Análise de Práticas Docentes, referentes à
Sistematização dos Conteúdos Geométricos, de
Professores dos Cursos de Licenciatura em Matemática
Vera Fátima Corsino de Almeida1
[email protected]
Dr. Luiz Carlos Pais2
[email protected]
Introdução
Como professora e coordenadora de um curso de Licenciatura em Matemática,
passamos a nos preocupar em implementar mudanças que contribuam para a melhoria do
ensino de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Como
pudemos constatar no transcorrer da nossa prática pedagógica, a disciplina de Matemática
chega, até mesmo, a apavorar muitos alunos e, por esse motivo, é responsável por muitas
reprovações e evasões em nível da Educação Básica. Assim, ao participarmos do processo
de implementação e de consolidação do movimento da Educação Matemática no Estado do
Mato Grosso do Sul, essa ansiedade como educadora aumentou. Percebemos, então, que a
cada ano os alunos concluem a Educação Básica com maior defasagem nos conteúdos de
Matemática elementar.
Observamos, ao longo da trajetória docente, uma preocupante realidade:
professores, com formação em Pedagogia, docentes das séries iniciais do Ensino
Fundamental, demonstram dificuldade e insegurança no ensino dos algoritmos elementares
da Matemática, fator que, aparentemente, tem sido responsável por defasagem do
aprendizado de conteúdos básicos dessa disciplina.
1
2
Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UFMS.
Orientador e professor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UFMS.
1
Deparamo-nos, então, com um círculo vicioso: os alunos, com freqüência, chegam
aos anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano) e ao Ensino Médio trazendo essas
defasagens, mal preparados, portanto. Nesses níveis, esses alunos recebem, para lhes
ensinar Matemática, professores saídos da Licenciatura na disciplina, que, por sua vez,
foram preparados para dar aulas dos conteúdos específicos da graduação, cuja abordagem
se distancia, em muitos aspectos, daquela a que vinham acostumados no nível anterior.
Essa mesma preocupação tem sido apontada por outros professores atuantes nos
anos finais do Ensino Fundamental, cujas observações a esse respeito foram passadas em
conversas, cursos de formação continuada, oficinas e em avaliações do Estágio Curricular,
atividades que coordenamos. Os discursos que manifestam esse tipo de preocupação
corroboram a seguinte afirmação de Ponte (1994, p.1): “Para os professores, as causas do
insucesso dos seus alunos são frequentemente a sua ‘má preparação’ em anos anteriores.”
As primeiras discussões - das quais participamos - sobre os cursos de Licenciatura
em Matemática, aconteceram em fóruns, tanto estaduais, quanto nacionais, promovidos
pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), os quais nos proporcionaram
reflexões que culminaram em sugestões sobre a atuação e a responsabilidade do corpo
docente dos cursos que formam professores de Matemática.
Dentre os inúmeros problemas levantados, em nível nacional, em um documento
elaborado pela SBEM e discutido no I Seminário Nacional de Licenciaturas em
Matemática, em Salvador (2003), está o que se refere aos cursos de formação de
professores. em que se ressalta a falta de articulação entre os conhecimentos matemáticos
adquiridos na Licenciatura e a aplicação didático-pedagógica desses conhecimentos em
sala de aula. Além disso, ressalta-se, ainda, a falta de planejamento conjunto dos conteúdos
e aplicação deles, pelos docentes da disciplina.
Nesse mesmo evento, pudemos ouvir outros questionamentos, como os que se
seguem: Como deve aprender Matemática, alguém que futuramente irá ensiná-la? Qual
deve ser o perfil dos docentes que formam professores? Que conhecimentos deve ter o
professor de Matemática e o formador de professores de Matemática? Que partes da
Matemática deve saber um futuro professor dessa disciplina? Essas indagações passaram a
nortear o nosso propósito, em busca de melhorias para os cursos de Licenciatura em
Matemática.
Mas nossa observação não pára aí. Captamos, também, uma outra questão muito
pertinente: o distanciamento entre teoria e prática dos conteúdos matemáticos. Como
2
responsável pela disciplina Estágio Supervisionado, acompanhando e observando os
estagiários e sua prática pedagógica, percebemos as dificuldades que os futuros professores
enfrentam por não terem compreendido muitos conceitos elementares de Matemática fato
que reforça um dos dados encontrados na pesquisa realizada por Santos (2005, p.12): “[...]
egressos de cursos de Licenciatura em Matemática, também apresentam dificuldades para
ensinar os conteúdos de Educação Básica e alguns, ainda, não conseguiram sanar as
dificuldades que tinham no início da graduação”.
