Questão 1
Uma pesquisa de mercado sobre determinado
eletrodoméstico mostrou que 37% dos entrevistados preferem a marca X, 40% preferem a
marca Y, 30% preferem a marca Z, 25% preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, 3% preferem
X e Z e 1% prefere as três marcas. Considerando que há os que não preferem nenhuma
das três marcas, a porcentagem dos que não
preferem nem X nem Y é:
a) 20%
b) 23%
c) 30%
d) 42%
e) 48%
alternativa E
Construindo o Diagrama de Venn:
O período da função g(x) = f(3x + 1) é:
a) 1/3
b) 2/3
c) 2
d) 3
e) 6
alternativa B
Do gráfico, o período t da função f é t = 2. Assim
f(x + 2) = f(x).
Logo o período t’ da função g(x) é tal que
g(x + t’ ) = g(x) ⇔ f(3(x + t’ ) + 1) = f(3x + 1) ⇔
⇔ f(3x + 1 + 3t’ ) = f(3x + 1).
Logo o período da função g(x) é tal que 3t’ = 2 ⇔
2
.
⇔ t’ =
3
Questão 3
Um jogo consiste em lançar uma moeda e um
dado. Se sair cara na moeda, o jogador perde
e deve pagar $ X, sendo X o valor da face do
dado e, se sair coroa, ele ganha e irá receber
$ X. Considerando que ele iniciou o jogo com
$ 20, a probabilidade de ele continuar com o
mesmo valor, depois de duas jogadas, é:
1
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
6
12
24
36
72
Os que não preferem nem X nem Y estão representados no diagrama pela região exterior a esses dois conjuntos, isto é, a porcentagem pedida
é 20% + 28% = 48%.
Questão 2
A figura a seguir representa parte do gráfico
de uma função periódica f : ℜ → ℜ.
alternativa B
Para que o jogador continue com o valor inicial,
na segunda jogada a moeda deve cair com face
contrária à obtida na primeira, o que ocorre com
1
probabilidade , e o dado deve cair com a mes2
ma face da primeira jogada voltada para cima, o
1
que ocorre com probabilidade . Assim, a proba6
1 1
1
.
bilidade pedida é
⋅
=
2 6
12
matemática 2
Questão 4
Um hospital dispõe de três médicos e de quatro enfermeiras para formar uma Comissão de
Ética (CE) e uma Comissão de Controle de
Infecções Hospitalares (CCIH). Cada comissão
deve ser composta de um médico e duas enfermeiras e ninguém pode pertencer às duas comissões. Juntas, uma CE e uma CCIH constituem uma “formação”. O número de “formações” distintas que podem ser constituídas é:
a) 36
b) 18
c) 324
d) 144
e) 6
seja 5, e a distância entre b e c seja 7. A área
de um quadrado ABCD em que A ∈ a, B ∈ b
e C ∈ c é igual a:
a) 35
b) 42
c) 50
d) 74
e) 144
alternativa D
alternativa A
O número de maneiras de se compor uma Comis⎛3 ⎞ ⎛ 4 ⎞
4 ⋅3
são de Ética é ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 3 ⋅
= 18 e o nú⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
mero de maneiras de se compor uma Comissão de
Controle de Infecções Hospitalares com os médi⎛3 − 1⎞ ⎛ 4 − 2 ⎞
cos e enfermeiros restantes é ⎜
⎟ =
⎟ ⋅⎜
⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛2 ⎞ ⎛2 ⎞
= ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 2.
⎝1 ⎠ ⎝2 ⎠
Assim, o número de “formações” distintas que podem ser constituídas é 18 ⋅ 2 = 36.
Questão 5
Carlos tem oito anos de idade. É um aluno
brilhante, porém comportou-se mal na aula, e
a professora mandou-o calcular a soma dos
mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a
professora impressionada. A resposta correta
encontrada por Carlos foi:
a) 512.000
b) 780.324
c) 1.000.000
d) 1.210.020
e) 2.048.000
Sendo F e E as projeções ortogonais de B sobre
$
a e c, respectivamente, e m (BAF)
= θ, temos
o
$
m (ABF) = 90 − θ e
$
$
$ =
m (EBC)
= 180o − m (ABC)
− m (ABF)
= 180o − 90o − (90o − θ) = θ.
5
7
Assim, no ΔAFB, sen θ = e, no ΔBEC, cos θ = .
l
l
2
2
⎛5 ⎞
⎛7 ⎞
Da Relação Fundamental, ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 ⇔
⎝ l⎠
⎝ l⎠
2
⇔ l = 74, que é a área do quadrado ABCD.
