RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA

COMPONENTE CENTRÍPETA DA

FR


Como já foi visto antes, uma partícula livre da ação de forças ( FR = 0 )
se mantém em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (1ª Lei de
Newton). Daí que, se um corpo realiza um movimento com trajetória
curvilínea, sobre ele atua(m) força(s) e essas forças apresentam
resultante diferente de zero. A resultante sobre um corpo em trajetória
curvilínea apresenta uma componente radial que é denominada força
resultante centrípeta que, além de radial, tem sentido convergente
(apontando para o centro da curva). Seu módulo é dado pela expressão a
seguir:
FRCP  m.
v2
R
Determinação da força resultante centrípeta
LEMBRE - SE


FRCP   F (radiais )
FRCP   F (convergentes )  F (divergentes)
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
LOOP
/
GLOBO
da
MORTE
Perceba que se o móvel passar pelo ponto
crítico ele completa toda a trajetória. Como
no ponto crítico as forças que atuam no corpo
estão representadas abaixo (e fazendo nosso
referencial positivo para baixo) temos:

Na situação limite, temos que | N | = 0
o que faz com que a mínima velocidade que
o móvel precisa ter para completar o loop no ponto mais alto seja:
vMÍNIMA  R.g
LOMBADA
e
DEPRESSÃO
Numa estrada com lombada e/ou depressão quando realizamos o
deslocamento vertical no peso aparente varia diminuindo ou aumentando
dependendo do caso. Podemos explicar tal situação analisando as forças que
agem sobre o corpo em cada um dos pontos da estrada:
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
CURVA
PLANA
com
ATRITO
N
FAT
P
VISÃO SUPERIOR
VISÃO FRONTAL
Perceba que para não haver derrapagem (o móvel completar a
curva), temos que a força de atrito lateral faz o papel da resultante
centrípeta, o que nos permite determinar a máxima velocidade que pode
ter o móvel para completar a curva ou o mínimo raio de curvatura para a
curva ser completada ou ainda, o menor coeficiente de atrito entre o pneu
e a pista para que não haja derrapagem:
FRCP  f ATRITO
Podemos desenvolver essa igualdade
v2
m.  .m.g
R
Encontrando informações importantes
vMÁX  .R.g
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RMÍN
v2

 .g
75
 MÍN
v2

Rg
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
PISTA
SOBRELEVADA
tg 
v2
Rg
Onde  é o ângulo de inclinação
em relação à horizontal
PÊNDULO
SIMPLES
FRCP  T  P. cos 
Onde  é o ângulo de inclinação
em relação à vertical
A tração será máxima
no ponto mais baixo
da trajetória
TMÁX  P  FRCP
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
PÊNDULO
CÔNICO
tg 
v2
Rg
Onde  é o ângulo de inclinação
em relação à vertical
ROTOR
FRCP  N
P  f AT  .N
De onde podemos concluir que
MÍN 
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g

