CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS
JOGO ROLETRANDO DOS INTEIROS: UMA ABORDAGEM DOS
NÚMEROS INTEIROS NA
6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Cláudio Cristiano Liell
Lajeado, fevereiro de 2012
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Cláudio Cristiano Liell
JOGO ROLETRANDO DOS INTEIROS: UMA ABORDAGEM DOS
NÚMEROS INTEIROS NA
6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação Mestrado Profissionalizante
em Ensino de Ciências Exatas, do Centro
Universitário
Univates,
como
parte
da
exigência para obtenção do título de Mestre
em Ensino de Ciências Exatas.
Orientadora: Profª. Dra. Ana Cecília Togni
Coorientadora: Profª. Dra. Maria Madalena
Dullius
Lajeado, fevereiro de 2012
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Cláudio Cristiano Liell
JOGO ROLETRANDO DOS INTEIROS: UMA ABORDAGEM DOS
NÚMEROS INTEIROS NA
6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
A Banca examinadora abaixo aprova a Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação Stricto Sensu em Ensino de Ciências Exatas do Centro Universitário
Univates, como parte da exigência para a obtenção do grau de Mestre em Ciências
Exatas.
___________________________________
Profª. Dra. Isabel Cristina Machado de Lara
______________________________
Profª. Dra. Silvana Neumann Martins
_____________________________
Profª. Dra. Eniz Conceição Oliveira
____________________________________________
Coorientadora Profª. Dra. Madalena Madalena Dullius
_________________________________
Orientadora Profª. Dra. Ana Cecília Togni
Lajeado, fevereiro de 2012
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos os professores preocupados com a qualidade de
sua prática pedagógica e que almejam a construção significativa dos conceitos pelos
estudantes.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
AGRADECIMENTOS
À minha família, por terem suportado pacientemente tanta ausência.
À minha orientadora, Dra. Ana Cecília Togni, pelo exemplo profissional, pela
confiança em meu trabalho, flexibilidade em nossa trajetória e a maneira sábia e
carinhosa com que me apontou os caminhos. Muito obrigado!
À coorientadora, Dra. Maria Madalena Dullius, pelas sugestões que
possibilitaram melhorias na redação da Dissertação.
Aos professores da Escola Municipal General David Canabarro, pelo apoio e
compreensão no momento em que tive de fazer algumas escolhas e mudar o rumo
das coisas.
Aos meus alunos, sujeitos da pesquisa, pela sua colaboração e participação
que tornaram possível a concretização deste estudo.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
“Se os professores escutassem seus próprios protestos, ou inclusive
simplesmente deixassem espaço e valorizassem suas próprias perguntas, isto
bastaria para provocar um estalo na armadura do sistema educativo”.
Alicia Fernández
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
RESUMO
O presente estudo, de caráter quanti-qualitativo, analisa uma experiência com o jogo
matemático Roletrando dos Inteiros como estratégia desencadeadora do processo
de ensino-aprendizagem. Propõe-se a verificar se a aplicação de atividades
matemáticas utilizando esse jogo contribui para a aprendizagem da noção de
números inteiros e das operações básicas desse conjunto numérico. A pesquisa foi
realizada em duas turmas de 6ª série do Ensino Fundamental de duas escolas de
São Sebastião do Caí, RS. Em uma turma houve a intervenção de jogos do
Roletrando dos Inteiros para o estudo dos números inteiros e na outra, explorou-se o
tema como é regularmente trabalhado nas escolas, ou seja, através da explicação
do professor, cópia por parte dos alunos e listas de exercícios apresentadas no
quadro ou fotocopiadas. Entre os aportes teóricos que sustentam esta pesquisa,
salienta-se o pensamento de Bacury (2009); Groenwald e Timm (2010); Lara (2003);
Smole, Diniz e Milani (2007); Starepravo (2009) e Kischimoto (1998), além das
considerações dos PCNs (Brasil, 1998). De acordo com as análises realizadas, ficou
evidenciado que: a) nas aulas com jogos, os alunos são ativos e partícipes da
construção de conhecimento, ou seja, formulam hipóteses e deduzem regras para
as operações com números inteiros; b) os registros feitos em aula e os testes
aplicados indicaram melhoria na aprendizagem dos alunos que trabalharam com
jogos; c) de maneira informal, em eventos realizados, a metodologia do jogo
Roletrando despertou o interesse de outros professores; d) os jogos tornaram a
Matemática mais atraente, divertida e interessante para o aluno; e) as aulas com
jogos melhoraram o conviver social dos alunos, pois, ao respeitarem as regras e as
normas pré-estabelecidas para cada jogo, transferiram essa conduta para a sala de
aula.
Palavras-chave: Números inteiros. Roletrando dos Inteiros. Ensino Fundamental.
Aprendizagem.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ABSTRACT
The present study, which is both qualitative and quantitative, analyzes an experience
with the math game Roletrando dos Inteiros as a trigger strategy to the teachinglearning process. It is proposed to verify whether the application of math activities
using this game contributes to the learning of the notion of integers and the basic
operations of this set of numbers. This research was performed on two 6 th grade
groups in an Elementary School in São Sebastião do Caí, RS. In one of the groups
there was the intervention of Roletrando dos Inteiros game to the study of integers
and, in the other group the subject was explored the way it is regularly taught in
classrooms, it is, through the explanation of the teacher, the copy of what is on the
board by the students and exercise lists presented on the blackboard or photocopied.
Among the theoretical basis which sustain this research, it is highlighted the thoughts
of Bacury (2009); Groenwald e Timm (2010); Lara (2004); Smole, Diniz and Milani
(2007); Starepravo (2009) and Kischimoto (1998), besides the considerations of the
PCNs – National Curriculum Parameters – (Brasil, 1998). According to the analysis
performed, it became evident that: a) in the classes with games the students are
active and participate of the construction of knowledge, that is, they formulate
hypothesis and deduce rules to the operations with integers; b) the registers made in
class and the tests applied indicate an improvement on the learning of the students
that work with games; c) in an informal manner, in events, the Roletrando game
methodology called the attention of other teachers; d) the games helped Math to
become more attractive, fun and interesting to the student; e) the classes with games
improve the social relations of the students, because once they follow the preestablished rules and norms to each game, they transfer this behavior to the
classroom.
Keywords: Integers. Roletrando dos Inteiros. Elementary School. Learning.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 - Esboço da pesquisa................................................................................. 39
Figura 02 - Conceitos a serem estudados................................................................. 40
Figura 03 - Roletrandos do primeiro Kit .................................................................... 41
Figura 04 - Canudos do primeiro Kit.......................................................................... 42
Figura 05 - Ficha de acertos do primeiro Kit.............................................................. 42
Figura 06 - Roletrandos do segundo Kit..................................................................... 43
Figura 07 - Quadrados do segundo Kit...................................................................... 44
Figura 08 - Ficha de acertos do segundo Kit............................................................. 44
Figura 09 - Roletrandos do terceiro Kit...................................................................... 45
Figura 10 - Roletrandos do quarto Kit........................................................................ 45
Figura 11 - Ficha de acertos do quarto Kit................................................................. 46
Figura 12 – Registro do aluno F6 utilizando o fica ou troca....................................... 47
Figura 13 – Exercícios que simulam jogos do Roletrandro do Kit no 2...................... 48
Figura 14 – Registro da regra da adição e subtração................................................ 49
Figura 15 – Reprodução das folhas de exercícios impressos sobre adição e subtração
de números inteiros.................................................................................................... 50
Figura 16 - Resolução de expressão numérica com adição e subtração de inteiros da
turma 61..................................................................................................................... 52
Figura 17 - Expressões para os alunos sobre adição e subtração............................ 53
Figura 18 – Registro da aluna F13 sobre o jogo do Kit no 3...................................... 55
Figura 19 – Conclusão da regra da multiplicação...................................................... 56
Figura 20 – Exercícios sobre o Roletrando do Kit no 3.. ............................................ 57
9
Figura 21 – Registro da auto-avaliação do grupo constituído pelos alunos F13, F12,
F24 e F18................................................................................................................... 58
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Figura 22 – Exercícios sobre a multiplicação de números inteiros............................ 59
Figura 23 – Registro do aluno F9 sobre expressões envolvendo o Roletrando Kit n o
3................................................................................................................................. 60
Figura 24 – Exercícios sobre expressões numéricas envolvendo a adição,subtração e
multiplicação............................................................................................................... 61
Figura 25 – Registro do aluno F12 na ficha do Kit no 4.............................................. 63
Figura 26 – Registro da aluna F15 sobre o jogo do Kit no 4...................................... 63
Figura 27 – Regra da divisão..................................................................................... 64
Figura 28 – Reprodução da folha de exercícios impressos sobre divisão de números
inteiros........................................................................................................................ 65
Figura 29 – Registro da expressão numérica da aluna F16...................................... 66
Figura 30 - Registro da auto-avaliação do grupo constituído pelos alunos F3, F8, F15
e F22.......................................................................................................................... 67
Figura 31 – Exercícios sobre expressões numéricas envolvendo adição,subtração,
multiplicação e divisão............................................................................................... 68
Figura 32 – Subtração de números inteiros............................................................... 69
Figura 33 – Exercícios sobre a subtração de números inteiros................................. 70
Figura 34 – Forma simplificada de adição e subtração de números inteiros............. 71
Figura 35 - Resolução de expressão numérica com adição e subtração de inteiros da
turma 63..................................................................................................................... 72
Figura 36 – Expressões numéricas com adição e subtração de inteiros da turma 63.....
................................................................................................................................... 72
Figura 37 – Regra da multiplicação............................................................................ 73
Figura 38 – Reprodução da folha de exercícios sobre multiplicação para a turma
63............................................................................................................................... 74
Figura 39 – Explicação das expressões com multiplicação....................................... 75
Figura 40 – Expressões extras envolvendo a multiplicação...................................... 76
Figura 41 – Regra da divisão da turma 63................................................................. 77
Figura 42 – Reprodução da folha de exercícios impressos sobre a divisão de números
inteiros........................................................................................................................ 78
Figura 43 – Expressões extras com divisão............................................................... 80
10
Figura 44 - Registro de exercícios dos aluno F8 e F6 no caderno............................ 88
Figura 45 - Registro dos aluno F2 e F16 no teste 2................................................... 89
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Figura 46 - Registro no caderno dos alunos S2 sem transferências dos jogos e F11
com transferência dos jogos...................................................................................... 91
Figura 47 - Registro no caderno do aluno F21 com transferência de aprendizado com
jogos para os exercícios............................................................................................. 92
Figura 48 - Contraponto de uma expressão resolvida pelo aluno F11 através de
conceitos construídas com os jogos.......................................................................... 98
Figura 49 - Registro dos alunos F14 e F13.............................................................. 123
Figura 50 - Exemplo de registro da primeira auto-avaliação dos alunos F4, F10, F13 e
F6.............................................................................................................................. 124
Figura 51 - Reprodução da folha de exercícios sobre o Roletrando........................ 125
Figura 52 - Exercícios sobre a representação dos números inteiros....................... 127
Figura 53 - Texto de apresentação do conjunto dos números inteiros.....................129
Figura 54 - Representação dos números naturais no quadro.................................. 129
Figura 55 - Representação da reta numérica da aluna F7....................................... 130
Figura 56 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre comparação e reta
numérica................................................................................................................... 131
Figura 57 - Registro das alunas F10 e F9................................................................ 134
Figura 58 - Registro da auto-avaliação do grupo constituído pelos alunos F7, F19, F22
e F30......................................................................................................................... 136
Figura 59 - Exercícios de esclarecimentos............................................................... 138
Figura 60 - Representação da reta do aluno S7.......................................................140
Figura 61 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre reta numérica .... 141
Figura 62 - Números inteiros opostos.......................................................................143
Figura 63 - Comparação dos números inteiros........................................................ 144
Figura 64 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre comparação de
números inteiros ...................................................................................................... 145
Figura 65 - Adição de números inteiros.................................................................... 146
Figura 66 - Exercícios impressos sobre adição de números inteiros....................... 147
Figura 67 - Exercícios de reforço sobre a adição de números inteiros.................... 148
Figura 68 - Novo exemplo de resolução de adição de números inteiros..................148
Figura 69 - Exercícios gerais sobre adição de números inteiros.............................. 150
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 01 - Porcentagem de acertos por turma no teste 1.......................................83
Gráfico 02 - Porcentagem de acertos por turma no teste 2.......................................87
Gráfico 03 - Porcentagem de acertos por turma no teste 3.......................................90
Gráfico 04 - Porcentagem de acertos por turma no teste 4.......................................96
Gráfico 05 - Porcentagem de acertos por turma no teste 5.....................................101
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
LISTA DE QUADROS
Quadro 01 – Recursos humanos – Escola Estadual de Ensino Médio Felipe
Camarão.....................................................................................................................22
Quadro 02 – Séries e o número de turmas correspondentes da Escola Estadual de
Ensino Médio Felipe Camarão................................................................................... 22
Quadro 03 – Recursos humanos da Escola Municipal General David Canabarro....
................................................................................................................................... 23
Quadro 04 – Séries e o número de turmas correspondentes da Escola Municipal
General David Canabarro.......................................................................................... 23
Quadro 05 – Características dos alunos – Escola Estadual de Ensino Médio Felipe
Camarão.....................................................................................................................24
Quadro 06 – Características dos alunos -
Escola Municipal General David
Canabarro.................................................................................................................. 25
Quadro 07 - Blocos das aulas.................................................................................... 82
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
LISTA DE SIGLAS
Alunos da 6ª série da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão: F1, F2, F3,
F4, F5, F6, F7, F8, F9, F10, F11, F12, F13, F14, F15, F16, F17, F18, F19, F20, F21,
F22, F23, F24, F25, F26, F27, F28, F29, F30
Alunos da 6ª série da Escola Municipal General David Canabarro: S1, S2, S3, S4,
S5, S6, S7, S8, S9, S10, S11, S12, S13, S14, S15, S16, S17, S18
DO – Diário de observações do autor deste estudo
PN – Professor colaborador e regente da turma 63
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 16
1.1 Objetivo geral ...................................................................................................... 19
1.1.1 Objetivos específicos........................................................................................ 19
2 O CONTEXTO ESCOLAR ..................................................................................... 21
2.1 Sujeitos da pesquisa ........................................................................................... 24
3 REFERENCIAL TEÓRICO..................................................................................... 26
3.1 As dificuldades de aceitação dos números inteiros ao longo da história ............. 26
3.2 Aprendizagem através de jogos .......................................................................... 29
3.3 Os jogos como alternativa metodológica para o ensino e aprendizagem da
matemática ................................................................................................................ 31
4 O MÉTODO ............................................................................................................ 37
4.1 A abordagem da pesquisa................................................................................... 37
4.2 Desenvolvendo o estudo ..................................................................................... 38
5 ANÁLISE DO ESTUDO ......................................................................................... 81
5.1 Análises por bloco ............................................................................................... 83
5.1.1 Bloco 1: Noção, importância e comparação dos números inteiros ................... 83
5.1.2 Bloco 2: Adição e subtração dos números inteiros ........................................... 86
5.1.3 Bloco 3: Multiplicação dos números inteiros ..................................................... 95
5.1.4 Bloco 4: Divisão dos números inteiros............................................................ 100
6 CONSIDERAÇÕES E CONTRIBUIÇÕES ........................................................... 104
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 107
ANEXOS ................................................................................................................. 111
ANEXO A – Modelo de ficha de autoavaliação do jogo.......................................... 112
ANEXO B – Modelo de ficha síntese de observação de turma.............................. 113
ANEXO C – Modelo do teste 1............................................................................... 115
ANEXO D – Modelo do teste 2............................................................................... 116
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
15
ANEXO E – Modelo do teste 3................................................................................ 118
ANEXO F – Modelo do teste 4................................................................................ 119
ANEXO G – Modelo do teste 5............................................................................... 120
ANEXO H – Projeto piloto....................................................................................... 122
ANEXO I - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Pais dos Alunos
da Escola Municipal General David Canabarro...................................................... 152
ANEXO J - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Pais dos Alunos
da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão........................................... 153
ANEXO K - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Alunos da
Escola Municipal General David Canabarro............................................................ 154
ANEXO L - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Alunos da
Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão................................................ 155
ANEXO M - Modelo de Autorização Para Realização de Pesquisa na Escola
Municipal General David Canabarro....................................................................... 156
ANEXO N - Modelo de Autorização Para Realização de Pesquisa na Escola
Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão............................................................ 157
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
16
1 INTRODUÇÃO
Desde o início da escolaridade, verifica-se um certo temor da matemática por
parte dos alunos (Selva e Camargo, 2009), o que torna a aprendizagem nesta
disciplina um processo complicado e, muitas vezes, traumático. Na mesma linha,
Souza (2006) diz que o ensino da matemática atravessa uma situação
desconfortável, tanto para quem ensina como para quem aprende e argumenta que
um dos fatores determinantes das dificuldades apresentadas pelos estudantes em
relação à matemática pode ser a falta de relação mais próxima com o cotidiano.
Os autores já citados, também afirmam que, frequentemente, nas diversas
instâncias escolares, questionam-se as práticas pedagógicas, o ensino da
matemática, no sentido da sua aplicabilidade, da sua real função no currículo,
visando a melhorias no processo de ensino-aprendizagem para que esta seja uma
disciplina menos temida pelos alunos.
Em reuniões de professores, dúvidas, angústias e experiências são
compartilhadas. Percebe-se que, tanto na condição de professor, quanto na de
administrador escolar, é consenso que o maior desafio hoje nas escolas, é
conquistar os alunos e torná-los parceiros na construção dos conhecimentos,
condição necessária para que ocorra aprendizagem.
Os estudantes, quando envolvidos em atividades pedagógicas desafiadoras,
conseguem reelaborar e construir conhecimentos. Porém, conforme afirmam muitos
educadores, entre eles Souza e Oliveira (2010), o que se verifica, muitas vezes, é a
17
falta de comprometimento, o desinteresse e a omissão dos estudantes. O desafio de
reverter esse quadro deve levar os professores a buscar alternativas, desafio esse
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
que motivou a realização do presente estudo.
A experiência de lecionar na 6ª série do ensino fundamental há
aproximadamente vinte anos motivou a escolha da temática desta pesquisa. Em
todos esses anos, sempre observei1 as dificuldades dos alunos em lidar com os
números inteiros. Enquanto as operações envolviam números inteiros positivos, não
constatava grandes dificuldades. No entanto, ao abordar situações envolvendo a
subtração, por exemplo, ou todas as operações simultaneamente, as dificuldades
eram muitas. Além disso, não ter aprendido bem o conjunto dos inteiros parece
interferir diretamente no aprendizado de novos conteúdos, especialmente os
algébricos, o que compromete a qualidade do aprendizado.
Segundo Massago e Andrade (2010), muitos alunos de 6ª série têm
dificuldades para fazer abstrações. Portanto, a efetiva aprendizagem dos números
inteiros requer um professor habilidoso, um professor que busque alternativas
metodológicas que contribuam para o desenvolvimento de competências e
habilidades matemáticas e que envolvam prazerosamente o aluno nas aulas e não
um professor que apenas se limita à memorização de regras descontextualizadas
para efetuar cálculos.
Um caminho que pode ser eficaz para motivar os alunos à aprendizagem,
aprimorar seu raciocínio lógico e desenvolver sua criatividade é a utilização de jogos
nas aulas. Como professor, sempre me interessei pela utilização dessa alternativa
metodológica nas aulas de Matemática, a fim de torná-las mais dinâmicas,
rompendo a monotonia e o conservadorismo do ensino formal.
Em outras palavras, buscando uma alternativa às aulas passivas, com pouca
reflexão e participação crítica dos alunos, de aulas em que o professor escreve os
conceitos no quadro e, em seguida, propõe uma lista interminável de exercícios, a
ser resolvida silenciosamente, com base nas definições dos conceitos apresentados.
1
Este capítulo está escrito na primeira pessoa, pois trata-se de história de vida do mestrando.
18
Percebi que a utilização de jogos nas aulas contribui significativamente para o
processo ensino-aprendizagem de conceitos matemáticos, pois a aprendizagem
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
através dessa metodologia desperta o interesse dos alunos e a motivação para
aprender, sendo, portanto, uma alternativa a forma como os conteúdos são
regularmente trabalhados nas escolas.
Starepravo (2009), compartilhando a mesma opinião, afirma:
Os jogos podem substituir atividades enfadonhas como folhas de
intermináveis “contas”, que acabam sendo bastante repetitivas, uma vez
que basta aplicar uma técnica específica para resolvê-las. Quando jogam,
as crianças devem realizar cálculos mentais e eles não são aleatórios nem
desvinculados de um contexto maior. Há um objetivo para se realizar tais
cálculos, objetivo este que, nas folhas de intermináveis cálculos, não passa
de mero treino dos algoritmos convencionais (STAREPRAVO, 2009, p.20).
Essas inquietações e reflexões motivaram-me a desenvolver um estudo sobre
o ensino e a aprendizagem dos números inteiros relativos, através de uma
intervenção de ensino em duas turmas da 6ª série do Ensino Fundamental. Em uma
delas, atuo como professor e utilizo o jogo, de minha autoria, intitulado, Roletrando
dos Inteiros, que explora de diversas formas a noção e as operações com o conjunto
Z. Na outra turma, atua um professor, colaborador desta pesquisa, que explora o
mesmo tema na forma tradicional de abordagem, ou seja, a explicação do professor
– cópia por parte dos alunos – resolução de listas de exercícios fotocopiadas ou
copiadas do quadro verde.
Considerando o contexto acima, o foco desse estudo é verificar se a
intervenção com jogos matemáticos pode desencadear a melhoria do processo
ensino-aprendizagem dos números inteiros e, conforme Bacury (2010), facilitar e
qualificar a compreensão do aluno, tornando o pensar e o fazer matemático mais
significativo. Nesse sentido, o propósito deste estudo é responder à seguinte
questão: Em que aspectos a utilização do jogo Roletrando dos Inteiros, como
alternativa metodológica, pode contribuir significativamente para a construção de
conhecimentos sobre números inteiros pelos alunos?
Para responder à questão norteadora do estudo, propõem-se os seguintes
objetivos.
19
1.1 Objetivo geral
Verificar se a utilização do jogo Roletrando dos Inteiros contribui para a
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
aprendizagem da noção de números inteiros e das operações básicas nesse
conjunto numérico.
1.1.1 Objetivos específicos
- Comparar a aprendizagem sobre números inteiros em duas turmas, em que
numa há atividades pedagógicas utilizando o jogo Roletrandro dos Inteiros e na
outra, não.
- Investigar se, através de jogos, os alunos sentem-se mais motivados e
confiantes para estudar os conceitos matemáticos referentes aos números inteiros.
- Aplicar as diferentes modalidades do jogo Roletrando dos Inteiros na sala de
aula, visando qualificar o processo ensino-aprendizagem, de modo especial, o
raciocínio lógico.
O presente estudo, constituído de cinco capítulos, apresenta, inicialmente, as
justificativas que motivaram a abordagem do tema, bem como os objetivos
propostos e os questionamentos que conduzirão a investigação.
No segundo capítulo, descreve-se o contexto escolar, caracterizando as
escolas e os grupos de alunos a serem investigados.
Com a finalidade de fornecer o quadro de princípios que embasará
teoricamente o estudo, o terceiro capítulo apresenta um histórico das dificuldades de
aceitação dos números inteiros ao longo da história e as possibilidades de utilização
dos jogos na sala de aula.
A descrição da metodologia utilizada na investigação, bem como parte da
Unidade Didática desenvolvida estão explicitados no quarto capítulo.
20
A análise do estudo é realizada no quinto capítulo, por meio de gráficos
elaborados a partir dos testes aplicados, dos depoimentos orais e escritos dos
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
alunos, do professor colaborador e dos registros do autor no DO.
No sexto capítulo, tecem-se considerações e contribuições sobre os
resultados obtidos e possíveis sugestões para outros estudos.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
21
2 O CONTEXTO ESCOLAR
O estudo foi desenvolvido na Escola Estadual de Ensino Médio Felipe
Camarão e na Escola Municipal de Ensino Fundamental David Canabarro, ambas
situadas no município de São Sebastião do Caí, onde o autor exerce suas atividades
profissionais como professor de Matemática e como Administrador Escolar.
A Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão iniciou as atividades em
outubro de 1909, com o nome de Collégio Elementar. Naquela época, a escola
funcionava na rua Tiradentes, no prédio onde atualmente funciona o Sindicato da
Alimentação.
Em 10 de outubro de 1940, situado onde hoje se encontra o Country Tênis
Club, o colégio passa a ser denominado, Grupo Escolar Felipe Camarão. Nesse
mesmo ano, a comunidade começa a mobilizar-se para a construção de um novo
prédio, pois o local era constantemente invadido por enchentes.
No ano de 1946, na rua Pinheiro Machado, no local onde até hoje funciona a
instituição, inicia-se a construção de um novo prédio para a escola e em 1971, ano
da Reforma do Ensino, é implantado o primeiro grau, atendendo os alunos até a 5ª
série.
No ano de 1982, o Grupo Escolar passa a ser denominado de Escola
Estadual de Primeiro Grau Felipe Camarão, incluindo as séries finais do Ensino
Fundamental.
22
Em 2004, pelo Decreto de Transformação, a escola passou a ser
denominada, Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão, ofertando, a partir
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
desta data, também o Ensino Médio.
Atualmente, a escola atende a 739 alunos desde a Educação Infantil até o
Ensino Médio. Os estudantes são oriundos de vários bairros, das mais diversas
classes sociais, culturas e religiões.
A distribuição dos recursos humanos disponíveis na escola é apresentada no
Quadro 01.
Função
Número de funcionários
Direção
3
Supervisão
2
Professores
32
Serventes
4
Merendeiras
3
Quadro 01 – Recursos humanos – Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão
Fonte: Secretaria da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão, março de 2011.
O número de turmas e as correspondentes séries da escola estão distribuídos
no Quadro 02.
Série
Número de
turmas
1º
Série
2º
Série
3ª
Série
4º
Série
5ª
Série
6ª
Série
7ª
Série
8ª
Série
1º
Ano
2º
Ano
3º
Ano
1
1
1
2
2
2
2
2
4
4
3
Quadro 02 – Séries do ensino fundamental e anos do ensino médio com o número de turmas
correspondentes da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão
Fonte: Secretaria da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão, março de 2011.
