X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ARGUMENTAÇÃO NO ESTUDO DA GEOMETRIA NOS ANOS FINAIS DO
ENSINO FUNDAMENTAL: LIVROS DIDÁTICOS E FORMAÇÃO DE
PROFESSORES
Luiz Carlos Pais
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Resumo: O objetivo deste artigo é analisar aspectos didáticos da argumentação no estudo
da geometria a partir de práticas prescritas em livros didáticos brasileiros, dos anos finais
do Ensino Fundamental, articulando o tema com questões relativas à formação de
professores e às práticas docentes. As atuais orientações curriculares abordam as funções
previstas para o ensino das provas em geometria. Em consequência dessas orientações,
livros didáticos avaliados pelo poder público propõem atividades que visam contemplar as
tendências indicadas, porém, as práticas concernentes nem sempre são vivenciadas pelos
futuros professores de Matemática nos tempos de sua formação inicial. Este é o esboço
inicial do problema que artigo pretende desenvolver. Nesse sentido, foram analisados
livros didáticos destinados aos atuais dois últimos anos do Ensino Fundamental, publicados
entre 1986 e 2002. O referencial utilizado é constituído por conceitos propostos por André
Chervel e por outros autores que compartilham do campo da história das disciplinas
escolares. Quanto às especificidades das práticas da disciplina, utilizamos idéias propostas
por Yves Chevallard, na abordagem antropológica do estudo da Matemática. Foi possível
constatar nos livros didáticos analisados uma diversificação recente considerável na
maneira didática de sistematizar o estudo relativo à argumentação no domínio da
geometria. Um destaque expressivo diz respeito a uma ampliação dos exercícios propostos
com objetivo de explorar aspectos informais ou experimentais das provas e uma
diminuição considerável das demonstrações formais como privilegiavam livros didáticos
mais antigos.
Palavras-chave: Argumentação Matemática; Demonstração e Prova; Validação do saber
matemático; Práticas argumentativas docentes.
1. Considerações iniciais
As últimas três décadas registraram um avanço considerável da produção
acadêmica da área de Educação Matemática brasileira. Hoje, estão disponíveis vários
indicadores relativos ao aumento do número de pesquisas, dos cursos de mestrado e de
doutorado, da publicação de trabalhos científicos e da diversificação das temáticas de
estudo. Em paralelo com esse aumento quantitativo, tem ocorrido também um
aprimoramento dos instrumentos de avaliação qualitativa em diferentes níveis e com
variada abrangência. Entretanto, apesar desse avanço, ainda persistem grandes desa fios a
serem superados, pois grande parte da produção acumulada nos últimos anos não chegou
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
nas salas de aula da Educação Básica e nem mesmo estão nas práticas vivenciadas pelos
acadêmicos dos cursos de licenciatura.
Por esse motivo, ao estudar a argumentação em geometria, destacamos o desafio de
aproximar os resultados de pesquisa existentes, atualmente, nas universidades das atuais
propostas de curso de formação inicial de professores de Matemática. Essa aproximação
não é um processo fácil de ser realizado porque está em jogo uma complexa rede de
instituições, envolvendo: poder público, universidades, escolas, professores, editoras e
sociedades científicas, entre outras forças consorciadas ao problema. Esses agrupamentos
sociais procuram construir suas histórias de legitimação, mas devem ser levados ao
exercício da autocrítica e rever suas posições. Muitas vezes, a obstrução do diálogo passa
por raízes mergulhadas no pensamento positivista. Em particular, a maneira de tratar o
tema da argumentação em geometria exemplifica, assim pensamos, uma das áreas de
conflito entre as diferentes visões que permeiam o campo da educação matemática.
O estudo da argumentação é um tema relevante na fundamentação do trabalho do
professor porque envolve uma base entrelaçada por aspectos didáticos e epistemológicos.
A argumentação está associada aos aspectos didáticos, no sentido de envolver as práticas
de validação dos conhecimentos trabalhados na sala de aula e também está ligada às
condições de produção do saber matemático. Essa dupla vinculação desperta o nosso
interesse para compreender o funcionamento das práticas de ensino das demonstrações no
domínio da geometria. Por esse motivo, ao optarmos por uma vertente da Educação
Matemática que valoriza a dimensão conceitual da Matemática, como ciência de
referência, consideramos o tema motivador para realizar trabalhos de pesquisa em
diferentes níveis.
Nesse sentido, um dos desafios iniciais concernentes ao assunto consiste em
questionar a passagem das condições determinadas pela produção acadêmica, muitas vezes
ainda dominada de formalismo, para as realidades pertinentes ao contrato didático de uma
instituição que pretenda trabalhar com a validade de proposições matemáticas em nível da
Educação Básica. Em seguida, mesmo sendo possível constatar mudanças no que diz
respeito ao grau de sistematização com que tem aparecido nos livros didáticos atuais, a
argumentação continua presente entre as tarefas propostas para a educação matemática.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Dessa maneira, a análise do livro didático constituiu para nós um ponto de partida para
estudar o problema atual do ensino dos processos de argumentação em geometria.