Ponte (1994, p. 3) reforça esse argumento, agregando este aspecto a seguir:
Assim, a Matemática é ensinada de modo a ser difícil. Tudo começa pelos
currículos, que apontam para a abstração precoce e privilegiam a quantidade dos
assuntos em relação à quantidade da aprendizagem. Os novos currículos
atualmente em processo de generalização marcam a este respeito um importante
progresso, prevendo por vezes o uso de metodologias inovadoras, orientadas
para a participação ativa dos alunos na descoberta dos conceitos; mas quando é
preciso “ganhar tempo” a primeira coisa que se suprime são essas metodologias.
Dessa maneira, quando resolvemos investir esforços na realização de um Curso de
Mestrado em Educação Matemática, partimos dessa constatação: há um verdadeiro ciclo
vicioso na passagem pelos diferentes níveis da escolaridade e também da formação dos
futuros professores. Por esse caminho, as primeiras inquietações começaram a se esboçar
em nossa consciência: como ocorre a formação dos futuros professores de Matemática no
que diz respeito especificamente aos chamados conteúdos da Matemática elementar?
Com essa interrogação em mente, como educadora, participamos ativamente do
processo de reestruturação do curso de Licenciatura que coordenamos, para adequá-lo à
nova legislação e, ao analisar as Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de
Matemática, Bacharelado e Licenciatura aprovadas em seis de novembro de dois mil e um,
pelo Parecer CNE/CES 1302/2001, chamou-nos a atenção o item 4.2:
Para a Licenciatura serão incluídos, no conjunto dos conteúdos profissionais, os
conteúdos da Educação Básica, consideradas as Diretrizes Curriculares
Nacionais para a formação de professores em nível superior, bem como as
Diretrizes Nacionais para a Educação Básica e para o Ensino Médio.(2001,p.06)
A partir dessas constatações, pensamos em estudar, em um primeiro momento, os
três Cursos de Licenciatura em Matemática da cidade de Dourados, onde exercemos as
3
atividades como professora, a fim de analisarmos, nas estruturas curriculares desses cursos,
se os conteúdos matemáticos de Educação Básica estão sendo contemplados, além de
procedermos a uma análise da praxeologia do professor formador. Encerrada essa primeira
trajetória, em função da vivência construída em nosso meio de estudo, fomos levados a
proceder aos recortes necessários definindo o seguinte objeto de pesquisa: Práticas
docentes relativas ao estudo da sistematização da Geometria Plana, implementadas
por professores que atuam em cursos de Licenciatura em Matemática, na cidade de
Dourados.
O termo “sistematização”, de acordo com o Dicionário Aurélio, quer dizer “efeito
de sistematizar”; sistematizar, por sua vez, significa “reduzir a sistema ou reunir num
campo de doutrina”. Tales de Mileto, considerado um dos “sete sábios” da antiguidade, é
apontado como o responsável pela introdução do trabalho de sistematização em Geometria,
pois “se baseava em raciocínios lógicos e não em intuição e experimentação” (Eves, 1992,
p. 8). Pitágoras foi quem, posteriormente, deu continuidade a esse trabalho.
Para esta análise consideramos sistematização: definições, exemplos, propriedades,
demonstrações, validações, porque
O ideal de sistematização dedutiva traduz-se na crença de que os conhecimentos
matemáticos, em sua totalidade, podem (e devem) ser organizados em um
sistema dedutivo contendo termos primitivos, definições, regras de inferência,
axiomas e teoremas de modo que os axiomas e teoremas estejam relacionados
dedutivamente (cf. LOSEE, 1985, pp.33-36, apud MIGUEL, 1995, p.8)
A escolha, para esta pesquisa, de tópicos relacionados à Geometria justifica-se por
ser esta uma disciplina preterida, durante muito tempo, por professores e alunos da
Educação Básica, afirmação corroborada por Pavanello (1993, p. 13), que afirma,
referentemente ao ensino da Geometria: “a maioria dos professores de matemática não
domina esse assunto, o que acaba por fazer com que muitos deles deixem de ensinar
geometria sob qualquer enfoque”.
