CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
MISSÕES INTERPLANETÁRIAS
Durval Eusíquio de Miranda Motta
Departamento de Física - UEFS
1 INTRODUÇÃO
As missões interplanetárias são
realizadas por sondas automáticas que
viajam a partir da Terra até o planeta em
estudo ou sua vizinhança. Para o
planejamento da viagem, são elementos
importantes: a órbita de estacionamento ou
órbita de partida ou órbita de espera e a
conseqüente
velocidade
orbital,
a
velocidade de escape, a velocidade
hiperbólica, a esfera de influência da
Terra e do planeta em questão, bem como
uma órbita elíptica e seus elementos
importantes. Muitos cálculos dependerão
de algumas constantes importantes, a
saber: 1) a constante universal de
−11
2
2
gravitação: G = 6,67× 10 N m / kg e 2) a
massa do Sol: 1,99 x 1030 kg. Além disso,
muitos termos da área serão usados e,
portanto,
apresentamos
algumas
definições, a seguir:
Terra em torno do Sol. O plano das órbitas dos
demais planetas estão inclinados em relação à
eclíptica. Exemplos: Vênus: 3,4o; Marte:
1,85o; Mercúrio: 7,0o ; Júpiter: 1,3o
Esfera de influência: é a região em torno
de um astro em que a atração
gravitacional dele o é predominante sobre
os demais astros.
Raio da esfera de influência de um
planeta:
⎛M ⎞
rp ≈ rS p ⎜⎜ p ⎟⎟
⎝ MS ⎠
2
5
(1)
sendo
rP = raio da esfera de influência do planeta
rSP = raio orbital médio do planeta
MP = massa do planeta
MS = massa do sol
Apoastro, apocentro ou apofoco: é o ponto
mais distante de um corpo em órbita em
torno de outro. No caso dos planetas em
torno do Sol, o apoastro é denominado
afélio. O afélio da Terra dista 1,521 x 1011
m do Sol. No caso de um satélite da Terra
ele é chamado apogeu.
Órbita de estacionamento, orbita de
espera ou órbita de partida: é uma órbita
baixa, por exemplo, uma órbita de cerca
de 450km acima da superfície da Terra,
aproximadamente circular. Seja vc a
velocidade do satélite em órbita circular.
Sabe-se que,
Periastro: é o ponto mais próximo de um
corpo em órbita em torno de outro. No
caso dos planetas, o periastro é
denominado de periélio. O periélio da
Terra dista l,47l x 1011 m do Sol. No caso
de um satélite da Terra o periastro é
denominado de perigeu.
vc =
GM
R+h
(2)
onde
vc= velocidade
circular
Eclíptica: é o plano determinado pela órbita da
61
do
satélite
na
órbita
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
G = constante universal de gravitação
M = massa da Terra
R = raio médio da Terra
h = altitude acima da superfície da Terra
Portanto, esta velocidade para 450 km de
altitude vc = 7,6 km/s (aproximadamente
27.505 km/h)
DADOS PLANETÁRIOS
GRANDEZA
PLANETA
Mercúrio
Massa
(em 1024
kg)
Raio
Raio
médio da
médio da
esfera de
Velocidad
Tempo de
Raio
órbita
influência
Excentrici e orbital
revolução
equatoria
(em
dade
da
(em
média
em torno
l (em 106 milhões
milhares
(em
órbita
do Sol
m)
de
Km/s)
de
quilômetr
quilômetr
os)
os)
0,315
2,44
57,91
0,2056
87,97
dias
112
4,88
6,056
108,21
0,00678
35,02 224,7dias
615
Terra
5,977
6,378
149,60
0,0167
29,79
365,256
dias
925
Marte
0,645
3,395
227,94
0,0934
24,13
686,98
dias
579
Júpiter
1.900
70,4
777,8
0,0484
1305
11,86
anos
48.100
581
59,65
1.427
0,5556
9,65
29,46
anos
54.600
Urano
87,8
27,9
2.869
0,04726
6,8
84 anos
52.000
Netuno
103
25
4.497 0,008587
5,43
164,8
anos
86.900
5.900
4,74
248,5
anos
3.200
Vênus
Saturno
Plutão
0,012
?
62
0,248
47,87
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
onde o índice “i”, refere-se a esfera de
influência. O raio rT é o raio da esfera de
influência da terra.
A velocidade hiperbólica (vh) é
qualquer velocidade superior à velocidade
de escape. É também chamada de
velocidade de escape hiperbólico. A Figura
2, ilustra o movimento de um corpo a esta
velocidade,
A
velocidade
de
escape
ou
velocidade parabólica pode ser calculada
da seguinte maneira:
ve =
2G M
2G M
=
r
R+h
(3)
ve = vc 2
(4)
sendo
G = constante universal de gravitação
M = massa da Terra
R = raio médio da Terra
h = altura acima da superfície da Terra
r = distância ao centro da Terra
Para uma altitude de 450 km, o
valor da velocidade de escape é Ve = 10,8
km/s. Então uma nave em órbita circular
a 450 km de altitude deve aumentar sua
velocidade em 3,2 km/s para atingir a
velocidade de escape da Terra. A Figura 1
mostra uma órbita circular e a trajetória
parabólica.
Figura 2. Velocidade hiperbólica
Devemos agora fazer referência às
equações do movimento de um foguete.