O interesse em tomar o livro didático como fonte de pesquisa justifica-se pelo fato
desse tipo de publicação figurar como um dos recursos mais usados pelos professores na
condução do ensino da matemática, funcionando como uma espécie de fonte privilegiada
de referência para validar as práticas e as teorias associadas aos conteúdos. Tanto para
alunos como para professores, de modo geral, o livro didático se constitui como uma fonte
segura de informações para orientar o estudo da matemática, onde a generalidade, a
formalidade e particularmente o problema da validação assumem um estatuto diferenciado.
Os dados da pesquisa foram obtidos em 24 livros didáticos, sendo 12 do atual 8º ano
e os outros 12 do atual 9º ano do Ensino Fundamental, publicados no Brasil, entre 1997 e
2002. Esses livros estão identificados no anexo I deste artigo. A definição do período
ocorreu em função da implantação do Programa Nacional de Livros Didáticos (PNLD), em
1995. Evento este que serviu, de certa forma, como fonte de influência para orientar a
cultura escolar em implantação na educação matemática. A partir de nossos pressupostos e
com base nessas fontes, procuramos levantar elementos de respostas às seguintes questões:
como o ensino da argumentação geométrica tem sido conduzido do ponto de vista didático
e epistemológico em livros didáticos brasileiros publicados nos últimos anos? Quais são as
principais diferenças quanto ao ensino da argumentação geométrica, quando comparamos
livros didáticos mais antigos com aqueles publicados mais recentemente?
2. Aspectos teóricos e metodológicos
Uma das tarefas centrais do trabalho docente é a exposição dos conteúdos, a qual
está ligada a outros dois elementos igualmente importantes que são os programas de
ensino ou as indicações curriculares e os diferentes tipos de exercício propostos aos alunos
cujas raízes podem se estender por uma longa tradição histórica. Esse triângulo serve de
ponto inicial para tratarmos da argumentação no estudo da geometria nos anos finais do
ensino fundamental. Esses três elementos constituem parte da cultura escolar teorizada por
André Chervel e por outros autores que compartilham do mesmo campo de pesquisa.
Trata-se de buscar raízes históricas de práticas escolares sustentadas por valores culturais
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
conservados durante determinados períodos. São elementos presentes na educação básica e
no ensino universitário com diferentes enfoques de formalidade. (CHERVEL, 1990)
A intenção de destacar esses três elementos decorre da necessária articulação entre
as práticas vivenciadas na formação inicial e as práticas que os professores estão desafios a
implementar em sala de aula. Nesse sentido, somos levados a destacar a existência de uma
dupla triangulação. Na formação inicial, os estudantes são levados a praticar uma maneira
acadêmica de conceber as relações entre a exposição dos conteúdos, as indicações
curriculares e os exercícios. Mas, quando o jovem professor inicia sua carreira e entra no
terreno vivo da sala de aula, a relação entre esses três elementos não funciona no mesmo
ritmo vivenciado nas práticas universitárias. Pode haver muito conflito nessa transposição.
Se esse conflito existe de maneira geral em relação aos outros conteúdos, no caso da
argumentação ela assume conotações mais complexas por envolver uma dimensão nuclear
da atividade matemática que é a validação do conhecimento envolvido.
Os exercícios geralmente praticados pelos estudantes dos c ursos de licenciatura e as
atividades propostas em livros didáticos, na parte referente à argumentação em geometria,
trazem em comum uma questão de natureza metodológica. Nas vertentes mais tradicionais
da prática de ensino a exposição dos conteúdos geométricos segue caminhos axiomáticos,
muitas vezes, colocando a formalidade na frente da compreensão dos conceitos. Esses
exercícios envolvem práticas de validação do conhecimento matemático nos seus
diferentes níveis de formalidade. Antes de tudo, esse tipo de exercício envolve questões de
método, ou seja, dizem respeito à construção de diferentes caminhos para sistematizar e
validar o saber. Mas não existe modelo previamente definido para seguir, nem mesmo a
axiomática sintetizada por Euclides nos Elementos deveria ser entendida, esta é a nossa
concepção, como referência inicial para o estudo da argumentação da geometria.
Existem diferentes maneiras de relacionar esses três elementos que estão inseridos
na educação matemática. A exposição está mais relacionada à dimensão metodológica;
enquanto que os exercícios estão mais próximos das atividades realizadas pelos alunos e as
indicações curriculares dizem respeito aos rumos sinalizados pelas fontes oficiais de
influência da transposição didática. A coordenação desses três elementos resulta nas
práticas escolares e existem várias maneiras do professor implementá- las em sala de aula.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A exposição é uma tarefa implementada pelo professor, e consiste em comunicar os
conteúdos previstos nas indicações curriculares de uma forma metodológica compatível
com o nível dos alunos. Muitas vezes, o compromisso docente com a exposição não
envolve a categoria da explicação, quando esta é entendida como sendo a disponibilidade
para tratar de detalhes não compreendidos pelos alunos.
A explicação pode ser interpretada, portanto, como uma exposição diferenciada no
sentido do professor estar mais interessado na compreensão do aluno. Mas, diante das
diversas tendências pedagógicas, nem todo professor está, necessariamente, empenhado em
explicar a matéria para os alunos. Além do mais, a prática docente implementada depende
dos referenciais escolhidos para conduzir as aulas. Por exemplo, dependendo da instituição
universitária e das condições locais, o professor opta, muitas vezes, pela estratégia
expositiva do tipo conferência, na qual, o objetivo é mais expor o tema do que explicar
detalhes. De modo geral, a conferência é uma estratégia expositiva mais apropriada aos
estudos universitários e pressupõe certa distância entre o expositor e os estudantes.
