p 1 x) 5
5
5 25
cos (p 1 x)
2cos x
4
a) sen x 5 1 2 cos x 5 1 2 16 5 3
25
5
2
)
(
b) cos p 2 x 5 sen x 5 3
5
2
103 Se x 1 y 5 p e sen x 5 1 , o valor de cos y é:
2
3
c) 1
3
d) 2
3
a) 0
b) 1
e)
2 2
3
Resolução:
x 1 y 5 p ; sen x 5 1
2
3
p
y 5
2 x → cos y 5 cos p 2 x 5 sen x 5 1
2
3
2
)
(
104 Determine, em função de sen x, cos x e tg x:
(
)
a) tg p 1 x 2 1
tg x
2
b) cotg p 1 x tg x
2
(
)
Resolução:
(
)
(
)
c) sec p 1 x 2 1
sen x
2
1
d) cossec p 1 x
cos
x
2
(
)
(
)
a) tg p 1 x 5 tg p 2 (2x) 5 cotg (2x) 5 2cotg x 5 2 1
tg x
2
2
b) cotg p 1 x 5 cotg p 2 (2x) 5 tg (2x) 5 2tg x
2
2
1
c) sec p 1 x 5 sec p 2 (2x) 5 cossec (2x) 5
52 1
sen (2x)
sen x
2
2
1
d) cossec p 1 x 5 cossec p 2 (2x) 5 sec (2x) 5
5 1
cos (2x)
cos x
2
2
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
48
)
)
(
(
cos p 1 x
2
105 (UFOP-MG) A expressão
é equivalente a:
p
sen
2 x
2
a) tg x
c) 2tg x
b) cotg x
d) 2cotg x
e) 1
Resolução:
cos p 1 x
cos p 2 (2x)
2sen x
sen (2x)
2
2
5
5
5
5 2tg x
cos
x
cos
x
cos x
sen p 2 x
2
)
)
(
(
)
(
2 e 0  x  p , determine:
2
2
2
3p
3p
a) sen 2 1 x 2 2
b) cos 2 1 x
106 Se cos x 5
)
(
(
)
Resolução:
2 ;0  x  p
2
2
a) sen 3p 1 x 5 2cos x 5 2 2
2
2
2
b) cos 3p 1 x 5 sen x 5
2
2
cos x 5
)
)
(
(
107 Se sen x 5 2 1 e p  x  3p , determine o valor nu­mérico de:
3
2
)
(
sen (p 2 x) 1 sen (p 1 x) 1 sen p 2 x
2
A 5
. 8
9
sec (2p 2 x)
Resolução:
)
(
sen (p 2 x) 1 sen (p 1 x) 1 sen p 2 x
2
A 5
sec (2p 2 x)
sen x 1 (2sen x) 1 cos x
A 5
5 cos x 5 cos 2 x 5 1 2 sen 2 x
1
1
cos (2p 2 x)
cos x
Substituindo sen x 5 2 1 , temos: A 5 1 2 1 → A 5 8 .
3
9
9
49
2
2
108 Simplifique a expressão A 5
tg (p 1 x)
)
(
(
cossec p 2 x ? sec p 2 x
2
2
)
 cos2 x. 1
Resolução:
tg (p 1 x)
1 cos 2 x
p
p
cossec
2 x ? sec
2 x
2
2
tg x
A 5
1 cos 2 x 5 sen x ? cos x ? sen x 1 cos 2 x → A 5 1
sec x ? cossec x
cos x
A 5
)
(
)
(
)
(
14 sen (p 2 x) 2 4 cos p 2 x
2
109 Simplificando a expressão A 5
, obtemos:
5 sen (2p 2 x)
a) 0
c) 21
e) 22
b) 1
d) 2
Resolução:
)
(
14 sen (p 2 x) 2 4 cos p 2 x
2
14 sen x 2 4 sen x
A 5
5
5 10 sen x → A 5 22
5 sen (2p 2 x)
5 (2sen x)
25 sen x
(
{
)
110 Resolva a equação sen 3p 1 x 5 cos x no intervalo [0, 2p]. S 5 p , 3p
2
2
2
}
Resolução:
(
(
sen 3p
2
sen 3p
2
3p 1 x
2
2x 5 p
2
Se k 5
Se k 5
Se k 5
Se k 5
 S 5
)
1 x ) 5 sen ( p 2 x )
2
1 x 5 cos x
(
)
5 p 2 x 1 2kp ou 3p 1 x 5 p 2 p 2 x 1 2kp
2
2
2
2 3p 1 2kp → x 5 2 p 1 kp
2
2
0 → x 5 2 p  [0, 2p]
2
1 → x 5 p
2
2 → x 5 3p
2
5
3 → x 5 p  [0, 2p]
2
p , 3p
2 2
{
}
50
(não existe x)
(
)
{
}
111 Resolva a equação tg 10x 5 cotg p 2 x . S 5 x  IR | x 5 kp , k  Z⁄
Resolução:
(
tg 10x 5 cotg p 2 x
2
tg 10x 5 tg x
10x 5 x 1 kp
9x 5 kp
x 5 kp , k  Z
⁄
9
2
9
)
{
}
 S 5 x  IR | x 5 kp , k  Z
⁄
9
)
(
112 A soma das raízes da equação cos2 p 2 x 2 cos2 x 5 0 no intervalo [0, 2p] é:
2
c) 3p
d) 4p
a) p
b) 2p
e) 5p
Resolução:
cos 2 p 2 x 2 cos 2 x 5 0
2
sen 2 x 2 cos 2 x 5 0 → sen 2 x 2 (1 2 sen 2 x) 5 0 → 2 sen 2 x 5 1 →
→ sen 2 x 5 1 → sen x 5  2
2
2
As raízes são: p , 3p , 5p ou 7p .
4 4
4
4
p
3
p
5
p
7
p
soma 5
1
1
1
5 4p
4
4
4
4
)
(
(
)
{
113 Resolva a equação tg 2 x 5 3 ? cotg p 2 x no intervalo [0, 2p]. S 5 0, p, p , 4p
Resolução:
tg 2 x 5
tg 2 x 5
(
)
3 cotg p 2 x
2
3 tg x → tg 2 x 2
2
3 tg x 5 0 → tg x ( tg x 2
No intervalo [0, 2p], temos:
tg x 5 tg 0 → x 5 0 ou x 5 p
tg x 5 tg p → x 5 p ou x 5 4p
3
3
3
p
4
p
Então, S 5 0, p, ,
.
3 3
{
}
51
3
3
}
3 ) 5 0 → tg x 5 0 ou tg x 5
3
114 (Fuvest-SP) Se a é um ângulo tal que 0 , a , p e sen a 5 a, então tg (p 2 a) é igual a: 2
2
a)
2a
1 2 a2
c)
12 a
a
b)
a
1 2 a2
d)
2 1 2 a2
a
e) 2
1 1 a2
a
Resolução:
sen a 5 a → sen (p 2 a) 5 a
sen2 (p 2 a) 1 cos2 (p 2 a) 5 1 → a2 1 cos2 (p 2 a) 5 1 →
→ cos (p 2 a) 5 2 1 2 a 2 → o cosseno no segundo quadrante é negativo.
sen (p 2 a)
2a
tg (p 2 a) 5
→ tg (p 2 a) 5
cos (p 2 a))
1 2 a2
p. 46
115 Determine:
6 2
4
Resolução:
a) cos 75°
2
b) tg 165°
3 2 2
c) cotg 105°
3 22
a) cos 75° 5 cos (30° 1 45°) 5 cos 30° ? cos 45° 2 sen 30° ? sen 45° 5
5
3 ?
2
2 2 1 ?
2
2
2 5 6 2 2 5
2
4
4
b) tg 165° 5 tg (135° 1 30°) 5
6 2
4
2
tg 135° 1 tg 30°
5
1 2 tg 135° ? tg 30°
3
23 1 3
3
5
5
5
(21) ? 3
3 1 3
12
3
(23 1 3 ) ? (3 2 3 ) 6 3 2 12
5
5
5
6
(3 1 3 ) ? (3 2 3 )
21 1
c) cotg 10
05° 5 cotg (60° 1 45°) 5
5
(1 2
( 3
3 22
1 2 tg 60° ? tg 45°
1
5
5
tg (60° 1 45°)
tg 60° 1 tg 45°
3 ? 1) ? ( 3 2 1)
2 3 24
5
5
2
1 1) ? ( 3 2 1)
3 2 2
116 Usando as fórmulas de adição e subtração, prove que cos (p 1 x) 5 2cos x e sen (p 1 x) 5 2sen x.
Resolução:
cos (p 1 x) 5 cos p ? cos x 2 sen p ? sen x 5 2cos x
sen (p 1 x) 5 sen p ? cos x 1 sen x ? cos p 5 2sen x
52
117 Se x 2 y 5 30°, determine (cos x 1 cos y)2 1 (sen x 1 sen y)2. 2 1 3
Resolução:
x 2 y 5 30°
(cos x 1 cos y)2 1 (sen x 1 sen y)2 5
5 cos2 x 1 2 cos x ? cos y 1 cos2 y 1 sen2 x 1 2 sen x ? sen y 1 sen2 y 5
5 2 1 2(cos x ? cos y 1 sen x ? sen y) 5 2 1 2 cos (x 2 y) 5
(
5 2(1 1 cos 30°) 5 2 1 1
3
2
)
521
3
118 (Unifesp-SP) A expressão sen (x 2 y) ? cos y 1 cos (x 2 y) ? sen y é equivalente a:
a) sen (2x 1 y)
b) cos (2x)
c) sen x
d) sen (2x)
e) cos (2x 1 2y)
Resolução:
sen (x 2 y) ? cos y 1 cos (x 2 y) ? sen y 5 sen (x 2 y 1 y) 5 sen x
(
)
119 Determine o valor de sen p 1 x , sabendo que sen x 5 7 e 0  x  p . 3 1 21