A escola tem como filosofia “o homem, ser global, amado, valorizado e
respeitado na sua individualidade, em busca do bem comum, da auto realização, do
saber, da criticidade, desafiando sua própria evolução”.
Já a Escola Municipal General David Canabarro iniciou suas atividades em
1966, na localidade de Pinheirinho, no interior do município, atendendo alunos até a
quarta série.
Em 23 de outubro de 1977, a escola foi transferida para a Avenida Conceição,
no bairro São Martim. Legalizada pela lei número 422/77, passou a chamar-se
Escola Municipal de Primeiro Grau Incompleto General David Canabarro.
23
No dia 13 de setembro de 1999, por decreto de Alteração de Designação, a
escola passou a chamar-se Escola Municipal de Primeiro Grau General David
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Canabarro, quando passou a oferecer também as séries finais do Ensino
Fundamental.
Atualmente, com o nome de Escola Municipal General David Canabarro,
atende 630 alunos, desde a Educação Infantil até a oitava série. Os estudantes, de
várias classes sociais e de diversas culturas e religiões, são oriundos do bairro onde
se localiza a escola.
A distribuição dos recursos humanos disponíveis na escola é apresentada no
Quadro 03.
Função
Número de funcionários
Direção
3
Supervisão
1
Professores
33
Serventes
4
Merendeiras
2
Quadro 03 – Recursos humanos da Escola Municipal General David Canabarro
Fonte: Secretaria da Escola Municipal General David Canabarro,março 2011.
O número de turmas e as correspondentes séries da escola estão distribuídos
no Quadro 04:
Série
Pré
1º
Ano
2º
Ano
3º
Ano
4º
Ano
5º
Ano
6º
Ano
6ª
Série
7ª
Série
8ª
Série
Número de turmas
2
3
4
3
3
3
3
3
2
1
Quadro 04 – Séries e o número de turmas correspondentes da Escola Municipal General David
Canabarro
Fonte: Secretaria da Escola Municipal General David Canabarro, março de 2011.
A filosofia da escola é “a formação de sujeitos críticos, reflexivos,
participativos e éticos, que, através do conhecimento, sejam capazes de transformar
a realidade social na qual estão inseridos, fazendo história através de um processo
democrático, visando ao bem estar do homem no plano pessoal e coletivo,
respeitando a pluralidade cultural – integrando a família e a sociedade.”
24
2.1 Sujeitos da pesquisa
Os sujeitos desta pesquisa são os alunos da sexta série 1(um) da Escola
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão e os alunos da sexta série 3 (três) da
Escola Municipal General David Canabarro, denominados respectivamente
por
grupo 61 e grupo 63.
O grupo 61 é composto por 30 alunos, cuja denominação com a respectiva
idade, sexo e situação na classe estão indicados no Quadro 05.
Denominação
Idade
Sexo
Repetência
F1
12
Masculino
Não
F2
11
Feminino
Não
F3
11
Masculino
Não
F4
13
Masculino
Sim
F5
11
Feminino
Não
F6
12
Feminino
Não
F7
11
Feminino
Não
F8
11
Feminino
Não
F9
11
Masculino
Não
F10
15
Masculino
Sim
F11
12
Feminino
Não
F12
12
Masculino
Não
F13
11
Feminino
Não
F14
14
Masculino
Sim
F15
11
Masculino
Não
F16
12
Feminino
Não
F17
14
Feminino
Sim
F18
12
Feminino
Não
F19
11
Feminino
Não
F20
12
Masculino
Não
F21
11
Feminino
Não
F22
11
Masculino
Não
F23
11
Feminino
Não
F24
12
Masculino
Não
F25
12
Masculino
Não
F26
12
Feminino
Não
F27
11
Feminino
Não
F28
11
Feminino
Não
F29
11
Feminino
Não
F30
12
Feminino
Não
Quadro 05 – Características dos alunos – Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão
Fonte: Secretaria da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão, março de 2011.
O Quadro 05 mostra que há 4 alunos acima da faixa etária (12 anos) indicada
para a 6ª série, pois, conforme Portaria Estadual 211/2008, publicada no Diário
Oficial do dia três de setembro de 2008, o início da escolarização ocorre aos seis
anos de idade. Segundo registros da escola, essa diferença de idade decorre da
repetência do aluno em uma ou mais séries.
25
Já o grupo 63 é formado por 18 alunos, cuja denominação com a respectiva
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
idade, sexo e situação na classe estão indicados no Quadro 06.
Denominação
Idade
Sexo
Repetência
S1
12
Feminino
Não
S2
13
Feminino
Sim
S3
14
Masculino
Sim
S4
11
Masculino
Não
S5
12
Masculino
Não
S6
11
Feminino
Não
S7
12
Masculino
Não
S8
14
Feminino
Sim
S9
14
Masculino
Sim
S10
14
Masculino
Sim
S11
12
Feminino
Não
S12
11
Masculino
Não
S13
14
Masculino
Sim
S14
13
Masculino
Sim
S15
12
Masculino
Não
S16
14
Feminino
Sim
S17
12
Feminino
Não
S18
15
Masculino
Sim
Quadro 06 – Características dos alunos - Escola Municipal General David Canabarro
Fonte: Secretaria da Escola Municipal General David Canabarro,março 2011.
Já no Quadro 06, aparecem 9 alunos acima da faixa etária (12 anos) indicada
para a série. Segundo registros da escola, esses alunos também repetiram uma ou
mais vezes alguma série ao longo da vida escolar.
Esse estudo conta com a colaboração e participação do professor
denominado PN, professor de matemática, que coordena o grupo 63. Já o grupo 61
é coordenado pelo autor do estudo, também regente da turma.
A situação ideal seria que ambas as turmas, para efeitos de comparação de
resultados, fossem regidas pelo mesmo professor, o que não é possível, pelo fato de
o autor deste estudo atuar em duas escolas diferentes: Em uma, exerce funções
administrativas e na outra atua como professor regente de classe.
Ainda que turmas, alunos, contextos e professores diferentes possam gerar
diferenças na aprendizagem, pelas razões dadas, optou-se por trabalhar conforme o
exposto. Aulas e atividades pedagógicas da turma 63 serão elaboradas por ambos
os professores e acompanhadas pelo autor deste estudo.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
26
3 REFERENCIAL TEÓRICO
Neste capítulo será apresentado o quadro de princípios que embasam
teoricamente esse estudo. Inicialmente, o conjunto dos números inteiros é
contextualizado historicamente para justificar sua inserção nos currículos escolares
e, em seguida, são apresentadas as possibilidades de utilização dos jogos na sala
de aula, bem como as vantagens de se utilizar essa metodologia no ensino.
3.1 As dificuldades de aceitação dos números inteiros ao longo da história
Durante o desenvolvimento de atividades com números inteiros, tem chamado
a atenção dos professores de matemática a dificuldade de compreensão dos alunos
em relação ao tema.
Além disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) apontam
que os resultados, no que se refere à aprendizagem dos números inteiros, têm sido
bastante insatisfatórios, uma vez que o tratamento pedagógico dado a esse
conteúdo prioriza a memorização de regras para efetuar cálculos, geralmente
descontextualizados.
Ainda, conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), as
dificuldades dos estudantes em relação aos números inteiros são:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
27
- conferir significado às quantidades negativas;
- reconhecer a existência de números em dois sentidos a partir de zero,
enquanto, para os naturais, a sucessão acontece num único sentido;
- reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e zero origem);
- perceber a lógica dos números negativos, que contraria a lógica dos
números naturais - por exemplo, é possível “adicionar 6 a um número e
obter 1 no resultado”, como também é possível,”subtrair um número de 2 e
obter 9”;
- interpretar sentenças do tipo x = - y, (o aluno costuma pensar que
necessariamente x é positivo e y é negativo) (BRASIL, 1998, p. 98).
Segundo Chamorro, Pinheiro e Rodrigues (2006), com base em um trabalho
de Borba (1998), a História da Matemática revela dificuldades de aceitação dos
números negativos ao longo da história.
A origem dos números negativos é incerta, porém a aceitação como número é
recente na História da matemática.
De acordo com Rossi:
Os Números inteiros foram utilizados pelos babilônios, mas o uso pioneiro
dos números negativos é atribuído aos chineses e aos hindus, que
conceberam símbolos para as faltas e as diferenças “impossíveis” (dívidas).
A adoção do zero teve um papel-chave na construção dos números inteiros,
possibilitando operar com grandezas negativas, mudando o caráter de
“zero-nada” para “zero-origem”, favorecendo assim a idéia de grandezas
opostas ou simétricas (ROSSI, 2009, p. 15).
Ainda, segundo o mesmo autor, na China antiga, os números eram
representados por varas de bambu: as vermelhas representavam os números
positivos e as pretas, os negativos. Utilizadas para realizar cálculos e resolver
equações, números negativos eram interpretados como simples subtraendos;
porém, não se sabe ainda por que e para que eram usados.
De acordo com Soares (2008), no fim do século III d.C, o matemático grego
Diofanto propôs um problema cuja solução era o número - 4, mas, na época, afirmou
que o problema era absurdo. Em outro trabalho, sugeriu um produto de duas
diferenças, mas sem referir-se aos números negativos.
O mesmo autor ressalta que, por volta do ano 800, o matemático árabe AlKhowarizmi divulgou no mundo árabe o sistema de numeração da Índia. Foi o
pioneiro no estudo das equações, mas não considerava soluções negativas.
28
Segundo Rossi (2009) e Soares (2008), o matemático italiano Fibonacci (1170
– 1250), em obra de 1225, foi o primeiro a aceitar os números negativos como
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
números, ao interpretar a raiz negativa num problema financeiro como perda.
A aceitação plena dos números negativos seguiu uma longa e demorada
trajetória. Conforme Borba (1998) citado por Chamorro, Pinheiro e Rodrigues:
No Renascimento, nos séculos XV e XVI, os números naturais, os decimais,
os fracionários e irracionais eram conhecidos e plenamente aceitos. O
número negativo, porém, só teve aceitação plena a partir do século XIX
(CHAMORRO; PINHEIRO; RODRIGUES, 2006, p. 122).
Ainda, de acordo com as mesmas autoras, matemáticos como Nicolas
Chuquet (séc.XV) e Michael Stifel (séc XVI) qualificavam os números negativos
como “números absurdos”.
Chamorro, Pinheiro e Rodrigues (2006) também citam Viète (1540-1603),
como um dos matemáticos a introduzir os símbolos “+”, “-“ e “=”, e, talvez, o primeiro
a empregar coeficientes literais nas equações, ignorando os negativos como
possíveis de serem representados por tais coeficientes.
Conforme Soares (2008), no século XVI, o francês Descartes não considerava
os números negativos verdadeiros. Ao inventar o sistema de localização de pontos
no plano (hoje chamado de eixos cartesianos), os eixos de referência contemplavam
apenas os números positivos. Naquela época, não se acreditava que algo poderia
ser menor do que o nada; por isso, não consideravam números que indicassem
quantidades menores que o nada.
Para Chamorro, Pinheiro e Rodrigues (2006), matemáticos como Leonhard
Euler (1707-1783), na falta de fundamentação lógica, tentavam, sem muito sucesso,
elaborar uma justificativa para o uso dos negativos.
Assim, de acordo com Rossi (2009), somente no decorrer do século XIX, os
números negativos foram aceitos pelos matemáticos e incorporados às leis da
aritmética, passando a integrar a hierarquia dos sistemas numéricos, com a
construção de um novo conjunto Z.
Para Courant e Robbins (1987), citados por Chamorro, Pinheiro e Rodrigues
(2006):
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
29
Levou muito tempo para que os matemáticos percebessem que a „regra de
sinais‟, junto com todas as outras definições governando os inteiros
negativos e frações não podem ser „provadas‟. Elas são criadas por nós
com o objetivo de obter liberdade de operação ao mesmo tempo que
preservando as leis fundamentais da aritmética. O que pode - e deve - ser
provado é apenas que com que base nestas definições as leis comutativa,
associativa e distributiva da artimética são preservadas (CHAMORRO;
PINHEIRO; RODRIGUES, 2006, p. 24).
A difícil aceitação histórica dos negativos pelos matemáticos da época talvez
tenha sido em razão de dificuldades idênticas às dos alunos ao estudarem os
números inteiros relativos e suas operações.
Considerando as dificuldades históricas sobre os números inteiros, o
professor de matemática deve reconhecer a necessidade de buscar estratégias de
ensino que facilitem o entendimento dos números negativos, para tornar esse
conteúdo realmente significativo e de fácil compreensão.
Conforme Hoffmann (1999), o ideal seriam modelos de ensino que
permitissem aos alunos fazer transferências de aprendizagem, para que não fossem
condicionados a exemplos que tolhem sua autonomia. Uma das estratégias poderia
ser a aprendizagem através de jogos, que, posteriormente, será abordada neste
estudo.
3.2 Aprendizagem através de jogos
Segundo Lara (2003), o jogo educativo pode facilitar o processo de ensinoaprendizagem, pois, além de ótimo recurso didático ou estratégia de ensino, é um
rico instrumento para a construção do conhecimento.
A mesma autora destaca também que os jogos, ultimamente, vêm ganhando
espaço, reflexo de uma tentativa de trazer o lúdico para dentro das salas de aula. A
intenção da maioria dos professores com a sua utilização é tornar as aulas mais
agradáveis, com o intuito de fazer com que a aprendizagem torne-se algo muito
interessante. Além disso, esperam que as atividades lúdicas possam ser
consideradas estratégias de estímulo ao raciocínio, levando o aluno a enfrentar com
êxito situações conflitantes cotidianas. Jogos bem elaborados e explorados
30
adequadamente nas aulas contribuem para atingir diferentes objetivos, que variam
desde o simples treinamento, até a construção de um determinado conhecimento.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Conforme Groenwald e Timm:
A aprendizagem através de jogos, como dominó, palavras cruzadas,
memória e outros, permite que o aluno faça da aprendizagem um processo
interessante e até divertido. Para isso, eles devem ser utilizados
ocasionalmente para sanar as lacunas que se produzem na atividade
escolar diária. Nesse sentido, verificamos que há três aspectos que por si
só justificam a incorporação do jogo nas aulas. São eles: o caráter lúdico, o
desenvolvimento de técnicas intelectuais e a formação de relações sociais.
(GROENWALD; TIMM, 2000, p. 21).
Estudos como os de Smole, Diniz e Milani (2007) e Oliveira (2009) ainda
dizem que a melhor forma de aprendizagem é fruto de interação, pois aprender é
iminentemente um ato de socialização; não é uma postura individualista, mas
organizacional. É por meio de trocas de pontos de vista com outras pessoas que o
aluno progressivamente descentra-se e passa a pensar por outra perspectiva. Nesse
processo, se dá a negociação de significados, possibilitando ao aluno novas
aprendizagens.
Muller (2000), referindo-se aos trabalhos de Vygotsky, parte da premissa de
que o desenvolvimento cognitivo não pode ser entendido sem referência ao contexto
social e cultural no qual ele ocorre. Com as interações proporcionadas pelos jogos e
com a ampliação das relações sociais, as crianças podem aprender com colegas e
adultos de diferentes níveis intelectuais.
Ainda, segundo a autora, o jogo é uma importante ferramenta para o
professor realizar a mediação entre as possibilidades das crianças e as exigências
da tarefa. O professor, ao acompanhar as atividades com jogos, pode colocar-se no
lugar dos alunos, para perceber o modo como eles estão pensando e agindo.
Durante a realização das atividades com jogos, podem ocorrer trocas cognitivas
significativas entre os alunos e o professor. Portanto, ao selecionar um jogo, o
educador deve valorizar e criar as condições necessárias para que seja possível
realizá-lo.
31
Para Golbert (1997), citada por Muller (2000, p. 3), o trabalho com jogos
“permite ao educador mediar a aprendizagem, acompanhar passo a passo os
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
processos de pensamento da criança e intervir, sempre que necessário”.
A ideia de que os jogos podem promover situações lúdicas de aprendizagem
também é compartilhada por Schaeffer (2006), que destaca que, nas brincadeiras
educativas ou nos jogos, podem ser acrescentados questionamentos, discussões e
interações entre professor e aluno e vice-versa. Dessa forma, a criança pode fazer
abstrações e estabelecer relações do brincar com situações da vida real,
possibilitando acesso ao significado das ações realizadas no lúdico e não apenas a
simples associações.
Muller, compartilhando a mesma opinião, afirma:
No brinquedo, a criança comporta-se de forma mais avançada do que nas
atividades da vida real e também aprende a separar objeto e significado.
Esse comportamento diferenciado ocorre porque jogar implica prazer,
propiciando a capacidade humana de aproveitar a experiência, imaginar e
criar (MULLER, 2000, p. 3).
Os jogos, portanto, podem ser utilizados para recreação, socialização e
abstração, proporcionando assim possibilidades de aprendizagem ao aluno. Na
seção a seguir, apresentamos algumas dessas possibilidades.
3.3 Os jogos como alternativa metodológica para o ensino e aprendizagem da
matemática
Segundo Barbosa e Carvalho (2010), a matemática está, direta ou
indiretamente, presente no cotidiano dos alunos. A todo momento, são exercitados
conhecimentos matemáticos. Apesar de utilizada em praticamente todas as áreas de
conhecimento, nem sempre é fácil mostrar a aplicabilidade da matemática, a fim de
despertar o interesse dos alunos através de situações contextualizadas.
Conforme Santos:
A matemática, sem sombra de dúvida, está intimamente ligada à vida de
todas as pessoas nos mais diversos campos da atividade humana,
quantificando, calculando, ou na leitura de um gráfico, provando assim que
sua aprendizagem deve ser fundamentada na resolução de situações-
32
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
problema e não centrada em procedimentos mecânicos, já que a
matemática caracterizou-se como uma forma de compreender e atuar no
mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da
construção humana na sua interação constante com o contexto natural,
social e cultural (SANTOS, 2005, p. 14).
O ensino da Matemática deve estar centrado na prática pedagógica, de tal
forma que o ensino, a aprendizagem e o conhecimento matemático estejam
relacionados entre si. Nesse sentido, Barbosa e Carvalho afirmam que:
[...] o professor de matemática é considerado um educador intencional, que
necessita realizar pesquisas tanto relacionadas ao conteúdo como também
em relação às metodologias a serem adotadas para a transmissão de tais
conteúdos. Deve ter a preocupação em conhecer a realidade de seus
alunos, detectando seus interesses, necessidades e expectativas em
relação ao ensino, à instituição escolar e à vida (BARBOSA; CARVALHO, 2010,
texto digital).
É comum professores comentarem as dificuldades dos alunos em relação aos
conteúdos da Matemática, alegando serem de difícil compreensão. Para Massago e
Andrade (2010), a maioria dos alunos que apresentam deficiências na disciplina
alegam ser necessário decorar muitas regras incompreensíveis, como, por exemplo,
o produto de dois números negativos ser um número positivo. Impõe-se, então,
repensar os motivos que levam ao fracasso escolar.
Um dos inúmeros motivos que ocasionam as dificuldades na escola pode ser
a inadequação do método de ensino utilizado, o que não significa necessariamente
condenar as metodologias de ensino adotadas. Assim, concorda-se com Coelho
quando diz:
Todos sabemos que um determinado método de ensino pode ser mais
favorável do que outro para determinadas aprendizagens matemáticas ou
de outra natureza, que se pretendam promover no aluno; por isso, as
opções metodológicas irão influenciar fortemente a aquisição dos conceitos
matemáticos e a compreensão das relações matemáticas, fundamentais
para o desenvolvimento da formação intelectual do indivíduo (COELHO,
20005, p. 6).
Estudos realizados por Bacury (2010) sobre os processos de ensinoaprendizagem da Matemática apontam para a falta de atribuição de significação aos
conteúdos matemáticos a serem compreendidos pelos alunos. Para alcançar esse
objetivo os professores devem proporcionar alternativas de ensino adequadas à
necessidade da situação de aprendizagem do momento, sejam elas inovadoras, ou
não, pois cada turma apresenta características peculiares.
33
Para que haja condições de construir o conhecimento, especificamente o
matemático, é necessário recorrer a metodologias que lhes proporcionem a
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
aquisição de habilidades para a construção desse conhecimento.
Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)
sugerem como alternativas: jogos, o conhecimento e a utilização da História da
Matemática e as Tecnologias da Comunicação e Informação como propostas
educacionais interessantes para a prática do professor na sala de aula.
É consensual a ideia de que não existe um caminho que possa ser
identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em
particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de
trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua
prática. Dentre elas, destacam-se a História da Matemática, as tecnologias
da comunicação e os jogos como recursos que podem fornecer os
contextos dos problemas, como também os instrumentos para a construção
das estratégias de resolução (BRASIL, 1998, p. 42).
Os jogos têm merecido atenção especial por parte dos professores na medida
em que foram apontados como novas propostas educacionais pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) para diminuir problemas de aprendizagem.
Essas diretrizes educacionais salientam que os jogos como estratégia de
ensino-aprendizagem para a resolução de problemas são um recurso pedagógico
com excelentes perspectivas de bons resultados, pois estimulam o desenvolvimento
de métodos de resolução de problemas, estimulam a criatividade e geram
motivação, hoje, um dos grandes desafios do professor.
Mesmo assim, há professores que receiam levá-los para a sala de aula; no
entanto, se os jogos forem bem elaborados e corretamente utilizados, são grandes
aliados no processo ensino-aprendizagem. Aos professores, oportunizam uma
metodologia alternativa; aos alunos, aulas que despertam a curiosidade e o
interesse.
Para Bacury (2010), os jogos matemáticos são estratégias e recursos que
constituem uma forma lúdica de construir habilidades ao resgatarem aspectos do
pensamento matemático, bem como possibilitam a construção do pensamento
lógico-matemático e espacial, o cálculo mental, no sentido de trabalhar estimativa,
34
formular hipóteses, fazer conjecturas, cujo resultado é a construção do pensamento
científico.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Ainda, conforme Bacury (2010, texto digital), a utilização de jogos como
possibilidade de aprendizado da Matemática é uma “possível alternativa para
desencadear um processo de ensino que valorize o fazer matemática, ou seja, o
fazer com compreensão, suprindo a carência de significação”, mencionada
anteriormente.
De acordo com o pensamento de Grando:
Ao conferirmos ao jogo um caráter metodológico estamos tornando-o
produtivo ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática, mais
especificamente. O jogo, neste contexto, não gera riquezas materiais, mas
produz obras – estratégias – desencadeando a construção de
conhecimento. Por isso, o jogo dito pedagógico apresenta-se produtivo ao
professor que busca nele um aspecto instrumentador e, portanto, facilitador
à aprendizagem do aluno e, também, produtivo ao aluno, que desenvolve
sua capacidade de pensar, refletir, analisar, levantar hipóteses, testá-las e
avaliá-las, além do desenvolvimento da autonomia e da socialização
propiciadas pelo movimento do jogo (GRANDO, 1995, p. 44).
Para Moura (1994), o jogo aproxima o sujeito ao conteúdo científico, através
da linguagem, das informações, dos significados culturais, da compreensão de
regras e da imitação, assegurando assim a construção de conhecimentos mais
elaborados.
Outros estudos, como os de Barbosa e Carvalho, destacam que:
[...] o trabalho com jogos é um dos recursos que favorece o
desenvolvimento da linguagem, diferentes processos de raciocínio e de
interação entre os alunos, uma vez que, durante um jogo, cada jogador tem
a possibilidade de acompanhar o trabalho de todos os outros, defender
pontos de vista e aprender a ser crítico e confiante em si mesmo
(BARBOSA; CARVALHO, 2010, texto digital).
Silva e Santiago (2010) e Grando (1995) destacam que quando o aluno joga,
e faz uso de estratégias e tomadas de decisões nos desafios que são impostos
pelos jogos, ele estará desenvolvendo atividades cognitivas que poderão ser usadas
em outros contextos da sua vida, seja ela social ou profissional, pois em várias
situações cotidianas, o aluno necessita tomar decisões e se posicionar frente a
diversas opções, algumas mais vantajosas outras menos.
35
Outra habilidade desenvolvida com a utilização de jogos é a de os alunos
trabalharem seus erros, pois, ao registrarem as jogadas, lembram dos lances
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
efetuados e podem analisar os erros cometidos. Portanto, as anotações
matemáticas das jogadas têm um papel importante na aprendizagem, pois
desenvolvem as percepções dos alunos e os levam a uma reflexão sobre os
conhecimentos adquiridos.
Segundo Smole, Diniz e Milani:
No jogo, os erros são revistos de forma natural na ação das jogadas, sem
deixar marcas negativas,mas propiciando novas tentativas, estimulando
previsões e checagem. O planejamento de melhores jogadas e a utilização
de conhecimentos adquiridos anteriormente proipiciam a aquisição de novas
idéias e novos conheimentos (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007, p.10).
Assim, concorda-se com o pensamento de Kischimoto, quando diz:
O jogo, na educação matemática, passa a ter caráter de material de ensino
quando considerado promotor de aprendizagem. A criança, colocada diante
de situações lúdicas, apreende a estrutura lógica da brincadeira e, deste
modo, apreende também a estrutura matemática presente (KISCHIMOTO,
1998, p. 80).
Para a aplicação da metodologia de jogos, no entanto, algumas regras devem
ser observadas. Barbosa e Carvalho (2010), fundamentados no trabalho de Smole,
Diniz e Milani (2007), sugerem formas de utilização dos jogos:
- Realizar o mesmo jogo várias vezes, para que o aluno tenha tempo de
aprender as regras e obter conhecimentos matemáticos com esse jogo;
- Incentivar a leitura, a interpretação e a discussão das regras do jogo por
parte dos alunos;
- Propor o registro das jogadas ou estratégias utilizadas no jogo;
- Propor que os alunos criem novos jogos, utilizando os conteúdos
estudados nos jogos de que ele participou (BARBOSA; CARVALHO, 2010,
texto digital).
Para Groenwald e Timm (2000), é importante que sejam estipuladas regras
para os jogos a serem trabalhados em sala, para desenvolver o pensamento lógico,
pois a aplicação sistemática das regras encaminha as deduções.
