Geoestatística Aplicada à Agricultura
de Precisão III
DICA
Just work !!!!!
Copyright, 2000 @ Daniel Marçal de Queiroz.
Analisando um conjunto de dados
Distribuição completa dos
valores da variável “V”
para classes de 50 ppm
e 10 ppm
Analisando um conjunto de dados
Gráfico de probabilidade normal e lognormal para a frequência
acumulada dos 78000 valores da variável “V”
Analisando um conjunto de dados
Distribuição completa dos
valores da variável “U”
para classes de 50 ppm
e 10 ppm
Analisando um conjunto de dados
Gráfico de probabilidade normal e lognormal para a frequência
acumulada dos 78000 valores da variável “U”
Analisando um conjunto de dados
Distribuição dos valores da variável “T” (branco T=2; preto T=1)
Analisando um conjunto de dados
Histograma da variável “V”
para regiões (a) onde T=1 e
(b) onde T=2
Analisando um conjunto de dados
Histograma da variável “U”
para regiões (a) onde T=1 e
(b) onde T=2
Analisando um conjunto de dados
Gráfico de dispersão dos valores
da variável “U” versus os da
variável “V”:
(a) para todos os 78000 pontos
=0,65 - relacionamento nãolinear;
(b) 60384 valores de “V” e “U”
onde T=2;
(c) 17616 valores de “V” e “U”
onde T=1
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno para valores
médios da variável “V” em blocos
de 10x10 m2.
As curvas são apresentadas a
intervalos de 200 ppm com a
primeira curva refletindo o valor
de 100 ppm.
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno para valores
de desvio padrão da variável “V”
em blocos de 10x10 m2.
As curvas são apresentadas a
intervalos de 200 ppm com a
primeira curva refletindo o valor
de 100 ppm.
Analisando a continuidade espacial
Relação entre desvio padrão de média para blocos de 10x10 m2.
(a) variável “V” com =0,798 e (b) variável “U” com =0,921
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno para valores
médios da variável “U” em blocos
de 10x10 m2.
As curvas são apresentadas a
intervalos de 200 ppm com a
primeira curva refletindo o valor
de 100 ppm.
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno para valores
médios da variável “U” em blocos
de 20x20 m2.
As curvas são apresentadas a
intervalos de 200 ppm com a
primeira curva refletindo o valor
de 100 ppm.
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno para valores
de desvio padrão da variável “U”
em blocos de 10x10 m2.
As curvas são apresentadas a
intervalos de 200 ppm com a
primeira curva refletindo o valor
de 100 ppm.
Analisando a continuidade espacial
• Três métodos foram apresentados para descrever a continuidade
espacial:
• função de correlação;
• função de covariância e
• variograma
• Os métodos clássicos de estimativa são embasados na função
de covariância
• A covariância depende da magnitude e direção do vetor h
Analisando a continuidade espacial
• Os valores refletem a covarância de
todos os gráficos de dispersão em todas
as direções para distâncias de pelo menos
100 metros
• O intervalo de entre as curvas é de
10000 ppm2
• A covariância para h=(0,0) está localizada
no centro do mapa
• As duas linhas N14W e N76E são as
direções de máxima e mínima continuidade
• As duas linhas N31E caem no meio dos
dois eixos
Curvas de contorno da função de • É possível visualizar a simetria do mapa
covariância para a variável “V” • C(h=30,50) = C(h=-30,-50)
• Esse gráfico é muito difícil de ser gerado
Analisando a continuidade espacial
(a), (b) e (c) mostram os secção dos
perfis de covariância em três direções.
Em (d) é apresentado os três perfis em
um único gráfico.
A unidade do eixo vertical está em
milhões de ppm2
Em todos os gráficos C(h) cai quase
que uniformemente dentro da faixa
de 25m a partir do valor de
62450 ppm2.
Na direção N14W, o valor de C(h) não cai tão rapidamente quanto nas outras direções
Para pares de pontos separados de 50m, a covariância entre os valores de “V” é de
aproximadamente 20000 ppm2 para a direção N14W e 0 para as outras direções
Analisando a continuidade espacial
• Os valores refletem a covarância de
todos os gráficos de dispersão em todas
as direções para distâncias de pelo menos
100 metros
• O intervalo de entre as curvas é de
10000 ppm2
• A covariância para h=(0,0) está localizada
no centro do mapa
• As duas linhas N14W e N76E são as
direções de máxima e mínima continuidade
• As duas linhas N31E caem no meio dos
dois eixos
Curvas de contorno da função de
covariância para a variável “U”
Analisando a continuidade espacial
(a), (b) e (c) mostram os secção dos
perfis de covariância em três direções.
Em (d) é apresentado os três perfis em
um único gráfico.
A unidade do eixo vertical está em
milhões de ppm2
Os valores da variável “U” estão mais
dispersos que o da variável “V”
Variável “V” é ligeiramente mais
contínua que “U”
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno da covariância para a variável “V”
(a) para T=1 e (b) para T=2
Analisando a continuidade espacial
Curvas de contorno da covariância para a variável “U”
(a) para T=1 e (b) para T=2
Analisando a continuidade espacial
• Problema: para cada h escolhido existe uma certa aleatoriedade na
localização dos pontos que faz com que poucos pontos estão separados
exatamente por h
• É necessário colocar uma tolerância em relação à distância e direção
 h  
1
2


