Mecânica Aplicada
Engenharia Biomédica
Apontamentos
Parte 2 - CINEMÁTICA
Versão 0.2
Dezembro de 2003
J.A.C. Martins
I.S.T., Dep. Eng. Civil e Arquitectura, Gab. 4.11
[email protected]
Sumário:
1. CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS.
2. REFERENCIAIS MÓVEIS, MUDANÇAS DE REFERENCIAL E MOVIMENTO
RELATIVO.
3. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS.
1. CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS
Como se referiu na secção de introdução, os movimentos das partículas podem ser
descritos em relação a referenciais que, por simplicidade, se consideram neste curso ser
sempre ortonormados e directos. Para a descrição do movimento das partículas, a escolha do
referencial utilizado é arbitrária dado que, conhecido o movimento de uma partícula em
relação a um certo referencial, é sempre possível determinar o movimento da mesma partícula
em relação a outro referencial. Assim, a posição de uma partícula P relativamente à origem F
de um referencial é dada pelo vector de posição (ver Figura 1.1)
→
→
x = FP.
(1.1)
Figura 1.1. Trajectória, posição e velocidade de uma partícula
→
Se a partícula estiver em movimento, o vector de posição x varia no tempo, descrevendo a
sua extremidade P uma trajectória. Define-se velocidade da partícula (em relação ao
referencial considerado) como a taxa de variação no tempo do vector de posição,
→
dx
v = dt ,
→
(1.2)
que é também uma grandeza vectorial e que é tangente à trajectória descrita pela partícula
(Figura 1.1). A derivada da velocidade em ordem ao tempo, isto é, a segunda derivada em
ordem ao tempo do vector de posição, designa-se por aceleração da partícula (relativamente
ao referencial considerado),
→
→
d v d2 x
a = dt = dt2 ,
→
(1.3)
a qual, como as duas grandezas anteriormente definidas (posição e velocidade), também é
uma grandeza vectorial.
Na secção de introdução referiu-se também que os referenciais em que as leis do
movimento têm a forma mais simples são os referenciais de inércia e que, nos problemas
tratados neste curso e nos problemas de mecânica clássica em Engenharia Biomédica, o erro
resultante de se considerar que um referencial ligado à Terra é um referencial de inércia é
desprezável para o grau de precisão requerido. Por simplicidade de linguagem, designar-se-á
→F →F →F
um tal referencial por referencial "fixo", o referencial (F, e 1 , e 2 , e 3 ) da Figura 1.1.
1.1
Movimento rectilíneo: integração das equações da cinemática
Nesta secção descrevem-se alguns casos típicos de integração das equações da
Cinemática. Esta questão é relevante porque, como é sabido, a entidade cinemática que
intervém na lei de Newton é a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao
tempo. Assim, se as forças que actuam na partícula forem conhecidas, a aceleração obtém-se
dividindo a soma das forças que actuam na partícula pela massa da mesma:
Σ
→
F
a= m .
→
Então, para conhecer todas as características do movimento produzido pelas forças (a
evolução no tempo da velocidade e da posição da partícula) há que proceder à integração no
tempo das equações diferenciais cinemáticas em (1.3). A dificuldade dessas integrações
depende muito da natureza das forças, isto é, da forma como essas forças (e
consequentemente a aceleração) dependem do tempo, da posição ou da velocidade da
partícula. No que se segue consideraremos o caso do movimento rectilíneo, em que x é a
variável que define a posição ao longo da recta a partir de um dado ponto da mesma. Os
escalares que representam a aceleração e a velocidade são, respectivamente,
dv
a = dt ,
dx
v = dt .
(1.4)
(1.5)
Consideraremos sucessivamente, os casos de a aceleração a ser função do tempo t, da posição
x, ou da velocidade v. Obviamente que, destes casos, o que tem uma resolução mais elementar
é o primeiro, uma vez que nesse caso basta proceder, sucessivamente, à integração no tempo
de (1.4) e de (1.5):
(i)
Caso de a = a(t).
Integrando (1.4) relativamente ao tempo entre t = 0 e o instante genérico t obtém-se
t
t dv
a(t) dt = ⌠ dt (t) dt = v(t) − v(0).
⌠
⌡
⌡
0
0
Conhecida a velocidade inicial v(0) = v0, a variação da velocidade v no tempo vem:
t
v = v(t) = v0 + ⌠ a(t) dt.
(1.6)
⌡
0
Conhecida a posição inicial x(0) = x0 e integrando (1.5) relativamente ao tempo, entre t
= 0 e o instante genérico t, obtém-se de forma análoga, a dependência temporal da
posição x:
t
x = x(t) = x0 + ⌠ v(t) dt,
⌡
0
(1.7)
(ii) (*) Caso de a = a(x).
Neste caso, de (1.4), da regra de derivação de funções compostas, v = v(x(t)), e de
(1.5) obtém-se
dv dv dx dv
a = dt = dx dt = dx v.
Separando então as variáveis (x no membro da esquerda, v no membro da direita) vem
a(x) dx = v dv,
(1.8)
que, por integração entre os valores no instante inicial (x0, v0) e os valores (x, v) num
instante genérico, conduz a
2
x
v
v2 v0
a(x)
dx
=
v
dv
=
−
⌠
⌠
2 2 ,
⌡
⌡
x0
v0
que por sua vez dá a dependência da velocidade v relativamente à posição, v = v(x):
x
2
v2 = v2(x) = v0 + 2 ⌠ a(x) dx.
(1.9)
⌡
x0
Separando então as variáveis em (1.5) (t no membro da esquerda e x no membro da
direita),
dx
dt = v(x) ,
(1.10)
e integrando entre o instante inicial (t = 0, x = x0) e um instante genérico (t, x) obtémse
t
x dx
t = ⌠ dt = ⌠ v(x) ≡ A(x),
⌡
⌡
0
x0
Esta expressão permite determinar a dependência de x em relação a t:
(1.11)
x = x(t) = A−1(t),
(1.12)
em que A−1 é a função inversa da função A obtida em (1.11).
(iii) (*) Caso de a = a(v).
Uma vez que, tal como anteriormente, se tem a = dv/dt e a = dv/dx v, é possível neste
caso começar por proceder a uma das duas separações de variáveis seguintes:
dv
dt = a(v) ,
(1.13)
v dv
dx = a(v) .
(1.14)
Optando pela integração de (1.13), resulta
t
v dv
t = ⌠ dt = ⌠ a(v) ≡ B(v),
⌡
⌡
0
v0
(1.15)
que caracteriza a variação da velocidade (v) no tempo (t):
v = v(t) = B−1(t),
(1.16)
em que B−1 é a função inversa da função B obtida em (1.15). Com este resultado,
procede-se então à integração no tempo de (1.5), que conduz a x = x(t), exactamente
como em (1.7) do caso (i).
Se, alternativamente, se optar por começar por integrar (1.14) obtém-se
v v dv
x
x = x0 + ⌠ dx = x0 + ⌠ a(v) = C(v),
⌡
⌡
x0
v0
(1.17)
que caracteriza a var:iação de v relativamente a x:
v = v(x) = C−1(x),
(1.18)
em que C−1 é a função inversa da função C obtida em (1.17). Obtido este resultado,
utiliza-se então precisamente a separação de variáveis (1.10) e a integração (1.11) da
segunda integração do caso (ii), para se obter x = x(t).
Exemplo E.1.1. (*) Oscilador linear.
Uma partícula de massa m = 4 kg, ligada a uma mola de comportamento elástico linear com
constante de rigidez K desconhecida, é libertada com velocidade 5 cm/s na configuração de
equilíbrio, em que o alongamento é nulo. Sabendo que a velocidade da partícula se anula
quando o alongamento da mola é de 1 cm, determine a rigidez K.
Figura E.1.1
Resolução
A única força que actua na partícula é a força de restituição elástica da mola que é
proporcional e oposta ao alongamento da mola. Pela lei de Newton, a equação do movimento
deste sistema tem a forma
−Kx=ma
pelo que
K
a = a(x) = − m x,
que se insere no Caso (ii) acima. Então a separação de variáveis (1.8) e a integração entre os
valores no instante inicial (x0 = 0 cm, v0 = 5 cm/s) e os valores no instante em que a
velocidade se anula (x1 = 1 cm, v1 = 0 cm/s) conduz a
K x1
K x2 x1
− m ⌠ x dx = − m  2 
⌡
 x
0
x0
2
2
2
K x1
K x1 x0


=−m 2 − 2 =−m 2


v1
v dv =
⌠
⌡
v0
2
2
2
2
v0
v  v1 v1 v0
2 = 2 − 2 = − 2
 v
0
Igualando os dois últimos resultados obtém-se:
2
v0
K = m x  = 4 × 52 = 100 kg s−2 = 100 N m−1
 1
Exemplo E.1.2. (*) Amortecedor linear
Uma partícula de massa m = 4 kg, ligada a um amortecedor de comportamento linear com
constante de amortecimento C, é libertada com velocidade v0 na configuração x0 = 0.
Determinar:
a) a evolução da velocidade com o tempo;
b) a evolução do espaço percorrido com o tempo;
c) a relação entre a velocidade e o espaço percorrido.
Figura E.1.2
Resolução
a) A única força que actua na partícula é a força do amortecedor, que é proporcional e oposta
à velocidade da partícula. Pela lei de Newton, a equação do movimento deste sistema tem a
forma
−Cv=ma
pelo que
C
a = a(v) = − m v,
(E.1.2.a)
que se insere no Caso (iii) acima. Dado que se deseja determinar em primeiro lugar a variação
de v com t, optamos pela integração de (1.12), que neste exemplo é:
t
v dv
m v dv
m
m v
t = ⌠ dt = ⌠ C = − C ⌠ v = − C [ln v] vv = − C ln v .
⌡
⌡
⌡
0
0
−mv
v0
0
v0
Assim [ver Figura E.1.2 (a)] a velocidade decresce exponencialmente de acordo com a lei:
 C 
v(t) = v0 exp − m t.