.R
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
EXERCÍCIO S D E A PL ICA ÇÃO
AULA 87 – Exemplo 01 (PUC SP)
Um avião de brinquedo é posto para girar num
plano horizontal preso a um fio de
comprimento 4,0m. Sabe-se que o fio suporta
uma força de tração horizontal máxima de
valor 20N. Sabendo-se que a massa do avião é 0,8 kg, a máxima velocidade
que pode ter o avião, sem que ocorra o rompimento do fio, é:
a) 10 m/s
c) 5 m/s
b) 8 m/s
d) 12 m/s
e) 16 m/s
AULA 87 – Exemplo 02 (PUC SP)
A figura mostra um sistema de dois
corpos de massas iguais, ligados por fios
inextensíveis e de massas desprezíveis,
girando num plano horizontal, sem atrito, com velocidade angular ,
constante, em torno do ponto fixo O.
A razão (T2 / T1) entre as trações T2 e T1, que atuam respectivamente nos fios
(2) e (1), tem valor:
a) 2
c) 1
b) 3/2
d) 2/3
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e) 1/2
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Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
AULA 88 – Exemplo 01 (CESESP PE)
Um caminhão transporta em sua carroceria
uma carga de 2,0 toneladas. Determine,
em newtons, a intensidade da força normal
exercida pela carga sobre o piso da
carroceria, quando o veículo, a 30 m/s,
passa pelo ponto mais baixo de uma depressão com 300 m de raio.
Dado: g = 10 m/s2
a) 2,0.104.
c) 3,0.104.
b) 2,6.104.
d) 2,0.103.
AULA 88 – Exemplo 02
e) 3,0.103.
( )
Uma atração de sucesso em alguns circos é o conhecido Globo da Morte
nele um ou mais motociclista desafiam a gravidade em manobras radicais
para delírio do público. Considere um globo de diâmetro 5m, qual a mínima
velocidade que deve ter o piloto ao passar pelo ponto de altura máxima para
garantir que a manobra tenha sucesso. Considere g = 10 m/s2.
a) 5 km/h
c) 15 km/h
b) 10 km/h
d) 18 km/h
e) 20 km/h
AULA 88 – Exemplo 03 (PUC MG)
Durante a exibição aérea da esquadrilha da fumaça, no dia 7 de setembro,
um dos aviões realizou um looping de raio 30m. No ponto mais alto da
trajetória, o avião alcançou a velocidade de 20 m/s. Nesse ponto, o piloto,
de massa 60 kg, exerceu sobre o assento uma força de intensidade igual a:
(Considere g = 10m/s2)
a) 600N
c) 300N
b) 400N
d) 200N
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e) 100N
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
AULA 89 – Exemplo 01 (UFPE 2ª fase)
Um carro de corrida de massa igual a 800kg faz uma curva de raio igual a
400m, em pista plana e horizontal, a uma velocidade de 108 km/h.
Determine a força de atrito lateral, em unidades 102N, exercida pelos pneus
do carro.
AULA 89 – Exemplo 02 (UEL PR)
Um carro consegue fazer uma curva plana e horizontal, de raio 100 m, com
velocidade constante de 20 m/s. Sendo g = 10 m/s2, o mínimo coeficiente de
atrito estático entre os pneus e a pista deve ser:
a) 0,20.
c) 0,30.
b) 0,25.
d) 0,35.
e) 0,40.
AULA 89 – Exemplo 03 (FUVEST SP)
Um carro percorre uma pista curva superelevada (tg  = 0,20) de 200m de
raio. Desprezando-se o atrito e adotando-se g = 10 m/s2, qual a velocidade
máxima sem risco de derrapagem?
a) 40 km/h
c) 60 km/h
b) 48 km/h
d) 72 km/h
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e) 80 km/h
80
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Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
AULA 90 – Exemplo 01 (UEL PR)
A esfera, representada no esquema, tem massa igual a
1,0 kg e, quando abandonada, movimenta-se segundo
um arco de circunferência de raio 1,0m, devido ao fio
que a prende ao teto. Ao passar pelo ponto A, quando o
fio está na vertical, ela tem velocidade escalar de 4,0 m/s.
Considerando-se g = 10 m/s2, a intensidade da força com que a esfera
traciona o fio, no instante em que ela passa pelo ponto A, vale, em
newtons:
a) zero
c) 12
b) 6,0
d) 26
e) 32
AULA 90 – Exemplo 02 (FEI SP)
Uma esfera gira com velocidade 1 m/s, descrevendo uma trajetória circular,
horizontal, de raio R = 10 cm. Estando a esfera suspensa por meio de um fio.
Qual o ângulo que este forma com a vertical? Adotar g = 10 m/s2.
AULA 90 – Exemplo 03 (MACKENZIE SP)
Admitamos que você esteja apoiado, em pé, sobre o
fundo de um cilindro de 4m de raio, que gira em torno
do seu eixo vertical. Considere g = 10m/s2 e o
coeficiente de atrito entre a sua roupa e a superfície do
cilindro igual a 0,4.
Calcule a mínima velocidade tangencial que o cilindro deve ter para que,