Nessa mesma linha de pensamento Lindquist (2004, p. 25) observa que “mesmo
professores licenciados em matemática podem não ter a bagagem suficiente para entender
seus problemas, pois os departamentos de matemática das faculdades reduziram seus
cursos de geometria” e Lorenzato (1995, p. 4) considera que: “presentemente está
estabelecido um círculo vicioso: a geração que não estudou Geometria não sabe como
ensiná-la”.
4
Além disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN, documento cujo
propósito é contribuir tanto para a formação inicial, quanto para a formação continuada do
professor, relativamente ao ensino de Matemática, nomeadamente da Geometria,
preconizam:
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de
Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve
um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e
representar de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL, 1998, p.51).
Especificamente sobre a sistematização de conteúdos geométricos, os PCN
abordam o tema da seguinte maneira:
Ao longo de sua história, a Matemática tem convivido com a reflexão de
natureza filosófica, em suas vertentes da epistemologia e da lógica. Quando se
reflete, hoje, sobre a natureza da validação do conhecimento matemático,
reconhece-se que, na comunidade científica, a demonstração formal tem sido
aceita como a única forma de validação dos seus resultados. Nesse sentido, a
Matemática não é uma ciência empírica. Nenhuma verificação experimental ou
medição feita em objetos físicos poderá, por exemplo, validar matematicamente
o teorema de Pitágoras ou o teorema relativo à soma dos ângulos de um
triângulo. Deve-se enfatizar, contudo, o papel heurístico que têm desempenhado
os contextos materiais como fontes de conjecturas matemáticas. (BRASIL, 1998,
p.26)
Levados pela questão: Como ocorrem as organizações didática e matemática
implementadas por professores que atuam em cursos de licenciatura em Matemática,
focamos o nosso estudo nas pesquisas de Pavanello (1989); Curi (2000) e Santos (2005).
O trabalho de Pavanello (1989), “O abandono do ensino da geometria: uma visão
histórica”, é resultado de uma pesquisa na qual ela enfatiza a deficiência do ensino da
Geometria nas escolas de educação Básica, apontando, como principal responsável, o fato
de essa disciplina ser programada para o final do ano letivo, além de o conteúdo ser
apresentado, nos livros didáticos, apenas nos últimos capítulos. Outro motivo responsável
pela deficiência do ensino desse conteúdo, é que os professores não se sentem capacitados
ou seguros para assumirem qualquer trabalho que envolva Geometria.
A autora norteou a sua pesquisa por meio de duas questões: “Por que, quando e
como o ensino de Geometria foi relegado a segundo plano?” e “Que prejuízos isto pode
acarretar à formação do aluno?”.
Pavanello (1993) apresentou, também, o resultado de uma pesquisa, sob a forma de
artigo, com o título “ O abandono do ensino de geometria no Brasil: causas e
conseqüências”, no qual ela destaca o abandono por que tem passado o ensino de
Geometria nas últimas décadas, mais precisamente após a publicação da Lei 5692/71.
5
Muitas pesquisas, segundo essa autora, têm sido realizadas por educadores matemáticos de
todo o mundo que, preocupados com o real descaso em relação a essa disciplina, têm
privilegiado o tema em suas discussões, em todos os congressos que reúnem pessoas
envolvidas com a Educação Matemática.
O trabalho de pesquisa de Curi (2000), intitulado “Formação de professores de
matemática: realidade presente e perspectivas futuras”, tem por meta principal identificar,
com base na análise da realidade atual, as perspectivas futuras; procura estabelecer,
também, o perfil de um determinado número de professores de Matemática.
A autora procura situar historicamente a formação do professor especialista em
Matemática, que reflete diretamente sobre o papel do professor na sociedade atual, em
função de mudanças sociais e econômicas precipitadas que transformaram o trabalho e a
imagem social dos professores. Descreve um breve histórico sobre a formação do professor
especialista no Brasil, tendo início com a fundação das Faculdades de Filosofia, Ciências e
Letras, a partir de 1934, cujo principal objetivo era formar professores para as escolas
secundárias.
