LISTA DE RECUPERAÇÃO
O
RECUPERAÇÃO: 3 ANO
MATEMÁTICA
Professor:
ARGENTINO
DATA: 30 / 06 / 2015
1. (Unesp 2012) O gol que Pelé não fez
Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco antes do meio de campo, vê o goleiro
tcheco adiantado, e arrisca um chute que entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo com
velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo, depois de descrever uma
parábola no ar e passar rente à trave, para alívio do assustado goleiro.
Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé.
Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute de Pelé fazia um ângulo de 30° com a horizontal (sen30° = 0,50 e
cos30° = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto de
onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais
próximo de
a) 52,0.
b) 64,5.
c) 76,5.
d) 80,4.
e) 86,6.
2. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu,
aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de
verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em
Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão
vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio
da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria ≈ 900 km; π = 3. )
a) junho; 7°.
b) dezembro; 7°.
c) junho; 23°.
d) dezembro; 23°.
e) junho; 0,3°.
1
3. (G1 - ifsc 2015) Em uma aula prática, um professor do curso técnico de edificações do campus Florianópolis do IFSC, pede
para que seus alunos determinem a altura de um poste que fica nas instalações da instituição, porém há uma impossibilidade para se
chegar tanto ao topo do poste, bem como sua base. Para realizar tal medida, são disponibilizados para os alunos uma trena (fita
métrica) e um teodolito. É realizado o seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca no ponto A a x metros da base do
poste e mede-se o ângulo formado entre o topo do poste e o solo, que é de 60° (sessenta graus); em seguida, afastando-se 10m
(dez metros) em linha reta do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto B, mede-se novamente o ângulo entre o topo do
poste e o solo, que é de 30° (trinta graus).
A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, é CORRETO afirmar que a altura do poste é de aproximadamente:
Dados: sen30° = 0,5; cos 30° = 0,86; tg30° = 0,58
sen60° = 0,86; cos 60° = 0,5; tg60° = 1,73
a) 8,65m
b) 5m
c) 6,65m
d) 7,65m
e) 4m
4. (Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com
caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB = 1,5 m e
PA = 1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo
µ igual 60°. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.
PTB
Nas condições descritas e adotando
a) 2,42.
b) 2,08.
c) 2,28.
d) 2,00.
e) 2,56.
3 ≅ 1,73, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de
2
5. (G1 - cftmg 2015) Uma raposa avista um cacho de uvas em uma parreira sob um ângulo de 30° formado com a horizontal.
Então, preguiçosamente ela se levanta, anda
mostra a figura abaixo.
3 m em direção à base da parreira e olha para as uvas sob um ângulo de 60°, como
Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em metros, é
a) 1,0
b) 1,5
c) 1,7
d) 3, 4
6. (Ufsm 2015) Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de
sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo por
⎛ 8 π ⎞
P(t) = 100 − 20cos ⎜
t ⎟
⎝ 3 ⎠
onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco.
Analise as afirmativas:
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto.
II. A pressão em t = 2 segundos é de 110mmHg.
III. A amplitude da função P(t) é de 30mmHg.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
7. (Espcex (Aman) 2015) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no
⎛
⎞
⎛ ⎛ t − 2 ⎞ ⎞
período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão P(t) = 103 ⎜ cos ⎜ ⎜
π ⎟ + 5 ⎟
⎟
⎝ ⎝ 6 ⎠ ⎠
⎝
⎠
em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que
a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.
b) a população atinge seu máximo em t = 6.
c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano.
d) a população média anual é de 6.000 animais.
e) a população atinge seu mínimo em t = 4 com 6.000 animais.
3
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Considere o texto e as figuras para responder a(s) questão(ões).
O circo é uma expressão artística, parte da cultura popular, que traz diversão e entretenimento. É um lugar onde as pessoas
tem a oportunidade de ver apresentações de vários artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e muito mais.
Mas antes que a magia desse mundo se realize, há muito trabalho na montagem da estrutura do circo.
A tenda de um circo deve ser montada em um terreno plano e para isso deve ser construída uma estrutura, conforme a
sequência de figuras.
Nas figuras, considere que:
- foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao plano do chão;
- cada estaca tem 4m acima do solo;
- as estacas estão igualmente distribuídas, sendo que suas bases formam um octógono regular;
- os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 12m de comprimento;
- para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 45° com o
solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos têm a mesma medida;
- no centro do octógono regular é colocado o mastro central da estrutura, que é vertical;
- do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a mesma medida;
- na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e
- em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15 m.
8. (G1 - cps 2015) A quantidade de cabo utilizada para imobilizar as oito estacas, é, em metros,
Para o cálculo, considere apenas a quantidade de cabo do topo de cada estaca até o solo. Despreze as amarras.
a) 16 2.
b) 24 2.
c) 32 2.
d) 40 2.
e) 48 2.
