VETORES
Setor 3206
Prof. Calil
1- O “número” vetor
Vetor (do latim vectore = o que conduz) pode ser considerado como sendo um
número desenhado com régua, e tendo o formato de uma seta. Num texto este número
é designado por uma letra com uma seta sobreposta: a, b,.....,x. Esse número além de
indicar um valor, também fornece informações sobre o sentido e a direção de uma
grandeza. É utilizado para efetuar cálculos com as chamadas “Grandezas Vetoriais”. Uma
grandeza vetorial necessita para ficar bem determinada, não só da informação sobre seu
valor, mas também da sua direção e do seu sentido. Por exemplo, quando solicitamos a
uma pessoa que empurre um móvel, ela vai nos perguntar: para onde eu empurro? Então, não
basta pedir para empurrar, mas necessitamos informar a direção e o sentido em que
queremos que o móvel seja empurrado. A maneira matemática de dar todas essas
informações de uma só vez, é por intermédio do número vetor.
2- Características do vetor
Como vimos o exemplo acima, um vetor só fica determinado se conhecermos três
informações sobre ele, a saber:
a) Módulo: É o valor que ele indica,
direção
dado pelo tamanho da seta que
a
o representa. Nota-se |a | |b|... - - - - - - - - - - ---ou simplesmente : a, b ...,sem a
módulo
seta indicativa do vetor colocada
sobre a letra.
b) Direção: É como se coloca a régua para desenhar a seta que representa o vetor.
c) Sentido: É para onde a seta aponta.
3- Soma de vetores
Somar vetores é uma operação realizada com régua, baseada na geometria plana.
Assim, o vetor de módulo 3 somado ao vetor de módulo 4, pode dar como resultado um vetor
de módulo 1 num sentido, até um vetor de módulo 7 no sentido oposto.. Portanto, não se somam
vetores como se somam números na aritmética comum. Para somar vetores desenha-se a
partir de um ponto P um dos vetores exatamente como ele é. Na ponta deste, desenha-se
outro também exatamente como ele se apresenta. Na ponta deste, outro e assim
sucessivamente. No final, liga-se o início do desenho ao final, e obtém-se o vetor soma =
S, orientado do início (ponto P) para o final. Esse processo denomina-se: Poligonal de
Vetores.
sentido
a
b
c
S=a+b+c
b
a
c
S
A soma de dois vetores com mesma direção e mesmo sentido, é um vetor que tem a
mesma direção e sentido dos vetores, e com o módulo que é a soma dos seus tamanhos.
Se os vetores tiverem sentidos opostos, o módulo do vetor soma é a diferença entre os
tamanhos dos vetores, com o sentido do maior.
a
b
S =a + b
P
S=a―b

a
b
S
Vetor oposto a um vetor a é um vetor com a mesma direção, mesmo módulo, do vetor a,
mas com sentido oposto a este vetor. Nota-se por: ― a, mas não se lê menos a e sim
oposto ao vetor a
Produto de um vetor a por um número n, é um vetor com a mesma direção e sentido de
a, se n for positivo, com módulo n.a. Se n for negativo, terá mesma
direção, módulo ―n.a, com o sinal - indicando sentido oposto ao vetor a.
CINEMÁTICA VETORIAL
As grandezas escalares que estudamos na Cinemática Escalar, Deslocamento,
Velocidade média e Aceleração escalar média, foram analisadas sob a forma com que
são tratadas na vida prática, e, portanto não tendo a precisão devida como é solicitado
numa análise física que é mais elaborada. Por exemplo: Na vida prática as pessoas ficam
satisfeitas quando falamos que foi mantida uma velocidade média de 80 km/h na viagem
entre São Paulo e Santos. Na Física, porém, tem que se fornecerem informações mais
detalhadas. Temos que informar que a velocidade média teve um valor, em módulo, de 80
km/h, tendo a direção da reta que une São Paulo a Santos, e com o sentido de São Paulo á
Santos.
Para fornecer todas estas informações, a velocidade média passa a ter o aspecto
vetorial sendo, portanto, representada pelo número acima apresentado, que é o vetor.
Desta maneira, iremos estudar agora a Cinemática Vetorial.
1- Vetor deslocamento ΔS
Direção: Reta que une S0 a SF
Sentido: De S0 para SF
Intensidade: ΔS = SF ― S0
ΔS
SF
S0
O vetor deslocamento ∆S não depende do formato da trajetória, só da posição final e
inicial.
