FATEC – Faculdade de Tecnologia de Pavimentação
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4- CURVAS HORIZONTAIS DE TRANSIÇÃO
4.1 INTRODUÇÃO
Quando um veículo passa pelo ponto PC – ponto de começo da curva circular horizontal ou PT –
ponto de término da curva circular horizontal, dependendo do comprimento do raio (Rc), ele sofre um
esforço no volante bastante abrupto devido a aceleração centrípeta, isso se deve à descontinuidade entre a
tangente que tem raio infinito e a curva circular horizontal que possui raio finito. Esse esforço leva a um
grande desconforto ao motorista.
No intuito de amenizar esse esforço intercala-se entre a tangente e a curva circular horizontal um
trecho de curva com raio de curvatura progressivo, denominado de espiral de transição. Essa espiral de
transição possui um raio de curvatura que varia do infinito ao valor finito concordante com o Rc da curva
circular horizontal.
Podemos definir a curva horizontal de transição como uma curva que possui dois trechos em
espirais intercalados com um trecho circular.
Basicamente, a utilização de trechos em espirais contempla três vantagens:
1) possibilitar uma variação contínua de aceleração centrípeta na passagem da tangente para o
trecho circular;
2) proporciona nesse trecho que ocorra a variação da superelevação, normalmente, baixa em
trechos em tangentes e constante em trechos circulares;
3) permite um traçado fluente e agradável, visualmente satisfatório sob vários aspectos, devido
à variação tênue da curvatura.
Principais tipos de curvas usadas para a transição são:
Embora a espiral, também conhecida como clotóide, seja mais trabalhosa é a que melhor atende as
exigências de um traçado racional. Todas as outras curvas praticamente atendem às necessidades de um
traçado racional, usualmente optou-se pela clotóide. Além de outras vantagens, é observado que quando
um veículo passa de um trecho em tangente para um espiral, o motorista gira o volante do veículo a uma
velocidade angular constante, essa operação oferece ao motorista um certo conforto ao realizar a curva.
4.2 COMPRIMENTO DO TRECHO DE TRANSIÇAÕ (Ie)
1
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A determinação do comprimento mínimo do trecho de transição Ie, é feito de forma que a variação da
força centrípeta Fc (enquanto o veículo percorre o trecho de transição Ie com velocidade constante Vd)
não ultrapasse valores confortáveis.
Adotando-se um valor de aceleração centrípeta ac = 0,6 m/s3 (unidade de tempo em J), tem-se:
ac
Vd2/Rc
J = ------- = ------------Ts
Ie/Vd
Vd3
ou Ie = ----------J . Rc
Adotando-se Jmáx = 0,6 m/s3, determina-se o valor do comprimento mínimo de transição
correspondente a essa variação máxima de aceleração centrípeta.
Vd3
Iemín = ------------0,6 . Rc
ou
Iemin = 0,035 Vd3/Rc
Para a determinação do comprimento máximo do trecho de transição Iemáx, deve-se assumir que δ = 0, ou
seja, a inexistência de trecho circular, δ é o ângulo que descreve o novo trecho circular da curva de
transição, tem-se:
δ = AC - 2θs
(δ = 0)
θsmáx = AC/2
O comprimento ideal do trecho de transição Ie deve estar compreendido entre o Iemín e Iemáx..A escolha
de Ie muito grandes implica, em geral, um afastamento (p) bastante elevado, ou seja, o traçado da curva
afasta-se demasiadamente do traçado primitivo. Recomenda-se que o comprimento de Ie satisfatório seja
o dobro do Iemín .
Ie = 2 . Iemin. No cálculo do valor de Ie deve-se arredondar para cima um valor
múltiplo de 10m, para melhor efetuar a distribuição da superelevação.
4.3 TIPOS DE INSERÇÃO DE TRECHOS EM ESPIRAL EM CURVA CIRCULAR HORIZONTAL
Existem três métodos de inserção das espirais de transição, a saber:
O método do raio conservado é geralmente o mais utilizado, neste caso existe a necessidade do recuo do
centro da curva circular horizontal (O) no valor de (p), esse procedimento possui a vantagem de não
alterar o valor do Rc.
No método de deslocamento das tangentes o centro da curva circular horizontal e o raio são mantidos
inalterados, as tangentes são deslocadas, esse método é aplicável apenas em casos especiais.
Já o método de centro conservado o Rc é diminuído, o que implica em uma certa inconveniência.