retirado o fundo, você fique “preso” à parede dele.
a) 5 m/s
c) 8 m/s
b) 10 m/s
d) 15 m/s
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e) 6 m/s
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 261 (UFMG)
Quando um carro se desloca numa estrada horizontal, seu peso P é anulado
pela reação normal N exercida pela estrada. Quando esse carro passa no alto
de uma lombada, sem perder o contato com a pista, seu peso será
representado por P´ e a reação normal da pista sobre ele por N´.
Com relação aos módulos dessas forças, pode-se afirmar
corretamente que:
a) P´ < P e N´ = N
b) P´ < P e N´ > N
c) P´ = P e N´ < N
d) P´ = P e N´ > N
e) P´ > P e N´ < N
P 262 (UESPI)
Considere a situação em que uma partícula material percorre uma
circunferência em movimento uniforme. Neste caso, podemos afirmar que a
força resultante aplicada a tal partícula é:
a) nula.
b) perpendicular à trajetória circular.
c) perpendicular ao plano definido pela trajetória circular.
d) tangente à trajetória circular.
e) tanto maior quanto menor for a velocidade da partícula.
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 263 (UFPEL)
Considere um satélite artificial que está em órbita circular ao redor da Terra.
Nessa condição, é correto afirmar que
a) seu vetor velocidade, vetor aceleração centrípeta e seu período são
constantes.
b) seu vetor velocidade varia, seu vetor aceleração centrípeta e seu período
são constantes.
c) seu vetor velocidade e seu vetor aceleração centrípeta variam e seu
período é constante.
d) seu vetor velocidade e seu período são constantes e seu vetor aceleração
centrípeta varia.
e) seu vetor velocidade, seu vetor aceleração centrípeta e seu período
variam.
P 264 (PUC SP)
Um avião de brinquedo é posto para girar num plano horizontal preso a um
fio de comprimento 4,0m. Sabe-se que o fio suporta uma força de tração
horizontal máxima de valor 20N. Sabendo-se que a massa do avião é 0,8
kg, a máxima velocidade que pode ter o avião, sem que ocorra o
rompimento do fio, é:
a) 10 m/s
c) 5 m/s
b) 8 m/s
d) 12 m/s
e) 16 m/s
P 265 (UFPE)
Uma caixa é colocada sobre o piso de um carrossel a uma certa distância do
seu eixo. Se o carrossel gira com velocidade angular constante e a caixa não
escorrega, indique qual a força responsável pelo movimento circular da caixa
(força centrípeta).
a)
b)
c)
d)
e)
O peso
A normal
A resultante da normal com o peso
A força de atrito cinético
A força de atrito estático
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 266 (UFPE)
Num certo trecho de uma montanha russa
os pontos A e B têm o mesmo raio de
curvatura. Podemos afirmar que os
ocupantes de um carrinho, ao passarem
por estes pontos, têm a sensação de:
a) diminuição de peso em A e aumento de peso em B.
b) aumento de peso em A e diminuição de peso em B.
c) diminuição de peso em A e em B.
d) aumento do peso em A e em B.
e) nada se pode afirmar, pois não se conhece as velocidades do carrinho em A e em B.
P 267 (UFPE)
Se você levar em conta a rotação da Terra, em que pontos da superfície do
planeta a força normal entre uma pessoa e a superfície horizontal tem
módulo igual ao peso da pessoa?
a) Nos pólos.
b) Nos pontos sobre o equador.
c) Em todos os pontos.
d) Nos pontos a 45° de latitude norte e sul.
e) Em nenhum ponto.
P 268 (FesP SP)
Um caminhão transporta em sua carroceria uma carga de 2,0 toneladas.
Determine, em newtons, a intensidade da força normal exercida pela carga
sobre o piso da carroceria quando o veículo, a 30 m/s, passa pelo ponto
mais baixo de uma depressão de 400m de raio.
Adote g = 10 m/s2.
a) 2,00 x 104N
c) 2,55 x 104N
b) 1,55 x 104N
d) 2,45 x 104N
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84
e) 4,00 x 104N
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 269 (PUC SP)
Considere que, numa montanha russa de
um parque de diversões, os carrinhos do
brinquedo, de massa total m, passem pelo
ponto mais alto do loop, de tal forma que a
intensidade da reação normal nesse
instante seja nula. Adotando como o raio
do loop e g a aceleração da gravidade
local, podemos afirmar que a velocidade e
a aceleração centrípeta sobre os carrinhos na situação considerada valem,
respectivamente,
a)
c)
mrg
r
g
e mr
mr
e g
b)
rg
e mg
d)
rg
e nula
rg
e)
eg
P 270 (UNICAMP SP)*
Uma atração muito popular nos circos é o "Globo
da Morte", que consiste numa gaiola de forma
esférica no interior da qual se movimenta uma
