CPV conquistou 231 vagas no insper Jun 2010
Prova REsolvida – Insper – 15/novembro/2010
análise quantitativa E lógica
27. No Brasil, o 2o turno das eleições presidenciais é disputado
por apenas dois candidatos. O ganhador é aquele que
conquistar mais da metade dos votos válidos, isto é, mais
de 50% do total de votos excluindo-se votos brancos e
nulos. De acordo com esse critério, um candidato ganhará
o 2o turno de uma eleição presidencial obtendo somente
30% do total de votos se, e somente se, os votos brancos
e nulos dados nessa etapa da eleição representarem
28.Dois faraós do antigo Egito mandaram construir seus
túmulos, ambos na forma de pirâmides quadrangulares
regulares, num mesmo terreno plano, com os centros
de suas bases distando 120 m. As duas pirâmides têm
o mesmo volume, mas a área da base de uma delas é o
dobro da área da base da outra. Se a pirâmide mais alta
tem 100 m de altura, então a distância entre os vértices
das duas pirâmides, em metros, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
menos de 70% do total dos votos.
mais de 70% do total dos votos.
50% do total dos votos.
menos de 40% do total dos votos.
mais de 40% do total dos votos.
Resolução:
Resolução:
30% T
> 50%
T - BN
50% BN > 20% T Þ BN >
Þ
d
100 – h
SejaT = no total de eleitores
BN = no de votos brancos e nulos
T – BN = no de votos válidos
a)100.
b)120.
c)130.
d)150.
e)160.
100 m
30% T > 50% T – 50% BN
120 m
20%
T \ BN > 40% T
50%
h
Alternativa E
120 m
A
2A
Como as duas pirâmides têm o mesmo volume, temos:
1
1
. A . 100 =
. 2A . h \ h = 50m
3
3
d
50 m
120 m
Pela Teorema de Pitágoras, temos que:
d 2 = 502 + 1202
CPV
inspernov2010
\
d = 130m.
Alternativa C
1
2
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Utilize as informações a seguir para os testes 29 e 30.
No plano cartesiano, considere o triângulo ABC, sendo
A = (0, 0), B = (3 3 , 3) e C = (0, 6).
30. A reta r passa pelo ponto (0, 2) e intercepta o segmento
BC, dividindo o triângulo ABC em dois polígonos de
áreas iguais. Nessas condições, o coeficiente angular da
reta r é igual a
29. Uma equação da circunferência circunscrita ao triângulo
ABC é
3
a)
3
a) (x −
3 )2 + (y − 3)2 = 12.
3
b)
9
b) (x −
3 )2 + (y − 3)2 = 9.
5 3
c)
9
c) (x −
d) (x − 3)2 + (y −
e) (x −
27
3 3 2
) + (y − 3)2 = 4
2
3)2
5 3
d)
27
3 )2 = 9.
7 3
e)
27
3 3 2 27
+ (y −
) = 4
2
Resolução:
Resolução:
C
6
Temos que a área do ΔABC mede
SABC =
3
A (0, 0)
B
0
3
3 3 6
d AO = dOB
(
\
α=
3
3
\ α= 3
Logo, O
R = dOB = 2 3
)
(
\ a equação é x − 3
)
(
+ (y – 3)2 = 2 3
2
)
Alternativa A
inspernov2010
HD =
r
D
H
(
2
)
B 3 3; 3
3
E
1
3 3
9 3
4
A
\
 9 3 
↔

; β e a reta
Então D 
a BC é y = mx + 6
 4

substituindo o ponto B na reta BC :
3=m 3 3 +6
\ m = –
Como D Î BC temos
2
SABC = 9 3
C
3; 3 e
CPV
2
+ (3 − 3)
α2 + 9 = α2 – 6 3 α + 27
6 3 α = 18
2
(α − 3 3 )
6
9 3
SEDC =
2
9 3
4 . HD
=
2
2
O → centro da circunferência circunscrita.
O Î mediatriz de BC
O (α, 3)
O Î mediatriz de AC
(α − 0)2 + (3 − 0)2 =
\
6.3 3
2
1
2
3
4
5
6
↔
( )
3
3 3
=–
3
3
logo y = –
3
x+6
3
↔
 9 3 15 