(E.1.2.b)
b) A integração no tempo de (E.1.2.b) entre t = 0 e um instante genérico t é imediata:
t
t
m v0 
 C 
 C  t m v0 
 C 
x(t) = ⌠ v(t) dt = v0 ⌠ exp − m t dt = − C  exp − m t = C  1 − exp − m t.



 0


⌡
⌡


0
0
Esta solução mostra que a trajectória se aproxima assimptoticamente do valor mv0/C [ver
Figura E.1.2 (b)].
Figura E.1.2 (a)
Figura E.1.2 (b)
c) O resultado desejado resulta directamente da integração (1.17) atendendo a (E.1.2.a):
x
v v dv
m v
m
x = ⌠dx = ⌠ C = − C ⌠dv = − C (v − v0),
⌡
⌡
⌡
− v
v0
0
v0 m
pelo que a velocidade depende linearmente de x [ver Figura E.1.2 (c)]
C
v(x) = v0 − m x.
Note-se que x se aproxima de mv0/C e v de 0 quando t → ∞: o ponto (mv0/C, 0) na Figura
E.1.2 (c) só é atingido após um intervalo de tempo infinito.
Figura E.1.2 (c)
Exemplo E.1.3.
Dois corpos A e B estão unidos por um fio inextensível que passa por três roldanas C, D e E,
como se mostra na Figura E.1.3. As roldanas C e E são fixas e a roldana D desce com uma
velocidade constante de 3 m/s. Num certo instante o bloco A começa a descer com velocidade
nula a partir da posição A0, atingindo a posição A1, 8 m abaixo, com uma velocidade de 12
m/s.
Para o instante em que o bloco A passa por A1, determinar, para o bloco B:
(a) a variação da altura,
(b) a velocidade,
(c) a aceleração.
Resolução
Designando por sA o comprimento de cabo entre a roldana C e o bloco A, por sB o
comprimento de cabo entre a roldana E e o bloco B, e por sD, o comprimento de cabo entre as
roldanas C ou E e a roldana D, a inextensibilidade do cabo traduz-se por
sA + sB + 2 sD = constante,
(E.1.3.a)
o que implica que as variações de comprimento das várias partes, bem como as suas primeiras
e segundas derivadas em ordem ao tempo satisfaçam
Figura E.1.3
∆sA + ∆sB + 2 ∆sD = 0,
ṡA + ṡB + 2 ṡD = 0,
˙˙
s A + ˙˙
s B + 2 ˙˙
s D = 0.
(E.1.3.b)
(E.1.3.c)
(E.1.3.d)
A informação disponível é a de que ∆sA = 8 m, ṡA0 = 0, ṡA1 = 12 m/s, ˙˙
s A = constante, ṡD = 3
˙˙
m/s, s D = 0. Para obter os resultados (a), (b) e (c) observe-se que:
(a) De (E.1.3.b) e do conhecimento de ∆sA resulta que, para determinar ∆sB, é preciso calcular
primeiro ∆sD, o que, por sua vez, como a velocidade da roldana D é constante, requer o
conhecimento do intervalo de tempo durante o qual o corpo A passou de A0 para A1.
(b) De (E.1.3.c) e do conhecimento do valor constante de ṡD e do valor de ṡA1 é possível
determinar de imediato o valor de ṡB1.
(c) De (E.1.3.d), do conhecimento de que ˙˙
s D = 0 e de que ˙˙
s A é constante, resulta que ˙˙
sB
também é constante e que a sua determinação depende apenas da determinação prévia do
valor de ˙˙
s A.
Começando pelo resultado mais simples (b), a aplicação de (E.1.3.c) conduz a
ṡB1 = − ṡA1 − 2 ṡD = − 12 − 2 × 3 = − 18 m/s.
Resolvendo seguidamente (c), fazendo uso de (1.9), obtém-se:
sA1
(ṡA1)2 = (ṡA0)2 + 2 ˙˙
s A ⌠ ds = 2 ˙˙
s A ∆sA.
⌡
sA0
Logo
(ṡA1)2 122
˙˙
sA =
=
= 9 m/s2
2 ∆sA 2 × 8
e, de (E.1.3.d),
˙˙
s B = − 9 m/s2.
Para finalmente resolver a alínea (a), note-se que a aceleração de A e a velocidade de D,
ambas constantes, permitem calcular:
ṡA1 − ṡA0 12 4
= 9 = 3 s,
˙˙
sA
4
∆sD = ṡD ∆t = 3 × 3 = 4 m,
∆t =
pelo que, de (E.1.3.b):
∆sB = − ∆sA − 2 ∆sD = − 8 − 2 × 4 = −16 m.
1.1. Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial, radial e transversal.
→
→
Componentes normal e tangencial. Considere-se a trajectória x = x (t) de uma partícula com
movimento plano (Figura 1.2). A curva descrita no plano pela partícula está parametrizada
pela variável tempo. A velocidade da partícula é a derivada da posição da partícula em ordem
ao tempo, definida matematicamente pelo limite
→
→
v (t) = lim
∆t → 0
→
x (t + ∆t) − x (t)
∆t
que, se for diferente de zero, é tangente à trajectória cujo versor unitário se pode calcular por
→
v
.
(1.19)
|v |
A trajectória também pode ser parametrizada por uma variável s = s(t) que representa o
comprimento de arco percorrido ao longo da trajectória:
→
et
def t →
s(t) = ⌠ |v (τ)| dτ,
⌡
0
pelo que
=
→
def
ds
→
(t)
=
|v
(t)|
= v(t),
dt
(1.20)
Figura 1.2 Trajectória curvilínea plana. Versores normal e tangencial.
ds →
→ →
→
v = |v | e t = v e t = dt e t .
→
(1.21)
A interpretação desta equação é a de que o vector velocidade é tangente à trajectória e tem
módulo igual à taxa de variação em ordem ao tempo do comprimento de arco percorrido ao
longo da trajectória.
Para determinarmos a aceleração da partícula temos de derivar a expressão anterior em
ordem ao tempo:
→
→
d v d2s → ds d e t
a = dt = dt2 e t + dt dt .
→
(1.22)
→
A derivada d e t/dt pode ser calculada por
→
→
d e t d e t ds
dt = ds dt
(1.23)
e, por definição,
→
→
→
→
det
e t(s + ∆s) − e t(s)
∆et
= lim
.
ds = ∆slim
∆s
→0
∆s → 0 ∆s
Pela Figura 1.3 observa-se que
∆θ 
∆θ →
∆θ → 
→
∆ e t = 2 sen 2 − sen 2 e t + cos 2 e n,


Figura 1.3 Variação dos versores normal e tangente ao longo da trajectória
e, dividindo pelo comprimento de arco ∆s,
∆θ
sen 2
∆θ →
∆θ → 

− sen 2 e t + cos 2 e n,
=
∆s
∆s 

2
→
∆et
(1.24)
→
em que, admitindo que a trajectória náo é recta na vizinhança do ponto considerado, e n é o
vector unitário que existe no plano do movimento, é perpendicular à trajectória e aponta para
a concavidade da mesma. Atendendo então a que
∆θ
∆θ
lim sen 2 = 0,
lim cos 2 = 1,
∆θ → 0
∆θ → 0
∆θ
sen 2
∆θ def 1
lim
= lim
=
,
∆s
ρ
∆s → 0 ∆s
∆s → 0
2
(1.25)
(1.26)
em que 1/ρ é a curvatura e ρ o raio de curvatura da trajectória no ponto considerado, obtémse
→
det 1 →
ds = ρ e n .
(1.27)
O ponto C (ver Figura 1.2) situado sobre a linha perpendicular à trajectória em P, à distância
ρ do ponto P, do lado da concavidade da trajectória, designa-se por centro de curvatura da
trajectória no ponto P. Por outro lado, podemos definir o escalar (módulo da) velocidade
angular do movimento de rotação da partícula em torno de C, que se relaciona com a
velocidade linear e a curvatura por
def
∆s
∆θ
∆θ
= lim
lim
∆t → 0 ∆t
∆s→ 0 ∆s ∆t → 0 ∆t
v
ω= .
ω = lim
ρ
(1.28)
(1.29)
Coligindo os resultados (1.19), (1.20), (1.24), (1.17) e (1.26) vem, finalmente
d2s → 1 ds2 →
a = dt2 e t +  dt  e n
ρ 
dv → v2 →
= dt e t + e n
ρ
dv →
→
= dt e t + ω2ρ e n .
→
(1.30)
A aceleração de uma partícula com movimento curvilíneo tem pois duas parcelas: uma
parcela tangente à trajectória, igual à segunda derivada em ordem ao tempo do comprimento
de arco percorrido ao longo da trajectória (derivada do módulo da velocidade em ordem ao
tempo) e uma parcela normal, dirigida para o centro de curvatura, que se designa por
aceleração centrípeta e que é tanto maior quanto for a velocidade v da partícula e a
curvatura (1/ρ) da sua trajectória.
É muito importante observar que a definição em (1.26) de curvatura num ponto de uma
trajectória curva, 1/ρ = lim∆s→0 (∆θ/∆s) = dθ/ds generaliza, para pontos de trajectórias não
necessariamente circulares, a bem conhecida relação ds = ρ dθ, entre o comprimento de arco
elementar, o raio de curvatura e o ângulo ao centro elementar. Consequentemente, a validade
da relação entre velocidade linear, velocidade angular e raio de curvatura, v = ω ρ, bem
conhecida dos movimentos circulares, é também estendida a pontos de outras trajectórias
curvas.
Exemplo E.1.4
Um pino P move-se ao longo das ranhuras de dois cursores A e B, que por sua vez se
deslocam ao longo de duas calhas, uma horizontal e outra vertical, respectivamente (ver
Figura E.1.4). No instante representado na figura, o cursor A tem velocidade para a direita de
0.2 m/s que decresce à taxa de 0.75 m/s em cada segundo. No mesmo instante o cursor B
move-se para baixo com uma velocidade de 0.15 m/s que decresce à taxa de 0.5 m/s em cada
segundo. No instante considerado, determine o raio de curvatura da trajectória seguida por P e
localize o respectivo centro de curvatura.
P
B
A
Figura E.1.4
Exemplo E.1.5.
Um lançador de peso lançou o peso a uma distância na horizontal de 6 m. Sabendo que a
altura do chão a que o peso foi lançado foi de 1.8 m e que o ângulo α0 da direcção de
lançamento com a horizontal foi de 30º, determinar a velocidade inicial v0 do peso. Indicar,
justificando cabalmente, qual o é ponto da trajectória do peso com a máxima curvatura.
Figura E.1.5
Resolução.
Uma vez que a aceleração da gravidade é vertical, o movimento do peso na horizontal é um
movimento uniforme com velocidade constante igual à componente horizontal v0 cos α0 da
velocidade inicial. Designando por t1 o instante (desconhecido) em que o peso atinge o chão e
por x1 = 6 m o espaço percorrido na horizontal a partir de x0 = 0, tem-se:
x1 = x0 + (v0 cos α0) t1 = (v0 cos α0) t1
(E.1.5.a)
Por outro lado, designando por y0 = 1.8 m a altura inicial do peso, o movimento na vertical
tem aceleração para baixo constante g, velocidade inicial v0 sen α0 e atinge a altura do chão y1
= 0 no instante t1:
1 2
0 = y1 = y0 + (v0 sen α0) t1 − 2 g t1.
(E.1.5.b)
As equações (E.1.5.a) e (E.1.5.b) constituem um sistema de duas equações com duas
incógnitas, t1 e v0. Começamos por obter t1 em (E.1.5.a)
t1 =
x1
v0 cos α0
que substituimos em (E.1.5.b):
2
0 = y0 + (v0 sen α0)
x1
1  x1 
−2g

