14
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Seu Pé D ireito
nas
21. Nos planos a seguir, estão representadas duas relações entre
as variáveis x e y:
y = x2 e y =
para x ≥ 0.
x,
Melhores Faculdades
22. Em uma sequência, o terceiro termo é igual ao primeiro menos
o segundo, o quarto é igual ao segundo menos o terceiro, e
assim por diante. Se o primeiro e o segundo termos dessa
sequência são, respectivamente, 26 e 14, o primeiro termo
negativo será o
a)sexto
b)sétimo
c)oitavo
d)nono
e)décimo
Resolução:
FIGURA 02
Se a área da região sombreada na figura 1 corresponde
numericamente à metade da área sombreada na figura 2,
então o valor da diferença entre essas duas áreas é igual a
a)6
b)7
c)8
d)9
e)10
As funções são inversas entre si, assim, temos (0; 0) Î f e
(0; 0) Î f–1, (3; 9) Î f e (9; 3) Î f–1, logo a soma das áreas das
regiões sombreadas das figuras 1 e 2 é 27.
Como a área da figura 1 (AF1) é a metade da área da figura 2 (AF2):
AF1 = 9
ÞÞAF2 – AF1 = 9
1
AF1 = AF2AF2 = 18
2
Alternativa D
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O primeiro termo negativo é o sexto.
Alternativa A
CPV
Assim, os termos da sequência são:
a3 = a1 – a2 = 26 – 14 = 12
a4 = a2 – a3 = 14 – 12 = 2
a5 = a3 – a4 = 12 – 2 = 10
a6 = a4 – a5 = 2 – 10 = – 8
Resolução:
AF1 + AF2 = 27
a1 = 26 e a2 = 14
an = an–2 – an–1 n ≥ 3
FIGURA 01
A partir das informações do enunciado, temos a seguinte ocorrência:
Seu Pé D ireito
nas
Melhores Faculdades
23. Para o processo seletivo de uma empresa, foram aplicadas
duas provas para selecionar os candidatos que iriam fazer
dinâmicas de grupo. As pontuações de cada pessoa nessas
duas provas, indicadas por x e y, deveriam atender a certos
critérios para que essa pessoa fosse convocada para a fase
seguinte. Considerando escalas de resultados de 0 a 100
para ambas as provas, dois diretores propuseram critérios
diferentes para essa seleção:
Diretor A: aprovar quem tiver as duas pontuações maiores
ou iguais a 50.
Diretor B: aprovar aqueles cuja soma das pontuações for
estritamente maior do que 150.
INSPER – 16/06/2013
d)
e)
15
A figura cuja área sombreada cobre apenas os pontos que
representam as combinações de pontuações daqueles que
seriam aprovados pelo critério do diretor A, mas não do
diretor B, é:
a)
Resolução:
Para ser aceito pelo diretor A, é necessário satisfazer as seguintes
condições:
x ≥ 50
y ≥ 50
b)
Para não ser aceito pelo diretor B, é necessário satisfazer a seguinte
condição:
x + y ≤ 150
Representando no plano cartesiano as condições:
y
100
c)
50
50
100
x
Alternativa D
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CPV
16
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Seu Pé D ireito
nas
24.Um condicional “se A, então B” somente é falso se a
proposição B for falsa e a proposição A for verdadeira. Com
base nessa informação, analise os seguintes condicionais.
I. Se o sistema sempre fica fora do ar aos domingos, então
nenhuma operação pode ser feita nesses dias.
II. Se alguma operação foi feita em um domingo, então há
risco de fraude eletrônica.
Considerando ambos os condicionais como falsos, conclui-se
que:
a) o sistema fica fora do ar aos domingos e há risco de
fraude eletrônica.
b) o sistema não fica fora do ar aos domingos e alguma
operação foi feita em algum domingo.
c) o sistema não fica fora do ar aos domingos e não há
risco de fraude eletrônica.
d) alguma operação foi feita em algum domingo e há risco
de fraude eletrônica.
e) o sistema fica fora do ar aos domingos e não há risco
de fraude eletrônica.
● f (1) = g (5) = 0.
● f (4) · g (4) = 2.
