Cinemática vetorial (I)
Vetor deslocamento
Vetor deslocamento (d) de um ponto material entre os instantes t 1 e t2 é o vetor
representado por um segmento orientado de origem em P 1 (posição do ponto
material no instante t1) e extremidade em P2 (posição do ponto material no instante
t2).
Velocidade vetorial média (vm)
É o quociente entre o vetor d e o correspondente intervalo de tempo Δt.
vm tem a mesma direção e o mesmo sentido de d.
Velocidade vetorial instantânea
A velocidade vetorial (v) de um móvel no instante t tem as características:
Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar no instante t.
Direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P (posição que o móvel ocupa no
instante t).
Sentido: do movimento.
Exercícios básicos
Exercício 1:
Num bairro planejado os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas, distando
100 m uma da outra. Seu Joaquim, parte de sua casa A e após percorrer algumas
travessas, conforme o esquema, chega ao local de seu trabalho B. Seu Joaquim sai
às 7h da manhã de A e chega em B às 7h 8min 20s. Determine:
a) A distância total percorrida por seu Joaquim e o módulo do vetor deslocamento d
desde o ponto de partida (A) até o de chegada (B).
b) O módulo da velocidade escalar média vm e o módulo da velocidade vetorial
média IvmI.
Exercício 2:
Um aluno sai de sua casa para ir ao colégio e se desloca, sucessivamente, 100 m
de Sul para Norte, 80 m de Oeste para Leste e 40 m de Norte para Sul, chegando à
escola.
a) Represente os sucessivos deslocamentos do aluno e o deslocamento vetorial d
desde o ponto de partida até o de chegada.
b) Qual o módulo de d?
c) Calcule o módulo da velocidade escalar média vm e o módulo da velocidade
vetorial média IvmI do aluno, sabendo-se que ele vai de sua casa ao colégio em 2,5
minutos.
O texto a seguir refere-se às questões 3, 4 e 5
Um ciclista descreve um movimento circular uniforme, no sentido horário. No
instante t1 = 10 s o ciclista passa pelo ponto A e no instante
t2 = 30 s, pelo ponto B. O raio da trajetória é de 100 m. Adote π = 3 e √2 = 1,4.
Exercício 3:
O módulo da variação de espaço Δs e o módulo do vetor deslocamento d entre as
posições A e B são, respectivamente:
a) 600 m e 560 m
b) 300 m e 280 m
c) 150 m e 140 m
d) 75 m e 70 m
e) 60 m e 30 m
Exercício 4:
Entre as posições A e B, a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média
têm módulos, respectivamente, iguais a;
a) 15 m/s e 14 m/s
b) 7,5 m/s e 7 m/s
c) 6m/s e 5 m/s
d) 5 m/s e 4 m/s
e) 5 m/s e 5 m/s
Exercício 5:
A velocidade vetorial do ciclista no instante em que passa pela posição C está
representada na alternativa:
Resolução dos exercícios básicos
Exercício 1: resolução
a)
Δs = 7.100 m = 700 m
IdI = (300)2 + (400)2 => IdI = 500 m
b)
vm = Δs/Δt = 700 m/500 s = 1,4 m/s
IvmI = IdI/Δt = 500 m/500 s = 1,0 m/s
Respostas: a) 700 m; 500 m; b) 1,4 m/s; 1,0 m/s
Exercício 2: resolução
a)
b)
IdI2 = (60)2 + (80)2 => IdI = 100 m
c)
Δs = 11.20 m = 220 m
vm = Δs/Δt = 220 m/2,5 min = 88 m/min ≅ 1,47 m/s
IvmI = IdI/Δt = 100 m/2,5 min = 40 m/min ≅ 0,67 m/s
Exercício 3: resolução
Δs = 2.π.R/4 = 2.3.100 m/4 = 150 m
IdI2 = (100)2 + (100)2 => IdI = 100√2 m => IdI = 140 m
Exercício 4: resolução
vm = Δs/Δt = 150 m/20 s = 7,5 m/s
IvmI = IdI/Δt = 140 m/20 s = 7 m/s
Exercício 5: resolução
A velocidade vetorial do ciclista ao passar pela posição C tem a direção da reta
tangente à trajetória pelo ponto C e o sentido do movimento.