v0 cos α0
v0 cos α0
pelo que:
v0 =
x1
cos α0
g
.
2 (y0 + x1 tg α0)
Substituindo os dados numéricos nesta expressão obtém-se o resultado:
6
v0 = cos30
9.81
2 (1.8 + 6 tg30) = 6.69 m/s.
No que respeita ao ponto da trajectória com maior curvatura (1/ρ), esse ponto é aquele onde o
raio de curvatura (ρ) é mínimo. Uma vez que a aceleração centrípeta é dada por an = v2/ρ, um
mínimo de ρ = v2/an é atingido num ponto da trajectória se, nesse ponto se tiver
simultaneamente um mínimo da velocidade e um máximo da aceleração centrípeta. Ora, uma
vez que na horizontal o movimento é uniforme (vx = v0 cos α0), o quadrado da velocidade da
2
partícula é dado, pelo teorema de Pitágoras, por v2 = (v0 cos α0)2 + vy , que é sempre maior ou
igual a (v0 cos α0)2 e só se reduz a esse valor quando vy = 0, isto é, no ponto mais alto da
trajectória em que a velocidade é horizontal. Por outro lado, em todo a trajectória do peso, o
→
→
vector aceleração é constante e igual à aceleração da gravidade a = − g e y. É este vector
constante que em qualquer ponto da trajectória se decompõe nas parcelas tangencial e normal.
A parcela normal (centrípeta) é máxima e igual à aceleração da gravidade se tiver a direcção e
sentido desta, o que só acontece no ponto mais alto da trajectória. Pelas duas razões indicadas,
o ponto da trajectória com maior curvatura é o ponto mais alto da trajectória.
Componentes radial e transversal. Considere-se uma partícula que se move no plano e que,
para descrever o seu movimento, se utilizam coordenadas polares (ver Figura 1.4): uma
coordenada radial r que é o módulo do vector de posição da partícula no referencial "fixo" e
uma coordenada transversal que é o ângulo θ formado pelo vector de posição da partícula
com o eixo das abcissas do referencial "fixo". O vector de posição da partícula escreve-se
assim:
→
→
x = r e r.
(1.31)
Figura 1.4 Coordenadas polares, versores radial e transversal e sua variação
→
→
→
É importante notar que o versor radial e r e o versor transversal e θ (ortogonal a e r e com
→
→
sentido
correspondente a θ crescente) dependem apenas da coordenada θ : ∂ e r/∂r = ∂ e θ/∂r =
→
0 . Então, a velocidade de uma partícula calcula-se por:
→
→
→
d x dr →
der
der
→
v = dt = dt e r + r dt = ṙ e r + r
θ̇ .
dθ
→
De modo análogo a (1.24) tem-se
∆θ
sen 2
∆θ →
∆θ → 