9. (Upe 2014) Um relógio quebrou e está marcando a hora representada a seguir:
4
Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direção, mas a velocidade do ponteiro menor equivale a
9
da velocidade do
8
ponteiro maior. Depois de quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o ponteiro grande?
a) 3,0
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,5
e) 9,5
10. (Unifor 2014) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam 3R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente
à circunferência do pneu, formando um ângulo α com a reta s que liga os dois centros.
Pode-se concluir que cos α
a)
b)
c)
d)
e)
2 3
3
3 2
2
3 3
2
2 2
3
3
3
11. (Unifor 2014) Uma rampa retangular, medindo 10 m2 , faz um ângulo de 25° em relação ao piso horizontal. Exatamente
embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura.
Considerando que cos 25° ≅ 0,9, a área A tem aproximadamente:
a) 3 m2
b) 4 m2
c) 6 m2
5
d) 8 m2
e) 9 m2
12. (Ufg 2014) Em uma escola de mergulho, situada em uma região ao nível do mar, existe um tanque para treinamento,
preenchido completamente com água, cuja descida é feita por meio de uma rampa, como mostra a figura a seguir.
Sabendo-se que a pressão na região mais profunda é de 2,2 atm, o valor da tangente do ângulo θ é:
Dados:
ρágua = 1 g / cm3
1 atm = 1× 105 N / m2 e
g = 10m / s2
a) 3/5
b) 3/4
c) 10/11
d) 4/3
e) 5/3
13. (G1 - cftmg 2014) Uma formiga sai do ponto A e segue por uma trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto
B, como mostra a figura.
A distância, em metros, percorrida pela formiga é
a) 1 + 2 3.
b) 3 + 3 3.
c) 5 + 2 3.
d) 7 + 3 3.
14. (Unifor 2014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de
subir e descer.
6
A altura y que a cama varia em função de θ é de:
a) y = 2 senθ
b) y = 2 senθ + 2
c) y = tgθ + 2
d) y = 2 cos θ
e) y = 2 cos θ + 2
15. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30°, como mostra a figura
abaixo.
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é:
a) 80,2
b) 81,6
c) 82,0
d) 82,5
e) 83,2
16. (Upe 2014) A figura a seguir representa o campo de jogo da Arena Pernambuco. O ponto A situa-se exatamente no meio do
campo, e o ponto B, exatamente no meio da linha do gol.
Nivelada a partir de medições a laser, a fundação tem inclinações muito suaves que evitam o acúmulo de água nas zonas centrais,
conforme o esquema a seguir:
7
Considerando essas inclinações do campo, qual a diferença de altura entre os pontos A e B, representados no desenho do campo?
a) 15,90 cm
b) 26,50 cm
c) 29,00 cm
d) 34,00 cm
e) 53,00 cm
17. (Uel 2014) Analise a figura a seguir.
A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as
de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. Uma inclinação de 5%
significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas não
respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se uma rampa de
acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual a 2 metros.
Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros.
a) 5
b) 20
1
c) 2 +
20
d) 401 − 2
1
e) 4,01 +
20
18. (Uepa 2014) Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.C. na Índia, encontramos uma tabela “meias-cordas”,
representado na figura abaixo. Essas “meias-cordas” representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda
como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85
– 165), que utilizou um círculo de raio 60.
Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 2008.
Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de θ = 45° é:
a) 30 2.
8
b) 15 2.
c) 15 2 2.
d)
2 2.
e)
2 4.
19. (G1 - cps 2014) O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo.
O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo
topo está a uma altura de 4 765 metros acima do nível do mar.
O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 12,5
km, atinge o topo do Pico Espejo.
Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que θ seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas,
formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo θ é
Utilize:
medida
do ângulo
11º
15º
18º
22º
25°
seno
cosseno
tangente
0,191
0,259
0,309
0,375
0,423
0,982
0,966
0,951
0,927
0,906
0,194
0,268
0,325
0,404
0,467
a) 11°.
b) 15°.
c) 18°.
d) 22°.
e) 25°.
20. (Espcex (Aman) 2014) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um
exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou
dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se
encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no
π
ˆ
ponto B seja reto e obteve uma medida de
rad para o ângulo ACB.
3
9
Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
a) 9 3 metros
b) 3 3 metros
9 3
metros
2
d) 3 metros
e) 4,5 metros
c)
21. (Uneb 2014) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a
uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada
como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical.
Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas
das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o
ângulo de descida formado com a vertical é de 80°.
Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10° = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em
metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
e) 258
22. (G1 - ifsp 2014) Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada
encontrada em Brazlândia – DF, conforme a figura.
Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte:
- todos os triângulos são retângulos;
- cada triângulo possui um ângulo de 30°; e
- a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.