A explicação pressupõe uma interatividade mais qualitativa entre o professor e os
alunos, no sentido destes terem mais liberdade para explicitar suas dúvidas e vivenciar
trocas cognitivas no plano social da sala de aula. Nesse caso, as práticas conduzidas pelo
professor se aproximam do método socrático e devem resultar numa certa compreensão por
parte dos alunos. É uma dinâmica muito difícil de ser implementada em classes com
muitos alunos, pois pressupõe diálogos ou troca de compressões entre os alunos.
Nos meados do século XIX, o termo explicador era usado para qualificar um tipo
de professor do ensino secundário, encarregado de explicar para os alunos detalhes da
matéria exposta pelo professor. No contexto aristocrático dos primeiros estabelecimentos
de ensino secundário, por volta dos meados do século XIX, o estatuto atribuído aos
professores era superior ao dos explicadores. Nesse sentido, é ilustrativo citar o livro
Explicador de Aritmética, escrito em 1867, por Eduardo de Sá Pereira de Castro, cuja 7ª
edição foi publicada em 1885 pela livraria Licolau Alves, do Rio de Janeiro. Em síntese, a
exposição e a explicação são categorias didáticas da cultura escolar que estiveram mais
explícitas no debate pedagógico de outros tempos. (CHERVEL, 1990) Hoje em dia, não é
comum falar dessas categorias, mas acreditamos que elas estejam presentes de corpo e
alma no centro da polêmica estabelecida entre a defesa de provas menos informais ou de
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
demonstrações mais formais. Essa polêmica permanece velada na distância existente entre
as práticas universitárias e práticas vivenciadas pelos professores em sala de aula da
Educação Básica.
Os professores produzem as suas estratégias de ensino e as práticas decorrentes são
implementadas, a princípio, em sintonia com as orientações ditadas pela rede de
instituições na qual a escola está inserida. Por outro lado, os textos didáticos também
induzem uma forma de expor os conteúdos, idealizando uma sala de aula hipotética. Por
esse motivo, cabe ao professor a autonomia de decidir pelos caminhos a serem seguidos.
Mas, tanto a explanação do professor como aquela proposta pelo autor do livro didático
atribuem uma centralidade às atividades típicas da cultura escolar, na qual está o tema da
argumentação.
Ao pesquisar o processo da argumentação, Gilbert Arsac foi levado a estabelecer,
com base em suas observações, a existência de uma relação de inclusão entre os conceitos
de explicação, prova e demonstração, considerando este último o caso mais específico e o
primeiro o caso mais geral. A prova seria, para esse pesquisador, um caso particular de
explicação e a demonstração um caso particular de prova. A explicação é considerada
como “todo discurso mantido por uma pessoa ou por um grupo com o objetivo de
comunicar ao outro o caráter de verdade de um enunciado matemático” (ARSAC, 1992, p.
5).
Com base nessa definição, a explicação é considerada em um sentido bem menos
formal, porém não menos importante na condução das práticas escolares. Esse tipo de
explicação não tem, necessariamente, um compromisso com o convencimento do grupo
envolvido. Por outro lado, tanto a prova como a demonstração, com diferentes graus de
formalidade, já teria um compromisso maior com o convencimento do grupo a respeito da
verdade envolvida na proposição. Para explicitar a natureza formal do trabalho escolar,
somos levados a destacar, a seguir, o problema da sistematização das práticas, procurando
considerar as especificidades relativas ao tema da argumentação na geometria.
Uma das razões para defender o estudo dos aspectos didáticos e epistemológicos da
demonstração diz respeito à natureza específica da disciplina escolar com a qual trabalha o
professor de Matemática. Esse argumento decorre do pressuposto de que a especificidade
da educação matemática, enquanto prática docente, está associada às raízes da ciência de
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
referência. Os valores educacionais dos conteúdos matemáticos escolares não subsistem de
forma isolada das demais disciplinas e, por outro lado, eles estão também vinculados, por
laços epistemológicos, aos conteúdos clássicos dos domínios de estudo.
Sem vivenciar as práticas argumentativas nesses domínios estaríamos apostando em
uma educação matemática com conteúdos distantes daqueles da ciência de referência. O
problema maior não é estudar o processo argumentativo, pelo contrário, o preocupante é a
ausência do tema nos tempos de estudo da formação docente. Pietropaolo (2005) reforça
essa necessidade ao considerar a demonstração como objeto de estudo da educação
matemática, principalmente, no campo da formação de professores.
Para isso acontecer, em primeiro lugar, entendemos ser necessário conhecer como
funciona o discurso matemático, como os teoremas são produzidos e validados, como a
produção é redigida em textos formais com uma linguagem que lhe é peculiar. Em seguida,
um segundo desafio consiste em levar a questão para o campo da didática e indagar quais
são os caminhos e instrumentos mais apropriados para produzir práticas argumentativas
resultantes, de um lado, das raízes epistemológicas, e de outro, da trajetória individual e
coletiva das vivências pessoais. Sem essa reflexão corre-se o risco de confundir a natureza
do espaço da sala de aula com o gabinete solitário do matemático acadêmico.