Resposta: b
Exercícios de revisão
Revisão/Ex 1:
(Unisinos-RS)
Numa pista atlética retangular de lados a = 160 m e b = 60 m, um atleta corre com
velocidade escalar constante v = 5,0 m/s, no sentido horário, conforme mostrado
na figura. Em t = 0 s, o atleta encontra-se no ponto A.
Em relação ao ponto A, o vetor que define a posição do atleta, após 60 s do início
da corrida, tem módulo igual a:
a) 100 m.
b) 220 m.
c) 300 m.
d) 1,00.104 m.
e) 1,80.104 m.
Revisão/Ex 2:
(PUC-RS)
As informações a seguir referem-se a um movimento retilíneo realizado por um
objeto qualquer.
I. A velocidade vetorial pode mudar de sentido.
II. A velocidade vetorial tem sempre módulo constante.
III. A velocidade vetorial tem direção constante.
A alternativa que representa corretamente o movimento retilíneo é:
a) I, II e III.
b) Somente III.
c) Somente II.
d) Somente II e III.
e) Somente I e III.
Revisão/Ex 3:
(UEPB)
De acordo com os conceitos estudados em Cinemática, complete adequadamente a
coluna da direita com os itens da esquerda:
(1) Movimento retilíneo e uniforme. (2) Velocidade vetorial de direção constante e
módulo variável.
(2) Movimento retilíneo e uniformemente variado. (2) Velocidade vetorial
constante.
(3) Movimento circular e uniforme. (2) Velocidade vetorial variável em direção e
módulo.
(4) Movimento circular e uniformemente variado. (2) Velocidade vetorial de módulo
constante e direção variável.
Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta da numeração:
a) 1, 2, 3, 4.
b) 2, 1, 4, 3.
c) 3, 4, 1, 2.
d) 1, 3, 4, 2.
e) 3, 4, 2, 1.
Revisão/Ex 4:
(Unicamp-SP)
A figura a seguir representa um mapa da cidade de Vectoria, o qual indica a
orientação das mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos trafegam
com velocidade escalar média de 18 km/h. Cada quadra desta cidade mede 200 m
por 200 m (do centro de uma rua ao centro da outra rua). Uma ambulância
localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em B,
sem andar na contramão.
a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?
b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em km/h) entre os pontos A e B?
Revisão/Ex 5:
(PUC-SP)
Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos
lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do
circuito que corresponde ao vértice do circuito.
Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo
do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de
a) 14700 m e 700 m
b) 7350 m e 700 m
c) 700 m e 14700 m
d) 700 m e 7350 m
e) 14700 m e 500 m
Resolução dos exercícios de revisão
Exercícios de revisão
Revisão/Ex 1: resolução
Sendo de 5,0 m/s a velocidade do atleta, após 60 s ele percorreu 300 m, chegando
ao ponto B:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: d2 = (60)2 + (80)2 => d = 100 m
Resposta: a
Revisão/Ex 2: resolução
I. Correta. O movimento pode passar de retardado para acelerado. Assim, a
velocidade vetorial pode mudar de sentido.
II. Incorreta. Se o movimento for variado, a velocidade vetorial não tem módulo
constante.
III. Correta. Sendo o movimento retilíneo a velocidade vetorial tem direção
constante
Resposta: e
Revisão/Ex 3: resolução
Sabemos que:
MRU: Velocidade vetorial constante.
MCU: Velocidade vetorial de módulo constante e direção variável.
MRUV: Velocidade vetorial de direção constante e módulo variável.
MCUV: Velocidade vetorial de direção e módulo variáveis.
Deste modo temos:
(2) Velocidade vetorial de direção constante e módulo variável.
(1) Velocidade vetorial constante.
(4) Velocidade vetorial variável em direção e módulo.
(3) Velocidade vetorial de módulo constante e direção variável.
Resposta: b
Revisão/Ex 4: resolução
A menor distância percorrida para a ambulância se deslocar de A até B é D AB igual
a: 200 m + 200 m + 200 m + 200 m + 100 mA= 900 m
Sendo v = 18 km/h = 5 m/s a velocidadeAda ambulância, vem:
v = DAB/Δt => 5 = 900/Δt => Δt = 180 s = 3 min
b) Pelo Teorema deAPitágoras, temos: d2 = (400)2 + (300)2 => d = 500 m
IvmI = IdI/Δt => IvmI = (500/180).3,6 km/h = 10 km/h
Respostas: a) 3,0 min. b) 10 km/h.