; 
\ D 
4 
 4
Então o coeficiente angular da reta r é
β= -
15
3 9 3
.
+6 Þ b=
3
4
4
7
15
−2
4
= 4
m r =
9
3
9 3
−0
4
4
\
mr =
7 3
27
Alternativa E
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Utilize as informações a seguir para os testes 31 e 32.
Um país possui 1.000.000 de eleitores, divididos igualmente
entre 10 estados. A tabela a seguir mostra o resultado final
da votação para a escolha do novo presidente, quando todos
os eleitores votaram.
a) (0, 2)2 . (0, 8)8 (ou seja, aproximadamente 1%).
b) (0, 2)2 + (0, 8)8 (ou seja, aproximadamente 20%).
c)45 . (0, 2)2 . (0, 8)8 (ou seja, aproximadamente 30%).
d)90 . (0, 2)2 . (0, 8)8 (ou seja, aproximadamente 60%).
2 . (0, 2) + 8 . (0, 8)
e)
(ou seja, aproximadamente 68%).
10
a) os votos recebidos por ele foram dados em pelo menos
6 estados diferentes.
b) ele foi necessariamente o mais votado em todos os
estados do país.
c) ele necessariamente recebeu votos em todos os estados
do país.
d) é possível que ele não tenha sido primeiro colocado
em nenhum dos 10 estados.
e) é possível que ele não tenha recebido votos em 5
estados diferentes.
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, análise de distribuições.
O enunciado indica que:
I. o país possui 1.000.000 de eleitores, distribuídos em 10
estados;
II. cada estado possui exatamente 100.000 eleitores;
III. o candidato X obteve 520.000 votos
É provável que o candidato X tenha recebido votos em todos os
10 estados. Entretanto, podemos imaginar o cenário-limite em
que todos seus 520.000 votos fossem concentrados no menor
número de estados possível. Assim:
Resolução:
A probabilidade de uma pessoa votar no candidato Z é de
20%. Para essa probabilidade se manter nos 10 eleitores
entrevistados, apenas 2 deles devem votar no candidato Z.
Sendo P a probabilidade pedida, temos:
P = (0,2)2 . (0,8)8 . C10,2
\ P = (0,2)2 . (0,8)8 . 45
CPV
inspernov2010
n min =
Alternativa C
3
32. Analisando o percentual de votos recebidos pelo candidato
X na eleição, é correto afirmar que
31. Durante a votação, uma pessoa entrevistou 10 eleitores,
escolhidos aleatoriamente, para tentar prever o resultado
da eleição. A probabilidade de que o percentual de eleitores
dessa amostra que votaram no candidato Z seja igual ao
percentual de votos obtidos por esse candidato na eleição
é aproximadamente igual a
Insper – 15/11/2010
520.000
= 5,2
100.000
o que indica que seus votos foram obtidos em no mínimo 6
estados diferentes.
Essa constatação aponta a alternativa A como gabarito e elimina
automaticamente as alternativas B, C e E. (A alternativa D é
igualmente falsa pois, se X não obtivesse a maioria em nenhum
dos estados, o máximo de votos que ele teria angariado seria:
10 x 50.000 = 500.000 votos, portanto, inferior ao resultado
real).
Alternativa A
4
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Utilize as informações a seguir para os testes 33 e 34.
O mosaico da figura é formado por losangos congruentes
entre si e por pentágonos regulares.
34. O perímetro de cada pentágono regular da figura é 5
cm. Assim, sendo sen 72º = x, a área de cada pentágono
regular, em cm2, é igual a
1 - x2 .
a) 2 Rx
b) 2 Rx2.
c)Rx
1 - x2
d)Rx2.
Rx 2
e)
.
2
Resolução:
108º
108º
108º
36º
1
108º
1
72º 72º
l
A razão entre as áreas de um pentágono e um losango, nessa
ordem, é igual a R.
Dado sen 72º = x, temos que:
cos2 72º + sen 2 72º = 1 \ cos 72º =
Resolução:
Sendo A l a área do losango e Ap a área do pentágono, temos:
Ap
R=
Al
CPV
Na figura, temos 90 pentágonos e 45 losangos, assim a razão r
pedida será:
90 A p
r=
\ r = 2R
45 A l
Alternativa B
inspernov2010
36º
2
No losango temos dois triângulos congruentes:
33. A razão entre a área da região clara e a área da região
escura da figura, nessa ordem, é aproximadamente igual
a:
a)3R.
b)2R.
c)R.
R
d) .
2
R
e) .
3
1- x
36º
1
72º 72º
1
72º
l
72º 72º
36º
Aplicando a lei dos cossenos:
12 = 12 + l 2 – 2 . l . 1 . cos 72º \
\
l 2 – 2 l 1 - x2 = 0
l = 0 ou l = 2 1 - x 2
Como l = 0 não convém, l = 2 1 - x 2
Sendo A l a área do losango e Ap a área do pentágono, temos:
A l =
2 . l . l . sen 72º
2
Ap
R= A
l
\
\ Ap = R . A l
A l = 2x
\
1 - x2
Ap = 2 Rx 1 - x
2
Alternativa A
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Insper – 15/11/2010
5
Utilize as informações a seguir para os testes 35 e 36.
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de
variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse
utilizada diretamente a concentração do íon H+ para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de
0,00000000000001 a 1.
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda
Comparativa (RC), definida por
 R 
,
RC = log 
 R o 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e Ro é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere
que a notação log indica logaritmo na base 10.)
35. Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua
renda, em dólares, é
a)b)
c)
d)e)
Resolução:
O gráfico que melhor representa a Renda Corporativa será um gráfico de uma função logarítmica. Observando que quando R = Ro temos:
RC = log 1 = 0
CPV
inspernov2010
Alternativa D
6
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
36. As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois habitantes
desse país, são respectivamente iguais a R1 e R 2. Se a
Renda Comparativa de Paulo supera a de Rafael em 0,5,
R
então a razão 1 vale aproximadamente
R2
37. Uma função do 2o grau f é tal que, para todo x Î , tem-se
f (x) = f (1 − x).
Assim, o gráfico de f é uma parábola cujo vértice é um
ponto de abscissa
a)5,0.
b)3,2.
d)2,4.
d)1,0.
e)0,5.
1
a) .
4
1
b) .
2
Resolução:
R 
Sendo RC = log   , temos:
 R 0 
R 
log  1  = log
 R 0 
 R 2 