Com base nas informações acima, os catetos de cada triângulo medem, em cm,
a) 25 e 25 3.
b) 25 e 25 2.
c) 25 e 50 3.
d) 50 e 50 3.
e) 50 e 50 2.
23. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
10
Usando a aproximação π = 3, a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos
ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente
a) 22.
b) 31.
c) 34.
d) 29.
e) 20.
24. (Acafe 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de
aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições
durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os
⎛ πt π ⎞
dados foram representados pela função periódica T(t) = 24 + 3cos ⎜ + ⎟ , em que t indica o tempo (em horas) decorrido após
⎝ 6 3 ⎠
o início da medição e T(t), a temperatura (em °C) no instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação
valem, respectivamente:
a) 6h, 25,5°C e 10h.
b) 12h, 27°C e 10h.
c) 12h, 27°C e 15h.
d) 6h, 25,5°C e 15h.
25. (Ucs 2014) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em função do
⎛ 2π(t − 105) ⎞
tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por T(t) = 14 + 12sen ⎜
⎟ .
364
⎝
⎠
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de
a) julho.
b) setembro.
c) junho.
d) dezembro.
e) março.
26. (Ufsm 2014) Para melhorar as condições de acessibilidade a uma clínica médica, foi construída uma rampa conforme indicado
na figura.
O comprimento horizontal c da rampa, em metros, pode ser expresso por
(
)
a) 4 2 − 3 .
b) 8 2 − 3 .
c) 8 3 .
(
)
d) 4 2 + 3 .
11
e) 8 2 + 3 .
27. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de
45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte,
também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles
tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.
28. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na
Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura
como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada
na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base
desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que 100m2.
b) entre 100m2 e 300m2.
c) entre 300m2 e 500m2.
d) entre 500m2 e 700m2.
e) maior que 700m2.
29. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.
12
ˆ mede:
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD
9
a)
10
14
b)
15
29
c)
30
d) 1
30. (Fgv 2013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a
a) 4 + 2
b) 4 + 3
c) 6
d) 4 + 5
e) 2(2 + 2)
31. (Insper 2013) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas
de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado em um dos cantos do campo (ponto P).
13
ˆ Em seguida, transforma essas
O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida α do ângulo BPQ.
informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das expressões
1
1
a) x = sen α e y = cos α.
r
r
b) x = r 2cosα e y = r 2sen α.
c) x = r sen2α e y = r cos2α.
d) x = r cosα e y = r sen α.
1
r
1
r
e) x = sen2α e y = cos2α.
32. (Unesp 2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até
a de seu eixo de rotação e 1m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal isto é, quando os segmentos de
retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de
seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.
Dado cos α = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é
a) 4,8.
b) 5,0.
c) 3,8.
d) 4,4.
e) 4,0.
33. (Ufsj 2013) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a horizontal, quando encostada ao
edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do
chão.
14
(
)
Sabendo que a distância entre os prédios é igual a 5 3 + 5 2 metros de largura, assinale a alternativa que contém a altura da
escada, em metros.
a) 5 2
b) 5
c) 10 3
d) 10
34. (Udesc 2013) No site http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf (acesso em:
23/06/2012), encontra-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para
semáforos projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1.
Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de
20°, conforme mostra a Figura 2.
Considerando tg(20º ) ≅ 0,36, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1.
Tipo de Semáforo
Coluna simples
Projetado sobre a via
D
?
13,1
H
2,4
?
Tabela 1
Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1, e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa.
(
(
) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m.
) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4,2 m.
15
(
) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente 3,1 m maior que a altura H do semáforo de coluna simples.
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo.
a) F – V – V
b) V – F – V
c) F – V – F
d) V – V – F
e) F – F – V
35. (G1 - cftmg 2013) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura
abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a
qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o
ponto C.
Dados:
α
sen α
cos α
tg α
30°
1/2
3/2
3/3
45°
2/2
2/2
1
60°
3/2
1/2
3
Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por
1
a) AC.
3
1
AC.
2
3
c)
AC.
2
3 3
d)
AC.
3
b)
36. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um
morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
37. (Ufpr 2013) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo
que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até
que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar?
16
a) 75°.
b) 60°.
c) 45°.
d) 30°.
e) 15°.
38. (G1 - utfpr 2013) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno plano.
Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão.
O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:
(Considere: sen 30° =
1
3
3
)
, cos 30° =
e tg 30° =
2
2
3
a) 0,8 3.
b) 2,4.
c) 1,2 3.
d) 0,6 3.
e) 0,6.
39. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras
abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h1, h2 e h3 , conclui-se que h1 + h2 é
igual a:
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h
3
d) h3
40. (Espcex (Aman) 2013) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da
antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte,
tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α
é dado por:
17
a) R =
sen ( α h )
1 − sen α
hsen α
1 − sen α
hsen α
c) R =
sen α – 1
1 − sen α
d) R =
hsen α
1 + sen α
e) R =
hsen α
b) R =
41. (Ufg 2013) As cidades de Goiânia e Curitiba têm, aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma latitude de 16°40',
enquanto a latitude de Curitiba é de 25°25'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica, com a linha do equador
medindo, aproximadamente, 40000 km, a distância entre as duas cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano,
a) é menor que 700.
b) fica entre 700 e 800.
c) fica entre 800 e 900.
d) fica entre 900 e 1000.
e) é maior que 1000.
42. (G1 - cftmg 2013) Se o relógio da figura marca 8 h e 25 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é
a) 12° 30’.
b) 90°.
c) 102° 30’.
d) 120°.
43. (Uel 2013) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se
localiza nas seguintes coordenadas: latitude 21°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que
acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 6730 km, e as coordenadas geográficas de Belém, que
são latitude 1°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista
calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 48°30’ Oeste.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distância D, em km.
π
a) D = 6730
9
18
π
( 6730 )2
18
π
c) D =
6730
9
π
d) D =
6730
36
b) D =
2
⎛ π ⎞
e) D = ⎜ ⎟ 6730
⎝ 3 ⎠
44. (Fgv 2013) O relógio indicado na figura marca 6 horas e
7
minutos.
13
5
minutos.
55
11
5
minutos.
55
13
3
minutos.
54
11
2
minutos.
54
11
a) 55
b)
c)
d)
e)
45. (Unioeste 2013) Uma loja do ramo de som vende instrumentos musicais e renova todo mês seu estoque de violas em 60
⎛
⎛ πx ⎞ ⎞
unidades. A função que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do mês é f(x) = 30 ⎜ cos ⎜
⎟ + 1⎟ , sendo que x é o dia do
⎝ 30 ⎠ ⎠
⎝
mês (considerando o mês comercial de 30 dias) e f(x) é o estoque ao final do dia x. Nos termos apresentados, é correto afirmar que
a) ao final do mês, metade do estoque ainda não foi vendido.
b) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês.
c) no dia 15 de cada mês, metade do estoque do mês foi vendido.
d) ao fim do mês, a loja ainda não vendeu todo o estoque de violas.
e) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente metade do estoque do dia anterior.
46. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é
a) 2 2 − 3 .
b)
2 + 3.
c) 4 2 − 3 .
d) 2 2 + 3 .
e) 4 2 + 3 .
47. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o
ˆ = 30°. Portanto, o comprimento do segmento CE é:
ângulo CAB
19
5
3
8
b) a
3
7
c) a
3
d) a 2
a) a
48. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de
doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto
indicado na figura.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?
a) 2,29.
b) 2,33.
c) 3,16.
d) 3,50.
e) 4,80.
49. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as
distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que
representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então,
que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um
triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São
Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
20
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de
Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3
b) 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3
c) 80 ⋅ 6
d) 80 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2
e) 80 ⋅ 7 ⋅ 3
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais
sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média
diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno.
mês
temperatura
média mensal
(graus Celsius)
bolas de sorvete
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
29
30
28
27
25
24
23
24
24
28
30
29
980
1000
960
940
900
880
860
880
880
960
1000
980
50. (Insper 2013) O dono do restaurante percebeu que a temperatura média mensal afeta não apenas a venda de sorvetes, mas o
movimento de seu restaurante como um todo. Ele contratou os serviços de uma consultoria especializada em metereologia, que lhe
forneceu uma série de fórmulas para prever as temperaturas, dentre elas uma expressão do tipo T(x) = A + f(Bx + C), em que A, B
e C são coeficientes que devem ser atualizados no início de cada ano. Abaixo dessa fórmula, havia uma observação, informando
que a função f deveria modelar as subidas e descidas periódicas da temperatura ao longo do ano. Das funções a seguir, a única que
poderia representar f de modo a conferir-lhe essa propriedade é
a) sen (x).
b) log (x).
c) x2.
d) x.
e) 2x.
21
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Dados: v0 = 30 m/s; θ = 30°; sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,85 e t = 3 s.
A componente horizontal da velocidade (v0x) mantém-se constante. O alcance horizontal (A) é dado por:
A = v0x t ⇒ A = v0 cos30° t ⇒ A = 30 (0,85 )(3 ) ⇒
A = 76,5 m.
Resposta da questão 2:
[A]
[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia]
Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto:
θ=
360° ⋅ 900
= 7,2°
2 ⋅ 3 ⋅ 7500
A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho,
quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer.
[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática]
Considere a figura.