− sen 2 e r + cos 2 e θ
=
∆θ
∆θ 

2
→
∆er
e, devido a (1.25),
(1.32)
→
der →
= eθ .
dθ
(1.33)
Uma demonstração semelhante conduziria, por outro lado, a
→
deθ
→
= − er .
dθ
(1.34)
A velocidade da partícula em coordenadas polares vale pois:
→
→
→
v = ṙ e r + rθ̇ e θ .
(1.35)
A correspondente expressão da aceleração obtém-se derivando esta última expressão em
ordem ao tempo:
→
→
der
deθ
→
→
a = ˙˙
r
+ ṙ
θ̇ + ṙ θ̇ e θ + r˙˙
θ e θ + rθ̇
θ̇
dθ
dθ
→
→
→
→
→
= ˙˙
r e r + ṙ θ̇ e θ + ṙ θ̇ e θ + r˙˙
θ e θ − rθ̇ 2 e r.
→
→
er
→
→
→
a = (˙˙
r − r θ̇ 2) e r + (r˙˙
θ + 2ṙθ̇ ) e θ.
→
(1.36)
→
Observe-se que as expressões particulares de v e a para os movimentos rectilíneo (ao longo
de um raio) ou circular (em torno da origem do referencial fixo, r = constante) são as
esperadas:
−
−
→
→
movimento rectilíneo radial:
v = ṙ e r ,
→
→
movimento circular:
v = rθ̇ e θ ,
→
→
a = ˙˙
r e r;
→
→
2→
a = − r θ̇ e r + r˙˙
θ eθ
(centrípeta) (tangente)
Exemplo E.1.6.
Uma bomba centrifugadora com veios radiais (ver Figura E.1.6) roda a velocidade angular
constante θ̇ = K. Considere-se um elemento do fluido bombeado como uma partícula que é
introduzida sem velocidade radial no instante inicial t = 0, numa posição em que o raio é r0 e
o ângulo θ0 é nulo. A partícula move-se para fora sem atrito ao longo de um veio. Uma vez
que na partícula não actua qualquer força na direcção radial a sua aceleração nessa direcção é
nula. Nestas circunstâncias determine (em coordenadas polares) a trajectória descrita pela
partícula desde a entrada na bomba até à sua saída.
Resolução
A ausência de forças de atrito na direcção radial implica, pela lei de Newton, que a aceleração
radial seja nula:
ar = ˙˙
r − r θ̇ 2 = 0,
isto é,
˙˙
r = K2 r.
(E.1.6.a)
Esta equação exige que as suas soluções sejam funções do mesmo tipo do das suas segundas
derivadas. A função exponencial é uma boa candidata para o efeito. Substituindo em (E.1.6.a)
Figura E.1.6
r(t) = A eΛt ,
(E.1.6.b)
com A e Λ constantes a determinar, obtém-se a equação
(Λ2 – K2) A = 0.
Para que a solução não seja trivial (A ≠ 0), tem-se necessariamente
Λ = ± K.
(E.1.6.c)
A solução geral de (E.1.6.a) é então uma combinação linear de dois termos da forma (E.1.6.b)
com Λ igual aos valores em (E.1.6.c):
r(t) = A eKt + B e−Kt.
(E.1.6.d)
As constantes A e B determinam-se pelas condições iniciais:
r(0) = r0, ṙ(0) = 0.
(E.1.6.e)
Uma vez que ṙ(t) = AK eKt − BK e−Kt, a substituição em (E.1.6.e) conduz a
r0 = A + B, 0 = A – B,
isto é,
r0
A=B= 2
e
eKt + e−Kt
r(t) = r0
= r0 ch(Kt).
2
(E.1.6.f)
Como, por outro lado, a partícula de fluido acompanha o movimento de um dos veios da
bomba, que tem velocidade angular constante K, a evolução no tempo do ângulo θ da
partícula é:
θ(t) = Kt + θ0 = Kt.
(E.1.6.g)
Assim, finalmente, a trajectória tem a forma que se obtém por substituição de (E.1.6.g) em
(E.1.6.f) :
r = r0 ch(θ).
(E.1.6.h)
Exemplo E.1.7
P
B
a
Q
A
Q
a
Figura E.1.7 (a)
Um perno P desliza na calha circular fixa centrada em A e na ranhura existente na barra OB,
que, por sua vez, roda em torno do ponto O. Sabendo que a velocidade angular θ̇ da barra é
constante, mostrar que o módulo da aceleração do perno P também é constante. Determinar a
direcção e o sentido dessa aceleração. Interpretar o resultado obtido, caracterizando o
movimento de rotação do perno em torno do centro da calha circular.
Resolução
Utilizando a expressão (1.33) da aceleração em coordenadas polares tem-se, atendendo a que
θ̇ = K (constante),
→
aP
→
→
= (˙˙
r − r K 2) e r + 2ṙK e θ .
Uma observação cuidadosa da geometria do problema permite-nos concluir que o triângulo
AOP é isóceles com os lados OA e AP iguais, pelo que os ângulos opostos, (POA) e
(OPA) são ambos iguais a θ. Então
r = 2 a cosθ,
que, por derivação em ordem ao tempo, fornece, sucessivamente,
ṙ = − 2 a senθ θ̇ = − 2 a K senθ
˙˙
r = − 2 a K cosθ θ̇ = − 2 a K2 cosθ.
Então a aceleração do ponto P vale
→
aP
→
→
= [− 2 a K2 cosθ − (2 a cosθ) K 2] e r + 2 (− 2 a K senθ) K e θ
→
→
= − 4aK2 (cosθ e r + senθ e θ)
e o seu módulo é de facto constante e igual a 4aK2.
Em virtude dos sinais (negativos) de ambas as componentes radial e transversal da
aceleração do ponto P, e tendo em atenção o ângulo (θ) formado com o eixo radial, conclui-se
→
que a P tem a direcção do raio AP da calha circular e o sentido de P para A. A razão para isto
de facto é simples: o perno P tem um movimento circular uniforme em torno do centro A da
calha. O ângulo que o raio AP forma com a horizontal é sempre igual a 2θ, pelo que como θ̇ é
constante e igual a K, o perno P tem um movimento de rotação em torno de A com velocidade
angular constante igual a 2θ̇ = 2K. A aceleração deste movimento circular de P em torno de A
é apenas a sua aceleração centrípeta (de P para A) com módulo igual a (2θ̇)2 a = 4aK2, como
se obteve anteriormente.
P
a
r=2
c os
a
A
Q
a
Q
Figura E.1.7 (b)
a
2.
REFERENCIAIS MÓVEIS, MUDANÇAS DE REFERENCIAL E MOVIMENTO
RELATIVO.
2.1. Referenciais ortonormados móvel e "fixo". Posições absoluta e relativa.
→F
→F
→F
→
→
→
Figura 2.1. Referencial fixo (F, e 1 , e 2 , e 3 ) e referencial móvel (O, e 1, e 2, e 3)
No estudo de alguns problemas, é muito útil a consideração de referenciais móveis. Por
exemplo, para descrever o movimento de objectos no interior de veículos em movimento,
torna-se conveniente o uso de um referencial móvel solidário com o veículo. É claro que,
conhecido o movimento do objecto em relação ao veículo, para conhecer o seu movimento
em relação a um referencial fixo (por exemplo, ligado à Terra), se torna indispensável saber
descrever o movimento do veículo (o referencial móvel) em relação à Terra (o referencial
fixo). Por outro lado, o estudo do movimento de um corpo rígido fica muito facilitado pelo
uso de um referencial móvel que acompanhe o movimento do corpo. Neste caso, por
definição de corpo rígido, as partículas do corpo não têm qualquer movimento em relação ao
referencial móvel que o acompanha. Por estas razões, o estudo da cinemática dos corpos
rígidos é precedido por esta secção dedicada a referenciais móveis.
Considere-se, num certo instante t, uma partícula P e dois referenciais ortonormados
→F →F →F
→ → →
directos, em que um deles é fixo (F, e 1 , e 2 , e 3 ) e o outro é móvel (O, e 1, e 2, e 3), como se
→F
representa na Figura 2.1. O referencial fixo tem origem em F e vectores de base e i enquanto
→
→
que o referencial móvel tem origem em O e vectores de base e i. Designa-se por x a posição
→
absoluta da partícula (vector de posição relativamente ao ponto fixo F) e por r a posição
relativa da partícula em relação à origem de referencial móvel O. Como se pode observar na
figura, estas duas posições estão relacionadas por
→
→
→
x = xO + r ,
(2.1)
→
em que x O representa o vector de posição da origem do referencial móvel (no referencial
fixo).
→
A velocidade absoluta v de uma partícula P obtém-se por derivação em ordem ao
tempo das duas parcelas da equação (2.1),
→
→
→
→
v = x˙ = x˙ O + r˙ .
(2.2)
→
Dado que, em princípio, as componentes de r são conhecidas no referencial móvel, tem-se
→
3
→
r = iΣ
r e i,
=1 i
(2.3)
→
→
r = Σ ṙi e i + Σ ri e˙ i,
(2.4)
e, consequentemente,
→
˙
→
→
uma vez que tanto as componentes ri de r˙ como os vectores de base e˙ i, do referencial móvel
podem variar no tempo. No caso particular de um corpo rígido rigidamente ligado ao
referencial móvel, (2.4) reduz-se a:
→
˙
→
r = Σ ri e˙ i,
(2.5)
→
e˙ i
Para prosseguir este estudo, é necessário calcular as derivadas
dos vectores de base
do referencial móvel em ordem ao tempo. Para o efeito (ver Figura 2.2) considere-se, além do
→
→
→
→
→
→
referencial móvel (O, e 1, e 2, e 3), um outro referencial (O, e 1' , e 2' , e 3' ) também centrado
em O e de eixos paralelos ao referencial fixo, de tal modo que
→
→F
→
→F
→
→F
e 1' = e 1 , e 2' = e 2 , e 3' = e 3 .
O
Figura 2.2. Dois referenciais ortonormados
(2.6)
2.2 Transformação dos vectores de base. Transformações ortogonais
→
→
→
→
A componente de um vector qualquer →
w segundo um vector e p' da base ( e 1' , e 2' , e 3' )
é dada por
→
wp' = →
w . e p' ,
pelo que o vector →
w se pode escrever na forma
3
→
→ →' →'
→ →' →'
→ →' →'
→ →' →'
w ' e p' = Σ (w
. e p) e p = (w
. e 1) e 1 + (w
. e 2) e 2 + (w
. e 3) e 3
w = pΣ
=1 p
→
→
→
→
→
→
→
Do mesmo modo, os vectores de base e 1, e 2 e e 3 podem escrever-se na base ( e 1' , e 2' , e 3' )
na forma
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
e 1 = ( e 1 . e 1' ) e 1' + ( e 1 . e 2' ) e 2' + ( e 1 . e 3' ) e 3'
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
e 2 = ( e 2 . e 1' ) e 1' + ( e 2 . e 2' ) e 2' + ( e 2 . e 3' ) e 3'
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
e 3 = ( e 3 . e 1' ) e 1' + ( e 3 . e 2' ) e 2' + ( e 3 . e 3' ) e 3'
(2.7)
Definindo os coeficientes
→
→
→
→
→
→
→
→
Aip = ( e i , e p' ) = | e i | | e p' | cos ( e i , e p' ) = cos ( e i , e p' )
e agrupando-os numa matriz que se designa por matriz de Lamé, ou matriz dos co-senos
directores, ou ainda matriz da transformação,
[A] = [Aip],
(2.8)
o sistema de equações (2.7) pode escrever-se nas formas equivalentes
→
→
ei=Σ
Aip e p' ,
p
→
(2.9)
→
{ e } = [A] { e '},
(2.10)
→
→
→
→
em que nas matrizes-coluna { e } e { e '} se agrupam os vectores de base e i e e p' ,
respectivamente,

→
{e}=

→

→
e2 
→ 
e3 
e1

→
{ e '} = 

→
e 1'

.
→ 
e 3' 
→
e 2'
(2.11)
→
No que se refere à transformação inversa, o vector de base e 1' , por exemplo, escreve-se na
outra base:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
e 1' = ( e 1' . e 1) e 1 + ( e 1' . e 2) e 2 + ( e 1' . e 3)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
= ( e 1 . e 1' ) e 1 + ( e 2 . e 1' ) e 2 + ( e 3 . e 1' ) e 3
→
→
→
= Σ ( e i . e 1' ) e i
i
→
= Σi Ai1 e i .
É fácil concluir que a transformação inversa de (23), (24) é dada por
→
→
e p' = Σi Aip e i,
→
T
(2.12)
→
{ e '} = [A] { e }.
(2.13)
As equações (2.9) - (2.13) permitem interpretar o conteúdo das linhas e das colunas da matriz
[A]. Como se sugere na Figura 2.2, as linhas da matriz [A] são as componentes dos vectores
→
→
→
→
de base e i na base ( e 1' , e 2' , e 3' )
enquanto que as colunas da matriz [A] são as
→
→
→
→
componentes dos vectores de base e p' na base ( e 1, e 2, e 3).
→
e1→
→
e 2→
→
e3→
→
→
→
e 1' e 2' e 3'
↓ ↓ ↓
A11 A12 A13