Se (h; k) são as coordenadas do vértice da parábola
y = f (x)g (x), então necessariamente
a)
b)
c)
d)
e)
h=3ek<0
h = −3 e k = 2
h=3ek>0
h = −4 e k = 2
h=4ek<0
Resolução:
Como 1 é raiz de f (x), podemos dizer que: f (x) = a . (x – 1)
Como 5 é raiz de g (x), podemos dizer que: g (x) = b . (x – 5)
Assim, y = f (x) . g (x)
y = a . (x – 1) . b . (x – 5)
y = ab . (x2 – 6x + 5) = abx2 – 6 abx + 5 ab
Como os dois condicionais são sabidamente falsos, temos as
seguintes configurações:
I. o sistema fica fora do ar aos domingos
verdadeiro
→ nenhuma operação é feita aos domingos.
falso
II.
alguma operação é feita em um domingo
verdadeiro
→
há risco de fraude eletrônica.
falso
CPV
25. f (x) e g (x) são duas funções do primeiro grau, tais que:
Resolução:
Melhores Faculdades
De onde se infere que (1) o sistema fica fora de ar aos domingos,
(2) alguma operação pode ser feita em um domingo e (3) não há
risco de fraude eletrônica.
Alternativa E
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A abscissa do vértice será: h = –
(– 6ab)
=3
2 . ab
A ordenada do vértice será:x = 3 Þk = ab . (32 – 6 . 3 + 5)
k = – 4 . ab
Como f (4) . g (4) = 2, temos:
a . (4 – 1) . b . (4 – 5) = 2
– 3ab = 2 Þ ab = –
Logo,k = – 4 . –
2
3
2
8
=
>0
3
3
Alternativa C
Seu Pé D ireito
nas
Melhores Faculdades
26. A figura mostra o gráfico da função f (x) = (1, 2)–x.
Com base nessas informaçães, dos valores a seguir, aquele
que mais se aproxima do valor de
log2(5) – log2(3) :é
27. Considere a função f, definida no intervalo [1; 7[, dada pela
lei
x2 – 4x + 4,
se 1 ≤ x ≤ p
f (x) =
x2 – 12x + 36, se p < x < 7
f (p) será o valor mais alto de f (x) somente se
a)1 ≤ p < 2
b)1 ≤ p < 3
c)2 ≤ p < 5
d)3 ≤ p < 6
e)4 ≤ p < 7
Vamos observar os gráficos de
y1 = x2 – 4x + 4 e y2 = x2 – 12x + 36
em [1;7[, sendo que o ponto de encontro é dado por:
x2 – 4x + 4 = x2 –12x + 36 Û x = 4
A partir da função f (x) = (1,2)-x, temos:
log2y = log2(1,2)–x Þ log2y = – x . log2
[
]
6
5
25
y1
log2y = – x. log22 + log23 – log25
[
log2y = x. –1 + log25 – log23
17
Resolução:
a)0,50
b)0,75
c)1,00
d)1,25
e)1,50
Resolução:
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]
Substituindo o ponto (3,8;0,5) do gráfico, temos:
[
log20,5 = 3,8. –1 + log25 – log23
[
–1 = 3,8. –1 + log25 – log23
]
1
]
–1
log25 – log23 =
+ 1 ≈ 0,73
3,8
Portanto, o valor mais próximo é 0,75.
y2
1
2
4
7
Como f (p) é dado pelo valor de y1 (p), então este será o maior
valor de f(x) quando y1 (p) ≥ y2 (p), ou seja, 4 ≤ p < 7.
Alternativa E
Alternativa B
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CPV
18
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28. 12 amigos se reuniram para um jantar de confraternização,
no qual 6 ingeriram bebidas alcoólicas.
Apesar de todos já terem mais do que 18 anos, apenas 8
deles já tinham habilitação para dirigir.
Eles foram em 7 carros, que somente poderiam ser guiados
na volta por quem tivesse habilitação e não tivesse ingerido
bebida alcoólica. O número mínimo de pessoas em condições
de dirigir é:
a)2
b)3
c)4
d)5
e)6
Resolução:
Vamos atribuir identificações (nomes) aos amigos, fazendo
referência ao fato de serem, ou não, habilitados:
M1M2M3M4M5M6M7 M8*S1S2S3S4
A letra “M” indica um motorista habilitado, a letra “S” indica um
amigo sem habilitação.
Como todos foram em 7 carros, temos que M8, apesar de habilitado,
foi de carona. Os amigos S1, S2, S3 e S4 também foram de carona.