A dissertação de Santos (2005) – “Conteúdos matemáticos da Educação Básica e
sua abordagem em curso de Licenciatura em Matemática” - investiga o que é trabalhado
em relação aos conteúdos da disciplina de Matemática na Educação Básica e de que forma
os coordenadores de cursos tratam a articulação entre os conteúdos matemáticos ensinados
na Licenciatura e os que serão ensinados, pelos egressos desses cursos, nos níveis de
ensino nos quais eles atuarão.
Aspectos Teóricos e Metodológicos da Pesquisa
Conforme destacamos anteriormente, nosso objeto de pesquisa consiste nas
práticas docentes relativas ao estudo da sistematização da Geometria, implementadas
por professores que atuam em cursos de Licenciatura em Matemática, na cidade de
Dourados.
Para atingirmos os objetivos propostos, recorremos à Teoria Antropológica do
Didático (TAD), proposta por Yves Chevallard. Nossa investigação não se prendeu tanto
ao que está sendo ensinado, mas como está sendo ensinado, ou seja, o nosso olhar se
estruturou nas atividades que o professor realiza em sala de aula e, para tanto, analisamos
6
os registros feitos nos cadernos dos alunos, a fim de observarmos a praxeologia adotada
pelos professores em relação à sistematização dos conteúdos geométricos, analisando,
principalmente, os tipos de tarefas3, técnicas4, tecnologias5 e teorias6 aplicadas por eles.
Após a escolha dos tipos de tarefa, realizamos uma leitura seletiva e reflexiva das
atividades propostas pelo professor em sala de aula, com o objetivo de analisarmos as
organizações matemáticas, ou seja, os tipos de problemas que surgem das questões; as
técnicas que permitem resolver esses problemas; as tecnologias que justificam as técnicas;
as teorias que servem de fundamento para as tecnologias. Analisamos, ainda, as
organizações didáticas, isto é, a prática pedagógica do professor e, também como esse
professor utiliza os objetos ostensivos que, segundo Chevallard (1999), são os objetos que
podem ser manuseados, como por exemplo, os sons, os grafismos, os gestos e, ainda, os
objetos não-ostensivos que consistem em idéias e conceitos, entre outros, que não podem
ser manipulados.
Também estamos interessados em observar se os alunos definem, validam,
demonstram etc. e se a prática dos professores permite levar os alunos a fazerem
Geometria em sala de aula.
Como o nosso objetivo está diretamente ligado à interpretação, compreensão e
manifestação do fenômeno em estudo, tomaremos por base, para a análise, os fundamentos
da
Fenomenologia
aplicada
à
Educação.Segundo
Machado,“[...]
na
pesquisa
fenomenológica não há problemas a serem investigados; o pesquisador apenas tem
dúvidas, sobre as quais interroga” (1994,p.36).
O fenômeno interrogado, no caso dessa pesquisa, “como ocorrem as organizações
didática e matemática implementadas por professores dos cursos de Licenciatura em
Matemática, para organizar o estudo da sistematização da Geometria?”, deve ser estudado
a partir da experiência que sujeito vivencia e não a partir de doutrinas e pontos de vista,
nos quais acreditamos, porque na pesquisa qualitativa fenomenológica “a preocupação de
pesquisador deve se dirigir para aquilo que os sujeitos da pesquisa vivenciam como um
caso concreto do fenômeno investigado”, conforme assegura Ferreira (1994, p.77).
Seguindo essa linha de pensamento, entendemos que fenomenologia significa
deixar que as coisas se manifestem como elas são, sem que coloquemos nelas as nossas
3
são as questões matemáticas.
modos de fazer as tarefas.
5
discurso que justifica a técnica.
6
discurso que justifica a tecnologia.
4
7
próprias convicções e opiniões; “[...] não somos nós que indicamos as coisas; são as coisas
que se nos revelam”, conforme considera Espósito (1994, p. 82).
Ao questionarmos sobre o aporte da fenomenologia para a educação encontramos
em Bicudo (1999) a seguinte declaração:
A fenomenologia se mostra apropriada à educação, pois ela não traz consigo a
imposição de uma verdade teórica ou ideológica preestabelecida, mas trabalha no
real vivido, buscando a compreensão disso que somos e que fazemos _ cada um
de nós e todos em conjunto. Buscando o sentido e o significado mundanos das
teorias e das ideologias e das expressões culturais e históricas. (p. 13)
A fenomenologia, portanto, trabalha com o real, tal como ele é vivido no cotidiano,
ou seja, não parte de suposições ou crenças sobre o aluno, sobre a escola e, também, sobre
a prática docente, mas considera aluno e professor naquela realidade em que se situa a
escola.
