Questão 22
Foi realizada uma pesquisa, num bairro de
determinada cidade, com um grupo de 500
crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse
grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz
A, onde
⎡
⎢1 −1
A = ⎢3 0
⎢
⎢0 2
⎣
⎤
1 ⎥
−x ⎥
2 ⎥
⎥
3 ⎦
Com base na fórmula p(x) = detA, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo
peso é 30 kg.
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de
f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água.
Em que instante o golfinho saiu da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por
3
f(t) = − t2 + 6t − 9.
4
Determine quantos segundos o golfinho ficou
fora da água e a altura máxima, em metros,
atingida no salto.
Resposta
1
p(x) = det A = 3
0
−1
0
2
1
−x ⇔
2
3
⇔ p(x) = 6 − ( −2x − 2) = 2x + 8
a) O peso médio de uma criança de 5 anos é
p(5) = 2 ⋅ 5 + 8 = 18 kg.
b) Seja x, em anos, a idade provável de uma criança cuja massa é 30 kg. Então:
p(x) = 30 ⇔ 2x + 8 = 30 ⇔ x = 11 anos
Questão 23
O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em
função do tempo t em segundos) por um certo
período, de um golfinho que salta e retorna à
água, tendo o eixo das abscissas coincidente
com a superfície da água.
Resposta
a) A equação da reta que passa pelos pontos
−2 − ( −4)
(x − 0) ⇔
1 −0
⇔ y = 2x − 4, que corta o eixo x em (2; 0).
Assim, para 0 ≤ t ≤ 2, f(t) = 2t − 4, e o golfinho saiu
da água no instante t = 2 segundos.
3
b) Como f(t) = 0 ⇔ − t 2 + 6t − 9 = 0 ⇔ t = 2
4
ou t = 6, o golfinho ficou fora da água 6 − 2 = 4 segundos.
A altura máxima que o golfinho atingiu é
⎛ 3⎞
6 2 − 4 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ( −9)
⎝ 4⎠
∆
−
=−
= 3 metros.
4a
⎛ 3⎞
4 ⋅ ⎜− ⎟
⎝ 4⎠
(0; −4) e (1; −2) é y − ( −4) =
Questão 24
Numa plantação de certa espécie de árvore,
as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as
matemática 13
árvores são plantadas até completarem 10
anos, são dadas respectivamente pelas funções:
altura: H(t) = 1 + (0,8) ⋅ log2 (t + 1)
t
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ⋅ 2 7
com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em
centímetros, das árvores no momento em que
são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine
o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
Resposta
a) No momento em que são plantadas, as árvores
possuem uma altura aproximada de H(0) = 1 +
+ 0,8 ⋅ log 2 (0 + 1) = 1 metro e diâmetro do tronco
medindo aproximadamente D(0) = (0,1) ⋅ 2 0/ 7 =
= 0,1 metro = 10 centímetros.
b) H(t) = 3,4 ⇔ 1 + (0,8) ⋅ log 2 (t + 1) = 3,4 ⇔
⇔ log 2 (t + 1) = 3 ⇔ t + 1 = 2 3 ⇔ t = 7 anos
Logo o diâmetro do tronco dessa árvore será de
aproximadamente D(7) = (0,1) ⋅ 27 / 7 = 0,2 metro =
= 20 centímetros.
Questão 25
Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada uma barraca com a
forma e as dimensões dadas de acordo com a
figura.
a
a
2m
2,5 m
a
4m
4m
4m
Em cada um dos quatro cantos do teto da
barraca será amarrado um pedaço de corda,
que será esticado e preso a um gancho fixado
no chão, como mostrado na figura.
a) Calcule qual será o volume do interior da
barraca.
b) Se cada corda formará um ângulo α de 30o
com a lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos metros de corda serão
necessários para fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se necessário, a aproximação 3 = 1,73) .
Resposta
a) O interior da barraca pode ser representado
por um prisma reto de base pentagonal. O pentágono pode ser decomposto em dois trapézios de
4
bases de medidas 2 m e 2,5 m e altura
= 2 m.
2
A altura do prisma é 4 m.
(2 + 2,5) ⋅ 2
Assim, o volume pedido é 2 ⋅
⋅4 =
2
3
= 36 m .
b) Cada um dos 4 pedaços de corda tem medida
x, em metros, igual à hipotenusa de um triângulo
retângulo de ângulo α = 30o e cateto adjacente a
α medindo 2 m, ou seja:
2
2
3
4 3
= cos 30o ⇔
=
⇔x =
m
x
x
2
3
4 3
16 ⋅ 1,73
Portanto serão necessários 4 ⋅
≅
≅
3
3
≅ 9,3 m de corda.