 A21

 A31

A23 

A33 
A22
A32
Figura 2.3. Conteúdo das linhas e das colunas da matriz dos co-senos directores
→
→
→
→
→
→
Uma vez que tanto a base ( e 1, e 2, e 3) como a base ( e 1' , e 2' , e 3' ) são ortonormadas
tem-se
→
→
e i . e j = δij,
→
→
e p' . e q' = δpq.
(2.14)
Então, como
→
→
→
→
e i . e j = (Σ
Aip e p' ) . (Σ
Ajq e q' ) = Σ
Σ Aip ( e→p' . e→q' ) Ajq = Σp Σq Aip δpq Ajq = Σp Aip Ajp,
p
q
p q
pode-se concluir que
Σp Aip Ajp = δij,
(2.15)
que se escreve em notação matricial na forma
[A] [A]T = [δ].
(2.16)
Analogamente,
→
→
→
→
→
→
e p' . e q' = (Σi Aip e i) . (Σj Ajq e j) = Σi Σj Aip Ajq ( e i . e j) = Σi Σj Aip Ajq δij = Σi Aip Aiq = δpq
(2.17)
e pode-se concluir, em notação matricial:
[A]T [A] = [δ].
(2.18)
As relações (2.15, 2.16) e (2.17, 2.18) designam-se por relações de ortogonalidade e as
transformações cujas matrizes as satisfazem dizem-se transformações ortogonais. Das
equações (2.16) e (2.18) pode-se concluir que uma transformação é ortogonal se e só se a sua
inversa coincidir com a sua transposta, isto é,
[A]−1 = [A]T.
Por outro lado, como o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos
determinantes das matrizes e como o determinante da transposta de uma matriz é igual ao
determinante da matriz, obtém-se
det ([A]T [A]) = det [A] det [A]T = (det [A])2 = 1,
de onde resulta que as transformações ortogonais satisfazem:
det [A] = ± 1.
(2.19)
Designam-se por transformações ortogonais próprias aquelas em que det [A] = + 1. Só nesse
caso se tem uma rotação do sistema de eixos (ambos os referenciais directos ou ambos
inversos). Nas transformações ortogonais impróprias (det [A] = − 1) há uma rotação seguida
da inversão do sentido positivo de 1 ou 3 dos vectores de base.
Exemplo E.2.1
Figura E.2.1
→
→
→
Dado um referencial ortonormado directo (O, e 1, e 2, e 3), considere um novo referencial (O,
→
→
→
e 1' , e 2' , e 3' ) que se obtém do primeiro por duas rotações sucessivas, por esta ordem: 1ª): de +
π/2 em torno do eixo 1; (2ª): de + π/4 em torno do eixo 2, na posição em que este ficou depois
da primeira rotação.
a) Determinar as matrizes de transfor-mação correspondentes a cada uma das rotações
sucessivas.
→
→
b) Determinar a matriz de transformação que traduz a transformação e i → e j' a partir das da
alínea anterior e confirmar o resultado por cálculo directo a partir da representação dos
dois referenciais.
c) Verificar condições de ortogonalidade e determinante e identificar a matriz que representa
a transformação inversa.
Exemplo E.2.2
Da matriz dos cosenos directores [A] relativa a uma transformação entre os referenciais
→ → →
→
→
→
ortonormados (O, e 1, e 2, e 3) e (O, e 1' , e 2' , e 3' ), conhecem-se apenas os elementos indicados
→
→
→
→
→
→
no quadro ao lado. Escreva os vectores de base e 1' , e 2' e e 3' em função de e 1, e 2 e e 3.
Represente graficamente os resultados obtidos.
1
− 2
 .
[A] =

 .
.
.
−1

1 
−
2 
. 
.
2.3 Velocidade angular do referencial móvel
Derivando as leis de transformação (2.9) em ordem ao tempo, observando que os
vectores de base do referencial fixo são independentes do tempo e utilizando as leis de
transformação (2.12) obtém-se, sucessivamente,
→
→F
→
e˙ i = Σj A˙ij e j = Σj A˙ij Σ
Akj e k = Σ
(Σj Akj A˙ij) e→k
k
k
(2.20)
Este resultado pode ser escrito na forma
→
→
e˙ i = Σ
Ωki e k,
k
(2.21)
se se definir a matriz das velocidades angulares do referencial móvel [Ω] por
Ωki = Σj Akj A˙ij
(2.22)
[Ω] = [A] [Ȧ]T.
(2.23)
isto é,
Antes de se discutir o significado físico desta matriz, observe-se que ela é antisimétrica. De facto, derivando as relações de ortogonalidade (2.16) em ordem ao tempo
obtém-se
[A] [Ȧ]T + [Ȧ] [A]T = [0],
(2.24)
o que, à luz da definição (2.23), conduz a
[Ω] + [Ω]T = [0],
(2.25)
[Ω] = − [Ω]T.
(2.26)
isto é,
A matriz [Ω] pode, portanto, escrever-se na forma
 0
[Ω] =  Ω21
 −Ω13
−Ω21 Ω13