 R  + 0,5
R 
log  1  = log
 R 
 R 2 

 + log100,5
 R 
R 
log  1  = log
 R 
 R2


. 100,5 

 R
0
0
c)1.
d)2.
e)4.
0
R1
R
= 2 . 100,5
R0
R0
R1
= 10
R2
R1
@ 3,2
R2
CPV
inspernov2010
Resolução:
Sendo f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0), temos que para x Î R,
0
Logo f(0) = f(1) Þ c = a + b + c Þ a + b = 0 Þ b = –a
Assim, xV = −
0
Alternativa B
f (x) = f (1 – x).
1
b
a
⇒ xV =
⇒ xV =
2a
2a
2
Alternativa B
Seu pé direito nas melhores Faculdades
38. Na figura, em que as retas r e s são paralelas, A é um
ponto que dista 1 de r e 2 de s. Dada uma medida α, em
graus, tal que 0 < α < 90, tomam-se os pontos B e P sobre
^ = m(ACQ)
^
r e C e Q sobre s tais que m(ABP)
= α.
Nessas condições, a área do triângulo ABC é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
tg α.
2tg α.
tg α . cotg α.
cotg α.
2cotg α.
Resolução:
Consideramos a figura:
1
α
α
1
1
Þ AB =
Temos:sen α =
AB
sen a
2
2
Þ AC =
sen α =
AC
sen a
A área do triângulo ABC é dada por:
A=
1
. AB . AC . sen 2α
2
A=
1
1
2
.
.
. 2 sen α . cos α
2 sen a sen a
A = 2 . cosa = 2 cotg α
sen a
CPV
Alternativa E
inspernov2010
7
39. A quantidade de números inteiros existentes entre os
primeiros 2011 termos da sequência


log 1, log 1 , log 1 , log 1 , log 1 , ..., log 1 , ...
22
23
24
25
2n

 2
é igual a
a)10.
b)11.
c)12.
d)13.
e)14.
Resolução:
Para que o termo seja um número inteiro, o logaritmando deve
1
ser da forma k , ou seja, o último termo da sequência entre
2
 1 
 1 

 .
 = log2 
os 2011 termos considerados é log2 
1024 
 210 
Temos, portanto, a sequência:

 1 
 1 
 1 





log 2  0  ; log 2  1  ; ...; log 2  10  ,

2 
2 
 2 
num total de 11 termos.
2
Insper – 15/11/2010
Alternativa B
8
Seu pé direito nas melhores Faculdades
insper – 15/11/2010
40. Dado um número inteiro e positivo n, considere a matriz
A, de tamanho 2 x n, definida por
1 2 3 ... n 
.
A= 
1 1 1 ... 1 


Por exemplo, para n = 3, temos que A =
Dada a identidade 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
1 2 3


1 1 1  .


n (n + 1)(2n + 1)
6
e representando por AT a matriz transposta de A, o
determinante da matriz A . AT é
n2 - n
a)
.
6
Utilize as informações a seguir para os testes 41 e 42.
Uma rodovia que liga duas cidades X e Y possui telefones
de emergência localizados de 4 em 4 quilômetros. Indo de
X até Y por essa rodovia, Júlio passou por quatro postos de
gasolina, nesta ordem: P1, P2, P3 e P4. Júlio observou ainda
que os quatro postos estavam localizados a 2 km de distância
de um telefone de emergência. Sabe-se que:
● para ir de P1 até P4 passa-se por 15 telefones de emergência;
● para ir de P1 até P3 passa-se por 11 telefones de emergência;
● para ir de P2 até P4 passa-se por 7 telefones de emergência.
41. A distância, em quilômetros, entre os pontos P2 e P3 é
igual a
n4 - n2
.
b)
12
a)20.
b)18.
c)16.
d)12.
e)8.
Resolução:
n -n
e)
.
6
Como entre P1 e P4 há 15 telefones e entre P1 e P3 há 11 telefones,
de P3 a P4 há 4 telefones.
Resolução:
Podemos montar a seguinte figura:
n4 + n2 − 2
.
c)
18
n2 - n
d)
.
12
4
2
Temos:
1
A . AT = 
1