2- Vetor velocidade média VM
Direção: Tangente a trajetória
Sentido: é o do movimento
₀ P
VM
direção de V
Intensidade: VM = |ΔS| ÷ Δt
3- Vetor aceleração vetorial У
A grandeza aceleração indica como muda a velocidade em cada instante. Sendo
a velocidade um vetor, ela varia quando muda o seu valor, ou quando muda a sua
direção e sentido, ou ainda quando muda o valor, a direção e o sentido. Temos
definidas então dois tipos de acelerações: a aceleração tangencial = aT, e que só
indica como muda o valor ( módulo) da velocidade e a aceleração centrípeta = acp
que indica como muda a direção e o sentido do vetor velocidade, sem considerar a
mudança no seu valor. A soma vetorial dessas duas acelerações constitui a
aceleração vetorial У
a) Vetor aceleração tangencial aT
Direção: a mesma do vetor velocidade
Sentido: Se o movimento for acelerado,
V
acelerado:
m
aT
at tem o mesmo sentido de V. Se o
movimento for retardado, at tem sentido oposto a V.
retardado:
V
aT
Intensidade: aT = |ΔV| ÷ Δt
b) Vetor aceleração centrípeta acp
Direção: do raio da curva = R
Sentido: Apontando para o centro da curva
Intensidade: acp = |V2| ∕ R
V
a cp
C
c) Vetor aceleração vetorial У
É o vetor resultante da soma vetorial
do vetor aceleração tangencial aT e do
vetor aceleração centrípeta acp..
Como os vetores aT e acp formam um
ângulo de 90o entre si, o vetor aceleração

acp
aT
У
vetorial У é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são essas acelerações.
Então por Pitágoras temos:
У2 = aT2 + acp2
4- Os movimentos e suas acelerações
a) Movimento retilíneo e uniforme: aT = 0 ; acp = 0
У = zero
b) Movimento unif. variado acelerado: aT ≠ 0 ; acp = 0
У = aT
c) Movimento unif. variado retardado: aT ≠ 0 ; acp = 0
У = aT
d) Movimento circular uniforme: aT = 0 ; acp ≠ 0
e) Movimento circular unif. variado: aT ≠ 0 ; acp ≠ 0
У = acp
У2 = aT2 + acp2
GRANDEZAS
Grandeza é tudo aquilo que pode sofrer algum tipo de modificação, e pode ser
medida por comparação com um padrão. Também que apresentar a propriedade da
adição e subtração. Por exemplo: A massa de um corpo é uma grandeza, pois pode variar,
e é medida por comparação com um padrão internacional, denominado quilograma. Além
do mais, se tivermos 2 kg de arroz com 3 kg de feijão numa sacola, teremos 5 kg de
alimentos, já que podemos somar os 2 kg de arroz com os 3 kg de feijão. Temperatura não
pode ser considerada uma grandeza, pois se misturarmos 1 litro de café a 30º C com 1
litro de leite a 60º C, não dará café com leite a 90º C, mas numa temperatura maior que
30º C e menor que 60º C. Portanto, temperaturas não podem ser somadas.
Existem dois tipos de grandezas:
Grandezas Escalares: que ficam bem determinadas quando informamos apenas o
seu valor numérico e a correspondente unidade. É o caso da massa, do tempo, etc.
Quando dizemos que a massa de uma pessoa é de 80 kg, ninguém pergunta “para onde?”.
Quando alguém informa que trabalhou 3h, ninguém pergunta “para onde”?
Grandezas Vetoriais: só ficam bem compreendidas quando além do seu valor e da
unidade correspondente, temos que informar a sua direção e o seu sentido. É caso da
força= F. Quando pedimos para alguém empurrar uma mesa, ela vai perguntar: “para
onde?”. Então, além de informar, por exemplo, que ele precisa fazer uma força muito
grande (valor), de muitos newtons (unidade), ela terá que ser empurrada paralelamente à
parede (direção) e para a janela (sentido). Sempre que se pergunta “PARA ONDE?”
estamos lidando com uma grandeza vetorial. Toda grandeza vetorial será representada
e terá suas operações realizadas, usando-se os números vetores. O módulo do vetor que
representa o valor da grandeza, acompanhado da unidade , denomina-se
INTENSIDADE DA GRANDEZA VETORIAL.