Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
1
DISPONIBILIDADE DE ENERGIA
Neste capítulo será estudado a Segunda Lei da Termodinâmica sob vários aspectos: eficiência e
otimização de máquinas térmicas, refrigeradores e entropia. Veremos que é possível transferir calor de
uma fonte quente para uma fonte fria espontaneamente, mas o inverso é proibido pois viola a 2a lei.
Estudaremos alguns ciclos de máquinas térmicas e seus respectivos rendimentos.
1 – Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica
Uma máquina, por mais simples que seja, tem basicamente a finalidade de converter calor em
trabalho. Sua representação está mostrada na Figura 1. A procura de máquinas procurando atingir o
máximo de eficiência possível é a motivação de muitas pesquisas nesta área. Por eficiencia queremos
dizer que a máquina desperdiça o mínimo de energia quando converte calor em trabalho. Você pode
citar alguns exemplos?
Tq
Qq
W
Tf
Qf
Fig. 1 – Representação esquemática de uma
máquina térmica. A máquina retira calor de um
reservatório quente e parte deste calor é
convertido em trabalho e parte é rejeitado para o
reservatório frio.
Fluido operante – é a substância que tem por finalidade absorver calor Qq de uma fonte quente a uma
temperatura Tq , efetuar trabalho W e rejeitar calor |Qf| para um reservatório frio a uma temperatura Tf.
Ele sempre opera em ciclo.
Reservatório térmico – é um sistema ideal que pode fornecer ou receber calor sem que sofra modificação
apreciável na sua temperatura. Isto equivale a dizer que a sua capacidade calorífica é enorme.
Rendimento – o rendimento de uma máquina térmica é definido da seguinte maneira:
ε=
W
Qq
mas, como o fluido operante trabalha em ciclo, seu estado inicial é igual ao estado final, ou seja, ∆U =
Uf – Ui = 0, assim, podemos escrever que o rendimento é dado por:
ε=
Qf
W Qq − Q f
=
= 1−
.
Qq
Qq
Qq
(1)
Para que o rendimento seja de 100%, é necessário que todo calor absorvido seja transformado em calor.
Enunciado de Kelvin-Planck para a 2a Lei da Termodinâmica – é impossível que uma máquina,
operando em ciclo, receba calor de uma fonte quente e efetue uma quantidade equivalente de trabalho
sem ceder calor para um reservatório frio.
Exemplo: se uma máquina retira 250 J de um reservatório quente e realiza apenas 100 J de
trabalho, quanto de calor foi “perdido” para o reservatório frio e qual o rendimento desta máquina?
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
2
Qq = W + Qf ⇒ Qf = Qq – W ⇒ Qf = 250 – 100 ⇒ Qf = 150 J.
ε = W / Qq = 100/250 = 0,4 ou 40%.
2 – Refrigeradores e Segunda Lei da Termodinâmica
O refrigerador tem como finalidade retirar calor de um reservatório frio utilizando, para isto,
uma quantidade de trabalho e depositar uma quantidade de calor Qq num reservatório quente.
Para o refrigerador, utilizamos o valor de sua eficiência para saber o quanto ele é bom. Este
Coeficiente de Eficiência (COE) é dado pela seguinte equação:
COE = Qf / W,
(2)
onde Qf é a quantidade de calor que entra no fluido operante e W é o trabalho recebido pelo
refrigerador.
Podemos reescrever a Eq. (2) em função do calor que entra no reservatório quente Qq da
seguinte maneira:
COE =
Qf
Q q −Q f
.
(3)
Obs: Tanto no rendimento quanto no COE, o calor considerado é aquele que entra no fluido (+) ou que
sai do fluido ( - ), quando sai, procuramos usar o seu módulo.
Tq
Qq
W
Tf
Fig. 2 – Representação esquemática de
um refrigerador. Ele retira calor de um
reservatório frio utilizando trabalho e
descarrega o calor Qq num reservatório
quente.