v

v
 i j
2  N h  i , j  hij  h
Analisando a continuidade espacial
• Embora um conjunto de gráficos de dispersão forneça a mais
completa descrição da continuidade espacial, geralmente ele contem
muita informação e requer algum tipo de simplificação
• Para apresentar de forma compacta a continuidade espacial foram
definidas: a função de correlação, a função de covariância e o
variograma
• Todos esses métodos usam estatísticas simples dos gráficos de
dispersão para descrever como a variabilidade espacial varia em
função da distância e direção
• O variograma é o método mais usado para analisar a continuidade
espacial
Analisando a continuidade espacial
• Terminologia associada aos variogramas:
– Alcance (range):
• à medida que a distância entre os pares de ponto aumenta,
o valor do variograma geralmente aumenta
• até chegar a um ponto em que o aumento da distância não
mais causa o aumento do valor variograma (o variograma
atinge um patamar).
• A distância em que esse patamar é alcançado é chamado de
alcance.
Analisando a continuidade espacial
• Terminologia associada aos variogramas:
– Patamar (sill):
• Valor variograma quando se atinge o valor máximo e estável
– Efeito pepita (nugget effect):
• O valor do variograma é igual a zero quando h=0
• Erros de amostragem e pequena variabilidade de escala pode fazer
com que valores separados por pequenas distâncias apresentemse bastantes diferentes
• Isso causa descontinuidade na origem do variograma
• O salto vertical do valor zero na origem para valores a distâncias
extremamente pequenas é chamado de efeito pepita
– Efeito pepita relativo (relative nugget effect)
• Razão entre o efeito pepita e o patamar
Analisando a continuidade espacial
• Análise de continuidade espacial começa com um variograma
multidirecional: procura-se o valor de hij que é grande o suficiente
para não mais ter efeito no variograma
• Como todas as direções foram combinadas em um único
variograma o que importa é a magnitude de hij
• A análise de continuidade pelo variograma multidirecional não
implica que a continuidade seja a mesma em todas as direções
Analisando a continuidade espacial
• Parâmetros importantes num variograma multidirecional: incremento
de distância e a tolerância para a distância
• Depois que o variograma multidirecional foi estabelecido parte-se para
a análise de anisotropia para identificar as direções em que a
continuidade é máxima e mínima
• Após identificadas as direções de máxima e mínima continuidade
escolhe-se a tolerância direcional para a obtenção de um varioagrama
sem anomalias
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os parâmetros de distância:
– O primeiro parâmetro que precisa ser definido é o incremento de distância
h, o segundo é a tolerância aceitável para a distância
– A distância entre os pontos de amostragem pode dar uma boa indicação
do incremento de distância h
– Se a amostragem foi feita aleatoriamente um ponto de partida seria a
distância média entre pontos amostrais consecutivos
– Se a distância entre os pontos amostrais for anisotrópica, com o
espaçamento entre pontos amostrais bem menor em uma direção que em
outra, os parâmetros de distância dependerão da direção
– A escolha mais comum para a tolerância de distância é a metade da
distância entre pontos. Se o malha de pontos for uniforme ou bem
próxima de uniforme a tolerância pode ser menor
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os parâmetros de distância:
– Valores do variograma multidirecional para incremento de 5m e tolerância
de 2,5 m
– 470 valores da variável “V”
Número
de Pares
22
488
1720
1856
3040
2412
3550
2816
4092
3758
4248
Distância
2,1
5,4
10,4
14,8
20,3
24,9
30,1
34,8
40,3
44,9
50,2
(h)
11294,1
42671,4
51932,4
71141,8
70736,9
86745,2
84077,8
99986,6
89954,4
86155,0
98319,4
Número
de Pares
3920
5324
4442
5478
4696
5762
5084
5666
4458
2890
Distância
55,0
60,2
64,8
70,2
74,8
80,2
84,9
90,1
94,8
98,8
(h)
94415,1
88848,9
96309,2
96397,3
90704,6
92560,6
88104,0
95530,9
101174,8
94052,1
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os parâmetros de distância:
– Variograma para um incremento de distância de 5m
Semi-variância, ppm**2
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