1.1 Movimento de um Foguete no
Espaço
Vazio
e
Gravidade
Desprezível
A velocidade alcançada pelo foguete ao
esgotar o combustível é dada por:
v = vo + u ln
(5)
onde
v = velocidade atingida pelo foguete
vo = velocidade inicial do foguete
u = velocidade de ejeção dos gases
expelidos pelo motor do foguete
Mo = massa inicial do foguete
M = massa final do foguete (reator +
tanque vazio + carga útil)
Figura 1. Velocidade parabólica
Velocidade parabólica ao sair da
esfera de influência da Terra é calculada
da seguinte maneira:
v p i = ve i =
Mo
M
2G M
= 929 m / s ≈ 0,9 km / s
rT
A relação entre a massa inicial do
foguete e a massa final é:
63
Missões Interplanetárias
⎛ v − vo ⎞
M O = M exp ⎜
⎟
⎝ u ⎠
Durval Eusíquio de Miranda Motta
elíptica coincida com a passagem do
planeta alvo pela vizinhança desse ponto.
A viagem econômica de uma
espaçonave a partir da Terra a um
planeta
alvo
segue
os
seguintes
principais:
a) colocação da espaçonave com foguetes
propulsores
em
órbita
de
estacionamento em torno da Terra,
sendo a órbita inclinada de 23o 27′ em
relação ao equador, num instante em
que se situa no mesmo plano da órbita
da Terra em torno do Sol (plano da
eclíptica).
b) em ocasião ótima (janela de lançamento)
disparo de foguete dando à espaçonave
velocidade de escape hiperbólico ou
excepcionalmente velocidade parabólica.
c) saída da esfera de influência da Terra,
passando a espaçonave a ter trajetória
elíptica em torno do Sol no mesmo
plano da órbita terrestre.
d) mudança do plano de órbita da
espaçonave, passando do plano da
órbita da Terra para o plano da órbita
do planeta alvo.
e) entrada da espaçonave na esfera de
influência do planeta alvo.
f) realização da operação de captura,
fazendo a espaçonave entrar na órbita
planejada em torno do planeta alvo.
g) eventual descida de uma cápsula à
superfície do planeta.
A mudança do plano de órbita da
trajetória da espaçonave se dá quando a
mesma atinge a vizinhança da interseção
dos planos das órbitas da Terra e do
planeta alvo, mediante uma manobra de
mudança de atitude (direção apontada
pela espaçonave) em direção apropriada,
seguida
de
disparo
de
foguete
ocasionando uma mudança de velocidade
com conservação do módulo, conforme
ilustra o diagrama abaixo:
(6)
(Conhecida como fórmula de Tsiolkovski)
Os dados inseridos nas fórmulas
devem estar em unidades do Sistema
Internacional de Unidades (SI). Exemplos:
massa em quilograma (kg); distância em
metro (m); velocidade em metro por
segundo (m/s). Exprimimos os resultados
de velocidade na unidade prática km/s.
Se o leitor quiser saber o correspondente
em km/h, basta multiplicar por 3.600
(número de segundos de uma hora).
Para colocar um satélite numa
órbita circular a 450 km acima da
superfície da Terra, pode ser usado um
foguete de dois estágios utilizando
hidrogênio e oxigênio líquidos, cuja
queima proporciona velocidade de ejeção
dos gases entre 3.200 m/s na baixa
atmosfera até mais uns 15% no espaço
exterior. Analisando os dados referentes
ao foguete Saturno V e ao shuttle,
concluímos que o foguete proposto acima
dá uma relação de massa (massa total do
foguete pela carga útil posta em órbita) de
cerca de 20. Isto é, para colocar um satélite
de 1 ton na órbita especificada, a massa
total do foguete no lançamento deve ser
aproximadamente 20 ton.
2 Viagem da Terra a um Planeta
A espaçonave sai da esfera de
influência da Terra com velocidade
tangente à velocidade orbital da mesma,
entrando naturalmente na trajetória
elíptica em torno do Sol no ponto onde a
elipse toca o semi-eixo maior (um vértice
da elipse).
A viagem econômica deve ser
iniciada numa ocasião tal em que a
passagem da espaçonave pela posição
oposta do semi-eixo maior da trajetória
64
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
O período de revolução de um corpo de
massa m em torno de outro de massa M
onde M>>m é:
Up
α
⎛ (q q ) ⎞
⎟
T = 2π ⎜
⎜ qG M ⎟
⎝
⎠
ΔV
1
UT
+
12
3
2
[13]
Figura 3. Mudança de plano de órbita]
Δv = 2 v sen (α/2)
Onde M é a massa do corpo central.
(7)
2.1 Relação de Massa
sendo,
No lançamento da espaçonave em
velocidade de escape hiperbólico, a partir
da órbita de estacionamento, é utilizado
foguete propelido a hidrogênio e oxigênio
líquidos. Como o foguete já está no espaço
exterior, a velocidade de ejeção dos gases
é de cerca de 3.700 m/s. Considerando
que a carcaça do estágio anterior à carga
útil represente 0,26 da massa da carga
útil para uma relação de massa entre o
total de massa (carga útil + segundo
estágio carregado de propelentes) e carga
útil + carcaça do segundo estágio,
aproximadamente
3,4,
conforme
observamos nos dados referentes ao
foguete Saturno V, admitindo que cada
estágio tem a forma cilíndrica e aplicando a
fórmula (6), podemos avaliar a relação de
massa entre o foguete na órbita de
estacionamento de 450 km de altitude em
torno da Terra e a sua entrada numa
órbita elíptica heliocêntrica.
Nas manobras realizadas a grandes
distâncias da Terra são usados foguetes a
propelentes
sólidos.
Os
estágios,
geralmente, são constituídos de baterias
de foguetes. Cada foguete como um todo é
o motor, que deve ter parede reforçada.