µ = θ e, portanto,
Como os raios solares são paralelos, segue que AOB
22
ª
AB
OA
900
=
7500
= 0,12rad
0,12 ⋅ 180°
≅
= 7,2°.
3
θ=
Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse
hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho.
Resposta da questão 3:
[A]
O triângulo ABC é isósceles, logo AD = 10m.
No triângulo ACD, temos:
sen60° =
H
⇒ H = 10 ⋅ sen60° = 10 ⋅ 0,86 = 8,60cm
100
Portanto, a alternativa correta é [A].
Resposta da questão 4:
[A]
µ ≡ DTC.
µ Assim, do triângulo BPT, vem
Vamos supor que PTB
µ = BP ⇒ BT ≅ 1,5 m.
tgPTB
1,73
BT
Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos
µ = CD ⇒ CT ≅ 2,7 .
tgCTD
1,73
CT
Em consequência, segue que o resultado pedido é
BT + CT ≅
4,2
≅ 2,43 m.
1,73
Resposta da questão 5:
[B]
23
No triângulo ADB, temos x + 30° = 60° ⇒ x = 30° ⇒ DB = 3m
No triângulo BDC ⇒ sen60° =
h
3
⇒ h = 3 ⋅ sen60° ⇒ h = 3 ⋅
3
= 1,5m
2
Resposta: 1,5m.
Resposta da questão 6:
[B]
[I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos:
1
1 4
8π
⎛
⎞
= = , em minutos basta P(2) = 100 − 20 ⋅ ⎜ cos
⋅ 2π ⎟ multiplicar por 60, o que resulta em 80 batimentos por
3
⎛
⎞ 3 3
⎝
⎠
⎜ 2π ⎟ 4
⎜
⎟
⎜⎜ 8 π ⎟⎟
⎝ 3 ⎠
minuto.
[II] Verdadeira. Pois
8 π ⎞
⎛
P(2) = 100 − 20 ⋅ ⎜ cos
⋅ 2 ⎟ =
3
⎝
⎠
16 π ⎞
⎛
= 100 − 20 ⋅ ⎜ cos
=
3 ⎟⎠
⎝
⎛
4 π ⎞ ⎞
⎛
= 100 − 20 ⋅ ⎜ cos ⎜ 2 ⋅ 2π +
⎟ =
3 ⎟⎠ ⎠
⎝
⎝
⎛ 1 ⎞
= 100 − 20 ⋅ ⎜ − ⎟ =
⎝ 2 ⎠
= 110mmHg.
[III] Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg.
Resposta da questão 7:
[A]
Construindo o gráfico da função, temos:
24
De acordo com o gráfico, o período chuvoso acontece em seis meses, ou seja, dois trimestres.
Resposta da questão 8:
[C]
A hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos 4 m mede 4 2 m. Portanto, o resultado é 8 ⋅ 4 2 = 32 2 m.
Resposta da questão 9:
[B]
Seja ω a velocidade do ponteiro maior.
9
ωt, enquanto que a posição do ponteiro maior é igual a β = π + ωt.
8
Logo, para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior, deve-se ter
A posição do ponteiro menor após t minutos é dada por α =
9
ωt = π + ωt
8
⇔ ωt = 8π.
α =β⇔
Portanto, o resultado pedido é
8π
= 4.
2π
Resposta da questão 10:
[D]
Gabarito Oficial: [E]
Gabarito SuperPro®: [D]
Considere a figura.
Sabendo que AP = 3R e AB = R, do Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
AP = AB + PB ⇔ (3R)2 = R2 + PB
2
⇒ PB = 2 2R.
25
Em consequência, temos
cos α =
PB
AP
⇔ cos α =
2 2R
3R
⇔ cos α =
2 2
.
3
Resposta da questão 11:
[E]
Tem-se que x ⋅ y = 10 m2 . Logo, como z = y ⋅ cos25° e A = x ⋅ z, segue-se que
A = x ⋅ y ⋅ cos25° ≅ 10 ⋅ 0,9 = 9 m2.
Resposta da questão 12:
[B]
P = pressão na parte mais funda
Patm = pressão atmosférica
d = densidade
g = gravidade
h = profundidade
P = Patm + d ⋅ g ⋅ h
2,2 ⋅ 105 = 105 + 103 ⋅ 10 ⋅ h
1,2 ⋅ 105 = 104 ⋅ h
h = 12
Logo, pelo teorema Pitágoras: x 2 + h2 = 202 ⇒ x = 16
12 3
Logo, tgθ =
= .
16 4
Resposta da questão 13:
[D]
26
Calculando x e y nos triângulos assinalados.
sen30o =
tg30o =
2
1 2
⇔ = ⇔x=4
x
2 x
1
3 1
⇔
= ⇔y= 3
y
3
y
Logo, a distância percorrida pela formiga é:
2 + x + 1+ y + 2 3 = 2 + 4 + 1+ 3 + 2 3 = (7 + 3 3)m
Resposta da questão 14:
[D]
Considere a figura.