As práticas tradicionais de formação de professores são resistentes a qualquer sinal
de mudança no que diz respeito ao tratamento praxeológicos dos conteúdos conceituais
específicos que ocupam o eixo central da atividade matemática. Nessa linha tradicional não
é usual analisar o estatuto didático e epistemológico da argumentação. Nos tempos de
estudo da formação básica de professores, geralmente, não é comum problematizar as
práticas de argumentação matemática no contexto da educação escolar básica. O enfoque
principal é atribuído às demonstrações de conteúdos não necessariamente presentes nos
programas de ensino da educação básica.
A ausência do estudo do tema da argumentação na formação inicial de professores,
em se tratando da necessidade de analisar os seus aspectos didáticos e epistemológicos,
gera uma distância inaceitável entre as práticas geralmente vivenciadas na universidade,
nos cursos de licenciatura, daquelas que caracterizam a produção docente em sala de aula.
O estudo das estratégias da argumentação é um dos aspectos sutis da cultura escolar
e universitária. Os estudantes de licenciatura são geralmente levados a trabalhar com as
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
demonstrações tal qual são apresentadas nos livros-texto. Há uma inversão do discurso
porque esses textos começam a exposição do conteúdo pela parte final de um trabalho
prévio, realizado em tempos anteriores ao seu registro formal. Existe uma intensa atividade
matemática prévia à exposição textual onde se revela a verdadeira organização didática
entendida como processo pelo qual se passa a produção de uma organização matemática.
(CHEVALLARD, 1999) Essa dialética entre o produto e processo, inserida na explicação
antropológica proposta por Yves Chevallard, sugere um caminho para aprofundar os
estudos relativos ao caso específico da argumentação em geometria.
As especificidades epistemológicas do saber matemático não devem impedir as
articulações entre as práticas acadêmicas e escolares, sob pena da formação de professor
continuar distanciando a universidade da escola. É diante desse desafio que gostaríamos de
tratar da argumentação no ensino da geometria, tentando não perder de vista as referências
históricas da temática; da mesma maneira como não poderia deixar de considerar suas
implicações nas práticas educativas escolares.
A demonstração formal tal como concebem e praticam os matemáticos é uma
atividade fundamental na produção dos saberes acadêmicos e constitui em um dos elos de
ligação entre os vários campos de especialização da área. Métodos algébricos, numéricos,
geométricos ou computacionais podem variar na produção d e demonstrações nos diferentes
domínios, mas o que permanece com convergência comum é a valorização de uma prática
e seus respectivos argumentos racionais amplamente adotados no campo. Em um trabalho
publicado em 1987, Jean Dieudonné abordou o tema da demo nstração, ressaltando a sua
centralidade e importância para o que ele chamou de unidade profunda da atividade
matemática apesar de existir diferentes métodos e problemas com os quais trabalham os
acadêmicos. (apud PIETROPAOLO, 2005, p. 48)
Outro aspecto relevante destacada também pelo Ruy Pietropaolo diz respeito a uma
diferença sutil relativa à conceituação dos temos demonstração e prova, quando se trata de
articular o trabalho de atuação dos matemáticos com aquele dos educadores matemáticos.
Em se tratando do saber acadêmico, quase sempre, os dois termos são usados de forma
indistinta, os dois dizem respeito ao procedimento formal de validação de proposições.
Mas, no campo da educação matemática essa identificação nem sempre ocorre e na maioria
das vezes predomina o sentido de que as provas nem sempre tem a mesma formalidade ou
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
o mesmo rigor típico das demonstrações. Se recorrermos ao sentido amplo de um
dicionário, realmente a prova, em língua portuguesa, pode ter um sentido bem mais amplo
do que a demonstração. Mas, por certo, o dicionário não pode auxiliar muito no
esclarecimento das questões porque o próprio termo demonstração também tem sentidos
diversos e pode ser, no senso comum, até mesmo confundido com a ação de mostrar
alguma coisa material.
3. Análise da argumentação e m livros didáticos
O estudo da argumentação no domínio dos conteúdos geométricos está presente nos
livros didáticos publicados nas últimas três décadas. Entretanto, constata-se uma tendência
no sentido de reduzir a antecipação de aspectos formais das práticas mais tradicionais e de
uma valorização cada vez acentuada de procedimentos mais intuitivos ou experimentais.
As mudanças constatadas nos livros didáticos analisados, quanto à argumentação, e suas
possíveis implicações nas práticas docentes constituem o assunto dos próximos parágrafos.
3.1 A presença do estudo da argume ntação nos livros didáticos
Para analisar essa constatação e compreender o seu funcionamento nos exercícios
propostos nos livros didáticos, recorremos aos conceitos interligados de disciplina e
cultura escolares propostos por Chervel (1990). Para esse autor o livro didático assume
uma importância diferenciada na constituição da cultura escolar, incluindo aí a maneira
como o professor conduz as práticas em função da especificidade da ciência de referência.
A partir dessa idéia, passamos a olhar as especificidades da educação matemática, no que
se refere ao uso do livro didático.
A valorização desse recurso no ensino da Matemática decorre do fato do mesmo
servir como um parâmetro para construção da objetividade, do rigor, da generalidade e de
outras características do saber associado. Dessa forma, conforme a especificidade da área,
o livro didático assume um estatuto diferente na condução das práticas escolares. Por esse
motivo, no plano mais amplo de nossa pesquisa, estamos interessados em entender como
funciona a utilização do livro didático na condução do trabalho do educador matemático.