pessoa pilotando uma motocicleta. Considere um
globo de raio R num local onde a aceleração da
gravidade seja g.
Qual a mínima velocidade que a motocicleta deve ter no ponto C da figura a
seguir para que ela não perca contato com a superfície interna do globo?
a) gR
b)
gR
c)
d)
gR
2 gR d) 2
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e) 3
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gR
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 271 (UDESC)
Considere o “looping” mostrado na Figura 2, constituído por um trilho
inclinado seguido de um círculo. Quando uma pequena esfera é abandonada
no trecho inclinado do trilho, a partir de determinada altura, percorrerá toda
a trajetória curva do trilho, sempre em contato com ele.
Figura 2
Sendo v a velocidade instantânea e a, a aceleração centrípeta da esfera, o esquema
que melhor representa estes dois vetores no ponto mais alto da trajetória no interior
do círculo é:
a)
b)
c)
d)
e)
P 272 (UFMG)
Considere uma montanha russa em forma de looping e P o ponto mais alto.
Um carrinho passa pelo ponto P e não cai. Pode-se afirmar que no ponto P a(o):
a) força centrífuga que atua no carrinho o empurra sempre para frente.
b) força centrípeta que atua no carrinho equilibra o seu peso.
c) força centrípeta que atua no carrinho mantém sua trajetória circular.
d) soma das forças que o trilho faz sobre o carrinho equilibra seu peso.
e) peso do carrinho é nulo nesse ponto.
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 273 (UFPE 2ª fase)
Em certo ponto de uma montanha russa o ocupante do carrinho verifica que
se peso desapareceu por completo. Com que velocidade em m/s, o carrinho
passa por este ponto se, nele, o raio de curvatura da trajetória vale 10m?
P 274 (PUC MG)
Durante a exibição aérea da esquadrilha da fumaça, no dia 7 de setembro,
um dos aviões realizou um looping de raio 30m. No ponto mais alto da
trajetória, o avião alcançou a velocidade de 20 m/s. Nesse ponto, o piloto,
de massa 60 kg, exerceu sobre o assento uma força de intensidade igual a:
(Considere g = 10m/s2)
a) 600N
c) 300N
b) 400N
d) 200N
e) 100N
P 275 (UFAL)
Um carro passa por uma elevação na pista com velocidade de módulo constante e
igual a 10 km/h. A elevação corresponde a um arco de uma circunferência de raio R
= 5 m, centrada no ponto O (ver figura). Considerando o carro como uma partícula
material, qual a sua aceleração centrípeta, em km/h2, sobre a elevação?
a) 2
c) 200
b) 4
d) 400
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e) 20000
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 276 (UEL PR)
Um carro consegue fazer uma curva plana e horizontal, de raio 100 m, com
velocidade constante de 20 m/s. Sendo g = 10 m/s2, o mínimo coeficiente de
atrito estático entre os pneus e a pista deve ser:
a) 0,20.
c) 0,30.
b) 0,25.
d) 0,35.
e) 0,40.
P 277 (IME RJ)
Uma pedra está presa a um fio e oscila da maneira
mostrada na figura acima. Chamando T a tração no fio
e  o ângulo entre o fio e a vertical, considere as
seguintes afirmativas:
I.
O módulo da força resultante que atua na pedra é igual a T sen.
II.
O módulo da componente, na direção do movimento, da força
resultante que atua na pedra é máximo quando a pedra atinge a altura
máxima.
III.
A componente, na direção do fio, da força resultante que atua na pedra
é nula no ponto em que a pedra atinge a altura máxima.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I e II, apenas
c) II e III, apenas
b) I e III, apenas
d) I, II e III
e) II, apenas
P 278 (UFPE 2ª fase)
Um automóvel de massa igual a 1 tonelada descreve uma curva de raio
100m com velocidade igual a 10 m/s. Qual deve ser a força de atrito total,
em 103N, atuando entre os pneus e a estrada para evitar que o automóvel
derrape?
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
P 279 (FCC SP)
A figura apresentada ilustra um pêndulo cônico. A
massa pendular M efetua um movimento circular
uniforme em torno do centro C. A intensidade da
resultante das forças atuantes vale:
a) Mg sen 
c) Mg cos 
b) Mg / sen 
d) Mg tg 
e) Mg / tg 
P 280 (ITA SP) 
Uma massa pontual se move, sob a influência da
gravidade g e sem atrito, com velocidade angular 
em um círculo a uma altura h ≠ 0 na superfície interna
de um cone que forma um ângulo  com seu eixo
central, como mostrado na figura.
A altura h da massa, em relação ao vértice do cone, é:
a)
g