Questão 7
Resolvendo a equação log2 ( senx ) =
= log4 (cos x ) no intervalo 0o < x < 90o o valor de x é tal que:
a) 45o < x < 60o
c) 0o < x < 30o
e) 60o < x < 75o
alternativa A
alternativa C
Considerando que a professora pediu para
Carlos somar os mil primeiros números ímpares positivos, o milésimo número é igual a
1 + (1 000 − 1) ⋅ 2 = 1 999 e a soma dos mil nú(1 + 1 999) ⋅ 1 000
meros é
= 1 000 000.
2
b) 30o < x < 45o
d) 75o < x < 90o
Para 0
o
< x < 90o , temos:
log 2 (sen x) = log 4 (cos x) ⇔
⇔ log 1 (sen x) = log 4 (cos x) ⇔
42
⇔ log 4 (sen x) 2 = log 4 (cos x) ⇔
⇔ 1 − cos 2 x = cos x ⇔ cos x =
Questão 6
Sejam a, b e c retas paralelas e distintas, com
b entre a e c, tais que a distância entre a e b
−1 + 5
2
1
5 −1
2
<
<
⇔
2
2
2
⇔ cos 60o < cos x < cos 45 o e a função co-seno é
decrescente no primeiro quadrante, 45 o < x < 60o .
Como
matemática 3
Questão 8
Um aplicador que investiu seu capital na data zero obteve as rentabilidades abaixo:
Data
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rentabilidade
+50%
−50%
+50%
−50%
+50%
−50%
+50%
−50%
+50%
−50%
A porcentagem aproximada do capital desse aplicador, ao final de dez meses, será:
a) 24%
b) 38%
c) 75%
d) 83%
e) 100%
alternativa A
O aplicador teve ganho de 50% nos meses 1, 3, 5, 7 e 9 e perda de 50% nos meses 2, 4, 6, 8 e 10, ou
5
5
5
5
50 ⎞
50 ⎞
⎛
⎛
⎛3 ⎞
⎛1 ⎞
seja, o seu capital inicial ficou multiplicado por ⎜1 +
⎟ ⋅ ⎜1 −
⎟ =⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
100
100
2
2
=
35
210
=
243
≅ 24%.
1 024
Questão 9
Questão 10
Uma circunferência de raio 3, situada no 1º
quadrante do plano cartesiano, é tangente ao
eixo y e à reta de equação y = x. Então, a ordenada do centro dessa circunferência vale:
a) 3 2 − 1
b) 2 3 + 1
c) 3 2 + 2
⎧kx − y + z = 3
⎪
Considere o sistema linear ⎨ x + ky + z = k
⎪ x + y + kz = 1
⎩
d) 2 3 + 3
e) 3 2 + 3
alternativa E
de incógnitas x, y e z. Sendo k um parâmetro
real, então:
a) o sistema será impossível se k = −1 ou
k =1
b) o sistema será determinado se k = 1
c) o sistema será impossível se k = 0 ou
k = −1
d) o sistema será indeterminado se k = 0 ou
k = −1
e) o sistema será determinado se k = 0 ou
k = −1
alternativa C
Escalonando a matriz completa do sistema temos:
⎛ k −1 1 3 ⎞ l ⎛1 k 1 k ⎞ kl − l
⎜
⎟ 12 ⎜
⎟ 1 2
~
c = ⎜1 k 1 k ⎟ ~ ⎜ k −1 1 3 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ l1 − l 3
⎝1 1 k 1 ⎠
⎝1 1 k 1 ⎠
As distâncias do centro da circunferência às retas
x = 0 e y = x são iguais a 3. Como a circunferência encontra-se no 1º quadrante, então
C = (3; b), com b > 0. Assim:
|3 − b |
dc, r = 3 ⇔
= 3 ⇔ |3 − b | = 3 2 ⇔
2
1 + ( −1) 2
⇔ b = 3 2 + 3.
k
1
k ⎞ (k −1) l − (k 2 + 1) l
⎛1
2
3
⎜
⎟
0 k 2 + 1 k − 1 k 2 − 3⎟
~
⎜
l1 − l 3 ⎜
⎟
⎝0 k − 1 1 − k k − 1 ⎠
kl1 − l 2
~
(k −1) l 2 − (k 2 + 1) l 3
~
k
1
⎛1
⎜
2
0
k
1
k
+
−1
⎜
⎜
0
k3 − k
⎝0
k
⎞
⎟
k2 − 3 ⎟
⎟
−4k + 4 ⎠
matemática 4
Como k 2 + 1 ≠ 0 para todo k real, o sistema será
k3 − k = 0
spi se, e somente se,
⇔
−4k + 4 = 0
⇔
k(k 2 − 1) = 0
⇔ k = 1.
k =1
O sistema será spd se, e somente se,
k 3 − k ≠ 0 ⇔ k ≠ 0 e k ≠ 1 e k ≠ −1.