Não se trata de atribuir uma importância maior para essa fonte de influência, mas
de investigar a forma como o estudo da argumentação vem sendo proposto nessas
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
publicações. O livro didático tem sido considerado uma fonte de dados para motivar
pesquisas cujo interesse vem sendo resgatado nos últimos anos. Em parte, esse interesse
deve-se à expansão das políticas públicas de distribuição de livros na rede pública, através
do PNLD. No caso da nossa pesquisa a atenção está voltada para livros publicados nas três
últimas décadas com o objetivo de explicitar tendências do ensino da geometria a partir de
uma análise das estratégias e recursos propostos.
A motivação para sua realização decorre da intenção de compreender parte dos
elementos que determinam as relações entre a dimensão conceitual dos conteúdos
específicos e as organizações didáticas associadas, entendendo que as técnicas propostas
pelos autores são parcialmente condicionadas pelas fontes de influência da transposição
didática, entre as quais incluímos os indicadores curriculares oficiais. A delimitação em
torno da geometria justifica-se em face da continuidade de outros trabalhos já realizados,
no contexto do nosso grupo de pesquisa, sobre temas correlacionados, tendo em vista
alguns sinais de revalorização do ensino da geometria e mais particularmente em relação
ao tema da argumentação, tal como se encontra relatado em Freitas e Pais (1999).
O estudo da argumentação geométrica tal qual alguns livros didáticos mais antigos
apresentam aproxima, de certa forma, da maneira como os cursos de formação de
professor geralmente orientam as práticas concernentes ao tema. Nesse sentido, é possível
encontrar livros didáticos publicados no início da década de 1980, onde a prioridade é
atribuída ao formalismo típico das demonstrações clássicas, inclusive com a utilização da
terminologia pertinente ao campo da matemática. Hipótese, tese, conjectura, contraexemplo, postulado são termos presentes em atividades propostas em algumas dessas
publicações. Nos livros publicados mais recentemente a tendência é que esses termos não
estejam mais presentes. Mais não se trata apenas de uma alteração nos aspectos
linguísticos da disciplina escolar.
É possível constatar uma tendência de mudar no estatuto atribuído à formalização
da argumentação no estudo da geometria, sobretudo, não antecipando a sistematização
formal antes de procurar desenvolver idéias associadas aos processos argumentativos. Essa
é uma diferença que consideramos relevante de ser destacada ao comparar os livros em
função da data de publicação. De modo geral, há uma tendência acentuada em minimiza r a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
10
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
importância atribuída à maneira de formalizar as demonstrações geométricas ou de
sistematizar as tarefas que envolvem a validação do conhecimento.
3.2 Sistematização das práticas argumentativas
Livros didáticos publicados mais recentemente e que foram fontes da nossa
pesquisa apresentam diferentes maneiras de conduzir a sistematização do saber matemático
escolar. No caso da argumentação a sistematização talvez tenha sido alterada a partir da
inserção de ações mais experimentais e menos formais. Mas, antes de entender a
especificidade da geometria, devemos reconhecer que um dos desafios atuais das
orientações prescritas pelos documentos oficiais consiste em esclarecer o sentido atribuído
à sistematização do saber escolar. Do formalismo radical que predominou em livros mais
antigos não estaríamos, atualmente, incorrendo no risco de recair no extremo oposto, ou
seja, de uma redução excessiva da sistematização inerente à cultura escolar?
Em outros termos, compete aos formadores de professores, previamente, melhor
explicitar como os saberes matemáticos devem e podem ser sistematizados no contexto dos
estudos escolares. A sistematização dos conteúdos matemáticos é um conceito didático que
se refere à maneira como os conteúdos podem ser textualizados pelos professores em
função do aval assumido pelas instituições envolvidas nas práticas. Se não houver essa
melhor explicitação dos sentidos atribuídos à sistematização, corre-se o risco do discurso
prescritivo recair no mesmo equívoco da vertente tradicional, quando conceitos essenciais
para o estudo da matemática permanecem sem a explicitação necessária.
Os livros didáticos revelam algumas alterações quanto aos diferentes graus de
sistematização na maneira de organizar o estudo da argumentação no estudo da geometria.
De modo geral, nos livros didáticos publicados há mais de uma década, o tratamento da
argumentação é conduzido de maneira mais formal, usando, por exemplo, uma linguagem
mais específica do contexto epistemológico da ciência de referência. Por outro lado, os
livros didáticos mais recentes tendem a alterar essa apresentação, não somente no aspecto
da linguagem como também na forma de apresentar o discurso dedutivo.
Do ponto de vista teórico, alguns livros didáticos mais recentes revelam sinais de
redução da abordagem euclidiana tradicional. Entendemos que o ponto de equilíbrio
desejável seria a superação do euclidianismo, conforme termo usado por Josep Gascón, ao
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
11
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
descrever diferentes modelos de organizações didáticas que permeiam o espaço das
práticas escolares. (GASCÓN, 2003) Não se trata de desvalorizar o estudo da
argumentação, mas corrigir um exagero de formalismo que predominou muito tempo no
ensino da matemática. Em consonância com a questão da sistematização, alguns livros
didáticos passaram a diversificar as estratégias de ensino, incluindo o uso de recursos
diferenciados para o estudo da argumentação. Nos próximos parágrafos destacamos esses
aspectos.