Temos então, dois cenários extremos a considerar (o traço indica
alguém que ingeriu álcool):
●
os 6 amigos que ingeriram bebidas alcóolicas eram habilitados,
por exemplo:
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8*S1S2S3S4
●
os 6 amigos que ingeriram bebidas alcóolicas incluíam todos
os não-habilitados, mais dois dos motoristas:
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8*
S1 S2 S3 S4
Desse modo, note que existe um mínimo de 2 motoristas habilitados
(1o cenário) e um máximo de 6 motoristas habilitados (2o cenário).
Alternativa A
CPV
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19
Utilize as informações a seguir para as questões 29 e 30.
Um fabricante de cosméticos desenvolveu uma nova embalagem para um perfume que irá lançar. O frasco
será composto por uma base na forma de cubo, sobre o qual se apoia um cilindro reto, com um prisma
triangular regular acoplado à parte superior desse cilindro. O esquema a seguir mostra este recipiente
visto de cima.
Cada aresta do cubo mede a e, por uma questão estética, as três partes que formam o frasco têm a mesma
altura, de modo que a altura total seja 3a.
29. Para que o volume total do frasco seja aproximadamente 90 cm3, a medida a (em cm) deve ser igual a:
(
a)
2b)
3c)
4d)
5e)
6
Adote π ≈
10
e
3
3≈
16
9
)
Resolução:
2
a
2
a
a
Vcubo = a3
a
a
2
2
( )
2 2
a
Vcilindro= π
2
a
π a3
Vcilindro=
a
2
a
2
h
3
l
l
2
l
a
2
2
l
h
h=
l=
l
l
2
h
3
=
2
l
3
2
3a
2
2 3
a
3
Vprisma = 3a 3
8
90 = Vcubo + Vcilindro + Vprisma
90 = a3 +
90 = a3 +
π a3
2
+
3a3
5a3 2a3
+
Þ
3
3
3
8
a3 = 27 Þ a = 3
INSPERJUN2013
CPV
20
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30. Nessa vista superior do frasco, um dos lados do triângulo é paralelo a dois lados do quadrado.
Considere A o ponto médio de um dos lados da base inferior do cubo e B o ponto médio de um lado do triângulo superior
do prisma, conforme indicado na figura abaixo. Um borrifador será instalado sobre o prisma e, para que todo o perfume do
frasco possa ser utilizado, mesmo que esteja acabando, um caninho de sucção reto ligando os pontos A e B irá alimentar o
borrifador.
O tamanho mínimo desse caninho, em função de a, é dado por.
a)a
75 + 2 2
16
b)a
150 + 2 2
8
c)a
150 + 4 2
4
d)a
75 + 4 2
8
e)a
75 + 4 2
16
A
Resolução:
O
B'
Para determinarmos o segmento AB, devemos calcular AB' e BB'.
Temos que BB' = 3a.
B
Para calcularmos AB' devemos calcular OB', onde O é o centro da circunferência e o
a
1
baricentro do triângulo, isto é, AO =
e OB' = R onde R é o raio da circunferência
2
2
e metade da diagonal do quadrado de lado a, isto é,
a
OB' =
1 a 2 a 2
=
2 2
4
Portanto, AB' =
a
a a 2
+
2
4
Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo ABB' temos:
AB2 = BB'2 + AB'2
AB2 = (3a)2 +
a
A
B’
AB2 = 9a2 +
AB2 =
INSPERJUN2013
a a 2
+
2
4
)
2
a2 a2 2 a2 . 2
+
+
16
4
4
150a2 + 4a2 2
16
AB = a
CPV
(
150 + 4 2
4
Alternativa C
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Utilize as informações a seguir para as questões 31 e 32.
No início de cada mês, um posto recebe uma entrega de
combustível para suprir sua necessidade mensal. O nível de
combustível estocado (N) varia de acordo com o tempo (t),
medido em dias decorridos desde a entrega. Considere que, para o
último mês de abril, foram entregues 5.000 litros de combustível.
31. Se o nível N(t) pode ser representado por um modelo linear e
o combustível acabou ao final do dia 28 daquele mês, então
o estoque ao final do 21o dia era:
a)3.125
b)2.500
c)1.875
d)1.250
e)625
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21
32.No mês seguinte foi entregue uma quantidade maior de
combustível, que foi consumido de acordo com a função
N(t) = −5t2 + 6.125
Dividindo o mês em 5 períodos de 6 dias, o maior consumo
foi no período que compreende os dias
a)
b)
c)
d)
e)
de 1 a 6
de 7 a 12
de 13 a 18
de 19 a 24
de 25 a 30
Resolução:
N(x) – N(y) = –5x2 + 6125 – (–5y2 + 6125)
= –5x2 + 5y2
= 5 (y2 – x2)
= 5 (y – x) . (y + x)
Resolução:
Pelo enunciado, temos o seguinte sistema:
N (0) = 5000
Assim, N (21) = –
Portanto, o estoque ao final do 21o dia era 1250.