Distância, m
80
100
120
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os parâmetros de distância:
– Valores do variograma multidirecional para incremento de 10m e
tolerância de 5m
Número
de Pares
178
3044
5140
6238
7388
7954
Distância
3,6
11,0
20,4
30,2
40,5
50,1
(h)
32544,3
55299,8
75224,6
88418,6
90544,1
95689,7
Número
de Pares
9782
10060
10628
10454
4856
Distância
60,3
70,3
80,3
90,1
87,8
(h)
91285,2
93809,2
92357,8
95010,5
97349,3
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os parâmetros de distância:
– Variograma para um incremento de distância de 10m
Semi-variância, ppm**2
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
Distância, m
80
100
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
– Ilustração mostrando como dados bidimensionais podem ser
agrupados para formar uma superfície de variograma. Qualquer
bloco todos os pontos que caírem dentro a porção achureada será
agrupada com a amostrada localizada na posição (x,y)
x
x
y
y
(x,y)
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
– Agrupando os valores de variograma considerando as tolerâncias de
posição
85,6 76,8 77,1 85,7 83,0 81,7 87,7 103,0 97,8 116,8
40
20
0
-20
-40
87,7
83,2
84,1
75,4
76,0
78,2
97,0
119,3 104,0 100,1
90,0
82,3
96,3
70,7
65,0
69,2
78,2
103,6 108,6 103,6
89,3
85,9
97,2
72,1
54,1
64,7
85,5
107,6 108,8 105,7
96,2
85,1
80,5
73,1
42,3
33,6
82,1
100,3 103,8 105,5
105,5 103,8 100,3 82,1
33,6
42,3
73,1
80,5
85,1
96,2
105,7 108,8 107,6 85,5
64,7
54,1
72,2
97,2
85,9
89,3
103,6 108,6 103,6 78,2
69,2
65,0
70,7
96,3
82,3
90,0
100,1 104,0 119,3 97,0
78,2
76,0
75,4
84,1
83,2
87,7
116,8 97,8
103,0 87,7
81,7
83,0
85,7
77,1
76,8
85,6
-40
-20
0
20
40
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
– Linhas de contorno do variograma com os valores expressos em
milhões de ppm2
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
– Linhas de contorno do variograma com os valores expressos em
milhões de ppm ao quadrado
– Existe uma clara anisotropia , o superfície do variograma aumenta
ao longo da linha N76E e lentamente ao longo a linha N14W
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
– Uso de superfícies de contorno não é muito comum devido
problemas que geralmente ocorrem com relação aos dados
experimentais (valores fora da realidade).
– Nem sempre os usuários dipõem da ferramentas para geração das
superfícies de contorno
– Método convencional consiste em obter as direções de mínima e
máxima continuidade por tentativas
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
– Nove variogramas direcionais usando um tolerância angular de
±45° - o valor do patamar em todos eles é superior a 80000 ppm2
– Para cada direção será definida a distância em que o variograma
atinge 80000 ppm2
– Construindo um gráfico com das diferentes direções com os
valores das distâncias obtem-se uma figura de formato elíptico
– O eixo maior dessa elipse indica a direção de máxima continuidade
e o menor eixo o de mínima continuidade
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
Analisando a continuidade espacial
• Definindo os eixos de anisotropia:
Analisando a continuidade espacial
• Definindo a tolerância angular ou tolerância direcional:
– usando pequena tolerância direcional geralmente implica em
poucos pontos experimentais e o variograma tende a apresentar
anomalias
– Analisando-se duas direções e os valores da variável “V” obteve-se
o seguintes número de pontos para as diferentes tolerâncias:
10
N76E N14W
22
0
168
176
165
281
327
363
251
445
338
554
411
709
388
783
494
854
457
768
234
314
20
N76E N14W
57
1
352
370
710
681
631
682
806
966
692
1071
893
1476
809
1505
923
1658
915
1542
459
634
30
N76E N14W
66
1
532
543
871
911
936
1051
1099
1405
1103
1605
1269
2000
1259
2178
1416
2396
1380
2193
687
890
40
N76E N14W
76
6
674
714
1058
1152
1386
1521
1453
1798
1521
2071
1744
2646
1706
2703
1879
2999
1828
2804
957
1250
Analisando a continuidade espacial
• Definindo a tolerância angular ou tolerância direcional:
– Os variogramas apresentados abaixo mostram que a tolerância de
40° é a ideal
Estimativas
• Tipos:
– Estimativa local ou global
– Estimativa do valor médio ou a distribuição completa dos dados