3.3 Estratégias de ensino da argumentação
A diversificação das estratégias de ensino é um pressuposto didático defendido nas
atuais orientações curriculares encampadas pelo poder público. Como consequência, livros
didáticos passaram a incluir práticas associadas a essas orientações. Por esse motivo, ao
estudar o tema da argumentação, optamos por analisar como a diversificação das
estratégias de ensino vem sendo tratada nessas publicações escolares tão usadas por
professores e alunos. Embora exista uma proximidade conceitual entre método e
argumentação, quando esses termos se referem aos caminhos elaborados para a validação
do conhecimento, no plano didático, para implementar essas idéias no contexto da sala de
aula, entendemos ser mais pertinente usar a expressão estratégia de ensino, no sentido de
descrever os procedimentos pertinentes às tarefas que envo lvem a argumentação.
Dessa maneira, existe uma refinada dialética praxeológica entre as organizações
didáticas e matemáticas concernentes ao estudo da argumentação no ensino dos conteúdos
geométricos. Em um dos pólos dessa dialética estão os argumentos ma temáticos, aqueles
de natureza epistemológica tais como a validação de proposições, propriedades, teoremas,
axiomas, entre outros suportes objetivos tão característicos da área. No outro pólo dessa
relação estão os objetos e os argumentos didáticos produzidos pelo professor com a
intenção da construir suas estratégias de ensino. A sutileza desse segundo pólo sem sempre
é evidencia com a devida clareza por permear nas opções subjetivas do trabalho docente.
Em vista dessas ponderações, quando se trata de ana lisar as opções metodológicas
para o ensino da geometria, a argumentação deveria a ser considerada, na formação inicial
de professores, como uma categoria diferenciada pelo fato dela se localizar na fronteira
mutável dos aspectos didáticos e epistemológicos. De um lado dessa fronteira, a tradição
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
12
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
iniciada por Tales de Mileto e posteriormente sistematiza por Euclides, entre vários outros
que ampliaram a textualização do saber matemático, está ainda no núcleo da questão
epistemológica. Do outro, estão os desafios vivenciados pelo professor na produção de
estratégias de ensino que visam contemplar, ao mesmo tempo, a objetividade dos
conteúdos geométricos e a subjetividade dos indivíduos estudantes desses conteúdos.
Alguns livros destacam explicitamente o problema da validade de um enunciado ou
de uma proposição, procurando estabelecer uma estratégia de manter um diálogo com o
aluno. Por exemplo, no estudo dos ângulos opostos pelos vértices, após verificar, com o
uso de um transferidor, a igualdade das medidas, pode aparecer uma frase na qual o autor
leva o aluno a refletir sobre a generalização do resultado observado. Nesse caso, existem
no livro didático sinais de valorização de um momento exploratório do processo de estudo,
tal como teoriza Chevallard (2002), para destacar a passagem do momento do primeiro
contato com um tipo de tarefa para aquele que caracteriza o trabalho com a técnica
propriamente dita. Mas, em livros didáticos mais antigos o tema é apresentado de maneira
mais formal, após a apresentação do enunciado segue-se, de imediato, a sua demonstração.
3.4 Argumentação e a resolução de problemas
Os livros escolares de Matemática publicados no transcorrer dos últimos anos, no
Brasil, revelam uma considerável tendência didática que consiste em valorizar diferentes
tipos de articulação entre os conteúdos propostos, visando com isso expandir as condições
de ensino e aprendizagem. Entre os diferentes tipos de articulação, constatamos a
existência de um recurso que consiste em relacionar o estudo da argumentação com a
resolução de problemas. Nesse caso, trata-se de propor problemas cuja resolução envolve
propriedades geométricas cuja validade será trabalhada no contexto da própria resolução.
Em outras palavras, quando o livro didático propõe atividades de estudo nas quais envolve
a resolução de um problema no quadro da argumentação geométrica, aparentemente, existe
um modo menos formal de abordar o tratamento conceitual do saber matemático. Porém,
minimizar o peso dos aspectos formais nas práticas educativas ma temáticas escolares não
significa reduzir a valorização didática e epistemológica da argumentação.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
13
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
3.5 Dedução e indução na argumentação
A realização a pesquisa que motivou a redação deste artigo nos permitiu constatar
que livros didáticos, publicados nos últimos anos, revelam a tendência de complementar a
organização lógico-dedutiva da argumentação geométrica por meio da valorização de
estratégias indutivas em atividades voltadas para a validação do conhecimento. Segundo
nosso entendimento, esta é uma estratégia diferenciada porque não estabelece uma única
maneira de ensinar a validação do saber matemático. Estamos interpretando essa estratégia
como a valorização de uma dialética entre o pensamento dedutivo e o indutivo no
tratamento didático da argumentação. Caraça (1941), ao analisar a fundamentação lógica
de conceitos, rejeita a idéia de atribuir ao saber matemático uma origem somente racional e
defende que elaboração do saber deve passar por permanentes laços dialéticos entre a
dimensão racional e aspectos experimentais. Dessa maneira, entendemos que o ensino da
argumentação se constitui como uma das estratégias que pode ampliar as condições de
estudo desse tema que é central da epistemologia do saber matemático.