Para se pesquisar um fenômeno numa abordagem fenomenológica é necessário que
se tenha uma interrogação e que se ande em torno dela, conforme afirma Fini (1994),
porque o fenômeno é algo que aparece na consciência e também se revela para esta
consciência como resultado de uma interrogação.
Como “[...] não existe possibilidade de interrogar o ensino ou aprendizagem, mas
sim o sujeito que está ensinando e o sujeito que está aprendendo” (FINI, 1994, p. 25), para
averiguarmos a nossa dúvida, analisamos o caderno de três alunos (sujeitos que estão
aprendendo) de cada uma das três instituições de ensino superior que oferecem o curso de
licenciatura em Matemática na cidade de Dourados.
Analisamos os cadernos dos alunos porque acreditamos que os registros feitos por
eles correspondem, com certa margem de segurança, às atividades que os professores
desenvolvem, efetivamente, em sala de aula.
Como nossa indagação está diretamente ligada aos conteúdos geométricos e não
poderíamos analisar todos os conteúdos, fizemos um recorte e optamos pelos conteúdos
referentes a “ângulos”, os quais fizeram parte de nossa análise.
Na seleção desses discursos procuramos o objeto investigado; a partir dos relatos ou
discursos dos envolvidos buscamos a essência do fenômeno ora pesquisado, procurando
desvelar, gradativamente, o fenômeno interrogado, considerando as percepções dos
indivíduos. Ouvimos a opinião dos professores, sujeitos da pesquisa, por meio de uma
8
entrevista semi-estruturada, para sabermos como eles conduzem o estudo dos conteúdos da
educação básica e, mais especificamente, como ocorre a sistematização dos conteúdos
geométricos, nos cursos de Licenciatura em Matemática.
Procuramos orientação no método fenomenológico por entendermos que esse
método atenderia às possibilidades de concretização desta pesquisa, em busca da
compreensão sobre o processo de ensino e aprendizagem do aluno do curso de
Licenciatura em Matemática, na disciplina de Geometria, tendo como temática a análise da
prática docente.
Análise (parcial) das Práticas Docentes
Tendo em vista a nossa intenção de proceder a uma análise das práticas docentes,
por meio de uma abordagem antropológica, na linha proposta por Chevallard (1999), nossa
primeira ação foi fazer um levantamento das tarefas propostas pelos professores
participantes da pesquisa. São tarefas relativas ao tema de estudo7 que denominamos
ângulos e retas. Embora o estudo desse tema envolva muitas noções, o enfoque dado pelos
professores que participaram da pesquisa está mais voltado para a resolução de problemas
que envolvem diretamente os ângulos formados por um feixe de retas paralelas com uma
transversal. Em outras palavras, o contexto de realização das tarefas está delimitado ao
próprio saber matemático.
Como os exercícios propostos pelos professores encontram-se registrados nos
cadernos dos alunos, fizemos a opção em trabalhar com essa fonte de informação para
conduzir nossa pesquisa, tendo em vista que grande parte dos professores universitários
não costuma permitir observadores em suas aulas, tal como acontece em nível da Educação
Básica. Por outro lado, considerando-se a tradição de alguns alunos, de registrarem com
detalhes a aula do professor universitário, entendemos que a escolha desse tipo de fonte
justifica-se. Além do mais, acreditamos que os registros feitos pelos alunos correspondem,
7
O tema de estudo ângulos e retas geralmente é estudado em nível do oitavo ano do Ensino Fundamental e,
conforme, propõe o livro Praticando Matemática (ÁLVARO ANDRINI, Editora Brasil, 1989) envolve os
seguintes assuntos: conceito e definição de ângulos, medida de um ângulo, ângulos complementares, ângulos
suplementares, operações com as medidas dos ângulos, congruência entre ângulos, bissetriz de um ângulo,
classificação de ângulo (obtuso, reto, agudo), retas, semi-retas, retas paralelas, feixe de retas paralelas,
ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal, nomenclatura desses ângulos, ângulos opostos
pelos vértices, entre outras noções geométricas.