Resolução:
(
)
(
)
6
4
2
sen p 1 x , sen x 5 7 ; 0  x  p
6
4
2
sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 → cos 2 x 5 1 2 7 5 9 →
16
16
→ cos x 5 3 → cosseno positivo, pois 0  x  p .
4
2
sen p 1 x 5 sen p ? cos x 1 sen x ? cos p 5 1 ? 3 1 7 ?
6
6
2 4
4
6
(
)
3 1 21
→ sen p 1 x 5
8
6
53
3 →
2
8
120 Determine o valor de sen (a 1 b) ? sen (a 2 b) em função de sen a e sen b. sen2 a 2 sen2 b
Resolução:
sen (a 1 b) ? sen (a 2 b) 5
5 (sen a ? cos b 1 sen b ? cos a) ? (sen a ? cos b 2 sen b ? cos a) 5
5 sen2 a ? cos2 b 2 sen2 b ? cos2 a 5 sen2 a (1 2 sen2 b) 2 sen2 b (1 2 sen2 a) 5
5 sen2 a 2 sen2 a ? sen2 b 2 sen2 b 1 sen2 a ? sen2 b 5 sen2 a 2 sen2 b
121 Determine o valor da expressão: A 5 sen 70° ? cos 25° 2 sen 25° ? cos 70°.
Resolução:
A 5 sen 70° ? cos 25° 2 sen 25° ? cos 70° 5 sen (70° 2 25°) 5 sen 45° 5
122 Se cotg a 5 1 e cotg b 5 1 , determine tg (a 1 b). 2 7
2
Resolução:
cotg a 5 1 → tg a 5
2
cotg b 5 1 → tg b 5
5
tg a 1
tg (a 1 b) 5
1 2 tg a
9
5
1
52
cotg a
1
55
cotg b
tg b
21 5
5
5 27
? tg b
12 2? 5
9
54
2
2
2
2
{
}
123 Resolva a equação sen x 1 cos x 5 2. S 5 x  IR x 5 p 1 2kp, k  Z⁄
4
Resolução:
sen x 1 cos x 5
2 → multiplicando a equação por
2 , temos:
2
2 ? sen x 1
2
2 ? cos x 5 2 ? 2
2
2
Sabendo que 2 5 cos p 5 sen p , temos:
2
4
4
cos p ? sen x 1 sen p ? cos x 5 1
4
4
sen x 1 p 5 1
4
sen x 1 p 5 sen p → x 1 p 5 p 1 2kp → x 5 p 1 2kp, k  Z
⁄
4
2
4
2
4
 S 5 x  IR  x 5 p 1 2kp, k  Z
⁄
4
(
(
{
)
)
}
{ }
124 Resolva a equação cos x 1 3 sen x 5 1 no intervalo 0  x  2p. S 5 0, 2p
3
Resolução:
3 sen x 5 1; 0  x , 2p
Multiplicando a equação por 1 , temos:
2
1 cos x 1 3 sen x 5 1
2
2
2
Sabendo que 1 5 sen p e 3 5 cos p , temos:
2
6
2
6
sen p ? cos x 1 cos p ? sen x 5 1
6
6
2
cos x 1
(
)
(
)
sen x 1 p 5 1 → sen x 1 p 5 sen p
6
2
6
6
x 5 2kp → x 5 0
x 5 5p 2 p 1 2kp → x 5 2p
6
6
3
S 5 0, 2p
3
{ }
55
x 1 p 5 p 1 2kp
6
6
x 1 p 5 p 2 p 1 2kp
6
6
ou
(
)
(
{ }
)
125 Resolva a equação sen p 2 x 5 cos 3p 2 x 1 cos 0 no intervalo 0  x  2p. S 5 0, p
Resolução:
(
)
(
2
2
2
)
sen p 2 x 5 cos 3p 2 x 1 cos 0; 0  x , 2p
2
2
p
sen
? cos x 2 sen x ? cos p 5 cos 3p ? cos x 1 sen 3p ? sen x 1 1
2
2
2
2
cos x 2 0 5 0 2 sen x 1 1
cos x 1 sen x 5 1 → elevando os dois membros ao quadrado, temos:
sen2 x 1 2 sen x ? cos x 1 cos2 x 5 1 → 2 sen x ? cos x 5 0 → sen 2x 5 sen 0 →
→ 2x 5 0 1 2kp ou 2x 5 p 1 2kp → x 5 kp ou x 5 p 1 kp
2
Então, x 5 0 ou x 5 p .
2
p
S 5 0,
2
{ }
126 (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricas cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b e
sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a,
a) obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função de cos x; 2 cos2 x  1
b) obtenha, justificando, a expressão da tg (a 1 b) em função de tg a e tg b. tg (a 1 b) 5
tg a 1 tg b
1 2 tg a ? tg b
Resolução:
a) cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b; sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
cos 2x 5 cos (x 1 x) 5 cos x ? cos x 2 sen x ? sen x 5 cos2 x 2 sen2 x 5
5 cos2 x 2 (1 2 cos2 x) 5 2 cos2 x 2 1
sen (a 1 b)
sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
5
cos (a 1 b)
cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
Dividindo o numerador e o denominador por cos a ? cos b, temos:
sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
sen a
sen b
cos a ? cos b
tg a 1 tg b
cos a 1 cos b
5
5
cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
sen a ? sen b
1 2 tg a ? tg b
12
cos a ? cos b
cos a ? cos b
b) tg (a 1 b) 5
Então, tg (a 1 b) 5
tg a 1 tg b
1 2 tg a ? tg b
56
p. 48
127 Se cossec x 5 2 e p < x < p, determine sen 2x. 2 3
2
2
Resolução:
cossec x 5 2 (2o_ quadrante)
1 5 2 → sen x 5 1 → sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 → cos 2 x 5 1 2 1 →
sen x
2
4
→ cos x 5  3 → cos x 5 2 3
(2o_ quadrante)
2
2
sen 2x 5 2 sen x ? cos x 5 2 ? 1 ? 2 3 → sen 2x 5 2 3
2
2
2
( )
128 Se sen x 2 cos x 5 a, determine sen 2x em função de a. 1 2 a2
Resolução:
sen x 2 cos x 5 a → elevando os dois membros ao quadrado, temos:
(sen x 2 cos x)2 5 a2 → sen2 x 2 2 ? sen x ? cos x 1 cos2 x 5 a2 →
→ 1 2 2 sen x ? cos x 5 a2 → 22 sen x cos x 5 a2 2 1 → 2 sen x ? cos x 5 1 2 a2
129 Se a 5 2 cos 30° ? cos 60°, determine 4a2. 3
Resolução:
a 5 2 cos 30° ? cos 60°
a 52? 3 ? 1 5 3
2
2
2
4 ? a2 5 4 ? 3 5 3
4
57
130 (FGV-SP) No intervalo [0, 2p], a equação trigonométrica sen 2x 5 sen x tem raízes cuja soma vale:
a) p
b) 2p
c) 3p
d) 4p
e) 5p
Resolução:
No intervalo [0, 2p], temos:
sen 2x 5 sen x → 2 sen x ? cos x 2 sen x 5 0 → sen x (2 cos x 2 1) 5 0 →
→ sen x 5 0 ou 2 cos x 2 1 5 0
Se sen x 5 0 → sen x 5 sen 0 → x 5 0, x 5 p, x 5 2p
Se 2 cos x 2 1 5 0 → cos x 5 1 → cos x 5 cos p → x 5 p , x 5 5p
2
3
3
3
p
5
p
soma 5 0 1 p 1 2p 1
1
5 5p
3
3
131 (Fuvest-SP) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2p] que satisfazem a equação:
cos2 2x 5 1
2 sen2 x. S 5
2
{
p , 3p , 5p , 7p , p , 5p , 7p , 11p
4 4
4
4 6 6
6
6
}
Resolução:
2
1 2 2 sen 2 x
cos 2 2x 5 1 2 sen 2 x → (1 2 2 sen 2 x ) 5
→
2
2
2
→ (1 2 2 sen 2 x ) 2 1 (1 2 2 sen 2 x ) 5 0 →
2
→ (1 2 2 sen 2 x ) (1 2 2 sen 2 x 2 1  5 0 → (1 2 2 sen 2 x ) ? 1 2 2 sen 2 x 5 0 →