As autoras classificam os jogos com regras em três tipos:
- Jogos estratégicos: são trabalhadas as habilidades que compõem o
raciocínio lógico. Com eles, os alunos leem as regras e buscam caminhos
para atingir o objetivo final, utilizando estratégias para isso. O fator sorte
não interfere no resultado.
- Jogos de treinamento: são utilizados quando o professor percebe que
alguns alunos precisam de reforço num conteúdo e quer substituir as
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
36
cansativas listas de exercícios. Neles, quase sempre o fator sorte exerce
um papel preponderante e interfere nos resultados finais,o que pode frustrar
as ideias anteriormente colocadas;
- Jogos geométricos: têm como objetivo desenvolver a habilidade de
observação e o pensamento lógico. Com eles conseguimos trabalhar figuras
geométricas, semelhanças de figuras, ângulos e polígonos (GROENWALD;
TIMM, 2000, p. 22).
Considerando-se os pensamentos diversificados dos autores citados a
respeito do uso de jogos em sala de aula; para este estudo, a utilização de jogos é
considerada como uma metodologia. Concorda-se assim com Silva e Santiago
(2010), quando destacam que não há intenção de promover os jogos a substitutos
das metodologias de ensino formal, mas é inegável que podem ser mais uma
alternativa que permite aos alunos ter êxito na aprendizagem de conteúdos
matemáticos.
Apresentado o referencial teórico, no próximo capítulo, apresenta-se a
metodologia utilizada na elaboração e execução desse projeto de pesquisa.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
37
4 O MÉTODO
4.1 A abordagem da pesquisa
O presente estudo é uma pesquisa quanti-qualitativa, em que se deseja
comparar a
participação,
o
interesse, a
possibilidade de
construção de
conhecimentos sobre números inteiros e a resolução de exercícios e problemas
propostos sobre o assunto citado, por alunos de duas turmas de 6ª série do Ensino
Fundamental: uma, com aulas embasadas no tripé exposição de conteúdo exercícios – correção; e outra, com metodologia alternativa, que utiliza jogos,
especificamente, o Roletrando dos Inteiros, jogo planejado e desenvolvido pelo autor
deste estudo.
A abordagem metodológica quanti-qualitativa justifica-se na medida em que
utiliza as características de ambos os enfoques no estudo realizado. Moreira e
Caleffe (2008) definem a pesquisa qualitativa e quantitativa como:
A pesquisa qualitativa explora as características dos indivíduos e cenários
que não podem ser descritos numericamente. O dado é frequentemente
verbal e é coletado pela observação, descrição e gravação. A pesquisa
quantitativa, por outro lado, explora as características e situações de que
dados numéricos podem ser obtidos e faz uso da mensuração e
estatísticas. Ambas podem ser usadas no mesmo estudo (MOREIRA;
CALEFE, 2008, p. 73).
Gomes e Araújo (2010), por sua vez, apontam que a tendência metodológica
quanti-qualitativa atende plenamente as necessidades dos pesquisadores, pois,
apesar da clara oposição existente entre as duas abordagens (quantitativo x
38
qualitativo), muitos autores colocam que o ideal é o agrupamento de aspectos de
ambas as perspectivas.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Os autores também destacam que:
Pesquisar exige, antes de tudo, reconhecer a necessidade de uma
metodologia que permita ao pesquisador observar os diversos aspectos
relacionados ao objeto em questão. As pesquisas atuais refletem
justamente a tentativa de construção de uma abordagem de pesquisa que
consiga juntar as dimensões qualitativas e quantitativas, ou seja, um
método posicionado ao centro, que englobe aspectos distintos e que
proporcione um leque maior de ferramentas para a operacionalização da
pesquisa, permitindo, inclusive, um deslocamento a um dos extremos, de
acordo com as peculiaridades de cada objeto (GOMES; ARAÚJO, 2010,
texto digital).
Portanto, no estudo realizado, os aspectos da pesquisa qualitativa foram
contemplados com base na análise da observação das aulas, da aplicação dos
jogos, dos depoimentos orais e escritos dos alunos das turmas foco e do professor
colaborador. No que se refere à pesquisa quantitativa, sua caracterização se
apresenta através das análises dos desempenhos das turmas, referentes aos testes
aplicados.
4.2 Desenvolvendo o estudo
A metodologia do presente estudo contemplou a intervenção de ensino
através do jogo Roletrando dos Inteiros, testes, autoavaliações dos alunos,
observações registradas pelo autor e pelo professor colaborador ao longo do
desenvolvimento das aulas.
O estudo foi realizado em dois grupos de alunos: em um deles, ocorreu a
intervenção com jogos; no outro, não. Ambos, porém, realizaram os mesmos testes
que foram analisados e interpretados. Os sujeitos da pesquisa, conforme descrito no
item Contexto Escolar, foram todos os alunos da sexta série do Ensino Fundamental
de duas escolas. A escolha dos grupos foi realizada em função da disponibilidade de
horários dos professores envolvidos. Cabe salientar que o autor interviu como
professor em uma das turmas, e, como observador não participante que apenas
registrou as ocorrências das aulas, na outra, na qual outro professor é titular e se
39
dispôs a participar do projeto como colaborador. Contudo, as aulas de ambas as
turmas foram preparadas pelos dois professores.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
A classe que utilizou o jogo Roletrando dos Inteiros foi o grupo 61; e o que
utilizou a metodologia quadro/giz foi o grupo 63. O coordenador do grupo 61 foi o
autor do estudo e o do grupo 63 é o professor PN, que elaborou as atividades
pedagógicas juntamente com o professor/autor, conforme já mencionado.
O esboço do desenvolvimento da pesquisa é destacado na Figura 01.
PESQUISADOS (48)
61 (30)
63 (18)
Aulas com
intervenção de
jogos
(Roletrando)
Aulas
utilizando o
binômio:
quadro e giz
TESTES E EXERCÍCIOS
(Pesquisa quantitativa)
OBSERVAÇÕES E ANÁLISES
C(Pesquisa qualitativa)
Figura 01 - Esboço da pesquisa
Fonte: O autor.
Os conceitos trabalhados durante a investigação estão indicados no gráfico
representado na Figura 02.
40
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Noção de Z
Adição em Z
Subtração em Z
Figura 02 - Conceitos a serem estudados
Fonte: O autor.
Multiplicação em Z
Divisão em
Z
ZZZ
Os materiais utilizados no desenvolvimento deste estudo foram testes, como
instrumentos de diagnóstico; fichas de auto-avaliação de aprendizagem; o diário de
observação do autor (DO); fichas síntese de observação das turmas-foco; os jogos
de intervenção e os exercícios impressos ou apresentados no quadro pelo professor.
O instrumento diagnóstico conhecido como teste foi aplicado nos grupos 61 e
63 após o estudo de cada conceito, com o objetivo de complementar análises e
conclusões referentes à contribuição dos jogos para o aprendizado significativo dos
números inteiros. Os testes indicaram o desempenho das turmas através dos
porcentuais de acertos dos alunos nas questões que constituíram os instrumentos
aplicados.
A ficha de auto-avaliação (ANEXO A) foi preenchida pelos grupos que eram
organizados pelos alunos da turma 61, após a realização de cada jogo e discussão
coletiva sobre as situações observadas.
O diário de observação (DO) foi o instrumento utilizado pelo autor para fazer
descrições mais aprofundadas sobre o desenvolvimento das aulas nos dois grupos
pesquisados, além de servir como material de registro do envolvimento e
comprometimento dos alunos nas tarefas, das dificuldades e facilidades da
aprendizagem dos conceitos estudados, e da motivação para aprender.
Na ficha síntese de observação (ANEXO B), preenchida pelo autor e pelo
professor PN em cada aula dada, foram descritas as considerações mais
importantes das turmas 61 e 63, relativas ao período observado.
41
Os testes foram analisados quantitativamente, enquanto que a ficha de autoavaliação, o diário de observação e a ficha síntese de observação, foram analisadas
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
qualitativamente, sob a perspectiva da análise do discurso, que segundo Moraes
(2007) pode ser entendida como um:
[...] processo de desconstrução,seguido de reconstrução, de um conjunto de
materiais linguísticos e discursivos, produzindo-se a partir disso, novos
entendimentos sobre os fenômenos e discursos investigados. Envolve identificar
e isolar enunciados dos materiais submetidos a análise, categorizar esses
enunciados e produzir textos, integrando nestes, descrição e interpretação,
utilizando como base de sua construção o sistema de categorias construído.
(MORAES, 2007, p.112)
O Jogo Roletrando dos Inteiros foi aplicado na turma 61 para cada conceito
estudado e apresenta atividades que foram construídas com embasamento em
várias pesquisas bibliográficas, dentre as quais destacam-se as de Pereira (1990);
Schmitt (2004), Hoffmann (1999) e Chamorro, Pinheiro e Rodrigues (2006). Ele foi
elaborado pelo autor desse estudo com o objetivo de contribuir para a melhoria do
processo de ensino-aprendizagem da Matemática na 6ª série do Ensino
Fundamental.
O jogo é constituído de quatro Kits, que variam conforme o conceito a ser
estudado. A base de sustentação e os círculos que compõem os kits do jogo são de
madeira e pintados com anilina verde e laranja.
Kit no 1:
O objetivo do primeiro Kit é introduzir a ideia de número negativo e levar o
aluno a comparar os números inteiros e a perceber que o sinal da resposta em
qualquer situação apresentada é o do número de maior módulo.
O material é constituído de:
- Dois roletrandos confeccionados conforme a Figura 03;
- 60 pedaços de canudos verdes e laranjas conforme a Figura 04;
- Ficha para marcar os pontos alcançados de acordo com a Figura 05.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
42
Figura 03 - Roletrandos do primeiro Kit
Fonte: O autor.
Figura 04 - Canudos do primeiro Kit
Fonte: O autor.
FICHA PARA ACERTOS DO ROLETRANDO
INTEGRANTE:.....................................................................................
PONTOS
+
ACERTO
Figura 05 - Ficha de acertos do primeiro Kit
Fonte: O autor.
43
Kit no 2:
O objetivo do segundo Kit do jogo é levar o aluno a compreender o oposto de
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
um número inteiro e operar com a adição e a subtração de números inteiros,
utilizando a ideia do “fica” ou “troca” .
O material é constituído de:
- 2 roletrandos confeccionados conforme a Figura 06;
- 30 quadrados laranja, de aproximadamente 3 cm de lado, com a inscrição
dos números, -4, -5, -6, -3, -2; e 30 quadrados verdes com a inscrição dos números,
+4, +5, +6, +3 e +2, conforme a Figura 07;
- ficha de acerto de pontos, segundo a Figura 08.
Figura 06 - Roletrandos do segundo Kit
Fonte: O autor.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
44
Figura 07 - Quadrados do segundo Kit
Fonte: Os alunos.
ROLETRANDO
ROLETRANDO
DOS SINAIS
DOS NÚMEROS
PONTOS FINAIS
ACERTO DOS PONTOS
+
-
Acerto
Figura 08 - Ficha de acertos do segundo Kit
Fonte: O autor.
Kit no 3:
O terceiro Kit foi elaborado com o objetivo de levar o aluno a formular a regra
de sinais da multiplicação, um, para um produto de fatores iguais; e outro, para um
produto de fatores diferentes.
Os materiais do jogo são:
- 2 roletrandos conforme Figura 09;
- 30 quadrados laranjas de aproximadamente 3cm de lado, com a inscrição
dos números, -4, -5, -6, -3, -2; e 30 quadrados verdes com a inscrição dos números,
+4, +5, +6, +3 e +2, que aparecem na Figura 07.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
45
Figura 09 - Roletrandos do terceiro Kit
Fonte: O autor.
Kit no 4:
O quarto Kit do jogo objetiva levar o aluno a formular a regra de sinais para a
divisão de números inteiros.
O material do jogo é formado por:
- Dois roletrandos confeccionados conforme Figura 10;
- Uma ficha para descrever as jogadas e os acertos, a qual pode ser
observada na Figura 11.
Figura 10 - Roletrandos do quarto Kit
Fonte: O autor.
46
JOGADA DOS ROLETRANDOS
ACERTO DOS PONTOS
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
+
-
Acerto
Figura 11 - Ficha de acertos do quarto Kit
Fonte: O autor.
Descrito o material utilizado, serão apresentadas a seguir 11 das 17 aulas 2
que compuseram a Unidade Didática realizada para este estudo e desenvolvida para
os grupos pesquisados. Essas aulas representam a sequência do Projeto Piloto
(ANEXO H) que deu origem a ela e cujos resultados iniciais obtidos apontavam que
na turma em que foram aplicados os jogos, os alunos foram ativos e partícipes da
construção de conhecimento, tiveram facilidade com relação à aprendizagem dos
conceitos apresentados, estavam motivados e envolvidos durante a realização das
tarefas e melhoraram o conviver social, pois ao respeitarem as regras dos jogos, as
transferiram para outras situações da sala de aula. A sequência das aulas
desenvolvidas no grupo 61 está descrita a seguir:
7ª aula
Esta aula ocorreu no dia 19 de abril de 2011 e foi constituída de três períodos.
Para iniciar a 7ª aula, o autor solicitou aos alunos que se organizassem em
grupos, na mesma composição de 4 elementos das aulas anteriores, para jogarem
uma nova versão do jogo, utilizando o material do Kit n o 2. Foi combinado que o jogo
teria como regras, aquelas que foram utilizadas no encontro passado, porém neste
momento só seriam utilizados os roletrandos e o caderno. Cada aluno, jogou 5
vezes o roletrando dos sinais e após 5 vezes o dos números, separando ao escrever
no caderno, cada jogada por parênteses e fazendo as correspondentes anotações.
2
Para este estudo, na turma 63 uma aula é constituída de dois períodos consecutivos de uma hora
cada um. Para turma 61, nas terças-feiras, uma aula é constituída por três períodos consecutivos de
50 minutos e nas quintas-feiras a aula é constituída por dois períodos de 50 minutos cada.
47
Venceu o aluno que obteve mais pontos ganhos no acerto final e este jogo foi
repetido mais uma vez, para que os alunos discutissem ainda mais sobre as
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
estratégias de resolução das questões elaboradas em cada jogada.
O objetivo dessa nova variação do jogo utilizando o Kit no 2 foi explorar a
adição e a subtração de números inteiros, de uma forma diferenciada, utilizando
uma linguagem matemática mais formal, conforme pode ser observada nos registros
do aluno F6, que aparecem na Figura 12. Percebeu-se, através dos registros desse
aluno, que ele utilizou as palavras fica e troca para operar com mais facilidade,
procedimento que foi utilizado por muitos alunos.
Figura 12 - Registro do aluno F6 utilizando o fica ou troca
Fonte: Aluno F6.
Para encerrar, foi disponibilizado no quadro alguns exercícios (Figura 13), que
simulavam jogadas do Roletrando com quatro integrantes, para serem resolvidos até
o término da aula.
48
Exercícios com Roletrandro
1) Em um jogo do Roletrandro, os pontos obtidos de 4 participantes foram:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Lucas: +(-6)-(+8)+(-7)-(-9)
Ana: -(-6)+(+8)+(-4)-(-3)
Jonas: +(-2)-(-6)+(-3)-(-2)
Henrique: -(-8)-(-5)+(-1)-(-3)
Pergunta-se:
a) Qual foi saldo de cada jogador?
b) Quem venceu o jogo?
2) Em um jogo do Roletrandro, os pontos obtidos de 4 participantes foram:
André: -(-8)-(+8)+(-4)-(-9)+(-6)
Cristiano: -(-1)+(+3)+(-2)-(-4)-(-6)
Beatriz: +(-3)-(-5)+(-7)-(-8)+(+5)
Henrique: +(-9)-(-3)+(-6)-(-2)-(+3)
Pergunta-se:
c) Qual foi saldo de cada jogador?
d) Quem venceu o jogo?
o
Figura 13 - Exercícios que simulam jogos do Roletrandro do Kit n 2
Fonte: O autor.
8ª aula
Essa aula ocorreu no dia 26 de abril de 2011 e foi constituída de três
períodos. O autor iniciou a aula colocando no quadro o título “Adição e Subtração de
Números Inteiros” e alguns exemplos envolvendo esse conteúdo, questionando os
alunos como poderiam resolver as situações apresentadas. Os alunos, de imediato
responderam que usariam o fica ou troca para solucionar, demonstrando que
gostariam de transferir os conhecimentos adquiridos com o jogo para a resolução de
operações com adição e subtração. O autor também comentou que eles poderiam
usar a noção de oposto de um número inteiro para operar com estas operações,
porém nenhum aluno manifestou interesse.
49
A seguir, conjuntamente, o autor e os alunos elaboraram uma regra para
essas operações, colocando as iniciais “f” e “t” ao resolverem as questões,
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
convenção esta que logo foi adotada pelo grupo que a achou interessante e, que
ficou registrada no quadro, conforme Figura 14, para que todos os alunos a
anotassem.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Exemplos:
f
f
f
(-4) + (-6) + (-8) +(+4)= -4 -6 -8 +4= +4 -18= -14
t
t
t
(-4) – (-6) – (-8) – (+4)= -4 +6 +8 -4= +14 -8= +6
f
t
f
(-4) + (-6) –(-8) + (+4)= -4 -6 +8 +4= +12 -10= +2
f= fica
t== troca
Figura 14 – Registro da regra da adição e subtração
Fonte: Autor e alunos.
Em seguida, os alunos receberam duas folhas fotocopiadas com exercícios
para serem resolvidos, conforme a Figura 15.
50
Exercícios envolvendo a adição e subtração
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
1-Escreva na forma simplificada e calcule:
a) (+20) + (-18)
b) (-30) + (+21)
c) (-81) + (-17)
d) (+37) + (+52)
e) 0 – (-17)
f)
(-9) – (+16)
g) 0 – (+18)
h) (-1) – (-19)
i)
(+20) – (+9)
j)
(-4) – (+17)
k)
(+11) – (-62)
l)
(-72) – (-81)
m) (+24) – (+3) + (-8) – (-10)
n) -19 + (-23) + (-14) – (-12) – (+3)
o) 11- (-9) + (-11) – (-14) – (+2)
p) -18 + (-13) - (-11) – (-19) + (+4)
q) 22- (-7) + (-14) + (-19) – (+6)
r)
15 – (-6) + (-8) – (-6) + (-7)
2- Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de
x
para que sejam verdadeiras as
igualdades:
a)
x
+ (+9) = +13
b)
x
+ (-6) = -10
c)
x
+ (-7) = 0
d)
x
+ (-3) = +3
e)
x
+ (+7) = -3
f)
(-20) + x = -18
3- Em um programa de perguntas e respostas, a cada resposta correta, Carlos recebia 20 reais
do apresentador do programa. Porém, a cada resposta errada, pagava 22 reais. De 100
perguntas, Carlos acertou 52. Ele ganhou ou perdeu dinheiro nesse programa? Quantos reais?
4- Na figura seguinte que número inteiro deve substituir cada letra?
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
51
5-João adora jogar figurinhas. Em cada rodada desta semana, ele registrou, com um número
positivo, quantas figurinhas ganhou e, com um número negativo, quantas perdeu. Domingo, João
foi passear e não ligou.
a) Em qual dia João ganhou mais figurinhas?
b) Em qual dia João se saiu pior?
c) Nessa semana, João aumentou ou diminuiu a quantidade de figurinhas que tinha?
Quanto?
6-Lucca mora em uma região fria da América do Sul, onde há grandes variações de temperatura
em um único dia. Lucca anotou as temperaturas que os termômetros registraram no período das 8
horas às 12 horas de ontem.
Mas, por descuido, borrou os registros das temperaturas das 9 horas e das 11 horas.
Para completar as anotações, Lucca considerou cada um deles como sendo a média dos valores
vizinhos, isto é, a metade da soma desses valores.
Qual foi, então, a temperatura registrada ontem nessa região:
a) Às 9 horas?
b) Às 11 horas?
Figura 15 - Reprodução das folhas de exercícios impressos sobre adição e subtração de números
inteiros
Fonte: A Conquista da Matemática- 7º ano - Giovanni Jr; Castrucci (2009, p. 48, 49, 53, 54, 55 e 58).
52
Após a resolução dos exercícios, foi realizada a correção das questões até o
término da aula.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
9ª aula
Essa aula ocorreu no dia 28 de abril de 2011 e foi constituída de dois
períodos. Inicialmente os alunos realizaram individualmente o segundo teste deste
estudo, conforme explicitado no ANEXO D.
Logo após, o autor registrou no quadro uma expressão numérica envolvendo
adição e subtração de números inteiros e solicitou que os alunos o ajudassem a
resolver. Mais uma vez muitos alunos sugeriram que fosse utilizada as letras “f” de
fica e “t” de troca para solucionar a questão, o que demonstra o fato de muitos terem
adotado essa convenção de resolução.
Outra relação com jogos sugerida pelos alunos foi a de somar os diversos
números positivos e negativos como se fossem os pontos positivos e pontos
negativos dados num roletrandro, para reduzir o tamanho das expressões. A forma
como foi elaborada a resolução da expressão e seus devidos registros realizados
pelo autor no quadro, aparecem na Figura 16.
Expressões numéricas com adição e subtração de números inteiros
-9 + (-4 -2 +1 -2) – (+4 -3 -8+5)
-9 + (+1 – 8) – (+9 -11)
-> soma dos pontos positivos e negativos
f
t
-9 + (-7) - (-2)
-> convenção do fica ou troca
-9
-7
+2
+2 -16
-> soma dos pontos positivos e negativos
-14
Figura 16 – Resolução de expressão numérica com adição e subtração de inteiros da turma 61
Fonte: O autor.
Em seguida, o autor transcreveu no quadro (Figura 17) algumas expressões
para os alunos resolverem.
53
Resolva as expressões:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
a) 12 – (4 + 20) -9
b) -4 + 11 – (17 + 1 – 3)
c) 19 – (3 + 12 – 6)
d) -9 + (-4 -3 +1) – ( -4 -3 +1)
e) -5 –( 2 -4 ) - ( 7 – 1)
f) (-5 + 3) – (5 – 9) + (8 – 1) - 11
g) -11 – [13 + (-10 -8) + 2]
h) 10 – (12 + 13) – (14 – 13 – 23)
i) 2– (-22) – [29 + (27 -23 -26) -28]
j)
6– (-18) – [29 + (27 -23) - (26 -28)]
Figura 17 - Expressões para os alunos sobre adição e subtração
Fonte: O autor.
Durante a realização da tarefa transcrita no quadro, o autor observou que as
formas de resolução das expressões foram muito diversificadas, pois alguns alunos
transferiram inicialmente as regras dos jogos para a resolução e em seguida
deixaram de utilizá-las e outros utilizaram os artifícios dos jogos o tempo todo para a
resolução.
Os alunos não conseguiram concluir a resolução das expressões em aula,
portanto algumas questões ficaram para serem resolvidas em casa.
10ª aula
Essa aula ocorreu no dia 03 de maio de 2011 e foi constituída de três
períodos. A aula foi iniciada com a correção da resolução das expressões realizadas
na aula anterior no quadro. Em seguida os alunos realizaram individualmente o
terceiro teste, conforme ANEXO E.
Logo após, o autor solicitou aos alunos que se organizassem em grupos, na
mesma composição de 4 elementos dos outros jogos, para jogarem o Roletrando
dos Inteiros. Novamente os alunos vibraram, pois relataram que “adoravam jogar
roletrando”. O objetivo do jogo foi levar o aluno a formular a regra de sinais da
54
multiplicação para um produto de fatores iguais e para um produto de fatores
diferentes. Os grupos receberam o kit no 3 e foi combinado que cada aluno deveria
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
primeiramente rodar o roletrando com o sinal da multiplicação, que indicava quantas
vezes deveriam pegar os quadrados e em seguida o roletrando dos números que
constavam nos quadrados verdes e laranjas.
Se o sinal do roletrando que indicava quantas vezes deveriam pegar os
quadrados fosse “ ”, significaria que os quadrados deveriam ser pegos da mesa
com o mesmo sinal que saíram no roletrando com os números, porém, se o sinal do
roletrando que indicava quantas vezes deveriam pegar os quadrados fosse “–”,
significaria que os quadrados a serem pegos da mesa deveriam ter o sinal trocado
daquele indicado no roletrando dos números. Após seis jogadas, foi realizado o
acerto com os quadrados e venceu quem ficou com mais pontos.
Para encerrar a aula o autor solicitou que os grupos realizassem mais uma
rodada de 5 jogadas.
11ª aula
Essa aula ocorreu no dia 05 de maio de 2011 e foi constituída de dois
períodos. Inicialmente o autor solicitou aos alunos que se organizassem em grupos,
na mesma composição de 4 elementos dos outros jogos, para jogarem mais uma
rodada do Kit no 3, pois os alunos haviam jogado pouco na aula anterior esta versão
do Kit. Foi solicitado que cada participante realizasse seis jogadas e fizesse o acerto
com os quadrados.
Em seguida o autor realizou com os alunos uma nova versão do jogo,
utilizando o mesmo material do kit no 3 e a mesma disposição dos grupos, porém
sem os quadrados. Foi combinado que cada aluno registraria no seu caderno seis
jogadas e faria os cálculos necessários para obter os pontos da rodada, conforme o
registro da aluna F13 da Figura 18. Venceria quem obtivesse mais pontos e essa
versão do jogo foi repetida mais uma vez.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
55
o
Figura 18 – Registro da aluna F13 sobre o jogo do Kit n 3
Fonte: Aluno F13.
Logo após, o autor solicitou para que, em grupo, os alunos observassem o
que os vários sinais das respostas dos registros realizados tinham em comum. Foi
solicitado que cada grupo escolhesse um líder para falar em nome do grupo, diante
da turma, sobre a constatação observada. As respostas orais dos líderes foram as
seguintes:
A gente notou que quando os dois números são negativos dá mais, quando
dois números são positivos também dá mais, e quando os números tem
sinais diferentes dá menos (F10);
Sor, sinais diferentes dá menos e iguais dá mais (F8 e F20);
Quando multiplicamos números de sinais diferentes dá menos e quando
multiplicamos números de sinais iguais dá mais (F7 e F24);
Dois números negativos resulta mais, dois números positivos resulta mais e
dois números de sinais diferentes dá sempre menos. (F11 e F19).