9
com uma boa margem de segurança, às atividades que os professores efetivamente
desenvolveram em sala de aula.
Por certo, em relação ao que os professores teriam dado e falado nas aulas, esse tipo
de registro não nos permite captar a realidade absoluta de todos os momentos, tendo em
vista que as expressões verbais, os gestos e até mesmo algum objeto material não se
encontram registrados nos cadernos. Entretanto, consideramos esse tipo de fonte suficiente
por conter a parte mais formal e sistematizada do estudo matemático.
Analisamos os nove cadernos de alunos dos três professores, sendo três cadernos de
cada um dos cursos de licenciatura oferecidos pelas três instituições de Ensino Superior da
cidade de Dourados (MS). A partir das tarefas selecionadas, iniciamos o processo de
análise do que existia de comum entre esses exercícios, como por exemplo aqueles que
podem ser resolvidos com uma mesma técnica.
Apresentamos, neste trabalho, o modelo da análise realizada em uma das tarefas
pertencente ao tipo identificado por nós como T4.
O tipo de tarefa T4 que passamos a descrever, apresenta as tarefas cujo enunciado
conduz o aluno a resolver problemas envolvendo ângulos complementares e ângulos
suplementares.
Comentários iniciais
A definição dada acima pode ser ilustrada por um dos exemplos retirado por nós do
caderno do aluno do professor Tadeu, a tarefa t9: Encontre a medida de um ângulo,
sabendo-se que ele mede o triplo de seu complemento.
Para maiores esclarecimentos, faz-se necessário afirmar que inserimos, nesse tipo
de tarefa, além dos problemas, um caso que envolve demonstração do teorema que prova
que ângulos que têm o mesmo suplemento são congruentes.
Organização Matemática
Para procedermos à analise da organização Matemática do professor Tadeu na
condução dado estudo e da tarefa t9, que foi por nós selecionada a fim de ilustrar o tipo de
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tarefa T5, organizamos o quadro abaixo, fazendo a descrição da técnica e dos elementos
tecnológicos, tendo como parâmetro os registros feitos pelo aluno em seu caderno.
Descrição da técnica e dos elementos tecnológicos
Técnica τ 4
Elementos tecnológicos
Representar o ângulo procurado pela letra x. Conceito de ângulo
Representar o complemento do ângulo Conceito de ângulo complementar
procurado por 90º - x
Estabelecer uma relação algébrica entre o Teorema que prova que a soma de ângulos
ângulo procurado e o seu complemento.
Resolver a equação algébrica
complementares é 90º.
Resolução de uma equação do 1º grau.
Aspectos teóricos da organização Matemática
No que se refere à teoria envolvida com os elementos tecnológicos descritos no
quadro acima, entendemos tratar-se da disciplina de Matemática que é ensinada em nível
do 6º ao 9º ano, ou seja, das séries finais do Ensino Fundamental. Percebemos que a tarefa
t9 estuda uma parte da Geometria Plana, quando aborda o tema ângulos complementares e,
também, uma parte da álgebra que está relacionada ao estudo de equações do 1º grau.
Ao analisarmos como foi conduzido o estudo dessa tarefa t9, ou seja, a organização
Matemática implementada pelo professor, os registros feitos no caderno do aluno revelam
alguns destaques que não poderiam deixar de ser explicitados por nós, para melhor
compreendermos a praxeologia usada pelo professor Tadeu.
Para iniciar o estudo dessa tarefa t9 ele utilizou a letra x representando o ângulo
procurado com um símbolo que representa “grau”, como expoente e, em seguida, formou a
igualdade entre o ângulo procurado e a expressão algébrica formada de acordo com o
enunciado. Esse foi o primeiro registro identificado por nós, no caderno do aluno.
A seguir, o professor resolveu a equação do 1º grau e encontrou o valor da
incógnita que corresponde ao valor do ângulo procurado, em graus e minutos.
Organização Didática
Entendemos como organização didática o conjunto de todas as técnicas, tecnologias
e teorias adotadas pelo professor para conduzir o estudo de uma tarefa, em uma dada
instituição, nesse caso a sala de aula. Ao analisarmos os cadernos dos alunos observamos
11
como o professor procedeu para conduzir o estudo de ângulos complementares e, mais
especificamente, aqui, como ele resolveu a tarefa t9. Como já ocorreu em outros casos, essa
tarefa também foi resolvida de maneira idêntica nos três cadernos dos alunos, o que nos
levou a afirmar, com certa margem de segurança, que a mesma foi resolvida pelo professor
como uma tarefa-exemplo a ser seguido para resolver as demais tarefas desse mesmo tipo.