2
2
→ 1 2 2 sen 2 x 5 0 → 2 sen 2 x 5 1 → sen 2 x 5 1 →
2
sen x 5  2 → x 5 p , x 5 3p , x 5 5p , x 5 7p
2
4
4
4
4
1 2 2 sen 2 x 5 0 → 2 sen 2 x 5 1 → sen 2 x 5 1 → sen x 5  1 →
2
2
4
2
p
5
p
7
p
11
p
→ x 5 ,x 5
,x 5
,x 5
6
6
6
6
p
3
p
5
p
7
p
p
5
p
7
p
S 5
,
,
,
, ,
,
, 11p
4 4
4
4 6 6
6
6
(
)
{
}
58
)
132 (Fuvest-SP) Se tg  5 2, então o valor de
1
3
2
d) 3
a) 23
b) 2
cos 2
é:
1 1 sen 2
c)
1
3
e)
3
4
Resolução:
tg  5 2 → sen  5 2 → sen  5 2 cos 
cos 
sen 2  1 cos 2  5 1 → (2 cos )2 1 cos 2  5 1 → cos 2  5 1 e sen 2  5 4
5
5
cos 2 5 cos 2  2 sen 2  5 1 2 4 5 2 3
5
5
5
sen 2 5 2 sen  ? cos  5 2 ? 2 cos  ? cos  5 4 cos 2  5 4 ? 1 5 4
5
5
3
3
2
2
cos 2
5 5 5 5 21
5
1 1 sen 2
9
3
11 4
5
5
{
}
133 Resolva a equação sen x ? cos x 5 1 . S 5 x  IR | x 5 p 1 kp, k  Z⁄
2
4
Resolução:
sen x ? cos x 5 1 → 2 sen x ? cos x 5 1 → sen 2x 5 sen p → 2x 5 p 1 2kp
2
2
2
⁄
x 5 p 1 kp, k  Z
4
S 5 x  IR | x 5 p 1 kp, k  Z
⁄
4
{
}
134 Se sen 2x 5 m, determine sen 4x. 2m 1 2 m2
Resolução:
sen 2x 5 m → sen2 2x 1 cos2 2x 5 1 → m2 1 cos2 2x 5 1 → cos 2x 5 1 2 m2
sen 4x 5 2 sen 2x ? cos 2x → sen 4x 5 2m 1 2 m2
59
135 Expresse sen 3a em função de sen a. 3 sen a 2 4 sen3 a
Resolução:
sen 3a 5 sen (2a 1 a)
sen 3a 5 sen 2a ? cos a 1 sen a ? cos 2a
sen 3a 5 2 sen a ? cos2 a 1 sen a (1 2 2 sen2 a)
sen 3a 5 2 sen a ? cos2 a 1 sen a 2 2 sen3 a
sen 3a 5 2 sen a (1 2 sen2 a) 1 sen a 2 2 sen3 a
sen 3a 5 2 sen a 2 2 sen3 a 1 sen a 2 2 sen3 a
sen 3a 5 3 sen a 2 4 sen3 a
136 (UFAL) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é um ângulo agudo. Se a tangente desse
ângulo é igual ao dobro do quadrado de seu seno, determine o cosseno da soma dos ângulos da base.
Resolução:
2 2
2
A
tg  5 2 sen 2  → sen  5 2 sen 2  → 1 5 2 sen  → 2 sen  ? cos  5 1 →
cos 
cos 
p
→ sen 2 5 1 → sen 2 5 sen
→ 2 5 p →  5 p
2
2
4
Se  5 p , a soma dos ângulos da base é p 2 p 5 3p , ou seja, cos 3p 5 2 2 .
4
4
4
4
2
�
B
C
137 (ITA-SP) Sendo a e b os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que
sen2 2b 2 2 cos 2b 5 0, então sen a é igual a:
2
2
4
2
b)
2
a)
4
8
2
4
8
d) 4
c)
e) zero
Resolução:
sen2 2b 2 2 cos 2b 5 0
(2 sen b ? cos b)2 2 2(2 cos2 b 2 1) 5 0
4 sen2 b ? cos2 b 2 4 cos2 b 1 2 5 0
4 cos2 b (sen2 b 2 1) 1 2 5 0
24 cos2 b (1 2 sen2 b) 1 2 5 0
24 cos4 b 1 2 5 0
cos 4 b 5 1 → cos b 5 4 1 5 4 1 ?
2
2
2
4
4
23 5
23
4
8
2
Sendo o triângulo retângulo, a 1 b 5 90° e sen a 5 cos b; então, sen a 5 cos b 5
60
4
8 .
2
1
138 (Unicamp-SP) Considere a equação trigonométrica sen2  2 2 cos2  1 2 sen 2 5 0.
a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de  para os quais cos  5 0.
b) Encontre todos os valores de cos  que são soluções da equação.  2 ou  5
2
5
Resolução:
sen 2  2 2 cos 2  1 1 sen 2 5 0
2
1
2
2
sen  2 2 cos  1
? 2 sen  ? cos  5 0
2
sen2  2 2 cos2  1 sen  ? cos  5 0
a) Se cos  5 0 → sen  5 1
Substituindo na equação: (1)2 2 2 ? 0 1 (1) ? 0 5 1. (não anula a expressão)
b) sen2  2 2 cos2  1 sen  ? cos  5 0
Dividindo a igualdade por cos2   0, temos:
tg  5 1
21  1 1 8
2
tg  2 2 1 tg  5 0 → tg  5
ou
2
tg  5 2 2
sec 2  5 1 1 tg 2  → sec 2  5 1 1 1 5 2 → cos 2  5 1 → cos  5  2
2
2
ou
sec 2  5 1 1 tg 2  → sec 2  5 1 1 4 5 5 → cos 2  5 1 → cos  5  5
5
5
Portanto, cos  5  2 ou cos  5  5 .
2
5
p. 50
139 Determine:
a) sen 67° 30
21
2
2
b) cos 67° 30 2 2
2
2
c) tg 67° 30
3 1 2 2
Resolução:
a) sen 67° 30 5 135° → sen 67° 30 5
2
b) cos 67° 30 5
c) tg 67° 30 5
1 1 cos 135° 5
2
1 1 cos 135° 5
2
1 2 cos 135° 5
2