Qf
Enunciado da Segunda Lei da Termodinâmica segundo Clausius
É impossível retirar calor de uma fonte fria e transferir completamente para uma fonte quente sem
utilização de trabalho.
3 – Equivalência dos Enunciados de Kelvin-Planck e Clausius
Os enunciados de K-P e Clausius para a 2a Lei são equivalentes. Se um é correto o outro também
o é, e vice-versa. Suponha que o enunciado de K-P é falso, então:
Prova:
Considere um refrigerador acoplado com uma máquina térmica perfeita. Suponha que o
refrigerador retire 100 J do reservatório frio e ceda 150 J ao reservatório quente. A máquina, por sua
vez, retira 50 J de calor do reservatório quente e transforma totalmente em trabalho (suponha que isto é
possível – naturalmente viola K-P). O resultado deste acoplamento é um refrigerador perfeito – viola
Clausius.
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
3
50 J
150 J
100 J
reserv. quente
+
=
50 J
50 J
reserv. frio
100 J
100 J
Fig. 3 – Demonstração da equivalência entre o enunciado de K-P e Clausius para. Os valores são
arbitrários mas tem que ter coerência.
80 J
130 J
+
50 J
=
50 J
50 J
80 J
80 J
Fig. 4 – Outro exemplo da demonstração da equivalência entre o enunciado de K-P e Clausius para. Os
valores são arbitrários mas tem que ter coerência.
4 – Máquina de Carnot
Qual a eficiência máxima de uma máquina?
Teorema de Carnot: “Nenhuma máquina térmica, operando entre dois reservatórios térmicos dados,
pode ser mais eficiente do que uma máquina reversível que opere entre estes reservatórios”
Animações detalhadas e com possibilidades de alterações nos parâmetros termodinâmicos de
vários ciclos podem ser encontrados nos sites abaixo.
Ciclo de Carnot – melhor máquina que pode existir.
http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/javappl/carnotC.html
ou
http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/carnotC.html
ou
http://www.lmm.fis.ufal.br/termodinamica/carnot/carnot.html (em português)
Ciclo Otto – é o ciclo que descreve a combustão de um motor a gasolina
http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/javappl/ottoCyc.html
ou http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/ottoCyc.html
Ciclo Diesel – o nome já diz, descreve o ciclo de um motor a diesel
http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/mygui/DieselG.html ou
http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/dieselCyc.html ou
http://www.k-wz.de/motor/dieselms.html
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Condições de reversibilidade
1 – Não se pode perder energia mecânica em virtude de ação de forças de atrito ou dissipativas que
produzem calor;
2 – Não pode haver condução de calor provocada por diferença de temperatura;
3 – O processo deve ser quase-estático de modo que o sistema está sempre em estado de equilíbrio, ou
muito próximo deste.
Prova do Teorema de Carnot
Considere uma máquina de Carnot (rendimento máximo possível) trabalhando como
refrigerador e acoplada a uma máquina com rendimento maior que a de Carnot. O resultado deste
acoplamento é uma máquina perfeita, que viola o enunciado de K-P. Logo, nenhuma máquina pode ter
um rendimento maior do que a máquina de Carnot.
150 J
150 J
150 J
=
+
50 J
50 J
100 J
máquina de
Carnot
60 J
90 J
100 J
refrigerador
de Carnot
rendimento
acima Carnot
10 J
10 J
máquina
perfeita
Fig. 5 – Demonstração do Teorema de Carnot
O Ciclo de Carnot no diagrama PV é mostrado na Figura 6.
Cálculo do rendimento de Carnot
O rendimento de uma máquina térmica é dado pela seguinte equação:
ε=
Qf
W
= 1−
Qq
Qq
(4)
onde Qq é a quantidade total de calor que entra na máquina e Qf é a quantidade total de calor que a
máquina cede para o reservatório frio. Considere T1 = T2 = Tq e T3 = T4 = Tf.
Mas Qq ≡ Q12 e Qf ≡ Q34.