O autor ficou satisfeito com a atividade realizada, pois percebeu que com a
exposição das constatações de cada grupo e suas devidas discussões, os alunos
tinham concluído brilhantemente a regra de sinais para a multiplicação de números
inteiros, que era o objetivo do jogo proposto no Kit no 3.
56
Após a exposição das constatações dos grupos, os alunos juntamente com o
autor, concluíram a regra para multiplicação de números inteiros, que foi exposta no
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
quadro (Figura 19) e anotada por todos em seus cadernos.
Na multiplicação de números inteiros, o produto de dois números com sinais iguais, dá
sempre um número de sinal positivo e o produto de dois números com sinais diferentes, dá
sempre um número de sinal negativo.
Figura 19 - Conclusão da regra da multiplicação
Fonte: Os alunos e autor.
Para encerrar a aula, solicitou-se aos alunos que copiassem do quadro os
seguintes exercícios (Figura 20) e os resolvessem, conforme a regra estabelecida,
como atividade para casa.
57
Exercícios:
1-Ana, Gládis e Cristiano jogaram o Roletrandro da Multiplicação, e os pontos obtidos
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
foram:
CRISTIANO
GLÁDIS
ANA
+2. (-4)
-3.(-5)
-1.(-2)
-4.(-5)
+2.(-4)
-4.(+3)
-2.(+5)
-3.(-4)
+2.(-4)
Responda:
a) Quantos pontos fez cada jogador?
b) Quem venceu a partida?
2-Chico, Gertrudes e Roberto jogaram o Roletrandro da Multiplicação, e os pontos obtidos
foram:
CHICO
GERTRUDES
ROBERTO
-1. (-4)
+3.(-4)
-2.(-2)
-2.(-5)
-2.(+4)
-1.(+3)
+2.(+5)
-3.(-4)
-2.(-4)
Responda:
a) Quantos pontos fez cada jogador?
b) Quem venceu a partida
o
Figura 20 - Exercícios sobre o Roletrando do Kit n 3.
Fonte: O autor.
12ª aula
Essa aula ocorreu no dia 10 de maio de 2011 e foi constituída de 3 períodos.
Inicialmente o autor solicitou aos grupos uma avaliação dos jogos realizados,
pontuando o que foi mais significativo, bem como as dificuldades encontradas. Um
exemplo deste registro pode ser observado na Figura 21.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
58
Figura 21 – Registro da autoavaliação do grupo constituído pelos alunos F13, F12, F24 e F18
Fonte: Alunos F13, F12, F24 e F18.
Logo após, foi realizada a correção dos exercícios da aula anterior e o autor
disponibilizou no quadro alguns exercícios sobre a multiplicação (Figura 22) para os
alunos resolverem. O autor percebeu também, que alguns alunos continuaram
realizando as multiplicações com as regras do jogo Kit no 3.
59
EXERCÍCIOS
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
1)Calcule:
a) (+7) . (-9)
b) (-9) . (-5)
c) (+7) . (+3)
d) (+8) . (+7)
e) (-6) . (+6)
f) (+6) . (-11)
g) 0 . (+11)
h) (-9) . (-8)
i) (+4) . (+21)
j) (-4) . 0
2) Efetue as multiplicações:
a) (-7) . (+1) . (-3)
b) (-6) . (-4) . (-3)
c) (-11) . (-4) . (+2)
d) (-8) . (-9) . (-2) . (-1)
e) (-3) . (+10) . (+3) . (+2)
f) (-4) . (+6) . 0 . (-11)
g) (-3) . (+6) . 0 . (-10)
3) Que número inteiro se deve colocar no lugar de x para que seja verdadeira a igualdade:
a) x . (+2) = -6?
b) x . (-11) = -11
c) x . (-4) = (-4) . (+9)
d) x . (-6) = 0
e) x . (+1) = +9
f) (-5) . x = +50?
g) x . (-5) = -10?
4) Substitua cada letra pelo respectivo número para determinar o valor de:
a) 3x + 4y,quando x= +3 e y = -2.
b) xy + 3x, quando x= -1 e y = -4.
c) 2a – 4b,quando a= -5 e b= +3.
d) 2a + 4b -5,quando a= -4 e b= +2 .
Figura 22 - Exercícios sobre a multiplicação de números inteiros.
Fonte: O autor.
60
Em seguida, foi realizada a correção dos exercícios e após, o autor solicitou
aos alunos que se dispusessem em grupos para jogarem uma nova versão do
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Roletrando utilizando o Kit no3, com o propósito de formar expressões numéricas
envolvendo as três operações estudadas.
O material utilizado do Kit foi apenas o roletrando e foi combinado que cada
aluno registraria no seu caderno as quatro jogadas de cada integrante, uma ao lado
da outra, obtendo desta forma uma expressão numérica que todos resolveriam
primeiramente a multiplicação para obter os pontos de cada jogada, para em
seguida fazer o acerto final através da adição e subtração, conforme o registro do
aluno F9 da Figura 23.
o
Figura 23 - Registro do aluno F9 sobre expressões envolvendo o Roletrando Kit n 3
Fonte: Aluno F9.
Esta atividade levou os alunos a compreenderem a importância de se resolver
primeiramente a multiplicação dos números inteiros, para depois resolver as adições
e subtrações.
61
13ª aula
Essa aula ocorreu no dia 12 de maio de 2011 e foi constituída de dois
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
períodos. O autor inicialmente recordou o jogo realizado na aula anterior e lembrou o
que os alunos haviam concluído na aula passada sobre as expressões com adição,
subtração e multiplicação de números inteiros: eles deveriam primeiramente resolver
as multiplicações e depois as adições e subtrações.
Em seguida, conforme indicado na Figura 24, o autor colocou no quadro
algumas expressões para os alunos resolverem.
EXERCÍCIOS
Calcule o valor de cada umas das seguintes expressões numéricas:
a) (-4) . (-6) -12
b) 7 . (-2) -9 . (-6) +11 . (-3)
c) (-5) . (+11) -37 . (-2)
d) -23 .(-2) -6 . (+3) + 8 . (-3)
e) -5 +(-9) . (+6) – (+2) . (-27)
f) 19 – (-4) . (+5)
g) 7 . (-3) -9 . (-6) +11 . (-2)
h) (+5) . (+11) -37 – (-2) . (+14)
i) 18 – 3 . (-7) +9 . (-4) -20
j) (-1 + 4).(-3) – [
-12 – (-6-1).(-3) ]
l) +9 -11 + 3 – 4). ( -6 + 4) -7 . (-5 + 4 -2 +1)
m) (-2 + 4).(-2) – [ 10 – (-4-1).(+3) ]
n) (+8 -10 + 3 – 2). ( -6 + 3) -8 . (-5 + 5 -3 +4)
Figura 24 - Exercícios sobre expressões numéricas envolvendo a adição,subtração e multiplicação
Fonte: O autor.
Após a resolução das expressões, o autor e os alunos em conjunto realizaram
a correção das expressões no quadro até o término da aula.
62
Através do último jogo realizado, o autor percebeu que o entendimento da
resolução de expressões numéricas com as três operações dos números inteiros
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
pelos alunos do grupo 61, foi bastante facilitado, uma vez que resolveram as
questões com habilidade e compreensão. De acordo com os registros feitos nos
diários de classe de anos anteriores, os alunos apresentavam muitas dificuldades na
resolução dessas expressões numéricas, característica também identificada no
grupo 63, no qual a metodologia de jogos não foi utilizada.
14ª aula
Essa aula ocorreu no dia 17 de maio de 2011 e foi constituída de 3 períodos.
O encontro foi iniciado com a aplicação do quarto teste, conforme explicitado no
ANEXO F.
Em seguida, foi solicitado aos alunos que se organizassem em grupos, na
mesma composição de 4 elementos dos outros jogos, para jogarem o Roletrando. O
objetivo do jogo foi levar os alunos a formularem a regra de sinais da divisão. Cada
grupo recebeu o kit no4 e foi combinado que cada aluno deveria primeiramente rodar
o roletrando dos números e após o roletrando que indicava por quanto deveria ser
dividido esse número. Em seguida, foi solicitado que cada aluno fizesse o registro da
operação obtida na ficha, conforme registro do aluno F12, na figura 25. O segundo
roletrando, além de indicar por quanto o número seria dividido, mostrava através dos
sinais “ ” ou “–” se deveríamos ficar (+) ou trocar (–) o resultado da operação da
jogada. O jogo foi finalizado após cinco jogadas e o acerto na ficha. Venceria aquele
que tivesse mais pontos ganhos. Este jogo foi repetido mais uma vez, sendo que os
registros foram realizados no caderno, e não na ficha, conforme a figura 26 da aluna
F15.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
63
o
Figura 25 - Registro do aluno F12 na ficha do Kit n 4
Fonte: Aluno F12.
o
Figura 26 - Registro da aluna F15 sobre o jogo do Kit n 4
Fonte: Aluna F15.
Dando continuidade a aula, o autor desafiou e instigou os grupos a
formularem uma regra de sinais para a divisão. Com alegria, o autor desta pesquisa
ouviu de praticamente todos os grupos que a regra da divisão era a mesma da
multiplicação. Algumas das respostas observadas foram:
Quando dividimos números de sinais diferentes dá menos e quando
dividimos números de sinais iguais dá mais (F7- depoimento oral pelo grupo
A);
Oh sor, se os sinais são iguais dá mais e se diferentes dá menos (F22 –
depoimento oral pelo grupo C );
Usamos a regra da multiplicação (F17 – depoimento oral pelo grupo F);
Dois números negativos resulta mais, dois números positivos resulta mais e
dois números de sinais diferentes dá sempre menos (F25 – depoimento oral
pelo grupo D).
64
Em seguida, o autor relembrou com os alunos os termos dividendo, divisor e
quociente da divisão, para conjuntamente com os alunos, formular uma regra para
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
essa operação. A regra obtida foi escrita pelo autor no quadro, conforme a Figura
27.
Regra da divisão:
-Quando o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal, o quociente será um número
inteiro positivo.
-Quando o dividendo e o divisor tiverem sinais diferentes, o quociente será um número
inteiro negativo.
Figura 27- Regra da divisão
Fonte: O autor.
Aula 15
Essa aula ocorreu no dia 19 de maio de 2011 e foi constituída de dois
períodos. Inicialmente foi recordada a regra concluída na aula anterior e, em
seguida, os alunos receberam uma folha de exercícios impressos para ser resolvida,
conforme a Figura 28.
65
EXERCÍCIOS
1.No jogo do Roletrando da divisão, as rodadas de 3 jogadores ficaram assim:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
CRISTIANO
GLÁDIS
ANA
+18: (-6)
-18:(-9)
-36:(-6)
-36:(-9)
+18.:-9)
-18:(+9)
-18:(+9)
-36:(-6)
+36:(-6)
a) Qual o acerto final de cada jogador?
b) Quem ficou em último lugar?
2.No jogo do Roletrando da divisão, as rodadas de 3 jogadores ficaram assim:
REBECA
ISADORA
MANOELA
+36: (+6)
+18:(-9)
-36:(+6)
-18:(-9)
+36:(-9)
+18:(-9)
+18:(+9)
-18:(-6)
+18:(-6)
a) Qual o acerto final de cada jogador?
b) Quem ficou em último lugar?
3.Efetue as divisões.
a) (-9) : (+9)
b) (-11) : (-11)
c) (+21) : (+3)
d) (+36) : (-4)
e) 0 : (+20)
f) (-31) : (+31)
g) (+45) : (-3)
h) (+52) : (+2)
i) (-65) : (-13)
j) (-90) : (+9)
k) (+64) : (+4)
l) (-39) : (-13)
m) (+96) : (-24)
n) (-200) : (-25)
o) (+63) : (+21)
p) (+81) : (-27)
4. No quadro, há algumas divisões:
(-90) : (-30)
(+48 ) : (-16)
(-100) : (+5)
(-200) : (-20)
(-45) : (-9)
(-100) : (-4)
Quanto dá a soma dos resultados dessas divisões?
5. Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras as
igualdades:
a) x : (-6) = -36
b) (-81): x = +9
c) x : (-8) = +2
Figura 28 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre divisão de números inteiros
Fonte: O autor.
66
Para encerrar a aula, o autor fez a correção dos exercícios e solicitou que os
alunos se dispusessem em grupos para jogarem uma nova versão do Roletrando
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
utilizando o Kit no4, com o propósito de formar expressões numéricas envolvendo a
divisão, adição e subtração. O material do jogo foi constituído do caderno e dos
roletrandos desse Kit. Foi combinado que cada aluno registraria no seu caderno três
jogadas, uma ao lado da outra, obtendo desta forma uma expressão numérica que
todos resolveriam primeiramente a divisão para obter os pontos de cada jogada,
para em seguida fazer o acerto final através da adição e subtração, conforme o
registro da aluna F16 da Figura 29.
Figura 29 – Registro da expressão numérica da aluna F16
Fonte: Aluna F16.
Essa atividade levou os alunos a compreenderem também a importância de
se resolver primeiramente a divisão dos números inteiros, para depois resolver as
adições e subtrações.
Para encerrar, foi solicitado aos grupos que fizessem uma avaliação dos
jogos realizados, pontuando o que foi mais significativo, bem como as dificuldades
encontradas. Um exemplo deste registro pode ser observado na Figura 30.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
67
Figura 30 - Registro da auto-avaliação do grupo constituído pelos alunos F3, F8, F15 e F22
Fonte: Alunos F3, F8, F15, F22.
Aula 16
Essa aula ocorreu no dia 24 de maio de 2011 e foi constituída de três
períodos. O autor primeiramente recordou o jogo realizado na aula anterior e
lembrou aos alunos o que haviam concluído na aula passada sobre as expressões
com adição, subtração e divisão de números inteiros: primeiramente resolvemos as
divisões e depois as adições e subtrações.
Dando continuidade, o autor passou no quadro algumas expressões para os
alunos resolverem, conforme a Figura 31.
68
EXERCÍCIOS
Qual é o valor de cada expressão numérica?
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
a) 31 : (-31) -40 : (+2)
b) -10: (+5) -20 : (+4)
c) +30 : (-6) -18 : (+3)
d) 7 : (-7) +2 . (-6) +11
e) -36 : (-4) +3 . (-3)
f) - 6 . (+6) -54 : (-6) - 6 . (+6) -18 : (-6)
g) +30 : (-6) + (-18) : (+3)
g) (+9 -1 + 7 – 9) : ( -6 + 3) -15 : (-4 + 4 -9 +4)
h) (-7 + 4).(-2) – [ 20 – (-5 -1).(-3) ]
i) (+1 -8 + 2 - 3).( -7 + 4) -8 : (-1 + 4 -4 +2)
j) (-17 + 3):(-7) – [ -9 - (-8 -1) : (-5)]
k) (-7 -3) . (-9 +4) – (-72 +2) : (-5 -5) + (-9 -3 +4)
l) (+2 -6 + 1 - 3).( -5 + 4) -8 : (-1 + 4 -4 +2)
m) (-1 -5) . (-10 +12) – [(-8) : (+2) – (-1) . (+5)]
Figura 31 – Exercícios sobre expressões numéricas envolvendo adição, subtração, multiplicação e
divisão.
Fonte: O autor.
Após a conclusão das atividades, os exercícios foram corrigidos até o término
da aula.
Convém destacar, que mais uma vez foi possível perceber que os alunos
transferiram os conhecimentos adquiridos com a última versão do Roletrando para a
resolução das expressões, tornando esse assunto de fácil compreensão.
Aula 17
Essa aula ocorreu no dia 26 de maio de 2011 e foi constituída de dois
períodos. Nesta aula os alunos resolveram o último teste deste estudo, conforme o
ANEXO G.
Paralelamente às aulas desenvolvidas na turma 61, foram desenvolvidas as
seguintes aulas no grupo 63:
69
7ª aula
A 7ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 18 de abril de
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
2011. Inicialmente, procedeu-se à correção dos exercícios realizados na aula
anterior, no quadro.
Nesta mesma aula, o professor PN introduziu a subtração de números inteiros
através da seguinte explicação apresentada no quadro e registrada na Figura 32.
Subtração de números inteiros
Para subtrair dois números inteiros basta adicionar o primeiro com o oposto do
segundo.
Exemplos:
(+5) – (+2)= (+5) + (-2)= +3
(+2)-(+5)= (+2) + (-5)= -3
(-5)-(-2)= (-5) + (+2)= -3
Figura 32 – Subtração de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
Em seguida, foram registrados no quadro alguns exercícios referentes a
subtração dos números inteiros para os alunos copiarem e resolverem, conforme a
Figura 33.
70
Exercícios:
1) Calcule:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
a) 0 - (-4)
b) (-2) - (+5)
c) (+10)-(+8)
d) (-4) - (-7)
e) (-12)- (-15)
f) (-80) – (+40)
g) (-32) – (-15)
h) (+2) – (-6)
i) (+34) - (-18) -(+40)
j) (-5) - (-12) - (-5)
k) (-12) - (+9) - (+11)
l) (+23) – (-14) – (-11) –(+4)
m) (-13) – (-4) – (+11) – (-5)
n) (-20) – (+14) – (+11)- (-23)
o) (+20) – (-17) – (-13) –(+8)
p) (-10) – (-7) – (+10) – (-9)
(-22) – (+13) – (+7)- (-3)
Figura 33 – Exercícios sobre a subtração de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
Após a resolução das questões e a correção das mesmas, os alunos
copiaram do quadro a forma simplificada de resolver subtrações e adições,
explicada pelo professor PN e registrada no quadro, conforme a Figura 34.
71
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Forma simplificada da adição e subtração de números inteiros
-Quando o termo vier precedido do sinal +, basta eliminar os parênteses, bem como o sinal
que os precede, escrevendo cada número que está no interior do parênteses com o seu
próprio sinal;
- Quando o termo vier precedido do sinal -, basta eliminar os parênteses, bem como o sinal
que os precede, escrevendo cada número que está no interior dos parênteses com o sinal
trocado.
Exemplo 1:
-4 + (+6) + (-8) - (+4)=
-4 +6 -8 -4 =
+2 – 8 – 4=
-6 – 4 = -10
Exemplo 2:
-6 - (-9) + (-3) –(+9)=
-6 +9 -3 – 9 =
+3 – 3 -9=
0 – 9 = -9
Figura 34 – Forma simplificada de adição e subtração de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
8ª aula
A 8ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 20 de abril de
2011. No início da aula, os alunos receberam duas folhas fotocopiadas com
exercícios para serem resolvidos, conforme a Figura 15. Cumprida esta etapa, foi
realizada a correção até o término da aula.
9º aula
A 9ª aula, de 2 períodos de 1hora cada um, ocorreu no dia 25 de abril de
2011. Para iniciar a aula, os alunos realizaram individualmente o segundo teste
deste estudo, conforme ANEXO D.
Logo após, o professor registrou no quadro uma expressão numérica
envolvendo adição e subtração de números inteiros e solicitou que os alunos o
ajudassem a resolver. A forma como foi elaborada a resolução da expressão e seus
devidos registros realizados pelo professor no quadro, aparecem na Figura 35.
72
Expressões numéricas com adição e subtração de números inteiros
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
-9 + (-4 -2 +1) – (+4 -3 -8)
-9 + (-6 +1) – (+1 -11)
-> soma algébrica
-9 + (-5) - (-10)
-> soma algébrica
-9
-> forma simplificada
-5
+10
-14 + 10= -4
-> soma algébrica
Figura 35 – Resolução de expressão numérica com adição e subtração de inteiros da turma 63
Fonte: O autor e professor PN.
No encerramento da aula, o professor transcreveu no quadro (Figura 17)
algumas expressões para os alunos resolverem. Como não foi possível a conclusão
da atividade, algumas questões ficaram para serem concluídas em casa.
10ª aula
A 10ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 27 de abril de
2011. A aula foi iniciada com a correção no quadro, das expressões realizadas na
aula anterior e em casa. Em seguida, devido às dificuldades dos alunos na
resolução das expressões, o professor PN fez uma revisão das expressões,
colocando no quadro mais algumas questões (Figura 36), para os alunos
resolverem.
Resolva as expressões:
a) 10 – (3 - 20) - 2
b) -5 + 10 – (16 + 3 – 9)
c) 9 – (3 + 12 – 14)
d) -8 + (-3 -9 +1) – ( -5 -2 +1)
e) -11 –(-15 -3 +7 + 1) – ( 2 – 10 +3)
f) -8 + (-5 -5+ 2) – (-3 -3)
g) -11 – [13 + (-10 -8) + 2]
Figura 36 – Expressões numéricas com adição e subtração de inteiros da turma 63
Fonte: O autor e professor.
73
Após a correção das expressões, os alunos realizaram o terceiro teste,
conforme ANEXO E.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
11ª aula
A 11ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 02 de maio de
2011. Para iniciar, foi apresentada aos alunos a multiplicação de números inteiros,
através de alguns exemplos. Conjuntamente com os alunos, o professor PN,
estabeleceu a regra para multiplicação, que foi registrado no quadro e aparece na
Figura 37.
Multiplicação de Números Inteiros
Exemplos:
(+6).(+4)= 6.4=+24
(+6).(-4)= 6 .(-4) = -4-4-4-4-4-4= -24
(-6).(-4)= -(+6). (-4)= - (-24)= +24
(-6).(+4)= -(+6).(+4) = -(+24)= -24
Regra: Na multiplicação de números inteiros, o produto de dois números com sinais iguais,
dá sempre um número de sinal positivo e o produto de dois números com sinais diferentes,
dá sempre um número de sinal negativo.
Figura 37 - Regra da multiplicação
Fonte: Professor PN e os alunos.
Após os alunos copiarem do quadro o registro da Figura 37, os mesmos
receberam uma folha fotocopiada com exercícios para serem resolvidos, conforme a
Figura 38. A correção dos exercícios foi realizada no final do período.
74
Exercícios:
1-Calcule os produtos:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
a)+2. (-4)
f)4.(+3)
b) -3.(-5)
g) -2.(+5)
l)-1. (-4)
m)+3.(-4)
q)-1.(+3)
r) +2.(+5)
c) -1.(-2)
h) -3.(-4)
n)-2.(-2)
s) -3.(-4)
d) -4.(-5)
i) +2.(-4)
o) -2.(-5)
t) -2.(-4)
e) +2.(-4)
j) -6.(-13)
p)
u) (-7).(+8)
2-Que número inteiro se deve colocar no lugar de x para que seja verdadeira a igualdade:
a) x . (+2) = -6?
b) x . (-11) = -11
c) x . (-4) = (-4) . (+9)
d) x . (-6) = 0
e) x . (+1) = +9
f) (-5) . x = +50?
g) x . (-5) = -10?
3)Calcule:
a) (+7) . (-9). (-2) . (-1)
c) (+7) . (+3).(+6) . (+7)
e) (-6) . (+6).(+1) . (-11)
g) 0 . (+11).(-9) . (-8)
i) (+4) . (+21).(-4) . 0
l) (-7) . (+1) . (-3)
m) (-6) . (-4) . (-3)
n) (-11) . (-4) . (+2)
o) (-8) . (-9) . (-2) . (-1)
p) (-3) . (+10) . (+3) . (+2)
q) (-4) . (+6) . 0 . (-11)
r) (-3) . (+6) . 0 . (-10)
4) Substitua cada letra pelo respectivo número para determinar o valor de:
a) 3x + 4y,quando x= +3 e y = -2.
b) xy + 3x, quando x= -1 e y = -4.
c) 2a – 4b,quando a= -5 e b= +3.
d) 2a + 4b -5,quando a= -4 e b= +2 .
Figura 38 - Reprodução da folha de exercícios sobre a multiplicação para a turma 63
Fonte: O autor.
-2.(+4)
75
12ª aula
A 12ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 04 de maio de
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
2011. A Figura 39 representa o registro no quadro da explicação que o professor PN
realizou no início desta aula sobre a resolução de expressões numéricas envolvendo
a adição, subtração e multiplicação de números inteiros.
Expressão numérica envolvendo a multiplicação
Exemplo 1:
+10.(-3) – (-4) . (+3) + (-6).(-8)
-30 – (-12) + (+48)
-> realizamos os produtos
-30 + 12 +48
-> resolvemos a adição algébrica
-18 + 48= +30
Exemplo 2:
(-1 + 4).(-3) – [ -12 – (-6-1).(-3) ]
(+3) . (-3) – [ -12 – (-7) . (-3) ]
-> resolvemos a adição algébrica nos parênteses
-9 - [ -12 – (+21)]
-> realizamos os produtos
-9 – [-12 – 21]
-> resolvemos a adição algébrica
-9- [-33]
-9+ 33= + 24
Figura 39 - Explicação das expressões com multiplicação
Fonte: O autor e o professor PN.
Após os alunos terem realizado a cópia do que foi explanado, foi solicitado
que os mesmos realizassem as expressões da figura 24 até o término da aula.
13ª aula
A 13ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 09 de maio de
2011. Inicialmente, procedeu-se a correção das expressões da aula anterior. Através
da correção, o professor PN percebeu, conforme seu registro na ficha de
observação desse dia, que os alunos estavam com muitas dificuldades quanto à
resolução das expressões, principalmente quanto à escolha do sinal de cada
76
operação. Além disso, a todo instante o professor era chamado para esclarecer as
dúvidas, pois os alunos não sabiam qual o procedimento de resolução que deveria
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ser feito primeiramente.
Em seguida, devido às dificuldades dos alunos, foram apresentadas mais
questões no quadro, conforme a Figura 40, para que os alunos resolvessem.
Resolva as expressões:
a)8 . (-2) - 5 . (-6) +11 . (-3)
b)-5.(+10) – 37.(-1)
c)(+3) . (+10) -30 . (-2)
d) -21 .(-2) -4 . (+2) + 9 . (-3)
e) (-6) . (+3) – (+5) . (-13)
h) (+9) . (+7) -30 – (-4) . (+14)
i j) (-1 + 2).(-3) – [ -12 – (-6-1).(-3) ]
l) (+8 -10 + 2 – 4). ( -1 + 5) -6 . (-3 + 2 -4 +7)
m) (-7 + 4).(-3) – [ 9 – (-5-1).(+2) ]
n) (+7 -12 + 2 – 4). ( -4 + 3) -7 . (-4 -8 -1)
Figura 40 - Expressões extras envolvendo a multiplicação
Fonte: O autor e o professor PN.