1 2 2 2 
 2 
→ sen 67° 30 5
2


1 1 2 2 
 2 
→ cos 67° 30 5
2
21 2 5
22 2
61
(2 1
(2 2
) (
2 ) ? (2 1
22 2
2
)
2)
2 ? 21 2
21 2
2
→ tg 67° 30 5 3 1 2 2
140 Se sen x 5 4 , determine A 5 5 ? cos x 1 5 ? sen x para 0 , x , p2 . A  2
5
3
2
Resolução:
x é arco do primeiro quadrante.
sen
n x 5 4 → cos x 5
5
sen x 5
2
1 2 cos x
5
2
A 5 5 ? cos x 1
3
1 2 16
5 3
25
5
12 3
5 5
2
1 5 1
5
5
5 ? sen x 5 5 ? 3 1
2
3
5
5 ?
1 → A 5 2
5
141 Seja x um arco do 1o quadrante e cos x 5 m . Determine cos x .
2
2
21m
, m  2
2
Resolução:
x é arco do primeiro quadrante.
coss x 5
2
1 1 cos x
5
2
11 m
2 → cos x 5
2
2
21m
, m  22
2
142 Se tg x 5 1 , determine sen x. 12
2
6
37
Resolução:
2 tg x
2
1
2? 1
6
sen x 5
→ sen x 5
5 3 5 12
37
37
1 1 tg 2 x
11 1
2
36
36
62
143 Se tg x 5 1 , determine tg x. 4
2
2
3
Resolução:
2 tg x
2
2? 1
2 5 1 5 4
tg x 5
5
3
3
1 2 tg 2 x
12 1
2
4
4
144 Se sen x 5 1 , determine cos x, sabendo que x é um arco do 1o quadrante. 47
2
49
7
Resolução:
1 2 cos x
sen x 5
→ elevando ao quadrado os dois membros, temos:
2
2
1 5 1 2 cos x → 1 2 cos x 5 2 → cos x 5 47
49
2
49
49
145 Determine o conjunto verdade da equação 4 sen2 x 1 4 cos x 5 3 no intervalo [0, 2p].
2
Resolução:
4 sen 2 x 1 4 cos x 5 3
2
1 2 cos x
4 ?
1 4 cos x 5 3 → 2(1 2 cos x) 1 4 cos x 5 3 →
2
→ 2 2 2 cos x 1 4 cos x 5 3 → 2 cos x 5 1 → cos x 5 1
2
cos x 5 cos p → x 5  p → x 5 p ou x 5 5p
3
3
3
3
S 5 p , 5p
3 3
{
}
63
S 5
{
p , 5p
3 3
}
146 O valor numérico da expressão A 5 4 sen x ? cos x ? cos x, para x 5 p , é:
a) 0
b) 1
2
c) 2
d) 21
2
4
e) 22
Resolução:
A 5 4 sen x ? cos x ? cos x, para x 5 p
2
2
4
sen 2x 5 2 sen x ? cos x → sen x 5 2 sen x ? cos x
2
2
A 5 2 sen x ? cos x 5 sen 2x → A 5 sen 2 ? p 5 sen p → A 5 1
4
2
147 Determine sen x no triângulo da figura a seguir.
2
22
2
3
Resolução:
O triângulo é retângulo; então, x 1 2x 5 90° → 3x 5 90° → x 5 30°
sen 30° 5
2
12
1 2 cos 30°
5
2
Portanto, sen x 5
2
22
2
3
2
3
2
5
.
64
22
2
3
148 Se cossec x 5 5 e p , x , p, determine tg  p 2 x  . 1
3
2
3
2
Resolução:
Se cossec x 5 5 → sen x 5 3 → cos 2 x 5  1 2 sen2 x
3
5
No segundo quadrante, cos x , 0; portanto, cos x 5 2 1 2 9 5 2 4
25
5
p 2 x
1 2 cos (p 2 x)
tg
5
2
1 1 cos (p 2 x)
cos x 5 2 4 → cos (p 2 x) 5 2cos x 5 4
5
5
12 4
p 2 x
5 5 1
tg
5
2
4
3
11
5
(
)
(
)
149 Se sen2 x 2 cos2 x 5 1 , determine o valor de sen x, sabendo que x é um arco do 2o quadrante. 2 2
2
2
3
3
Resolução:
sen 2 x 2 cos 2 x 5 1
2
2
3
2
2
 1 2 cos x 
 1 1 cos x 
1 2 cos x
1 1 cos x
1
2
5 1 → 22 cos x 5 1 →