E, por fim, o sistema será si se, e somente se,
k3 − k = 0
⇔ k = 0 ou k = −1.
−4k + 4 ≠ 0
Questão 11
Sendo i = −1 a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão (1 + i)6 − (1 − i)6 é:
a) 0
b) 16
c) −16
d) 16i
e) −16i
alternativa E
Então, o volume de água derramada, em cm3 ,
foi:
a) 120π
b) 125π
c) 250π
d) 300π
e) 500π
alternativa B
Considere a figura a seguir.
(1 + i) 6 − (1 − i) 6 = [(1 + i) 2 ] 3 − [(1 − i) 2 ] 3 =
= (2i) 3 − ( −2i) 3 = −8i − 8i = −16i
Questão 12
A figura A mostra um copo cilíndrico reto
com diâmetro da base de 10 cm e altura de
20 cm, apoiado sobre uma mesa plana e horizontal, completamente cheio de água.
O copo foi inclinado lentamente até sua geratriz formar um ângulo de 45o com o plano da
mesa, como mostra a figura B.
Como o ângulo de inclinação do copo é 45 o , o
triângulo BAC é retângulo isósceles. Assim, o volume de água derramada é igual à metade do volume de um cilindro de raio da base 5 cm e altura
1
10 cm, ou seja, V =
⋅ π ⋅ 5 2 ⋅ 10 = 125 π cm 3 .
2
Questão 13
Considere a equação x 3 − 6 x2 + mx + 10 = 0
de incógnita x e sendo m um coeficiente real.
Sabendo que as raízes da equação formam
uma progressão aritmética, o valor de m é:
a) −5
b) −3
c) 3
d) 4
e) 5
matemática 5
alternativa C
Como as raízes da equação formam uma progressão aritmética, elas são a − r , a, a + r , com a,
r ∈ C . Assim, pelas relações entre coeficientes e
−6
raízes, (a − r) + a + (a + r) = −
⇔ a = 2.
1
Logo, 2 é raiz da equação, de modo que
2 3 − 6 ⋅ 2 2 + m ⋅ 2 + 10 = 0 ⇔ m = 3 .
Questão 15
⎡1 1⎤
Sendo A = ⎢
⎥eB=
⎣0 1⎦
na equação A16 ⋅ X = B será:
⎡5⎤
a) ⎢ ⎥
⎣5⎦
Questão 14
Se calcularmos o valor de 295 , iremos obter
um número natural N. O algarismo final (das
unidades) desse número N vale:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
alternativa E
Podemos observar que, ao multiplicarmos um número natural cujo algarismo das unidades é 6 por
um número k par, o algarismo das unidades do
produto é igual ao algarismo das unidades de k.
Logo, como 2 4 = 16, o algarismo das unidades de
2 4q + r , com q natural e 1 ≤ r ≤ 3, é igual a 2 r e é
igual a 6 no caso em que r = 0.
Portanto, já que N = 2 95 = 2 4 ⋅ 23 + 3 , o algarismo
das unidades de 2 95 é 2 3 = 8 .
⎡170⎤
⎡ x⎤
⎢ 10 ⎥ , a matriz X = ⎢ y ⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎡0⎤
b) ⎢ ⎥
⎣10⎦
⎡10⎤
c) ⎢ ⎥
⎣5⎦
⎡10⎤
d) ⎢ ⎥
⎣10⎦
⎡5⎤
e) ⎢ ⎥
⎣10⎦
alternativa D
Temos que
⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 2 ⎤
A2 = ⎢
⎥⋅⎢
⎥ =⎢
⎥e
⎣0 1⎦ ⎣0 1⎦ ⎣0 1 ⎦
⎡1 1⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡1 3 ⎤
A3 = A ⋅ A2 = ⎢
⎥⋅⎢
⎥ =⎢
⎥.
⎣0 1⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 1 ⎦
⎡1 1⎤ ⎡1 k ⎤ ⎡1 k + 1⎤
para todo
Logo, como ⎢
⎥⋅⎢
⎥ =⎢
1 ⎥⎦
⎣0 1⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0
k inteiro positivo, pelo pif, podemos afirmar que
⎡1 n ⎤
∗
An = ⎢
⎥ para todo n ∈ Z + .
⎣0 1 ⎦
⎡1 16 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡170 ⎤
Assim, A16 ⋅ X = B ⇔ ⎢
⎥⋅ ⎢ ⎥ = ⎢
⎥ ⇔
⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 10 ⎦
⇔
x + 16y = 170
x = 10
⎡10 ⎤
e X = ⎢ ⎥.
⇔
y = 10
y = 10
⎣10 ⎦