Os elementos de uma bateria, com
tempos de combustão diferenciados, são
descartados após a queima, o que
determina maior eficiência no aumento de
v = UT = U p
(módulos das velocidades)
No
planejamento
da
viagem
interplanetária é essencial termos o valor
da velocidade no periélio e no afélio, as
quais são obtidas pelas fórmulas abaixo:
Velocidade no periélio:
⎛
v P = ⎜⎜ GM
⎝
12
⎛ 2 1 ⎞⎞
⎜⎜
− ⎟⎟ ⎟⎟
⎝ q1 a ⎠ ⎠
(8)
Velocidade no afélio:
⎛
v A = ⎜⎜ GM
⎝
(9)
12
⎛ 2 1 ⎞⎞
⎜⎜
− ⎟⎟ ⎟⎟
q
⎝ 2 a ⎠⎠
sendo,
M = massa do Sol
q1 = distância no perélio
q2 = distância no afélio
a = semi-eixo maior da órbita eliptica
a=
q1 + q 2
(10)
2
Velocidade em um ponto da órbita:
rP
VP
r
r
V= A V A
r
V=
(11)
(12)
65
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
velocidade. Na ausência de dados, para
efeito de cálculo da relação de massa,
vamos admitir o conceito de estágio
equivalente para cada bateria, com o
mesmo índice entre carcaça do estágio
anterior à carga útil e a carga útil.
Considerando os dados relativos ao
shuttle e por estar o foguete funcionando
no vazio do espaço, tomamos para
velocidade de ejeção dos gases 3.100
m/s..
Inicialmente observemos que a
órbita de Vênus é sensivelmente circular.
Por este fato e por não termos dados
referentes às posições relativas das órbitas
da Terra e de Vênus, não usamos nos
cálculos o valor do periélio e do afélio do
planeta, apenas sua distância média ao Sol
(acarretando um erro pequeno).
Aplicando a fórmula (9) para a
Terra no afélio e no periélio, verificamos
que a velocidade orbital da espaçonave no
seu afélio (saída da esfera de influência da
Terra) está entre 26,9 e 27,7 km/s
relativa ao Sol e –2,4 km/s (para a Terra
no afélio) e –2,6 km/s (para a Terra no
periélio) relativa à Terra. Como a
velocidade de escape no limite da esfera
de influência da Terra é 0,9 km/s,,
deduzimos que a magnitude da velocidade
de partida da órbita de estacionamento de
450 km de altitude, deve ser de escape
hiperbólico entre 4,7 e 4,9 km/s acima da
velocidade orbital na referida órbita.
Cerca de uma semana da partida
da
órbita
de
estacionamento,
a
espaçonave chega à “superfície” da esfera
de influência da Terra
3 Viagem da Terra a Vênus
Nesta seção vamos examinar a
viagem de um veículo espacial da Terra a
Vênus.
3.1 Até Passagem da Sonda com
Velocidade Hiperbólica pela Esfera
de Influencia de Vênus
A Trajetória em órbita elíptica em
torno do Sol com afélio na órbita da Terra
e periélio na órbita de Vênus, tem a
configuração da Figura 4.
A espaçonave é lançada a partir da
órbita de estacionamento num instante
apropriado (janela de lançamento).
TERRA
3.2 Mudança de Plano de Órbita
Os planos de órbita da Terra e de
Vênus em torno do Sol, como vimos, estão
inclinados de 3,4o. A depender da posição
da Terra no momento da saída da
espaçonave da sua esfera de influencia,
com a conseqüente entrada na trajetória
elíptica em torno do Sol, a manobra de
mudança da espaçonave do plano de
órbita da Terra para o plano de órbita de
Vênus, implicará em mudança de
velocidade entre 1,6 e 1,9 km/s.
SOL
VÊNUS
3.3 O Encontro com Vênus
Aplicando a fórmula (8) verificamos
que a velocidade no periélio (passagem
por Vênus) está entre 37,6 e 37,9 km/s
Figura 4. Viagem econômica a Vênus
66
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
relativa ao Sol e 2,6 a 2,9 km/s relativa a
Vênus. Observando que a trajetória da
espaçonave é metade de uma elipse,
aplicando a fórmula (13), concluímos
que a viagem da espaçonave entre as
esferas de influência dos dois planetas é
realizada de 145 a 148 dias. A partir do
lançamento da órbita de estacionamento:
152 a 155 dias.
A relação de massa para fazer passar
uma espaçonave pela esfera de influência
de Vênus a partir da órbita de
estacionamento a 450 km acima da
superfície da Terra está entre 9,5 (Terra no
afélio quando a espaçonave sai da esfera de
influência) e 10,2 (Terra no periélio quando
a espaçonave sai da esfera de influência). A
partir da saída da superfície da Terra,
considerando a massa total do foguete,
entre 180 e 204. Significa que para fazer
uma sonda de 500 kg passar pelas
proximidades de Vênus, a massa total do
foguete partindo da superfície da Terra deve
estar entre 90 e 102 ton.
A configuração entre os dois
planetas, que permite a viagem econômica,
se repete em intervalos de 1 ano e 7 meses.
Nas viagens não econômicas, o periélio da
órbita elíptica da espaçonave está abaixo
da órbita de Vênus. Quanto mais baixo,
mais dispendiosa a viagem. A título de
exemplo, numa órbita de periélio 10
milhões de quilômetros abaixo de Vênus,
a relação de massa aumenta de cerca de
200 para 250. Neste tipo de órbita, o
encontro com o planeta, de acordo com o
planejamento da viagem, se dará antes ou
depois do periélio, conforme está ilustrado
na Figura 5.