 2
 5 3 →
2
2
2
2
3
2
3
cos x 5 2 1 → sen x 5  1 2 1 5  8
3
9
9
2 2
No segundo quadrante, o seno é positivo; portanto, sen x 5
.
3
65
150 Se tg  5 sen  e cos   0, determine o valor de tg . 0
2
Resolução:
tg  5 sen ; cos   0
2
2 tg 
 5 2 tg  ? sec 
2
tg  5
5 2 sen 2 5 2 sen
2
2 
1 2 sen 
cos 
1 2 tg
2
2 tg  ? sec  2 tg  5 0 → tg  (2 sec  2 1) 5 0 → tg  5 0
 5 0 e sec  5 1 (não existe )
2
 tg  5 0
151 Determine a soma das raízes da equação sen x 5 sen x no intervalo [0, 2p]. 4p
2
Resolução:
sen x 5 sen x ; [0, 2p]
2
2 sen x ? cos x 5 sen x → sen x 2 cos x 2 1 5 0
2
2
2
2
2
sen x 5 0 ou 2 cos x 2 1 5 0
2
2
x
Se sen
5 0 → sen x 5 sen 0 → x 5 0 ou x 5 2p
2
2
x
Se 2 cos
2 1 5 0 → cos x 5 1 → cos x 5 cos p → x 5  p 1 2kp
2
2
2
2
3
2
3
2
p
2
p
2
p
4
p
x 5
1 4kp → x 5
ou x 5 2
5
3
3
3
3
soma 5 0 1 2p 1 2p 1 4p 5 4p
3
3
)
(
66
p. 53
152 Transforme cos 8x 1 cos 4x em produto. 2 cos 6x ? cos 2x
Resolução:
cos 8x 1 cos 4x 5 2 cos
8x 1 4x
8x 2 4x
? cos
5 2 cos 6x ? cos 2x
2
2
153 Simplifique a expressão: cos 50° 1 cos 10° . cotg 20°
sen 50° 2 sen 10°
Resolução:
50° 1 10°
50° 2 10°
2 cos
? cos
cos 50° 1 cos 10°
2 cos 30° ? cos 20°
2
2
5
5
5 cotg 20°
sen 50° 2 sen 10°
50° 2 10°
50° 1 10°
2 sen 20° ? cos 30°
2 sen
? cos
2
2
154 Fatorando a expressão sen2 2x 2 sen2 x, obtemos:
a) 2 sen x ? sen 3x
b) sen x ? sen 3x
c) 2 sen x ? sen 3x 2
2
3x ? sen 3x
d) 2 sen
2
2
e) 2 sen x ? cos x
2
2
Resolução:
m2n
m1n
? cos
e
2
2
m1n
m2n
sen m 1 sen n 5 2 sen
? cos
, teremos:
2
2
sen 2 2x 2 sen 2 x 5 (sen 2x 2 sen x) ? (sen 2x 1 sen x) 5
2x 2 x
2x 1 x
2x 1 x
2x 2 x
5 2 sen
? cos
? 2 sen
? cos
5
2
2
2
2
5 2 sen x ? cos 3x ? 2 sen 3x ? cos x 5 2 sen x ? cos x ? 2 sen 3x ? cos 3x 5
2
2
2
2
2
2
2
2
x
3x
5 sen 2 ?
? sen 2 ?
5 sen x ? sen 3x
2
2
Lembrando que: sen m 2 sen n 5 2 sen
(
) (
)
67
155 Transforme em produto a soma A 5 cos x 1 cos 3x 1 cos 5x 1 cos 7x. 4 cos x ? cos 2x ? cos 4x
Resolução:
A 5 cos x 1 cos 3x 1 cos 5x 1 cos 7x
3x 1 x
3x 2 x
7x 1 5x
7x 2 5x
A 5 2 cos
? cos
1 2 cos
? cos
2
2
2
2
A 5 2 cos 2x ? cos x 1 2 cos 6x ? cos x
A 5 2 cos x (cos 2x 1 cos 6x)
6x 1 2x
6x 2 2x
A 5 2 cos x 2 cos
? cos
2
2
A 5 2 cos x ? (2 cos 4x ? cos 2x)
A 5 4 cos x ? cos 2x ? cos 4x
)
(
156 Ao transformarmos em produto a soma A 5 cos 3x 2 cos x, obtemos:
a) 2 sen 2x ? sen x
b) 2 sen 2x ? cos x
c) 22 sen 2x ? cos x
d) 24 sen 2x ? sen x
e) 24 sen2 x ? cos x
Resolução:
A 5 cos 3x 2 cos x
3x 1 x
3x 2 x
5 22 sen 2x ? sen x 5 22 ? 2 sen x ? cos x ? sen x
A 5 22 sen
? sen
2
2
A 5 24 sen2 x ? cos x
157 Assinale a alternativa correta:
a) sen 40° 1 sen 20° 5 sen 60°
b) sen 40° 1 sen 20° 5 2 sen 10° ? cos 10°
c) sen 40° 1 sen 20° 5 sen 80°
d) sen 40° 1 sen 20° 5 sen 10°
e) sen 40° 1 sen 20° 5 cos 10°
Resolução:
Alternativa e
1
sen 40° 1 sen 20° 5 2 sen 30° ? cos 10° 5 2 ? ? cos 10° 5 cos 10°
2
68
158 Fatore a expressão: A 5 sen 3x 1 sen x . 2 cos x
sen 2x
Resolução:
sen 3x 1 sen x
A 5
5
sen 2x
2 sen
3x 1 x
3x 2 x
? cos
2 sen 2x ? cos x
2
2
5
5 2 cos x
sen 2x
sen 2x
159 Fatore a expressão: A 5 sen2 4x 2 sen2 2x. A 5 sen 6x ? sen 2x
Resolução:
A 5 sen2 4x 2 sen2 2x
A 5 (sen 4x 1 sen 2x) ? (sen 4x 2 sen 2x) 5 2 sen
4x 1 2x
4x 2 2x
4x 2 2x
4x 1 2x
? cos
? 2 sen
? cos
2
2
2
2
A 5 2 sen 3x ? cos x ? 2 sen x ? cos 3x
A 5 2 sen 3x ? cos 3x ? 2 sen x ? cos x
A 5 sen 2(3x) ? sen 2x 5 sen 6x ? sen 2x
A 5 sen 6x ? sen 2x
{
160 Resolva a equação sen 5x 5 sen x no intervalo [0, 2p]. S 5 0, p , p, 3p , 2p, p , 5p , 7p , 11p
Resolução:
sen 5x 5 sen x; [0, 2p]
sen 5x 2 sen x 5 0
2 sen 2x ? cos 3x 5 0
sen 2x 5 0 ou cos 3x 5 0
2
2
6
Se sen 2x 5 0 → sen 2x 5 sen 0 → 2x 5 kp → x 5 kp →
2
p
3
p
→ x 5 0, x 5 , x 5 p, x 5
, x 5 2p
2
2
Se cos 3x 5 0 → cos 3x 5 cos p → 3x 5  p 1 2kp → x 5  p 1 2kp →
2
2
6
3
p
5
p
7
p
11
p
→ x 5 ,x 5
,x 5
,x 5
6
6
6
6
S 5 0, p , p, 3p , 2p, p , 5p , 7p , 11p
2
2
6 6
6
6
{
}
69
6
6
6
}
{
}
161 Resolva a equação sen 7a 1 2 sen 3a 2 sen a 5 0. S 5 a  IR a 5 kp ou a 5 p 1 kp , k  Z⁄
3
4
2
Resolução:
sen 7a 1 2 sen 3a 2 sen a 5 0
2 sen 3a ? cos 4a 1 2 sen 3a 5 0
2 sen 3a (cos 4a 1 1) 5 0
sen 3a 5 0 ou cos 4a 1 1 5 0
⁄
Se sen 3a 5 0 → sen 3a 5 sen 0 → 3a 5 kp → a 5 kp , k  Z
3
Se cos 4a 1 1 5 0 → cos 4a 5 21 → cos 4a 5 cos p → 4a 5 p 1 2kp → a 5 p 1 kp
4
2
k
p
p
k
p
S 5 a  IR | a 5
ou a 5
1
, k  Z
⁄
3
4
2
{
}
162 O valor da expressão A 5 2 2 sen 11p ? sen 7p é:
24
a)
2 1
2
3
b)
3 2
2
2
c) 2
d)
24
2 2
2
2 2
4
3
e)
3 2
4
2
3
Resolução:
A 5 22 sen 11p ? sen 7p 5 cos p 2 cos q
24
24