2
1
3
1
...
...
n
.
1 
1

2

3




 n
 12 + 22 + 32 + ... + n 2

A . AT = 
 1 + 2 + 3 + ... + n
 n (n + 1)(2n + 1)


6
T
A . A = 
n
1) . n
+
(


2
11 tel.
1

1 
1 
 

1 
P1
P4
7 tel.
15 tel.
1 + 2 + 3 + ... + n 

1 + 1 + 1 + ... + 1 
Analogamente, há 7 telefones de P2 a P4, logo entre P2 e P3 há
3 telefones.
(n + 1) . n 
P2





2
n
2 Km
Calculando o seu determinante, temos:
(
)
Alternativa B
inspernov2010
P3
P2
8 tel.
2
n2 n2 − 1
4
2
n 2 (n + 1) (2n + 1) n 2 (n + 1)
n -n
−
=
=
6
4
12
12
CPV
4 tel.
3 telefones
4 Km
4 Km
P3
2 Km
Portanto, entre P2 e P3 há 12 quilômetros.
Alternativa D
Seu pé direito nas melhores Faculdades
42.Um funcionário da companhia responsável pela
manutenção dos telefones de emergência viajará do posto
P2 até o posto P4. Nesse trajeto, ele irá escolher dois
telefones para fazer manutenção preventiva. Na volta, indo
de P4 até P2, ele escolherá outros dois telefones para fazer
manutenção preventiva. O número de maneiras distintas
que esse funcionário tem para escolher como fará essa
inspeção é igual a
a)35.
b)105.
c)210.
d)420.
e)840.
Resolução:
Na ida, o funcionário escolherá 2 telefones dentre os 7 possíveis,
C7,2.
Na volta, ele escolherá 2 telefones dos 5 restantes, C5,2.
Seja N o número de possibilidades, então:
N = C7,2 . C5,2 = 21 . 10 = 210
Insper – 15/11/2010
9
Utilize as informações a seguir para os testes 43 e 44.
Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa
de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo,
rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa
por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como
mostra a figura.
43.Considere o sólido gerado pela rotação completa do
triângulo acutângulo ABC, de área S, em torno de um
eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento l .
O volume desse sólido é igual a
4pS2
a)
.
3l
2pS2
b)
.
3l
Alternativa C
4pSl
c)
.
3
2pSl
d)
.
3
pSl
e)
.
3
Resolução:
Da figura temos:
V=
π . h2 . l1
π . h2 . l 2
+
3
3
V=
π . h2
3
V=
ph 2 . l
p . 2S . h
=
3
3
V=
p . 2S . 2S 4p S 2
=
3l
3l
CPV
inspernov2010
l.h
2
=S Þ
(l 1 + l 2 )
l h = 2S e l = l 1 + l 2
l1
h
l2
Alternativa A
10
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
44. Um quadrado de lados medindo 1 cm sofre uma rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus lados. A
distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é x cm, como mostra a figura.
O gráfico que melhor representa a área total S do sólido gerado por essa rotação, em cm 2, em função de x, para x ≥ 0, é
a)b)
c)
d)e)
Resolução:
Ao fazermos a rotação mencionada, obteremos um cilindro de raio (x + 1) e
altura 1 perfurado por um cilindro de raio x e altura 1. (vide figura ao lado)
Portanto, teremos como área total a soma das áreas laterais dos cilindros
mais duas vezes a área da coroa circular.
Stotal = 2px + 2p (x + 1) + 2 (p (x + 1)2 – px2)
Stotal = 2px + 2px + 2p + 2 (px 2 + 2px + p – px 2)
Stotal = 4px + 2p + 4px + 2p
Stotal = 4p + 8px \ S(0) = 4p e S(1) = 12p
Alternativa E
CPV
inspernov2010
1
x
1
Seu pé direito nas melhores Faculdades
45.No plano cartesiano, A, B, C, D, E e F são vértices
consecutivos de um hexágono regular de lados medindo
2. O lado BC está contido no eixo das abscissas e o vértice
A pertence ao eixo das ordenadas. Sendo P e Q os pontos
↔
onde a reta DE intercepta o eixo das abscissas e o eixo
das ordenadas, respectivamente, a distância entre P e Q
é igual a
Insper – 15/11/2010
11
Utilize as informações a seguir para os testes 46 e 47.
O gráfico a seguir representa as funções f(x) = 2x e g(x) = log2 x.
a)4.
b)4 3 .
c)6 3 .
d)10.
e)10 3 .
Resolução:
Construindo a figura do enunciado, temos:
46.Seja A um número inteiro tal que:
Q
f (A) + g (A) < 10