2
Q12 = W12 = ∫ PdV = nRTq ln
1
V2
,
V1
4
∫
e Q34 = W34 = PdV = nRT f ln
3
pois ∆U12=0
V4
, pois ∆U12=0. Assim,
V3
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
5
Qf
Qq
nRT f ln
V3
V4
.
nRTq lnV2 V1
=
(5)
Mas, num processo adiabático temos que:
TV γ-1 = cte ⇒ TqV2 γ -1 = Tf V3 γ -1
⎛ V2 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ V1 ⎠
γ −1
⎛V ⎞
= ⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ V4 ⎠
γ −1
⇒
TqV1 γ -1 = Tf V4 γ -1
e
⇒
V3 V2
=
V4 V1
Levando a igualdade acima na Eq. (5), obtemos:
Qf
Qq
=
Tf
Tq
⇒ ε = 1−
Tf
Tq
.
(6)
CICLO DE CARNOT
PRESSÃO
Adiabáticas: 2 - 3 e 4 - 1
Isotérmicas: 1 - 2 e 3 - 4.
Tq
Tf
VOLUME
Fig. 6 – Diagrama PV para o Ciclo de Carnot com um gás ideal. Entre 1 e 2, calor entra no gás e
realiza trabalho isotermicamente (∆U=0). De 2 para 3 a expansão ocorre sem transferência de calor
(∆Q=0). De 3 para 4 o gás é comprimido isotermicamente perdendo calor para o meio (∆U=0) e para
terminar o ciclo, o gás é comprimido adiabaticamente até o seu volume inicial (∆Q=0).
5 – Entropia
É uma função de estado (só depende do estado final e inicial do processo) que está relacionada
com o calor absorvido (ou cedido) pelo sistema e a temperatura em que este calor foi absorvido.
Considere um processo reversível em que o gás a temperatura T, absorve uma quantidade de
calor dQ.
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
6
dQ
sistema
T
Pela 1a Lei, temos:
dQ = dU + PdV
ou
dQ = CV dT + nRT(dV/V)
Ao integrar dQ, temos que a primeira parte do lado direito da equação acima não tem problema,
pois, só depende da temperatura final e inicial, porém, a segunda parte (que é o trabalho) depende do
caminho tomado para sair de um ponto para outro, logo, com um pouco de álgebra, obtemos a seguinte
expressão:
2
T
V
dQ
dT
dV
dQ
= CV
+ nR
⇒∫
= CV ln 2 + nR ln 2 .
T
V
T
T1
V1
T
1
(7)
A integral de dQ/T é a variação de entropia do sistema, ou seja,
∆S12 = S 2 − S1 = ∫
2
1
dQ
T
Veja que, se entra calor no sistema, o dQ é positivo e a variação de entropia é positiva.
Naturalmente se sai calor, a ∆S é negativa.
Num ciclo completo e num processo reversível, ∆S12 = - ∆S21 .
Se o processo não for reversível o cálculo da entropia é feito da seguinte maneira: substituir o
processo por um reversível, e o cálculo pode ser realizado normalmente. Lembre-se que a entropia só
depende dos estados inicial e final do processo. Os três exemplos a seguir são de fundamental
importância para o entendimento do cálculo da entropia.
Exemplo: Expansão adiabática livre.
Este processo está longe de ser reversível pois, iniciado o processo, o gás jamais retornará ao
seu estado (todo no lado esquerdo) espontaneamente. Assim, para o cálculo da entropia, considere um
gás expandindo lentamente (por que?) de um volume V1 para um volume V2.
O calor trocado neste caso é igual ao trabalho, pois, a expansão é isotérmica. Assim,
∆S = ∫
2
1
2 dW
2 dV
V
dQ
1 2
=∫
= ∫ PdV = nR ∫
= nR ln 2 .
1
1
1
T
T
T
V
V1
Como o volume final é sempre maior que o volume do gás inicial, então a entropia é sempre
positiva. Veja que variação de entropia negativa é impossível, pois, é impossível o gás do exemplo acima
voltar a ocupar o volume V1 espontaneamente.