– Estimativa de valores pontuais ou de valores em blocos
Estimativas
• Combinação linear de pesos:
n
vˆ   wi  vi
i 1
– v1, v2,...,vn são os n valores disponíveis e wi são os pesos
atribuidos aos valores vi
– Geralmente o somatório dos pesos wi é igual a 1,0
– Para valores transformados:
n
tˆ   wi  T vi 
i 1
Estimativas
• Global e Local:
– Global quando se tem dados referentes a uma grande área e
muitas amostras estão disponíveis
– Local quando se tem dados referentes a uma pequena área
– Global: estimativa do valor médio da variável “U” numa área
inteira (78000 valores disponíveis)
– Local: valor médio de “U” em uma área de 10x10 m2
Estimativas
• Valores médios e distribuição completa:
– média (às vezes é obtida aritimeticamente)
– mediana
– variabilidade
Estimativas
• Blocos e pontos:
– tamanho da amostra em certos ramos da ciências é um importante
ponto a ser considerado
– quando se usa pontos amostrais relativos maiores áreas (valores
pontuais versus 10x10 m2 versus 20x20 m2) obtem-se mapas mais
suaves
Estimativas
• Blocos e pontos:
– Histogramas para os valores
da variável “U” 78000 pontos,
versus 780 valores de “U” em
áreas de 10x10 m2, versus 195
valores de “U” em áreas de
20x20 m2. Verifique a
frequência acumulada para a
primeira faixa.
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Suponha que se deseje conhecer o valor de uma variável
“V” na posição 65E,137N conhecendo-se o valor da
variável nos seguintes pontos:
Número da
Distância do
Amostra
X
Y
V
ponto 65E,137N
1
225
61 139 477
4,5
2
437
63 140 696
3,6
3
367
64 129 227
8,1
4
52
68 128 646
9,5
5
259
71 140 606
6,7
6
436
73 141 791
8,9
7
366
75 128 783
13,5
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Configuração dos dados:
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método dos polígonos
– Escolhe como estimativa o valor da variável no ponto mais próximo
– Nesse caso, o ponto 63E,140N é o mais próximo e o valor de “V” nele é
de 696 ppm
– Assume-se portanto que em 65E,137N o valor de “V” é também 696 ppm
1
2
3
4
5
6
7
Número da
Amostra
225
437
367
52
259
436
366
X
61
63
64
68
71
73
75
Y
139
140
129
128
140
141
128
V
477
696
227
646
606
791
783
Distância do
ponto 65E,137N
4,5
3,6
8,1
9,5
6,7
8,9
13,5
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método da triangularização:
– O método dos polígonos gera uma certa descontinuidade
– O método da triangularização remove possíveis descontinuidades
ajustando-se um plano que passa por três pontos amostrais
– A equação do plano pode ser expressa por:
z  a x b y  c
– No caso em estudo “x” corresponderia à coordenada na direção lesteoeste, “y” corresponderia à coordenada na direção norte-sul e z
corresponderia ao valor da variável “V”
– Usando-se os pontos referentes as amostras com 696 ppm, 227 ppm e
606 ppm pode-se estimar a equação do plano que passa pelos três pontos
amostrais
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método da triangularização:
– Com base nos três pontos experimentais
obtem-se:
63  a  140  b  c  696
64  a  129  b  c  227
71 a  140  b  c  606
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método da triangularização:
63  a  140  b  c  696
64  a  129  b  c  227
71 a  140  b  c  606
– Resolvendo-se o sistema de três equações com três incógnitas
obtem-se a=-11,250; b=41,614 e c=-4421,159. A equação para
estimar o valor de “V” na área triangular é:
vˆ  11,250  x  41,614  y  4421,159
– O valor de “V” para x=65 e y=137 é: 548,7 ppm
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método da média local:
• O valor de “V” no ponto é obtido por média aritmética de todos os
valores nas próximos ao ponto. Nesse caso, obtem-se V=603,7 ppm
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método da média local:
• O valor de “V” no ponto é obtido por média aritmética de todos os
valores nas próximos ao ponto. Nesse caso, obtem-se V=603,7 ppm
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método do inverso da distância:
• Por esse método o valor de “V” em um dado ponto é obtido fazendose uma média ponderada, onde os pesos é o inverso da distância
entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor
conhecido, ou seja:
n
1
 vi