No encontro antes do periélio
(viagem mais rápida) a espaçonave realiza
um trajeto de tipo TV1. No encontro
depois do periélio o trajeto da espaçonave
é do tipo TV2.
As viagens realizadas pelas sondas
soviéticas da série Venera, entre 1961 e
1983, foram todas do tipo TV1, com o
tempo de viagem variando de 104 a 136
dias. As sondas americanas Mariner 2 e
Mariner 3, gastaram 109 e 129 dias,
respectivamente. Realizaram, portanto,
trajetos do tipo TV1.
Órbita da Terra
Órbita da Sond
a
V2
V1
ita
de
Ór
bita
rb
Ó
da
Son
da
SOL
Vê
nu
s
TERRA
Saída da Terra
Figura 5. Viagem não econômica a Vênus.
3.4 Sonda em Órbita em Torno de
Vênus, em Missão Econômica
A sonda entra na esfera de
influência
do
planeta
Vênus
com
velocidade hiperbólica. Com o uso dos
foguetes é feita a operação de captura,
entrando numa órbita em torno do
planeta com um gasto pequeno de
combustível, o suficiente para um
apoastro distante do planeta, o permitido
para manter a sonda livre de perturbação
67
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
mecânica, deduzimos que a sonda chega ao
ponto mais próximo do planeta com a
velocidade entre 2,8 e 3,1 km/s. Como a
velocidade na órbita aludida neste ponto
deve ser 0,2 km/s, concluímos que os
foguetes devem ser acionados para uma
variação de velocidade de 2,6 a 2,9 km/s.
Admitindo que o último estágio é o que faz
a operação de captura (colocação do satélite
em órbita) e usando a fórmula (6),
chegamos a relação de massa total entre
555 e 580. Significa que um foguete de 200
ton a partir da Terra, é capaz de por na
referida órbita uma carga útil de
aproximadamente 345 a 360 kg.
SOL
VÊNUS
3.5 Descida de uma
Superfície do Planeta
Cápsula
à
A cápsula é liberada da sonda e
estará com ela na mesma órbita. Para
descer a superfície do planeta deve passar
para outra órbita elíptica de mesmo
apoastro (300.000 km do centro do
planeta) e periastro mais ou menos ao
nível da superfície do planeta, contando
com a atmosfera para a freada. A
passagem para a nova órbita é conseguida
com uma diminuição de velocidade de
alguns metros por segundo (com grande
precisão) no apoastro. A cápsula deve
atingir a atmosfera do planeta com um
ângulo de ataque exato, evitando ser
recocheteada ou ser destruída pelo calor
de um atrito excessivo. Não temos
condições de fazer estimativas numéricas.
Figura 6. Sonda satélite de Vênus
gravitacional do Sol, cerca de 300.000 km
do centro do planeta e um periastro
suficientemente próximo do centro do
planeta com órbita estável, por exemplo,
500 km acima das nuvens, o que está
representado na Figura 6, embora fora de
escala. O período de revolução do satélite
é de 7 d 16 h, como podemos verificar
pela fórmula (13).
Aplicando a fórmula (9), com M
representando a massa de Vênus, achamos
que a velocidade do satélite no apoastro é
de aproximadamente 0,2 km/s. Aplicando
a fórmula (8) verificamos que a velocidade
no periastro é 9,8 km/s.
Já vimos que a sonda entra na
esfera de influência de Vênus com a
velocidade entre 2,6 e 2,9 km/s. Existe,
então, um ângulo de incidência na esfera
de influência para o qual a sonda chega a
uma aproximação máxima do centro do
planeta igual a 300.000 km. Usando o
principio da conservação da energia
4 Viagem da Terra a Marte
4.1 Passagem de uma
Vizinhança de Marte
68
Sonda
pela
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
Numa
viagem
econômica
a
espaçonave sai da esfera de influência da
Terra com velocidade entre 2,3 e 3,6 km/s
relativa a Terra, a depender da
configuração orbital dos dois planetas,
1,4 a 2,7 km/s além da velocidade
parabólica.
Considerando
que
a
velocidade na órbita de estacionamento a
450 km de altitude é 7,6 km/s, que a
velocidade de escape a nível desta órbita é
10,8 km/s, a espaçonave deve sofrer,
então, um acréscimo de velocidade de 4,6
a 5,9 km/s acima da velocidade na órbita
de estacionamento. Para mudança do
plano de órbita da Terra para o plano de
órbita
de
Marte,
a
espaçonave
experimenta uma variação de velocidade
de 0,8 km/s. A espaçonave chega a esfera
de influência de Marte com velocidade em
relação ao planeta entre 2,0 km/s no
afélio de Marte e 3,4 km/s no periélio.
Seguindo as considerações sobre o
cálculo da relação de massa e usando a
fórmula (6), achamos que a relação de
massa da missão entre a órbita de
estacionamento a 450 km acima da
superfície da Terra até a chegada à esfera
de influência de Marte, está entre 6,5 e
10. A relação de massa total, portanto,
está entre 130 e 200. Do exposto concluise que para fazer passar pela esfera de
influência de Marte uma sonda de 500 kg,
a massa total do foguete a ser lançado da
Terra estará entre 65 e 100 ton.