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
7
Exemplo: Ponto de fusão
Considere uma substância de massa m passando do estado sólido para o estado líquido. Seja Lf o
seu calor latente de fusão.
∆S = ∫
2
1
dQ mL f
=
.
T
Tf
Exemplo: Gás expandindo num processo isobárico (P = cte).
dS =
Tf
Vf
dQ 1
dT
dV
.
= (CV dT + PdV ) = CV
+ nR
⇒ ∆S = CV ln
+ nR ln
T
T
T
V
Ti
Vi
mas como Pf = Pi , então
nRT f
Vf
=
T
V
nRTi
⇔ f = f , levando este resultado na equação acima,
Vi
T1 V1
obtemos:
∆S = CV ln
Vf
Vi
+ nR ln
Vf
Vi
⇒ ∆S = (CV + nR ) ln
Vf
Vi
⇒ ∆S = C P ln
Vf
Vi
(8)
ou
∆S = C P ln
Tf
Ti
.
(9)
Todo este cálculo poderia ser feito de forma mais simples, vejamos:
dS =
dQ C P dT
=
T
T
⇒ ∆S = ∫
Tf
Ti
C P dT
T
⇒ ∆S = C P ln
Tf
Ti
.
Podemos enunciar a 2a Lei da Termodinâmica sob o ponto de vista da entropia, ou seja, “num
processo reversível, a entropia do universo é zero”. Por universo entendemos sistema + vizinhança.
Vamos discutir alguns exemplos.
Exemplo: Expansão adiabática livre.
Variação de entropia do universo = variação de entropia do gás + variação de entropia da
vizinhança.
∆SU = ∆S S + ∆SV = nR ln
V2
V
+ 0 = nR ln 2 > 0
V1
V1
Podemos então afirmar que num processo de expansão adiabática livre, o processo não é
reversível.
Num processo irreversível, a entropia do universo sempre aumenta.
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
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Exemplo: pedra de massa m caindo de uma altura h e colidindo inelasticamente com o solo.
Considere como sistema o chão, a atmosfera e a pedra (sistema). Esta,
ao cair, perde energia potencial em forma de energia cinética e ao
colidir com o chão toda esta energia é transformada em calor, ou seja,
Q = mgh. O sistema está isolado, logo a variação de entropia da
vizinhança é nula. Assim,
h
Q mhg
=
. Como a variação de entropia do universo > 0,
T0
T0
então o processo é irreversível.
∆SU =
6 – Entropia e Disponibilidade da Energia - Trabalho indisponível.
O trabalho perdido num processo pode ser calculado a partir do valor da entropia do universo. Por
trabalho perdido queremos dizer aquela energia que foi transferida de um reservatório para outro e que
deixou de realizar trabalho devido ao fato da máquina não ter atingindo sua eficiência máxima.
O trabalho perdido por uma máquina pode ser calculado a partir da seguinte expressão:
Wperd = T ∆SU.
(10)
Aqui, a temperatura refere-se à temperatura do reservatório mais frio.
Exemplo:
Qual o trabalho perdido quando uma quantidade de calor flui de um reservatório quente para um
reservatório frio?
Tq
∆SU = ∆S q + ∆S f = −
Q
Q
Tq
+
Q
Tf
⎛ Q Q⎞
⎛ Tf
W perd = T f ⎜⎜ −
+ ⎟⎟ ⇒ W perd = Q ⎜⎜1 −
⎝ Tq T f ⎠
⎝ Tq
Tf
⎞
⎟⇒
⎟
⎠
Q
W perd = ε C Q
onde εC é o rendimento de uma máquina de Carnot. Veja que este trabalho perdido é máximo pois, o
rendimento de Carnot é máximo.
Exemplo: Numa máquina de Carnot, qual o trabalho perdido?
400 K
O rendimento desta máquina é: ε = 1 – Tf /Tq = 1 – 300/400
ou ε = 0,25.