µ = 90°, temos α = 90° − θ. Além disso, do triângulo retângulo ABC, vem
Supondo DAB
sen α =
BC
AB
⇔ y = 2sen α.
Mas sen α = sen(90° − θ) = cos θ e, portanto, y = 2cos θ.
Resposta da questão 15:
[B]
Seja h a altura do prédio. Logo, segue que
27
tg30° =
h − 1,6
80 3
⇔ h − 1,6 = 80 3 ⋅
3
3
⇔ h = 81,6 m.
Resposta da questão 16:
[B]
Se a diferença de altura entre A e B é de 0,5%, então o resultado pedido é dado por
0,005 ⋅ 53 = 0,265 m = 26,5cm.
Resposta da questão 17:
[D]
Rampa com inclinação de 5% :
1
5
=
⇒ x = 20m.
x 100
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
d2 = 12 + 202 ⇒ d = 401 m
Logo, a diferença pedida é de ( 401 − 2)m.
Resposta da questão 18:
[A]
Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa
igual a 60, ou seja,
sen45° =
x
2
⇔ x = 60 ⋅
= 30 2.
60
2
Resposta da questão 19:
[B]
Na figura temos:
3,188
senθ =
= 0,25504.
12,500
De acordo com a tabela dada a medida aproximada de q é 15°.
Resposta da questão 20:
[A]
28
tg60° =
x
⇒ x = 9 ⋅ tg60° = 9 ⋅ 3m.
9
Resposta da questão 21:
[A]
tg10o =
44
44
⇒x=
⇒ x = 250m.
x
0,176
Resposta da questão 22:
[D]
y = 100 ⋅ sen30° = 100 ⋅
x = 100 ⋅ cos30° = 100 ⋅
1
= 50
2
3
= 50 ⋅ 3
2
Resposta da questão 23:
[B]
29
Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, α = 60° + 6° = 66°.
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
60min
54min
30°
β
Logo, β = 27°, portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
93° ⋅ 2π ⋅ 20
= 31 cm (considerando, π = 3)
360°
Resposta da questão 24:
[C]
O período da função é dado por
2π
= 12 h.
π
6
⎛ πt π ⎞
⎛ πt π ⎞
A temperatura máxima ocorre quando cos ⎜ + ⎟ atinge seu valor máximo, ou seja, quando cos ⎜ + ⎟ = 1. Logo, tem-se
6
3
⎝
⎠
⎝ 6 3 ⎠
que o resultado é Tmáx = 24 + 3 ⋅ 1 = 27 °C.
⎛ πt π ⎞
Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem cos ⎜ + ⎟ = 1. Assim,
⎝ 6 3 ⎠
⎛ πt π ⎞
⎛ πt π ⎞
cos ⎜ + ⎟ = 1 ⇒ cos ⎜ + ⎟ = cos0
⎝ 6 3 ⎠
⎝ 6 3 ⎠
πt π
⇒
+ = 0 + 2kπ
6 3
⇒ t = 12k − 2, k ∈ ¢ .
Tomando k = 1, segue-se que t = 10 h e, portanto, o horário em que ocorreu essa temperatura máxima foi às 5 + 10 = 15 h.
Resposta da questão 25:
[A]
A temperatura média máxima ocorre quando
π
⎛ 2π(t − 105) ⎞
⎛ 2π(t − 105) ⎞
sen ⎜
= 1 ⇔ sen ⎜
= sen
⎟
⎟
364
364
2
⎝
⎠
⎝
⎠
2π(t − 105) π
⇔
= + 2kπ
364
2
⇔ t − 105 = 91 + 364k
⇔ t = 196 + 364k, k ∈ ¢ .
Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja, no mês de
julho.
Resposta da questão 26:
[E]
Calculando o cos15° através da fórmula do arco duplo, temos:
30
cos30° = cos2 15° − sen215°
3
= cos2 15° − (1 − cos2 15°)
2
3
= cos2 15° − 1 + cos2 15°
2
3
+ 1 = 2cos2 15°
2
3 +2
cos2 15° =
4
cos15° =
2+ 3
2
No triângulo da figura, temos:
cos15° =
c
2+ 3
⇒ c = 16 ⋅ cos15° ⇒ c = 16 ⋅
⇒ c = 8 ⋅ 2 + 3 m.
16
2
(
)
Resposta da questão 27:
[B]
Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá percorrido 6 km.
Temos, então, a seguinte figura:
Sendo d a distância entre os navios, temos:
d2 = 162 + 62 − 2 ⋅ 16 ⋅ 6 ⋅ cos 60o
⎛ 1 ⎞
d2 = 256 + 36 − 192 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
d2 = 196
d = 14km
Resposta da questão 28:
[E]
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.