Um foguete de 200 ton no
lançamento é capaz de fazer passar pela
esfera de influência de Marte uma
espaçonave de 1.000 a 1.500 kg, a
depender da posição dos dois planetass
na ocasião do lançamento. Usando a
fórmula (13) e observando que o trajeto da
espaçonave é a metade de uma elípse, o
tempo de viagem entre as esferas de
influência varia de 236 a 281 dias. Levando
em conta o tempo de vôo para sair da
MARTE
SOL
TERRA
Saída da Terra
Figura 7. Viagem econômica a Marte
As órbitas da Terra e de Marte
estão numa disposição tal, que quando
Marte está no afélio (248 milhões de
quilômetros distante do Sol) a Terra está a
148 milhões de quilômetros (o periélio da
Terra dista 147 milhões de quilômetros do
Sol). Consequentemente, quando Marte
está no periélio (a 207 milhões de
quilômetros do Sol) a Terra está a 151
milhões de quilômetros (o afélio da Terra
está a 152 milhões de quilômetros). Vê-se
aí que existe uma distância máxima: 100
milhões de quilômetros e uma distância
mínima de 56 milhões de quilômetros
entre
os
planetas
em
conjunção
heliocêntrica, isto é, Marte em oposição
geocêntrica. Veja a Figura 7.
Quando uma espaçonave sai da
Terra em órbita econômica, com a Terra
próxima do periélio, chegará a Marte
quando o mesmo se encontra próximo do
periélio. A mesma correspondência se dá
quanto ao afélio.
69
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
Chegada a Marte
M1
Chegada a Marte
M2
SOL
TERRA
Saída da Terra
Figura 8. Viagem não econômica a Marte
As órbitas cruzaram a órbita de
Marte em dois pontos. As sondas que
gastaram menos tempo, passaram ou
chegaram a Marte no primeiro cruzamento
de órbitas. Fizeram um trajeto do tipo TM1,
ilustrado na Figura 8. As outras (as Viking)
fizeram o trajeto de tipo TM2.
esfera de influência da Terra, o tempo total
decorrido entre o lançamento da órbita de
estacionamento em torno da Terra e a
chegada à esfera de influência de Marte,
243 a 288 dias. A configuração entre os
dois planetas, que permite a viagem
econômica, se repete em intervalos de 2
anos e 2 meses.
4.2 Espaçonave em Órbita em Torno de
Marte
Verificando os registros do tempo de
viagem de várias sondas a Marte,
constatamos que as Mariner 4, 5, 6 e 7,
lançadas entre 1964 e 1971, fizeram a
viagem entre 167 e 170 dias. As soviéticas
Marte 4, 5, 6 e 7, lançadas em 1973,
gastaram de 204 a 218 dias. As Viking 1
e2, lançadas em agosto e setembro de
1975, gastaram respectivamente 303 e 332
dias. Conclusão: um grupo de espaçonaves
fizeram a viagem em menos tempo e outro
em mais tempo que o intervalo de 243 a
288 dias, o que mostra terem feito trajetos
não econômicos. O afélio das órbitas de tais
espaçonaves, está além da órbita de Marte.
Como o raio médio da esfera de
influência de Marte é ligeiramente menor
que o de Vênus, podemos considerar a
órbita
(econômica
e
segura)
da
espaçonave em torno de Marte com as
seguintes
características:
apoastro:
300.000 km do centro do planeta;
periastro: 3.900 km (505 km acima da
superfície do planeta). Seguindo a mesma
linha de raciocínio para o caso de Vênus,
concluímos que a velocidade no periastro é
de 4,7 km/s aproximadamente e no
apoastro é 0,06 km/s, acarretando na
operação de captura uma variação de
70
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
foguete lançador na saída da superfície da
Terra, deve ser de 600 a 1.560 ton. É uma
missão dispendiosa.
velocidade produzida por foguete entre
0,6 km/s, com Marte no afélio e 3,3
km/s, com Marte no peliélio. O período
orbital é 20 d 18,5 h, conforme a fórmula
(13). Admitindo o uso de um estágio para
esta operação, podemos concluir que a
relação de massa entre a saída da órbita
de estacionamento na Terra e a
espaçonave capturada na referida órbita
em Marte está entre 13,5 no afélio do
planeta e 23 no periélio. A relação de
massa total (entre o foguete no
lançamento na superfície da Terra e a
espaçonave colocada em órbita em torno
de Marte) varia de 270 a 460. Significa
que um foguete de 200 ton no lançamento
na Terra é capaz de por na referida órbita
em torno de Marte uma carga útil de 430
a 740 kg.
6 Viagem da Terra à Vizinhança de
Júpiter
O periélio da órbita de Júpiter está
a 740 milhões de quilômetros do Sol. E o
afélio a 816 milhões. Considerando
também o periélio e o afélio da Terra,
temos um valor mínimo e um valor
máximo para a relação de massa. No
mínimo 760 e no máximo 1.000. Para
fazer passar pelas proximidades de
Júpiter uma sonda de 500 kg, o foguete
lançador na superfície da Terra deve ter, a
depender da ocasião, no mínimo 380 e no
máximo 500 ton. Um foguete de 200 ton,
com os referidos propelentes, terá no
máximo
capacidade
de
levar
às
proximidades de Júpiter uma carga útil
de 263 kg.
5 Viagem da Terra à Vizinhança de
Mercúrio
A velocidade da espaçonave no
afélio (inicio da trajetória heliocêntrica)
em relação à Terra está entre 7,1 e 8,1
km/s (a depender da posição da Terra em
sua órbita). Os planos das órbitas da
Terra e Mercúrio fazem um ângulo de 7o.
Na operação de mudança de plano de
órbita, a variação de velocidade está entre
2,7 e 4,4 km/s.