g (f (A) + g (A)) > 3
Então, g(g(A)) é aproximadamente igual a
a)
0,6.b)
1,2.c)
1,8.
d)
2,4.e)
3,0.
Resolução:
E
F
A
D
60º
2
0 1 B
No ΔAOB
cos 60º =
1
OB
Þ OB = 1
=
2
2
2
2
60º 2
60º60º
C 2
P
f (A) + g (A) < 10 (I)

g (f (A) + g (A)) > 3 (II)
Como A é um número inteiro, vamos usar valores inteiros de
x em f (x) e g (x), utilizando os gráficos, para comparação:
OB
AB
(I) para x = 3, temos f(3) = 8
e g(3) @ 1,6



 f (3) + g (3) @ 9,6 (< 10)




 f (4) + g (4) = 18 (> 10)

para x = 4, temos f(4) = 16
e g(4) =
2
^ = 60º e da figura concluímos
Como PQ // AB, temos que OPQ
que: portanto, para satisfazer à inequação (I), teremos A ≤ 3
(II) g (x) > 3 Þ x > 8
OP
cos 60º =
PQ
1
5
=
PQ
2
g (f (A) + g (A)) > 3 Þ f (A) + g (A) > 8
CPV
Portanto, PQ = 10
inspernov2010
Alternativa D
portanto,
para x = 2, temos f (2) = 4
g (2) =
1

 f (x) + g (x) = 5 (< 8)

Assim, para satisfazer à inequação (II), teremos A > 2.
Como A ≤ 3 e A > 2, com A sendo um número inteiro, então
A = 3.
Assim, g (3) @ 1,6
g (1,6) @ 0,6 Þ g(g(3)) @ 0,6
Alternativa A
12
Seu pé direito nas melhores Faculdades
insper – 15/11/2010
47. O gráfico que melhor representa a função y = f(g(x)) é:
a)b)
d)e)
Resolução:
x
y = f (g (x)) Þ y = 2log2 y = x Alternativa C
CPV
(CE x > 0)
(x > 0)
inspernov2010
c)
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Utilize as informações a seguir para os testes 48 e 49.
Insper – 15/11/2010
13
Resolução:
V
Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos isósceles
com base e altura medindo 1.
h
D
H
E
1
d
F
G
B
C
1
O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de áreas
iguais por duas retas paralelas à sua base e o da direita
foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas
perpendiculares à sua base.
48. A distância entre as duas retas paralelas tracejadas no
triângulo da esquerda é igual a
a)
b)
3 -1
.
3
3- 2
3
.
c)
6 -1
.
3
d)
6- 3
.
3
e)
CPV
6 -3
3
inspernov2010
.
Como ΔVDE ~ ΔVBC:
S∆VDE
A
1
3
=
=
= k2 Þ k =
S∆VBC
3A
3
3
h
3
=k Þ h=
1
3
Como ΔVFG ~ ΔVBC:
S∆VGF
6
2A
2
=
=
= (k’)2 Þ k’ =
3
S∆VBC
3A
3
H
6
= k’ Þ H =
1
3
Como a distância entre as retas é dada por:
d= H–h=
6
3
−
=
3
3
6− 3
3
Alternativa D
14
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
49. A distância entre as duas retas perpendiculares à base no
triângulo da direita é igual a
Resolução:
V
3- 2
a)
.
6
E
3- 2
.
b)
6
H
A
2
3- 3
c)
.
3
B
6- 6
d)
.
6
3- 6
.
e)
3
inspernov2010
F
G
C
x
0,5
CPV
D
A
2
1
Como ΔBDE ~ ΔBFV:
S∆BDE
6
A
2
= k2 Þ k =
=
=
3
3A
S∆BFV
3
2
BD
6
x
6
=k Þ
Þ x=
=
BF
6
0, 5
3
Como ΔBDE ≡ ΔCGH e ΔBFV ≡ ΔCFV:

DG = 2 . DF
6  3 − 6

⇒ DG = 2 . 0, 5 −

=

DF = 0, 5 − x
3
6 
Alternativa E
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Insper – 15/11/2010
15
Utilize as informações a seguir para os testes 50 e 51.
A tabela a seguir mostra as quantidades de alunos que acertaram e que erraram as 5 questões de uma prova aplicada em duas
turmas. Cada questão valia dois pontos.
50. O gráfico que melhor representa o percentual de acerto por questão de todos os alunos é
a)b)c)
d)e)
Resolução:
Vamos completar a tabela dada com colunas indicando o total de acertos e erros em cada questão (independente da turma) e linhas
indicando acertos e erros de cada turma (vide tabela abaixo).
Se somarmos o número de erros e acertos de cada questão na turma A, vemos que todos resultam em 40, que é o número de alunos na
turma A. Pelo mesmo processo, concluímos que o número de alunos na turma B é 60. Logo, o total de alunos é 100.
Assim, o percentual de acerto de cada questão será:
Questão 1:
74
= 74%
100
Questão 2:
76
= 76%
100
1
32
8
42
18
74
26
2
28
12
48
12
76
24
Questão 3:
84
= 84%
100
3
36
4
48
12
84
16
4
16
24
24
36
40
60
Questão 4:
40
= 40%
100
5
20
20
30
30
50
50
Total
132
68
192
108
324
176
Questão 5:
50
= 50%
100
CPV
inspernov2010
Questão
Acertos
Turmas A
Erros
Turmas A
Acertos
Turmas B
Erros
Turmas B
Total
de acertos
Total
de erros
Alternativa E
Seu pé direito nas melhores Faculdades
51. A média dos alunos da turma A e a média dos alunos da
turma B nesta prova foram, respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
6,80 e 6,20.
6,60 e 6,40.
6,40 e 6,60.
6,20 e 6,80.
6,00 e 7,00.
Resolução:
Utilizando a tabela montada no exercício anterior, temos:
média da soma dos termos x 2 pontos 132 . 2
=
turma A =
= 6,60
total de alunos da turma
40
média da 192 . 2
= 6,40
turma B =
60
Insper – 15/11/2010
16
Utilize as informações a seguir para os testes 52 e 53.
Numa pesquisa sobre uma determinada doença, os médicos
identificaram relações entre a presença de três substâncias
no sangue de uma pessoa e a pessoa estar com a doença. As
conclusões dos estudos foram as seguintes:
● Toda pessoa com a substância A no sangue está com a
doença.
● Se a pessoa está com a doença, então a substância B está
em seu sangue.
● A substância C está presente no sangue de 90% das
pessoas que estão com a doença e no sangue de 10% das
pessoas que não estão.
52. Uma pessoa certamente não está com a doença se
Alternativa B
a substância A não estiver em seu sangue.
a substância B não estiver em seu sangue.
a substância C não estiver em seu sangue.
a substância C estiver em seu sangue e a substância
B também.
e) a substância C não estiver em seu sangue e a substância
A estiver.
a)
b)
c)
d)
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, análise de condicionais e
conjuntos.
Os condicionais podem ser resumidos:
I. substância A → doença
II. doença → substância B
III. a pessoa que tem a substância C pode estar com a doença
ou não
Observe que os condicionais podem ser reescritos:
IV. substância A ← doença (“se a pessoa não tem a doença,
certamente não tem a substância A”)
V.doença ← substância B (“se a pessoa não tem a substância
B, certamente não tem a doença”)
Alternativa B
CPV
inspernov2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
53. Um laboratório farmacêutico deseja criar um teste para
ser feito em larga escala para diagnosticar essa doença,
mas a identificação de cada uma das substâncias A, B e
C no sangue da pessoa tem custo. O laboratório deseja
criar um teste que nunca dê falso positivo* e que seja feito
identificando-se o mínimo de substâncias. Os estudos
feitos permitem concluir que a criação deste teste
(*Um teste resulta num falso positivo quando indica que a
pessoa tem a doença, sendo que não tem.)
a) não será possível ao laboratório, mesmo que o teste
identifique a presença das três substâncias.
b) será possível, mas a presença das três substâncias
precisará ser identificada.
c) será possível identificando a presença de apenas duas
substâncias quaisquer.
d) será possível identificando a presença de apenas uma
substância qualquer.
e) será possível identificando a presença de apenas uma
substância específica.
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, análise de condicionais.
A prioridade do teste é nunca dar falso positivo. Para tanto,
não devemos adotar nenhuma substância que alguma pessoa
sadia eventualmente porte.
O condicional (I) acima (substância A → doença) indica um
bom candidato para escolha, pois apresentar a substância A é
condição suficiente para que se detecte uma pessoa doente.
Todos acusados pelo teste, nesse caso, serão realmente
portadores da doença.
Provavelmente, alguns doentes passarão batidos no teste (“falsos
negativos”), mas não somos obrigados a escolher uma substância
que detecte todos os doentes, segundo o critério solicitado.
Logo, a criação desse teste será possível identificando a presença