31
Do triângulo ABC, obtemos
µC=
tgB A
BC
AB
⇔ tg15° =
BC
114
⇒ BC ≅ 114 ⋅ 0,26
⇔ BC ≅ 29,64 m.
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a
2
BC = (29,64)2 ≅ 878,53 m2 .
Resposta da questão 29:
[B]
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos
AB = 8 ⋅ 30 = 240cm,
BC = 6 ⋅ 30 = 180cm
e
CD = (8 + 6) ⋅ 20 = 280cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos
2
2
2
2
AC = AB + BC ⇔ AC = 2402 + 1802
⇒ AC = 300 cm.
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
µ = CD = 280 = 14 .
tgCAD
AC 300 15
Resposta da questão 30:
[B]
Como EF = FA = AQ = QC = 1dm, basta calcularmos CE.
µ = 120° e CD = DE = 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos
Sabendo que CDE
32
2
2
2
µ
CE = CD + DE − 2 ⋅ CD ⋅ DE ⋅ cosCDE
⎛ 1 ⎞
= 12 + 12 − 2 ⋅ 1⋅ 1⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
= 3.
Portanto, CE = 3 dm e o resultado pedido é
EF + FA + AQ + QC + CE = (4 + 3)dm.
Resposta da questão 31:
[D]
Considere a figura.
É imediato que
cos α =
e
sen α =
x
⇔ x = r cos α
r
y
⇔ y = r sen α.
r
Resposta da questão 32:
[C]
Considere a figura.
Sabendo que cos α = 0,8 e sen2 α + cos2 α = 1, obtemos sen α = 0,6. Logo, do triângulo QNS, vem
sen α =
QS
NQ
⇔ QS = 0,6 ⋅ 3 = 1,8 m.
Por outro lado, do triângulo MPQ, encontramos
33
cos α =
MP
PQ
⇔ MP = 0,8 ⋅ 1 = 0,8 m.
Assim, o resultado pedido é dado por
MP + QS + ST = 0,8 + 1,8 + 1,2 = 3,8 m.
Resposta da questão 33:
[D]
Considerando x a altura da escada, temos:
x ⋅ cos30° + x ⋅ cos 45° = 5 3 + 5 2
⎛ 3
2 ⎞
x ⋅ ⎜
+
⎟ = 5( 3 + 2 )
⎜ 2
2 ⎟⎠
⎝
x = 10m
Resposta da questão 34:
[B]
Para o semáforo de coluna simples, temos
tg20° =
H + 1 − 1,25
2,4 − 0,25
⇒ D + 1,5 ≅
D + 1,5
0,36
⇒ D ≅ 5,97 − 1,5
⇒ D ≅ 4,5 m.
Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem
tg20° =
H + 1 − 1,25
H − 0,25
⇒ 0,36 ≅
D + 1,5
13,1 + 1,5
⇒ H − 0,25 ≅ 5,26
⇒ H ≅ 5,5 m.
Por conseguinte, como 5,5 − 2,4 = 3,1m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente 3,1m
maior do que a altura H do semáforo de coluna simples.
Resposta da questão 35:
[C]
34
No triângulo ABC, assinalado na figura, temos:
sen60° =
AB
3 ⋅ AC
⇒ AB = AC ⋅ sen60° ⇔ AB =
AC
2
Resposta da questão 36:
[A]
h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
tan 15° =
h
⇒ h = 3,8 ⋅ tg 15°
3,8
Resposta da questão 37:
[D]
senα =
5
⇒ α = 30°
10
Resposta da questão 38:
[B]
No triângulo assinalado, temos:
35
sen30o =
1,2
1 1,2
⇒ =
⇒ x = 2,4
x
2
x
Resposta da questão 39:
[D]
Como
sen15° = sen(45° − 30°)
= sen 45° cos30° − sen30° cos 45°
=
2 3 1 2
⋅
− ⋅
2 2 2 2
=
6− 2
4
Então:
sen15° =
h1
a( 6 − 2)
⇔ h1 =
.
a
4
Além disso,
sen45° =
h2
a 2
⇔ h2 =
a
2
Então:
h1 + h2 =
=
a( 6 − 2) a 2
+
4
2
a( 6 + 2)
.
4
Por outro lado,
sen75° = sen(45° + 30°)
= sen 45° cos30° + sen30° cos 45°
=
2 3 1 2
⋅
+ ⋅
2 2 2 2
=
6+ 2
4
Então:
sen75° =
h3
a( 6 + 2)
⇔ h3 =
.
a
4
Portanto, h1 + h2 = h3 .
Resposta da questão 40:
[B]
Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura.