100 J
25 J
400 K
75 J
A variação de entropia do universo é:
100 75
∆SU = ∆S q + ∆S f = −
+
= 0.
400 300
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
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Diferentemente do exemplo anterior, podemos ver que nenhum trabalho é perdido na máquina de
Carnot, que é uma máquina reversível, pelo fato desta possuir um rendimento máximo. Assim, podemos
afirmar que:
Num processo irreversível, uma quantidade de calor igual a ∆SU.T, fica indisponível para a
realização de trabalho, onde T é a temperatura do reservatório mais frio disponível.
No caso da pedra caindo, podemos ver que o trabalho perdido é T0 . mgh/T0 = mgh. Isto é a
energia potencial sofrida pela pedra ao cair de uma altura h. Parte desta energia poderia ter sido
convertida em calor, mas não foi.
7 – Entropia e Probabilidade
A entropia mede o grau de desordem de um sistema e está relacionada com a probabilidade de
ocorrência de estados do sistema. Isto significa que um estado bem ordenado, ou entropia pequena, tem
pouca probabilidade de ocorrer. Ou seja, num sistema a entropia tende sempre a aumentar.
Vejamos o seguinte exemplo:
Um gás, ao expandir livremente para o dobro do volume, tem uma ∆S = nR ln2. A probabilidade
deste gás voltar a ocupar o volume inicial é praticamente zero principalmente se o número de moléculas
for grande. A probabilidade de uma quantidade n de moléculas ocupar espontaneamente apenas a
metade do volume após se expande livremente é dada por:
p = (1/2)N.
Para n = 2 moléculas, há 4 possibilidades. Para n = 3, 8 possibilidades
A tabela abaixo mostra alguns valores de p em função de n.
N
p
1 2
3
4
10
½ 0,25 0,125 0,0625 1/1024
1023
0
Podemos entender esta probabilidade da seguinte forma: se o gás tem 10 moléculas, a cada 1024
segundos, estas moléculas ocuparão apenas a metade do volume que elas ocupam, ou seja, estarão todos
num mesmo lado.
Para o caso onde temos o gás saindo de um volume V1 para um volume V2, a probabilidade é
dada por:
Notas de Física II – Profs Amauri e Ricardo
10
N
⎛V ⎞
⎛V ⎞
⎛V ⎞
p = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⇔ ln p = N ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = nN A ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ,
⎝ V1 ⎠
⎝ V1 ⎠
⎝ V1 ⎠
(11)
mas, a variação de entropia de uma expansão livre é dada por:
∆S = nR ln
V2
V1
ou seja, p = NA ∆S/R
Exercícios - Fonte: Tipler 4a edição volume 1
1) Um mol de um gás monoatômico sofre um aumento de pressão isocoricamente de P1 = 100kPa
para P2 = 200 kPa. Depois ele sofre uma expansão isotérmica saindo de um volume V1,2 = 25 l
para V3 = 50 l. Em seguida, é comprimido isobaricamente até seu estado inicial. Calcule: a) a
temperatura em cada ponto; o calor trocado em cada processo do ciclo e c) o rendimento desta
máquina.
2) Uma máquina de Carnot opera entre dois reservatórios cujas temperaturas são Tq = 300K e Tf =
200K. a) Qual o seu rendimento? b) Se forem absorvidos 100 J de calor do reservatório quente,
por ciclo, que trabalho efetua esta máquina? b) Qual o COE desta máquina ao operar como
refrigerador entres estes reservatórios?
3) Um mol de um gás ideal sofre, inicialmente, uma expansão livre de V1 = 12,3 l para V2 = 24,6 l a
T1 = T2 = 300 K. O gás é então comprimido isotérmica e quase-estaticamente até atingir seu
estado inicial. a) Qual a variação de entropia do universo neste ciclo? b) Que trabalho foi
perdido no ciclo? e c) Mostrar que este trabalho é T∆Su.
Exercícios propostos - Fonte: Tipler 3a edição volume 2.
De 1 a 30, 36, 45 e 49 (motor a gasolina).
25/11/2008