−Ω32 ,
0
Ω32
0

(2.27)
em que se escolheram, como componentes independentes da matriz anti-simétrica [Ω] as três
componentes Ω32, Ω13 e Ω21. Dado que, no espaço tridimensional, o número de componentes
independentes de uma matriz anti-simétrica é igual ao número de componentes de um vector
no mesmo
espaço, aquelas componentes independentes podem ser utilizadas para definir um
→
vector Ω que se designa por vector axial (ou dual) da matriz anti-simétrica [Ω], tal que a
equação (2.21) se pode escrever na forma equivalente:
→
→
→
e˙ i = Ω × e i,
(2.28)
→
→
Para determinar a relação entre as componentes de Ω e de [Ω] para que o resultado e˙ i em
→
(2.21) e em (2.28) seja o mesmo, observe-se em (2.21) que Ωki é a componente k de e˙ i, isto é,
→
→
Ωki = e k . e˙ i
(2.29)
→
Fazendo também o produto interno de (2.28) por e k, obtém-se
→
→
→
→
→
→
→
→
e k . e˙ i = e k . Ω × e i = Ω . e i × e k
isto é,
→
→
→
Ωki = Ω . e i × e k .
Consequentemente:
(2.30)
→
→
→
→
→
Ω32 = − Ω23 = Ω→ . e 2 × e 3 = Ω→ . e 1 = Ω1
→
→
→
Ω21 = − Ω12 = Ω
. e ×e =Ω
. e = Ω3
→ →1 →2
→ →3
Ω13 = − Ω31 = Ω . e 3 × e 1 = Ω . e 2 = Ω2
(2.31)
No caso presente, em que a matriz [Ω] é→a matriz das velocidades angulares do referencial
móvel, o correspondente vector axial Ω designa-se→ por vector velocidade angular do
referencial móvel. A interpretação física detalhada de Ω será feita na secção seguinte.
2.2 Velocidade de uma partícula cujo movimento é conhecido num referencial móvel
O resultado (2.28) permite-nos agora regressar às expressões (2.5) e (2.4) da derivada
→
→
temporal do vector de posição relativa r e da velocidade absoluta v . Substituindo (2.28) em
(2.5) obtém-se, atendendo à propriedade distributiva do produto externo em relação à soma
→
vectorial e à decomposição (2.3) de r :
→
˙
→
→
→
→
→
→
r = Σ ṙi e i + Σ ri ( Ω × e i) = Σ ṙi e i + Ω × Σ ri e i,
→
→
→
→
r˙ = Σ ṙi e i + Ω × r .
(2.32)
Finalmente, a introdução de (2.31) em (2.4) permite escrever
→
→
→
→
→
v = x˙ = x˙ O + Σ ṙi e i + Ω × r .
→
(2.33)
Isto significa que a velocidade da partícula P é a soma de três contribuições distintas. A
primeira parcela designa-se por parcela de translação, é dada por
→transl
v
→
= x˙ O
(2.34)
e é devida à variação no tempo da posição da origem do referencial. Note-se que, na ausência
das outras parcelas, a velocidade da partícula P seria igual à da origem do referencial, o que
motiva a designação desta parcela. A segunda parcela designa-se por parcela de velocidade
relativa, é dada por
→rel
v
→
= Σ ṙi e i
(2.35)
e é devida à variação da posição relativa da partícula em relação ao referencial móvel, isto é, à
→
variação no tempo das componentes ri de r no referencial móvel. A terceira e última parcela
designa-se por parcela de rotação, é dada por
→rot
v
→
→
= Ω × r.
(2.36)
e é devida à variação no tempo da posição angular (rotação) dos eixos do referencial móvel,
isto é [recordar (2.23), (2.29) e (2.30)], está associada à possível existência de derivadas não
→
nulas dos vectores de base e dos respectivos cosenos directores ( ė i e A˙ij).
→transl
→rot
Note-se ainda que as duas parcelas v
e v resultam ambas do movimento do
referencial móvel. Na ausência de movimento relativo da partícula em relação ao referencial
→
→
móvel ( v rel = 0 ), a sua velocidade resultaria exclusivamente do transporte da partícula pelo
referencial, razão pela qual se designa a soma destas parcelas por velocidade de transporte.
Pode então escrever-se o vector velocidade na forma
→
→
→
v = v rel + v transp,
(2.37)
→
em que v rel é dada por (2.35) e
→transp
v
→
→
→
→
→
= v transl + v rot = x˙ O + Ω × r .
(2.38)
Resta agora interpretar mais detalhadamente a parcela de rotação da velocidade da
partícula e justificar completamente as designações de vector →velocidade angular do
referencial e matriz das velocidades angulares do referencial para→Ω e [Ω], respectivamente.
→
Dado que as outras contribuições para v são independentes de Ω , admitamos que elas são
nulas e que, portanto,
→
→
→
→
v = v rot = Ω × r .
(2.39)
→
→
→
Decompondo r em duas parcelas, uma paralela a Ω e outra ortogonal a Ω , tem-se (ver Figura
2.3)
→
→
→
→
r = OP = OC + CP,
(2.40)
e a velocidade da partícula P vem dada por
→
→
→
→
→
→
v = Ω × (OC+CP) = Ω × CP.
Figura 2.3. Vector velocidade angular do referencial móvel
(2.41)
→
→
Como, por construção, CP é perpendicular a Ω , o lugar geométrico dos pontos que
acompanham o movimento
do referencial móvel e têm velocidade nula é o conjunto
dos
→
→
pontos para os quais |CP| = 0, isto é, a recta que passa por O e tem a direcção de Ω . Essa recta
é pois, por definição, o eixo instantâneo de rotação para o movimento de rotação do
referencial .
→
→
Da equação (2.41) pode-se→ concluir que a velocidade v : (i) é ortogonal a Ω , (ii) é
ortogonal ao segmento de recta CP que define a distância entre a partícula e o eixo de rotação,
(iii) tem o sentido dado pela regra do saca-rolhas e (iv) tem o módulo dado por
→
→
→
|v | = | Ω | |CP|
(2.42)
Esta última equação tem uma forma idêntica à bem conhecida expressão [recordar (1.26)]
v = Ω ρ,
(2.43)
→
que permite obter→o módulo v (= |v |) da velocidade de uma partícula,
conhecido o raio de
→
curvatura ρ (= |CP|) da sua trajectória e o módulo Ω (= | Ω |) da velocidade angular do
movimento de rotação em torno do centro de curvatura da sua trajectória.
Verifica-se assim que a velocidade de qualquer partícula que acompanhe um
→
→
→
→
→
movimento de rotação de um referencial móvel ( v = v rot, v rel = v transl = 0 ) é precisamente a
que se obtém em resultado de, instantaneamente (isto é, na vizinhança do instante
considerado quando o intervalo de tempo dessa vizinhança tende para zero), a partícula
descrever um movimento de rotação no plano ortogonal ao eixo de rotação instantânea
→
[recordar (i) e (ii)]. Este movimento é caracterizado por um vector velocidade angular Ω ,
→
ortogonal ao plano do movimento, cujo sentido se relaciona com o da velocidade v pela
regra do saca-rolhas [recordar (iii)] e cujo módulo é igual à taxa de variação em ordem ao
tempo do ângulo rodado no plano do movimento. Com efeito, de (iv) e de (2.43) resulta que
v 1 ds ds/ρ dθ
Ω = = dt = dt = dt ,
ρ ρ
(2.44)
em que ds = v dt é o comprimento elementar ao longo da trajectória da partícula e dθ = ds / ρ
é o ângulo elementar rodado (ver Figura 2.3).
Exemplo E.2.3.
Considere uma barra rígida de comprimento L, cujas extremidades O e A se deslocam ao
longo das rectas fixas ortogonais entre si que passam pelo ponto F, como se representa na
→F →F →F
→
→
→
Figura E.2.3: (F, e 1 , e 2 , e 3 ) é o referencial fixo e (O, e 1, e 2, e 3) é o referencial móvel
que acompanha o movimento da barra. Um cursor P, de coordenada y = y(t) no referencial
móvel, desloca-se ao longo da barra.
a) Determinar, em função de θ, a matriz dos cosenos directores [Aij(θ)] que relaciona os
vectores de base móveis e fixos representados na Figura E.2.3.
b) Atendendo a (2.44) e à suas restantes propriedades, determinar o vector velocidade
angular do referencial móvel representado na mesma figura.
c)
Para o exemplo da Figura E.2.3, proceder às derivações e identificações em (2.20), (2.23)
e (2.31), por forma a obter as componentes da matriz e do vector das velocidades
angulares, confirmando que estas últimas coincidem com as obtidas na alínea anterior.
d) Determinar, em função de θ = θ(t) e de y = y(t), as componentes no referencial fixo dos
→
→
→
vectores de posição "absoluta" x O, x A e x P dos pontos O, A e P. Determinar as
→
→
componentes no referencial móvel dos vectores de posição relativa r A e r P dos pontos A
e P. Verificar a compatibilidade (2.1) das duas representações das posições dos pontos A
e P.
e) Determinar as velocidades dos pontos O, A e P, por derivação em ordem ao tempo dos
→
→
→
vectores de posição x O, x A e x P cujas componentes no referencial fixo foram
anteriormente calculadas. Determinar as velocidades dos pontos A e P, utilizando o
→
→
conhecimento das suas posições relativas r A e r P. Confirmar a compatibilidade (2.33)
dos resultados obtidos pelas duas vias anteriormente indicadas e identificar as respectivas
parcelas de translação, de rotação, de transporte ou relativas.
Figura E.2.3
2.3 Derivada temporal de um vector de componentes conhecidas num referencial móvel
→
Considere-se agora um vector genérico w com componentes conhecidas no referencial
móvel,
→
→
w = Σ wi e i .
(2.45)
→
É facil de ver que o processo de obtenção da derivada em ordem ao tempo deste vector w é
→
em tudo idêntico ao usado para obter a derivada do vector de posição relativa r de
componentes ri. Pode por isso escrever-se, à semelhança de (3.26),
→
˙
→
→
→
w = Σ ẇi e i + Ω × w,
(2.46)
equação que permite obter a derivada em ordem ao tempo de um vector cujas componentes
→
no referencial móvel são conhecidas. A primeira parcela é devida à variação de w em relação
ao referencial móvel e é habitualmente designada por
→
δw
→
= Σ ẇi e i.
δt
→
→
(2.47)
→
Tal como no caso do vector r , a segunda parcela, Ω × w, é devida à rotação dos eixos do
referencial móvel em relação ao referencial fixo. Substituindo (2.47) em (2.46) obtém-se
→
˙
w=
→
δw → →
+Ω ×w.
δt
(2.48)
Chama-se a atenção para o facto de a equação (2.48) ser uma equação vectorial que,
consequentemente, pode ser expressa em qualquer referencial, isto é, os vectores que nelam
→
figuram, incluindo o vector δw/δt, podem ser expressos através das suas componentes
segundo os vectores de base de qualquer referencial. No entanto, note-se que, por exemplo, os
→
vectores de base e i que figuram em (2.46, 2.47) são os do referencial móvel, pelo que a
→
aplicação natural de (2.48) (isto é, sem exprimir os vectores de base e i noutro referencial) se
faz usando
precisamente o referencial móvel. Quer isto dizer que, em aplicações correntes,
→
→
→
tanto Ω como w são expressos no referencial móvel e o resultado ẇ também vem expresso no
referencial móvel.
2.4 (*) Aceleração de uma partícula cujo movimento é conhecido num referencial móvel
Derivando em ordem ao tempo a velocidade da partícula P, dada pela equação (2.33),
obtém-se a aceleração da partícula P
→
dv
→
a = dt
d →
→
→
→
= dt x˙ O + Σ ṙi e i + Ω × r
→
d δ r → →
→
˙˙
= x O + dt  + Ω × r 
 δt

→
→
d δ r  d Ω → → d →
→
= ˙˙
x O + dt   + dt × r + Ω × dt ( r ).
(2.49)
 δt 
(
)
Encarando as quantidades entre parênteses como vectores expressos no referencial móvel,
recorre-se à equação (2.48) para obter as suas derivadas em ordem ao tempo. Fica então
→
a=
→
˙˙
xO
→
→
→
→
δ δ r  → δ r  d Ω → → δ r → →
+   + Ω ×   + dt × r + Ω ×  + Ω × r ,
δt  δt 
 δt 
 δt