2
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4.4 ELEMENTOS DE UMA CURVA DE TRANSIÇÃO
Onde:
O’ = centro do trecho da curva circular horizontal afastado
PI = ponto de interseção das tangentes
is = ângulo entre a corda e a tangente em SC
p = afastamento da curva circular horizontal
k = abscissa do centro O’ da curva circular horizontal
X = abscissa de um ponto genérico sobre o trecho em espiral
D = Desenvolvimento do trecho circular
Y = coordenada de um ponto genérico sobre o trecho em espiral
δ = ângulo central do trecho circular
TS = ponto tangente/espiral
SC = ponto espiral/circular
CS = circular/espiral
ST = espiral/tangente
Rc = raio de curvatura
c = corda
Xs = abscissa dos pontos SC e CS
Ys = ordenada dos pontos SC e CS
TT = tangente total
Ie = comprimento do trecho espiral
AC = ângulo central das tangentes
θs = ângulo da transição
4.5 CÁLCULOS DOS ELEMENTOS NECESSÁRIOS À DEFINIÇÃO E LOCAÇÃO DA ESPIRAL
Sendo Ie o comprimento da transição (trecho entre os pontos notáveis TS e SC e entre CS e ST) e Rc o raio
da curva circular horizontal. A espiral de transição adotada a clotóide, temos pela equação que define
esta curva o seguinte:
R x Ie = contente
Rc x Ie = constante k
3
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dI
I x dI
dI = R x dθ → ---------- = ---------R
k
Da figura acima tem-se
Portanto:
I x dI
I2
θ = Ι ---------- = ------k
2k
Como k = Rc x Ie, tem-se
θ
I2
= --------------------2 x Rc x Ie
No ponto SC, I = Ie, portanto
Ie
θs = ---------2 x Rc
como:
dx = dI x cos θ
dy = dI x sen θ
desenvolvendo-se senθ e cosθ em série e integrando, teremos:
4
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θ3
θ5
θ3
θ5
senθ = θ - ----- + ------ - ......= θ - -------- + -------- - ...............
3!
5!
6
120
θ2
θ4
θ2
θ4
cosθ = 1 - ----- + ------ - ......= 1 - -------- + -------- - ...............
2!
4!
2
24
Portanto:
θ3
θ5
dy = dI x (θ - ------ + -------- - ……. )
6
120
θ2
θ4
dx = dI x (1 - ------ + -------- - ….. )
2
24
Integrando, teremos
θ3
θ5
y = Ι (θ - ---- + ------ - ....) x dI
6
120
θ4
θ2
x = Ι (1 - ---- + ------ - ....) x dI
2
24
Como θ = I2 /2k, desenvolvendo, teremos finalmente:
θ
θ3
θ5
y = I x ( ----- - ------- + --------- - ........)
3
42
1320
θ2
θ4
x = I x ( 1 - ----- + ------- +.......)
10
216
No ponto SC, onde I -= Ie, temos:
θ
θ3
θ5
ys = Ie x (----- - ------- + --------- - ........)
3
42
1320
θ2
θ4
xs = Ie x (1 - ----- + ------- - ......)
10
216
5
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Exemplo: Uma rodovia tipo I-A em uma região plana, permite-se um valor máximo de superelevação de
10%. Devido a dificuldades de relevo não é permitido o uso de curva circular horizontal com raios
superiores 1900 m, logo se faz necessário o uso de curvas com espirais de transição. Em uma determinada
curva tem-se: AC = 31O 28’ 37”
Estaca PI = [1234 + 12,70m]
Vd = 100 km/h
Pede-se:
a) cálculo do valor de Rcmim
b) adotando-se uma superelevação de 8% calcular do valor do Rc pelo método da parábola
da AASHTO
c) Determinar as estacas dos pontos notáveis da curva: TC, SC, CS e ST
a) Raio mínimo:
Rc min
V2
1002
= ---------------- = ----------------------- = 342,34 m
127 ( e + f)
127 ( 0,10 + 0,13)
b) Rc (pelo método da AASHTO) = e = e máx.(2Rmín/ Rc - Rmín2/Rc2)
Pergunta-se, qual Rc que aplicado à formula acima obtém-se um valor de superelevação de 8%
e = 0,10 ( 2 x 342,34 / 600 - 342,342 / 6002) = 0,0815 ≅ 8%
o Rc a ser adotado é de 600 m.