b)
2
g

2
.
1
sen 
c)
g cot g 
.
 2 sen 
d)
g

2
.  cot g  
2
e) inexistente, pois a única posição de equilíbrio é h = 0.
GABARITO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
261
267
273
279
C
A
10
D
262
268
274
280
B
D
D
D
263
269
275
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C
E
E
264
270
276
89
A
B
E
265
271
277
E
A
C
266
272
278
B
C
01
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
EHC 084. H20 (VUNESP SP)
As estatísticas indicam que o uso do cinto de segurança deve ser obrigatório
para prevenir lesões mais graves em motoristas e passageiros no caso de
acidentes. Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a:
a) 1ª Lei de Newton.
c) Lei de Ampère.
b) Lei de Snell.
d) Lei de Ohm.
e) 1ª Lei de Kepler.
EHC 085. H20 ( )
Um avião descreve uma trajetória
circular horizontal com velocidade escalar
constante v. Para conseguir descrever
uma trajetória curva na horizontal, suas as asas formam um ângulo  com a
horizontal. Devem ser considerados apenas o peso do avião e a força de
sustentação que é perpendicular à asa. Sendo g a aceleração da gravidade, o
raio da trajetória descrita é:
a) v2.sen 
c) v2 tg  / g
b) v2.g.tg 
d) v2 cotg / g
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90
e) g . tg / v2
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
EHC 086. H20 (VUNESP SP)
Dentro de um satélite artificial da Terra um astronauta flutua, porque:
a) sua massa específica fica menor que a do ar dentro do satélite.
b) existe vácuo dentro do satélite e no vácuo os corpos não têm peso.
c) as acelerações da nave e do astronauta com relação à Terra são iguais.
d) a força da gravidade é nula no local onde se encontra o satélite.
e) o satélite serve de blindagem de modo que a força da gravidade não se
exerce sobre o astronauta.
EHC 087. H20 (ENEM)
O Brasil pode se transformar no primeiro país das Américas a entrar no
seleto grupo das nações que dispõem de trens-bala. O Ministério dos
Transportes prevê o lançamento do edital de licitação internacional para a
construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Paulo. A viagem ligará os
403 quilômetros entre a Central do Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no
centro da capital paulista, em uma hora e 25 minutos.
Disponível em: http://oglobo.globo.com.
Acesso em: 14 jul. 2009.
Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser enfrentado na escolha do
trajeto que será percorrido pelo trem é o dimensionamento das curvas.
Considerando-se que uma aceleração lateral confortável para os passageiros
e segura para o trem seja de 0,1 g, em que g é a aceleração da gravidade
(considerada igual a 10 m/s2), e que a velocidade do trem se mantenha
constante em todo o percurso, seria correto prever que as curvas existentes
no trajeto deveriam ter raio de curvatura mínimo de, aproximadamente,
a) 80 m.
c) 800 m.
b) 430 m.
d) 1.600 m.
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e) 6.400 m.
91
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RESULTANTE CENTRÍPETA
Dinâmica em trajetórias curvilíneas
EXTENSIVO
MEDICINA
EHC 088. H20 (VUNESP SP)
Antes de Newton expor sua teoria sobre a força da gravidade, defensores da
teoria de que a Terra se encontrava imóvel no centro do Universo alegavam
que, se a Terra possuísse movimento de rotação, sua velocidade deveria ser
muito alta e, nesse caso, os objetos sobre ela deveriam ser arremessados
para fora de sua superfície, a menos que uma força muito grande os
mantivesse ligados à Terra. Considerando o raio da Terra de 7 × 106 m, o
seu período de rotação de 9 × 104 s e 2 = 10, a força mínima capaz de
manter um corpo de massa 90kg em repouso sobre a superfície da Terra,
num ponto sobre a linha do Equador, vale, aproximadamente,
a) 3 N.
c) 120 N.
b) 10 N.
d) 450 N.
e) 900 N.
EHC 089. H20 ( )
A figura representa em plano
vertical um trecho dos trilhos de
uma montanha russa na qual um
carrinho está prestes a realizar
uma curva. Despreze atritos,
considere a massa total dos
ocupantes e do carrinho igual a 500 kg e a máxima velocidade com que o
carrinho consegue realizar a curva sem perder contato com os trilhos igual a
36 km/h. O raio da curva, considerada circular, é, em metros, igual a:
a) 3,6
c) 1,0
b) 18
d) 6,0
e) 10
GABARITO
EXERCITANDO as HABILIDADES em CASA:
84
A
85
D
86
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C
87
92
E
88
A
89
E
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