Após a resolução, os exercícios foram corrigidos até o final do período.
14ª aula
A 14ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 11 de maio de
2011. A aula foi iniciada com a aplicação do quarto teste, conforme ANEXO F.
Em seguida, foi apresentada aos alunos a divisão de números inteiros, por
meio de alguns exemplos. O professor PN juntamente com os alunos, estabeleceu a
regra para divisão, que foi registrado no quadro e aparece na Figura 41.
77
Divisão de Números Inteiros
Exemplos:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
(+15):(+5)=
(+15):(+5)= q, de modo que (+5) . q = +15
Assim, q= +3
Logo,(+15):(+5)=+3
(+15):(-5)=
(+15):(-5)= q, de modo que (-5) . q = +15
Assim, q= -3
Logo (+15):(-5)= -3
(-15):(+5)=
(-15):(+5)= q, de modo que (+5) . q = -15
Assim,q= -3
Logo, (-15):(+5)= -3
(-15):(-5)=
(-15):(-5)= q, de modo que (-5) . q = -15
Assim,q= +3
Logo (-15):(-5)=+3
Regra:
-Quando o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal, o quociente será um número inteiro
positivo.
-Quando o dividendo e o divisor tiverem sinais diferentes, o quociente será um número
inteiro negativo.
Figura 41 - Regra da divisão da turma 63
Fonte: O professor PN e os alunos.
Após os alunos copiarem do quadro o registro da Figura 41, estes receberam
uma folha fotocopiada com exercícios para serem resolvidos, conforme a Figura 42.
78
Exercícios sobre a divisão
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
1.Efetue as divisões:
a)+18: (-6)
g) -18:(-18)
n) -46:(-2)
b) -36:(-9)
h) +18:(-18)
o)-28:(+4)
c)-18:(+9)
i) -56:(-2)
p)+36:(-6)
d)+36: (+6)
j) +42:(-21)
q)-36:(+3)
e)-27:(-9)
l) +44:(-11)
r)+48:(-12)
f)+18:(+9)
m) -28:(-14)
s)+18:(-6)
2. Efetue as divisões.
a) (-9) : (+9)
b) (-11) : (-11)
c) (+21) : (+3)
d) (+36) : (-4)
e) 0 : (+20)
f) (-31) : (+31)
g) (+45) : (-3)
h) (+52) : (+2)
i) (-65) : (-13)
j) (-90) : (+9)
k) (+64) : (+4)
l) (-39) : (-13)
m) (+96) : (-24)
n) (-200) : (-25)
o) (+63) : (+21)
p) (+81) : (-27)
3. No quadro, há algumas divisões:
(-90) : (-30)
(+48 ) : (-16)
(-100) : (+5)
(-200) : (-20)
(-45) : (-9)
(-100) : (-4)
(-300): (-100)
(+200) : (-4)
Quanto dá a soma dos resultados dessas divisões?
4. Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras as
igualdades:
a) x : (-6) = -36
b) (-81): x = +9
c) x : (-8) = +2
d) (-90): x = +10
e) x : (-7)= +28
Figura 42 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre divisão de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
79
15ª aula
A 15ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 16 de maio de
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
2011. O professor PN inicialmente realizou a correção dos exercícios da aula
anterior.
Em seguida, comentou com os alunos que as expressões que envolvem a
adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros são resolvidas de
forma semelhante às expressões que envolvem apenas a adição, subtração e
multiplicação de inteiros, ou seja, devem ser resolvidas primeiramente as
multiplicações e divisões para, em seguida, resolver as adições algébricas.
Logo após, o autor transcreveu no quadro algumas expressões para os
alunos resolverem, conforme a Figura 31. Os alunos resolveram as questões até
que se findasse a aula.
16ª aula
A 16ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 18 de maio de
2011. A correção dos exercícios da aula anterior foi feita inicialmente pelo professor
PN. Constataram-se muitas dificuldades relativas aos sinais das operações, por isso,
foram transcritas no quadro mais algumas expressões (Figura 43) para serem
solucionadas até o final da aula.
80
Resolva as expressões:
a) 30 : (-30) -20 : (+2)
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
b) 7 : (-1) +8 . (-6) +11
c) - 6 . (+5) -54 : (-3) - 6 . (+1) -18 : (-2)
n) (+8 -2 + 7 – 9) : ( -4 + 3) -15 : (-4 + 4 -9 +4)
o) (-9 + 2).(-3) – [ 15 – (-4 -1).(-3) ]
p) (+3 -4 + 1 - 4).( -7 + 3) -9 : (-1 + 5 -5 +2)
q) (-15 + 3):(-12) – [ -8 - (-6 -1) : (-7)]
r) (-9 -3) . (-8 +4) – (-7 +2) : (-1 -4) + (-8 -3 +4)
s) (+4 -3 + 2 - 5).( -3 + 4) -7 : (-1 + 2 -2 +2)
Figura 43 – Expressões extras com divisão
Fonte: O autor e o professor PN.
17ª aula
A 17ª aula, de 2 períodos de 1 hora cada um, ocorreu no dia 23 de maio de
2011. Dando início à aula, o professor PN realizou a correção dos exercícios que
haviam sido realizados na aula anterior.
Logo após, os alunos resolveram o último teste desse estudo, conforme o
ANEXO G.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
81
5 ANÁLISE DO ESTUDO
Neste capítulo, ocorre a discussão dos resultados obtidos nos 17 encontros
que o autor realizou com os grupos 61 e 63 pesquisados. Esses encontros foram
divididos em quatro blocos: 1) Noção, Importância e Comparação de Números
Inteiros; 2) Adição e Subtração de Números Inteiros, 3) Multiplicação de Números
Inteiros; 4) Divisão de Números Inteiros. Em cada um deles, a análise foi realizada
através de: i) resultados obtidos nos testes, ii) depoimentos do professor PN
registrados na ficha síntese, iii) auto-avaliações realizadas pelos alunos do grupo 61,
iv) observações do autor registradas no DO.
O Quadro 07, nos mostra como ficou a divisão dos blocos para análises:
82
BLOCO 1: NOÇÃO, IMPORTÂNCIA E COMPARAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
GRUPOS
61
63
TOTAL DE AULAS
4
4
TEMPO UTILIZADO
8horas 20min
8horas
1ª à 4ª
1ª à 4ª
Intervenção dos jogos do Roletrando Kit no 1, resolução
de testes, exercícios e avaliação do jogo.
Aulas expositivas, resolução de
testes e exercícios.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
FATOS
AULAS
PROCEDIMENTOS
E
MATERIAIS
UTILIZADOS NAS AULAS
BLOCO 2 : ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
GRUPOS
61
63
6
6
11horas 40min
12 horas
5ª à 10ª
5ª à 10ª
Intervenção dos jogos do Roletrando Kit no 2, resolução
de testes, exercícios e avaliação do jogo.
Aulas expositivas, resolução de
testes e exercícios.
FATOS
TOTAL DE AULAS
NÚMERO DE HORAS
AULAS
PROCEDIMENTOS
E
MATERIAIS
UTILIZADOS NAS AULAS
BLOCO 3: MULTIPLICAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
GRUPOS
61
63
4
4
7horas e 30 min
7
10ª à 13ª
11ª à 14ª
Intervenção dos jogos do Roletrando Kit no 3, resolução
de testes , exercícios e avaliação do jogo.
Aulas expositivas, resolução de
testes e exercícios.
FATOS
TOTAL DE AULAS
NÚMERO DE HORAS
AULAS
PROCEDIMENTOS
E
MATERIAIS
UTILIZADOS NAS AULAS
BLOCO 4: DIVISÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
GRUPOS
61
63
4
4
8horas 20min
7h 30min
14ª à 17ª
14ª à 17ª
Intervenção dos jogos do Roletrando Kit no 4, resolução
de testes,exercícios e avaliação do jogo .
Aulas expositivas, resolução de
testes e exercícios.
FATOS
TOTAL DE AULAS
NÚMERO DE HORAS
AULAS
PROCEDIMENTOS
E
MATERIAIS
UTILIZADOS NAS AULAS
Quadro 07 – Blocos de Aulas
Fonte: O autor.
83
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
5.1 Análises por bloco
5.1.1 Bloco 1: Noção, importância e comparação dos números inteiros
Inicialmente a análise está focada no teste 1 que abordou nas questões 1, 3,
4 e 5 situações relacionadas à representação, à aplicação e à comparação dos
números inteiros; e nas questões 2 e 6, a noção dos números inteiros através de
situações de perda e de ganho.
Para a análise do teste 1, foi construído o Gráfico 01, que mostra em termos
quantitativos, o desempenho dos grupos 61 e 63, através dos porcentuais de acertos
dos alunos nas questões que constituíram o teste.
Gráfico 01 – Porcentagem de acertos por turma no teste 1
Fonte: O autor.
84
De acordo com o Gráfico 01, percebe-se pouca diferença de desempenho nas
turmas pesquisadas, com uma pequena vantagem do grupo 61(81% das questões
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
corretas) para o grupo 63 (75% das questões corretas), pois a maioria das questões
desse instrumento explorou situações mais relacionadas à introdução e a
importância dos números inteiros e poucas situações relacionadas aos conteúdos
envolvidos nos jogos aplicados no grupo 61. A maior diferença é notada na questão
6 (81% do grupo 61 contra 63% do grupo 63), justamente a questão que explorou
um conhecimento trabalhado no grupo 61 por meio de jogos.
Por meio das observações do autor no DO ao longo das aulas desse bloco,
referentes à aprendizagem dos conteúdos trabalhados, também ficaram evidentes
poucas diferenças quanto à aprendizagem dos números inteiros nos grupos 61 e 63.
Quanto à autoavaliação realizada pelos alunos do grupo 61 para este bloco,
percebeu-se que os jogos tiveram grande aceitação, pois para grande parte dos
alunos, os jogos facilitaram a aprendizagem, são muito divertidos, modificaram a
rotina e todas as aulas deveriam ter jogos, o que é corroborado por alguns trechos
da autoavaliação realizada no dia 31 de março de 2011.
Nós gostaríamos de jogar com outros conteúdos [...] (Grupo B);
[...] nós gostamos muito e achamos que é mais divertido assim. Nós
aprendemos várias coisas que podem nos ajudar pelo resto da vida.
Também gostamos porque a aula se torna cada vez mais legal e fica
diferente de todas as aulas [....] . A rotina da gente era sempre a mesma,
agora que temos o roletrando fica mais legal, até engraçado [...] (Grupo E);
[...] também aprendemos a trabalhar em grupo (Grupo D);
Foi muito legal, pois aprendemos mais facilmente a matéria e
compreendemos melhor os números positivos e negativos. Gostaríamos
muito que tivesse sempre esse jogo porque é muito mais fácil de aprender
as matérias [...] (Grupo C).
Através das autoavaliações e das anotações no diário de observação do
autor, foi possível perceber a euforia e o envolvimento dos alunos nas atividades
com os jogos do Roletrando dos Inteiros, e também observar o quanto os jogos
criam um ambiente favorável à aprendizagem. Essa constatação é fundamentada
por Lara (2003), quando afirma que os jogos no ensino da Matemática transformamse em ferramentas de resgate da vontade de aprender e de conhecer mais sobre
essa disciplina. Mudam-se com isso, até mesmo o ambiente da sala de aula e a
85
rotina de todos os dias levando o aluno a envolver-se, cada vez mais, nas atividades
propostas.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Outro fator a se destacar no grupo 61 foi a interação entre os alunos, pois
como em muitas aulas trabalhavam em grupos, foi possível perceber que eles
trocavam ideias, ouviam as opiniões dos colegas, interagiam de forma cooperativa,
respeitavam condutas e normas pré-estabelecidas. Como diz Soares:
O jogo traz a possibilidade de trabalharmos questões relacionadas às
atitudes e interação entre os alunos e as idéias matemáticas, porque eles
aprendem, sem perceber, de uma maneira lúdica e prazerosa (SOARES,
2008, p. 121):
Já na turma 63, de acordo com os depoimentos do professor PN e das
anotações do autor realizadas no decorrer das aulas desse bloco no DO, não se
percebeu tanto envolvimento dos alunos nas atividades propostas. Na primeira aula,
grande parte dos alunos mostrava-se interessada pelo conteúdo novo; já a partir do
segundo encontro foi possível identificar que aproximadamente cinco alunos (27%
dos alunos da turma) apresentavam a atenção voltada para a conversa ou para a
realização de atividades, que não foram propostas pelo professor. Outro fato a
destacar, é que três alunos sempre realizavam as tarefas, copiando as resposta dos
seus colegas.
Além disso, o professor PN solicitava a todo o momento a atenção dos alunos
para poder realizar as suas explicações, e também durante a realização dos
exercícios, o professor por muitas vezes teve que intervir, para que ficassem
sentados e realizassem as atividades propostas. Isso ficou ratificado pelos seguintes
trechos dos depoimentos escritos do professor PN:
Há cinco alunos que não se manifestam, mesmo que não tenham
compreendido. Os alunos que participaram da aula mostraram
compreensão. Porém alguns ficam quietos em seu canto – o que me
preocupa um pouco, pois me parece que eles têm medo de perguntar e tirar
suas dúvidas [...] (28/03/2011);
Embora o professor chamasse a atenção dos alunos para a importância da
explicação do conteúdo, uns cinco alunos (três guris e duas gurias) estavam
com a atenção voltada para outra coisa e não na explicação.[..]
(30/03/2011);
Os alunos estão conversando cada vez mais em aula. Há alunos que não
conseguem olhar na cara do professor,ou seja,estão olhando para
tudo,menos para onde deviam. [...] (4/4/2011);
86
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Após a conversa que tive com eles e uma cobrança mais firme do professor,
os alunos melhoram no comprometimento com as tarefas e na
compreensão dos exercícios. Com a cobrança também teve alunos que se
retraíram mais ainda, o que me preocupa. [...] (6/4/2011).
Diante dos relatos expostos pelo professor PN e de todas as observações
realizados pelo autor no DO ao longo do bloco 1, são perceptíveis grandes
diferenças entre as turmas quanto ao
comprometimento, ao envolvimento e o
interesse dos alunos dos grupos pesquisados, fato que o autor credita à aplicação
de metodologia alternativa ao grupo 61. Por isso, concorda-se com Smole, Diniz e
Milani (2007, p 10) quando dizem que “todo jogo por natureza desafia, encanta, traz
movimento, barulho e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram
apenas o livro, o caderno e o lápis”. Portanto, o trabalho com jogos pode ser um dos
recursos determinante para que os alunos sintam-se chamados a participar das
atividades com interesse.
5.1.2 Bloco 2: Adição e subtração dos números inteiros
A análise deste bloco foi realizada através dos testes 2 e 3. O teste 2
explorou nas questões 1,3, 4 e 5 situações relacionadas à representação, à
aplicação e à comparação dos números inteiros; e nas demais questões, explorou a
adição e a subtração dessa categoria de números.
Os resultados desse teste estão apresentados no Gráfico 02, que nos mostra
em termos quantitativos, o desempenho dos grupos 61 e 63, através dos
porcentuais de acertos dos alunos nas questões que constituíram o teste.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
87
Gráfico 02 – Porcentagem de acertos por turma no teste 2
Fonte: O autor.
De acordo com o Gráfico 02, percebe-se menor diferença de desempenho
das turmas pesquisadas nas questões 1, 3, 4 e 5 (66% de acertos da turma 61 para
61% de acertos da turma 63), enquanto que nas demais questões a diferença foi
mais significativa (83% de acertos nas questões da turma 61 para 45% da turma 63).
Ao se analisar os resultados apontados no Gráfico 02 e levando-se em
consideração que os alunos do grupo 61 obtiveram uma grande diferença de
desempenho em relação aos alunos do grupo 63, justamente nas questões 2, 6, 7,
8, 9 e 10, que exploraram situações que na turma 61 foram trabalhados através dos
jogos, percebe-se que os jogos do Roletrando influenciaram no desempenho desse
grupo.
O autor atribui o melhor desempenho do grupo 61 à possibilidade de
realizarem transferências dos conhecimentos e constatações construídas com os
jogos referentes à adição e à subtração de inteiros, aos exercícios trabalhados em
aula e à resolução das questões do teste 2.
88
Conforme o registro no caderno dos alunos F8 e F6 e o registro nas provas
dos alunos F2 e F16, que aparecem respectivamente nas figuras 44 e 45, isso ficou
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
muito evidente, pois muitos alunos utilizaram as convenções criadas com o
Roletrando Kit no 2, como por exemplo o “f” de fica e “t” de troca, ao longo da
realização dos exercícios e das questões do teste 2.
Figura 44 - Registro de exercícios dos alunos F8 e F6 no caderno
Fonte: Alunos F8 e F6.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
89
Figura 45 - Registro dos alunos F2 e F16 no teste 2
Fonte: Aluno F2.
Para este bloco, também foi aplicado nos grupos 61 e 63 o teste 3, que
envolveu apenas expressões numéricas com adição e subtração de números
inteiros, assuntos que também foram explorados com os jogos no grupo 61. Os
resultados podem ser observados no Gráfico 03 abaixo.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
90
Gráfico 03 – Porcentagem de acertos por turma no teste 3
Fonte: O autor.
Com base nos resultados do teste 3, ficou evidenciada uma grande diferença
de resultados do grupo 61 (79% de acertos nas questões) para o grupo 63 (20% de
acertos nas questões) e que as construções realizadas com os jogos pelo grupo 61
sobre os números inteiros, podem ter sido transferidas para os exercícios e o teste
realizado, influenciando, dessa forma, no desempenho desse grupo.
A transferência do aprendido com jogos para a resolução dos exercícios em
aula e das questões do teste 3, foi também detectada nas observações realizadas
pelo autor ao longo das aulas desse bloco e descritas no DO. Um exemplo são os
registros que aparecem na Figura 46 dos alunos S2 do grupo 63 e F11 do grupo 61,
em que o aluno F11 resolve as expressões numéricas utilizando uma convenção
adquirida com os jogos, enquanto que o aluno S2 resolve as mesmas expressões
conforme as orientações do professor PN.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
91
Figura 46 - Registro no caderno dos alunos S2 sem transferências dos jogos e F11 com transferência
dos jogos
Fonte: Alunos S2 e F11.
Ainda, de acordo com o registro no DO (28/04/2011) do autor, a apresentação
da solução das expressões pelos alunos no grupo 61, tiveram formas de resolução
muito diversificadas, pois alguns alunos transferiram inicialmente as regras dos
jogos para a resolução e em seguida, por a terem fixado, deixaram de utilizá-las;
alguns usaram os artifícios dos jogos o tempo todo para a resolução das expressões
e alguns resolveram sem os artifícios dos jogos. Na Figura 47, temos outro exemplo
da transferência de aprendizado com os jogos.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
92
Figura 47 - Registro no caderno do aluno F21 com transferência de aprendizado com jogos para os
exercícios
Fonte: Aluno F21.
Outro fato destacado no diário de observações do autor, é a postura dos
alunos do grupo 61 no desenrolar das aulas para esse bloco. Os alunos desse grupo
mostravam-se empolgados com os jogos, envolvidos e comprometidos em todas as
atividades que eram propostas. A maioria dos alunos apresentava facilidade no
trabalho com os inteiros negativos, e conseguia escolher o sinal correto para cada
tarefa sugerida pelo autor. Apenas 3 alunos do grupo 61, apresentavam insegurança
ou dificuldade quanto a decisão do sinal a ser empregado nas tarefas de aula e de
tema.
As
autoavaliações
realizadas
pelos
alunos
desse
grupo,
também
demonstraram a empolgação e o interesse dos alunos, por conteúdos que são
trabalhados, por meio dos jogos. Nos relatos descritos dessas avaliações, os alunos
destacaram que os jogos facilitaram a aprendizagem, diminuíram as dificuldades dos
exercícios e por serem divertidos, as aulas de matemática estavam muito diferentes,
o que é corroborado por trechos da autoavaliação realizada pelos alunos no dia 14
de abril de 2011.
93
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
[...] gostamos muito e queríamos que sempre tivessem os jogos pois é mil
vezes melhor aprender de um jeito que a gente gosta e é diferente daquele
tradicional que estamos fazendo sempre [...] este jogo nos ensinou a adição
e subtração dos números inteiros. Se estivéssemos aprendendo a matéria
daquele jeito demoraria mais tempo para aprender (Grupo C);
[...] nós aprendemos que o sinal + significa fica e o – significa troca.Também
aprendemos a adição e subtração dos números negativos e queremos jogar
mais vezes, pois achamos mais fácil aprender desse jeito (Grupo F);
O Roletrando fica ou troca foi uma maneira de se divertir enquanto se
aprende um conteúdo [...] achamos que os jogos tinham que ter em várias
matérias diferentes em todas as escolas (Grupo D);
No grupo todos se ajudaram [...] nos gostaríamos de jogar o jogo
novamente,porque ele nos ensinou a aprender a trabalhar em grupo e
entender a matéria (Grupo A).
No grupo 63, por sua vez, foram observadas algumas dificuldades no
desenvolvimento das aulas do bloco 2. Dentre elas, destacam-se a aprendizagem, a
motivação e o comprometimento dos alunos.
Quanto à aprendizagem, muitos alunos do grupo 63, de acordo com os
depoimentos do professor PN e das observações do autor, confundiram os sinais
dos exercícios que exigiam respostas imediatas e, principalmente, os sinais das
questões com cálculos mais elaborados, em que não é exigida apenas uma resposta
e sim uma sequência de cálculos para se chegar a um resultado.
O professor PN nos seus relatos na ficha síntese acreditava que apenas 50%
do grupo compreendia e sabia aplicar nos exercícios as regras de sinais para a
adição e subtração dos números inteiros, 30% se esforçava para acertar os sinais
das respostas, mas não conseguiam e 20% nem sequer tentava, simplesmente
copiava as respostas do final do livro ou não fazia, não ficando claro os motivos
desta ação.
Já, segundo os registros do DO (27/04/2011) do autor, na medida em que
eram feitas as resoluções das expressões pelos alunos do grupo 63, a maioria deles
não conseguia transferir a regra da eliminação de parênteses da soma algébrica
para a eliminação dos parênteses das expressões, fazendo com que muitos
adotassem regras próprias de resolução que até funcionavam para a eliminação dos
parênteses, mas não funcionavam para o resto da resolução. A regra adotada, na
qual o autor se refere, era a de que sinais iguais resultavam sempre mais e sinais
diferentes sempre menos, não importando o cálculo realizado.
94
Um exemplo do que foi relatado aparece no desenvolvimento da expressão
abaixo, conforme descrito no DO:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
9 + (-4 -2)
9 + (-6) -> sinais diferentes resultam menos
9 – 6 = -3 -> sinais diferentes resultam menos
Diante do que foi exposto quanto às aprendizagens desenvolvidas para esse
bloco, o autor destaca que para grande parte dos alunos do grupo 61, os jogos
tiveram grande influencia na aprendizagem das operações de adição e subtração de
números inteiros, devido a facilidade e a precisão com que os alunos resolveram
seus cálculos; enquanto que para a maioria dos alunos do grupo 63, as regras
apresentadas pelo professor PN auxiliaram muito pouco na resolução de questões
mais elaboradas, pois os alunos não sabiam identificar e utilizar a regra apropriada
para o cálculo solicitado.
Essa constatação é fundamentada por Starepravo (2009), que ressalta o fato
de que a simples explicação dos conceitos matemáticos através de regras aos
alunos, sem levá-los a levantar hipóteses e questionamentos nas tarefas que são
propostas, só levará a repetição daquilo que foi ensinado e não o aprendizado, fato
constatado para muitos alunos do grupo 63.
A outra dificuldade observada no grupo 63 foi a falta de motivação e de
comprometimento com a realização das tarefas. O professor PN nos seus relatos
escritos na ficha síntese deixa isso bem claro:
No quesito interesse, a situação poderia melhorar. Há 6 alunos(33% dos
alunos) que demonstram que estão aí por obrigação.Não há curiosidade ou
vontade de aprender ...não fazem as tarefas por preguiça e desinteresse
(13/04/2011);
Para explicações em aula, o professor teve que chamar várias vezes a
atenção dos alunos para que eles se concentrassem e ouvissem. Muitos
alunos se esforçaram e fizeram os exercícios, mas teve alunos que se
preocuparam mais em conversar e brincar do que trabalhar em aula. Há
alunos que não trabalham se o professor não chama a atenção deles
(18/04/2011);
Diria que 75% da turma é interessada,os alunos não acertam as questões
mas não desistem. Os outros 25% estão aí por estar (20/04/2011);
95
Quatro alunos nunca fazem as coisas, consequentemente ao serem
interrogados pelo professor erram mais do que acertam (25/04/2011).
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Essa dificuldade também é apontada nas observações do autor no DO,
quando relata a falta de interesse e a seriedade na realização das tarefas que eram
propostas pelo professor PN para um grupo significativo de alunos. O autor acredita
que essa falta de comprometimento e envolvimento seja porque as atividades que
estavam sendo realizadas em aula não eram desafiadoras e interessantes, pois se
restringiram a cópias de conteúdos no quadro e exercícios para serem resolvidos ou
atividades em folhas impressas. Outro fator que pode ter influenciado o não
envolvimento de muitos alunos nas atividades, foi a falta de compreensão dos
conteúdos ensinados, ocasionando então o desinteresse pelas tarefas.
Starepravo (2009) e Oliveira (2009) fundamentam a análise feita pelo autor
desse estudo no parágrafo anterior, quando dizem que nos jogos, os cálculos são
carregados de significados porque se referem a situações concretas (marcar mais
pontos, controlar a pontuação, etc.) que podem levar os alunos a enfrentar com êxito
as situações conflitantes cotidianas; e também, podem substituir alguns cálculos
repetitivos resolvidos com uma regra específica, tornando, assim, as aulas mais
agradáveis e interessantes, envolvendo e tornando os alunos mais comprometidos
com as atividades de sala de aula.