de apenas uma substância (especificamente, a substância A).
Insper – 15/11/2010
17
Utilize as informações a seguir para os testes 54 e 55.
Num torneio de calouros, cada cantor se apresenta para
três jurados, que o avaliam de forma independente, cada
jurado indicando apenas se o candidato está aprovado ou
reprovado. A tabela a seguir mostra as probabilidades de cada
jurado aprovar ou não um candidato, conforme a opinião do
público geral:
Um candidato é aprovado para a fase final se obtiver aprovação
de pelo menos dois jurados.
54. A diferença entre a probabilidade de um candidato ser
aprovado caso o público geral o aprove e caso o público
geral não o aprove é igual a
a)25%.
b)30%.
c)35%.
d)40%.
e)45%.
Resolução:
A probabilidade de um candidato ser aprovado caso o público
o aprove é:
P = 0,5 . 0,75 . 0,8 + 0,5 . 0,75 . 0,2 + 0,5 . 0,25 . 0,8
3 jurados
aprovam
terceiro jurado
não o aprove
segundo jurado
não o aprove
+ 0,5 . 0,75 . 0,8 = 0,775
primeiro jurado
não o aprove
A probabilidade de um candidato ser aprovado caso o público
não o aprove é:
P = 0,5 . 0,4 . 0,25 + 0,5 . 0,4 . 0,75 + 0,5 . 0,6 . 0,25
3 jurados
aprovam
Alternativa E
terceiro jurado
não o aprove
segundo jurado
não o aprove
+ 0,5 . 0,4 . 0,25 = 0,325
primeiro jurado
não o aprove
CPV
inspernov2010
Portanto, a diferença é 0,775 – 0,325 = 0,45
Alternativa E
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Insper – 15/11/2010
18
55. Na fase final, um candidato terá sua música gravada somente se for aprovado pelos três jurados e for aprovado pelo público
geral. Para que um candidato não tenha sua música gravada na fase final,
a)
b)
c) d)
e)
é suficiente que nenhum jurado aprove o candidato.
é necessário que um jurado não aprove o candidato.
é suficiente que o público geral aprove o candidato.
é necessário que os três jurados não aprovem o candidato.
é necessário que o público geral não aprove o candidato.
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, análise de condicionais.
Existem quatro pré-requisitos (condições necessárias) para a gravação da música:
(aprovação por J1) e (aprovação por J2) e (aprovação por J3) e (aprovação pelo público)
Se sua música não foi gravada, possivelmente algum dos pré-requisitos esperados não ocorreu – por exemplo, o jurado J2 não o aprova,
ou o público e J3 não o aprovam.
Na verdade, mesmo que os quatro pré-requisitos ocorram, não há garantia de que a musica será gravada (note que a conjunção usada
no enunciado é “somente se”).
Assim, basta que ocorra o evento antecedente – “nenhum jurado aprove o candidato” (alternativa A) – para que automaticamente ocorra
o evento consequente – “a música não será gravada”.
Alternativa A
CPV
inspernov2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Insper – 15/11/2010
19
Utilize as informações a seguir para os testes 56 e 57.
Resolução:
O gráfico a seguir representa uma função polinomial do quarto
grau p(x), tal que p(0) = 1.
Observamos que, se adicionarmos 1 a todas ordenadas de p (x),
geraremos o gráfico abaixo, que terá duas raízes reais distintas,
satisfazendo a condição exigida de g (x).
Logo, g (x) = p (x) +1.
Da mesma forma, observamos que, se adicionarmos 3 a todas
ordenadas de p (x), geraremos o gráfico abaixo, que não admite
raiz real, satisfazendo à condição exigida de h (x).
Logo, h (x) = p (x) + 3.
56. Dos pares de funções abaixo, aquele em que g(x) tem
exatamente duas raízes reais distintas e h(x) não admite
raízes reais é
a)
b)
c)
d)
e)
g(x) = p(x) − 1 e h(x) = p(x) − 3.
g(x) = p(x) − 2 e h(x) = p(x) + 2.
g(x) = p(x) + 1 e h(x) = p(x) + 3.
g(x) = p(x) + 2 e h(x) = p(x) − 2.
g(x) = p(x) − 1 e h(x) = p(x) + 3.
CPV
inspernov2010
Alternativa C
20
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
57. Dos gráficos abaixo, aquele que melhor representa o
gráfico de f(x) = xp(x) é:
a)
d)
b)
e)
c)
Resolução:
Quadro de sinais de f (x) = x . p (x)
–3
CPV
inspernov2010
–1
0
1
2
–
–
–
+
+
+
x
+
–
+
+
–
+
p (x)
–
+
–
+
–
+
x . p (x)
Observando esse quadro, o gráfico que melhor representa a
função f (x) é o da alternativa A.
Alternativa A
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Insper – 15/11/2010
21
58. No aniversário de 20 anos de uma escola, seu fundador
fez a seguinte declaração:
59. Ao serem investigados, dois suspeitos de um crime fizeram
as seguintes declarações:
Suspeito A: Se eu estiver mentindo, então não sou culpado.
Suspeito B: Se o suspeito A disse a verdade ou eu estiver
mentindo, então não sou culpado.
Se o suspeito B é culpado e disse a verdade, então
a)
b)
c)
d)
e)
“Nesses 20 anos, formamos 25 alunos que hoje são
professores desta casa e 30 alunos que hoje são médicos.
Entretanto, em nenhum ano formamos mais do que dois
desses médicos e nem mais do que três desses professores.”
É correto afirmar que, certamente,
a) em todos os anos formou-se pelo menos um dos
professores.