Revisão/Ex 5: resolução
A distância percorrida em uma volta é igual a 2 x 300 m + 2 x 400 m = 1400 m.
Para 10,5 voltas a distância total percorrida será: 10,5 x 1400 m = 14700 m
Ao completar 10,5 voltas a senhora atinge o ponto B.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: d2 = (400)2 + (300)2 => d = 500 m
Resposta: e
Aceleração vetorial média (am)
Seja v1 a velocidade de um móvel num instante t1 e v2 sua velocidade num
instante posterior t2.
A aceleração vetorial média am é o quociente entre a variação da velocidade
Δv = v2 - v1 e o correspondente intervalo de tempo Δt = t2 - t1.
am tem a direção e o sentido de Δv.
Aceleração vetorial instantânea (a)
Aceleração centrípeta (acp)
É a aceleração que indica a variação na direção da velocidade vetorial. Existe
aceleração centrípeta sempre que o móvel percorre trajetória curva.
Características de acp:
Módulo: IacpI = V2/R, em que v é a velocidade escalar e R, o raio da curva
descrita.
Direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto.
Sentido: orientado para o centro (C) de curvatura da trajetória.
Aceleração tangencial (at)
É a aceleração que indica variação no módulo da velocidade vetorial. Existe
aceleração tangencial nos movimentos variados.
Características de at:
Módulo: IatI = IαI, em que α é a aceleração escalar.
Direção: tangente à trajetória.
Sentido: o mesmo de v se o movimento for acelerado, oposto ao de v se o
movimento for retardado.
Aceleração vetorial (a)
É a soma vetorial da aceleração centrípeta (acp) e da aceleração tangencial (at):
Exercícios básicos
Lembrete: Notação vetorial em negrito
Exercício
1:
Um ciclista realiza um movimento circular e uniforme com velocidade escalar
v = 10 m/s. No instante t1 = 10 s ele passa pela posição A e no instante
t2 = 30 s pela posição B, movimentando-se no sentido horário.
a) Represente as velocidade vetoriais v1 e v2 nos instantes em que o ciclista passa
por A e B, respectivamente.
b) Represente o vetor Δv = v2 - v1.
c) Calcule o módulo de Δv.
d) Calcule o módulo da aceleração vetorial média am no intervalo de tempo
de t1 a t2.
Exercício 2:
Retome o exercício anterior e represente a aceleração vetorial no instante em que o
ciclista passa pela posição C e calcule o módulo desta aceleração. Sabe-se que o
raio da trajetória é de 100 m.
Exercício 3:
Um carro parte do repouso e realiza um movimento circular e uniformemente
variado de raio 100 m, com aceleração escalar α = 2 m/s2.
a) Calcule os módulos da aceleração centrípeta, da aceleração tangencial e da
aceleração total, 5 s após a partida. Sabe-se que neste instante o carro está
passando pela posição P.
b) Represente os vetores velocidade, aceleração centrípeta, aceleração tangencial e
aceleração total, no instante em que o carro passa por P.
Exercício 4:
Uma moto desenvolve um movimento circular e num determinado instante passa
pela posição P. Neste instante representamos sua velocidade vetorial v, a
aceleração resultante a e suas componentes centrípeta acp e tangencial at.
Responda:
a) O movimento da moto, no instante em que passa por P, é acelerado ou
retardado?
b) Sendo o módulo da aceleração resultante na posição P igual a 6 m/s2, calcule os
módulos das acelerações tangencial e centrípeta.
c) No instante indicado v = 10 m/s, qual é o raio da trajetória?
Dados: sen 30º = 0,5 e cos 30º = √3/2
x
Exercício 5:
Complete a tabela escrevendo uma das opções: nula ou não nula.