(2.50)
ou, após simplificação,
→
a=
→
˙˙
xO
→
→
→
→
→
δ2 r d Ω →
δr →
→
+ 2 + dt × r + 2 Ω ×
+ Ω × ( Ω × r ).
δt
δt
(2.51)
Estas cinco parcelas recebem as designaçõeseguintes:
(i) parcela de translação, que resulta da aceleração da origem do referencial, dada por
= ˙˙
xO ;
→transl
→
a
(2.52)
(ii) parcela de aceleração relativa, que resulta da aceleração da partícula em relação ao
referencial móvel, dada por
→rel
a
→
δ2 r
→
= 2 = Σ ˙˙
r i ei;
δt
(2.53)
(iii) parcela de aceleração angular, que resulta do facto de a velocidade angular do
referencial móvel variar no tempo, dada por
→
→ang
a
dΩ →
= dt × r ;
(2.54)
(iv) parcela de aceleração de Coriolis, que resulta da velocidade da partícula em relação
ao referencial móvel quando este está em rotação, dada por
→Cor
a
→
→
δr
→
= 2Ω ×
= 2 Ω × v rel ;
δt
→
(2.55)
(v) parcela de aceleração
centrípeta, que resulta do movimento de rotação, com
→
velocidade angular Ω , do referencial móvel, dada por
→cent
a
→
→
→
= Ω × (Ω × r ) .
(2.56)
Finalmente, note-se que as parcelas de aceleração de translação, de aceleração angular e de
aceleração centrípeta resultam exclusivamente do movimento do referencial, razão pela qual,
à semelhança do que se fez para as velocidades, se designa a soma destas três parcelas por
aceleração de transporte,
→transp
a
→transl
=a
→ang
+a
→cent
+a
=
→
˙˙
xO
→
→
dΩ → →
→
+ dt × r + Ω × ( Ω × r ).
(2.57)
3. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS
3.1. Propagação de velocidades e acelerações
Estudaremos agora a Cinemática dos Corpos Rígidos. Um corpo rígido é por definição
um sistema de partículas em que se conservam as distâncias entre todas as partículas. Esta
restrição geométrica significa que se despreza a deformação do corpo, permitindo simplificar
drasticamente a descrição do seu movimento. Embora na realidade todos os materiais se
deformem quando submetidos à acção de forças, o estudo do modelo de corpo rígido justificase porque: (i) este modelo fornece uma aproximação que conduz a bons resultados para
determinados problemas (em que a deformação dos materiais não é relevante) e (ii) este
estudo é um passo importante no processo de aprendizagem da Cinemática em geral.
As equações a que obedecem as velocidades das partículas de corpos rígidos podem ser
obtidas das equações obtidas na Secção 2.3, admitindo que o corpo rígido, cujo movimento se
pretende estudar está rigidamente ligado ao referencial móvel utilizado naquela secção.
Nestas condições, as posições das várias partículas, em relação ao referencial que acompanha
o movimento do corpo rígido, não se alteram ao longo do tempo. Ou seja, para cada partícula
P, a posição relativa
→
→
r = OP,
(3.1)
é um vector cujas componentes no referencial móvel são constantes no tempo, o que implica
→
δr
→
r˙i = 0, v rel =
= 0,
δt
→
→
(3.2)
→
Por outro lado, a velocidade angular do referencial Ω coincide com a velocidade angular ω
do corpo rígido,
→
→
Ω = ω.
(3.3)
A expressão que relaciona as velocidades de duas partículas P e O de um corpo rígido,
→
cuja velocidade angular é ω , pode então ser obtida introduzindo (3.1), (3.2) e (3.3) em (2.33):
→
vP
→
→
→
= v O + ω × OP.
(3.4)
Esta expressão, designada por expressão de propagação de velocidades de um corpo rígido,
mostra que a velocidade de um ponto P é igual a uma parcela de translação, igual à
→
→
velocidade do ponto O, v O, mais uma parcela devida à rotação, com velocidade angular ω ,
→
do ponto P em torno de um eixo paralelo a ω que passa por O (ver Figura 3.1). Como a
equação (3.4) caracteriza completamente a velocidade de qualquer partícula P do corpo
→
→
rígido, uma vez conhecidos os vectores v O e ω , verifica-se que o movimento instantâneo de
um corpo rígido livre tem seis graus de liberdade (isto é, é caracterizado por seis parâmetros
→
independentes correspondentes às três componentes da velocidade v O de um ponto qualquer
→
do corpo e às três componentes da velocidade angular ω do corpo).
Figura 3.1. Propagação de velocidades e de acelerações no interior de um corpo rígido
Obteremos seguidamente uma relação entre as acelerações de duas partículas de um
corpo rígido. Derivando a equação (3.4) em ordem ao tempo obtém-se
→
aP
=
→
aO
→
→
→
dω
dOP
→
+ dt × OP + ω × dt .
(3.5)
→
Dado que o vector OP
é igual
a diferença
entre os vectores de posição→de P e de O em relação
→
→
→
ao referencial fixo, OP = FP − FO, a derivada do vector de posição OP em ordem ao tempo é
igual à diferença das velocidades absolutas dos pontos P e O, que, por sua vez, se pode obter
de (3.4):
→
→
→
→
dOP dFP dFO → →
→
=
−
=
v
−
v
=
ω
×
OP.
P
O
dt
dt
dt
(3.6)
→
Logo, definindo o vector aceleração angular α do corpo rígido como
→
dω
→
α = dt ,
(3.7)
a equação (3.5) origina a expressão de propagação de acelerações de um corpo rígido,
→
aP
→
→
→
→
→
→
= a O + α × OP + ω × ( ω × OP).
(3.8)
Esta expressão mostra que a aceleração de um ponto P é igual à soma de uma parcela
de translação, igual à aceleração do ponto O, com outras duas parcelas
devidas ao
→
→
movimento de rotação. A parcela devida à aceleração angular, α × OP, é ortogonal à
aceleração angular, tem o sentido dado pela regra do saca-rolhas ou pela regra da mão direita,
e é, em módulo, proporcional ao módulo da aceleração angular e à distância do ponto P ao
→
eixo paralelo a α que contém O (distância DP na Figura 3.1):
→
→
→
→
→
→
→
OP = OD + DP, OD // α , DP ⊥ α ,
→
→
→
→
→
→
→
α × OP = α × (OD + DP) = α × DP
→
→
→
→
| α × OP| = | α | |DP|
.
→
→
→
A parcela de aceleração centrípeta, ω × ( ω × OP), tem a direcção e o sentido da linha que
→
que une o ponto P ao ponto mais próximo do eixo paralelo a ω que passa por O (o ponto C
da Figura 3.1) e é, em módulo, proporcional ao quadrado da velocidade angular e à distância
→
do ponto P ao referido eixo paralelo a ω que contém O (distância CP na Figura 3.1):
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
OP = OC + CP, OC // ω , CP ⊥ ω ,
→
→
→
→
→
→
→
→
ω × ( ω × OP) = ω × [ ω × (OC + CP)] = ω × ( ω × CP) = − ω2 CP
→
→
→
→
| ω × ( ω × OP)| = ω2 |CP|
→
→
geral, paralela à velocidade angular ω , pelo
Note-se que
a aceleração angular α não é, em
→
→
→
→
que α × OP não é em geral paralelo a ω × OP. Ver-se-á adiante que, no caso do movimento
→
→
plano, α e ω são paralelos entre si e ortogonais ao plano do movimento. Note-se por fim que
a expressão (3.8) também podia ter sido obtida anulando na equação (2.51), que dá a
aceleração de uma partícula cujo movimento é conhecido num referencial móvel, as parcelas
que dependem da variação
da posição
relativa [as parcelas de aceleração relativa e de
→ →Cor
→
→rel
→
2→
2
Coriolis: a = δ r /δt = 0 , a = 0 ] e deixando apenas as parcelas de transporte a transp
(2.57).
Exemplo E.3.1
Para a barra do Exemplo E.2.3., verifique que as velocidades e as acelerações das
extremidades O e A satisfazem as expressões de propagação de velocidades e acelerações
num corpo rígido:
→
aO
→
→
→
→
vO = vA + ω ×
→
→
→
→
AO
→
→
= a A + α × AO + ω × ( ω × AO).
Represente graficamente as várias parcelas. Verifique também a validade da propriedade
projectiva entre os mesmos pontos.
Exemplo E.3.2
Um ciclista imprime à roda pedaleira uma velocidade angular constante ω no sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio. No instante em que a perna JP passa pela vertical e a
coxa AJ forma o ângulo θ0 com a horizontal, determinar:
a) as velocidades angulares da coxa AJ e da perna JP;
→
b) a velocidade v J do joelho;
c) as correspondentes acelerações angulares.
Figura E.3.2
3.2. Campo Instantâneo de Velocidades de um Corpo Rígido
→
É importante verificar que a expressão de propagação de velocidades v de um corpo
rígido
→
vP
→
→
→
= v O + ω × OP
(3.9)
→
é em tudo análoga à expressão de propagação de momentos M de um sistema de forças,
→
→
→
→
MP = M
+ PO
×→
R
→O
→
= M O + R × OP.
→
(3.10)
Ou seja, o papel
desempenhado pelo vector principal R de um sistema de forças, no campo
→
de momentos M originado por essas forças, é exactamente o mesmo que o desempenhado
→
→
pela velocidade angular ω de um corpo rígido, no campo instantâneo de velocidades v desse
corpo. Por outro lado, estes campos são completamente caracterizados
pelos seus elementos
→
→
de redução num ponto genérico O: o momento resultante M O e o vector principal R , para o
→
campo de momentos de um sistema de forças; a velocidade v O e o vector velocidade angular
→
ω , para o campo instantâneo de velocidades de um corpo rígido.
Assim, todas as propriedades (estudadas na Estática) que são válidas para o campo de
momentos de um sistema de forças também são válidas para o campo de velocidades
instantâneas de um corpo rígido. Por exemplo, o campo de velocidades de um corpo rígido
goza da propriedade projectiva, isto é, para quaisquer dois pontos P e O de um corpo rígido
tem-se
→
vP
→
→
→
. OP = v O . OP,
(3.11)
→
→
→
expressão
esta que se obtém internando a equação (3.9) com OP e observando que ω × OP .
→
OP = 0. Esta propriedade projectiva mostra que são iguais as projecções das velocidades
instantâneas de dois pontos de um mesmo corpo rígido sobre a linha que os une (Figura 3.2),
uma propriedade que garante que a distância entre os dois referidos pontos não varia no
tempo. Note-se, a propósito, que é possível provar a validade de (3.11) directamente a partir
do facto de o corpo ser rígido, sem utilizar pela expressão de propagação (3.9). Basta observar
que, para um corpo rígido,
→
→
OP . OP = constante,
pelo que é nula a derivada em ordem ao tempo:
→
→
→
→ dOP
→
d → →
dOP →
dOP →
→
→
dt (OP . OP) = dt . OP + OP . dt = 2 dt . OP = 2 ( v P − v O) . OP = 0.
Por outro lado, existem duas quantidades cujo valor é independente do ponto onde são
→
calculadas. A primeira é a velocidade angular ω que, obviamente, é a mesma para todos os
pontos do corpo rígido, uma vez que, como admitido, todos os pontos acompanham o
movimento do referencial móvel. A segunda resulta
de, ao efectuar-se o produto interno da
→
→
→
→
equação (3.9) por ω , se obter (uma vez que ω × OP . ω = 0)
→
vP
→
→
→
. ω = vO .ω,
(3.12)
para quaisquer dois pontos, O e P, do corpo rígido. Desta forma, podem definir-se para o
campo instantâneo de velocidades dois invariantes, mais precisamente:
→
Invariante Vectorial : ω
→
→
Invariante Escalar : v O . ω .
(3.13)
Figura 3.2. Propriedade projectiva do campo instantâneo de velocidades de um corpo rígido
Pode também estabelecer-se uma classificação do movimento instantâneo de um corpo
rígido, correspondente aos seguintes casos de redução,
→