11p
p 1 q 5 12
p 1q
p 2q
11
p
7
p
Fazendo
5
e
5
, temos o sistema 
2
24
2
24
p 2 q 5 7p
12

18
2p
5 p → p 5 3p
12
4
Substituindo p, temos:
p 1 q 5 11p → q 5 11p 2 3p → q 5 p
12
12
4
6
A 5 cos p 2 cos q
2 2 3
A 5 cos 3p 2 cos p 5 2 2 2 3 5 2
4
6
2
2
2
70
{
1
163 Considere a função f(x) 5 sen x ? cos x 1 2 (sen x 2 sen 5x). a) S 5 0, p , p, p , 5p , 7p
2
9 9
9
a) Resolva a equação f(x) 5 0 no intervalo [0, p].
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y 5 8 ? Explique sua resposta.
5
}
Resolução:
f(x) 5 sen x ? cos x 1 1 (sen x 2 sen 5x)
2
x 2 5x
x 1 5x
f(x) 5 sen 2x 1 1 2 sen
? cos
2
2
2
2
f(x) 5 sen 2x 2 sen 2x ? cos 3x 5 sen 2x 1 2 cos 3x
2
2
a) f(x) 5 0 → sen 2x 1 2 cos 3x 5 0 → sen 2x 5 0 ou 1 2 cos 3x 5 0
2
2
Se sen 2x 5 0 → sen 2x 5 sen 0 → 2x 5 kp → x 5 kp → x 5 0, x 5 p , x 5 p
2
2
1
1
p
p
Se
2 cos 3x 5 0 → cos 3x 5
→ cos 3x 5 cos
→ 3x 5  1 2kp
2
2
3
3
p
2k
p
p
5
p
7
p
x 5 1
→ x 5 ,x 5
,x 5
9
3
9
9
9
S 5 0, p , p, p , 5p , 7p
2
9 9
9
(
)
(
{
)
(
)
}
b) f(x) 5 sen x ? cos x (1 2 2 cos 3x ) 5 1 sen 2x (1 2 2 cos 3x )
2
A imagem da função seno é o intervalo [21, 1], e a da função 1 2 2 cos 3x é o intervalo
[21, 3]. Assim, a imagem do produto será o intervalo [23, 3], que multiplicado por
1 resultará no intervalo  3 3  .
2 ,
2
 2 2 
O valor máximo será 3 menor que 8 . Logo, o gráfico não intercepta a reta de equação y 5 8 .
2
5
5
p. 55
164 Demonstre a identidade: sen 2x ? tg x 5 2 2 2 cos2 x, sendo x  kp.
Resolução:
sen 2x ? tg x 5 2 2 2 cos2 x, sendo x  kp
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
sen 2x ? tg x 5 2 sen x ? cos x ? sen x 5
cos x
2
2
5 2 sen x 5 2(1 2 cos x) 5 2 2 2 cos2 x (igual ao 2o membro)
71
sec x 2 cos x
165 Mostre que cossec x 2 sen x 5 tg3 x, com sen x  0.
Resolução:
sec x 2 cos x
5 tg 3 x, com sen x  0
cossec x 2 sen x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
1 2 cos 2 x
1 2 cos x
sen 2 x
2
sec x 2 cos x
cos x
5 cos x
5
5 cos2 x 5 sen x ? sen2 x 5 tg 3 x (igual ao 2o_
2
cossec x 2 sen x
1 2 sen x
cos x
1 2 sen x
cos x
cos x
membro)
sen x
sen
x
sen x
166 Demonstre a identidade: cotg x 1 tg x 5 cotg x ? sec2 x.
Resolução:
cotg x 1 tg x 5 cotg x ? sec2 x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
cos 2 x 1 sen 2 x
1
cotg x 1 tg x 5 cos x 1 sen x 5
5
5 sec x ? cossec x
sen x
cos x
sen x ? cos x
sen x ? cos x
Desenvolvendo o segundo membro, temos:
1
1
cotg x ? sec 2 x 5 cos x ?
5
5 sec x ? cossec x
sen x
sen x ? cos x
cos 2 x
Os dois membros representam uma igualdade; então, a identidade se verifica.
167 Podemos dizer que a função y 5 1 1 sen x 1
a) sec x
b) 2 sec x
cos x
c) cossec x
d) 2 cossec x
cos x
é idêntica a:
1 1 sen x
e) tg x
Resolução:
1 1 sen x
1 1 2 seen x 1 sen 2 x 1 cos 2 x
2 1 2 sen x
cos x
1
5
5
5
cos x
1 1 sen x
cos x(1 1 sen x)
cos x(1 1 sen x)
2(1 1 sen x)
5
5 2 5 2 sec x
cos x(1 1 sen x)
cos x
y 5
72
168 Sejam as identidades:
I. (sen x ? cos x) ? (tg x 2 cotg x) 5 1
II. (sen x ? cos x) ? (tg x 1 cotg x) 5 1
1
III. (sen x ? cos x) ? (tg x ? cotg x) 5 cossec x ? sec x
Podemos afirmar que:
a) I e II são falsas, e III é verdadeira. d) todas são verdadeiras.
b) I é verdadeira, e II e III são falsas. e) todas são falsas.
c) I é falsa, e II e III são verdadeiras.
Resolução:
I. (Falsa); (sen x ? cos x) ? (tg x 2 cotg x) 5 (sen x ? cos x) ? sen x 2 cos x 5
cos x
sen x
2
2
5 sen x 2 cos x  1.
II. (Verdadeira); (sen x ? cos x) ? (tg x 1 cotg x) 5 (sen x ? cos x) ? sen x 1 cos x 5
cos x
sen x
5 sen2 x 1 cos2 x 5 1.