5.1.3 Bloco 3: Multiplicação dos números inteiros
Para este bloco, a análise iniciou-se através dos resultados do teste 4, que
explorou nas questões 1 e 2 situações envolvendo exclusivamente a multiplicação
de números inteiros e, nas demais questões, situações envolvendo a adição,
subtração e multiplicação desse conjunto numérico, todas trabalhadas no contexto
dos jogos para a turma 61.
O Gráfico 04, mostra em termos quantitativos, o desempenho dos grupos 61 e
63, através dos porcentuais de acertos dos alunos nas questões que constituíam o
teste.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
96
Gráfico 04 – Porcentagem de acertos por turma no teste 4
Fonte: O autor.
De uma forma geral, o teste 4 mostrou uma diferença expressiva de
desempenho das turmas pesquisadas (80% de acertos do grupo 61 para 38% do
grupo 63). No entanto, para a questão 1 a diferença não é significativa (73% da
turma 61 para 63% da turma 63), por ser uma questão com grau de dificuldade
muito pequeno e envolver apenas a multiplicação dos inteiros. A partir da questão 2,
as diferenças de desempenho aumentaram, sendo muito expressivas na questão 3
(74% de acertos do grupo 61 para 12% de acertos do grupo 63), por ser uma
questão que envolvia a adição, a subtração e a multiplicação simultaneamente.
Os gráficos representando os resultados obtidos nos testes até o momento
vêm mostrando que com os jogos do Roletrandro, os alunos do grupo 61 podem
estar obtendo resultados mais eficazes e melhores, principalmente na construção
das operações com os números inteiros.
Baseado nos registros do autor no DO, com o desenvolvimento dos
conteúdos explorados no bloco 3, foi possível perceber que a compreensão das
regras a serem utilizadas em cada operação com os inteiros estava bem definida
para o grupo 61, enquanto que para o grupo 63, isso não estava acontecendo, pois
os alunos estavam confundindo as regras.
Como exemplo, podemos citar os exercícios realizados no dia 02 de maio
pelo grupo 63. O professor PN, no momento da correção, pergunta aos alunos
97
quanta seria -7 x (+8) e muitos alunos responderam +1 e outros -56, o que demontra
confusão e mistura no uso das regras de adição, subtração e multiplicação.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Na resolução das expressões numéricas deste bloco, na qual a adição, a
subtração e a multiplicação apareciam simultaneamente, as dificuldades dos alunos
do grupo 63 aumentaram ainda mais. Conforme as observações descritas no DO
(09/05/2011) do autor e nos depoimentos do Professor PN quanto à aprendizagem,
poucos alunos utilizaram as regras corretas para as operações com os inteiros, pois
muitos utilizaram a regra da multiplicação, que diz convencionalmente que sinais
iguais resultam em mais e sinais diferentes resultam em menos, para resolver as
questões de adição e subtração de inteiros e outros utilizaram as regras da adição e
subtração para resolver as questões de multiplicações.
No dia 09 de maio, o professor PN ao fazer a correção da expressão
(-6) . (+3) – (+5) . (-13), solicitou ao aluno S16 auxílio para a correção, e ele disse
que -6. (+3) resultava em -18 porque o sinal do número de maior módulo era
negativo, fazendo uma referência à adição algébrica e não à multiplicação.
Neste mesmo dia, o professor PN também perguntou aos alunos do grupo 63,
quem gostaria de fazer a correção da expressão (+5) . (+11) -37 . (-2). O aluno S4,
prontamente se ofereceu para resolvê-la, fazendo o seguinte registro no quadro:
(+5) . (-11) -37 . (-2)
-55
+ 74
-18
Ao verificar o erro na resolução da expressão, o professor PN solicitou que o
aluno relatasse as regras e os procedimentos utilizados na resolução. O aluno S4
explicou da seguinte forma, conforme o registro no DO (09/05/2011):
Primeiro faço as multiplicações, em que sinais iguais dá mais e sinais
diferentes dá menos. No caso +5.(-11) dá -55, porque os sinais são
diferentes e -37 . (-2) dá mais porque são iguais. No fim -55 +74 dá -18
porque os sinais também são diferentes (S4).
Através do relato do aluno S4 para a resolução da expressão acima, foi
possível perceber o quanto os alunos do grupo 63 estavam confusos nesse bloco,
98
com a regra correta a ser utilizada na resolução de operações com os números
inteiros. Enquanto o grupo 61 avançava com a compreensão das operações desse
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
conjunto numérico, o grupo 63 necessitava de mais exercícios para reforçar aquilo
que não foi construído e sim, apresentado através de uma regra.
O autor concorda com Massago e Andrade (2010) ao destacarem que com a
metodologia de jogos, os alunos terão a possibilidade de construir os seus
conhecimentos e obter melhores resultados na escola. Fato evidenciado no grupo 61
e apresentado através da figura 48, na qual o aluno F10 com defasagem de 3 anos
para a série, cuja idade indicada é de 12 anos, que sempre apresentou dificuldades
de aprendizagem e relacionamento com os colegas nas séries anteriores, inclusive
já tendo sido convidado por outra escola a se retirar, obteve excelentes resultados
quanto a aprendizagem por meio dessa metodologia, fazendo um contraponto à
utilização metodologia de regras apresentadas pelo professor e decoradas pelos
alunos para realizar exercícios e testes
Figura 48 - Contraponto de uma expressão resolvida pelo aluno F11 através de conceitos construídas
com os jogos.
Fonte: Aluno F11.
Outro fato que reforça a utilização dos jogos nas aulas, é possibilidade dos
alunos construírem o conhecimento através de seus erros. O autor ao observar os
grupos jogando, percebeu que os erros realizados no desenvolvimento dos jogos
foram favoráveis para a construção do conhecimento, pois fizeram os alunos
reverem os passos utilizados e foram apontados instantaneamente pelos próprios
99
jogadores do grupo, diferentemente de boa parte dos exercícios que é regularmente
realizado nas aulas, nos quais a reflexão no erro nem sempre é feita, pois a
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
correção dos exercícios é realizada no quadro pelo professor e o aluno é um
indivíduo passivo que apenas copia a correção e não discute. A opinião do autor
condiz com o que Smole, Diniz e Milani afirmam, quando dizem que:
Por permitir ao jogador controlar e corrigir seus erros, seus avanços, assim
como rever suas respostas, o jogo possibilita a ele descobrir onde falhou ou
teve sucesso e por que isso ocorreu. Essa consciência permite
compreender o próprio processo de aprendizagem e desenvolver a
autonomia para continuar aprendendo (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007, p.
10).
Quanto ao envolvimento dos alunos nas tarefas de sala de aula
desenvolvidas durante esse bloco, mais uma vez os registros das observações do
autor, dos depoimentos do professor PN e dos relatos das auto-avaliações dos
alunos, apontaram que o grupo 61 esteve mais comprometido, envolvido e
interessado nas atividades das aulas do que o grupo 63. Os alunos do grupo 61 em
seus depoimentos na autoavaliação realizada no dia 10 de maio de 2011, reafirmam
que os jogos são interessantes e estão fazendo com que eles aprendam melhor os
conteúdos e de forma divertida:
Estes jogos estão nos ajudando muito, em vez de escrevermos, estamos
aprendendo jogando (Grupo E);
Nós gostamos bastante desse jogo, pois ele nos deu uma dica, para
resolver mais rapidamente as coisas (Grupo D);
[....] é por isso que cada vez mais estamos aprendendo as matérias mais
rapidamente,por causa dos jogos que estamos realizando em Matemática
(Grupo C);
Nós gostaríamos de jogar novamente, pois achamos que é uma maneira
melhor de aprender (Grupo F).
Por sua vez, o grupo 63 nem sempre apresentou a atenção voltada para as
explicações do professor PN, sendo que ele a todo momento, solicitava a atenção
dos alunos para poder realizar as suas explicações e insistia para que os mesmos
ficassem sentados e realizassem as atividades propostas. Isso ficou novamente
ratificado pelos depoimentos escritos na ficha síntese do professor PN ao longo do
desenvolvimento das aulas:
100
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
[...] os alunos parecem que “cansaram” de se concentrar e não se
interessam muito no conteúdo e nos exercícios (02/05/2011);
Uns 8 a 10 alunos só prestam atenção depois que o professor chama sua
atenção e isso interrompe muito a aula. Uns 5 a 6 alunos se interessam
mais em conversar do que trabalhar e isso atrapalha o ritmo da aula
(04/05/2011);
Hoje até que a maioria se esforçou, mas 2 alunos só copiaram as respostas
do quadro,pois tinham preguiça em fazer e preferiram conversar em aula
(09/05/2011).
Portanto, diante das constatações expostas para esse bloco, o autor pode
afirmar que ao se propor o jogo como estratégia de ensino, estará se propondo
como dizem Lara (2003) e Groenwald e Timm (2000), um veículo para a construção
do
conhecimento
inserido
num
momento
de
descoberta,
de
criação
e
experimentação, capaz de diminuir os bloqueios apresentados por muitos alunos
que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la.
5.1.4 Bloco 4: Divisão dos números inteiros
Com o quarto bloco, são encerradas as análise deste estudo.
A análise desse bloco será iniciada através do teste 4, que explorou nas
questões 1 e 2 a multiplicação e divisão de números inteiros e nas demais questões,
situações envolvendo a adição, subtração, multiplicação e divisão desse conjunto
numérico, todas contextualizadas através dos jogos na turma 61.
Os resultados do teste 5, estão representados no gráfico 05, que em termos
quantitativos, o desempenho dos grupos 61 e 63, através dos porcentuais de acertos
dos alunos nas questões que constituíram o teste.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
101
Gráfico 05 – Porcentagem de acertos por turma no teste 5
Fonte: O autor.
O teste 5, confirma as diferenças de desempenho apontadas nos gráficos
anteriores (80% de acertos do grupo 61 para 34% do grupo 63), com destaque para
uma grande diferença na questão 3 (77% de acertos do grupo 61 para 17% do grupo
63), na qual são exploradas as operações da adição, subtração, multiplicação e
divisão simultaneamente.
Ao se analisar os resultados apontados no gráfico e nas observações do autor
no DO ao longo das aulas desse bloco, percebe-se novamente que os jogos do
Roletrando influenciaram no bom desempenho dos alunos do grupo 61, pois o
conhecimento matemático exigido desse grupo para as tarefas deste bloco foi
construído através dos jogos, fato evidenciado, através dos registros dos alunos,
como por exemplo, os mostrados nas figuras 25, 26 e 29, ao longo da unidade
didática descrita no capítulo 4.
As autoavaliações dos alunos do grupo 61 e os depoimentos do professor PN
para o bloco 4, foram decisivos para o autor deste estudo também confirmar o
quanto a utilização dos jogos interfere na aprendizagem, no interesse e no
envolvimento dos alunos nas tarefas solicitadas em aula.
102
Enquanto que para as aulas do grupo 63 nesse bloco, o professor PN, através
dos seus depoimentos dizia que apenas 60% dos alunos o atendiam prontamente,
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
prestando atenção, fazendo exercícios e participando da aula, os alunos do grupo
61, através das suas auto-avaliações e das observações do autor no DO, estavam
comprometidos, adoravam as atividades e diziam que os jogos os ajudavam a
compreender melhor os conteúdos. A autoavaliação das alunas do grupo E, ratificou
muito bem o que foi descrito:
Bom, o Roletrando ajudou, incentivou, entre outras coisas também. Ele foi
perfeito para aprendermos sobre o troca (-) e o fica (+), para aprendermos
sobre a divisão e a multiplicação, sem falar que ele trouxe
divertimento,entretenimento, risos, aulas super legais.Todas nós gostamos
bastante e pegamos bem a matéria. A gente aprendeu diversas coisas da
Matemática que no futuro precisaremos.Também falando, gostaríamos de
ter novamente isso,essa coisa legal que ensina muito. Tanto é, que ficamos
felizes em conseguir realizar tudo. Beijinhos...(19/05/2011).
Para também justificar as diferenças de atitudes percebidas entre os grupos
61 e 63, o autor novamente destaca o papel das interações dos alunos obtidas nos
jogos, pois ao seguir as regras, conforme Starepravo (2009, p.19) os alunos
“envolvem-se em conflitos, uma vez que não estão sozinhos, mas em grupo ou
equipe de jogadores. Tais conflitos são excelentes oportunidades também para
alcançar conquistas sociais e desenvolver a autonomia”.
Consequentemente, as aulas serão mais organizadas, pois os alunos estarão
mais concentrados, autoconfiantes e comprometidos com os desafios dos jogos,
sem contar que a socialização será muito desenvolvida, aumentando as interações
do indivíduo com as outras pessoas.
Smole, Diniz e Milani (2007) reforçam o pensamento do autor ao dizerem que
em situação de cooperação entre alunos,
[...] a obrigação é considerar todos os pontos de vista, ser coerente,
racional,justificar as próprias conclusões e ouvir o outro. È nesse processo
que se dá a negociação de significados e que se estabelece a possibilidade
de novas aprendizagens (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007, p. 11).
O autor também concluiu que o desempenho dos alunos do grupo 61 foi
melhorado, devido ao ambiente favorável à discussões criado pelos jogos, pois o
autor em vez de simplesmente responder ou resolver um conflito, no confronto das
103
idéias de um aluno com o outro, devolvia a pergunta com outras perguntas,
instigando e mostrando um outro ângulo de ver a situação.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Enquanto os alunos se divertiam jogando, o autor também ficou observando
como jogavam, para verificar como os alunos organizavam suas ações e se eram
capazes de avaliar os resultados dessas ações, para posteriormente discuti-las no
grupo ou coletivamente com todos os alunos.
Portanto, o autor destaca que os jogos propiciam nas aulas, um ambiente em
que os alunos são indivíduos atuantes, que discutem e aprendem a resolver conflitos
com seus colegas sem esperar passivamente que os professores o façam. Nesse
ambiente, o professor até poderá participar das decisões, mas o seu papel será mais
para questionar os alunos, frente às decisões que tomarão nos desenvolvimento das
atividades propostas.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
104
6 CONSIDERAÇÕES E CONTRIBUIÇÕES
Os números inteiros têm chamado a atenção dos professores de Matemática,
devido as dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão dos significados
desses números e na utilização das regras apropriadas para as operações desse
conjunto numérico.
O Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas proporcionou uma
reflexão sobre o processo de ensino-aprendizagem de conceitos matemáticos, por
meio de leituras e debates realizados nos quais foram discutidas metodologias
alternativas, despertando o interesse do autor em estudar o jogo como uma
possibilidade metodológica para a construção de conhecimento pelos alunos,
especificamente do conjunto dos números inteiros.
Este estudo teve por objetivo verificar se a utilização do jogo Roletrandro dos
Inteiros contribui de forma significativa para a construção de conhecimentos
matemáticos sobre os números inteiros por um grupo de alunos, comparando-os
com outros, também de sexta série, que utilizaram basicamente a metodologia
quadro/giz. Assim, iniciou-se essa dissertação com os motivos, as justificativas, e a
problemática que levaram a sua elaboração.
Buscaram-se
subsídios
teóricos
que
pudessem
contribuir,
tanto
na
intervenção de ensino como em sua análise. Inicialmente, o conjunto dos números
inteiros foi contextualizado historicamente para justificar sua inserção nos currículos
escolares.
105
Na sequência procedeu-se uma discussão sobre a importância dos jogos na
aprendizagem matemática, tendo como suporte teórico, principalmente as idéias de
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Bacury (2009); Groenwald e Timm (2010); Lara ( 2003); Smole, Diniz e Milani (2007);
Starepravo (2009) e Kischimoto (1998), além das considerações dos PCNs (Brasil,
1998).
Após a apresentação do referencial teórico, traçou-se a metodologia do
estudo que contemplou a intervenção de ensino através do jogo Roletrando dos
Inteiros, testes e observações registradas pelo autor e pelo professor colaborador,
ao longo do desenvolvimento das aulas que constam na Unidade Didática elaborada
para este estudo.
A etapa seguinte foi a discussão dos resultados obtidos nos 17 encontros que
o autor realizou com os grupos pesquisados 61 e 63. A síntese das conclusões
obtidas através das análises realizadas foi:
1. O jogo Roletrando dos Inteiros é uma ferramenta que possibilita a
realização de metodologia facilitadora para a construção do conceito de número
inteiro e das operações desse conjunto numérico; fato confirmado pelos registros
feitos no DO do autor, depoimentos do professor colaborador e testes aplicados.
2. A aprendizagem dos números inteiros é facilitada quando são realizadas
atividades
pedagógicas
utilizando
jogos,
pois
os
alunos
transferem
os
conhecimentos e as constatações construídas com eles às atividades que são
propostas.
3. Na turma em que foram aplicados os jogos, os alunos foram ativos e
partícipes da construção de conhecimento, pois formularam hipóteses e deduziram
regras nas operações com números inteiros, obtendo mais agilidade de raciocínio.
Além disso, o jogo possibilitou controlar e corrigir os erros, rever respostas e
descobrir onde houve falha ou sucesso e porque isso ocorreu, desenvolvendo a
autonomia para continuar aprendendo.
4. A metodologia dos jogos tornou a Matemática mais atraente, divertida e
interessante para o aluno, pois todas as aulas eram aguardadas com entusiasmo
pelos alunos, pois sabiam que iam aprender brincando.
106
5. Os jogos melhoraram as relações e interações entre os alunos, pois, ao
trabalharem em grupos, exercitaram, entre outras habilidades, o saber ouvir o outro,
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
respeitando as diferentes opiniões e ideias; o que colaborou para um melhor
entendimento do conteúdo. Ao respeitarem condutas e normas pré-estabelecidas
para os jogos, os educandos estenderam essas condutas para outras situações da
sala de aula; melhorando o conviver social.
6. Foi estabelecido um ambiente de colaboração, de motivação e de prazer na
busca de soluções para os desafios proporcionados pelos jogos, pois eles
incentivaram o envolvimento dos alunos nas atividades e aumentaram o interesse na
realização das tarefas, fato constatado através dos relatos dos próprios alunos,
quando solicitados a escrever sobre as aulas.
7. De maneira informal, em eventos realizados com a participação do autor, a
metodologia do jogo Roletrando dos Inteiros despertou o interesse de outros
professores.
Após o desenvolvimento deste estudo, o autor tem a convicção de que os
jogos podem oferecer muitas contribuições ao processo de ensino-aprendizagem da
Matemática, auxiliando o professor, como uma metodologia que lhe permite o
trabalho com diversos conteúdos de forma mais dinâmica, atrativa, interativa e
prazerosa, contribuindo para a aprendizagem dos alunos. Desta forma, será possível
minimizar o temor da matemática por parte dos educandos, pois eles encontrarão
nas aulas dessa disciplina a oportunidade de adquirir saberes relacionados com o
cotidiano e desenvolver habilidades de resolução de problemas e de cooperação.
Por fim, espera-se que este estudo possa contribuir para que novas práticas
pedagógicas surjam, com a utilização de jogos como metodologia de ensino.
Acredita-se não ter esgotado todas as possibilidades de trabalhos pedagógicos
envolvendo os números inteiros com o desenvolvimento desta dissertação, pois ela
ocupou-se basicamente em mostrar o processo de aprendizagem dos alunos do
Ensino Fundamental, portanto oportuniza a construção (ou elaboração) de novos
estudos, tendo como foco, por exemplo, o trabalho do professor e a utilização de
jogos em outros anos (séries) dos Ensinos Fundamental e Médio.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
107
REFERÊNCIAS
BACURY, Gerson R. O jogo como ferramenta de aprendizagem da matemática
para os alunos do 7º ano. Dissertação de Mestrado. Manaus-AM, 2009.
_______. Os jogos Matemáticos no Ensino Fundamental. Anais do X Encontro
Nacional de Educação Matemática. Salvador BA, 2010. Disponível em:
<http://www.sbem.com.br/ocs/index.php/xenem/xenem/schedConf/presentations>.
Acesso em: 03 de nov. 2010.
BARBOSA, Sandra Lúcia Piola; CARVALHO, Túlio Oliveira. Jogos Matemáticos
como Metodologia de Ensino Aprendizagem das Operações com Números
Inteiros. Disponível em:
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1948-8.pdf>. Acesso
em: 07 de dez. 2010.
BORBA, Rute Elizabete de Souza Rosa. O ensino e a compreensão de números
relativos. In: SCHLIEMANN, Ana Lúcia; CARRAHER, David W. (Orgs.). A
compreensão de conceitos aritméticos:ensino e pesquisa. Campinas, SP: Papirus,
1998.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental – Matemática.
Brasilia, DF: Secretaria de Educação Fundamental – MEC/SEF, 1998.
CHAMORRO, Carla Cristine Wittmann; PINHEIRO, Josaine de Moura;
RODRIGUES, Tatiana Favero Netto Rodrigues. Números Inteiros: Uma
Aproximação com o Cotidiano do Aluno. Práticas Pedagógicas em Matemática nos
Anos Finais – RS. São Leopoldo, p. 23 – 33, 2006.
COELHO, Márcia Paula Fraga. A Multiplicação de Números Inteiros Relativos no
Ábaco dos Inteiros: Uma Investigação com Alunos do 7º Ano de Escolaridade.
Dissertação de mestrado Educação. Braga Portugal, 2005. Disponível em:
<http://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/3496/1/Tese.pdf>. Acesso em:
04 de jan. 2011.
108
COURANT, R.; ROBBINS, H. What is Mathematics? An elementari Approach to
Ideas and Methods. New York: Oxford Univ. Press, 1987.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
GIOVANNI, Jr.; CASTRUCI, B. A conquista da matemática: livro texto: 7º ano, 6ª
série. São Paulo: FTD, 2008.
GOLBERT, C. S. Jogos matemáticos - Athurma 1: Quantifica e Classifica. Porto
Alegre, Editora Mediação, 1997.
GOMES, Fabrício Pereira Gomes; ARAÚJO, Richard Medeiros. Pesquisa QuantiQualitativa em Administração: Uma Visão Holística do Objeto em Estudo. Anais do
VIII SEMEAD Seminários em Administração Fea-USP. São Paulo/SP, 2005.
Disponível em:
<http://www.ead.fea.usp.br/Semead/8semead/resultado/an_resumo.asp?cod_trabalh
o=152>. Acesso em: 20 de dez. 2010.
GRANDO, R.C. O jogo suas possibilidades metodológicas no processo ensinoaprendizagem da matemática. 1995. 175p. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas,
Campinas.
GROENWALD, C. L. O.; TIMM, U. T. Utilizando curiosidades e jogos
matemáticos em sala de aula. Educação Matemática em Revista - RS. N. 2. 2000
p. 21 - 26.
_______. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula.
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: dez/2010.
HOFFMANN, Vera Kern. Construção dos Números Relativos e de suas
Operações. Educação Matemática em Revista - RS. N. 1. 1999 p. 31 - 36
KISCHIMOTO, T. M. Jogo brinquedo, brincadeira e a educação. 11ª Ed. São
Paulo: Cortez, 1998.
LARA, I. C. M. de. Jogando com a Matemática de 5ª a 8ª série. São Paulo:
Rêspel, 2003.
LIMA, M. C. P.; TINANO, M. T. R. Matemática: 6S/7 A ensino fundamental. Livro 1.
Belo Horizonte: Ed. Educacional, 2008.
MASSAGO, Issao; ANDRADE, Doherty. O Ensino de Matemática: Explorando
Jogos que Utilizam Materiais Didáticos Manipuláveis e Softwares Educacionais.
Fundamental. Disponível em:
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/122-4.pdf>. Acesso em:
03 de dez. 2010.
MORAES, R; GALIAZZI, M. C. Mergulhos discursivos: análise textual discursiva
entendida como processo integrado de aprender, comunicar e interferir em
discursos. In: MORAES, R; GALIAZZI, M.C. Análise textual Discursiva. Ijuí:
Ed.Unijuí,2007.p. 111 – 138.
109
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
MOREIRA, Herivelto; CALEFFE, Luiz Gonzaga. Metodologia da Pesquisa para o
professor pesquisador. 2. ed., Rio de Janeiro: Lamparina, 2008.
MOURA, Manoel Orisovaldo de. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática.
In: A Educação Matemática em Revista, nº 3, 1994.
MÜLLER, Gessilda Cavalheiro. Um Estudo de Intervenção com Jogos Matemáticos.
Projeto – Revista de Educação: Matemática – RS. Porto Alegre, N.3. 2000 p. 2 - 6
OLIVEIRA, Leonardo Davi Gomes de Castro. Mediando o Ensino-Aprendizagem:
A contribuição do Jogo Evoluindo Saúde No Processo de Ensino Aprendizagem dos
Alunos da Educação Básica. Anais do VI Encontro de Pesquisa em Educação da
UFPI. Teresina PI, 2009. Disponível em:
<http://www.ufpi.br/subsiteFiles/ppged/arquivos/files/VI.encontro.2010/GT.1/GT_01_
21.pdf>. Acesso em: 03 de dez. 2010.
PEREIRA, Tânia Michel. Melhoria do Ensino de Ciências e Matemática 6ª Série.
Ijuí: Unijuí Editora, 1990.
ROSSI, Rachel Ugeda Mesquita. Reflexão sobre o ensino dos números inteiros:
uma análise de livros didáticos de Matemática do ensino fundamental. Dissertação
de mestrado em Ensino de Ciências e Matemática. São Paulo SP, 2009.
SANTOS, Scheyla Damian Preve dos Santos. Interação dos jogos educativos,
docente e estudantes em aulas de Matemática sobre números inteiros: análise
com base na teoria da relevância. Dissertação de Mestrado em Ciências da
Linguagem. Tubarão SC, 2005.
SCHAEFFER, Edna Heloisa. O jogo matemático como experiência de diálogo:
análise fenomenológica da percepção de professores de Matemática. Dissertação
de mestrado em Educação para a Ciência e o Ensino da Matemática. Maringá/PR,
2006.
SCHMITT, Tânia. Vermelhos e Azuis- Trabalhando com números inteiros e
expressões lineares. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática.
Recife/PB, 2004. Disponível em:
<http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC15234231100.pdf>.
Acesso em: 10 de mar. 2010.