b) em todos os anos formou-se pelo menos um dos
médicos.
c) em pelo menos um ano não se formou nenhum médico
e nenhum professor.
d) em pelo menos um ano formou-se pelo menos um
médico e pelo menos um professor.
e) em pelo menos um ano formou-se pelo menos um
médico e nenhum professor.
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, análise de condicionais.
As duas declarações dos suspeitos podem ser reescritas como
condicionais simples:
I. (A mente) → (A é inocente)
II. (~ (A mente) ou (B mente)) → (B é inocente)
O enunciado garante que B fala a verdade (II é verdadeiro) e
“B não é inocente”. Assim, usando a forma contrapositiva,
temos:
III. ~ (~ (A mente) ou (B mente)) ← ~ (B é inocente)
O primeiro componente pode ser manipulado como ~ (~ (A
mente) ou (B mente)) = (A mente) e ~ (B mente). Ou seja, tanto
“A realmente mente”, como “B realmente fala a verdade”.
Porém, se “A mente”, a proposição (I) é falsa, de modo que,
obrigatoriamente: V → F. Ou seja, “A realmente mente” e “é
falso que A é inocente”.
Logo, A mente e é culpado.
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, simulação de cenários.
O gabarito correto é a alternativa D, que defende que, em algum
ano, formaram-se tanto um médico (pelo menos um) quanto
um professor (pelo menos um).
Podemos provar sua veracidade por negação (absurdo), ou seja,
tentando criar alguma situação em que ela seja forçosamente
falsa. Para tanto, bastaria garantir que, em todos os anos em que
algum médico se formou, não fosse formado nenhum professor,
e vice-versa. Vamos tentar criar artificialmente essa situação,
concentrando os professores formados nos anos iniciais do
período e os médicos formandos nos anos finais:
●
lembrando que há um limite de 3 professores formados
por ano, teríamos: 25 / 3 = 8,333..., ou seja, um mínimo
de 9 anos formando apenas professores;
●
Assim, seriam necessários ao menos 9 + 15 = 24 anos para obter
a total separação temporal entre esses fenômenos; entretanto,
a escola existe há apenas 20 anos. Logo, a alternativa D é
necessariamente verdadeira.
Alternativa D
CPV
lembrando que há um limite de 2 médicos formados por
ano, teríamos 30 / 2 = 15, ou seja, um mínimo de 15 anos
formando apenas médicos.
inspernov2010
o suspeito A é inocente, mas mentiu.
o suspeito A é inocente e disse a verdade.
o suspeito A é culpado, mas disse a verdade.
o suspeito A é culpado e mentiu.
o suspeito A é culpado, mas pode ter dito a verdade
ou mentido.
Alternativa D
22
insper – 15/11/2010
Seu pé direito nas melhores Faculdades
60. Duas companhias aéreas A e B realizam voos entre duas
cidades X e Y. Sabe-se que:
● a quantidade de voos realizados semanalmente pelas
duas companhias é igual;
● a companhia A tem uma taxa de ocupação média de
70% nesses voos;
● a companhia B tem uma taxa de ocupação média de
40% nesses voos.
A companhia B colocou nos jornais uma propaganda com
os seguintes dizeres:
“Somos a companhia que mais transporta passageiros
entre as cidades X e Y.”
A companhia A foi para a justiça, alegando que a afirmação
era falsa e, portanto, enganava os consumidores.
Dentre os argumentos a seguir, aquele que representa a
melhor defesa para a companhia B é
a) “nossos aviões atrasam, em média, metade das vezes
que atrasam os aviões da companhia A”.
b) “nossos aviões têm, em média, a metade da capacidade
dos aviões da companhia A”.
c) “nosso maior avião tem o dobro da capacidade do
maior avião da companhia A”.
d) “nossos aviões têm, em média, o dobro da capacidade
dos aviões da companhia A”.
e) “nossos aviões voam com o dobro da velocidade dos
aviões da companhia A”.
Resolução:
Trata-se de uma questão de lógica, modelagem matemática.
A informação em questão diz respeito ao número de passageiros
transportados.
Nessa questão, o total de passageiros transportados pelas duas
companhias pode depender de três fatores:
I. número total de voos;
II. taxa média de ocupação por voo;
III. capacidade média dos voos (ocupação máxima).
Note que as companhias A e B empatam no critério (I), enquanto
A leva uma vantagem no fator (II). Entretanto, B pode levar
vantagem final sobre A, desde que compense no fator (III), ou
seja, opere com aviões com capacidade média maior que a do
concorrente.
Por exemplo, se a capacidade média de B for o dobro da
capacidade em A (como sugere a alternativa D), B teria, em
termos proporcionais, uma taxa de ocupação média de 80%,
contra apenas 70% da A.
Alternativa D
CPV
inspernov2010
comentário do CPV
A prova de Matemática do Insper 2011 (Novembro de 2010)
mostrou-se, como de costume, uma prova extensa, bastante
contextualizada e com considerável grau de dificuldade.
Questões com alto grau de complexidade exigiram do candidato
raciocínio e concentração. Outro problema enfrentado pelo
vestibulando foi o tempo, que certamente foi curto para esta
prova.
Esperamos que a Banca Examinadora tenha conseguido
selecionar os melhores candidatos.