3.6 Inversão no discurso didático
A pesquisa cujos resultados motivaram a redação deste artigo foi realizada com
base em uma abordagem praxeológica, no sentido definido por Chevallard (1999). Em
outros termos, destacamos aspectos referentes à maneira como os autores de livros
didáticos articulam técnicas e tecnologias no domínio de estudo da geometria e mais
especificamente em atividades que envolvem os processos argumentativos. A nossa
intenção foi focalizar as práticas prescritas pelos autores a partir da materialidade do texto
apresentado, incluindo o discurso registrado na língua materna, as figuras, fotos e outros
recursos usados para expor as atividades inerentes ao tema. De modo geral, as escolhas
realizadas pelos autores de obras publicadas nos últimos anos acontecem, cada vez mais
próximas, das orientações prescritas pelos documentos oficiais.
Esse aspecto suscita uma importante questão a ser refletida no sentido mais amplo
da formação de professores e da necessidade de construir práticas relativamente
autônomas, de maneira que os caminhos construídos em sala de aula não dependam
necessariamente do livro oficial do estado. Em outros termos, essa não é uma questão
referente somente à subjetividade de um grupo de autores de livros didáticos. Existe uma
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
14
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
evidência nítida de um discurso didático oriundo em trabalhos do próprio campo,
incorporado pelo poder público e pelos autores de livros didáticos. O problema é que existe
um descompasso entre esse discurso e os cursos mais tradicionais de formação de
professores de Matemática.
Mais complexo ainda do que esse descompasso é o fenômeno da inversão na ordem
de apresentação desse discurso. Na exposição argumentativa relativa ao estudo da
geometria euclidiana concebida com base na lógica das demonstrações formais, tal como
as práticas tradicionais valorizam, ocorre o fenômeno da inversão do discurso
argumentativo, expressão usada por nós para destacar uma questão de natureza didática e
epistemológica. É uma inversão no sentido do discurso matemático apresentado, de modo
geral, iniciar por uma síntese ou por uma sistematização resultante de um processo
anterior, precedente ao ato de expressar o conhecimento por meio de uma linguagem
formal.
O aspecto sintético das demonstrações geométricas está presente desde a
publicação histórica dos Elementos de Euclides, obra utilizada como texto didático durante
séculos e cujos procedimentos lógicos dedutivos influenciaram, de forma considerável as
práticas de ensino da disciplina. Esta é uma questão que interliga os textos demonstrativos
geométricos têm essa finalidade de sintetizar um conhecimento elaborado cuja validade. A
produção do saber associado à argumentação geométrica, como nos outros conteúdos, não
ocorre com a mesma linearidade das demonstrações apresentadas nos os textos didáticos.
Na atividade matemática acadêmica, quando se trata da produção de novos teoremas,
a formalização do discurso típico de uma demonstração geométrica é, normalmente,
precedida de várias experiências, ensaios, avanços, retornos, verificação de casos
particulares, enunciado de conjecturas e abordagens intuitivas. Em outros termos, o
processo de produção do saber não se inicia com a formalidade do discurso textual
resultante de uma sedimentação das essências. Por esse motivo, na transposição do tema
para a escola não poderia haver inversões didáticas no sentido de apresentar, previamente,
a formalidade do texto em detrimento da elaboração do conhecimento.
O tempo da produção do saber não é congruente com o tempo da redação. Pode até
mesmo ocorrer produções importantes no transcorrer da textualização, porém grande parte
da produção ocorre em tempo anteriores – cálculos, intuições, experiências, ensaios,
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
15
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
retornos, entre muitos outros atos que não realizados por ocasião da redação textual. E essa
observação é muito importante para orientar as práticas docentes escolares. A síntese
textual de um discurso argumentativo, de certo modo, inverte esse processo, ao apresentar
a parte final do trabalho e omitindo os tempos anteriores. É a inversão da escrita. Encontrei
essa idéia ou alguma coisa próxima disso no texto de Michel de Certeau, quando ele
aborda o problema da redação do texto histórico. (DE CERTEAU, 2002, p. 66)
4. Ele mentos de síntese
A pesquisa realizada com livros didáticos nos permitiu constatar, em primeiro
lugar, que o tema da argumentação está presente das páginas dedicadas ao estudo da
geometria em livros didáticos dos anos finais do Ensino Fundamental. Em seguida, foi
possível constatar mudanças no tratamento didático do tema, quando comparamos livros
publicados há duas décadas e aqueles publicados mais recentemente. Nesse sentido, foi
possível constatar que as práticas argumentativas se constituem em um dos aspectos
didáticos, relativamente, preservado no ensino da matemática, porém há também uma
diferença significativa quanto às maneiras de sistematizar ou formalizar as demonstrações
e provas.
Nas praxeologias usuais da educação matemática a argumentação se faz através de
procedimentos e com diferentes estatutos. Muitas vezes, a validade de uma idéia é
argumentada através da simples exibição de uma figura ou da verificação de alguns casos
particulares e esse nível de validação é aceito no estrito espaço da sala de aula. Evidenciase nesse caso um conflito entre as lógicas indutiva e dedutiva. Embora a indução seja uma
prática utilizada no descobrimento de propriedades matemáticas, esta não é uma conduta
adequada na fase de formalização do conhecimento, pois não satisfaz a exigência de
generalidade da Matemática. O estatuto das provas e demonstrações se constitui num dos
pontos centrais na valorização do estudo da matemática como uma ciência lógico-dedutiva.