Usando dois estágios propelidos a
hidrogênio e oxigênio líquidos, para
imprimir
a
velocidade
de
escape
hiperbólico e um estágio a propelente
sólido para mudança de plano de órbita, a
relação de massa referente a saída da
órbita de estacionamento, a depender da
posição da Terra em sua órbita na ocasião
do lançamento, varia de 60 a 156.
Relativamente à saída do foguete de 4
estágios da superfície da Terra está entre
1.200 e 3.120. Se a sonda em tal missão
tiver a massa de 500 kg, a massa total do
7 Manobras
Assistidas
Gravitacionalmente
Uma manobra gravitacionalmente
assistida ou swing-by consiste na
passagem de uma espaçonave pela esfera
de influência de um planeta, com a
finalidade de produzir uma variação
planejada de sua velocidade.
Quando uma espaçonave atravessa a
esfera de influência de um planeta, o
vetor velocidade da espaçonave, com
respeito ao planeta, é girado, e o vetor
velocidade relativo ao Sol tem o seu
módulo mudado. É uma manobra muito
usada, porque acarreta uma grande
economia de combustível da espaçonave,
tornando possível missões consideradas
inexeqüíveis com o uso exclusivo de
foguetes.
71
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
SOL
αa
β
β
Es
pa
ço
v
na
e
Vpa β
PLANETA
φ
ΔV
V
sa
V pd
αd
β
Vp
/s
d
Vs
γ
φ
Vpa
β
φ
ΔV
V pd
β
Figura 9. Swing-by com acréscimo de velocidade
As Figuras 9 e 10 mostram a
manobra, em coordenadas centradas no
planeta e centradas no Sol, projetadas
para uma passagem interior, isto é, entre
o planeta e o Sol. A passagem é por um
planeta interior ao planeta de onde
proveio a espaçonave. Na Figura 9 há um
aumento da velocidade da espaçonave
com a manobra e na Figura 10 há uma
queda. A referida passagem foi projetada
para acontecer pouco depois do primeiro
cruzamento orbital. Se fosse depois do
segundo cruzamento a passagem seria
naturalmente
exterior.
72
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
β
β
ΔV
Vp
a
β
γ
Vs
β
SO
L
αa
V pd
a
φ
s
Vp/
αd
Figura 10. Swing-by com decréscimo de velocidade
planeta;
Em coordenadas centradas no planeta,
temos:
δ = ângulo através do qual o vetor
velocidade da espaçonave será girado
(180o - 2β);
βr = ângulo assintótico hiperbólico;
V pa = velocidade da espaçonave na
chegada à esfera de influência do planeta;
r
= velocidade no infinito na
V pa ≈ V∞ a chegada assintótica:
r
V p d = velocidade da espaçonave na
saída da esfera de influência do
r
r
V pd ≈ V ∞d
= velocidade no infinito na
partida assintótica;
O efeito de um encontro
planetário
r
é adicionar
r o vetor ΔV à velocidade rde
chegada V pa. O módulo do vetor ΔV é
dado por:
ΔV = 2 V∞cos β ou ΔV = 2 Vpa cos β
(15)
Este efeito é chamado de efeito flyby.
O vetor velocidade da espaçonave
73
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
velocidade (VSd,αd) na partida da esfera de
influência do planeta da manobra. αd é o
ângulo entre a velocidade da espaçonave e
a velocidade do planeta. Assim,
em relação ao planeta é girado de um
ângulo δ pelo efeito gravitacional do
planeta, contudo o seu módulo VN/p não
muda. Em relação ao Sol, porém, o vetor
velocidade da espaçonave tem sua
magnitude mudada. Em coordenadas
centradas no Sol, temos:
r
r
VSd = V
p/S
r
+ Vpd
A lei dos cossenos dá o ângulo αd.
Além disso,
Vpd = Vpa,
r
r
r
Vpd − Vpa = ΔV que depende da hipérbole
dor fly-by.
r
r
r
V s a = Velocidade da espaçonave ao chegar
na esfera de influência do planeta;
r
Vs d = velocidade da espaçonave na partida
da esfera de influência do planeta;
r
Vp / s = velocidade do planeta em relação ao
Vpd = VSa − Vp / S
r
VSa = está implícito no formato da órbita
Sol;
de transferência.
= (VaS, αa).
A Figura 11 detalha a trajetória da
espaçonave na manobra, em coordenadas
centradas no Sol.
A Figura 12 mostra a passagem
interior de uma espaçonave por um
planeta exterior ao planeta de onde
proveio a mesma. Observe que a
magnitude da velocidade
da espaçonave
r
relativa ao Sol ( VSa ) é menor que
r a
magnitude da velocidade do planeta VP / S .
Observe, também, que a espaçonave entra
na esfera de influência do planeta com
velocidade praticamente retrógrada e sai
no sentido direto. A porção média da
hipérbole do fly-by é quase perpendicular
à direção da velocidade do planeta.
Conforme a finalidade da manobra,
por exemplo, atingir um planeta interior,
a passagem deveria ser exterior.
O ângulo αa entre a velocidade do
planeta e a velocidade da espaçonave é
determinado pelo formato da órbita de
transferência. Os ângulos δ e β são
definidos pelo formato da hipérbole
(excentricidade) do fly-by, que está
relacionado com a distância mínima ao
centro planeta da assíntota da hipérbole,
da massa do planeta e do raio da esfera
de influência.
Seja (Vp/s, 0) a expressão polar de
r
Vp / s . Isto significa que vamos representar
os vetores velocidade envolvidos na
manobra, em relação
r a um eixo polar de
mesmo sentido que Vp / s .