No entanto, não podemos fazer afirmação categórica, haja vista não termos
assistido às aulas do professor; por isso, apenas conjeturamos, com base nos registros dos
cadernos, que, ao iniciar, o professor colocou o problema no quadro, fez a leitura do
mesmo para maiores esclarecimentos ao aluno e iniciou a resolução, sendo que o primeiro
passo foi representar o ângulo procurado pela letra x. Em seguida, estabeleceu a expressão
algébrica, de acordo com o que prescreve o enunciado da referida tarefa e a igualou ao
ângulo procurado, ou seja, x. Resolveu, então, a equação do primeiro grau, encontrando o
valor de x, ou seja, a medida do ângulo procurado, que ele determinou em graus e minutos.
É bom destacar que esse professor, na aula seguinte, apresentou o estudo de
operações com ângulos; supomos, assim, que o mesmo sentiu necessidade de estabelecer
esse estudo, talvez, por perceber a dificuldade encontrada por seus alunos no domínio do
conceito de operações com ângulos, conceito este que deveria estar claro para auxiliá-los
na resolução das tarefas propostas.
Percebemos, também, que o professor ao estabelecer a equação utilizou de
conceitos adquiridos anteriormente, pelo aluno, porque pelo que podemos identificar nos
cadernos que analisamos, que numa aula anterior, o professor havia provado para os alunos
que a soma de ângulos complementares é 90º. Desse modo, torna mais fácil a compreensão
dos passos elaborados pelo professor para chegar à solução da atividade proposta, que
nesse caso é a tarefa t9.
Aspectos da linguagem
Ao analisarmos as organizações didáticas e matemáticas exploradas pelo professor
Tadeu para conduzir a tarefa t9, nos cadernos dos três alunos envolvidos com a pesquisa,
notamos que alguns registros foram utilizados; o primeiro deles, terá sido a própria língua
materna, porque supomos que o professor tenha explicado para os alunos do que se tratava
a tarefa t9 e explicitado oralmente os passos que deveriam ser seguidos para resolver tal
12
tarefa, ou seja, o professor fez um pequeno discurso que deve ter sido acompanhado pelos
alunos.
Esse professor fez uso de registro algébrico quando estabeleceu a equação xº = 3.
(90 – x) e utilizou o registro simbólico, ao colocar o símbolo (º) que representa graus,
como expoente da incógnita (x). A igualdade é também um símbolo que representa uma
equivalência entre o primeiro e o segundo membro de uma equação.
Todos esses registros que acabamos de elencar são denominados por Chevallard
como objetos ostensivos, porque são registros que podem ser vistos, têm certa
materialidade, porém, quando o professor utiliza o conceito de ângulos complementares, o
conceito de triplo ou quando ele diz para o aluno que a soma dos ângulos complementares
é de 90º ou, ainda, que o complemento de um ângulo é 90º menos esse ângulo, ele está
fazendo uso de registros não-ostensivos.
Considerações Finais
Pelos dados analisados, até o presente momento, da organização matemática e a
organização didática dos professores, sujeitos de nossa pesquisa, estamos conjeturando que
há uma prática instituída por eles, na qual pudemos observar certa regularidade em suas
ações, na sistematização dos conteúdos geométricos.
Com base na entrevista que fizemos a esses sujeitos, ficou evidente essa prática,
pois identificamos, nos discursos desses professores, que, para conduzirem o estudo dos
conteúdos geométricos iniciam por exemplos que são resolvidos na lousa, os quais são
reproduzidos pelos alunos em seus cadernos e, em seguida partem para a resolução de
exercícios.
Esperamos que a maior contribuição dessa pesquisa esteja, justamente, no ato de
socializar os resultados com coordenadores e professores dos cursos de Licenciatura em
Matemática, e que haja uma ampliação das discussões no que se refere à apresentação dos
conteúdos de Matemática elementar, nos cursos que formam professores que atuarão no
ensino da Educação Básica, suscitando-se, dessa forma, outros questionamentos.
13
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