III. (Verdadeira); (sen x ? cos x) ? (tg x ? cotg x) 5 (sen x ? cos x) ?  sen x ? cos x  5
 cos x
sen x 
1
5 sen x ? cos x 5
.
cossec
x
? sec x
)
(
(
)
169 A expressão sen 2x 2 cos 2x é idêntica a:
sen x
a) sen x
b) cos x
cos x
c) tg x
d) sec x
e) cossec x
Resolução:
2
2
sen 2x 2 cos 2x 5 2 sen x ? cos x 2 2 cos x 2 1 5 2 cos x 2 2 cos x 2 1 5
sen x
cos x
cos x
cos x
sen x
5
2 cos 2 x 2 2 cos 2 x 1 1
5 1 5 sec x
cos x
cos x
73
170 A expressão (cotg x 2 sen x)2 1 (1 1 cos x)2 equivale a:
a) cotg2 x
b) cotg2 x 1 1
c) cossec2 x
2
d) cossec x 1 1
e) sec2 x
Resolução:
(cotg x 2 sen x)2 1 (1 1 cos x)2 5
5 cotg 2 x 2 2 cos x ? sen x 1 sen2 x 1 1 1 2 cos x 1 cos2 x 5
sen x
5 cotg2 x 2 2 cos x 1 2 cos x 1 sen2 x 1 cos2 x 1 1 5 cotg2 x 1 2 5
5 cossec2 x 2 1 1 2 5 cossec2 x 1 1
p. 56
171 Desenvolvendo a função y 5 sen4 x 2 cos4 x, obtemos:
a) sen 2x
b) 2sen 2x
c) tg 2x
d) cos 2x
e) 2cos 2x
Resolução:
y 5 sen4 x 2 cos4 x 5
5 (sen2 x 1 cos2 x) ? (sen2 x 2 cos2 x) 5 1 2 cos2 x 2 cos2 x 5
5 1 2 2 cos2 x 5 2cos 2x
172 Demonstre a identidade: (cossec x 2 cotg x)
2
2
1 2 cos x )
(
5
.
sen 2 x
Resolução:
(1 2 cos x)2
sen 2 x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
(cossec x 2 cotg x)2 5
(ccossec x 2 cotg x)2 5
x 5 1 2 cos x
( sen x )
( sen1 x 2 cos
sen x )
2
74
2
5
(1 2 cos x)2
(igual ao 2o_ membro)
sen 2 x
173 A expressão tg (45° 1 x) ? cotg (45° 2 x) é idêntica a:
tg x
tg x
11
b)
12
a)
11
21
cos x
cos x
1 1 sen 2x
1 2 sen 2x
cos 2x
d) 1 2 cos 2x
c)
e) 1 1 sen 2x
Resolução:
tg (45° 1 x) ? cotg (45° 2 x) 5 tg (45° 1 x)) ?
5
1
5
tg (45° 2 x)
tg 45° 1 tg x
1 1 tg 45° ? tg x
1 1 tg x 1 1 tg x
(1 1 tg x)2
?
5
?
5
5
1 2 tg 45° ? tg x
tg 45° 2 tg x
1 2 tg x 1 2 tg x
(1 2 tg x)2
1
sen x
12
2
1 1 2 tg x 1 tg 2 x
sec 2 x 1 2 tg x
cos x
c
os
x
5
5
5
5
2
2
1
sen
x
1 2 2 tg x 1 tg x
sec x 2 2 tg x
22
cos x
cos 2 x
1 1 2 sen x ? cos x
1 1 sen 2x
5
5
1 2 2 sen x ? cos x
1 2 sen 2x
174 Prove que cos 4a 5 8 cos4 a 2 8 cos2 a 1 1.
Resolução:
cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a
cos 2a 5 cos2 a 2 (1 2 cos2 a) 5 2 cos2 a 2 1
Então:
cos 4a 5 2 cos2 2a 2 1 → cos 4a 5 2(2 cos2 a 2 1)2 2 1 →
→ cos 4a 5 2(4 cos4 a 2 4 cos2 a 1 1) 2 1 →
→ cos 4a 5 8 cos4 a 2 8 cos2 a 1 1 (igual ao 2o membro)
75
175 Mostre que
1
?
1 1 sec x
1 1 cos x
5 cotg x.
1 2 cos x
Resolução:
1
?
1 1 sec x
1 1 cos x
5 cotg x
1 2 cos x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
1
?
1 1 sec x
5
5
1 1 cos x
1
5
?
1 2 cos x
1 1 sec x
(1 1 cos x)2
1 1 cos x
1
5
?
5
1 1 sec x
sen x
1 2 cos 2 x
1
?
1 1 sec x
1
11 1
cos x
(1 1 cos x) ? (1 1 cos x)
5
(1 2 cos x) ? (1 1 cos x)
?
1 1 cos x
1 1 cos x
cos x
5
?
5 cotg x (igual ao 2o_ membro)
sen x
cos x 1 1
sen x
Em questões como a 176, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II.
176 (UFPE) Analise as identidades abaixo:
I – II
F 0– 0
sen2 x 1 cos2 (2x) 5 2
V 1– 1
1 1 sen4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
sen 2 x
5 1 1 tg 2 x
1 1 cos 2x
F 2– 2
F 3– 3
sen x ? tg x 1 sen x 5 sec x
cotg 2 x
1 2 sen 2 x 5
1 1 cotg 2 x
V 4– 4
Resolução:
0 –­ 0 (Falsa); sen2 x 1 cos2 (2x) 5 2; para x 5 0 → 0 1 1 5 1
1 ­– 1 (Verdadeira); 1 1 sen4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
1 1 (1 2 cos2 x)2 5 1 1 1 2 2 cos2 x 1 cos4 x 5 2(1 2 cos2 x) 1 cos4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
sen 2 x
2 – 2 (Falsa);
5 1 1 tg 2 x
1 1 cos 2x
Se x 5 0 → 0 5 1
3 –­ 3 (Falsa); sen x ? tg x 1 sen x 5 sec x
Se x 5 0 → 0 1 0 5 1
cotg 2 x
1 1 cotg 2 x
cos 2 x
cos 2 x
sen 2 x
sen 2 x
cos 2 x 5
5
5 cos 2 x
2
2
2
cos
x
sen
x
1
cos
x
11
sen 2 x
sen 2 x
4 –­ 4 (Verdadeira); 1 2 sen 2 x 5
76
{
p. 60
S 5 x  IR p 1 2kp  x  p 1 2kp ou
3
2
177 Resolva a inequação 0 < cos x < 1 .
2
3p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
2
3
}
Resolução:
0  cos x  1
2
π
2
π
3
1
2
cos x
0
3π
2
5π
3
{
}
S 5 x  IR p 1 2kp  x  p 1 2kp ou 3p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
2
2
3
sen x  1