Se o maior consumo acontece entre os dias x e y:
5000 = a . 0 + b
5000
ÞÞ a = –
e b = 5000
28
N (28) = 0
0 = a . 28 + b
5000
. 21 + 5000 = 1250
28
Como a diferença y – x é sempre 5, o maior consumo ocorre para
a maior soma de y + x.
Portanto, o período é de 25 a 30 dias.
Alternativa E
Alternativa D
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CPV
22
INSPER – 16/06/2013
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33. Os 4.096 ingressos para um grande festival de shows serão
comercializados pela internet. Os analistas estimam que o
total de ingressos vendidos em função das horas decorridas
desde a abertura das vendas será dado por
v(t) = 4.096 – 2–(t–12).
Melhores Faculdades
34. Na venda de uma m´aquina devem incidir dois impostos:
I1 = 20% do valor da nota fiscal do produto.
I2 = 15% do valor obtido subtraindo-se I1 do valor da nota
fiscal do produto.
De acordo com esse modelo, exatamente 75% dos ingressos
terão sido vendidos quando se completar(em) a(s) primeira(s)
Se o valor total da nota fiscal da máquina é R$10.000,00, a
soma dos valores correspondentes a I1 e I2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
16 horas de vendas abertas.
8 horas de vendas abertas.
4 horas de vendas abertas.
2 horas de vendas abertas.
1 hora de vendas abertas.
R$2.400,00
R$2.800,00
R$3.200,00
R$3.600,00
R$4.000,00
Resolução:
0,75 . 4096 = 4096 – 2–(t – 12)
– 0,25 . 4096 = –2–(t – 12)
1
. 4096 = 2–(t – 12)
4
1024 = 2–(t – 12)
210 = 2– t + 12
10 = –t + 12
t=2
CPV
Portanto, terão sido vendidos exatamente 75% dos ingressos quando
se completar 2 horas de vendas abertas.
Alternativa D
INSPERJUN2013
Resolução:
I1 = 20% de 10.000 = 2.000
I2 = 15% de (10.000 – I1) = 15% de 8000 = 1200
Assim, a soma dos dois impostos é 2.000 + 1.200 = R$3.200,00
Alternativa C
Seu Pé D ireito
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Melhores Faculdades
INSPER – 16/06/2013
23
35. Dois filmes estão sendo exibidos num complexo de salas
de cinema. O filme A tem exibições iniciando a cada três
horas e o filme B tem exibições iniciando a cada duas horas,
sem que haja relação entre os horários de início de um e de
outro.
COMENTÁRIO DO CPV
Uma pessoa vai a esse complexo, desconhece a programação
de horários, mas gostaria de assistir a qualquer um dos filmes
A ou B, aquele que tiver sessão iniciando primeiro.
Embora ainda mostre criatividade, a prova deste semestre
apresentou sinais de saturação e cansaço, com questões imprecisas
e até mesmo erros de digitação.
A probabilidade de essa pessoa esperar até 30 minutos para
a assisir a um dos filmes é um valor entre
a)
b)
c)
d)
e)
Talvez seja necessário que a Banca Examinadora aprimore sua
calibragem quanto ao nível e ao estilo da prova para que consiga
selecionar candidatos melhor preparados.
20% e 30%
30% e 40%
40% e 50%
50% e 60%
60% e 70%
A prova de Matemática do processo seletivo Insper (junho/2013)
manteve o seu formato tradicional, apresentando questões com
enunciados extensos e contextualizados.
Resolução:
Como o filme A tem exibição a cada 180 minutos, a probabilidade
de assistir a este filmes em até 30 minutos:
30
1
=
180 6
P (A) =
Analogamente, a probabilidade de assistir ao filme B é:
P (B) =
30
1
=
120 4
Assim, a probabilidade de assistir ao filme A ou ao filme B é:
P (A È B) = P (A) + P (B) – P (A Ç B)
P (A È B) =
P (A È B) = 37,5%
1
1
1
1
3
+
–
.
=
= 0,375
6
4
6
4
8
Alternativa B
INSPERJUN2013
CPV