O objetivo, quase exclusivo, da
manobra gravitacionalmente assistida é
conseguir um formato de trajetória
elíptica heliocêntrica que leve ao planeta
alvo da missão, o que exige vetor
74
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
E sfera d e influên
Per curso do p la neta d ura
do
obr a
αo≈ αa
Trajetória da espaçonave
no fly-by
Ór
bi t
a
Órbita da espaçonave
(órbita de tranferência)
Vértice da órbita de transferência da
espaçonave não atingido pela mesma
do
pla
ne
ta
Cruzamento
das órbitas
SOL
Figura 11. Manobra com coordenadas centradas no Sol
SOL
β
a
a
bit
Ór
ma n
eta
pla n
PLANETA
Espaçonave
Vsa
γ
φ
αd
Vp/s
Figura 12. Swing-by num planeta exterior
75
δ
β
V sd
αa
β
δ
β
bit
Ór
e
er g
em
e
da
nte
ave
çon
s pa
cia
nte a
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
Observando
os
gráficos
de
composição dos vetores velocidade, vemos
que a variação da magnitude da velocidade
da espaçonave depende diretamente
da
r
r
r
magnitude
de r
Vpa = VSa − Vp / S
r
consequentemente de VSa − Vp / S e de αa.
Para uma determinada variação
de
r
r
magnitude da velocidade, se VSa − Vp / S é
pequeno, αa deve ser suficientemente
grande. Um αa mais significativo exige, por
exemplo, na passagem por um planeta
interior, um maior abaixamento do
periélio da órbita de transferência.
Fazendo a representação dos
vetores velocidades em coordenadas
polares,
com o eixo polar na direção de
r
Vp / s e transformando a expressão polar
para expressão cartesiana, chegamos à
fórmula
que permite calcular a magnitude
r
de Vpa .
Vpa = Vsa2 + Vp2/ s − 2Vsa Vp / s cos α a 1 2 (18)
(
10,15 km/s. É evidente que a espaçonave
não atinge o periélio da órbita. Não temos
condições de fazer os cálculos relativos à
determinação da hipérbole do fly-by,
porém conjecturamos que a espaçonave
sai da esfera de influência com a
velocidade de 29,6 km/s (5,4 km/s com
relação ao planeta) e num ângulo αd tal,
que a faça atingir na nova órbita elíptica
heliocêntrica com um afélio situado a 7
milhões de quilômetros acima da órbita
de Vênus, ocasião em que sua velocidade
é de 27,8 km/s (por uma das
fórmulas(11) ou (12). Na nova órbita a
espaçonave passará em seu periélio na
vizinhança de Mercúrio, com a velocidade
de 55,2 km/s relativa ao Sol (usando a
fórmula (8))e 7,3 km/s em relação a
Mercúrio. A grande vantagem desta
manobra foi reduzir a relação de massa
de uma viagem dirigida diretamente à
vizinhança de Mercúrio a partir da Terra
(cerca de 1.400) para uma relação de
massa 270, permitindo que um foguete
de 135 ton no lançamento na superfície
da Terra, faça passar pelas proximidades
de Mercúrio uma sonda de 500 kg.
A
primeira
manobra
gravitacionalmente assistida teve Mercúrio
como planeta alvo. A sonda Mariner 10,
lançada em 3 de novembro de 1973, por
um foguete Atlas-Centaur, em 5 de
fevereiro de 1974 sobrevoou Vênus acerca
de 5.700 km de distância e em 5 de março
do mesmo ano passou a 700 km de
Mercúrio. A sonda tinha a massa de 503
kg, o foguete Atlas-Centaur tinha no
lançamento cerca de 160 ton. Vê-se aí que
houve uma relação de massa de
aproximadamente 320.
O estágio Centaur era propelido a
hidrogênio e oxigênio líquido. Não
sabemos qual o combustível do Atlas.
)
7.1 Passagem de uma Espaçonave pela
Vizinhança de Mercúrio, Através de
um Swing-By em Vênus
Seja um exemplo em que a
espaçonave sai da esfera de influência da
Terra, entrando numa órbita elíptica
heliocêntrica (órbita de transferência) com
periélio a 10 milhões de quilômetros
abaixo da órbita de Vênus, ilustrada na
Figura 13. De acordo com as fórmulas (8),
(9), (11) ou (12), a espaçonave sai da
esfera de influência da Terra (a Terra
situada longe dos vértices de sua órbita)
com a velocidade de 26,4 km/s relativa
ao Sol e entra na esfera de influência de
Vênus, após o primeiro cruzamento de
órbitas, com a velocidade de 36,8 km/s e
ângulo αa = 16o (medido na figura que
está em escala) o que dá uma velocidade
relativa a Vênus com magnitude (Vpa) de
76
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
Ó
rb
da
ita
Ó
rb
it
a
T
da
erra
Vênu
s
Ór
bit
a
n te
ge
da
Son
da
ta de Merc
Órbi
úri
o
em
er
SOL
Swing-by
em Vênus
Ór
b
i ta
de
tran
sfer ê
ncia d
a sonda
Passagem pela
vizinhança de
Mercúrio
Saída da Terra
Figura 13. Viagem a Mercúrio com Swing-by em Vênus
espaçonave deve ter, a partir da referida
órbita de estacionamento, um acréscimo
de
velocidade
de
14,6
km/s
aproximadamente.
Considerando
um
foguete com 3 estágios propelidos a
hidrogênio e oxigênio líquidos, obtém-se
uma relação de massa de 105. Em relação
ao foguete original, lançado da superfície
da Terra, com 5 estágios e mesmos
propelentes, a relação de massa é 2.100 –
uma operação muito dispendiosa. Neste
caso, a alternativa é fazer uma série de
manobras gravitacionalmente assistidas,
sendo a última, no caso mais simples, em
Júpiter.