36
Como AB é tangente à esfera, segue que OB ⊥ AB. Além disso, AO = h + R e OB = R. Portanto, do triângulo AOB, obtemos
sen α =
OB
R
h+R
AO
⇔ R = hsen α + R sen α
⇔ sen α =
⇔ R − R sen α = hsen α
⇔ R(1 − sen α ) = hsen α
⇔R=
hsen α
.
1 − sen α
Resposta da questão 41:
[D]
α = 25°25'− 16°40' = 8°45' = 8,75°
360° _______ 40000km
8,75° ______ x
Resolvendo a proporção, temos: x = 972,2km.
Resposta da questão 42:
[C]
O deslocamento do ponteiro das horas, em 25 minutos, é igual a
mede 3 ⋅ 30° = 90°, segue que
25
= 12°30'. Logo, como o ângulo entre as posições 5 e 8
2
x = 90° + 12°30' = 102°30'.
Resposta da questão 43:
[A]
O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é
37
21°20 '− 1°20 ' = 20° ⋅
=
π
rad
180°
π
rad.
9
Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.730 km, vem
D=
π
⋅ 6730km.
9
Resposta da questão 44:
[C]
Seja 6 horas e x minutos a hora marcada no relógio.
O ângulo α, percorrido pelo ponteiro das horas em x = 55 +
α=
55 +
30° − α
minutos, é tal que
6
30° − α
30° − α
6
⇔ 2α = 55 +
2
6
⇔ 13α = 360°
360°
⇔α=
.
13
Portanto,
α=
x
360
⇔ x = 2⋅
2
13
720
⇔x=
13
5
⇔ x = 55 .
13
Resposta da questão 45:
[C]
π;30 ⎞
⎛
[A] Falsa, pois f(30) = 30 ⎜ cos
+ 1⎟ = 30( −1 + 1) = 0.
30
⎝
⎠
π;10 ⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
[B] Falsa, pois f(10) = 30 ⎜ cos
+ 1⎟ = 30 ⎜ + 1⎟ = 45.
30
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
π;15 ⎞
⎛
[C] Verdadeira, pois f(15) = ⎜ cos
+ 1⎟ = 30(0 + 1) = 30.
30
⎝
⎠
[D] Falsa, pois f(30) = 0.
[E] Falsa, pois os únicos valores inteiros são de f(x) são f(30), f(10) e f(15).
Resposta da questão 46:
[C]
Considere a figura.
38
µ = 30°, pela Lei dos Cossenos, obtemos
Como AB = AD = 4 u.c. e BAD
2
2
2
µ
BD = AB + AD − 2 ⋅ AB ⋅ AD ⋅ cosBAD
= 42 + 42 − 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅
3
2
= 2 ⋅ 16 − 16 3.
Portanto,
BD = 4 2 − 3 u.c.
Resposta da questão 47:
[C]
39
No ΔCMB : cos30° =
a
3 a
2a
⇒
= ⇒x=
x
2
x
3
a
3
a
a
No ΔENB : cos30° = 2 ⇒
=
⇒y=
y
2
2y
3
ˆ = 180° − 30° − 30° = 120°
CBE
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE2 = x 2 + y 2 − 2.x.y.cos120°
CE2 =
4a2 a2
2a a
+
− 2⋅
⋅
3
3
3
3
CE2 =
5a2 2a2
+
3
3
CE2 =
7a2
3
CE = a.
⎛ 1 ⎞
⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
7
3
Resposta da questão 48:
[D]
Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
2
2
2
µ
BC = AC + AB − 2 ⋅ AC ⋅ AB ⋅ cosBAC
= (0,8)2 + 12 − 2 ⋅ 0,8 ⋅ 1⋅ cos150°
⎛
3 ⎞
⎟
= 0,64 + 1 − 2 ⋅ 0,8 ⋅ ⎜ −
⎝ 2 ⎠
≅ 1,64 + 0,8 ⋅ 1,7
≅ 3.
Logo, BC ≅ 1,7 e, portanto, o resultado é 1 + 0,8 + 1,7 = 3,5.
Resposta da questão 49:
[B]
Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas.
$ = 60° e CPG
$ = 150°. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos
$ = 90°, vem SPG
Sabendo que SPC
2
2
2
$
SG = SP + PG − 2 ⋅ SP ⋅ PG ⋅ cosSPG
= 802 + 1602 − 2 ⋅ 80 ⋅ 160 ⋅ cos150°
⎛
3 ⎞
⎟
= 6400 + 25600 − 2 ⋅ 12800 ⋅ ⎜ −
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
= 6400 ⋅ (5 + 2 ⋅ 3)
Portanto, SG = 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 km.
Resposta da questão 50:
40
[A]
Das funções dadas, a única que poderia representar f de modo a conferir-lhe essa propriedade é sen(x), pois apresenta máximos e
mínimos periódicos.
41