c) Estacas dos Pontos Notáveis
c-1) comprimento do trecho de transição
Iemin = 0,035 Vd3/Rc = 0,035 . 1003 / 600 = 58,33 m
Ie = 2 x Iemín = 2 x 58,33m = 116,66 m arredondando para um valor acima múltiplo de 10 m
tem-se:
Ie = 120m em estacas [6]
c-2) Elementos principais da curva (θs, xs e ys)
Ie
120
θs = --------- = ------------- = 0,1rd = 5,72957o = 5o 43’ 46,48”
2 Rc
2 x 600
θ2
θ4
0,12
xs = Ie x (1 - ----- + ------- - ......) = 120 x ( 1 - ------ ) = 119,88m
10
216
10
θ
θ3
θ5
0,1
ys = Ie x (----- - ------- + --------- - .....) = 120 x ( -------) = 4,0m
3
42
1320
3
c-3) Elementos da posição da transição (k, p, TT e D)
k = xs - Rc x senθ = 119,88 - 600 x sen 5,72957o = 59,98 ≅ 60,00 m
Afastamento da curva circular
6
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p = ys – Rc x ( 1 - cosθ) = 4,0 - 600 x ( 1 – cos 5,72957o ) = 7,0m
TT – tangente total
TT = k + (Rc + p) x tan (AC/2) = 60,00 + (600 + 7,0) x tan (31O 28’ 37”/2) =
TT = 60,00 + 607 x 0,28181 = 231,05 m em estacas [ 11 + 11,05m]
Desenvolvimento circular
= 600 x (31O 28’ 37” – 2 x 5o 43’ 46,48”) =
= 600 x ( 0,54947 - 2 x 0,1) = 209,68 m
D = Rc x ( AC - 2θs)
em estacas [ 10 + 9,68 m]
Estacas dos pontos notáveis (TS, SC, CS e ST)
Estaca TS
Estaca SC
Estaca CS
Estaca ST
= estaca do PI – TT = [1234 + 12,70m] – [11+11,05m]= [1246 + 3,75m]
= estaca do TS + Ie = [1246 + 3,75m]+ [6]
= [1252 + 3,75m]
= estaca SC + D = [1252 + 3,75m]+ [ 10 + 9,68 m] = [1262 + 13,43m]
= estaca CS + Ie = [1262 + 13,43m] + [6]
= [1268 + 13,43m]
4.6 TABELA DE LOCAÇÃO DA CURVA COM ESPIRAL DE TRANSIÇÃO
Após serem locadas as tangentes à curva e o ponto PI de interseção destas tangentes, devem ser locados
os pontos TS e SC sobre as tangentes a uma distância TT de PI.
Os dois trechos em transição da curva serão locados a partir de TS e ST, respectivamente. A locação do
trecho circular será feita a partir de SC de meia e meia estaca.
4.6.1 Tabela de locação do trecho espiral TS a SC
TAB E LA D E LO C AÇ ÃO
E staca
I (m )
x (m )
y (m )
TS = [1246 + 3,75m ]
0
6,25
16,25
26,25
36,25
46,25
56,25
66,25
76,25
86,25
96,25
106,25
116,25
120,00
0
6,25
16,25
26,25
36,25
46,25
56,25
66,24
76,24
86,23
96,21
106,18
116,15
119,88
0
0,00
0,01
0,04
0,11
0,23
0,41
0,67
1,03
1,49
2,06
2,78
3,64
4,00
1246 + 10
1247
1247 + 10
1248
1248 + 10
1249
1249 + 10
1250
1250 + 10
1251
1251+ 10
1252
S C = [1252 + 3,75]
corda c = 79,98 m
o
i( '")
0
o
0 00'
o
0 02'
o
0 05'
o
0 10'
o
0 17'
o
0 25'
o
0 34'
o
0 46'
o
0 59'
o
1 13'
o
1 29'
o
1 47'
o
1 54'
18,65"
06,08"
29,00"
27,42"
01,34"
10,37"
55,75"
16,30"
12,49"
44,41"
52,22"
36,07"
39,82"
is = 1o 54' 39,82"
Procedimento dos cálculos:
7
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is = arctan (ys/xs)
corda = xs / cos is
Para a estaca [1246 + 10m] tem-se um I de 6,25m, devem ser calculadas as coordenadas x e y e também o