v


→
vO . ω ≠ 0
→
O
Rotação + Translacção Instantâneas
→
→
.ω=0
→
 ω ≠ 0
→ →
ω = 0
Rotação Instantânea
→
→
vO ≠ 0
→
→
 vO = 0
Translacção Instantânea
Repouso Instantâneo
(3.14)
O primeiro dos casos de redução consiste numa rotação + translação instantâneas ao longo
de um eixo helicoidal instantâneo, que é o lugar geométrico dos pontos onde a velocidade é
mínima e paralela à velocidade angular (Figura 3.3). Este eixo é paralelo ao vector
velocidade angular e a sua equação é idêntica à equação do eixo central de um campo de
momentos (estudada na Estática) e dada por
→
→
ω × vO
→
Q=O+
+ λ ω,
ω2
(3.15)
→
em que Q é um ponto genérico do eixo, ω representa o módulo de ω , e λ é um parâmetro real
→
arbitrário. Em todos os pontos do eixo helicoidal instantâneo a velocidade é paralela a ω , o
→
seu valor é mínimo e a sua projecção sobre ω vale
ω
v =
→
vP
→
.ω
ω
,
(3.16)
(vω é uma quantidade positiva ou negativa consoante a velocidade nos pontos do eixo
→
helicoidal instantâneo tem ou não o sentido de ω ). Em todos os outros pontos do corpo, para
→
além da componente da velocidade paralela a ω , que é sempre a mesma, adiciona-se uma
→
componente perpendicular a ω , cujo valor é proporcional à distância ao eixo helicoidal
instantâneo (ver a Figura 3.3). Sendo este o caso de redução mais geral, no qual nenhum dos
invariantes assume o valor particular zero, pode afirmar-se que o movimento instantâneo de
qualquer corpo rígido é equivalente a uma rotação em torno de um eixo em simultâneo com
uma translação ao longo desse eixo. Este resultado constitui o teorema de Chasles para
movimentos infinitesimais, sendo obviamente o eixo a que nele se faz referência o eixo
helicoidal instantâneo definido em (3.16).
O segundo caso consiste numa rotação instantânea em torno de um eixo instantâneo de
rotação, que é o lugar geométrico dos pontos onde a velocidade é mínima e nula. Este caso
pode ser encarado como o limite do caso precedente quando a componente da velocidade
→
paralela a ω é nula. Por esta razão, em todos os pontos do corpo fora do eixo instantâneo de
→
rotação a velocidade é perpendicular a ω (Figura 3.3) e perpendicular à linha mais curta que
os une ao eixo instantâneo de rotação.
Finalmente, os dois últimos casos do movimento instantâneo são caracterizados por
todos os pontos do corpo terem a mesma velocidade, denominando-se de translação ou de
repouso consoante essa velocidade é, ou não, nula.
Figura 3.3. Eixo helicoidal instantâneo e eixo instantâneo de rotação
3.3. Movimento Plano
Um caso particular do movimento dos corpos rígidos é o caso do movimento plano. Este
tipo de movimento ocorre quando a trajectória que cada ponto do corpo descreve está contida
integralmente num plano, sendo os planos correspondentes a todos os pontos do corpo
paralelos entre si. Designa-se por plano do movimento um plano paralelo a todas essas
trajectórias, onde, por conveniência, se projectam todos os pontos do corpo.
→
As velocidades v de todos os pontos do corpo rígido são pois paralelas ao plano do
→
movimento e a velocidade angular ω é perpendicular ao plano do movimento. Por esta razão,
o movimento plano tem apenas três graus de liberdade, correspondentes às duas
→
componentes da velocidade v O no plano do movimento e à componente da velocidade
→
angular ω ortogonal ao plano do movimento. Além disso, tem-se necessariamente
→
→
Movimento Plano: v O . ω = 0,
(3.17)
pelo que só os três últimos casos de redução são possíveis, sendo impossível o caso de
rotação + translação.
Isto significa que, excluindo os casos mais simples nos quais as velocidades de todos os
pontos do corpo são idênticas, o movimento instantâneo é equivalente a uma rotação
instantânea em torno de um centro instantâneo de rotação, que é a intersecção do eixo
instantâneo de rotação com o plano do movimento.
Com base nesta constatação e nas considerações feitas sobre o caso de redução rotação
instantânea, é possível desenvolver uma técnica de obtenção de velocidades em problemas
planos baseada nos seguintes princípios (ilustrados na Figura 3.4):
(I) Conhecidas as velocidades (ou, o que é mais frequente, apenas a direcção das velocidades)
de dois pontos distintos de um corpo rígido com movimento plano, o centro instantâneo de
rotação do corpo (ponto C) está na intersecção das linhas que passam por esses pontos e que
são ortogonais às suas velocidades.
(II) O cálculo das velocidades em outros pontos do corpo é feito a partir de (supõe-se que o
→
→
plano do movimento é definido por e x e e y)
→
v A = ω × CA = ω e z × [(xA − xC) e x + (yA − yC) e y] ,
→
→
→
→
→
(3.18)
isto é,
→
vA
→
→
= − ω (yA − yC) e x + ω (xA − xC) e y ,
(3.19)
ou seja, em módulo, "a velocidade segundo x é igual ao produto da velocidade angular pela
diferença das coordenadas y" e "a velocidade segundo y é igual ao produto da velocidade
angular pela diferença das coordenadas x". Por outro lado, os sentidos das velocidades são
facilmente determinados a partir do sentido da rotação em torno do centro instantâneo de
rotação.
Figura 3.4. Movimento plano e centro instantâneo de rotação
Note-se que a aplicação da construção referida em (I) pode conduzir a um dos seguintes
quatro casos particulares, que interessa discutir: (i) os dois pontos têm velocidades nulas, o
que significa que o corpo está em repouso intantâneo (todos os pontos têm velocidade nula);
(ii) um dos pontos tem velocidade nula, o que significa que esse ponto é precisamente o
centro instantâneo de rotação; (iii) as duas linhas referidas são paralelas, encontrando-se o
centro instantâneo de rotação no infinito, o que significa que o corpo está em translação
instantânea (todos os pontos têm a mesma velocidade) e (iv) as duas linhas são coincidentes,
caso em que a determinação da posição do centro instantâneo de rotação requer o
conhecimento dos valores e sentidos das velocidades.
Por último, a expressão de propagação de acelerações de um corpo rígido quando o
movimento é plano pode ser simplificada. Com efeito, o triplo produto externo na equação
(3.8) pode ser decomposto em duas parcelas:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
ω × ( ω × OP) = ( ω . OP) ω − ( ω . ω ) OP.
(3.20)
→
→
Como no movimento plano ω é perpendicular a OP, a primeira destas parcelas é nula, pelo
que a equação (3.8) toma então a forma particular (ver Figura 3.5):
→
aP
→
→
→
→
= a O + α × OP − ω2 OP.
(3.21)
Figura 3.5. Propagação de acelerações num corpo rígido com movimento plano
Exemplo E.3.3
Localizar o centro instantâneo de rotação da barra do Exemplo E.2.3. Por propagação a partir
do centro instantâneo de rotação, determinar, em função de θ e θ̇
a) as expressões das velocidades dos pontos O e A; conferir os resultados com os dos
exemplos E.2.3 e E.3.1.
b) o módulo e as componentes horizontal e vertical da velocidade de um ponto P da barra
que dista L/3 do ponto O.
Exemplo E.3.4
Utilizando o conceito de centro instantâneo de rotação, resolva novamente as alíneas a) e b)
do Exemplo E.3.2.
Exemplo E.3.5
O
A
Figura E.3.5
A extremidade A da barra AB move-se ao longo de um eixo vertical e a extremidade B movese numa calha circular conforme se representa na figura. Num certo instante em que a
configuração do sistema é a indicada na figura, a extremidade A tem velocidade vA = 80
cm/s e a aceleração aA = 30 cm/s2, ambas para baixo. Para esse instante:
(a) Localize o centro instantâneo de rotação da barra AB.
(b) Determine a velocidade angular ωAB da barra AB. Especifique o seu sentido.
(c) Determine a velocidade vB da extremidade B da barra. Especifique a sua direcção e
sentido.
(d) Determine a velocidade angular ωB do movimento circular da partícula B em torno do
ponto O. Qual o seu sentido?
(e) Qual a componente da aceleração da partícula B segundo a normal à sua trajectória? Qual
o seu sentido?
(f) Determine a aceleração angular α AB da barra AB. Qual o seu sentido?
Exemplo E.3.6
Sabe-se que a roda de um veículo automóvel representada na Figura E.3.6 se move no plano
da figura sem perder contacto com a superfície plana em que assenta e tem uma velocidade
angular maior ou igual a zero.
a) Determinar, em função do valor da velocidade angular (ω) e da velocidade do eixo (vE) e
os casos de redução possíveis para este movimento.
b) Determinar as expressões gerais que relacionam a velocidade angular da roda (ω), a
velocidade (vE) do eixo, a velocidade (vO) do ponto de contacto da roda e (sempre que
possível) a localização do centro instantâneo de rotação (C) da mesma.
c) Localizar o centro instantâneo de rotação no caso em que a roda tem rolamento puro e
particularizar as expressões anteriores para esse caso. Qual é o ponto da roda com maior
velocidade? Qual é a velocidade dos pontos do contorno da roda que estão ao mesmo
nível do eixo?
d) Também para o caso do rolamento puro, determinar as acelerações do eixo da roda e do
ponto de contacto.
e) Discutir as situações físicas a que correspondem e, sempre que conveniente, particularizar
as expressões da alínea b) nos seguintes casos:
e1) yC < 0;
e2) yC → − ∞;vE finita;
e3) 0 < yC <R;
e4) yC = R;
e5) yC > R;
e6) yC → + ∞; vE finita.
Figura E.3.6
Exemplo E.3.7
O disco de raio a da Figura E.3.7 rola sem escorregar de tal forma que, no instante
representado, tem velocidade e aceleração angulares ω e α, respectivamente. Determinar, em
função de ω, α e a:
a) A posição do centro instantâneo de rotação da barra PR.
b) A velocidade e a aceleração do eixo do disco (Ponto E).
c) A velocidade e a aceleração angulares da barra PR.
Figura E.3.7