A construção desta lógica no plano escolar, embora possa ser iniciada com práticas
argumentativas do quotidiano, a partir de certo nível deverá haver rupturas.
Na cultura matemática escolar que está sendo consolidada, sobretudo, no
transcorrer das duas últimas décadas, geralmente, o tema da argumentação geométrica não
está restrito aos aspectos formais das demonstrações clássicas. É possível constatar nos
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
16
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
livros didáticos publicados mais recentemente uma inserção crescente de atividades que
abordam aspectos experimentais e intuitivos das práticas argumentativas. Se por um lado,
essa inserção tem um aspecto positivo por aproximar a atividade matemática escolar das
práticas culturais de referência, por outra, indica também uma tendência de minimizar ao
máximo a dimensão formal dos registros demonstrativos tradicionais.
Entre as posições extremas, cumpre- nos construir os pontos de relativo equilíbrio
para o avanço do tema. Por exemplo, no estudo da matemática, mesmo que seja legítimo
defender a valorização da argumentação lógico-dedutiva, a exemplo do que é feito na
apresentação textual do saber matemático, parece mais adequado considerá- lo como ponto
de chegada e não de partida.
Este trabalho revelou um aspecto de valorização da argumentação porque mostrou
que o tema está particularmente associado aos problemas mais amplos da formação de
professores. De modo geral, em vista das diversas condições de formação de professores,
nem sempre há uma compreensão didática suficientemente clara das várias questões
relacionadas ao ensino dos processos argumentativos. Embora a temática de formação de
professores não seja aquela na qual concentramos nossas pesquisas, não podemos deixar
de destacar a estreita relação existente entre as práticas docentes, a utilização de livros
didáticos e os processos formativos.
Referências
ARSAC, Iniciation au Raisonnement Dédutif au Collège, 1992.
BICUDO, M. ESPÓSITO, V. Pesquisa Qualitativa em Educação, Piracicaba: Editora da
Unimep, 1994.
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Editorial,1941.
CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa.
Porto Alegre: Teoria e Educação, n.2, p. 177-229, 1990.
CHERVEL, A. La Culture Scolaire. Paris: Editora Belin, 2000.
CHEVALLARD, Y. et al. Organiser L’étude. Actes de la 11e École d’Été de Didactique
des Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 2002.
CHEVALLARD, Y. La Transposition Didactique. Paris: Pensée Souvage, 1991.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
17
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
FREITAS, J. L. M. e PAIS, L.C. Um estudo dos processos de provas no ensino e
aprendizagem da geometria no primeiro grau. Rio Claro: Bolema, vol. pp 42-62, 1999.
GASCÓN, J. La necesidade de utilizar modelos en didática de las matemáticas. In
Educação Matemática Pesquisa. V.5 n.3. São Paulo. EDUC, pp 11-37, 2003
LEVY, P. As tecnologias da inteligência. O futuro do pensamento na era da informática.
Rio de Janeiro: Editora 34, 1993.
PAVANELO, R. O Abandono do Ensino da Geometria no Brasil. Zetetiké, n. 01,
Campinas: UNICAMP, 1993.
PEDEMONTE, B. Argumentation et démonstration: comparaison entre les deux structures,
in Dorier, J.-L.; Artaud, M.; Berthelot, R.; Floris, R. (eds) Actes de la 11ème Ecole d’Eté
de Didactique des Mathématiques. France: La Pensée Sauvage, 2002.
PEDEMONTE, B. How can the relationship between argumentation and proof be
analysed? Springer Science + Business Media B. V. mai. 2007.
PERELMAN, C. Tratado da argumentação. São Paulo: Martins Fontes, 1993.
TOULMIN, S. E. The use of arguments. Cambridge: University Press, 1958; Tradução
francesa por De Brabanter P. Les usages de l’argumentation, Paris: Presse Universitaire de
France, 1993.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
18
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Anexo I - Identificação dos livros didáticos analisados
CÓDIGO
AUTOR
EDITORA ANO
8.1 e 9.1
Fernando Trotta
Scipione
1986
8.2 e 9.2
Álvaro Andrini
Brasil
1989
8.3 e 9.3
Gelson Iezzi, Oswaldo Dolce, Antônio Machado
Atual
1991
8.4 e 9.4
José Ruy Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.
FTD
1992
8.5 e 9.5
Edwaldo Bianchini
Moderna
1993
8.6 e 9.6
Scipione Di Pierro Netto
Scipione
1995
8.7 e 9.7
Oscar Guelli
Ática
1997
8.8 e 9.8
Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis
Scipione
1999
8.9 e 9.9
José Jakubo, Marcelo Lellis e Marília Centurión
Scipione
1999
8.10 e 9.10
Antônio José Lopes Bigode
Scipione
2000
8.11 e 9.11
Célia Carolino Pires, Edda Curi, Ruy Pietropaolo
Atual
2001
8.12 e 9.12
José Ruy Giovanni e Eduardo Parente
FTD
2002
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Mesa Redonda
19