ângulo de deflexão sobre a tangente i:
I2
6,252
39,06
θ = ------------------ = -------------------- = -------------------= 0,0002712rd
2 x Rc x Ie
2 x 600 x 120
144.000
θ2
x = I x (1 - ---)
10
0,00027122
= 6,25 x ( 1 - -------------- ) = 6,25 m
10
θ
y = I x (-----)
3
0,0002712
= 6,25 x ( ---------------) = 0,000565108m
3
4.6.2 Tabela de locação do trecho circular SC a CS
No trecho circular a tabela de locação deve ser feita de estaca em estaca
T A B E L A D E L O C A Ç Ã O D O T R E C H O C IR C U L A R
D is tâ n c ia ( m )
P a r c ia l
A c u m u la d a
0
0
1 6 ,2 5
1 6 ,2 5
20
3 6 ,2 5
20
5 6 ,2 5
20
7 6 ,2 5
20
9 6 ,2 5
20
1 1 6 ,2 5
20
1 3 6 ,2 5
20
1 5 6 ,2 5
20
1 7 6 ,2 5
20
1 9 6 ,2 5
1 3 ,4 3
2 0 9 ,6 8
( D )
E s ta c a s
S C = [1 2 5 2 + 3 ,7 5 ]
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
C S = [1 2 6 2 + 1 3 ,4 3 m ]
δ = A C - 2θs
=
o
0o
0o
0o
0o
0o
0o
0o
0o
0o
0o
0o
D e fle ç ã o ( o ' " )
P a r c ia l
A c u m u la d a
0
0
o
2 4 ' 2 2 ,5 0 "
0 2 4 ' 2 1 ,5 0 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
1 4 3 ' 4 8 ,9 2 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
2 4 1 ' 0 5 ,6 8 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
3 3 8 " 2 2 ,4 2 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
4 3 5 " 3 9 ,1 7 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
5 3 2 ' 1 5 ,9 2 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
6 3 0 ' 1 2 ,6 7 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
7 2 7 ' 2 9 ,4 2 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
8 2 4 ' 4 6 ,1 7 "
o
5 7 ' 1 7 ,7 5 "
9 2 2 ' 0 2 ,9 2 "
3 8 ' 2 8 ,4 5 " 1 0 o 0 0 ' 3 0 ,3 7 "
o
(x 2 )
2 0 0 1 ' 0 0 ,7 4 "
d = 2 0 o 0 1 ' 0 5 ,0 4 "
o
3 1 2 8 ’ 3 7 ” - 2 x 5 4 3 ’ 4 6 ,4 8 ” =
4.6.3 Tabela de locação do trecho espiral CS a ST
TA BELA D E LO CAÇÃO
o
E s ta ca
I (m )
x (m )
y (m )
S T = [ 1 2 6 8 + 1 3 ,4 3 m ]
0
0
0
0
1268 + 10
3 ,4 3
3 ,4 3
0 ,0 0
3 5 9 o 5 9 ' 5 4 ,3 8 "
i (
' " )
1268
1 3 ,4 3
1 3 ,4 3
0 ,0 1
3 5 9 o 5 8 ' 3 3 ,8 8 "
1267 + 10
2 3 ,4 3
2 3 ,4 3
0 ,0 3
3 5 9 5 5 ' 3 7 ,8 9 "
1267
3 3 ,4 3
3 3 ,4 3
0 ,0 9
359
1266 + 10
4 3 ,4 3
4 3 ,4 3
0 ,1 9
3 5 9 o 4 4 ' 5 9 ,4 1 "
1266
5 3 ,4 3
5 3 ,4 3
0 ,3 5
3 5 9 o 3 4 ' 4 9 ,6 3 "
1265 + 10
6 3 ,4 3
6 3 ,4 3
0 ,5 9
359
o
2 7 ' 5 8 ,8 9 "
1265
7 3 ,4 3
7 3 ,4 2
0 ,9 2
359
o
1 7 ' 2 5 ,9 2 "
1264 + 10
8 3 ,4 3
8 3 ,4 1
1 ,3 4
3 5 9 o 0 4 ' 3 6 ,0 9 "
1264
9 3 ,4 3
9 3 ,4 0
1 ,8 9
3 5 8 o 4 3 ' 5 4 ,4 0 "
1263 + 10
1 0 3 ,4 3
1 0 3 ,3 7
2 ,5 6
3 5 8 o 3 4 ' 5 0 ,4 2 "
1262
1 1 3 ,4 3
1 1 3 ,3 4
3 ,3 8
358
C S = [ 1 2 6 2 + 1 3 ,4 3 m ]
1 2 0 ,0 0
1 1 9 ,8 8
4 ,0 0
3 5 8 o 0 5 ' 2 0 ,1 8 "
rd a c = 1 1 9 ,9 5 m
is
=
o
o
o
3 6 0 o - 3 5 8 o 0 5 ' 2 0 ,1 8 " =
5 1 ' 0 6 ,4 0 "
1 7 ' 3 3 ,6 7 "
1 o 5 4 ' 3 9 ,8
8