Resolução do exercícios básicos
Exercício 1: resolução
c)
IΔvI2 = (10)2 + (10)2 => IΔvI = 10.√2 m/s
d)
IamI = IΔvI/Δt = 10.√2/(30-10) => IamI = √2/2 m/s2
Exercício 2: resolução
IacpI = v2/R => IacpI = (10)2/100 => IacpI = 1 m/s2
Exercício 3: resolução
a)
v = v0 + α.t => v = 0 + 2.5 => v = 10 m/s
IacpI = v2/R => IacpI = (10)2/100 => IacpI = 1 m/s2
IatI = IαI => IatI = 2 m/s2
IaI2 = IacpI2 + IatI2 => IaI = √5 m/s2
b)
Exercício 4: resolução
a) Retardado, pois a aceleração tangencial tem sentido oposto ao da velocidade
vetorial.
b)
IatI = IaI.sen 30º = 6.1/2 => IatI = 3 m/s2
IacpI = IaI.cos 30º = 6.√3/2 => IacpI = 3.√3 m/s2
c)
IacpI = v2/R => 3.√3 = (10)2/R ⇾ R = 100.√3/9 m
Exercício 5: resolução
Exercícios de revisão
Revisão/Ex 1:
(PUC-MG)
Um objeto em movimento circular uniforme passa pelo ponto A e, 1 segundo após,
passa pelo ponto B. A aceleração vetorial média nesse intervalo de tempo tem
módulo em m/s2:
a) √2.
b) 2.
c) 4.
d) 0.
e) 0,5.
Revisão/Ex 2:
(PUC-MG)
Leia atentamente os itens a seguir, tendo em vista um movimento circular e
uniforme:
I. A direção da velocidade é constante.
II. O módulo da velocidade não é constante.
III. A aceleração é nula.
Assinale:
a) se apenas I e III estiverem incorretas.
b) se I, II e III estiverem incorretas.
c) se apenas I estiver incorreta.
d) se apenas II estiver incorreta.
e) se apenas III estiver incorreta.
Revisão/Ex 3:
(UEL-PR)
Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos AB e CD e um circular BC,
conforme esquema abaixo.
Se um automóvel percorre toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo
da sua aceleração vetorial será:
a) nulo em todos os trechos.
b) constante, não nulo, em todos os trechos.
c) constante, não nulo, nos trechos AB e CD.
d) constante, não nulo, apenas nos trecho BC.
e) variável apenas no trecho BC.
Revisão/Ex 4:
(UFSCar-SP)
Nos esquemas estão representadas a velocidade v e a aceleração a do ponto
material P. Assinale a alternativa em que o módulo da velocidade desse ponto
material permanece constante.
Revisão/Ex 5:
(Escola Naval-RJ)
Uma partícula A move-se em uma circunferência, no plano da figura, de tal maneira
que o módulo da velocidade vetorial diminui no decorrer do tempo. Em um dado
instante, indicado na figura, a partícula possui aceleração de módulo igual a 25
m/s2 e velocidade vA.
a) Represente na figura a velocidade vA.
b) Determine o módulo de vA.
Resolução dos exercícios de revisão
Revisão/Ex 1: resolução
IΔvI2 = (√2)2 + (√2)2 => IΔvI = 2 m/s
IamI = IΔvI/Δt = 2/1 => IamI = 2 m/s2
Revisão/Ex 2: resolução
No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante e varia em direção e sentido. A
aceleração não é nula. É a aceleração centrípeta. As três proposições estão
incorretas.
Resposta: b
Revisão/Ex 3: resolução
Nos trechos AB e CD o movimento é retilíneo e uniforme. Nesses trechos a
aceleração vetorial é nula. Já no trecho BC o movimento é circular e uniforme. A
aceleração vetorial é centrípeta. Seu módulo (acp= v2/R) é constante.
Resposta: d
Revisão/Ex 4: resolução
Se o módulo da velocidade permanece constante a aceleração tangencial é nula.
Isto ocorre na alternativa c) onde a aceleração é centrípeta.
Resposta: c
Revisão/Ex 5: resolução
a) O movimento é retardado. Portanto, a velocidade tem sentido oposto ao da
componente tangencial da aceleração. Assim, temos:
b)
acp = aA.cos 60º => (vA)2/R = aA.cos 60º => (vA)2/2,0 = 25.(1/2) => vA = 5,0 m/s