2

178 Quais números satisfazem e
? S 5 x  IR p 1 2kp , x , p 1 2kp, k  Z
⁄
6
3

1
cos x  2

{
}
Resolução:
sen x  1 ; cos x  1
2
2
sen x
π
3
5π
6
1
2
π
6
1
2
cos x
5π
3
Os números que satisfazem as duas inequações estão entre p e p .
6
3
 S 5 x  IR | p 1 2kp , x , p 1 2kp, k  Z
⁄
6
3
{
}
77
(
)
179 Resolva a inequação tg x 2 p 
Resolução:
(
)
tg x 2 p 
3
3
3 ,
sendo 0 , x , 2p.
3
S 5 x  IR p , x , 5p ou 3p , x , 11p
2
6
2
6
{
3
3
tg x
π
2
π
6
3
3
7π
6
3π
2
)
(
(
)
tg x 2 p  3 → tg x 2 p  tg p → p , x 2 p , p ou
3
3
3
6
6
3
2
7p , x 2 p , 3p → p 1 p , x , p 1 p ou
6
3
2
6
3
2
3
7p 1 p , x , 3p 1 p → p , x , 5p ou
6
3
2
3
2
6
3p , x , 11p
2
6
S 5 x  IR  p , x , 5p ou 3p , x , 11p
2
6
2
6
{
}
78
}
180 Quais os números que satisfazem (sen x 1 cos x)2 , 1?
{
}
⁄
S 5 x  IR p 1 kp , x , p 1 kp, k  Z
2
Resolução:
(sen x 1 cos x)2 , 1
sen2 x 1 2 sen x ? cos x 1 cos2 x , 1 → 2 sen x ? cos x , 0 → sen 2x , 0
sen x
π
p 1 2kp , 2x , 2p 1 2kp → p 1 kp , x , p 1 kp
2
p
S 5 {x  V | 1 kp , x , p 1 kp, k  B}
2
0 z 2π
181 Resolva a inequação sen x 1 cos x <
{
no intervalo [0, 2p]. S 5 x  IR 7p  x  23p
12
12
2
2
}
Resolução:
2 ; [0, 2p]
2
sen x 1 sen p 2 x  2 → transformando em produto, temos:
2
2
2 sen p ? cos x 2 p  2 → 2 ? 2 cos x 2 p  2 → 2 cos x 2 p  1 →
4
4
2
2
4
2
4
→ cos x 2 p  1 → cos x 2 p  cos p
4
2
4
3
sen x 1 cos x 
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
)
π
3
1
2
cos x
p  x 2 p  5p → 7p  x  23p
3
4
3
12
12
S 5 x  IR  7p  x  23p
12
12
{
5π
3
79
}

3
sen x  2

182 Determine os números que satisfazem e
no intervalo [0, 2p]. S 5

1
cos x  2

{}
p
3
Resolução:
sen x 
3 ; cos x  1 ; [0, 2p]
2
2
sen x
π
3
2π
3
π
3
3
2
1
2
cos x
5π
3
O único ponto em comum é p .
3
 S 5 p
3
{}
183 Determine os arcos que satisfazem a inequação sen x , 2 3 .
2
4
S 5 x  IR p 1 2kp , x , 5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
3
{
}
Resolução:
sen x , 2 3
2
sen x
4p , x , 5p
3
3
4π
3
� 3
2
{
}
S 5 x  IR  4p 1 2kp , x , 5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
3
5π
3
80
{
}
184 Resolva a inequação 2 cos x 2 sen2 x < cos2 x. S 5 x  IR p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z⁄
3
3
Resolução:
2 cos x 2 sen 2 x  cos 2 x
2 cos x 2 sen 2 x 2 cos 2 x  0 → 2 cos x 2 (sen 2 x 1 cos 2 x)  0 →
→ 2 cos x 2 1  0 → cos x  1
2
π
3
1
2
cos x
p  x  5p
3
3
{
}
S 5 x  IR  p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
3
5π
3
185 Quais os arcos que satisfazem a inequação 2 2 , cos x , 1 situados na primeira determinação
2
positiva?
{
2
S 5 x  IR p , x , 3p ou 5p , x , 5p
3
4
4
3
Resolução:
2 2 , cos x , 1
2
2
π
3
3π
4
1
2
� 2
2
5π
4
cos x
{
S 5 x  IR p , x , 3p ou 5p , x , 5p
3
4
4
3
5π
3
81
}
}
)
(3
)
(3
186 Resolva a inequação sen p 1 x 2 sen p 2 x  0.
{
}
S 5 x  IR 0 1 2kp  x  p 1 2kp, k  Z
⁄
Resolução:
sen p 1 x 2 sen p 2 x  0
3
3
p
p
sen
? cos x 1 cos
? sen x 2 sen p ? cos x 1 cos p ? sen x  0 →
3
3
3
3
p
→ 2 cos
? sen x  0
3
Como cos p 5 1 , temos sen x  0.
3
2
)
(
(
)
sen x
π
0
{
}
S 5 x  IR 0 1 2kp  x  p 1 2kp, k  Z
⁄
82
187 Resolva a inequação 2 ? (1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 4 > 0.
{
}
⁄
S 5 x  IR p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
6
6
Resolução:
2 ? (1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 4 > 0
2 2 2 sen2 x 1 5 sen x 2 4 > 0
2 sen2 x 2 5 sen x 1 2 > 0
zeros de f:
5  25 2 16
sen x 5
→ sen x 5 2 e sen x 5 1
4
2
1
�
1
2
�
2
�
A função seno está definida entre 21 e 1.
1
5π
6
sen x
π
6
1
2
{
}
S 5 x  IR p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
83
188 (Fuvest-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0, 2p[ para os quais cos x > 3 sen x 1 3 .
{
S 5 x  IR 3p  x  11p
2
6
Resolução:
cos x 
3 sen x 1
3 ; ]0, 2p [
cos x 2
3 sen x 
3
Multiplicando a equação por 1 , temos:
2
1 cos x 2
2
3 sen x 
2
3 → 1 5 cos p e
2
2
3
cos p ? cos x 2 sen p ? sen x 
3
3
(
3 5 sen p , então:
2
3
)
3 → cos
x 1 p 
2
3
3
2
π
6
3
2
cos x
�π
6
2 p 1 2kp  x 1 p  p 1 2kp → 2 p 1 2kp  x  2 p 1 2kp →
6
3
6
2
6
→ 3p 1 2kp  x  11p 1 2kp
2
6
Como x  ]0, 2p [, então: 3p  x  11p .
2
6
S 5 x  IR  3p  x  11p
2
6
{
}
84
}