SELVA, Kelly Regina; CAMARGO, Mariza. O jogo Matemático como Recurso para a
Construção do Conhecimento. Anais do X Encontro Gaúcho de Educação
Matemática. Ijuí/RS, 2009. Disponível em:
<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_4.pdf>.
Acesso em: 03 de dez. 2010.
SILVA, Wellington Leite; SANTIAGO, Rosemary Aparecida. Os jogos Pedagógicos
no Ensino da Matemática. Anais do X Encontro Nacional de Educação
Matemática. Salvador/BA, 2010. Disponível em:
110
<http://www.sbem.com.br/ocs/index.php/xenem/xenem/schedConf/presentations>.
Acesso em: 03 de nov. 2010.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
SMOLE, K.S.; DINIZ, M.I.; MILANI, E. Jogos de matemática do 6° ao 9° ano.
Cadernos do Mathema. Porto Alegre: Artmed 2007.
SOARES, Pércio José. O jogo como recurso didático na apropriação dos
números inteiros: uma experiência de sucesso. Dissertação de mestrado em
Ensino de Matemática. São Paulo/SP, 2008.
SOUZA, Giselle Costa; OLIVEIRA, José Damião Souza. O Uso de Materiais
Manipuláveis e Jogos no Ensino de Matemática. Anais do X Encontro Nacional de
Educação Matemática. Salvador/BA, 2010. Disponível em:
<http://www.sbem.com.br/ocs/index.php/xenem/xenem/schedConf/presentations>.
Acesso em: 03 de nov. 2010.
SOUZA, M. A. T. Matemática em crise: depoimentos de alunos indicam pontos
fracos no ensino da disciplina. Revista do professor. Porto Alegre, v. 22, n. 88, p.
44-45, out/dez. 2006.
STAREPRAVO, A. R. Jogando com a matemática: números e operações. Curitiba:
Aymará, 2009.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
111
ANEXOS
112
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO A – Modelo de ficha de auto-avaliação do jogo
JOGO:....................................................................................................................
Em grupo, discuta e descreva um texto, destacando o que foi mais
significativo e as dificuldades encontradas durante a realização deste jogo.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
113
ANEXO B – Modelo de ficha síntese de observação de turma
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
SÍNTESE DE OBSERVAÇÃO DA TURMA........... NO:.........
1.CONTEÚDO ABORDADO:.........................................................................................................
2.PERÍODO DE DESENVOLVIMENTO DO CONTEÚDO:................................................................
3.CARACTERIZAÇÃO DA TURMA NO PERÍODO DO DESENVOLVIMENTO DO CONTEÚDO:
3.1 DISCIPLINA( COMPORTAMENTO EM SALA DE AULA E RELAÇÃO COM O PROFESSOR E
COLEGAS DURANTE AS EXPLANAÇÕES, TRABALHOS,...)
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
3.2 INTERESSE PELO CONTEÚDO (ATENÇÃO E DEDICAÇÃO DURANTE AS EXPLANAÇÕES,
TRABALHOS,...)
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
114
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
3.3 APRENDIZAGEM.
3.3.1 DIFICULDADES ENCONTRADAS:
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
3.3.2 PERCEPÇÃO DO PROFESSOR A RESPEITO DA APRENDIZAGEM DOS ALUNOS (OS
ALUNOS COMPREENDERAM OS CONTEÚDOS TRABALHADOS?):
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
115
ANEXO C – Modelo do teste 1
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Teste 1
Nome:........................................................................................................................Turma:..........
1)Represente cada situação a seguir, utilizando números positivos ou negativos:
a) Um crédito de 400 reais, numa conta bancária;
b) Um calor escaldante de 41ºC;
c) Um prejuízo de 120 reais numa venda;
d) Uma nevasca à temperatura média de 29ºC abaixo de zero.
2)
Controle Financeiro
Mês
Arrecadação
Despesas
Julho
25
7
Agosto
2
4
Setembro
4
8
Outubro
10
6
Novembro
11
17
Dezembro
28
14
O controle financeiro de um hotel é dado na tabela. Pergunta-se:
SALDO
a) Quais os meses que o hotel teve lucro?
b) E os meses que teve prejuízo?
3) Ana tem 130 reais em um banco e José deve 250 reais a esse mesmo banco. Quem está em melhor
situação?
4) Complete com
a) +9_____-6
b) -3_____ 0
c) -14____+14
ou
:
5) Qual é o melhor saldo bancário: -135 reais ou 0 reais?
6)João tem um saldo de 400 reais. Qual será o saldo se ele:
a) retirar 250 reais?
b) retirar 500 reais?
c) depositar 100 reais?
116
ANEXO D – Modelo do teste 2
Teste 2
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Nome:....................................................................................................................Turma:...............
1- Uma equipe de futebol marcou 18 gols e sofreu 25 gols em certo torneio. Use números inteiros
positivos ou negativos para indicar o saldo de gols dessa equipe.
2- Maria tem um saldo de 120 reais na conta corrente. Qual será o saldo (em números inteiros
positivos ou negativos), se ele:
a) Retirar 250 reais?
b) Depositar 200 reais?
c) Retirar 320 reais?
3- A reta numérica a seguir indica as posições de dois aviões, A e B, em relação à cidade de São Paulo.
Sabendo que cada intervalo corresponde a 60km, expresse essas posições usando números inteiros
positivos ou negativos.
4-Observe a reta numérica a seguir.
Dê a distância de -8 a +2.
5- Na figura seguinte estão escritos alguns números inteiros.
Identifique:
a) O menor número inteiro positivo.
b) O maior número inteiro negativo.
c) O maior número inteiro.
d) O menor número inteiro.
6- Duas equipes da 1ª divisão terminaram um torneio de futebol empatadas em último lugar. Uma
delas deverá ser rebaixada para a 2ª divisão, enquanto a outra permanecerá na divisão em que está.
O regulamento manda que a decisão seja pelo saldo de gols de cada equipe, permanecendo então a
equipe que tiver melhor saldo. Se a equipe A tem -11 de saldo, e a equipe B tem -7 de saldo de gols,
qual delas deverá ser rebaixada?
117
7- Uma florista teve, no sábado, um prejuízo de 12 reais. No domingo, porém, teve um lucro de 29
reais. Esse fim de semana deu lucro ou prejuízo à florista? De quanto?
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
8- O saldo bancário de Sérgio, no dia 2 de junho, era de R$ 7 200,00. No período de 3 a 6 de junho, o
seu extrato mostrava o seguinte movimento:
Usando a adição de números inteiros, dê o saldo bancário de Sérgio no dia 6 de junho.
9- Calcule:
a) -6 -9 -7 +25
b) -9 +17 +3 -20
c) 7 +9 -10 -10 +9
10- Calcule :
a) -9 – (+16) + (+13) – (+20)
b) – (+18) + (-1) – (-19) + (+20)
c) -4 – (+17) - (+4) – (+8)
d) (+11) – (-62) - (-72) – (-81)
118
ANEXO E – Modelo do teste 3
Teste 3
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Nome:............................................................................................Turma: ...............
Calcule as seguintes somas algébricas:
a) -5 + (2 -4) – (7 -1)
b) 2 - (-5 +3) – (5 -9) – 11
c) 30 + (-16 -7 + 10) – ( -6 +3 -8 )
d) -10 – [11 + (-10 -6) + 1]
e) 18 – (14 + 15) – (13 – 16 – 21)
f) 2– (-22) – [29 + (27 -23 -26) -28]
119
ANEXO F – Modelo do teste 4
Teste 4
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Nome:................................................................................................Turma:..................
1- Calcule:
a)
(-9).(-6)=
b) (-13).(-1).(-2)=
c) (-4).(+2).(-1).(+2).(-3)=
2- Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras as
igualdades:
a) x . (+9) = (+9). (-5)
b) x . (-6) = +30
c) (-8). x = - 40
3- Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:
a) -81. (+1) -40.(-4)=
b) 7.(-3) -9.(-6) + 11.(-2)
b) (-9).(+4) – (+2).(-11)
d) (-1 + 4).(-3) – [ 12 – (-6-1).(-3) ]
c) (+8 -10 + 3 – 2). ( -6 + 3) -8 . (-5 + 4 -3 +1)
120
ANEXO G – Modelo do teste 5
Teste 5
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Nome:..................................................................................................Turma:..............
1- Calcule:
a)
(-49):(-7)=
b) (-13).(-2).(-1)=
c) (-2).(+5).(-2).(+1).(-4)=
2- Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras as
igualdades:
a) x . (-6) = -54
b) (-81): x = +9
3- Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:
a) 8.(-3) - (+9) : (-3) - (-11) . ( +2)
d) (+1 -10 + 2 - 2).( -7 + 3) -8 : (-2 + 5 -4 +2)
b) (-7 + 3).(-3) – [ 10 – (-5 -2).(-3) ]
e) (+9 -1 + 7 – 9) : ( -6 + 3) -15 : (-4 + 4 -9 +4)
c) (-17 + 3):(-7) – [ -10 - (-8 -2) : (-5)]
121
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
4) No quadro, há algumas divisões:
(-90) : (-10)
(+48 ) : (-16)
(-100) : (+25)
(-200) : (-50)
Quanto dá a soma dos resultados dessas divisões?
122
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO H – Projeto Piloto
1ª aula
A 1ª aula, de 3 períodos de 50 minutos, ocorreu no dia 29 de março de 2010.
A aula 1 iniciou com a solicitação do autor de que a turma se organizasse em
grupos de 4 pessoas para jogarem o Roletrando. A euforia foi grande, pois não
estavam acostumados a jogar nas aulas de Matemática. Os objetivos do jogo foram:
introduzir a ideia de número negativo; destacar a importância dessa nova categoria
de números e fazer comparações entre números inteiros. Cada grupo recebeu os
roletrandos e os canudos do kit no 1. Foi combinado que os canudos verdes
significariam ganhar pontos e os laranjas, dever pontos. Cada integrante do grupo
pegaria 9 pedaços de canudos verdes para iniciar o jogo e jogaria primeiramente o
roletrando de números e após o de sinais. Se nos dois roletrandos desse +5, por
exemplo, significaria que o aluno ganharia 5 pontos e pegaria 5 canudos verdes. Se
nos dois roletrandos desse -4, por exemplo, significaria que o aluno perderia 4
pontos; portanto, deveria pagar para a mesa 4 canudos verdes; porém, se não
tivesse canudos para pagar, deveria pegar 4 canudos laranjas, o que indicaria a
dívida destes pontos para a mesa. O jogo encerrou com o término dos canudos. O
vencedor do grupo foi o aluno que apresentou mais canudos verdes ou, então,
menos canudos laranjas. O jogo foi repetido mais uma vez.
Em seguida, o autor fez, com os alunos, uma nova versão do jogo, com o
mesmo material do kit no 1 e com a mesma disposição dos grupos; porém, foi
combinado que o aluno iniciaria o jogo sem nenhum canudo e, ao realizar as
jogadas com os roletrandos, o aluno pegaria da mesa os canudos correspondentes,
sem fazer acertos. Ao final de 6 jogadas, seria feito o acerto final. A variação foi
jogada duas vezes.
Logo após, realizou-se mais uma versão do jogo, sendo utilizados apenas os
roletrandos e a ficha do kit no 1. Após 8 jogadas, cada aluno registrou os cálculos e
os acertos na ficha, conforme ilustra o exemplo dos alunos F14 e F3, da Figura 49.
Venceu o aluno com mais pontos positivos.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
123
Figura 49 - Registro dos alunos F14 e F13
Fonte: Alunos F14 e F13.
2ª aula
A 2ª aula, de 2 períodos de 50 minutos, ocorreu em 31 de março de 2011.
Iniciou-se a aula com a repetição do jogo da aula anterior, pois o registro é
importante para a construção de futuras operações com o conjunto Z. Os registros
possibilitaram explorar a comparação entre os números inteiros, pois solicitou-se aos
grupos que escrevessem no caderno a colocação final de cada integrante. É notável
como muitos alunos conseguiram operar com os números inteiros e compará-los.
Após a realização do último jogo do Kit n o 1, o autor entregou a cada grupo
uma folha de autoavaliação (ANEXO A), para anotar as dificuldades e os conteúdos
aprendidos com os jogos, de acordo com o exemplo mostrado na Figura 50, de
autoria do grupo constituído pelos alunos F4, F10, F13 e F6.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
124
Figura 50 - Exemplo de registro da primeira autoavaliação dos alunos F4, F10, F13 e F6
Fonte: Alunos F4, F10, F13 e F6.
Após a auto-avaliação, foi distribuída entre os alunos uma folha fotocopiada
com exercícios a serem resolvidos, conforme a Figura 51, que envolvem questões e
situações levantadas com base nos jogos do Roletrando. Os exercícios foram
corrigidos no final da aula.
125
Exercícios envolvendo o Roletrando
1)Cristiano, Luciano e Roberto jogaram o “Roletrandro” e obtiveram os seguintes pontos
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
respectivamente: -7 +0 +4 -5 +2 -1; +2 -6 +7 -1 +4 +2; -7 -4 -0 +5 -3 -2. Pergunta-se:
a)Quem venceu este jogo? Por quê?
b)Quem ficou em terceiro lugar? Por quê?
2) Quatro estudantes jogaram o “Roletrando”, sendo que cada um realizou 5 jogadas. Os
pontos foram os seguintes:
Aluno 1: +1 -6 +8 -6 +3;
Aluno 3: -3 +6 -4 +5 -3;
Aluno 2: -4 -1 -3 -3 -1;
Aluno 4: +2 +2 +0 +5 +3.
Pergunta-se:
a)Quem ficou em 2º lugar?
c)Quem ficou em 1º lugar? Por quê?
3) Cinco alunos jogaram “Roletrando”, sendo que cada um realizou 6 jogadas. Os pontos
foram os seguintes:
Aluno 1 = -5 -4 +6 +6 +3
Aluno 3 = -2 +1 -5 +2 -2
Aluno 2 = +5 -7 -8 +3 +2
Aluno 4 = +4 +1 +3 +6 +1
Aluno 5 = -4 -2 -6 -2 -5
Pergunta-se:
a)Quem ficou em terceiro lugar?
b)Quem ficou em 1º lugar?
Figura 51 - Reprodução da folha de exercícios sobre o Roletrando
Fonte: O autor.
3ª aula
A 3ª aula, de três períodos, ocorreu em 5 de abril de 2011. A aula foi iniciada,
com o autor questionando aos alunos se é possível representar todas as situações
cotidianas apenas com números maiores que zero (positivos), considerando que, em
várias situações dos jogos, foram utilizados números que representavam dívidas,
126
representadas com números negativos (menores que zero). Em seguida, foram
apresentados exemplos de situações com números negativos, como temperaturas
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
abaixo de zero, saldos bancários, datas de nascimento, profundidades, etc, que
precisam ser representadas por um outro conjunto de números, isto é, números
positivos e negativos.
Compreendida a necessidade de introduzir os números negativos no nosso
dia a dia, os alunos representaram com números positivos e negativos os seguintes
exercícios, que aparecem na Figura 52, elaborados pelo autor e disponibilizados no
quadro.
127
Exercícios
1-Usando números inteiros positivos ou negativos, indique:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
a) 7 pontos perdidos por uma equipe em um torneio.
b) 5 andares abaixo do térreo.
c) Um depósito de 400 reais em conta corrente.
d) Uma altitude de 1200 m.
e) Uma temperatura de 35 ºC acima de zero.
f) Um saldo de 16 gols a favor.
g) Uma profundidade de 3000m.
2- Uma equipe de futebol marcou 15 gols e sofreu 23 gols em certo torneio.
Use números inteiros positivos ou negativos para indicar o saldo de gols dessa
equipe.
3-O Monte Aconcágua tem 6959 m de altitude. Use números inteiros
positivos ou negativos para indicar essa altura.
4-Fábio tem um saldo de 500 reais na conta corrente. Qual será o saldo (em
números inteiros positivos ou negativos), se ele:
a)Retirar 250 reais?
b)Depositar 200 reais?
c)Depositar 200 reais?
d)Retirar 420 reais?
5-Tomando como referência o nível do mar, use números inteiros positivos ou
negativos para indicar os valores expressos nas frases a seguir:
a) Uma mergulhadora, usando equipamento apropriado, pode descer 500
metros de profundidade.
b) Um avião bastante potente atingir 15 000 metros de altura.
c) Existem submarinos de resgate que atingem a profundidade de 6000m.
Figura 52 - Exercícios sobre a representação dos números inteiros
Fonte: O autor.
128
A correção dos exercícios revelou um excelente desempenho dos alunos,
principalmente o exercício 5, que exigia noções de adição e de subtração de inteiros,
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
foi resolvido corretamente pela maioria dos alunos.
Após a correção, apresentou-se um texto com um pequeno histórico dos
números inteiros, resumido a seguir:
No século VII, os matemáticos hindus já representavam dívidas por meio de
quantidades negativas, mas se recusavam a chamá-las de números.
A questão da subtração de um número menor por um número maior já havia
surgido em muitos problemas. O resultado dava um número menor que
zero. Esses números menores que zero eram chamados por alguns de
números falsos; por outros, de números absurdos. Existem muitas histórias
a respeito da representação do número negativo pelo sinal menos. Uma
delas diz que, no Renascimento, século XVI, o comércio se desenvolveu
bastante, e os comerciantes começaram a inventar formas de representar o
estoque de suas mercadorias. A princípio, usavam a palavra mions (menos)
para representar a falta de mercadoria e a palavra plus (mais) para
representar o excesso.
Com o tempo, a palavra mions foi abreviada para m e, depois, substituída
por um traço (-). Da mesma forma, a palavra plus foi abreviada para p e,
depois, substituída por uma cruz (+). Esses símbolos auxiliaram os
matemáticos na criação dos números com sinais. O sinal (-) passou a
representar os números negativos, e o sinal mais (+), os números positivos
(LIMA; TINANO, 2008, p. 5).
Na mesma aula, foi apresentado o Conjunto dos Números Inteiros, na qual foi
relatado pelo autor que, com a descoberta do números negativos, os matemáticos
criaram um novo conjunto numérico, denominado Conjunto dos Números Inteiros.
Para construir esse conjunto, acrescentaram os números negativos ao conjunto dos
números naturais formado pelo zero e pelos números inteiros positivos, já estudados
na 5ª série.
No quadro, conforme a Figura 53, foi feito o registro do relato e solicitado aos
alunos que o copiassem.
129
Conjunto dos Números Inteiros
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
O conjunto dos Números Inteiros é o conjunto formado pelos números inteiros
positivos, os números inteiros negativos e o zero, que não é considerado nem positivo,
nem negativo. O símbolo utilizado para representar esse conjunto é a letra Z.
Z= {..., -5,-4, -3, -2,-1, 0, +1, +2, + 3, +4,+5...}
Figura 53 - Texto de apresentação do conjunto dos números inteiros
Fonte: O autor.
A seguir, fez-se a representação geométrica do conjunto dos números
naturais (N), lembrando que, na 5ª série, já se representou esse conjunto através de
uma reta numérica, registrada no quadro e representada na Figura 54.
Figura 54 - Representação dos números naturais no quadro
Fonte: O autor.
Também foi relembrando que o ponto de origem O representa o zero, que na
direita desse ponto estão colocados os números naturais e que os traços que
representam os números naturais estão todos à mesma distância um do outro.
Explicou-se, ainda, que o Conjunto dos Números Inteiros também pode ser
representado geometricamente, pois, como o conjunto Z, é uma ampliação do
conjunto N, basta ampliar a reta numérica natural, pois os números naturais
representam os números inteiros positivos.
Em seguida, cada aluno recebeu uma reta numérica impressa, que aparece
na Figura 17, que foi completada conforme as seguintes orientações:
a) usando a mesma unidade de medida usada para marcar os pontos
positivos, marque com a régua os pontos consecutivos à esquerda do zero,
tomando-o como origem;
130
b) A seta à direita indica o sentido positivo da reta. Assim, o sentido oposto é
o negativo. Então, para indicar os números negativos, você deve caminhar sobre a
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
reta para a esquerda, a partir do zero. Indique os números negativos.
Analisadas as retas construídas, teceram-se algumas considerações e foram
feitas algumas anotações no caderno, tais como: “quanto mais caminharmos para a
direita nessa reta, maior será o número e que quanto mais caminharmos para a
esquerda nessa reta, menor será o número”.
Em seguida, lhes foi solicitado que colocassem letras maiúsculas acima de
cada número na reta construída, para a indicação do ponto. As retas ficaram assim
construídas, conforme ilustra a Figura 55, de autoria da aluna F7.
Figura 55 - Representação da reta numérica da aluna F7
Fonte: Aluna F7.
Também se ressaltou que, na reta numérica, os pontos são representados por
letras maiúsculas e cada número inteiro pode ser associado a um determinado ponto
da reta. Em seguida, o autor solicitou que a reta construída fosse colada no caderno.
4a aula
Essa aula, de dois períodos, ocorreu no dia 7 de abril de 2011. Inicialmente, a
supervisora da escola realizou a eleição para a escolha do professor(a)
conselheiro(a) da turma, que levou um período.
Em seguida, os alunos resolveram exercícios sobre reta numérica e a
comparação entre números inteiros. Cada aluno recebeu duas folhas fotocopiadas
com os exercícios para serem resolvidos, conforme a Figura 56.
131
1- A reta numérica a seguir indica as posições de dois aviões, A e B, em relação à cidade de
São Paulo. Sabendo que cada intervalo corresponde a 50km, expresse essas posições
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
usando números inteiros positivos ou negativos.
2- Suponha que a figura seguinte represente uma rodovia ligando várias cidades de um
mesmo estado e cada intervalo seja uma unidade para medir distâncias.
Usando um número inteiro e considerando sempre a capital como o referencial, dê a posição:
a) da cidade A.
b) da cidade B.
c) da cidade C.
d) da cidade D.
e) da cidade E.
3-Observe a reta numérica a seguir.
Dê a distância de:
a) +5 a 0.
e) -1 a +1
b) -8 a 0.
f) -3 a -1
c) -3 a 0.
g) -2 a + 2
d) +7 a 0.
h) -5 a +1
4- Escreva:
a) Na ordem crescente os seguintes números inteiros:
-70
+20
0
-10
+80
-100
b) na ordem decrescente os seguintes números inteiros:
+1
-160
-500
+7
-100
+12
-300
5- Usando os símbolos > e <, compare os números inteiros:
a) 0 e +7
b) +11 e 0
c) 0 e -9
d) -13 e 0
e) +2 e -19
f)
-30 e +6
g) +7 e +20
132
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
h) -11 e -30
i)
-1 e +5
j)
-20 e -3
6- Na figura seguinte estão escritos alguns números inteiros.
Identifique:
a) O menor número inteiro positivo.
b) O maior número inteiro negativo.
c) O maior número inteiro.
d) O menor número inteiro.
7- Duas equipes da 1ª divisão terminaram um torneio de futebol empatadas em último lugar.
Uma delas deverá ser rebaixada para a 2ª divisão, enquanto a outra permanecerá na divisão
em que está. O regulamento manda que a decisão seja pelo saldo de gols de cada equipe,
permanecendo então a equipe que tiver melhor saldo. Se a equipe A tem -15 de saldo, e a
equipe B tem -8 de saldo de gols, qual delas deverá ser rebaixada?
8- Em um torneio, os times de futebol Alegre e Bonito terminaram empatados na
classificação. De acordo com o regulamento, prosseguirá na fase seguinte do torneio a
equipe com melhor saldo de gols.
a) Qual o saldo de gols do time Alegre?
b) Qual o saldo de gols do time Bonito?
c) Qual das duas equipes passará para a fase seguinte do torneio?
Figura 56 - Reprodução das folhas de exercícios impressos sobre comparação e reta numérica
Fonte: A Conquista da Matemática- 7º ano - Giovanni Jr; Castrucci (2009, p. 37, 40, 44 e 45).
133
Como não foi possível resolver todos os exercícios em aula, foram concluídos
em casa.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
5ª aula
Essa aula, de três períodos, ocorreu no dia 12 de abril de 2011. Foi iniciada
com a correção no quadro dos exercícios das folhas impressas da aula anterior.
Vale destacar a facilidade dos alunos para resolverem os exercícios envolvendo a
comparação dos inteiros.
Em seguida, os alunos realizaram, individualmente, o primeiro teste deste
estudo, conforme ANEXO C.
Concluído o teste, os mesmos foram agrupados conforme a composição em
jogos já realizados. Cada grupo recebeu duas folhas laranja e duas folhas verdes
para a confecção de 30 quadrados laranja de aproximadamente 3cm de lado com a
inscrição dos números -4, -5, -6, -3, -2; e 30 quadrados verdes também, de 3 cm de
lado, com a inscrição dos números +4, +5, +6, +3 e +2, para serem utilizados no kit
no 2 do jogo Roletrando dos Inteiros. Os alunos se ocuparam com a confecção dos
quadrados até o término do período.
6ª aula
Esta aula, de dois períodos, ocorreu no dia 14 de abril de 2011. No início da
aula 6, foi solicitado aos alunos que se organizassem em grupos, obedecendo à
mesma composição de 4 elementos dos outros jogos, para jogarem o Roletrando
dos Inteiros. O objetivo da atividade, recebida com euforia pelos alunos, era
compreender a ideia de oposto e operar com a adição e a subtração de números
inteiros, utilizando a ideia do “fica“ ou “troca”. Cada grupo recebeu o kit no 2, porém
foram utilizados neste jogo apenas os roletrandos e os quadrados confeccionados
por eles. Foi combinado que os integrantes de cada grupo começassem girando o
roletrando dos números e, em seguida, o roletrando dos sinais que indicava se o
quadrado a ser apanhado na mesa ficaria ou seria trocado (de sinal trocado). O sinal
“+” do roletrando dos sinais indicava ficar com o número dado no roletrando dos
números e pegar a ficha correspondente. Já o sinal “–” indicava trocar o sinal do
número dado e pegar a ficha correspondente. O jogo terminou após cada um dos
134
integrantes fazer 6 jogadas e o acerto dos pontos dos quadrados. Foi vitorioso o
aluno que obteve mais pontos positivos ou menos negativos. Esse jogo foi repetido
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
mais uma vez.