Observemos que para um planeta,
a velocidade de escape do sistema solar
O tempo de viagem foi: 3 meses até
Vênus e 28 dias de Vênus a Mercúrio.
7.2 Saída do Sistema Solar
A diferença entre a velocidade de
escape do sistema solar, relativa ao Sol,
ao nível superior, relativo ao Sol, do limite
da esfera de influência da Terra e a
velocidade orbital da Terra, varia entre
12,1 km/s no periélio e 12,4 km/s no
afélio. Como a velocidade de escape em
relação à Terra, ao nível da órbita de
estacionamento de 450 km de altitude é
3,2 km/s acima da velocidade orbital em
relação à Terra e como a velocidade de
escape relativa à Terra no limite da esfera
de influência da mesma é 0,9 km/s, a
77
Missões Interplanetárias
Durval Eusíquio de Miranda Motta
Júpiter desde 1996, foi lançada no final
de 1989 com destino a Vênus, cujo campo
gravitacional mudou o seu curso,
trazendo-a de volta às proximidades da
Terra, 14 meses depois da partida, sendo
então impelida em direção a Marte, cuja
gravidade a fez retornar novamente a
vizinhança da Terra, sofrendo, então, o
último swing-by, que a levou à órbita de
Júpiter. Entre Marte e Júpiter passou
perto dos asteroides Gaspra e Ida.
A espaçonave Ulisses, lançada
pouco tempo depois da Galileu, chegou
às proximidades de Júpiter, cujo campo
gravitacional a projetou numa órbita em
plano quase perpendicular a eclíptica,
permitindo que a mesma sobrevoasse os
pólos do Sol.
relativa ao Sol é cerca de 41,5% superior
à velocidade do planeta (veja fórmula 4).
Para os planetas interiores esta diferença é
muito grande. Para Júpiter o objetivo é
facilitado
pela
relativamente
baixa
velocidade do planeta (13 km/s) e à
grande magnitude de sua massa.
O primeiro veículo espacial que
atingiu velocidade hiperbólica do sistema
solar foi o Pioner 10, lançado pelos EEUU
em março de 1972. Ele passou na esfera
de influência de Júpiter em dezembro de
1973. O segundo foi o Pioner 11, lançado
em abril de 1973, passou a 43.000 km de
Júpiter em dezembro de 1974, quando
adquiriu velocidade de escape hiperbólico
do sistema solar. Em setembro de 1979
passou por Saturno, onde recebeu mais
acréscimo de velocidade. Os seguintes
foram as sondas Voyager 1 e Voyager 2,
lançadas pelos EEUU em setembro de
1977
e
agosto
do
mesmo
ano,
respectivamente. A Voyager 1 passou em
março de 1979 a 286.000 km de Júpiter e
em novembro de 1980 a 124.000 km do
pólo Sul de Saturno, seguindo adiante
com sua velocidade de escape hiperbólico
do sistema solar. A Voyager 2, em julho
de 1979 passou a cerca de 400.000 km de
Júpiter, em agosto de 1981 a 38.000 km
de Saturno, em janeiro de 1986 por Urano
e em agosto de 1989 por Netuno, obtendo
em todas as passagens acréscimos de
velocidade, atingindo os confins do
sistema solar com alta velocidade de
escape hiperbólico.
Algumas
outras
espaçonaves
passaram pela manobra gravitacional e
tiveram seu objetivo no interior do
sistema solar. Em 1984, a URRS lançou
duas sondas: Vega 1 e Vega 2, que
passaram pela esfera de influência de
Vênus, de onde foram direcionadas para o
cometa Halley sobrevoado em março de
1986.
A espaçonave Galileu, em órbita de
Referências
[1]
ARGENTIERE,
R.,
A
Astronáutica,
Edições
“Pincar”, São Paulo, 1957.
[2]
HOYLE, F. Iniciación a la Astronomia, Hermann
Blume, Madrid, 1979.
[3]
KINDLE, J. H., Geometria Analítica, Coleção
Schaum, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1959.
[4]
JESUS, A. D. C. Curso de Mecânica Celeste,
Universidade Estadual de Feira de Santana, Feira
de Santana, 2001.
[5]
MARION, J. B. e THORNTON, S. T. Classical
Dynamics, International Edition, Harcourt Brace
Jovanovich College Publishers, United States Of
America, 1988.
[6]
MOURÃO, R. R. de F. Dicionário Enciclopédico
de Astronomia e Astronáutica, Editora Nova
Fronteira S. A., Rio de Janeiro, 1987.
[7]
NUSSEZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 1Mecânica, Editora Edgard Blucher Ltda., São
Paulo, 1985.
[8]
PAIVA,
J.
O.
Dicionário
de
Astronomia
e
Astronáutica. Revista Continente Editorial, Rio de
Janeiro, 1979.
[9]
78
ROY, A. E. Orbital Motion, Adam Hilger Ltd.,
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 03 (01): 61-79, 2004
Bristol, 1982.
[10] SIMMONS,
G.
F.
Cálculo
com
Geometria
Analítica, Vol. 2, Mc Graw-Hill, São Paulo, 1988.
[11] STRELKOV, S., Mécanique, Éditions Mir, Moscou,
1978.
Sobre o Autor –
Durval Eusíquio de Miranda Motta –
Especialista
em Física , é professor
aposentado do Departamento de Física da
UEFS; Feira de Santana – BA.
79