d
ˆv  i 1 n i
1

i 1 d i
• em que d1, d2, ...,dn representam as distâncias até os n pontos
conhecidos e v1, v2,...,vn são os valores de “V” conhecidos
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método do inverso da distância:
• Uma outra alternativa é como peso o inverso da distância entre o
ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido
elevada à uma da potência (p), ou seja:
n
1
 vi

p
d
ˆv  i 1 n i
1

p
d
i 1
i
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método do inverso da distância:
• Uma outra alternativa é como peso o inverso da distância entre o
ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido
elevada à uma da potência (p), ou seja:
1
2
3
4
5
6
7
v(ppm)
V
477
696
227
646
606
791
783
p=0,2
0,1564
0,1635
0,1390
0,1347
0,1444
0,1364
0,1255
601
p=0,5
0,1700
0,1858
0,1343
0,1260
0,1449
0,1294
0,1095
598
1
d ip
1
dp
i
p=1,0
p=2,0
0,2088 0,2555
0,2610 0,3993
0,1160 0,0789
0,0989 0,0573
0,1402 0,1153
0,1056 0,0653
0,0696 0,0284
594
598
p=5,0
0,2324
0,7093
0,0123
0,0055
0,0318
0,0077
0,010
637
p=10,0
0,0106
0,9874
<0,0001
<0,0001
0,0019
<0,0001
<0,0001
693
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging (krigagem):
1
2
3
4
5
6
7
Número da
Amostra
225
437
367
52
259
436
366
X
61
63
64
68
71
73
75
Y
139
140
129
128
140
141
128
V
477
696
227
646
606
791
783
Distância do
ponto 65E,137N
4,5
3,6
8,1
9,5
6,7
8,9
13,5
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Equações para calcular a função de co-variância:

C0  C1 se h  0
~

  3 h 
C h   


C
exp
 a  se h  0
 1



• Essas equações correspondem ao seguinte variograma:

0 se h  0


  3 h 
~h   



C

C

1

exp
1 
 a   se h  0
 0




Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Na equação:

C0  C1 se h  0
~

  3 h 
C h   


C
exp
 a  se h  0
 1



• C0 é chamado de efeito pepita;
• a é chamado de alcance (range);
• C0+C1 é chamado de patamar
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Tabela das distâncias entre todos os pares de pontos
Localização
0
0
0,00
1
4,47
2
3,61
3
8,06
4
9,49
5
6,71
6
8,94
7
13,45
1
4,47
0,00
2,24
10,04
13,04
10,05
12,17
17,80
2
3,61
2,24
0,00
11,05
13,00
8,00
10,05
16,97
distância
3
4
8,06
9,49
10,44 13,04
11,05 13,00
0,00
4,12
4,12
0,00
13,04 12,37
15,00 13,93
11,05 7,00
5
6,71
10,05
8,00
13,04
12,37
0,00
2,24
12,65
6
8,94
12,17
10,05
15,00
13,93
2,24
0,00
13,15
7
13,45
17,80
16,97
11,05
7,00
12,65
13,15
0,00
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Usando C0=0; a=10; e C1=10 estimados a partir dos dados
experimentais existentes obtem-se:
~
0, 3 h
C h  10  e
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Para obter o valor de “V” em um dado ponto primeiro determina-se o
vetor peso (w) dado por:
w=C-1.D
• Em que C é uma matriz quadrada e D é um vetor dados por:
~
 C11
~
C21
C~31
~
C
C   ~41
C
 ~51
C61
C~
 71
 1
~
C12
~
C22
~
C32
~
C42
~
C52
~
C62
~
C72
1
~
~
C13 C14
~
~
C23 C24
~
~
C33 C34
~
~
C43 C44
~
~
C53 C54
~
~
C63 C64
~
~
C73 C74
1
1
~
C15
~
C25
~
C35
~
C45
~
C55
~
C65
~
C75
1
~
C16
~
C26
~
C36
~
C46
~
C56
~
C66
~
C76
1
~
C17
~
C27
~
C37
~
C47
~
C57
~
C67
~
C77
1
1
1
1
1
1
1
1
0












~
C10 
~ 
C20 
C~30 
~ 
C
D   ~40 
C
 ~50 
C60 
C~ 
 70 
 1 
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Substituindo-se os valores de h na matriz C e no vetor D obtem-se:
10,00 5,11 0,44 0,20 0,49 0,26 0,05
 5,11 10,00 0,36 0,20 0,91 0,49 0,06

 0,44 0,36 10,00 2,90 0,20 0,11 0,36

0,20 0,20 2,90 10,00 0,24 0,15 1,22
C
 0,49 0,91 0,20 0,24 10,00 5,11 0,22

 0,26 0,49 0,11 0,15 5,11 10,00 0,19
 0,05 0,06 0,36 1,22 0,22 0,19 10,00

 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
1,00 
1,00 
1,00 

1,00 
1,00 

1,00 
1,00 

0 
 2,61
3,39 


0,89 


0
,
58

D
1,34 


0
,
68


 0,18 


1,00 
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Calculando-se a inversa da matriz C e multiplicando-a pelo vetor D
 w1 
 0,173 
obtem-se:
w 
 0,318
2
 


 w3 
 0,129 
 


w
0
,
086

w   4   C 1  D  
 w5 
 0,151 
 


 w6 
0,057 
w 
0,086
7
 


  
0,907 
• Multiplicando-se os valores de wi por vi obtem-se:
7
vˆ0   wi  vi  0,173  477   0,318  696  0,129  227   0,086  646  0,151 606  0,057  791  0,086  783
i 1
vˆ0  592,7 ppm
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• Calculando-se a inversa da matriz C e multiplicando-a pelo vetor D
obtem-se:
~
2
2
~
~
 R     wi  Ci 0  
~R2  10  0,173  2,61  0,318  3,39  0,129  0,89  0,086  0,58  0,1511,34  0,057  0,68  0,086  0,18  0,907
~R2  8,96 ppm2
•  é chamado de parâmetro de Lagrange
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• A escolha de um modelo de covariância (ou correlograma ou
variograma) é um pré-requisito para a krigagem;
• Embora seja mais difícil de ser calculada a estimativa por krigagem é
mais flexível;
• O processo de cálculo pode necessitar do cálculo de covariâncias para
distâncias para as quais não existe dados experimentais disponíveis;
• O processo de cálculo não garante a existência de uma única solução;
Estimativa de valor de uma variável em um
dado ponto
• Método de kriging:
• O processo de cálculo não garante a existência de uma única solução;
• A falta de uma estrutura definida nos dados experimentais disponíveis
não justifica o uso do modelo de função aleatória espacialmente não
correlacionada;
• A continuidade espacial pode não estar evidente devido ao insuficiente
número de pontos amostrais, aos erros de amostragem ou à valores
completamente fora da realidade.
Krigagem em um único ponto versus
krigagem em bloco
• Block kriging (krigagem de bloco):
Processo que busca estimar o
valor médio de uma variável
dentro de uma área local
• (a) valor de “V” dentro do bloco
achureado (b) a (e) valor de “V”
em cada um dos quatro pontos.
Calculando-se a média dos valores
obtidos de (b) até (e) obtem-se o
valor obtido em (a)