Em seguida, foi realizada uma nova versão do jogo. Foram necessários os
mesmos roletrandos do jogo anterior e uma ficha, já mostrada na Figura 8, para
cada integrante. Foi combinado com os jogadores que o roletrando dos sinais teria a
mesma função do jogo anterior, ou seja, indicaria se o sinal dos pontos obtidos no
roletrando dos números ficaria ou seria trocado. Cada aluno realizou 6 jogadas e
anotou na ficha recebida os pontos obtidos, conforme o registro das alunas F10 e
F9, apresentado na Figura 57. Venceu o aluno que obteve mais pontos ganhos no
acerto final. Este jogo também foi repetido mais uma vez.
Figura 57 - Registro das alunas F10 e F9
Fonte: Alunas F10 e F9.
135
Após o término das rodadas, o autor explicou a ideia de números opostos,
dizendo que dois números inteiros são opostos, quando estão à mesma distância do
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
zero, porém em lados contrários numa reta numérica, e comentou que podemos
representar o oposto de um número, escrevendo o sinal “-“, antes desse número, o
que levou os alunos a associarem essa representação à ideia do “troca”, explorado
no jogo Roletrando dos Inteiros.
Finalizando a aula, solicitou-se, uma avaliação dos jogos realizados,
pontuando o que foi mais significativo, bem como as dificuldades encontradas. Um
exemplo deste registro pode ser observado na Figura 58.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
136
Figura 58 - Registro da autoavaliação do grupo constituído pelos alunos F7, F19, F22 e F30
Fonte: Alunos F7, F19, F22 e F30.
Paralelamente ao projeto desenvolvido com a turma 61, a turma 63 trabalhou
da seguinte forma:
1ª aula
A 1ª aula, de 2 períodos de 1 hora, ocorreu no dia 28 de março de 2010.
137
O professor PN iniciou a aula questionando aos alunos se é possível
representar todas as situações cotidianas apenas com números maiores que zero
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
(positivos), pois, em alguns casos, como, por exemplo, dívidas, temperaturas abaixo
de zero, saldos bancários, datas de nascimento, profundidades, etc. precisam ser
representadas por um outro conjunto de números, números positivos e negativos.
Em seguida, o professor citou exemplos de cidades gaúchas que, no inverno,
atingem temperaturas abaixo de zero; o caso do cheque especial em que o banco
disponibiliza dinheiro na conta do cliente para ser usado em caso de emergência;
andares subterrâneos de alguns prédios; data de nascimento de algumas
personalidades conhecidas da história.
Após as discussões e a conclusão da necessidade dos números negativos no
nosso dia a dia, o professor passou no quadro os mesmos exercícios trabalhados na
turma 61 e registrados na Figura 52, para serem representados como números
positivos e negativos. A resolução dos exercícios foi até o final da aula.
2ª aula
A 2ª aula, de 2 períodos de 1 hora, ocorreu no dia 30 de março de 2010.
Inicialmente, o professor PN fez a correção dos exercícios no quadro. Em seguida,
devido às dificuldades dos alunos na questão 5 da atividade da aula anterior, foram
passadas mais questões no quadro, conforme a Figura 59, para os alunos
resolverem.
138
Exercícios:
1) Jorge tem um saldo de 400 reais na conta corrente. Qual será o saldo (em
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
números inteiros positivos ou negativos), se ele:
a)Retirar 250 reais?
b)Depositar 500 reais?
c)Depositar 100 reais?
d)Retirar 420 reais?
2) João tem um saldo de 150 reais na conta corrente. Qual será o saldo (em
números inteiros positivos ou negativos), se ele:
a)Retirar 250 reais?
b)Depositar 200 reais?
c)Depositar 100 reais?
d)Retirar 300 reais?
Figura 59 - Exercícios de esclarecimentos
Fonte: O autor e o professor PN.
Após a resolução e a correção dos exercícios, fez-se um relato histórico
idêntico ao apresentado à turma 61.
Nesta mesma aula, também foi apresentado o Conjunto dos Números
Inteiros. Relatou-se que, com a descoberta dos números negativos, os matemáticos
criaram um novo conjunto numérico, chamado Conjunto dos Números Inteiros e que,
para construir esse conjunto, acrescentaram os números negativos ao conjunto dos
números naturais, que é o conjunto formado pelo zero e pelos números inteiros
positivos, já estudados na 5ª série.
Assim como na turma 61, conforme aparece na Figura 53, fez-se registro do
relato no quadro.
139
3ª aula
A 3ª aula, de 2 períodos de 1 hora, ocorreu no dia 04 de abril de 2010.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Inicialmente, o professor PN explica a representação geométrica do conjunto dos
números naturais (N) e relembra que, na 5ª série, eles já haviam representado esse
conjunto através de uma reta numérica. O professor, para mostrar a representação,
desenhou-a no quadro, conforme registro na Figura 54.
Também foi relembrado que o ponto de origem O representa o zero; que os
números naturais estão colocados à direita do zero e que a distância entre os traços
que representam os números naturais é a mesma.
Em seguida, foi explicado que o Conjunto dos Números Inteiros também pode
ser representado geometricamente, pois, sendo o conjunto Z uma ampliação do
conjunto N, basta ampliar a reta numérica natural, pois os números naturais
representam os números inteiros positivos.
Após a revisão, cada aluno recebeu uma reta numérica impressa, a mesma
que aparece na Figura 54, que foi completada conforme as seguintes orientações:
a) usando a mesma unidade de medida que usamos para marcar os pontos
positivos, marque com a régua os pontos consecutivos à esquerda do zero,
tomando-o como origem;
b) a seta à direita indica o sentido positivo da reta. Assim, o sentido oposto é
o negativo. Então, para indicar os números negativos, você deve caminhar sobre a
reta para a esquerda, a partir do zero, o número de unidades que ele representa.
Indique os números negativos.
Após análise das retas construídas e feitas algumas considerações, foram
anotadas informações no caderno, como, por exemplo: quanto mais caminharmos
para a direita nessa reta, maior será o número; quanto mais caminharmos para a
esquerda nessa reta, menor será o número.
Em seguida, o professor solicitou que os alunos colocassem letras maiúsculas
acima de cada número na reta construída, a fim de indicar o ponto. A Figura 60, de
autoria do aluno S7, é uma amostra de como ficaram as retas.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
140
Figura 60 - Representação da reta do aluno S7
Fonte: Aluno S7.
Também se ressaltou que, na reta numérica, os pontos são representados por
letras maiúsculas e cada número inteiro pode ser associado a um determinado ponto
da reta. Logo após, o professor solicitou que a reta construída fosse colada no
caderno.
Em seguida, conforme Figura 61, cada aluno recebeu uma folha com
exercícios sobre reta numérica, que após resolvidos, foram corrigidos pelo professor
e pelos alunos no final da aula.
141
1- A reta numérica a seguir indica as posições de dois aviões, A e B, em relação à cidade de
São Paulo. Sabendo que cada intervalo corresponde a 50km, expresse essas posições
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
usando números inteiros positivos ou negativos.
2- Suponha que a figura seguinte represente uma rodovia ligando várias cidades de um
mesmo estado e cada intervalo seja uma unidade para medir distâncias.
Usando um número inteiro e considerando sempre a capital como o referencial, dê a posição:
a) da cidade A.
b) da cidade B.
c) da cidade C.
d) da cidade D.
e) da cidade E.
3-Observe a reta numérica a seguir.
Dê a distância de:
a) +5 a 0.
e) -1 a +1
b) -8 a 0.
f) -3 a -1
c) -3 a 0.
g) -2 a + 2
d) +7 a 0.
h) -5 a +1
4- A reta numérica a seguir indica as posições de dois aviões, A e B, em relação à cidade de
São Paulo. Sabendo que cada intervalo corresponde a 70km, expresse essas posições
usando números inteiros positivos ou negativos.
5- Observe a reta numérica a seguir.
Dê a distância de:
a) +4 a 0.
c) -1 a +7
b) -9 a 0.
d) -9 a -3
Figura 61 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre reta numérica
Fonte: A Conquista da Matemática- 7º ano - Giovanni Jr; Castrucci (2009, p.37 e 40).
142
4ª aula
A 4ª aula, de 2 períodos de 1 hora, ocorreu no dia 06 de abril de 2011. A aula
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
iniciou com a definição de números inteiros opostos a partir do desenho de uma reta
numérica no quadro, mostrando que a distância de -3 ao zero é 3 e a distância de +3
ao zero também é 3, ou seja, que os números +3 e -3 estão associados a pontos
que estão à mesma distância do zero, mas situados em lados opostos na reta. Em
seguida, comentou-se que dois números inteiros que estão nessa condição são
chamados números inteiros opostos.
Em seguida, também é definido pelo professor PN, que a distância de um
número até o zero, é chamada de módulo desse número.
Logo após, o professor escreveu no quadro as definições transmitidas e
alguns exercícios sobre módulo e números inteiros opostos, para que os alunos os
copiassem e os resolvessem, conforme ilustra a Figura 62.
143
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Números inteiros opostos
Os números +3 e -3 estão à mesma distancia do zero, porém, em lados opostos,
na reta. Por isso, são chamados de números inteiros opostos.
Exemplos:
+8 e -8 são números opostos: +8 é o oposto de -8 e vice-versa
+4 e -4 são números opostos: +4 é o oposto de -4 e vice-versa.
Módulo de um número inteiro
Chama-se módulo de um número inteiro a distância desse número até o zero,
na reta numérica. Representa-se o módulo por: I I
Exemplos:
O módulo de +6 é 6, e indica-se:I+6 I = 6
O módulo de -6 é 6, e indica-se por I -6 I = 6
Exercícios:
1- Qual é o número oposto de -27?
2- Um número inteiro é expresso por 36 : 62 + 70. Qual é o oposto desse
número?
3- Desenhe uma reta numérica e destaque o oposto do número -6.
4- Determine o módulo dos seguintes números inteiros:
a) +33
c) -28
e) 0
b) -200
d) +300
f) -15
Figura 62 - Números inteiros opostos
Fonte: O autor e o professor PN.
Após a realização das atividades, explicou-se a comparação entre números
inteiros, fazendo o seguinte registro no quadro, conforme a Figura 63.
144
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Comparação de números inteiros
+6 é maior que +3, porque está a uma distância maior do zero;
+4 é maior que 0, porque qualquer número inteiro positivo é maior que o
zero;
+6 é maior que -9, porque qualquer número inteiro positivo é maior que um
número inteiro negativo;
0 é maior que -2, porque o zero é maior que qualquer número inteiro negativo;
-4 é maior que o -7, porque entre dois números negativos, o maior é aquele que
está a uma distância menor do zero.
Regra geral: Entre dois números inteiros quaisquer, o maior é aquele que está
mais à direita na reta numérica.
Figura 63 - Comparação dos números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
Após a explicação, solicitou-se aos alunos que copiassem os registros do
quadro e comentou-se que se pode associar os números inteiros a dívidas e
créditos, destacando que os números positivos representam créditos e os negativos
débitos, para facilitar o entendimento da comparação entre os números inteiros.
Em seguida, foram feitos exercícios impressos, conforme Figura 64, sobre a
comparação entre números inteiros.
145
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
1- Usando os símbolos > e <, compare os números inteiros:
k) 0 e +7
b) +11 e 0
f)
g) +7 e + 20
-30 e +6
c) 0 e -9
h) -11 e -30
d) -13 e 0
i) -1 e +5
e) +2 e -19
j) -20 e -3
2- Na figura seguinte estão escritos alguns números inteiros.
Identifique:
e) O menor número inteiro positivo.
f)
O maior número inteiro negativo.
g) O maior número inteiro.
h) O menor número inteiro.
3- Escreva:
a) Na ordem crescente os seguintes números inteiros:
-70
+20
0
-10
+80
-100
b) na ordem decrescente os seguintes números inteiros:
+1
-160
-500
+7
-100
+12
-300
4- Duas equipes da 1ª divisão terminaram um torneio de futebol empatadas em último lugar.
Uma delas deverá ser rebaixada para a 2ª divisão, enquanto a outra permanecerá na divisão
em que está. O regulamento manda que a decisão seja pelo saldo de gols de cada equipe,
permanecendo então a equipe que tiver melhor saldo. Se a equipe A tem -15 de saldo, e a
equipe B tem -8 de saldo de gols, qual delas deverá ser rebaixada?
5- Em um torneio, os times de futebol Alegre e Bonito terminaram empatados na
classificação. De acordo com o regulamento, prosseguirá na fase seguinte do torneio a
equipe com melhor saldo de gols.
a)Qual o saldo de gols do time Alegre e do time Bonito?
b)Qual das duas equipes passará para a fase seguinte do torneio?
Figura 64 - Reprodução da folha de exercícios impressos sobre comparação de números inteiros
Fonte: A Conquista da Matemática- 7º ano - Giovanni Jr; Castrucci (2009, p. 44 e 45).
146
5ª aula
A 5ª aula, de 2 períodos de 1 hora, ocorreu no dia 11 de abril de 2011.
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Inicialmente, procedeu-se à correção dos exercícios realizados na aula anterior, no
quadro.
Em seguida, realizou-se o primeiro teste individual deste estudo, conforme
ANEXO C.
Nesta mesma aula, também introduziu-se a adição de números inteiros
através da seguinte explicação apresentada no quadro e registrada na Figura 65.
Adição de números inteiros
1º caso: (+2) + (+3) = +5
(-2) + (-3) = -5
Conclusão: Somam-se os módulos e conserva-se o sinal
2º caso: (+1) +(-3) = -2
(-6) + (+8)= +2
Conclusão: Subtraem-se os módulos, sendo que o sinal do resultado será do
número de maior módulo.
Figura 65 - Adição de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
Em seguida, solicitou-se aos alunos que copiassem no caderno as
observações registradas no quadro e que realizassem os exercícios impressos,
conforme Figura 66, sobre adição de números inteiros. A resolução das questões foi
até o final do período. Verificou-se que os alunos estavam com muita dificuldade de
interpretação e de decisão na escolha do sinal do resultado. A todo instante o
professor era chamado para esclarecer as dúvidas.
147
1- A Escola do Bairro organizou uma Olimpíada de Matemática para os alunos do 7ª ano. Os
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
grupos da classe de Davi fizeram a seguinte pontuação nas duas fases da olimpíada:
a) Usando a adição de números inteiros, calcule quantos pontos cada grupo obteve
nessa olimpíada.
b) Analisando a pontuação total dos grupos, indique os três primeiros colocados nessa
classe.
2-Calcule as adições:
a) (+20) + (-18)
f) (+5) + (+6) + (+7)
b) (-30) + (+21)
g) (-8) + (-3) + (-2)
c) (-81) + (-17)
h) (-9) + (+2) +(-10)
d) (+37) + (+52)
i) (-6) + (+4) + (-2)
e) (-15) + (+22) + (-6)
j) (-19) + (+8) + (-3)
3- Na figura seguinte que número inteiro deve substituir cada letra?
4- O saldo bancário de Sérgio, no dia 2 de junho, era de R$ 7 200,00. No período de 3 a 6 de
junho, o seu extrato mostrava o seguinte movimento:
Usando a adição de números inteiros, dê o saldo bancário de Sérgio no dia 6 de junho.
Figura 66 - Exercícios impressos sobre adição de números inteiros
Fonte: A Conquista da Matemática- 7º ano - Giovanni Jr; Castrucci (2009, p. 53 e 54).
148
6ª aula
A 6ª aula, de 2 períodos de 1 hora, ocorreu no dia 13 de abril de 2011. A aula
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
iniciou com a repetição da explicação relativa à adição de números inteiros, em
virtude de dificuldades de compreensão constatadas, principalmente em casos de
mais de duas parcelas. Em seguida, foram passados no quadro, conforme a Figura
67, os seguintes exercícios:
Calcule as adições:
a) (+24) + (-12)
f) (+5) + (+6) + (+7) + (-4)
b) (-31) + (+21)
g) (-8) + (-3) + (-2)
c) (-80) + (-18)
h) (-9) + (+2) +(-10)+ (-6)
d) (+27) + (+32)
i) (-8) + (+5) + (-2) + (-3)
e) (-15) + (+32) + (-8)
j) (-29) + (+9) + (-6) + (-1)
Figura 67 - Exercícios de reforço sobre a adição de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
Diante da evidência de dificuldades dos alunos para a resolução de questões
com adição de números inteiros, foi apresentada uma forma simplificada de cálculo
com adições. Ou seja, o professor passa no quadro um exemplo, conforme a Figura
68, e explica que, para resolver de forma simples a questão, basta eliminar o sinal +
da adição e os parênteses das parcelas, escrevendo apenas essas parcelas, uma
seguida da outra, cada qual com o seu próprio sinal e fazer a soma algébrica da
esquerda para a direita, da seguinte forma:
Calcule:
(+5) + (-4) + (+3) + (-2) =
+5
-4
+1
+4
+3
-2 =
+3
-2 =
-2 = + 2
Figura 68 - Novo exemplo de resolução de adição de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
149
Em seguida, solicitou-se aos alunos que copiassem o exemplo acima.
Também foram passados no quadro os seguintes exercícios que constam na Figura
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
69.
150
Exercícios:
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
1-Calcule as adições:
a) (+34) + (-16)
f) (+6) + (+8) + (+9) + (-13)
b) (-30) + (+25)
g) (-18) + (-23) + (-22)
c) (-80) + (-18)
h) (-6) + (+8) +(-13)+ (-5)
d) (+37) + (+12)
i) (-8) + (+5) + (-2) + (-3)
e) (-25) + (+35) + (-9)
j) (-29) + (+9) + (-6) + (-1)
2- Calcule:
a) 6 + 17
b) -8 -3
c) -9 + 12
d) -4 -4
e) 9 – 23
f) -50 -12
g) 30 + 14
h) -4 + 30
i) 20 -60
3- Calcule:
a) 6 + 20 -5
b) -16 + 14 + 2
c) 26 – 16 -10
d) -24 -20 -40
e) 25 + 18 +62
f) -55 + 60 +40 -69
g) 94 -75 -80 +86
h) -34 -96 -74 +200
i) -82 +17 +24 +20
j) 66 +72 -101 -103
Figura 69 - Exercícios gerais sobre adição de números inteiros
Fonte: O autor e o professor PN.
151
A resolução de exercícios foi até o final da aula. Solicitou-se que fossem
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
concluídos em casa.
152
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO I – Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Pais dos
Alunos da Escola Municipal General David Canabarro
Termo de consentimento informado
Esta pesquisa sobre aprendizagem em Matemática no Ensino Fundamental,
Séries Finais – diurno - tem por objetivo verificar os processos de aprendizagem em
Matemática referente ao conteúdo dos Números Inteiros: noção, adição, subtração,
multiplicação e divisão, através da utilização de jogos do Roletrando dos Inteiros.
A participação nesta pesquisa não oferece risco ou prejuízo à escola nem aos
alunos envolvidos na pesquisa.
Os dados e resultados individuais desta pesquisa estarão sempre sob sigilo
ético, não sendo mencionados os nomes dos participantes em nenhuma
apresentação oral ou trabalho escrito que venha a ser publicado.
O pesquisador responsável por esta pesquisa é o professor Cláudio Cristiano
Liell, professor vinculado a Escola Municipal General David Canabarro, de São
Sebastião do Caí como vice-diretor e observador na classe que foi realizada a
pesquisa e também, ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas
do Centro Universitário UNIVATES .
O pesquisador compromete-se a esclarecer devida e adequadamente
qualquer dúvida ou necessidade de esclarecimento que eventualmente o
participante venha a ter no momento da pesquisa ou posteriormente através do
telefone (51) 84744386.
Após ter sido devidamente informado de todos os aspectos desta pesquisa e
ter esclarecido todas as minhas dúvidas, eu pai (mãe ou responsável) autorizo meu
filho ou tutelado a participar da mesma.
(Nome por extenso do responsável)
Concordo em participar desta pesquisa
--------------------------------------------------------
Assinatura do responsável
-------------------------------------------------------Assinatura do Pesquisador
São Sebastião do Caí, _______________________ de 2011.
153
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO J - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Pais dos
Alunos da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão
Termo de consentimento informado
Esta pesquisa sobre aprendizagem em Matemática no Ensino Fundamental,
Séries Finais – diurno - tem por objetivo verificar os processos de aprendizagem em
Matemática referente ao conteúdo dos Números Inteiros: noção, adição, subtração,
multiplicação e divisão, através da utilização de jogos do Roletrando dos Inteiros.
A participação nesta pesquisa não oferece risco ou prejuízo à escola nem aos
alunos envolvidos na pesquisa.
Os dados e resultados individuais desta pesquisa estarão sempre sob sigilo
ético, não sendo mencionados os nomes dos participantes em nenhuma
apresentação oral ou trabalho escrito que venha a ser publicado.
O pesquisador responsável por esta pesquisa é o professor Cláudio Cristiano
Liell, professor vinculado a Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão, de
São Sebastião do Caí como professor e pesquisador na classe que foi realizada a
pesquisa e também, ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas
do Centro Universitário UNIVATES .
O pesquisador compromete-se a esclarecer devida e adequadamente
qualquer dúvida ou necessidade de esclarecimento que eventualmente o
participante venha a ter no momento da pesquisa ou posteriormente através do
telefone (51) 84744386.
Após ter sido devidamente informado de todos os aspectos desta pesquisa e
ter esclarecido todas as minhas dúvidas, eu pai (mãe ou responsável) autorizo meu
filho ou tutelado a participar da mesma.
(Nome por extenso do responsável)
Concordo em participar desta pesquisa
-------------------------------------------------------Assinatura do responsável
-------------------------------------------------------Assinatura do Pesquisador
São Sebastião do Caí, _______________________ de 2011.
154
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO K - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Alunos da
Escola Municipal General David Canabarro
Termo de consentimento informado
Esta pesquisa sobre aprendizagem em Matemática no Ensino Fundamental,
Séries Finais – diurno – tem por objetivo verificar os processos de aprendizagem em
Matemática referente ao conteúdo dos Números Inteiros: noção,adição, subtração,
multiplicação e divisão, através da utilização de jogos do Roletrando dos Inteiros.
A participação nesta pesquisa não oferece risco ou prejuízo à escola nem aos
alunos envolvidos na pesquisa.
Os dados e resultados individuais desta pesquisa estarão sempre sob sigilo
ético, não sendo mencionados os nomes dos participantes em nenhuma
apresentação oral ou trabalho escrito que venha a ser publicado.
O pesquisador responsável por esta pesquisa é o professor Cláudio Cristiano
Liell, professor vinculado a Escola Municipal General David Canabarro, de São
Sebastião do Caí como vice-diretor e observador na classe que foi realizada a
pesquisa e também, ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas
do Centro Universitário UNIVATES .
O pesquisador compromete-se a esclarecer devida e adequadamente
qualquer dúvida ou necessidade de esclarecimento que eventualmente o
participante venha a ter no momento da pesquisa ou posteriormente através do
telefone (51) 84744386.
Após ter sido devidamente informado de todos os aspectos desta pesquisa e
ter
esclarecido
todas
as
minhas
dúvidas,
eu......................................................................................................................,
concordo em participar desta pesquisa .
(Nome por extenso do aluno)
Concordo em participar desta pesquisa
--------------------------------------------------------Assinatura do Pesquisador
São Sebastião do Caí, _______________________ de 2011.
155
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO L - Modelo de Termo de Consentimento Informado para os Alunos da
Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão
Termo de consentimento informado
Esta pesquisa sobre aprendizagem em Matemática no Ensino Fundamental,
Séries Finais – diurno - tem por objetivo verificar os processos de aprendizagem em
Matemática referente ao conteúdo dos Números Inteiros: noção,adição, subtração,
multiplicação e divisão, através da utilização de jogos do Roletrando dos Inteiros.
A participação nesta pesquisa não oferece risco ou prejuízo à escola nem aos
alunos envolvidos na pesquisa.
Os dados e resultados individuais desta pesquisa estarão sempre sob sigilo
ético, não sendo mencionados os nomes dos participantes em nenhuma
apresentação oral ou trabalho escrito que venha a ser publicado.
O pesquisador responsável por esta pesquisa é o professor Cláudio Cristiano
Liell, professor vinculado a Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão, de
São Sebastião do Caí como professor e pesquisador na classe que foi realizada a
pesquisa e também, ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas
do Centro Universitário UNIVATES .
O pesquisador compromete-se a esclarecer devida e adequadamente
qualquer dúvida ou necessidade de esclarecimento que eventualmente o
participante venha a ter no momento da pesquisa ou posteriormente através do
telefone (51) 84744386.
Após ter sido devidamente informado de todos os aspectos desta pesquisa e
ter
esclarecido
todas
as
minhas
dúvidas,
eu......................................................................................................................,
concordo em participar desta pesquisa .
(Nome por extenso do aluno)
Concordo em participar desta pesquisa
--------------------------------------------------------Assinatura do Pesquisador
São Sebastião do Caí, _______________________ de 2011.
156
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
ANEXO M – Modelo de Autorização Para Realização de Pesquisa na Escola
Municipal General David Canabarro
AUTORIZAÇÃO
A Direção da Escola Municipal General David Canabarro de São Sebastião
do Caí, autoriza o professor/pesquisador Cláudio Cristiano Liell a realizar a pesquisa
junto à 6ª série da referida escola e suas famílias na disciplina de Matemática com a
finalidade de consecução de Dissertação para o programa PPGCE (Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas) do Centro Universitário Univates.
A referida dissertação faz parte dos requisitos para que o professor obtenha o
grau de Mestre em Ensino de Ciências Exatas.
Data:
Assinatura da Direção
157
ANEXO N - Modelo de Autorização Para Realização de Pesquisa na Escola
BDU – Biblioteca Digital da UNIVATES (http://www.univates.br/bdu)
Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão
AUTORIZAÇÃO
A Direção da Escola Estadual de Ensino Médio Felipe Camarão de São
Sebastião do Caí, autoriza o professor/pesquisador Cláudio Cristiano Liell a realizar
a pesquisa junto à 6ª série da referida escola e suas famílias na disciplina de
Matemática com a finalidade de consecução de Dissertação para o programa
PPGCE (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas) do Centro
Universitário Univates.
A referida dissertação faz parte dos requisitos para que o professor obtenha o
grau de Mestre em Ensino de Ciências Exatas.
Data:
Assinatura da Direção